50° 70º+x x r s q 140° 2x x + (x+70) + 50° = 180° x = 30° por ángulo semi-inscrito pqs...
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50°70º+x
XR
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
xº702
x2º140PQSm
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2
mQRSPQSm
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.
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20°
70°X
X = 40°X = 40°R
Q
H
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQRº70 mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.
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x130°
A
C
B
DX = 40°X = 40°
50°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
PResolviendo:
APD = xMedida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior
902
130 mBCmBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
2
50130 x
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x
X = 18°X = 18°
2
X 54X
M
N
54°
xx
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
PAB
APN = xSe traza el radio OM:
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN.
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x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°X = 55°
2
110X
A
B
C
PQ
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
Resolviendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ.
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Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolución
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RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X PC
140º
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
2
mABº70 mAB=140º
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Calcular la medida del ángulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Resolución
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RESOLUCIÓN
B
A
X P130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
X = 80º
mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
2
mABº70
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Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Problema Nº 08
2
5 5A
B
C
Resolución
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Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUCIÓN
2
5 5A
B
C
a b
a + b = 14 (1)(2)
Reemplazando (1) en (2)
(2p) = 14 + 10
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X
PLANTEAMIENTO
Q
R
S
80º Pa
a
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .
Resolución
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2a + 80º = 360º a = 140º
Medida del ángulo exterior:
Xa
80
2
140 80
2
º º ºX = 30º
En la circunferencia:
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º Pa
a
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P
Q
R
S
2
3
PLANTEAMIENTO
Problema Nº 10En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR
Resolución
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Teorema de Poncelet:
a b
cd
PQR a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6cm
Dato:
a + b + c + d = 22cm
PSR c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
RESOLUCIÓN
P
Q
R
S
2
3