5. sistemas discontinuos y no lineales filey amplificación en sistemas de control presenta frente a...

SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 5 - pág. 5-1

5. SISTEMAS DISCONTINUOS Y NO LINEALES

5.1. Empleo de elementos conmutantes en sistemas de control

5.1.1. Introducción

El empleo de conmutadores (relés, transistores, tiristores, etc.) como elementos de accionamiento

y amplificación en sistemas de control presenta frente a sus contrapartes lineales, las ventajas de

un menor costo, un mayor rendimiento y una menor complejidad en su implementación.

La Fig. 5.1. muestra el principio de funcionamiento de un relé electromecánico, indicándose en

la gráfica la tensión sobre la carga como función de la tensión de la bobina de control. Se

observa que por medio de la apertura o cierre de su contacto el relé gobierna una potencia 2

0 0 / LP V R .

Fig. 5.1. Relé electromecánico.

Las tensiones de cierre (v11) y apertura (v12) del relé son diferentes entre sí, debido a la

dependencia de la fuerza de atracción magnética con respecto de la posición del contacto, como

asimismo por la existencia de fricción y juego entre los elementos mecánicos.

La potencia de accionamiento p1 = i1v11 define junto con P0 la amplificación de potencia, que

normalmente se encuentra en las cercanías de 103, del relé concebido como amplificador

electromecánico.

Se observa que el concepto de ganancia o amplificación diferencial 2

1

dvK

dv comúnmente

aplicado a elementos lineales, carece en este caso de significado. En consecuencia no serán

aplicables los métodos de la teoría de control lineal. Para sistemas no lineales no se posee una

teoría cerrada de aplicación general –como ocurre para los sistemas lineales–, sino que cada caso

deberá ser tratado (en mayor o menor medida) en forma aislada e individual. Sin embargo, son

tantas las ventajas derivadas del empleo de elementos no lineales en sistemas de control, que

resultan aceptables las mayores dificultades analíticas requeridas para su tratamiento.

La Fig. 5.2 muestra las características de corriente de colector de un transistor y permite

comparar su rendimiento operando como elemento de conmutación con el rendimiento obtenible

del mismo operando como amplificador lineal (50% como máximo en régimen senoidal).

La transición desde la condición de corte a la de saturación ha de ser lo suficientemente rápida a

fin de evitar el sobrecalentamiento del transistor.

v12 v11


Fig. 5.2. Transistor en conmutación.

La sustitución del transistor por tiristores o IGBTs permite llevar la potencia conmutada al orden

de los kilovatios y aún de los megavatios, de modo que también grandes motores, hornos de

inducción, etc., pueden ser operados mediante conmutaciones periódicas de la fuente primaria de

energía.

El principio de la conmutación puede ser realizado empleando componentes mecánicos e

hidráulicos (embragues, válvulas, etc.) con las consiguientes ventajas frente a sus contrapartes

lineales. Una ventaja adicional de los elementos de conmutación es que son fácilmente

combinables con sensores. Tal es el caso por ejemplo, de los elementos bimetálicos empleados

en controladores térmicos, o la inclusión de contactos conmutadores en instrumentos de

medición.

5.1.2. Linealización por accionamiento periódico – Ejemplos de aplicación.

Si se desea linealizar un actuador discontinuo, puede resultar interesante la idea de accionarlo en

forma periódica de manera tal de posibilitar una variación continua del valor medio de su señal

de salida:

2 2 2

1( )

t T

tv V v d

T

(5.1)

La Fig. 5.3 muestra una posible realización, en la que el contacto K es conmutado a la frecuencia

f = 1/T entre las tensiones V01 y V02:

Fig. 5.3. Conmutación modulada por ancho de pulso.


Haciendo T = t1 + t2 resulta para el valor medio de la tensión de salida suponiendo un

conmutador ideal (es decir con tiempo de conmutación nulo):

1 2 12 2 01 02 02 01 02

t t tv V V V V V V

T T T (5.2)

obteniéndose así una relación lineal de 2v con el ciclo de trabajo t1/T.

Fig. 5.4. Valor medio vs. ciclo de trabajo.

La conversión de una señal continua de comando y1(t) en el ciclo de trabajo variable t1/T, es

realizada mediante un generador de pulsos, también llamado modulador de ancho de pulso (en

inglés las siglas son PWM pulse width modulator), del que la Fig. 5.5 muestra el principio

cualitativo de funcionamiento como asimismo una posible realización práctica.

Fig. 5.5. Modulador de ancho de pulso.

La señal de salida periódica del actuador (v2:=y2) contiene además del valor medio controlado 2v

fuertes componentes armónicas, dependientes del ciclo de trabajo (t1/T) y con frecuencias

correspondientes a 1/T y sus múltiplos. Al objeto de que estas armónicas originadas por el

actuador no aparezcan amplificadas en la variable de salida del sistema controlado, la planta ha

de poseer una respuesta en frecuencia de tipo pasa bajos; de esta manera solamente la

componente media de la señal de actuación tendrá efectos sobre la variable controlada.

Para precisar el precedente concepto vamos a considerar una planta proporcional (tipo 0)

accionada por un conmutador PWM, como se indica en la Figura 5.6.


Fig. 5.6. Planta excitada por un modulador de ancho de pulso (PWM).

Si la señal u(t) se desarrolla en serie de Fourier, se obtiene la expresión:

10 0 0

2 1( ) sin cos 2

n

c c tu t A n n

T n T T

(5.3)

Teniendo en cuenta que 0 02 T es la frecuencia angular de la señal de conmutación,

observamos en (5.3) que u(t) posee en general armónicas pares e impares, por lo que deberá ser

convenientemente elegida con respecto de la respuesta en frecuencia de la planta (Fig. 5.7).

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Ma

gn

itu

de

(d

B)

100

101

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Ph

ase

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 5.7. Respuesta en frecuencia de la planta.

Para la planta ejemplificada en la figura precedente, la frecuencia de conmutación deberá

elegirse a la derecha de la línea de trazos, para asegurar una buena atenuación de la componente

fundamental y de sus armónicas.

El amortiguamiento de las componentes armónicas será suficiente si se cumple la siguiente

relación empírica entre la constante de tiempo dominante Td de la planta y el período de

conmutación T:

5dT

T (5.4)

dependiendo en cada caso el valor exacto, de la naturaleza de la planta controlada. Para

actuadores eléctricos (semiconductores) que operan a frecuencias de conmutación de 50 Hz o

superiores, el requerimiento Td / T 5 puede satisfacerse sin dificultades; distinto es el caso para

los conmutadores electromecánicos que, por razones de desgaste, admiten frecuencias de

operación mucho menores.


