5. Modelos Actuariales para Riesgo Operativo

Minicurso para el VIII Coloquio Internacional de Estadıstica“Metodos Estadısticos Aplicados a Finanzas y Gestion de Riesgo”

Norman Giraldo

Escuela de EstadısticaUniversidad Nacional de Colombia

Medellın

Junio 28 - Julio 1, 2011

Junio 28 - Julio 1, 2011 1 /20

Introduccion

Se entiende por Riesgo Operativo, la posibilidad de incurrir enperdidas por deficiencias, fallas o inadecuaciones, en el recursohumano, los procesos, la tecnologıa, la infraestructura o por laocurrencia de acontecimientos externos.

Segun el Comite de Regulacion Bancaria de Basilea II: Se define elRO como el riesgo de perdidas que resultan de procesos internosinadecuados o fallidos, de personas, de sistemas o de eventosexternos, incluyendo el riesgo legal.

Junio 28 - Julio 1, 2011 2 /20

Introduccion

Se entiende por Riesgo Operativo, la posibilidad de incurrir enperdidas por deficiencias, fallas o inadecuaciones, en el recursohumano, los procesos, la tecnologıa, la infraestructura o por laocurrencia de acontecimientos externos.

Segun el Comite de Regulacion Bancaria de Basilea II: Se define elRO como el riesgo de perdidas que resultan de procesos internosinadecuados o fallidos, de personas, de sistemas o de eventosexternos, incluyendo el riesgo legal.

Junio 28 - Julio 1, 2011 2 /20

Ejemplos de Riesgos Operativos

1 Fraude Externo Actos, realizados por una persona externa a laentidad, que buscan defraudar, apropiarse indebidamente de activosde la misma o incumplir normas o leyes.

2 Danos a activos fısicos Perdidas derivadas de danos o perjuicios aactivos fısicos de la entidad.

3 Fallas tecnologicas Perdidas derivadas de incidentes por fallastecnologicas.

Junio 28 - Julio 1, 2011 3 /20

Ejemplos de Riesgos Operativos

1 Fraude Externo Actos, realizados por una persona externa a laentidad, que buscan defraudar, apropiarse indebidamente de activosde la misma o incumplir normas o leyes.

2 Danos a activos fısicos Perdidas derivadas de danos o perjuicios aactivos fısicos de la entidad.

3 Fallas tecnologicas Perdidas derivadas de incidentes por fallastecnologicas.

Junio 28 - Julio 1, 2011 3 /20

Ejemplos de Riesgos Operativos

1 Fraude Externo Actos, realizados por una persona externa a laentidad, que buscan defraudar, apropiarse indebidamente de activosde la misma o incumplir normas o leyes.

2 Danos a activos fısicos Perdidas derivadas de danos o perjuicios aactivos fısicos de la entidad.

3 Fallas tecnologicas Perdidas derivadas de incidentes por fallastecnologicas.

Junio 28 - Julio 1, 2011 3 /20

Ejemplo de una Corporacion: Banco Barclays

1 El Banco Barclays es una Companıa de servicios financieros,catalogada en 2010 como el grupo No 10 de servicios bancarios yfinancieros mas grande del mundo.

2 De la pag. web de Barclays: “ Los riesgos operativos son inherentes alas operaciones del Grupo y son tıpicos de cualquier empresagrande”.1

3 De la pag. web de Barclays: “ Las fuentes del riesgo operativoincluye: procesos operativos de confiabilidad, seguridad IT,outsourcing de operaciones, dependencia de suministros claves,implementacion de cambios estrategicos, integracion de adquisiciones,fraude, errores humanos, calidad del servicio al cliente, cumplimientode regulaciones, enganche de personal, entrenamiento y retencion depersonal, y el impacto social y medioambiental”.

1http://www.barclaysannualreport.com/ar2009/index.asp?pageid=146Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /20

Ejemplo de una Corporacion: Banco Barclays

1 El Banco Barclays es una Companıa de servicios financieros,catalogada en 2010 como el grupo No 10 de servicios bancarios yfinancieros mas grande del mundo.

2 De la pag. web de Barclays: “ Los riesgos operativos son inherentes alas operaciones del Grupo y son tıpicos de cualquier empresagrande”.1

3 De la pag. web de Barclays: “ Las fuentes del riesgo operativoincluye: procesos operativos de confiabilidad, seguridad IT,outsourcing de operaciones, dependencia de suministros claves,implementacion de cambios estrategicos, integracion de adquisiciones,fraude, errores humanos, calidad del servicio al cliente, cumplimientode regulaciones, enganche de personal, entrenamiento y retencion depersonal, y el impacto social y medioambiental”.

