109

5. MODELOS REDUCIDOS

5.1. INTRODUCCIÓN

A lo largo de los años se ha prestado una considerable atención al desarrollo de

modelos simplificados que conduzcan a una correcta predicción de ciertas variables de

las máquinas eléctricas para fuertes variaciones en las condiciones de funcionamiento.

Hasta 1960 el comportamiento de las máquinas de inducción se calculaba

mediante las ecuaciones de tensión de régimen permanente y la relación dinámica entre

la velocidad del rotor y el par electromagnético.

Con la llegada de los ordenadores estos modelos han dejado paso a otras

representaciones más precisas. En algunos casos las ecuaciones se programan al detalle,

aunque para el cálculo del comportamiento de redes eléctricas lo que se utilizan son

modelos de orden reducido.

En particular es bastante común despreciar los transitorios eléctricos en las

ecuaciones de tensión del estátor de todas las máquinas y en las ecuaciones de tensión

de todos los componentes del sistema de potencia conectados al estátor

(transformadores, líneas de transmisión, etc.). Resulta muy económico en términos

computacionales considerar la representación estática de toda la parte correspondiente a

la alimentación.

Algunos autores han establecido ecuaciones de orden reducido sin despreciar la

influencia de los transitorios eléctricos del estátor y considerando despreciables otras

variables de la máquina o combinaciones de las mismas.

En este capítulo se van a desarrollar diversos modelos reducidos propuestos por

otros autores e incluso se va a modificar un modelo de forma que pueda ser útil para

máquina de inducción con el rótor alimentado. También se modificará algún modelo

para incluir la saturación de las coronas magnéticas.

En todos los casos se va a considerar que el sistema de alimentación es

equilibrado, si bien podrá variar tanto en amplitud como en frecuencia. También se

considera que el sistema de alimentación del rótor es convertido adecuadamente a la

frecuencia del mismo, por supuesto las tensiones también serán equilibradas y tanto el

ángulo entre fases de rótor y estátor como la amplitud podrán variar de la forma que se

estime oportuna.

5.2. MODELO DE QUINTO ORDEN

El modelo de quinto orden clásico es el modelo del cual se derivan el resto de

modelos reducidos. No es más que el mismo modelo visto en el Capitulo 4 teniendo en

cuenta que las tensiones de alimentación son equilibradas y escogiendo el sistema de

referencia síncrono.

5 Modelos Reducidos

110

Al ser las alimentaciones equilibradas las componentes 0 serán nulas, de esta

forma se pueden reescribir las ecuaciones de la máquina en forma compleja de la

siguiente manera:

s s b sra b v (5-1)

r r

rr s b

b

rnc vd d

(5-2)

1

2

rs L

b

re TH

(5-3)

Las corrientes del estator y del rotor vienen dadas por:

s s

s

r

r r

i s m

i m r

(5-4)

Donde:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

1

2 ( )

( )

( )

b s lr M b s Me

ls lr M ls lr ls lr M ls lr

b r M b r ls Me

ls lr M ls lr ls lr M ls lr

Mn b

ls lr M ls lr

lr M

ls lr M ls l

r X X r Xa j b

X X X X X X X X X X

r X r X Xc d j

X X X X X X X X X X

Xd j e j

X X X X X

X Xs

X X X X X

( ) ( )

( )

r M

ls M ls lr M ls lr

ls lr M ls lr

Xm

X X X X X X Xr

X X X X X

r dr qr

r

s ds qs

s ds q rs q dr

j j

v v jv v jvv

Las ecuaciones (5-1) y (5-2) son las que gobiernan el sistema eléctrico, mientras

que la ecuación (5-3) gobierna el sistema mecánico. s re corresponde a la parte

real del producto de la constante e multiplicada por la conjugada de s y por r . En el

epígrafe 5.10 se contempla la inclusión de la saturación para lo que hará falta disponer

las ecuaciones en función del flujo mutuo.

5.3. MODELO DE TERCER ORDEN CLÁSICO

El método más común de reducción de orden consiste en considerar que las

variaciones del flujo del estátor son despreciables en la ecuación (5-1), lo que no quiere

decir que sean nulas, sino que la influencia en dicha ecuación no es de importancia.

Dicho de otro modo, lo que se hace es despreciar los transitorios eléctricos del estátor.

5 Modelos Reducidos

111

De esta forma, despejando se obtienen dos ecuaciones algebraicas y tres

ecuaciones diferenciales, con la reducción de orden correspondiente.