Bajo la premisa de una frecuencia de conmutación suficientemente elevada, el modulador y

actuador conmutado pueden considerarse reducidos a un elemento proporcional y cuasi-

continuo, tal como se indica en la Fig. 5.6.

Fig. 5.8. Linealización.

La función de transferencia 31

1

( )( )

( )P

Y sK F s

Y s ,

es válida solamente en el dominio de baja frecuencia, debiendo siempre ser tenidas en cuenta las

componentes alternas presentes en la señal y2(t).

En conmutadores de alta potencia (rectificadores controlados), las tensiones V01 y V02 son

tensiones alternas, resultando la tensión de salida v2(t) compuesta por tramos de tensión de línea

desplazados entre sí. La figura siguiente muestra el caso más simple, dado por un puente de

rectificadores alimentando el circuito de inducido de un motor de corriente continua. Aquí vale

v01 = –v02 = vl (tensión de línea), siendo conmutados una vez por semiperíodo en forma

simultánea dos rectificadores del puente diagonalmente opuestos.

El valor medio de la tensión de salida depende del ángulo de encendido , a través de la

expresión

2

2ˆ cos( )lv v

. (5.5)

Ya que el controlador de encendido de los tiristores opera en sincronismo con la red, suele ser

denominado modulador de fase de pulsos. Los rectificadores normalmente empleados en la

Y1(s) Y2(s) Y3(s)

K FP(s)

Fig. 5.9. Motor de CC alimentado por puente de tiristores.


industria son circuitos polifásicos: sin embargo este hecho no modifica sustancialmente su

forma de operación.

La modulación de ancho de pulsos es una solución comúnmente utilizada en electrónica de

potencia, en particular para el control de motores eléctricos. En lo que sigue se presentarán

algunos ejemplos de aplicación.

Fig. 5.10. Llave H para control de un motor de CC. Tomado de SILICON Labs.

En la Figura 5.10 se muestra una aplicación del microcontrolador C8051F300 (de SILICON

Labs) que controla una llave H donde los MOSFET Q1 y Q2 (canal N) están modulados PWM

(comando de velocidad), mientras que Q3 y Q4 (canal P) están conmutados on-off y definen el

sentido de giro.

Fig. 5.11. Motor brushless con estator trifásico controlado mediante PIC de Microchip.

Tomado de nota aplicativa AN885.


Los avance tecnológicos registrados en la producción de materiales magnéticos con alto

producto de energía y elevada temperatura de Curie, asegura la disponibilidad de imanes

permanentes de Neodimio-Hierro-Boro y Samario-Cobalto también llamados “imanes de tierras

raras”, que posibilitan la realización de motores brushless (sin escobillas), con rotor de imán

permanente y estator conmutado electrónicamente.

La Figura 5.11 muestra un motor brushless comandado por un microcontrolador PIC18FXX31

que produce la modulación PWM para control de velocidad. Los sensores Hall son utilizados

para generar el sincronismo de conmutación y también como sensor elemental de velocidad,

usando un timer para contar pulsos entre dos transiciones sucesivas de los sensores. El sentido de

rotación es gobernado por la secuencia de fases.

5.1.3. Lazos de control con elementos conmutantes

Dependiendo de la disposición de los controladores conmutantes se pueden diferenciar cuatro

tipologías básicas.

1) Conmutador con realimentación simple. El controlador conmutante acciona directamente

sobre la planta G(s) sin ninguna compensación dinámica. En la Figura 5.12 se muestra como

ejemplo un conmutador triestable con histéresis utilizado como controlador.

Fig. 5.12. Conmutador con realimentación simple.

La frecuencia de conmutación del controlador depende de la dinámica de la planta. La amplitud

de oscilación de la variable controlada y depende de los límites de conmutación y de la planta.

Utilizable con plantas de primer orden.

2) Controlador lineal y PWM. En este caso el elemento conmutante es un modulador de ancho

de pulso. La frecuencia de conmutación y la modulación PWM pueden ser producidas por un

microcontrolador, en el que se puede además incorporar el algoritmo de control lineal. Eligiendo

adecuadamente la frecuencia de conmutación, el diseño puede llevarse a cabo mediante técnicas

de control continuo.

Fig. 5.13. Controlador lineal y modulador de ancho de pulso.


3) Conmutador realimentado. En esta variante el controlador conmutante es realimentado a

través de una función de transferencia GR(s) con carácter pasabajos o del tipo DTn (derivador

con mútiples constantes de tiempo).

Fig. 5.14. Conmutador con realimentación dinámica.

Desde el punto de vista del valor medio de las variables de entrada y de salida, el dispositivo no

lineal se puede representar como un elemento lineal de ganancia muy elevada,

Fig. 5.15. Función de transferencia equivalente.

con lo que se obtiene

( ) 1

( ) 1 ( ) ( )

A

R R

U s A

E s AG s G s

(5.6)

De esta manera GR(s) puede dimensionarse como un controlador continuo, adaptándolo a la

dinámica de la planta G(s). Nótese que en este caso la frecuencia media de conmutación queda

definida por la realimentación del controlador, por lo que no resulta independiente con respecto

del dimensionamiento del mismo.

4) Conmutador con doble realimentación. Esta última variante está dirigida a establecer la

frecuencia de conmutación de manera independiente. Véase Figura 5.16.

El controlador conmutante, al igual en el caso anterior recibe una realimentación negativa a

través de una función de transferencia para producir la dinámica de control adecuada, mientras

que además una realimentación positiva con una respuesta en frecuencia oportunamente elegida

para producir frecuencias de oscilación elevadas con respecto de las constantes de tiempo

dominantes de la planta.


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Ma

gn

itu

de

(d

B)

100

101

-360

-315

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Ph

ase

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 5.16. Conmutador con doble realimentación y diagrama de respuesta en frecuencia de la planta.

Todas las tipologías descriptas en el presente apartado, se encuentran ampliamente difundidas en

controles industriales, no solamente analógicos sino también digitales, ya que las

realimentaciones descriptas se pueden implementar de manera inmediata utilizando

microcontroladores programables.

5.1.4. Ejemplo de Análisis: controlador de dos estados y planta de primer orden con tiempo muerto

En este punto ejemplificaremos el análisis en el dominio del tiempo de una planta elemental

directamente accionada por un controlador biestable asimétrico.

