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Teoría de la Estimación Estadística

Francisco Marzal Baró Curso 2016/17

Fundamentos Estadísticos

Versión 1

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� Conceptos básicos.� Distribución muestral.� Teorema central del límite.

� Teoría de la Estimación:� Estimación puntual� Error cuadrático medio� Criterios de Evaluación de estimadores

� Estimación por intervalos� Intervalo de probabilidad.� Intervalo de confianza.� ¿Desviación estándar, error estándar, intervalo de normalidad o de

confianza?� Cálculo del tamaño de muestra.

Índice

Tª de la Estimación

NOTA: Algunos gráficos y tablas están sacados del libro: Métodos Estadísticos. J.M. Doménech Massons.

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� Población: Todos los individuos.

� Parámetro : Cualquier índice medido en una población. Su valor es único. Ej: �, ��, �.

� Estimador : Es la regla o procedimiento expresado por medio de unafórmula que se utiliza en una muestra para deducir la estimación.

Ejemplo → �̂ ∑ �

��

� Estimación puntual : Valor específico que toma el estimador parauna muestra determinada.

Ejemplo → �̅ 25; �� 4.8

Conceptos básicos.


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� Distribución muestral : Es la distribución de frecuenciasde los valores que puede tomar el estadístico a lo largo detodas las posibles muestras de un mismo tamaño n,extraídas aleatoriamente de la población.

� El azar hace fluctuar las medias alrededor de la media poblacional.

� La media de la distribución muestral coincide con la media de lapoblación.

� Al aumentar el tamaño n de las muestras se obtienen medias másparecidas a μ y disminuye la variabilidad de la distribución muestral. (Laprecisión aumenta con el tamaño de la muestra).

� Si las muestras son grandes, las gráficas son simétricas respecto al ejevertical.

� Error estándar (EE ó SE): Se denomina así a la desviaciónestándar de la distribución muestral. El responsable es el erroraleatorio, debido al azar, es imposible de controlar.� Mide la desviación absoluta del valor verdadero desconocido.

Distribución muestral.


n=40

n=10

n=20

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� “Aunque las muestras procedan de unadistribución NO normal, la distribución de lavariable media, cuando es el promedio de unnúmero suficiente grande de observacionesindependientes xi, se aproxima de formasatisfactoria a una ley normal”.

� Condiciones:� Var. Cuantitativas: A efectos prácticos, muchos

autores consideran el promedio muestralcomo normalmente distribuido a partir den=30, (solo es válido para asimetrías moderadas).

� Var. Categóricas: nπ ≥ 5 y n(1-π) ≥ 5.

Teorema central del límite.


siendo: n: nº de sujetos.π: proporción de una variable.

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� La distribución muestral va a depender de la distribución de probabilidad de la población.

� Variables categóricas:� Binarias : la distribución muestral sigue la ley Binomial.

� Variables cuantitativas:� Puede seguir innumerables distribuciones.� Si la población sigue una ley Normal, la distribución muestral también sigue la

ley Normal.


Caso de muestras pequeñas

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� Consiste en hallar con determinada precisión el valor de un parámetro a partirde la información contenida en una muestra representativa de la población.

� Los valores que puede tomar el parámetro desconocido son infinitos.

� El error es inherente al proceso de medida.� Por el azar.� Defectos del instrumento de medida.� Imposible tener datos exactos con una muestra.

¿Cómo hacer la estimación?

� Estimación puntual : Estimación del parámetro mediante un único valor. Ej: Mediamuestral. Es improbable que el valor calculado coincida con el verdadero valor delparámetro.

� Estimación por intervalos : Es la estimación del parámetro por dos números entre loscuales se puede considerar que se encuentra el valor verdadero. Se conoce comoprecisión (e) , y refleja el error de muestreo.


Teoría de la Estimación Estadística

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� Una estimación puntual de un parámetro poblacional desconocido (µ ,σ ,…), es unnúmero que se utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetropoblacional.