1http://www.barclaysannualreport.com/ar2009/index.asp?pageid=146Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /20

Ejemplo de una Corporacion: Banco Barclays

1 El Banco Barclays es una Companıa de servicios financieros,catalogada en 2010 como el grupo No 10 de servicios bancarios yfinancieros mas grande del mundo.

2 De la pag. web de Barclays: “ Los riesgos operativos son inherentes alas operaciones del Grupo y son tıpicos de cualquier empresagrande”.1

3 De la pag. web de Barclays: “ Las fuentes del riesgo operativoincluye: procesos operativos de confiabilidad, seguridad IT,outsourcing de operaciones, dependencia de suministros claves,implementacion de cambios estrategicos, integracion de adquisiciones,fraude, errores humanos, calidad del servicio al cliente, cumplimientode regulaciones, enganche de personal, entrenamiento y retencion depersonal, y el impacto social y medioambiental”.

1http://www.barclaysannualreport.com/ar2009/index.asp?pageid=146Junio 28 - Julio 1, 2011 4 /20

SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo,

segun SuperFinanciera

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales comopolıticas, procedimientos, documentacion, estructura organizacional,registro de eventos de riesgo operativo, organos de control,plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1 Identificar2 Medir3 Controlar4 Monitorear

Conclusion: el SARO es un AutoSeguro

Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /20

SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo,

segun SuperFinanciera

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales comopolıticas, procedimientos, documentacion, estructura organizacional,registro de eventos de riesgo operativo, organos de control,plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1 Identificar2 Medir3 Controlar4 Monitorear

Conclusion: el SARO es un AutoSeguro

Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /20

SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo,

segun SuperFinanciera

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales comopolıticas, procedimientos, documentacion, estructura organizacional,registro de eventos de riesgo operativo, organos de control,plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1 Identificar2 Medir3 Controlar4 Monitorear

Conclusion: el SARO es un AutoSeguro

Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /20

SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo,

segun SuperFinanciera

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales comopolıticas, procedimientos, documentacion, estructura organizacional,registro de eventos de riesgo operativo, organos de control,plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1 Identificar2 Medir3 Controlar4 Monitorear

Conclusion: el SARO es un AutoSeguro

Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /20

SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo,

segun SuperFinanciera

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales comopolıticas, procedimientos, documentacion, estructura organizacional,registro de eventos de riesgo operativo, organos de control,plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1 Identificar2 Medir3 Controlar4 Monitorear

Conclusion: el SARO es un AutoSeguro

Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /20

SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo,

segun SuperFinanciera

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales comopolıticas, procedimientos, documentacion, estructura organizacional,registro de eventos de riesgo operativo, organos de control,plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1 Identificar2 Medir3 Controlar4 Monitorear

Conclusion: el SARO es un AutoSeguro

Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /20

SARO: Sistema de Administracion de Riesgo Operativo,

segun SuperFinanciera

La definicion del SARO es: Un conjunto de elementos tales comopolıticas, procedimientos, documentacion, estructura organizacional,registro de eventos de riesgo operativo, organos de control,plataforma tecnologica, divulgacion de informacion y capacitacion.

En el SARO las entidades deben desarrollar las siguientes etapas:

1 Identificar2 Medir3 Controlar4 Monitorear

Conclusion: el SARO es un AutoSeguro

Junio 28 - Julio 1, 2011 5 /20

SARO: Aprovisionar segun Comite Basilea II

1 Segun las directrices de Basilea II, dadas por el Bank for InternationalSettlements (BIS) en el documento “The New Basel Capital Accord”de 2003,

2 Los Bancos no solamente deben medir frecuencias y severidades delos riesgos operativos indentificados sino tambien generar unaprovision, un “colchon” (cushion), para enfrentar perdidas anormales.Esta operacion se denomina “Pilar 1”.

3 La regulacion colombiana aparentemente no considera estos casos.Las Entidades deben medir y cuantificar las perdidas mediantemodelos internos y proveer planes de contingencia y supervivencia.

Junio 28 - Julio 1, 2011 6 /20

SARO: Aprovisionar segun Comite Basilea II

1 Segun las directrices de Basilea II, dadas por el Bank for InternationalSettlements (BIS) en el documento “The New Basel Capital Accord”de 2003,

2 Los Bancos no solamente deben medir frecuencias y severidades delos riesgos operativos indentificados sino tambien generar unaprovision, un “colchon” (cushion), para enfrentar perdidas anormales.Esta operacion se denomina “Pilar 1”.