Fig. 5.17. Lazo de control conmutante elemental

A


Ante la aplicación de una excitación en escalón w(t) = w0(t) y asumiendo que vale y(t) = 0 para

t < 0, aparece un error e(t) = w0 – y(t) .

La condición de conmutación para el biestable vale

1 para 0

0 para 0R

e tu t

e t

(5.7)

El andar cualitativo de las señales w(t), y(t), e(t) y de la variable de actuación u(t) = uR(t) en

función del tiempo se muestran en la Figura 5.18.

Fig. 5.18. Evolución temporal de las variables.

El comportamiento periódico que el lazo de control exhibe a partir del instante t = t1 se conoce

como ciclo de trabajo y constituye una oscilación de ciclo límite típica de sistemas de control no

lineales.

El tiempo muerto (tiempo de tránsito o retardo de transporte) Tt de la planta provoca un retardo

en la conmutación del elemento biestable, y cuando Tt 0 la frecuencia tiende a infinito y la

amplitud del ciclo de trabajo disminuye.

A continuación se analizan a continuación los parámetros característicos del ciclo de trabajo (ver

Figura 5.19).

ciclo de trabajo;

el tiempo muerto Tt

afecta la frecuencia

error actuante

salida del controlador


Fig. 5.19. Análisis del ciclo de trabajo.

El ciclo de trabajo periódico puede ser descompuesto en segmentos de funciones temporales

crecientes (I, III, …) y decrecientes (II, IV, …). Para el segmento I calculado a partir de t = t1 = 0

se tiene:

0 0 0( ) 1 t T t T

I S S Sy t w K w e K w K e (5.8)

transcurrido el tiempo muerto Tt se alcanza el punto de inversión de sentido con el valor:

1 0( ) tT T

I t S Sy y T K w K e

(5.9)

Para el segmento II se obtiene, desplazando el origen de tiempos a t*

= t2

** *

0 2 0( ) que para vale: ( ) tT Tt T

II t II ty t w e t T y y T w e (5.10)

Si se toma un nuevo origen de tiempos: t**

= t – Tt se tendrá, para el mismo segmento II

****

1( ) t T

IIy t y e (5.11)

y para t**

= T1 se alcanza el punto de quiebre

1

2 1 1( )T T

IIy y T y e

(5.12)

De (5.9), (5.10) y (5.12) se obtiene con facilidad:

1

0 0t tT T T T T T

S Sw e K w K e e (5.13)


de donde resulta fácil deducir 0

1

0

lnt

t

T T

S S

T T

K w K eT T

w e

(5.14)

Procediendo de una manera totalmente análoga sobre el segmento III se puede calcular:

02

0

lnt

t

T T

S

T T

S

w e KT T

w K e

(5.15)

Con lo que el período T0 del ciclo de trabajo resulta ser

2

0 0

0 1 2

0 0 0

11ln

t tT T T T

S S

S

K e e w w KT T T T

f w w K

(5.16)

En la Figura 5.20 se representa la frecuencia de operación normalizada f0T en función de la

amplitud de la señal de entrada, normalizada respecto de la ganancia de la planta w0/KS ,

llevando como parámetro la relación entre el tiempo muerto y la constante de tiempo de planta

Tt / T.

0 2

0 0

0 0

0 0

1 1

1ln 1

ln 1

1

t t

t t

T T T T

S ST T T T

S

S S

f TK e e w w K

e ew w K

w w

K K

(5.17)

0 0.25 0.5 0.75 10

0.5

1

1.5

w0/K

S

f 0 T

Tt / T=0.2

Tt / T=0.4

Tt / T=1

Tt / T=1.5

Fig. 5.20. Frecuencia normalizada del ciclo de trabajo.

Como resulta evidente en la figura precedente, la máxima frecuencia de operación se da en el

centro del dominio de trabajo w0 [0, KS] . Por otra parte es evidente que la variación relativa

de la frecuencia disminuye a medida que aumenta la importancia del tiempo muerto Tt frente a la

constante de tiempo T de la planta.


Con referencia a la Fig. 5.18 y teniendo en cuenta los resultados precedentes, se determina que

la amplitud de oscilación del ciclo de trabajo depende únicamente de la ganancia estática KS de

la planta y de la relación Tt / T, siendo independiente de la amplitud de la señal de entrada.

0 1 2

11

2tT T

Sy y y K e

(5.18)

Por su parte, el error actuante promedio depende –como era de esperarse– también del valor del

setpoint w0 :

1 2 0 0

1 11

2 2tT T

Se y y w K w e

. (5.19)

Finalmente, se debe insistir una vez más que el dominio de trabajo se extiende para amplitudes

de la señal de entrada inferiores a KS, es decir 0 w0 KS.

5.1.5. Presentación de un conmutador con doble realimentación

Pasaremos a analizar a continuación el funcionamiento de un circuito empleado muy

frecuentemente y que constituye un modulador de ancho de pulso, aplicable a configuraciones

como la precedentemente presentada en la Figura 5.16.

Fig. 5.21. Características del modulador y formas de onda de corriente de entrada y tensión de salida.

1

m

m m

sC

sC R

200

10

V

IR i1 +

i0 v2

+

im


Un amplificador en contrafase, cuya característica corriente de entrada vs. tensión de salida

(v2,i0) se muestra en la Fig. 5.21, es realimentado positivamente a través de la red Rm, Cm. Como

se puede deducir del diagrama de bloques adjunto, el circuito es inestable si se cumple que

0 1m

m

RK

R (5.20)

en cuyo caso, se generan oscilaciones cuyo período T se puede calcular partiendo de la forma de

onda de la corriente de entrada al amplificador. Si Tm = Cm Rm es la constante de tiempo del

circuito de realimentación, y recordando que i1 es la corriente de comando que genera la tensión

de entrada se tiene:

1

2

/201 10

/20 11 10

(0)

( )

m

m

t TC

m

t TC

m

V vi e I

R

V v ti e I

R

(5.21)

Resulta importante resaltar que las expresiones (5.21) corresponden al funcionamiento del

amplificador en estado saturado. Cuando la corriente de entrada i0 = i1 + im toma valores dentro

del intervalo [–I0 , +I0] el amplificador opera en su zona lineal, pero como en ella el funcio-

namiento es inestable, la tensión de salida invierte su signo en forma casi instantánea,

alcanzando el valor de saturación de signo opuesto.