� Si la muestra es representativa de la población, podemos esperar que losestadísticos calculados en las muestras tengan valores semejantes a los parámetrospoblacionales. La estimación consiste en asignar los valores de los estadísticosmuestrales a los parámetros poblacionales.

� Los estadísticos con que obtenemos las estimaciones se denominan estimadores.

� Ejemplo:� Se dispone de 100 notas seleccionadas aleatoriamente. Se desea estimar la Media de las

notas del curso. La Media de la muestra (el estimador), es igual a 5.6 y atribuimos este valor(la estimación) a la Media del colegio.


Estimación puntual

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� Sirve para evaluar la variación existente entre un estimador y elparámetro que se quiere calcular.

� Uso: Se utiliza para comparar estimadores y para modelado estadístico.

� Interpretación: �� 0, tiene precisión perfecta → �� !"#$% &��'"#$

Sí (� ) (� → (��*%�+�% ,-�"(�.

� Fórmula:

./0 ( � ( 1 2 � 3 4 5 . 4 1 6 7 8 ( 5 ��'$�9(:


Error cuadrático medio (ECM – MSE)

2: Parámetro desconocido.(: Estimador de 2.E: Esperanza de T. V: Variancia de T.

El tamaño del error vendrá determinado: • Por la variancia del estimador, es decir, por su precisión.• Por la diferencia entre el valor medio que tome el estimador y el parámetro

desconocido. Si la media del estimador coincide con θ habremos obtenido un buen estimador.

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� NO todos los estimadores son apropiados. Los estimadores deben satisfacer ciertosrequisitos, y por esta razón, interesa conocer algunos criterios a fin de utilizar los quesean adecuados según las circunstancias de la estimación.

� Criterios de evaluación de los estimadores:� Sin sesgo: Cuando el valor de la media de la distribución muestral coincide con el verdadero

valor del parámetro.Ej: La Media es un estimador insesgado ; La Variancia es un estimador sesgado.

� Eficiente: Entre varios estimadores sin sesgo de un mismo parámetro, el más eficiente es elque tiene el error estándar más pequeño (mínima variancia).

� Consistente: A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el valor del estimador tiendehacia el verdadero valor del parámetro.

Ej: La �̅?-"�� son estimadores consistentes. � Suficiente: Ningún otro estimador puede suministrar más información sobre el parámetro.

� Ej: Estimador (proporción observada): * @

@AB→ es un estimador sin sesgo, consistente, eficiente

y suficiente del parámetro π:


Criterios de evaluación de los estimadores: (Fischer, 1970)

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� (IP 1-α), permite predecir, con un riego α de equivocación, elintervalo en el cual estará contenida la media (o proporción)observada en una muestra de tamaño n extraída al azar de unapoblación normal.

� Riesgo de error α (valor arbitrario). Consenso: 5% (α=0.05)

� CD/�: Constante correspondiente a la ley Normal estandarizada.

� Desvío: Representado por épsilon (ε). Indica la magnitud del error de muestreo.

F CD/� ∙ ��

� Intervalo: Es simétrico. Cuanto más estrecho más informativo, peromayor probabilidad de error.

HI1 1 K: � L F

� Unidades: las mismas que la variable X.

� Condiciones de aplicación: � Población distribuida según la ley normal, o� Condición de Muestra grande.


Intervalo de probabilidad (IP 1-α)(intervalo de predicción)

α/21-α

0.2550%

0.1080%

0.0590%

0.02595%

0.00599%

0.000599.9%

Zα/2 0.674 1.282 1.645 1.96 2.576 3.291

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� La distribución de la riqueza de la población activa en Angola sigue una ley Normal conuna media de 50 €/mes, y una desviación estándar (σ) de 4.5 €/mes. Si extraemos al azaruna muestra de 100 personas trabajadoras, ¿cuál es el intervalo que contendría la mediacon una probabilidad del 95%?