3 La regulacion colombiana aparentemente no considera estos casos.Las Entidades deben medir y cuantificar las perdidas mediantemodelos internos y proveer planes de contingencia y supervivencia.

Junio 28 - Julio 1, 2011 6 /20

SARO: Aprovisionar segun Comite Basilea II

1 Segun las directrices de Basilea II, dadas por el Bank for InternationalSettlements (BIS) en el documento “The New Basel Capital Accord”de 2003,

2 Los Bancos no solamente deben medir frecuencias y severidades delos riesgos operativos indentificados sino tambien generar unaprovision, un “colchon” (cushion), para enfrentar perdidas anormales.Esta operacion se denomina “Pilar 1”.

3 La regulacion colombiana aparentemente no considera estos casos.Las Entidades deben medir y cuantificar las perdidas mediantemodelos internos y proveer planes de contingencia y supervivencia.

Junio 28 - Julio 1, 2011 6 /20

El Calculo de las Provisiones en SARO

En Moscadelli(2004) se propone que el calculo de las provisiones para ROse divida en dos enfoques:

1 No Avanzado: no incorpora analisis estadıstico, se basa enindicadores. Esta recomendado para Bancos pequenos, que no tienenoperaciones internacionales muy amplias.

2 Avanzado. Involucra varias metodologıas para modelamientocuantitativo de perdidas de riesgo operativo tales como

3 Modelos causales y redes bayesianas.

4 Modelos de confiabilidad.

5 Modelos actuariales (tomados del area de los seguros de ramosgenerales, ver Capıtulo 2): LDA y EVT-POT

Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /20

El Calculo de las Provisiones en SARO

En Moscadelli(2004) se propone que el calculo de las provisiones para ROse divida en dos enfoques:

1 No Avanzado: no incorpora analisis estadıstico, se basa enindicadores. Esta recomendado para Bancos pequenos, que no tienenoperaciones internacionales muy amplias.

2 Avanzado. Involucra varias metodologıas para modelamientocuantitativo de perdidas de riesgo operativo tales como

3 Modelos causales y redes bayesianas.

4 Modelos de confiabilidad.

5 Modelos actuariales (tomados del area de los seguros de ramosgenerales, ver Capıtulo 2): LDA y EVT-POT

Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /20

El Calculo de las Provisiones en SARO

En Moscadelli(2004) se propone que el calculo de las provisiones para ROse divida en dos enfoques:

1 No Avanzado: no incorpora analisis estadıstico, se basa enindicadores. Esta recomendado para Bancos pequenos, que no tienenoperaciones internacionales muy amplias.

2 Avanzado. Involucra varias metodologıas para modelamientocuantitativo de perdidas de riesgo operativo tales como

3 Modelos causales y redes bayesianas.

4 Modelos de confiabilidad.

5 Modelos actuariales (tomados del area de los seguros de ramosgenerales, ver Capıtulo 2): LDA y EVT-POT

Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /20

El Calculo de las Provisiones en SARO

En Moscadelli(2004) se propone que el calculo de las provisiones para ROse divida en dos enfoques:

1 No Avanzado: no incorpora analisis estadıstico, se basa enindicadores. Esta recomendado para Bancos pequenos, que no tienenoperaciones internacionales muy amplias.

2 Avanzado. Involucra varias metodologıas para modelamientocuantitativo de perdidas de riesgo operativo tales como

3 Modelos causales y redes bayesianas.

4 Modelos de confiabilidad.

5 Modelos actuariales (tomados del area de los seguros de ramosgenerales, ver Capıtulo 2): LDA y EVT-POT

Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /20

El Calculo de las Provisiones en SARO

En Moscadelli(2004) se propone que el calculo de las provisiones para ROse divida en dos enfoques:

1 No Avanzado: no incorpora analisis estadıstico, se basa enindicadores. Esta recomendado para Bancos pequenos, que no tienenoperaciones internacionales muy amplias.

2 Avanzado. Involucra varias metodologıas para modelamientocuantitativo de perdidas de riesgo operativo tales como

3 Modelos causales y redes bayesianas.

4 Modelos de confiabilidad.

5 Modelos actuariales (tomados del area de los seguros de ramosgenerales, ver Capıtulo 2): LDA y EVT-POT

Junio 28 - Julio 1, 2011 7 /20

Modelos Actuariales para SARO: LDA

1 LDA : Modelo de Perdidas Agregadas (Loss Distribution Analysis). Sebasa en un modelo para la frecuencia anual y la severidad de lasperdidas para conformar una perdida agregada y con esta calcular unaprovision para las perdidas mas extremas.

