Método de Holt Winters, aplicado al pronóstico de la serie de tiempo remuneración por la fabricación de calzado

Alfonso Gutiérrez Lugo1, Luis Ernesto Mancilla Espinoza2, Hugo Alfonso Gutiérrez Contreras3,

Marco Antonio Gutiérrez Contreras1.

1 Ingeniería Industrial, Instituto Tecnológico Superior de Lagos de Moreno, Libramiento Tecnológico No. 5000, 47480 Jalisco, México alfonso.gtz.

lugo@ gma il.co m marcoantonio gutierre zco ntrera s@ho tma il.co m

http://www.teclagos.edu.mx/ 2 División de Estudios de Posgrado e Investigación, Instituto Tecnológico de León,

Av. Tecnológico S/N, 37290 Guanajuato, México lmanc illa01@ho tma il.co m

http://posgrado.itleon.edu.mx/ 3Ciencias de la Educación (Matemáticas), Complejo Educativo Hispanoamericano

Felipe B. Martínez Chapa S/N, 37120 Guanajuato, México hugogtzco n@gma il.co m

http://www.hispanoamericano.edu.mx/

Resumen La necesidad de tener una base cuantitativa e iniciar la planeación del próximo periodo ,

en cualquier organización, permite continuar la dirección hacia una visión o misión, para lograr el cálculo adecuado se tiene la opción de diferentes métodos, el básico es una serie de tiempo o un método causal; al tomar como base una serie de tiempo, el más sencillo es el de nivel, siempre se tiene una cantidad fija y alrededor de ella se obtienen los pronósticos posibles, dentro de un rango de acuerdo a una función de densidad de probabilidad. Otro método, toma en cuenta la tendencia de crecimiento o decrecimiento, de una recta que minimiza las diferencias con respecto a la serie ya conocida. Después se consideran los métodos que toman en consideración la tendencia y las cantidades estacionales, en periodos o lapsos de tiempo bien definidos. En éstos se encuentra el método de Holt Winters[1]. El método se aplica a una serie de tiempo de la remuneración por la fabricación del calzado (la serie de tiempo se obtuvo por medio de la Encuesta Mensual de la Industria Manufacturera, en el ciclo de Enero- a Julio- ). Además se comparan los pronósticos de los últimos 19 periodos mensuales; con el error absoluto promedio, el error porcentual promedio y el error cuadrático medio, para obtener un conocimiento de la precisión del método de Holt Winters. El objetivo es comparar los resultados obtenidos con otros métodos de tendencia, se relata el proceso del método de Holt, se obtienen los errores del método de Holt y se toman los mismos errores de los métodos de tendencia; regresión lineal, promedios móviles, alisado exponencial simple, exponencial doble de Brown y serie difusa [2,3,5], ya experimentados por el mismo equipo, con los mismos datos en otras publicaciones[2],.

1. INTRODUCCIÓN En este trabajo se usa el Método de Holt Winters considerando la tendencia y

estacionalidad, para realizar el pronóstico de la remuneración por la fabricación del calzado (la serie de tiempo se obtuvo por medio de la Encuesta Mensual de la Industria Manufacturera, en el ciclo de Enero- a Julio- )[4]. Las series de tiempo son la base para realizar el análisis del patrón de los datos, la gráfica es un auxiliar para conocer el comportamiento aproximado de los datos, para identificar; tendencia, estacionalidad, ciclo y aleatoriedad[1]. Cuantos más factores anteriores se observen en una serie de tiempo, el pronóstico es más complejo, repercutiendo en dificultad de un método adecuado, para mantener la precisión y exactitud aceptable. En el caso de la remuneración por la fabricación de calzado, se observan factores de comportamiento de; tendencia y estacionalidad, lo cual es una interpretación preliminar para aplicar el método de Holt Winter, considerando tendencia y estacionalidad. Después se obtienen el error porcentual medio y el error cuadrático medio[1], que se comparan con los resultados de anteriores trabajos, donde se aplicaron métodos de tendencia (Regresión Lineal, Promedios Móviles, Alisado Exponencial Simple, Alisado Exponencial Doble de Brown y Difuso)[1,2,5,7].