El valor intermedio de la tensión sobre el condensador es:

1 1/ /

1 20( ) (0) 1 ;m mt T t T

C Cv t v e e V

(5.22)

además, debido a la periodicidad del proceso resulta

2 2/ /

1 2 1 20( ) ( ) (0) ( ) 1 .m mt T t T

C C C Cv T v t t v v t e e V

(5.23)

Operando sobre las expresiones (5.21) a (5.23) y luego de algunos cálculos se obtiene la

expresión del valor medio de la salida

1 22 20

1 2

t tV V

t t

(5.24)

siendo

1 10 1 10

1 10 1 101 2 1 2

1 2

2

1 10

(2 / 1)(1 / )ln

(2 / 1)(1 / )

4 ( 1)ln 1

1 ( / )

m

m

m m

K i I i I

K i I i It t t t

t t T K K

i I

(5.25)

La frecuencia de oscilación vale:

2

1 10

1 1 1

4 ( 1)ln 1

1 ( / )

m m m

fT T K K

i I

(5.26)


Los gráficos correspondientes a las funciones (5.25) y (5.26) llevando Km como parámetro, se

muestran en la Fig. 5.22.

Para i1 = 0 se origina una forma de onda de tensión v2 aproximadamente rectangular y

simétrica (t1/T = 0.5) de frecuencia máxima f0=1/{Tmln[1+4K(K–1)]}. Para i1 = I10

desaparece la oscilación pues el amplificador permanece saturado en uno u otro sentido.

El amplificador realimentado resulta así un modulador de ancho de pulso de frecuencia variable;

como la red de realimentación Rm, Cm no conduce componente continua alguna, el amplificador

puede ser empleado para generar la función de transferencia del controlador que se desee,

implementando una oportuna realimentación negativa, materializando el esquema de la Fig. 5.16.

La figura 5.23 muestra una aplicación de lo que se acaba de exponer, donde el modulador excita

dos transistores de potencia que cierran el circuito de alimentación del campo a doble bobinado

de una excitatriz (generador) de corriente continua.

Fig. 5.23. Control de una excitatriz de CC.

[GR(s)]

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

i1

/ I10

Km

=1.3

2

Km

=5

(t1-t

2) / T

Fig. 5.22. Valor medio y frecuencia normalizados para el modulador de la Fig. 5.21.

-1 -0.5 0 0.5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

i1

/ I10

Km

=2

Km

=5

Km

=1.3f T

m


La fuerza magnetomotriz media en el generador,

1 21 2e e

e

E t tF N i i N

R T

(5.27)

resulta una transformación lineal de la característica 1 21 10 vs

t ti I

T

de la Fig. 5.22. Las

bobinas de choque L1 y L2 desacoplan los bobinados de campo filtrando al mismo tiempo las

corrientes; los diodos D1 y D2 impiden la aparición de picos de sobretensión sobre los

transistores durante la conmutación de los mismos.

La red de realimentación negativa GR(s) conduce a una función de transferencia tipo PID para

el controlador. La constante de tiempo R1C1 ha de ser lo suficientemente elevada para evitar

que la realimentación negativa perturbe la frecuencia de oscilación del modulador.

La siguiente figura, muestra la respuesta al escalón de un controlador PID con amplificador de

potencia modulado por ancho de pulso. La frecuencia de conmutación de los transistores de

potencia se encuentra normalmente en el orden del centenar de Hertz.

Fig. 5.24. Respuesta al escalón de un PID conmutado.

5.2. Controladores biestables.

Para un conjunto de componentes conmutados, tales como interruptores, motores de

posicionamiento, quemadores de fuel-oil, etc., no se puede cumplir con el requisito de operar a

una frecuencia de conmutación elevada respecto del retardo dominante de la planta, ya que el

desgaste, las pérdidas de conmutación y las solicitaciones a las que se somete la planta pueden

alcanzar magnitudes inacepables, pues dichos valores se incrementan con la frecuencia de

operación.

El requerimiento de una frecuencia de conmutación adaptada a las necesidades del sistema

puede ser cumplido haciendo que la planta misma sea la que determine dicha frecuencia. El


resultado de la aplicación de esta idea es la aplicación de controladores biestables con

realimentación simple (recordar Fig. 5.12). Como ahora la frecuencia de conmutación es baja,

no es posible emplear los conceptos de linealización del valor medio, por lo que el tratamiento

matemático del problema se ve inevitablemente complicado. Sin embargo las principales

propiedades de un sistema de control de este tipo, pueden ser deducidas a partir del análisis de un

sistema idealizado.

5.2.1. Ejemplo de análisis.

La Fig. 5.25 muestra un sistema de control, cuyo compensador y actuador están constituidos por

un conmutador de dos estados con histéresis y cuya planta se considera aproximada por una

función de transferencia de tipo proporcional con tiempo muerto y retardo de primer orden,

( )1

mT s

e

eG s K

T s

que como sabemos es una buena aproximación a muchas funciones de

transferencia de procesos. Supondremos constante la perturbación z(t).

Fig. 5.25. Lazo con controlador biestable.

El sistema es controlable para valores de la variable comando x1 pertenecientes al dominio

02 1 01K y z x K y z ; (5.28)

para valores de x1 fuera de estos límites, el sistema permanece saturado en uno u otro sentido, es

decir

2 2max 01 2 2min 02 o bien x x K y z x x K y z . (5.29)

Para x1 , z1 constantes la variable de salida describe una oscilación periódica, cuyos parámetros

son calculables en base a la Fig. 5.26.

1

2

1 2 min 01 2 min

2 max 1 01 1

1 2 max 02 2 max

2 min 1 02 1

1

1

1

1

m

e

m

e

m

e

m

e

t T

T

T

T

t T

T

T

T

x x K y z x e

x x K y z x e

x x K y z x e

x x K y z x e

(5.30)


Fig. 5.26. Oscilación de las variables.

Supondremos en lo que sigue que 01 02; y que m eK y K y T T por lo que las

funciones exponenciales pueden ser reemplazadas por sus aproximaciones de primer orden

1

m

e

T

T m

e

Te

T

(5.31)

Luego el valor medio de la variable controlada es

01 022 2 max 2 min 1

11

2 2

m m m

e e e

T T y y Tx x x x K z

T T T

; (5.32)

el error medio actuante resulta

01 021 2 1

2

m

e

T y yx x x K z

T

(5.33)

anulándose para

01 0210

2

y yx K z

; (5.34)

para este valor x1 = x10, es t1 = t2 y x2(t) describe una oscilación simétrica.