Datos: �̅ 50€/!�� ⋯σ 4.5€/!�� ⋯n 100�%","Q"#$%��

1-α = 0.95 α= 0.05 α/2= 0.025 CD/� 1.96

��

&

4.5

100 0.45

Desvío: F CD/� ∙ �� 1.96 ∙ 0.45 0.882IP 95% de �̅: 50 L 0.882 → 49.12"50.88T/!��

� Interpretación : El IP 49.12"50.88T/!��tiene una probabilidad del 95% de contener lasmedias observadas en muestras de tamaño n=100 extraídas al azar de una poblaciónnormal con media � 50T/!�� y variancia �� 20.259T/!��:�.


Ejercicio: Intervalo de probabilidad

13Tª de la Estimación

Intervalo de confianza (IC 1-α)

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Para poblaciones infinitas9U ≫ W:

Para poblaciones finitas (muestreo sin reposición)

De una media 9�:

�̅$ L �& 1 1; K/2

�$

√&Condición:- Distrib. Normal en la población.- Muestra grande & Y 30 .

�̅$ L �& 1 1; K/2�$

2

&∙[ 1 &

[ 1 1

De una proporción

9�:*$ L \K/2

*$91 1 *$:

&Condición:

*$ ) 0.5&*� Y 5?& 1 1 *� Y 5*$ ] 0.5&*^ Y 5?&91 1 *^: Y 5

*$ L \K/2

*$91 1 *$:

&∙[ 1 &

[ 1 1

De una mediana9��$�#:

(para distribuciones asimétricas)

1º Ordenar los valores.2º Calcular el nº de orden de los límites superior e inferior. Se realiza aproximando el resultado conseguido con las siguientes fórmulas:

%_` &

21 \K/2 ∙

&

2��a 1 5

&

25 \K/2 ∙

&

2


Intervalo de confianza H�1 1 K.


Ejemplo. Intervalo de Confianza


Ejercicio Intervalo de Confianza.

α/21-α

0.2550%

0.1080%

0.0590%

0.02595%

0.00599%

0.000599.9%

Zα/2 0.674 1.282 1.645 1.96 2.576 3.291

� La Dirección de la empresa anterior quiere que calculéis la estimación del IC al 95% y al 99%. Datos: n 344;*b 0.759

� IC 95%:

� IC 99%:

� Comparar los tres intervalos calculados:IC 90% 0.759 ± 0.038 0.721 a 0.797

IC 95%

IC 99%

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� α es un valor arbitrario.

� Una vez establecido el riesgo α que asumimos, no conviene cambiarlodurante el estudio. Si se cambia las conclusiones no serán homogéneas.

� Si el riesgo α es excesivamente pequeño, incluyendo casos extremos pocoprobables, provoca un aumento de la amplitud del intervalo, perdiendopotencia del estudio.

� Aumentando el número de la muestra, aumentala precisión del IC.

� La amplitud del IC también depende del nivel de confianza asumido. Sidisminuimos el nivel de confianza, disminuye el intervalo (es una falsa imagende mayor precisión).


Puntualizaciones

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Que representa ExplicaciónMedia �̅ y Desviación

estándar (�̅)

10.2"ñ$�9e� 0.5"ñ$�:

Cuando se quiere realizar unadescripción de una variable, indicadispersión de los datos .

Debe evitarse: �̅ L e� (Representación confusa)

Intervalo de normalidad

�̅ L CD/� ∙ e�

8.5"ñ$� → 7.8"9.2"ñ$�

Cuando se desea representar lavariabilidad de las observaciones .

Es la zona donde se encuentran losvalores de edad del 95% central de lossujetos.Si no siguiese la ley normal, el intervalovendría dado por los percentiles 2.5 y 97.5

Media y Error Estándar

34años9�� 1.4:

El EE es la desviación estándar dela distribución muestral.

Es difícil de entender, carece deinterpretación práctica. Evitar dar el datoen una publicación.

Intervalo de confianza

�̅$ L �& 1 1; K/2 ∙�i

&

6.5"ñ$�9H�95%: 5.1"7.9"ñ$�:

Si se desea representar la precisióncon que la media kl estima la mediaµµµµ de la población origen de lamuestra.