El trabajo en la segunda sección explica los tipos de patrones que pueden presentar la serie de tiempo, lo cual se identifica con una gráfica de valor observado contra periodo, en el caso en estudio es de periodos mensuales desde enero del año 2008, hasta julio del año 201 1, con base a estos patrones se decide los posibles métodos cuantitativos, para realizar el pronóstico. Además se explican los métodos para evaluar los errores de un pronóstico. La tercera sección, explica la serie de pasos a seguir para aplicar el método de Holt Winters considerando la tendencia y estacionalidad, para llegar al pronóstico del siguiente periodo. En la cuarta sección, se comparan los resultados de errores y pronósticos para los datos mensuales. Y en la quinta sección se tienen las conclusiones.

2. PATRONES DE UNA SERIE DE TIEMPO La serie de tiempo son datos observados en periodos de tiempo iguales, un registro

cronológico de variables observadas en lapsos de tiempo regular, el pronóstico es una estimación del fenómeno a futuro próximo, corto plazo, unos periodos de tiempo cortos unos cuantos meses, mediano plazo por unos dos años, largo plazo más de tres años años. Las series de tiempo presentan uno o varios patrones de tendencia, estacionalidad, ciclo y/o aleatoriedad. El pronóstico puede ser causal, con un patrón consistente de comportamiento del fenómeno estudiado, posibilidad de conocer su evolución futura, estimar componentes no observables, y obtener un valor del fenómeno en el futuro. La serie cronológica debe ser a tiempos regulares de unidad de tiempo, la variable registrada tener las mismas unidades de medición, ser confiable el origen o registro de los datos. La tendencia de los datos observados es un patrón a decrecer o crecer, en forma consistente conforme avanza el tiempo, o en uno o varios periodos de tiempo continuos. La estacionalidad es la repetición consistente de aumentar o disminuir, con similar cantidad, repentinamente el valor observado, este se da en periodos de tiempo con fechas definidas o lapsos de tiempo identificables, siempre en lapsos de tiempo menores a un año. El ciclo, al igual que la estacionalidad son aumento o disminuciones repentinas, bien definidos, pero en periodos de tiempo mayores a un año. Aleatoriedad son aumentos o disminuciones sin una claridad en el tiempo son esporádicos y en lapsos muy cortos de tiempo, después desaparecen. En el caso de

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0

jul-

10

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-10

no

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0

en

e-1

1

ma

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1

ma

y-1

1

jul-

11

análisis, la venta de calzado, se observa un patrón de tendencia pequeña a crecer y con estacionalidad en los meses de julio, octubre y diciembre arrojan un aumento.

REMUNERACIÓN POR LA FABRICACIÓN DE CALZADO

400.000

350.000

300.000

250.000

200.000

150.000

100.000

50.000

-

Mes y Año.

Figura 1. Serie de tiempo remuneración por la fabricación de calzado Con base en la inspección de la gráfica (ver Figura 1), se recomienda usar un método de

tendencia y estacionalidad, seleccionando el método de Holt Winters, para obtener el pronóstico de la venta de calzado.

Por otro lado para conocer la precisión y exactitud del método, se obtiene con la aproximación del pronóstico al valor observado, para medir la precisión se encuentra el error porcentual medio y el error cuadrático medio.

El error de cada periodo, es la diferencia del pronóstico menos el valor observado.

El error porcentual promedio, es la sumatoria de los errores absolutos con respecto al valor histórico, la sumatoria anterior se multiplica por cien para obtener el porcentaje, y por último se obtiene el promedio al dividir entre la cantidad de errores m.

| | [∑ ( ) ]

Por último, se obtiene le error cuadrático medio (ECM), con la raíz cuadrada del promedio de la sumatoria de cada error medio elevado al cuadrado.

∑ ( ) √

SERIE DE TIEMPO

La serie de tiempo de la remuneración por la fabricación de calzado se toma de PROSPECTA, del sitio oficial en internet [4], a su vez tomados del Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática (INEGI), de la Encuesta Mensual de la Industria Manufacturera (EMIM), con una muestra de empresas de fabricación de calzado, en el ciclo enero- a julio- , en total periodos mensuales (ver Tabla 1).

