5 teoria de colas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

UNI-NORTE

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

INGENIERIA INDUSTRIAL E

INGENIERIA DE SISTEMAS

V Unidad: Teoría de Colas

(Líneas de espera)de Espera:

Teoría de ColasMaestro

Ing. Julio Rito Vargas Avilés

12/06/2009

Teoría de Colas

Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos para las líneas de esperas. Estos modelos se usarán para responder preguntas como las siguientes:

1. Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?

2. Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?

3. Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?

4. Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera de un cliente?

5. Cuál es la distribución de probabilidad de la cantidad de clientes presentes en la cola?

Las colas…

Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:

En un banco

En un restaurante de comidas rápidas

Al matricular en la universidad

Los autos en un lava carro.

En un supermercado.

En una estación de combustible

En un estadio deportivo

Las colas…

En general, a nadie le gusta esperar

Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar.

Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado

Es necesario encontrar un balance adecuado

Esto es la relación positiva de Beneficio/costo.

Teoría de colas

Una cola es una línea de espera.

La teoría de colas es un conjunto de modelos

matemáticos que describen sistemas de líneas

de espera particulares.

El objetivo es encontrar el estado estable del

sistema y determinar una capacidad de servicio

apropiada

Teoría de colas

Existen muchos sistemas de colas distintos

Algunos modelos son muy especiales

Otros se ajustan a modelos más generales

Se estudiarán ahora algunos modelos comunes

Otros se pueden tratar a través de la

simulación

Sistemas de colas: modelo básico

Un sistema de colas puede dividirse en dos

componentes principales:

La cola

La instalación del servicio

Los clientes o llegadas vienen en forma

individual para recibir el servicio


Los clientes o llegadas pueden ser:

Personas

Automóviles

Máquinas que requieren reparación

Documentos

Entre muchos otros tipos de artículos


Si cuando el cliente llega no hay nadie en la

cola, pasa de una vez a recibir el servicio

Si no, se une a la cola

Es importante señalar que la cola no incluye

a quien está recibiendo el servicio


Las llegadas van a la instalación del servicio

de acuerdo con la disciplina de la cola

Generalmente ésta es primero en llegar,

primero en ser servido(FIFO)

Pero pueden haber otras reglas o colas con

prioridades(LIFO)


Llegadas

Sistema de colas

Cola

Instalación

del

servicio

Disciplina

de la cola

Salidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una

línea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

http://moviles.ociojoven.com/3-024/es_es/1/8042/ribery.html

http://moviles.ociojoven.com/3-024/es_es/1/11000/manga-yataa.html

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea,

múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Estructuras típicas de colas: varias líneas,

múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola

Estructuras típicas de colas: una línea,

servidores secuenciales

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor

Costos de un sistema de colas

1. Costo de espera: Es el costo para el

cliente al esperar

Representa el costo de oportunidad del

tiempo perdido

Un sistema con un bajo costo de espera es

una fuente importante de competitividad

Costos de un sistema de colas

2. Costo de servicio: Es el costo de

operación del servicio brindado

Es más fácil de estimar

El objetivo de un sistema de colas es

encontrar el sistema del costo total

mínimo

Sistemas de colas: Las llegadas

El tiempo que transcurre entre dos llegadas

sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo

entre llegadas

El tiempo entre llegadas tiende a ser muy

variable

El número esperado de llegadas por unidad de

tiempo se llama tasa media de llegadas ()


El tiempo esperado entre llegadas es 1/

Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es

= 20 clientes por hora

Entonces el tiempo esperado entre llegadas

es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos

!)(

k

ekP

k

: tasa media de llegadas

e = 2,7182818…

Ejemplo: pedido de cervezas

La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restaurante

Dick. Sigue una distribución de Poisson, con un promedio de

30 cervezas por hora.

1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60

cervezas entre las 10 y 12 de la noche.

2. Encuentre la de media y desviación estándar de cervezas

pedidas entre las 9 PM y 1 AM.

3. Determine la probabilidad de que el tiempo entre dos

pedidos consecutivos está entre 1 y 3 minutos.