La ganancia efectiva de lazo cerrado, definida como


2

1

1 1m

e

x T

x T

(5.35)

indica que el controlador biestable posee un efecto proporcional. Poniendo en forma equivalente

a un sistema lineal

2

1 1

A

A

x K

x K

(5.36)

resulta la ganancia de lazo abierto para el control biestable

1eA

m

TK

T , (5.37)

luego el sistema trabaja con tanta mayor precisión cuanto menor pueda hacerse la relación Tm/Te.

Ésta es sin embargo una propiedad de la planta y no del controlador. El ancho 2 de la

histéresis del controlador no aparece en el precedente análisis simplificado.

Se deduce para la amplitud de oscilación de x2(t)

01 022 2 max 2 min

11

2 2

m m

e e

T T

T Ty yx x x e K e

(5.38)

o bien, para m eT T

01 022 1

2

m m

e e

T y y Tx K

T T

(5.39)

x2 resulta independiente del punto de operación (x1) y de la perturbación (z). Los principales

parámetros que la influencian son la amplitud de la histéresis y la capacidad de actuación

K(y01–y02).

Si x2 es la variable de salida del sistema (o variable controlada final), x2 deberá ser lo más

pequeña posible. Si en cambio x2 es una variable intermedia, es tolerable una mayor amplitud

de oscilación, ya que la misma será atenuada por los siguientes componentes de la planta, en el

supuesto que éstos posean característica pasabajos de respuesta en frecuencia.

Reemplazando las exponenciales por sus aproximaciones y suponiendo nula la perturbación

(z=0), se obtienen las pendientes “medias”

2 01 11

2 02 12

0 en el intervalo

0 en el intervalo

e

e

dx Ky xt

dt T

dx Ky xt

dt T

(5.40)

en base a lo cual se deducen las formulaciones aproximadas de los tiempos de conmutación

2 21 2

01 1 1 02

2 2 y e e

x xt T t T

Ky x x Ky

, (5.41)


siendo la frecuencia de operación

01 1 1 02

1 2 2 01 02

1 1 1

2e

Ky x x Kyf

T t t T x K y y

. (5.42)

La frecuencia se anula cuando uno de los factores del numerador de (5.42) desaparece, es decir

al producirse la saturación del controlador. La frecuencia es máxima para f /x1 = 0, lo que se

verifica para x1=K(y01+y02)/2, es decir en el centro del dominio de control.

Dicho máximo vale:

01 02

1

84

o

e m

m

fT T

TK y y

. (5.43)

Fig. 5.27. Variación de la frecuencia de oscilación.

Como puede observarse, el comportamiento dinámico de los lazos de control biestables es, en

principio, fácil de calcular. Debido a la no-linealidad no es posible concebir una respuesta

normalizada “al escalón unitario” tal como se acostumbra al tratar con sistemas lineales. La Fig.

5.27 muestra la respuesta transitoria de x2 ante diferentes variaciones en escalón de la variable

de referencia x1. Como la variable manipulada posee solamente dos estados posibles, x2 sigue la

misma función exponencial, hasta alcanzar un nuevo valor medio y reiniciarse el ciclo de

conmutaciones periódicas.

El reducido tiempo de respuesta es una característica particular de los controladores biestables ya

que, contrariamente a lo que ocurre en los sistemas lineales, la variable manipulada aparece

aplicada con su máximo valor aún para pequeñas perturbaciones o para pequeños cambios en el

punto de ajuste.

Interesa ahora responder a la pregunta de si en todos los casos –es decir para cualquier planta

controlada– los sistemas biestables se comportan como en el ejemplo precedente o si, como de

costumbre, pueden aparecer problemas de estabilidad. Con las herramientas de que disponemos

hasta el momento no podemos dar una respuesta general a la pregunta y aplazaremos la respuesta

hasta el tratamiento de las funciones descriptivas de elementos no lineales. Aquí solamente

mencionaremos que pueden aparecer los siguientes casos críticos:


a) Tras un transitorio más o menos amortiguado se establece una oscilación del tipo

descripto en la variable de salida, pero con una amplitud inadmisiblemente elevada;

b) Aparece una oscilación inestable, cuya amplitud tiende a crecer fuera todo límite.

En ambos casos el sistema de control deja de cumplir su finalidad y no puede ser utilizado. Sin

embargo, puede ser demostrado que para plantas con respuesta estacionaria proporcional y

función de transferencia con cualquier número de elementos de retardo, no puede darse el caso

b), aunque no puede excluirse que aparezca el caso a). Tanto es así que constituye el caso

normal, razón por la cual veremos a continuación algunos métodos para arribar a sistemas de

control prácticamente utilizables.

5.2.2. Aplicaciones.

Cuando la oscilación estacionaria a la salida de la planta resulta de amplitud elevada y no puede

reducirse la capacidad de actuación K(y01–y02), deberá aumentarse la frecuencia de conmutación

dentro de las posibilidades del actuador. Un método eficaz para ello, es el de realizar un control

en cascada, realimentando para la generación de las oscilaciones, una variable intermedia de la

planta tal como se muestra en la Fig. 5.28.

Fig. 5.28. Controlador biestable en cascada.

Como la frecuencia de conmutación es originada tan sólo por una parte de los retardos de la

planta, su magnitud es más elevada que en el caso de realimentar la variable de salida x21.

Además las oscilaciones de x22 son filtradas en amplitud por los retardos contenidos en FS1

(característica pasabajos), de modo que la amplitud de las oscilaciones presentes en x21 se ve

considerablemente reducida.

El diseño del controlador FC1 se ve grandemente simplificado si se considera el lazo de control

interior reemplazado por un elemento de primer orden con ganancia unitaria y una constante de

tiempo equivalente.

La estructura mostrada en la figura precedente es perfectamente aplicable en una sistema de

climatización (calefacción) en el que la caldera reciba energía térmica de un quemador de

combustible operando en la modalidad de todo-nada (encendido o apagado). En este caso x22

estaría representando la temperatura del agua de la caldera, mientras que x21 es la temperatura del

ambiente a calefaccionar.

En el ejemplo desarrollado se observa la presencia de un transductor adicional necesario para la

medición y realimentación de la variable intermedia x22. Esto trae desde luego aparejadas

mayores dificultades en la instalación y puesta a punto del sistema de control. Es por ello que,

en muchos casos se prefiere el sistema de la Fig. 5.29 (denominado controlador biestable con


realimentación) que no requiere transductor adicional. El elemento de retardo (Fy) representa un

circuito de ganancia (Ky) y constante de tiempo (Ty) ajustables, incluido en el mismo controlador.