2 El Modelo LDA es el Modelo de Riesgo Colectivo del Capıtulo 2.

3 Las provisiones se calculan con los mismos principios de calculo deprimas en el Modelo de Riesgo Colectivo. Por ejemplo, el principio delpercentil del Capıtulo 2, es decir, el VaR.

Junio 28 - Julio 1, 2011 8 /20

Modelos Actuariales para SARO: LDA

1 LDA : Modelo de Perdidas Agregadas (Loss Distribution Analysis). Sebasa en un modelo para la frecuencia anual y la severidad de lasperdidas para conformar una perdida agregada y con esta calcular unaprovision para las perdidas mas extremas.

2 El Modelo LDA es el Modelo de Riesgo Colectivo del Capıtulo 2.

3 Las provisiones se calculan con los mismos principios de calculo deprimas en el Modelo de Riesgo Colectivo. Por ejemplo, el principio delpercentil del Capıtulo 2, es decir, el VaR.

Junio 28 - Julio 1, 2011 8 /20

Modelos Actuariales para SARO: LDA

1 LDA : Modelo de Perdidas Agregadas (Loss Distribution Analysis). Sebasa en un modelo para la frecuencia anual y la severidad de lasperdidas para conformar una perdida agregada y con esta calcular unaprovision para las perdidas mas extremas.

2 El Modelo LDA es el Modelo de Riesgo Colectivo del Capıtulo 2.

3 Las provisiones se calculan con los mismos principios de calculo deprimas en el Modelo de Riesgo Colectivo. Por ejemplo, el principio delpercentil del Capıtulo 2, es decir, el VaR.

Junio 28 - Julio 1, 2011 8 /20

Modelos Actuariales para SARO: EVT-POT

1 EVT-POT (Extreme Value Analysis - Peaks over Threshold = Analisisde datos extremos superiores a un umbral).

2 Se basa en el supuesto de que los datos extremos provienen deprocesos heterogeneos, por lo que es necesario no tomar todos losdatos (pequenos, medianos, extremos) sino solamente los extremos.

3 La metodologıa EVT-POT esta tomada del area de la Ingenierıa Civil(p.ej. diseno de diques contra inundaciones) y la Actuarıa de SegurosGenerales en Reaseguros.

Junio 28 - Julio 1, 2011 9 /20

Modelos Actuariales para SARO: EVT-POT

1 EVT-POT (Extreme Value Analysis - Peaks over Threshold = Analisisde datos extremos superiores a un umbral).

2 Se basa en el supuesto de que los datos extremos provienen deprocesos heterogeneos, por lo que es necesario no tomar todos losdatos (pequenos, medianos, extremos) sino solamente los extremos.

3 La metodologıa EVT-POT esta tomada del area de la Ingenierıa Civil(p.ej. diseno de diques contra inundaciones) y la Actuarıa de SegurosGenerales en Reaseguros.

Junio 28 - Julio 1, 2011 9 /20

Modelos Actuariales para SARO: EVT-POT

1 EVT-POT (Extreme Value Analysis - Peaks over Threshold = Analisisde datos extremos superiores a un umbral).

2 Se basa en el supuesto de que los datos extremos provienen deprocesos heterogeneos, por lo que es necesario no tomar todos losdatos (pequenos, medianos, extremos) sino solamente los extremos.

3 La metodologıa EVT-POT esta tomada del area de la Ingenierıa Civil(p.ej. diseno de diques contra inundaciones) y la Actuarıa de SegurosGenerales en Reaseguros.

Junio 28 - Julio 1, 2011 9 /20

Implementacion de LDA

Modelo: S =∑N

j=1Xj

Escoger una distribucion para N , N ∼ Poisson(λ). Conλ = No casos 1 ano.

Encontrar una distribucion para las Xj , que ajuste los datos. Quepase las pruebas de ajuste Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling !!.

Calcular la provision como una prima. Si se usa el metodo delpercentil, la provision es el VaR(q), tal que P(S ≤ V aR(q)) = 1− q.

Esta provision se calcula, por ejemplo, con el metodo NP del Capıtulo2. O con simulacion. Ver la librerıa “actuar” de R.

Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /20

Implementacion de LDA

Modelo: S =∑N

j=1Xj

Escoger una distribucion para N , N ∼ Poisson(λ). Conλ = No casos 1 ano.

Encontrar una distribucion para las Xj , que ajuste los datos. Quepase las pruebas de ajuste Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling !!.

Calcular la provision como una prima. Si se usa el metodo delpercentil, la provision es el VaR(q), tal que P(S ≤ V aR(q)) = 1− q.

Esta provision se calcula, por ejemplo, con el metodo NP del Capıtulo2. O con simulacion. Ver la librerıa “actuar” de R.

Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /20

Implementacion de LDA

Modelo: S =∑N

j=1Xj

Escoger una distribucion para N , N ∼ Poisson(λ). Conλ = No casos 1 ano.

Encontrar una distribucion para las Xj , que ajuste los datos. Quepase las pruebas de ajuste Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling !!.

Calcular la provision como una prima. Si se usa el metodo delpercentil, la provision es el VaR(q), tal que P(S ≤ V aR(q)) = 1− q.

Esta provision se calcula, por ejemplo, con el metodo NP del Capıtulo2. O con simulacion. Ver la librerıa “actuar” de R.

Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /20

Implementacion de LDA

Modelo: S =∑N

j=1Xj

Escoger una distribucion para N , N ∼ Poisson(λ). Conλ = No casos 1 ano.

Encontrar una distribucion para las Xj , que ajuste los datos. Quepase las pruebas de ajuste Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling !!.

Calcular la provision como una prima. Si se usa el metodo delpercentil, la provision es el VaR(q), tal que P(S ≤ V aR(q)) = 1− q.

Esta provision se calcula, por ejemplo, con el metodo NP del Capıtulo2. O con simulacion. Ver la librerıa “actuar” de R.

Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /20

Implementacion de LDA

Modelo: S =∑N

j=1Xj

Escoger una distribucion para N , N ∼ Poisson(λ). Conλ = No casos 1 ano.

Encontrar una distribucion para las Xj , que ajuste los datos. Quepase las pruebas de ajuste Kolmogorov-Smirnov y Anderson-Darling !!.

Calcular la provision como una prima. Si se usa el metodo delpercentil, la provision es el VaR(q), tal que P(S ≤ V aR(q)) = 1− q.

Esta provision se calcula, por ejemplo, con el metodo NP del Capıtulo2. O con simulacion. Ver la librerıa “actuar” de R.

Junio 28 - Julio 1, 2011 10 /20

Ejemplo: perdidas banca corporativa anuales ajuste

LogNormal

Figure: Prueba Grafica: comparacion en la cola derecha, en Moscadelli (2004),pag.23

Junio 28 - Julio 1, 2011 11 /20

Descripcion de EVT-POT

1 Se basa en el hecho de que cuando hay datos muy extremos no esposible encontrar una distribucion que ajuste completamente losdatos.

2 Entonces se busca un “umbral” que es un valor u, a partir del cual losdatos se consideran extremos.

3 Y ademas, comprobar que los excedentes sobre ese umbral,yi = xi − u, para xi > u, se distribuyen de acuerdo a una distribucionPareto Generalizada, GPD.

4 Un paso clave es determinar el umbral. La tecnica se basa en unestadıstico: la vida media residual empırica

Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /20

Descripcion de EVT-POT

1 Se basa en el hecho de que cuando hay datos muy extremos no esposible encontrar una distribucion que ajuste completamente losdatos.

2 Entonces se busca un “umbral” que es un valor u, a partir del cual losdatos se consideran extremos.

3 Y ademas, comprobar que los excedentes sobre ese umbral,yi = xi − u, para xi > u, se distribuyen de acuerdo a una distribucionPareto Generalizada, GPD.

4 Un paso clave es determinar el umbral. La tecnica se basa en unestadıstico: la vida media residual empırica

Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /20

Descripcion de EVT-POT

1 Se basa en el hecho de que cuando hay datos muy extremos no esposible encontrar una distribucion que ajuste completamente losdatos.

2 Entonces se busca un “umbral” que es un valor u, a partir del cual losdatos se consideran extremos.

3 Y ademas, comprobar que los excedentes sobre ese umbral,yi = xi − u, para xi > u, se distribuyen de acuerdo a una distribucionPareto Generalizada, GPD.

4 Un paso clave es determinar el umbral. La tecnica se basa en unestadıstico: la vida media residual empırica

Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /20

Descripcion de EVT-POT

1 Se basa en el hecho de que cuando hay datos muy extremos no esposible encontrar una distribucion que ajuste completamente losdatos.

2 Entonces se busca un “umbral” que es un valor u, a partir del cual losdatos se consideran extremos.

3 Y ademas, comprobar que los excedentes sobre ese umbral,yi = xi − u, para xi > u, se distribuyen de acuerdo a una distribucionPareto Generalizada, GPD.

4 Un paso clave es determinar el umbral. La tecnica se basa en unestadıstico: la vida media residual empırica

Junio 28 - Julio 1, 2011 12 /20

Distribucion Pareto Generalizada GPD

La distribucion Pareto Generalizada o GPD es una distribucion quedepende de dos parametros (β, ζ), y esta dada por:

G(x) = 1−(1 +

ζ x

β

)−

1

ζ, (1)

para x ≥ 0. Parametros: β > 0, ζ > 0.