Tabla 1.- Total de remuneraciones mensuales por la fabricación de calzado.

M es/año M oneda Nacional (en miles de pesos)

M es/año M oneda Nacional (en miles de pesos)

1/2008 256,330 1/2010 246,000 2/2008 260,250 2/2010 245,540 3/2008 267,510 3/2010 281,110 4/2008 265,020 4/2010 254,300 5/2008 265,190 5/2010 264,800 6/2008 247,560 6/2010 268,450 7/2008 273,690 7/2010 286,980 8/2008 258,710 8/2010 280,900 9/2008 255,750 9/2010 283,950 10/2008 282,930 10/2010 289,050 11/2008 261,890 11/2010 270,490 12/2008 324,880 12/2010 356,000 1/2009 226,700 1/2011 259,850 2/2009 225,360 2/2011 254,910 3/2009 241,450 3/2011 280,850 4/2009 236,900 4/2011 268,360 5/2009 233,780 5/2011 270,200 6/2009 230,200 6/2011 277,750 7/2009 258,900 7/2011 280,130 8/2009 243,320

9/2009 250,650

10/2009 273,390

11/2009 252,600

12/2009 324,930

3. DESARROLLO El método de Holt Winters [12,13], realiza una serie de pasos que aplican inicialmente

una decisión del lapso de tiempo, anual, dividido en periodos de tiempo (semanal, mensual, bimestre, trimestre, u otro submúltiplo del lapso de tiempo), en este caso se toman lapsos de tiempo mensuales, tomando en cuenta la estacionalidad en determinados meses. Además, se tomó la regresión lineal para encontrar un pronóstico del lapso anual, para después desestacionalizar la serie.

Paso 1 Se parte la serie en datos mensuales por año, obtener el total anual y el promedio mensual

de cada año, sin considerar su estacionalidad, es decir como una cantidad mensual promedio. Paso 2 Dividir el dato histórico entre el promedio mensual desestacionalizado, logrando calcular

el índice de estacionalidad, del mes para cada año. Si el resultado es 1.2108 (diciembre del 2008), esto indica que del promedio se tiene un aumento del 21.08%, como factor de estacionalidad; si el cociente fuera 0.97 (febrero del 2008), el índice revela que en ese mes, del promedio mensual, se tiene una disminución del 3.00%. Para estandarizar a un solo valor para cada mes, el índice de estacionalidad por año del mismo mes, se suman y dividen en cantidad de datos, el promedio de cada índice de cada mes, para los n lapsos de años observados (ver Tabla 2).

Tabla 2. Calculo de índices de estacionalidad por mes y año.

Paso 3 Se encuentra un pronóstico de la tendencias por cualquier método (Promedio móvil,

suavización exponencial, Método de Brown, regresión lineal), como ya se explicó se usa la regresión lineal para encontrar los pronósticos mensuales. La fórmula de regresión;

En la serie de tiempo, es el pronóstico del periodo , es el número del periodo , el

coeficiente m es la razón de cambio de la variable en el periodo , es el coeficiente independiente u ordenada al origen.

Se efectúa la aplicación de los métodos de serie de tiempo, obteniendo la siguiente ecuación de regresión ajustada (ver Figura 3), correspondiente a la tendencia.

Para los periodos , y los pronósticos resultantes . Donde

en

e-0

8

ab

r-0

8

jul-

08

oc

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jul-

11

360000

340000

320000

300000

Valor observa do

280000

260000

Pronostíco

reg resión lineal

240000

220000

Figura 3.- Pronóstico con Regresión Lineal

Como es la tendencia únicamente, existen diferencias marcadas entre el pronóstico, línea recta de la gráfica y los datos históricos. La tendencia es al crecimiento. Se obtienen los pronósticos individuales para cada mes de toda la serie, con la fórmula de regresión, acumulando los pronósticos por año, y obtener con estos el promedio mensual al dividir entre cantidad de periodos por año, doce meses (ver Tabla 3).