Solución: (1)

La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de la

noche, se apega a una distribución de Poisson con parámetro

2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30

cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la

probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es:

Se puede usar la función de excel. POISSON(60,60,FALSO)=

0.05143174= 5.1%

05143174.0!60

60

!)(

6060

e

k

ekP

k

Solución…(2 y 3) Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por

tanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120.La desviación estándar en ese período es (120)1/2 =10.95

Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos decervezas. El número de promedio de pedidos por minutos esexponencial con parámetros o razón 30/60 = 0.5 (treintacervezas en 60 minutos). Cervezas por minutos. Por lo tanto lafunción de densidad de la probabilidad del tiempo que transcurreentre pedidos de cervezas (dado que la tasade llegada para una cola M/M/1). Entonces.

38.05.0

5.0)5.0()31( 5.05.1

3

1

5.05.03

1

eeedteXP tt

tt eeta 5.05.0)(


Además es necesario estimar la distribución

de probabilidad de los tiempos entre

llegadas

Generalmente se supone una distribución

exponencial

Esto depende del comportamiento de las

llegadas

Sistemas de colas: Las llegadas –

Distribución exponencial

La forma algebraica de la distribución

exponencial es:

Donde t representa una cantidad expresada en

unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)

tetserviciodetiempoP 1)(



Media Tiempo0

P(t)



La distribución exponencial supone una mayor

probabilidad para tiempos entre llegadas

pequeños

En general, se considera que las llegadas son

aleatorias

La última llegada no influye en la probabilidad

de llegada de la siguiente

Sistemas de colas: Las llegadas -

Distribución de Poisson

Es una distribución discreta empleada con

mucha frecuencia para describir el patrón de

las llegadas a un sistema de colas

Para tasas medias de llegadas pequeñas es

asimétrica y se hace más simétrica y se

aproxima a la binomial para tasas de llegadas

altas



Su forma algebraica es:

Donde:

P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo

: tasa media de llegadas

e = 2,7182818…

!)(

k

ekP

k



Llegadas por unidad de tiempo0

P

Sistemas de colas: La cola

El número de clientes en la cola es el

número de clientes que esperan el servicio

El número de clientes en el sistema es el

número de clientes que esperan en la cola

más el número de clientes que actualmente

reciben el servicio


La capacidad de la cola es el número

máximo de clientes que pueden estar en la

cola

Generalmente se supone que la cola es

infinita

Aunque también la cola puede ser finita


La disciplina de la cola se refiere al orden en

que se seleccionan los miembros de la cola

para comenzar el servicio

La más común es (FIFO)PEPS: primero en

llegar, primero en servicio

Puede darse: selección aleatoria, prioridades,

(LIFO)UEPS, entre otras.

Sistemas de colas: El servicio

El servicio puede ser brindado por un

servidor o por servidores múltiples

El tiempo de servicio varía de cliente a

cliente

El tiempo esperado de servicio depende de

la tasa media de servicio ()


El tiempo esperado de servicio equivale a

1/

Por ejemplo, si la tasa media de servicio es

de 25 clientes por hora

Entonces el tiempo esperado de servicio es

1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos


Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio

Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:

La distribución exponencial (=media)

Tiempos de servicio constantes (=0)


Una distribución intermedia es la distribución

Erlang

Esta distribución posee un parámetro de forma

k que determina su desviación estándar:

mediak

1


Si k = 1, entonces la distribución Erlang es

igual a la exponencial

Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es

igual a la distribución degenerada con

tiempos constantes

La forma de la distribución Erlang varía de

acuerdo con k


Media Tiempo0

P(t)k = ∞

k = 1k = 2

k = 8

Sistemas de colas:

Distribución Erlang

Distribución Desviación estándar

Constante 0

Erlang, k = 1 media

Erlang, k = 2

Erlang, k = 4 1/2 media

Erlang, k = 8

Erlang, k = 16 1/4 media

Erlang, cualquier k

media2/1

media8/1

mediak/1

Sistemas de colas: Etiquetas para

distintos modelos

Notación de Kendall: A/B/cLa notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera en el

cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que está libre

uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el primer cliente

en la cola entre al servicio, y así sucesivamente.

A: Distribución de tiempos entre llegadas

B: Distribución de tiempos de servicio

M: distribución exponencial

D: distribución degenerada

Ek: distribución Erlang

c: Número de servidores

Estado del sistema de colas

En principio el sistema está en un estado inicial

Se supone que el sistema de colas llega a una

condición de estado estable (nivel normal de

operación)

Existen otras condiciones anormales (horas

pico, etc.)