Junio 28 - Julio 1, 2011 13 /20

Aplicacion de la GPD

Defina la distribucion de los excedentes sobre el umbral, como

Fu(y) = P (X − u ≤ y|X > u) =FX(u+ y)− FX(u)

1− FX(u), y > 0. (2)

Se asume (!!!) que se cumple : Fu(y) ≈ G(y), para u el umbral.

De (2) despeja FX(u+ y)

FX(u+ y) ≈ (1− FX(u))G(y) + FX(u) (3)

Llame x = u+ y > u, entonces

FX(x) ≈ (1− FX(u))G(x− u) + FX(u) (4)

Interpretacion de (4)?

Junio 28 - Julio 1, 2011 14 /20

Aplicacion de la GPD

Defina la distribucion de los excedentes sobre el umbral, como

Fu(y) = P (X − u ≤ y|X > u) =FX(u+ y)− FX(u)

1− FX(u), y > 0. (2)

Se asume (!!!) que se cumple : Fu(y) ≈ G(y), para u el umbral.

De (2) despeja FX(u+ y)

FX(u+ y) ≈ (1− FX(u))G(y) + FX(u) (3)

Llame x = u+ y > u, entonces

FX(x) ≈ (1− FX(u))G(x− u) + FX(u) (4)

Interpretacion de (4)?

Junio 28 - Julio 1, 2011 14 /20

Aplicacion de la GPD

Defina la distribucion de los excedentes sobre el umbral, como

Fu(y) = P (X − u ≤ y|X > u) =FX(u+ y)− FX(u)

1− FX(u), y > 0. (2)

Se asume (!!!) que se cumple : Fu(y) ≈ G(y), para u el umbral.

De (2) despeja FX(u+ y)

FX(u+ y) ≈ (1− FX(u))G(y) + FX(u) (3)

Llame x = u+ y > u, entonces

FX(x) ≈ (1− FX(u))G(x− u) + FX(u) (4)

Interpretacion de (4)?

Junio 28 - Julio 1, 2011 14 /20

Aplicacion de la GPD

Defina la distribucion de los excedentes sobre el umbral, como

Fu(y) = P (X − u ≤ y|X > u) =FX(u+ y)− FX(u)

1− FX(u), y > 0. (2)

Se asume (!!!) que se cumple : Fu(y) ≈ G(y), para u el umbral.

De (2) despeja FX(u+ y)

FX(u+ y) ≈ (1− FX(u))G(y) + FX(u) (3)

Llame x = u+ y > u, entonces

FX(x) ≈ (1− FX(u))G(x− u) + FX(u) (4)

Interpretacion de (4)?

Junio 28 - Julio 1, 2011 14 /20

Aplicacion de la GPD

Defina la distribucion de los excedentes sobre el umbral, como

Fu(y) = P (X − u ≤ y|X > u) =FX(u+ y)− FX(u)

1− FX(u), y > 0. (2)

Se asume (!!!) que se cumple : Fu(y) ≈ G(y), para u el umbral.

De (2) despeja FX(u+ y)

FX(u+ y) ≈ (1− FX(u))G(y) + FX(u) (3)

Llame x = u+ y > u, entonces

FX(x) ≈ (1− FX(u))G(x− u) + FX(u) (4)

Interpretacion de (4)?

Junio 28 - Julio 1, 2011 14 /20

Determinar el Percentil q de X

Si ζq es el percentil (1− q)100% de X entonces FX(ζq) = 1− q.

De la expresion FX(x) = (1− FX(u))G(x− u) + FX(u), se obtiene

FX(ζq) = (1− FX(u))G(ζq − u) + FX(u) = 1− q (5)

Usando G(ζq − u) = 1−(1 +

ζ(ζq−u)β

)−

1

ζ

Reemplazando en (5), y despejando ζq se obtiene

ζq = u+β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

). (6)

Junio 28 - Julio 1, 2011 15 /20

Determinar el Percentil q de X

Si ζq es el percentil (1− q)100% de X entonces FX(ζq) = 1− q.

De la expresion FX(x) = (1− FX(u))G(x− u) + FX(u), se obtiene

FX(ζq) = (1− FX(u))G(ζq − u) + FX(u) = 1− q (5)

Usando G(ζq − u) = 1−(1 +

ζ(ζq−u)β

)−

1

ζ

Reemplazando en (5), y despejando ζq se obtiene

ζq = u+β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

). (6)

Junio 28 - Julio 1, 2011 15 /20

Determinar el Percentil q de X

Si ζq es el percentil (1− q)100% de X entonces FX(ζq) = 1− q.