Tabla 3. Cálculo de tendencia con regresión lineal.

Paso 4

Ahora se toman los promedios mensuales del pronóstico y se multiplican para cada año con su índice estacional mensual promedio, logrando el pronóstico por el método de Holt Winters (ver Tabla 4).

Tabla 4. Pronóstico método Holt Winter.

Figura 4. Pronóstico Holt Winter.

Los pronósticos del método Holt Winters, considera la tendencia (método de regresión líneal), y la estacionalidad. Como se observa en la gráfica las diferencias entre pronóstico y la remuneración observada mensual, arroja diferencias, pero se acercan al dato histórico. El error porcentual medio es del 3.80%, y el error cuadrático medio es de 11,891. Como se considera el índice de estacionalidad el pronóstico se aproxima a los datos históricos (ver Figura 4).

4. Resultados

La tabla No. 5, muestra los errores porcentual medio, error cuadrático medio y el pronóstico de julio del 2011 de diferentes métodos, donde se realizaron pronósticos a la misma serie de tiempo.

Tabla 5. Errores porcentual medio, cuadrático medio y pronóstico de julio del 2011.

Método: Error porcentual medio

Error cuadrático medio Pronós tico julio 2011 obs ervado 280,130

1. Holt Winter 3.80% 11,891 286,106 2. Promedio móvil, m=3 6.66% 27,044 278,940 3. Suavización

exponencial s imple, α=0.13

5.46% 25,118 276,122

4. Regres ión li neal 6.55% 24,066 252,211 5. Suavización

exponencial doble, α=0.01

7.05% 26,442 267,395

6. Difus o 0.33% 1,138 281,000

Si se toma el error porcentual medio el método difuso sería el mejor con 0.33%, y le seguiría el método Holt Winter, con un 3.80%, el primer método se considera sofisticado, el segundo es un método elaborado. El resto son de los clasificados como métodos sencillos, para determinar el método óptimo, su porcentaje es mayor al 5.46%.

En el caso del error cuadrático medio se tiene el de menor cantidad 1,138, en el método difuso; de nuevo el método de Holt Winter es el siguiente con 11,891 de error cuadrático medio, los otros métodos con una cantidad superior a 24,066, es relevante las diferencias entre los diferentes métodos en el error cuadrático medio, lo podemos relacionar con el grado de exactitud de cada método.

Considerando la aproximación más cercana de un solo pronóstico en mes de julio del 2011, se observa la aproximación al dato real de 280,130 contra 281,000 del método difuso, después, el promedio móvil con tres periodos 278,940, le sigue suavización exponencial simple (α=0.13) con 276,122 y el método de Holt Winter con 286,106.

Figura 5. Método difuso.

Si se comparan las gráficas con los datos históricos y de predicción, se notará la exactitud y precisión del método difuso (ver Figura 5), seguido con el método de Holt Winter. Con mayor frecuencia de pronósticos muy próximos a los datos históricos. Debido principalmente a que el método de Holt Winters toma en cuenta la estacionalidad y el método difuso toma en cuenta la estacionalidad y el comportamiento aleatorio de los datos históricos.

6. Conclusiones

Después de aplicar diferentes métodos de pronósticos, se observa la diferencia tan acentuada entre los diferentes tipos de factores como; la tendencia, estacionalidad y la aleatoriedad de los datos, conforme se integra cada factor, el método es más complejo, pero a su vez más preciso y exacto. Pero esto es inversamente proporcional al costo del método, por lo que se debe primero obtener una premisa del comportamiento de los datos, en una gráfica e identificar cada factor. Por otro lado, solo falta identificar y evaluar si la exactitud y la precisión son importantes para el pronóstico, así como los costos inherentes de estos dos factores, para obtener el costo total por método. En esta forma cada empresa u organización debe otorgar un costo y con éstos decidir el método óptimo para sus necesidades. La gráfica siguiente sirve para tomar una decisión sobre el método a utilizar (Ver Gráfica 6).

Figura 6. Gráfica de costos por método.

REFERENCIAS

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