Lo que interesa es el estado estable

Desempeño del sistema de colas

Para evaluar el desempeño se busca

conocer dos factores principales:

1. El número de clientes que esperan en la

cola

2. El tiempo que los clientes esperan en la

cola y en el sistema

Medidas del desempeño del sistema

de colas

1. Número esperado de clientes en la cola Lq

2. Número esperado de clientes en el sistema

Ls

3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq

4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

5. Número promedio de clientes que atenderá

el servidor W

Medidas del desempeño del sistema de colas:

fórmulas generales

LW

LL

WL

WL

WW

qs

qq

ss

qs

1


de colas: ejemplo

Suponga una estación de gasolina a la cual

llegan en promedio 45 clientes por hora

Se tiene capacidad para atender en

promedio a 60 clientes por hora

Se sabe que los clientes esperan en

promedio 3 minutos en la cola


de colas: ejemplo

La tasa media de llegadas es 45 clientes por

hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto

La tasa media de servicio es 60 clientes por

hora o 60/60 = 1 cliente por minuto


de colas: ejemplo

clientesWL

clientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.0

3475.0

min41

13

1

min3


de colas: ejercicio

Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora

Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora

Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola

Calcule las medidas de desempeño del sistema

Probabilidades como medidas del

desempeño

Beneficios:

Permiten evaluar escenarios

Permite establecer metas

Notación:

Pn : probabilidad de tener n clientes en el sistema

P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas

Factor de utilización del sistema

Dada la tasa media de llegadas y la tasa media

de servicio , se define el factor de utilización

del sistema .

Generalmente se requiere que < 1

Su fórmula, con un servidor y con s servidores,

respectivamente, es:

s

Factor de utilización del sistema -

ejemplo

Con base en los datos del ejemplo anterior,

= 0.75, = 1

El factor de utilización del sistema si se

mantuviera un servidor es

= / = 0.75/1 = 0.75 = 75%

Con dos servidores (s = 2):

= /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

Modelos de una cola y un servidor M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de

servicio exponenciales

M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución general de tiempos de

servicio

M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de

servicio

M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas

exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de

servicio

Modelo M/M/1

1,0

)()(

)()1(

)(

1

)(

)1()1(

1

2

t

etWPetWP

nLPP

LWW

LL

t

q

t

s

n

s

n

n

q

qs

qs

Modelo M/M/1: ejemplo 1 Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media

de llegadas es de 9 autos por hora

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

Modelo M/M/1: ejemplo 1

17.0)60/30(

22.0)60/30(

32.0)3(25.0)1(

min1525.0)(

min2033.01

25.2)(

3

75.012

9,12,9

)1(

)1(

130

0

2

t

q

t

s

s

q

s

qs

eWP

eWP

LPP

hrsW

hrsW

clientesLclientesL

Modelo M/M/1 ejemplo 2 Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con

un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:

1. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

2. Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando)

3. Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio

4. Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Solución:

De acuerdo con las premisas estamos trabajando con sistema

de colas M/M/1 para lo cual λ=10 automóviles por hora y

μ=15 automóviles por hora. Por lo tanto

1. , el cajero estará ocioso un

tercio del tiempo.

2. Determinar clientes.

3. Estimamos W, pero necesitamos obtener L.

3

2

15

10

3

1

3

211 tantolo 0 por

3

4

3

21

3

2

1

2

2

qL

clientes 2

3

21

3

2

1

L

horas 5

1

10

2

L

W

Solución:

4. Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio

de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en (1)

el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada

hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10

clientes.

Modelo M/M/1: Ejemplo 3 Suponga que todos los dueños de automóvil acuden a la gasolinera cuando sus

tanques están a la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se requiere unpromedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga que los tiemposentre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.

1. Calcule L y W para los tiempos actuales.

2. Suponga que hay un déficit de gasolina y que hay compras de pánico. Paramodelar este fenómeno, suponga que todos los dueños de automóvilescompran ahora gasolina cuando sus tanques tienen ¾ de combustible. Comocada dueño pone ahora menos gasolina en el tanque cada vez que acude a lagasolinera, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3minutos y un tercio. Qué tanto afectan a L yW las compras de pánico?

Solución: Tenemos un sistema M/M/1 con λ= 7.5 automóviles por

hora y μ=15 (60/4) automóviles por hora. Por lo tanto

tiempo que la bomba pasa ocupada.