De la expresion FX(x) = (1− FX(u))G(x− u) + FX(u), se obtiene

FX(ζq) = (1− FX(u))G(ζq − u) + FX(u) = 1− q (5)

Usando G(ζq − u) = 1−(1 +

ζ(ζq−u)β

)−

1

ζ

Reemplazando en (5), y despejando ζq se obtiene

ζq = u+β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

). (6)

Junio 28 - Julio 1, 2011 15 /20

Determinar el Percentil q de X

Si ζq es el percentil (1− q)100% de X entonces FX(ζq) = 1− q.

De la expresion FX(x) = (1− FX(u))G(x− u) + FX(u), se obtiene

FX(ζq) = (1− FX(u))G(ζq − u) + FX(u) = 1− q (5)

Usando G(ζq − u) = 1−(1 +

ζ(ζq−u)β

)−

1

ζ

Reemplazando en (5), y despejando ζq se obtiene

ζq = u+β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

). (6)

Junio 28 - Julio 1, 2011 15 /20

El VaR por el Metodo POT

La provision dada por el percentil ζq (6) no es suficiente si no seconsidera la frecuencia con que ocurren las perdidas extremas.

Dado u > 0 se define la Frecuencia de Perdidas Extremas como

Nu =n∑

j=1

I(Xi > u). (7)

Entonces se define la Provision para los costos operativos totales,mediante el metodo EVT-POT como

V aR(S, q, u) = E(Nu)ζq = E(Nu)

(u+

β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

)).

(8)

Es posible definir otras provisiones con base en otras medidas deriesgo, por ejemplo, CV aR(S, q, u).

Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /20

El VaR por el Metodo POT

La provision dada por el percentil ζq (6) no es suficiente si no seconsidera la frecuencia con que ocurren las perdidas extremas.

Dado u > 0 se define la Frecuencia de Perdidas Extremas como

Nu =n∑

j=1

I(Xi > u). (7)

Entonces se define la Provision para los costos operativos totales,mediante el metodo EVT-POT como

V aR(S, q, u) = E(Nu)ζq = E(Nu)

(u+

β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

)).

(8)

Es posible definir otras provisiones con base en otras medidas deriesgo, por ejemplo, CV aR(S, q, u).

Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /20

El VaR por el Metodo POT

La provision dada por el percentil ζq (6) no es suficiente si no seconsidera la frecuencia con que ocurren las perdidas extremas.

Dado u > 0 se define la Frecuencia de Perdidas Extremas como

Nu =n∑

j=1

I(Xi > u). (7)

Entonces se define la Provision para los costos operativos totales,mediante el metodo EVT-POT como

V aR(S, q, u) = E(Nu)ζq = E(Nu)

(u+

β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

)).

(8)

Es posible definir otras provisiones con base en otras medidas deriesgo, por ejemplo, CV aR(S, q, u).

Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /20

El VaR por el Metodo POT

La provision dada por el percentil ζq (6) no es suficiente si no seconsidera la frecuencia con que ocurren las perdidas extremas.

Dado u > 0 se define la Frecuencia de Perdidas Extremas como

Nu =n∑

j=1

I(Xi > u). (7)

Entonces se define la Provision para los costos operativos totales,mediante el metodo EVT-POT como

V aR(S, q, u) = E(Nu)ζq = E(Nu)

(u+

β

ζ

((1− FX(u)

q

)ζ

− 1

)).

(8)

Es posible definir otras provisiones con base en otras medidas deriesgo, por ejemplo, CV aR(S, q, u).

Junio 28 - Julio 1, 2011 16 /20

Estimacion

Suponiendo que se tienen estimadores, por ejemplo, de maximaverosimilitud (ζ , β), con ζ ∈ (0, 1).

Se define nu =∑n

i=1 I(xi > u). Se estima FX(u) = P(X > u) pornu/n.

Entonces se obtiene la estimacion del percentil q de X siguiente.Note que se requiere nu/n > q.

ζq = u+β

ζ

((nu

nq

)ζ− 1). (9)

Y la estimacion de la Provision como V aR(S, q, u) = nuζq.

Junio 28 - Julio 1, 2011 17 /20

Estimacion

Suponiendo que se tienen estimadores, por ejemplo, de maximaverosimilitud (ζ , β), con ζ ∈ (0, 1).

Se define nu =∑n

i=1 I(xi > u). Se estima FX(u) = P(X > u) pornu/n.

Entonces se obtiene la estimacion del percentil q de X siguiente.Note que se requiere nu/n > q.