Fig. 5.29. Biestable realimentado.

El controlador biestable con realimentación puede considerarse como un caso especial (Tm=0)

del sistema de la Fig. 5.14 y tiene la propiedad de operar como modulador proporcional de ancho

de pulso. Para x3=cte, en condiciones de régimen vale:

1

2

4 max 3 3 01 3

4 min 3 3 02 3

1

1

y

y

t

T

y

t

T

y

x x x K y x e

x x x K y x e

(5.44)

con lo que se obtienen los tiempos de conmutación

01 3 02 31 2

01 3 02 3

ln ; lny y

y y y y

K y x K y xt t

T K y x T K y x

. (5.45)

Para simetría de la variable manipulada es y02 = –y01 y vale

01 32

01 3

lny

y y

K y xt

T K y x

. (5.46)

El valor medio de la variable manipulada es entonces

01 3 01 3

01 3 01 31 201 01

1 2 01 3 01 3

01 3 01 3

ln

ln

y y

y y

y y

y y

K y x K y x

K y x K y xt ty y y

t t K y x K y x

K y x K y x

(5.47)


obteniéndose para la frecuencia de conmutación,

1 2 01 3 01 3

01 3 01 3

1 1 1

lny y y

y y

ft t T K y x K y x

K y x K y x

. (5.48)

La frecuencia máxima se encuentra asimismo aquí en el centro del intervalo de controlabilidad

[(+Kyy01)], lo que corresponde para x3 = 0 y vale

001

01

1

2 lny

y

y

fK y

TK y

. (5.49)

Fig. 5.30. Valor medio y frecuencia para el controlador biestable realimentado.

La ganancia media del controlador biestable puede obtenerse de la curva de y :

01

3 01

01

1m

ymedy

y yK

x K yK

y

; (5.50)

para 01

1 resulta y m

y

K y KK

lo que corresponde a la ganancia de un amplificador ideal realimentado.

El comportamiento dinámico del controlador biestable realimentado puede juzgarse en base al

andar de la variable realimentada x4. Tras una variación de x3 en forma de escalón, siguen la

variable realimentada x4 y la variable manipulada y, el andar esquematizado en la Fig. 5.31. En

la transición de un ciclo estacionario de conmutación a otro aparece un pulso más ancho, cuya

duración depende de forma no lineal de x3, lo que conduce a caracterizar al controlador biestable

con realimentación de primer orden, como un compensador PD no lineal.


Fig. 5.31. Variación del ancho de pulso para un escalón de x3 .

Este tipo de comportamiento no resulta sorprendente, pues de la misma forma como se definió la

ganancia estática media Km del controlador biestable realimentado, podríamos, en forma

aproximada, definir su característica dinámica como

11

( )( )

y

y y

T sF s

F s K

(5.51)

que corresponde a un elemento ideal proporcional más derivador. Siguiendo esta línea de

pensamiento, podemos llegar a la realización de un controlador PID no lineal, utilizando en la

realimentación una función de transferencia de la forma

( )1 1

Iy

I a

T sF s

T s T s

(5.52)

que es fácilmente implementable mediante elementos pasivos. Nótese finalmente que el análisis

realizado brinda una justificación formal de las consideraciones cualitativas realizadas al tratar el

conmutador con realimentación dinámica (recordar Fig. 5.14).

5.3. Conmutador triestable e integrador.

Para muchas aplicaciones, la operación periódica de un controlador biestable resulta inadmisible

o indeseable, aún para frecuencias de conmutación reducidas. Algunas razones ya han sido

mencionadas: desgaste y pérdidas de conmutación, especialmente en actuadores mecánicos.

Para muchas plantas controladas resulta inaceptable, por razones operativas y sobre todo de

seguridad, una variación abrupta de la variable manipulada (variable de control) desde su valor

mínimo a su valor máximo. Frecuentemente y en especial en procesos químicos, las variables

manipuladas deben variar suavemente o por pequeños incrementos, ya sea para no perturbar el

proceso o para no producir solicitaciones exageradas sobre la planta.


Fig. 5.32. Conmutador, integrador y planta controlada.

Se puede evitar la conmutación periódica en estado de régimen, si la salida del actuador

conmutante puede tomar, además de los valores extremos positivo y negativo, también el valor

cero y está conectada con un integrador, tal como se muestra en la Fig. 5.32. Si la señal de error

x3 se encuentra entre los umbrales de actuación es y1 = 0 y por lo tanto y2 = constante.

Para x3 > la variable manipulada y2 crece y para x3 < decrece, con la velocidad constante

2 10

i

dy y

dt T donde Ti es el tiempo necesario para provocar una variación de y2 tal que 2 10y y

(tiempo de repetición del integrador). El andar de y2(t) tiene la forma de una poligonal de tres

pendientes distintas; si en sustitución del conmutador se empleara un compensador lineal

continuo, y2 tomaría la forma de una curva suave y continua en su derivada primera.

En el caso de que la planta no posea de por sí un factor integrante, deberá intercalarse un

integrador entre el conmutador y la planta. Frecuentemente resulta normal que en todas las

plantas cuya variable manipulada sea de naturaleza mecánica, exista un motor que actúa sobre

una válvula, una compuerta, un órgano de mezcla o sobre la toma variable de un transformador

regulable, por ejemplo. Constatamos que se trata normalmente de plantas que reaccionan en

forma comparativamente lenta y que no requieren o no admiten rápidas variaciones de la

variable manipulada.

5.3.1. Linealización por actuación periódica.

Al igual que los biestables, los conmutadores triestables pueden ser linealizados por actuación

periódica y modulación de ancho de pulsos. La actuación se realiza de tal manera que la variable

y1 conmute entre dos estados sucesivos o permanezca en el valor cero.

PLANTA


Fig. 5.33. Variable conmutada y1 y variable manipulada y2.

Si la frecuencia de conmutación es suficientemente elevada y2(t) describe aproximadamente una

curva continua y suave con la pendiente media

2 1 10 10 10 2 2 100 o bien 0i i i i

dy t y y y dy t y

dt T T T T dt T T . (5.53)

Se observa que el conmutador triestable presenta las ventajas, respecto del biestable, que por lo

menos en estado de régimen, no hay conmutación, y que la variable manipulada y2 varía en

forma continua. La velocidad de respuesta es limitada, como ocurre con todos los

compensadores de tipo integrador y la utilización de un controlador triestable más integrador

estará justificada en aquellos casos en que la planta no se encuentre sometida a perturbaciones de

gran amplitud o de efecto muy rápido sobre la variable controlada.