(cantidad de clientes promedio presente en

el sistema de colas

(Tiempo previsto que un cliente pasa en el

sistema de cola). Por tanto bajo estas circunstancia todo está

bajo control.

50.015

5.7

150.01

50.0

1

L

horas 13.05.7

1

LW

Solución.

λ=2(7.5)= 15 automóviles por hora(esto se infiere por que

cada dueño llenará su tanque dos veces) . Ahora

Automóviles por hora. Entonces.

automóviles

18333.3

60

6

5

18

15

56/51

6/5

1

L

min 20 3

1

15

5 hora

LW

Modelo M/M/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

Modelo M/G/1

1

1

1

)1(2

0

222

w

q

qqs

qqs

PP

LWWW

LLL

Modelo M/G/1: ejemplo

Un lava carro puede atender un auto cada 5

min. y la tasa media de llegadas es de 9

autos/hora, = 2 min.

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo

con el modelo M/G/1

Además la probabilidad de tener 0 clientes en el

sistema y la probabilidad de que un cliente tenga

que esperar por el servicio.

Modelo M/G/1: ejemplo

75.025.01

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1

0

222

w

q

q

qs

q

qs

PP

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesLL

Modelo M/G/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son

atendidos entre sus 5 cajas.

Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.

Suponga = 5 min Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la

probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/D/1

1

1

)1(2

2

q

qqs

qss

LWWW

LWL

Modelo M/D/1: ejemplo

Un lava carro puede atender un auto cada 5 min.

La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.


con el modelo M/D/1

λ= 9 carros/hora.

μ= 12 carros/hora.

Modelo M/D/1: ejemplo

min5.7125.09

125.1

min5.12208.012

1125.0

1

125.1)75.01(2

75.0

)1(2

87.1)208.0(9

22

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesWL

q

q

qs

q

ss

Modelo M/D/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80

clientes por hora que son atendidos entre sus 5

cajas.

Cada caja puede atender en promedio a un

cliente cada 3 minutos.


con el modelo M/D/1

Modelo M/Ek/1

1

1

)1(2

)1(2

q

qqs

qss

LWWW

k

kLWL

Modelo M/Ek/1: ejemplo

Un lavacar puede atender un auto cada 5

min.

La tasa media de llegadas es de 9

autos/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.)

Obtenga las medidas de desempeño de

acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1: ejemplo

min25.111875.0

min25.162708.01

6875.1)1(2

)1(

437.2

2

hrsL

W

hrsWW

clientesk

kL

clientesWL

q

q

qs

q

ss

Modelo M/Ek/1: ejercicio

A un supermercado llegan en promedio 80

clientes por hora que son atendidos entre sus 5

cajas.

Cada caja puede atender en promedio a un

cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4


con el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el

cuadro ejemplo lavacarro

Modelo Ls Ws Lq Wq

M/M/1

M/G/1

M/D/1

M/Ek/1

Modelos de varios servidores

M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de

servicio exponenciales

M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y

una distribución degenerada de tiempos de servicio

M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales

y una distribución Erlang de tiempos de servicio

M/M/s, una línea de espera

00

0

02

1

0

0

!

1,

!

,!

1

)()!1(

!!

1

Ps

s

sPknsiP

ssP

knsiPn

PWW

LWLLP

ssL

ns

s

s

P

s

wsn

n

n

n

nqs

q

qqs

s

q

s

n

ns

M/M/s, una línea de espera

)46)(3(

3

4

2

2

4

2

3

q

q

L

sSi

L

sSi

Análisis económico de líneas de

espera

Costos

Tasa de servicioTasa óptima

de servicio

Costo de espera

Costo del servicio

Costo total

Práctica 1, con WQSB Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos

por cliente siguiendo una distribución exponencial. Los clientesllegan a este almacén siguiendo una distribución Poisson a razónde 30 por hora. Con esta información calcular: A)Laprobabilidad de que el sistema esté lleno, B) La intensidad detrafico.

Datos:

Numero de servidores = 2

=30 [cl/hr]

=1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]

El problema será del tipo M/M/2/FIFO//

Solución:

Procedimiento

Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas

(QA).

Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del

que se conocen todos los datos. Este se llamará Cajeras,

eligiendo como unidad de tiempo a horas:

Solución…

En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como

se muestra:

Solución… En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se

muestra:

Los valores de M, representan que es un valor infinito

Solución…

Al presionar el icono se verá la ventana de los

resultados:

Solución…

Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de Fórmula

Promedio de cliente llegados por Hora λ= 30

Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40

Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30

Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30

Tasa de ocupación del sistema 37.50%

Número promedio de clientes en el sistema (L) = 0.8727

Número promedio de clientes en la cola(Lq) = 0.1227

Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) = 0.6

Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) = 0.0291 Horas

Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) = 0.0041 Horas

Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) = 0.0200 Horas

Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) = 45.45%

Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema está ocupado(Pb) = 20.45%

Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora = 0

Costo total del servidor ocupado por Hora = $0

Costo total del servidor ocioso por Hora = $0

Costo total clientes esperando por hora $0

Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0

Cosot total de clientes being balked per Hora = $0

Total queue space cost per Hora = $0

Costo total del sistema por Hora = $0

En

Esp

añ

ol

Solución…

Adicionalmente podemos realizar los siguientes análisis:

Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0

hasta 200 clientes en la cola:

Solución…

También podemos realizar una simulación del sistema:

Si presionamos veremos la siguiente ventana:

En el que usaremos: La semilla de aleatoriedad por defecto

Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS)

Un tiempo de simulación de cola de 24 horas (1 día).

El momento que iniciará la recolección de datos

será a las cero horas.

La capacidad de la cola es infinita (M).

El máximo de número de recolecciones de datos será infinito (M).

Solución…

• Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y veremos

los siguientes resultados de la actuación de la cola durante 24 horas:

Solución…

• Las probabilidades estimadas para n clientes:

Solución…

• Otro de los análisis del que podemos disponer es el de Análisis de

sensibilidad.

•Si presionamos podremos observar la siguiente

ventana:

Solución…

• Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como

parámetro de análisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta

cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el

modelo de aproximación G/G/s, podremos ver de que manera

reacciona el sistema:

•Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va en

incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a los

70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización posible),

pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema

se vuelve inestable, es decir el número de servidores es insuficiente.

Solución…

También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de un

parámetro determinado en función del parámetro analizado:

Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph

•Se abrirá la siguiente ventana:

En la que seleccionaremos como

variable independiente para el

gráfico a L (Número promedio de

clientes en el sistema), en función

de nuestro parámetro analizado ():

Solución…

En el que se puede ver un crecimiento exponencial.

Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los

parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.

Solución…

• Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad:

Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán los

siguientes costos

Costo de servidor ocupado por hora = 5 $

Costo de servidor ocioso por hora = 1 $

Costo por cliente en espera = 0.5 $

Costo por cliente servido por hora = 3 $

Costo por cliente no atendido = 1 $

Costo unitario por capacidad de cola = 3 $

Solución…

Si presionamos podremos observar la

siguiente ventana:

En el que variaremos el número de servidores de 2 a 8, con un paso

de 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando la

formula G/G/s de aproximación.

Solución…

c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:

Práctica 2, con WQSB Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que

llega a este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descarganllegan en forma aleatoria siguiendo una distribución Poisson a razón de dos camiones porhora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo unadistribución exponencial. Si el número de trabajadores del equipo es incrementado, larazón de servicio se incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$ porhora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando serservido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamaño del equipo queminimiza el costo total.

Datos:


=2 [cl/hr]

1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]…………


CS = 5 [$/hr]

CE = 20 [$/hr]

Problema 3 Cierta computadora tarda exactamente 1.5 horas en atender un

servicio requerido. Si los trabajos llegan según una Poisson a razón de un trabajo cada 120 minutos, se desea saber: ¿Qué tanto debe esperar en promedio un trabajo para recibir atención? ¿Será necesario la compra de otra computadora? Si la distribución del tiempo de servicio fuera Erlang con una media de 1.5 y

con un parámetro k = 5, ¿Cuánto debería esperar un trabajo para ser atendido? ¿Cuál sería la probabilidad de ser atendido?

Datos:


=1/120 [tr/min] = 0.5 [tr/hr]

= 1/1.5 [tr/hr] = 0.667 [tr/hr]


Solución…

Procedimiento

Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de

Colas (QA).

Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del

que se conocen todos los datos. Este se llamará

Computadora, eligiendo como unidad de tiempo a horas:

Solución…

En la hoja de cálculo se introducirán los datos conocidos

como se muestra:

Solución…

Al presionar el icono se verá la ventana de los

resultados:

5 teoria de colas

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