ζq = u+β

ζ

((nu

nq

)ζ− 1). (9)

Y la estimacion de la Provision como V aR(S, q, u) = nuζq.

Junio 28 - Julio 1, 2011 17 /20

Estimacion

Suponiendo que se tienen estimadores, por ejemplo, de maximaverosimilitud (ζ , β), con ζ ∈ (0, 1).

Se define nu =∑n

i=1 I(xi > u). Se estima FX(u) = P(X > u) pornu/n.

Entonces se obtiene la estimacion del percentil q de X siguiente.Note que se requiere nu/n > q.

ζq = u+β

ζ

((nu

nq

)ζ− 1). (9)

Y la estimacion de la Provision como V aR(S, q, u) = nuζq.

Junio 28 - Julio 1, 2011 17 /20

Estimacion

Suponiendo que se tienen estimadores, por ejemplo, de maximaverosimilitud (ζ , β), con ζ ∈ (0, 1).

Se define nu =∑n

i=1 I(xi > u). Se estima FX(u) = P(X > u) pornu/n.

Entonces se obtiene la estimacion del percentil q de X siguiente.Note que se requiere nu/n > q.

ζq = u+β

ζ

((nu

nq

)ζ− 1). (9)

Y la estimacion de la Provision como V aR(S, q, u) = nuζq.

Junio 28 - Julio 1, 2011 17 /20

Estimacion del umbral

La Vida Media Residual se define como la funcion

e(u) = E(X − u | X > u) , u ≥ 0, (10)

estimada mediante el estadıstico:

en(u) =

∑nj=1(xj − u)I(xj > u)∑n

j=1 I(xj > u)(11)

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia linealcreciente entonces la distribucion puede pertenecer al dominio deatraccion de una distribucion GPD.

Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /20

Estimacion del umbral

La Vida Media Residual se define como la funcion

e(u) = E(X − u | X > u) , u ≥ 0, (10)

estimada mediante el estadıstico:

en(u) =

∑nj=1(xj − u)I(xj > u)∑n

j=1 I(xj > u)(11)

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia linealcreciente entonces la distribucion puede pertenecer al dominio deatraccion de una distribucion GPD.

Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /20

Estimacion del umbral

La Vida Media Residual se define como la funcion

e(u) = E(X − u | X > u) , u ≥ 0, (10)

estimada mediante el estadıstico:

en(u) =

∑nj=1(xj − u)I(xj > u)∑n

j=1 I(xj > u)(11)

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia linealcreciente entonces la distribucion puede pertenecer al dominio deatraccion de una distribucion GPD.

Junio 28 - Julio 1, 2011 18 /20

Estimacion del umbral

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia constanteentonces la distribucion esta en el dominio de atraccion de laExponencial.

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendenciadecreciente puede ser una distribucion Weibull con τ > 1, o unaGamma con α > 1.

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendenciadecreciente y luego creciente en lınea reacta puede tratarse de unaLognormal.

Junio 28 - Julio 1, 2011 19 /20

Estimacion del umbral

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia constanteentonces la distribucion esta en el dominio de atraccion de laExponencial.

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendenciadecreciente puede ser una distribucion Weibull con τ > 1, o unaGamma con α > 1.

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendenciadecreciente y luego creciente en lınea reacta puede tratarse de unaLognormal.

Junio 28 - Julio 1, 2011 19 /20

Estimacion del umbral

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendencia constanteentonces la distribucion esta en el dominio de atraccion de laExponencial.

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendenciadecreciente puede ser una distribucion Weibull con τ > 1, o unaGamma con α > 1.

Si la grafica de los puntos (u, en(u)) muestra una tendenciadecreciente y luego creciente en lınea reacta puede tratarse de unaLognormal.

Junio 28 - Julio 1, 2011 19 /20

Graficas de la VMR para costos de varios servicios medicos

- CPS 1991 Medellın

0e+00 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06

0e+00

1e+06

2e+06

3e+06

odontologia

Threshold

Mean

Excess

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

0400

000800

000120

0000

laboratorio

Threshold

Mean

Excess

0e+00 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06 5e+06 6e+06

0e+00

2e+06

4e+06

hospitaliza

Threshold

Mean

Excess

0 500000 1000000 1500000 2000000 2500000

0400

000800

000120

0000

drogas

ThresholdMe

an Exc

ess

0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05

−50000

0500

000150

0000

cir.general

Threshold

Mean

Excess

4e+04 6e+04 8e+04 1e+05

−50000

0500

000150

0000

250000

0cardiologia

Threshold

Mean

Excess

Figure:Junio 28 - Julio 1, 2011 20 /20