Interpretación: El procedimiento de construcción asegura que el 95% de losIC así construidos contienen el valor del parámetro�̅.No puede ser interpretado como la probabilidad de que un intervalo concreto contenga �̅.


¿Desviación estándar, error estándar, intervalo de normalidad o de confianza?

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� Son procedimientos para elegir una parte de la población.� Para poder realizar la inferencia estadística, la muestra elegida debe ser

representativa de la población.

� Requisitos:� Basadas en el azar.� Calcular la magnitud del error estándar producido por el muestreo.� Obtención de muestras representativas de la población.

� La precisión aumenta, incrementando el números de sujetos en lamuestra.


Técnicas de muestreo

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� Cuando se diseña un estudio, se trata de calcular el tamaño n que tiene quetener la muestra para estimar el estadístico buscado con la precisión ε deseada.

� La variancia ��y la proporción �de la población suelen ser desconocidas, sesustituyen por información obtenida de estudios previos o del estudio piloto.

� Error absoluto o precisión 9F:. Se debe considerar:� El rango de variación de la variable. ε debe ser pequeño respecto al intervalo que contiene la

mayor parte de los datos ( desviación estándar,…).

� El propósito del estudio.


Cálculo del tamaño de muestra(para un diseño de encuesta basado en una muestra aleatoria simple)

Estimación para poblaciones infinitas

Media& \�

D/� ∙��

F�

Proporción& \�

D/� ∙�91 1 �:

F�

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� Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar la altura media de lapoblación activa española con una confianza del 95%. Estudios anteriores lasitúan en 176 cm con una desviación estándar de 20 cm.

� Error absoluto de ± 2 cm:

& \D/�� ∙

��

F� 1.96� ∙20�

2� 384

� Error absoluto de ± 3 cm:

& 1.96� ∙20�

3� 171


Ejemplo tamaño de muestra

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� Calcular con un error absoluto del 3% y una confianza del 99% eltamaño de muestra necesario para estimar la prevalencia de utilizaciónde internet en los hogares españoles. Estudios previos indican el valorde prevalencia de internet en España en un 75%.

� ¿y si la confianza fuese del 95%?


Ejercicio

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� El muestreo debe ser exhaustivo (sin reemplazamiento).

� Corrección a partir del valor de n calculado para poblaciones infinitas:

&∗ &

1 5&[


Tamaño de muestra para poblaciones finitas

Leyenda:&: &º#��tQ��$�#�-"!t��%"*"%"*$,-"u $&�� &+ & �"�.&∗: &º#��tQ��$�#�-"!t��%"*"%"*$,-"u $&��+ & �"�.N:Sujetosdelapoblaciónfinita.

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� Calcular el tamaño de muestra del ejercicio anterior, si realizamos el estudio en un municipio de 2000 habitantes.

� Con una confianza del 99%: 9& 1382:

� Con una confianza del 95%: 9& 800:


Ejercicio

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� El muestreo aleatorio simple no es adecuado si queremos estu diar objetos concaracterísticas poco frecuentes . En estos casos debemos acudir a otrosprocedimientos:

� Muestreo estratificado:� Segmentar a la población en grandes grupos homogéneos, y extraer una submuestra de cada

estrato con un muestreo aleatorio simple.� Ej: segmentar por edad, por sexo, religión, nivel de estudios.

� Muestreo por conglomerados:� Conglomerados: Existe una organización de pequeños grupos naturales. Ej: clases, fábricas,

centros de salud, ciudades,…� Consiste en elegir al azar conglomerados y se encuesta a todos los sujetos del conglomerado.� Es necesario que en cada conglomerado exista heterogeneidad en la variable a estudiar.

� Elección:


Estimación de porcentajes pequeños.

VariabilidadIntra grupos

VariabilidadInter grupos

M. Estratificado pequeña Grande

M. conglomerados grande pequeña


MUCHAS GRACIAS POR VUESTRA

ATENCIÓN.

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