Fig. 5.34. Triestable con histéresis y realimentación.

La actuación periódica puede ser lograda realimentando un conmutador triestable, al que se ha

agregado un pequeño grado de histéresis, a través de una función de transferencia del tipo


( )1

y

y

y

KF s

sT

(5.54)

que es fácilmente realizable con elementos pasivos. Como en estado de régimen es y1 0, la

precisión del sistema de control no es afectada por la presencia de la realimentación Fy(s).

Cuando la variable x3 supera uno de los umbrales x3>2, y1 oscilará entre 0 e y10 o bien entre

0 y –y10 . El controlador triestable con realimentación puede pensarse formado por dos

conmutadores biestables realimentados, que operan en diferentes dominios de la variable de

entrada.

Fig. 5.35. Triestable realimentado: valor medio de la salida y frecuencia de conmutación.

La pendiente media de la característica de transferencia de la variable linealizada 1y como

función de x3 es:

12 10

3

10

1 1 para m

yy

dyK y

dx KK

y

. (5.55)

Si la frecuencia de operación es suficientemente elevada se tendrá la situación de la figura

siguiente,

mK

1

iT s

1

iT s

x3 y1 y2 x3 y2 con i y iT K T

Fig. 5.36. Linealización: diagramas en bloque equivalentes.

En la figura 5.37 se muestra el andar de y1(t) e y2(t) para un escalón en la variable de

excitación x3. Al igual que en el caso de un controlador biestable puede interpretarse el

alargamiento del primer pulso como un efecto de adelanto, de modo que en conjunto se obtiene

el comportamiento de un compensador PI, cuyos parámetros dependen de la magnitud de la

excitación x3(t). Empleando una Fy(s) con dos retardos de tiempo en la realimentación, se

obtiene un comportamiento similar al de un compensador PID.


Fig. 5.37. Respuesta al escalón.

El efecto de linealización que acabamos de describir, tiene lugar cuando la frecuencia de

conmutación es suficientemente alta, con relación a la banda pasante de la planta controlada. El

empleo de una frecuencia de conmutación elevada, tiene por efecto que una variación

determinada y2 queda subdividida en muchos “pasos” pequeños, lo que implica múltiples

conmutaciones en cada transitorio del proceso de control. Resulta entonces aconsejable

seleccionar una frecuencia de conmutación no muy elevada, adaptando el retardo de la red de

realimentación Fy(s) a la función de transferencia de la planta controlada.

5.3.2. Controlador triestable con frecuencia de conmutación mínima.

La idea perseguida es evitar las excesivas conmutaciones del motor de actuación (integrador) de

modo que, por efecto de un escalón de excitación, se lleve la variable y2 “de un solo tirón” a su

nuevo valor final, reduciendo así drásticamente la cantidad de conmutaciones del motor. Un tipo

de operación de este tipo, óptimo respecto del número de conmutaciones, exige un conocimiento

preciso de la planta y de las perturbaciones incidentes sobre la misma, lo que en general no

resulta factible.

Aunque normalmente el caso general no es realizable, puede ser tomado como modelo de

referencia y, en este sentido, la solución presenta un interés no despreciable.

La figura 5.38 muestra un lazo de control compuesto por un conmutador triestable, un integrador

(motor de actuación) y la planta controlada (representada por una función de transferencia

pasabajos). Se considera incluido en la función de transferencia de la planta el retardo (constante

de tiempo de arranque) del motor. El retardo de conmutación del controlador se indica como un

tiempo muerto a la salida del conmutador.


Fig. 5.38. Lazo cerrado con controlador triestable realimentado.

La función de transferencia de la planta es

2

2 1

1( )

1P n

n

F sa s a s a s

(5.56)

en la que una oportuna normalización ha conducido a obtener una ganancia unitaria. Como es

sabido, el coeficiente a1 tiene el significado de la constante de tiempo equivalente de la planta.

5.3.2.1. Conmutador sin realimentación.

Supondremos por el momento que Fy(s) =

0. Consideraremos una variación en escalón de x1

para deducir la condición necesaria para lograr un comportamento aperiódico del lazo de control.

Si en t=0 ocurre el escalón x1(t) = x10, el controlador conmutará a +y10 una vez transcurrido el

retardo puro Tm; y2 crecerá linealmente con lo que x2(t) corresponderá a la respuesta de la

planta ante una excitación en rampa. Estas relaciones se muestran en la Fig. 5.39.

Fig. 5.39. Respuesta al escalón para Fy =

0.

mT se 1 iT s ( )PF s

( )yF s


Para t = t1 la variable controlada alcanza el nivel de conmutación

2 1 10 1( )x t x (5.57)

y luego de transcurrido Tm el motor se detiene. En el intervalo siguiente y2(t) se mantiene

constante

2 2 1 1( ) ( ) ; m my t y t T t t T (5.58)

con lo que x2 tiende a este valor final. En caso de que este valor, como en la Fig. 5.39 se

encuentre por encima del límite que marca el umbral x10+2 el controlador conmuta en sentido

inverso y el motor gira también a la inversa, con lo que vuelve a repetirse el proceso. Aparece

entonces un fenómeno transitorio probablemente muy poco amortiguado.

Para lograr que el motor se detenga a la primera deconmutación dentro del límite del umbral,

deberá ser:

12 1 10 10 2( )m

i

ty t T y x

T (5.59)

donde t1 queda determinado por la Ec. (5.57). Llamando r(t) al error de la respuesta de la

planta ante la excitación en rampa, es

12 1 2 1 1 10 1 10 1( ) ( ) ( ) ( )m

r m r m

i

t Tx t y t t T y t T x

T

(5.60)

De (5.59) y (5.60) se deduce:

10 1 1 2( )m

r m

i

Ty t T

T (5.61)

El error r(t) puede ser calculado fácilmente a partir de la función de la transferencia de la planta

1 10

2

11 2 1 10

2

2 1

( ) 1 ( )

( )1

r P

i

n

nr n

n i

yt F s

T s

a s a s a yt

a s a s a s T s

L

L (5.62)

A fin de llevar a cabo un cálculo aproximado, supongamos que el error r haya alcanzado para

t = t1 su valor estacionario

1 101( ) ( )r m r

i

a yt T

T . (5.63)

De las expresiones (5.61) y (5.63) se deduce la condición

1 101 2

( )m

i

a T y

T

(5.64)


o bien

2 10 1 2

1i m

dy y

dt T a T

. (5.65)

Como en interés de una buena precisión han de ser 1 y 2 suficientemente pequeños, y como a

su vez a1 puede tomar valores elevados en el caso de procesos químicos e industriales, la

condición (5.65) conduce a velocidades de actuación muy bajas en la mayoría de los casos

prácticos. Por ello, suele adoptarse una velocidad de actuación 2 ó 3 veces más elevada que la

indicada por (5.65), aceptándose un pequeño sobrepasamiento y algunas oscilaciones previas al

establecimiento del valor de régimen de la variable controlada.

5.3.2.2. Conmutador con realimentación complementaria.

Si elegimos Fy(s) de modo que a la salida del bloque de realimentación aparezca justamente el

error a la rampa r(t):

4 1( ) ( )r mx t t T (5.66)

es entonces

2 4 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )r mx t x t x t t T y t (5.67)

vemos así que la realimentación a través de Fy(s) elimina el error dinámico originado en los

retardos de la planta.

De la (5.67) se obtiene la condición

( ) 1

( )Py

i i

F sF s

T s T s (5.68)

o sea

1 ( )

( ) Py

i

F sF s

T s

(5.69)

con lo que resulta

1 2

1 1 1

2

2 1

1

( )1

nn

y n

i n

a as s

a a aF s

T a s a s a s

(5.70)

es decir,

1(0)y y

i

aK F

T . (5.71)

Si el sistema de control se encuentra en estado de régimen es y1 0 y x4 tiende a cero. Vemos

por lo tanto que la realimentación complementaria no influye de ninguna manera sobre la

precisión estática del sistema.


Fig. 5.40. Respuesta al escalón para realimentación complementaria.

La Fig. 5.40 muestra el transitorio correspondiente a una variación en escalón de la variable de

entrada. La condición de conmutación del controlador triestable es ahora:

12 1 1 2 1 10 10 1( ) ( ) ( ) m

r m

i

t Tx t t T y t y x

T

(5.72)

Para 1 2 mt t T y deberá encontrarse por debajo del nivel de conmutación

12 1 10 10 2( )m

i

ty t T y x

T

(5.73)

sustrayendo las dos expresiones precedentes se deduce

10 1 2

m

i

Ty

T (5.74)

con lo que la condición para la velocidad de actuación es ahora

2 10 1 2

i m

dy y

dt T T

. (5.75)

Debido a la realimentación complementaria, la velocidad de actuación resulta independiente de

los parámetros de la planta.

Empleando un conmutador electrónico es Tm 0 de modo que el tiempo de integración podría

tomar teóricamente cualquier valor. Un límite práctico lo da el hecho que la planta (FP) es en la

mayor parte de los casos variable y conocida sólo en forma aproximada, de modo que la

realimentación complementaria (Fy) puede realizarse sólo de manera imperfecta. Cuanto más

elevada se elija la velocidad de actuación dy2/dt = y10/Ti tanto mayor será el error r de la planta,

lo que a su vez conduce a un aumento de la ganancia de realimentación Ky. La pequeñez del

dominio de tolerancia (1,2 << y10) hará que, una ligera desadaptación de la realimentación

respecto de la planta, conduzca a oscilaciones poco amortiguadas. Será entonces necesario

limitar la velocidad de actuación de modo de obtener una respuesta transitoria aceptable.

Mediante un ejemplo simplificado veremos el cálculo de la realimentación para un controlador

triestable con respuesta aperiódica. Sea una planta de segundo orden


1 2

1( )

(1 )(1 )PF s

sT sT

(5.76)

y con 1 ( )

( ) Py

i

F sF s

T s

se obtiene

1 2

1 2 31 23 1 2

1 2 1 2

11

( ) ; ,(1 )(1 ) (1 )(1 )

y y

i

T Ts

T T T sT TF s K T T T

T sT sT sT sT

(5.77)

En la Fig. 5.41 se muestra un ejemplo de realización de un controlador eléctrico triestable con

motor de actuación (integrador mecánico).

Por amplificación de la señal x0 (= x3–x4) y tras superar el umbral impuesto por los diodos,

acciona una de las bobinas de los relés S1 o S2 provocando la rotación del motor M en uno u otro

sentido. Mediante los contactos auxiliares S’1 o S’2 se aplica una tensión continua V0 a la

red de realimentación (R0, R1, R2; C0, C2); la tensión resultante x4 se realimenta negativamente

a la entrada del amplificador. Bajo el supuesto de cumplirse R0 << R1 y de contarse con un

amplificador de alta impedancia de entrada se tendrá

4 2 2

1 0 0 2 1 2

( ) 1( )

( ) (1 ) 1 ( )y

X s sC RF s

Y s sC R sC R R

, (5.78)

y eligiendo convenientemente los valores de los componentes, se reproducirá la expresión (5.77).

Fig. 5.41. Realización de un controlador triestable con realimentación complementaria.

La Fig. 5.42 muestra la respuesta de lazo cerrado en condiciones de adaptación perfecta

(ganancia normalizada Ky = 1) y de desadaptación para Ky = 1.5 y Ky = 0.67 observándose

cómo afecta la desadaptación al tiempo de respuesta del sistema.


Fig. 5.42. Efecto de la desadaptación en la respuesta de lazo cerrado.

Por otra parte, como se puede verificar con facilidad, la función de transferencia Fy(s) puede ser

calculada en base a una aproximación de primer orden de la planta, es decir en base a la

constante de tiempo equivalente. Para nuestro ejemplo vale:

1 2

1 2

1 1( ) ; =

(1 )(1 ) 1P e

e

F s T T TsT sT T s

(5.79)

resultando

1 ( ) 1 1

( )1 1

P ey y

i i e e

F s TF s K

T s T sT sT

(5.80)

Dado el limitado ancho de banda de la respuesta deseada, los resultados que pueden ser

alcanzados con la aproximación de primer orden y la formulación ‘exacta’ son prácticamente

idénticos.

x10+2

x10+2

x10+2 x10

x10

x10

x10-2

x10-2

x10-2

Ky = 1.5

Ky = 0.67

Ky = 1

5. sistemas discontinuos y no lineales filey amplificación en sistemas de control presenta frente a...

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