Si se desprecia la variación del flujo en el estátor y se despeja el valor del flujo

de la ecuación (5-1) queda:

1

rs b s

bv

a a (5-5)

Sustituyendo la ecuación (5-5) en las ecuaciones (5-2) y (5-3) se obtiene:

1 r

r n b s b r

b

r r

cda cb d v v

a a

(5-6)

1

2

rbr Lr rs

b

be ev T

H a a

(5-7)

Las ecuaciones (5-6) y (5-7) representan el modelo reducido de tercer orden

clásico. Para el cálculo de las intensidades se vuelve a sustituir la ecuación (5-5) ahora

en la ecuación (5-4) resultando:

rs b

r sr

s

b

sb si m v

a a

mi

b mr v

a a

(5-8)

Si se compara el modelo con el modelo completo, se aprecian una serie de

detalles importantes con los parámetros de las máquinas consideradas siendo los

indicados en el capítulo anterior en la Tabla 4-1.

En primer lugar, en las figuras 5-1 y 5-2 se aprecia la aproximación del modelo

de tercer orden, dibujado en rojo, provoca que la predicción del tiempo de arranque de

la máquina sea inferior al modelo de quinto orden. Esto es debido a que se han

despreciado los transitorios eléctricos del estátor, y en máquinas que tienen un tamaño

considerable estos transitorios tienen una importancia en el arranque directo que para la

consideración del tiempo no puede ser despreciada. Esto se ve claramente en la

oscilación de la velocidad del rotor en los primeros momentos del arranque.

En cambio se aprecia para la velocidad del rotor ya relativamente cercana a la de

sincronismo, en la cual ya han desaparecido los transitorios eléctricos del estátor, como

la sobreoscilación alrededor del punto de sincronismo es prácticamente idéntica entre el

modelo completo y el modelo de tercer orden clásico. Esto se aprecia muy bien en la

curva de par frente a la velocidad del rótor para el arranque, que está representada en la

figura 5-3. Aquí se aprecia claramente como una vez desparecidos los transitorios

eléctricos del estátor las curvas tienden a ser prácticamente idénticas. En el momento

justo del arranque el modelo de tercer orden predice un transitorio muy inferior. En

conclusión este modelo tiene muy buena aproximación para transitorios mecánicos,

mientras que para los eléctricos durante el arranque no resulta tan apropiado.

5 Modelos Reducidos

112

5-1 Comparativa modelo de tercer orden clásico. Velocidad del rotor.

5-2 Comparativa modelo de tercer orden clásico. Par electromagnético.

5 Modelos Reducidos

113

5-3 Comparativa modelo de tercer orden clásico. Par/velocidad

5-4 Modelo de tercer orden clásico. Envolvente de las Corrientes del estátor.

5 Modelos Reducidos

114

En la figura 5-4, en la que se representa la envolvente de las intensidades del

estátor para el arranque en vacío, se aprecia nuevamente como el transitorio eléctrico

del arranque prácticamente desaparece, siendo reducido a un transitorio mucho más

suave. Por otro lado, como promedio de las intensidades de arranque este modelo si

representa bastante bien la evolución de las mismas, como se ve por el hecho de que la

línea roja sigua al promedio de la línea azul, salvo por el desfase de tiempo ya conocido.

Si se hace una comparativa de este modelo para un cortocircuito trifásico en

bornas, se aprecia como la evolución desde el régimen permanente cualitativamente

aproxima a la curva de par bastante bien, si bien desaparecen los transitorios oscilantes

del par electromagnético, conduciendo nuevamente a tiempos menores en la

estabilización de dicho par. En la figura 5-5 se puede observar estos efectos. Nada más

producirse el cortocircuito la máquina intenta compensar el cambio brusco en las

tensiones y por tanto en los flujos de la máquina, se generan unas intensidades muy

elevadas que generan un par electromagnético de frenado. Al despreciar los efectos de

la variación de flujo del estátor en la ecuación (5-1) el par transitorio de frenado debido

al cortocircuito es inferior. Al restaurar la tensión el efecto es el contrario y se pierde la

oscilación del par electromagnético, aunque su efecto en la velocidad del rótor es muy

pequeño.

5-5 Cortocircuito en bornas. Modelo Orden 3 Clásico. Par y velocidad.

Para esta simulación de cortocircuito en bornas se han escogido las máquinas de

45 kW y 100 HP por tener una característica de arranque totalmente distinta, la primera

subamortiguada y la segunda sobreamortiguada. Se ha simulado un cortocircuito de

doce ciclos completos de red, con un par resistente igual al par base de cada máquina y

5 Modelos Reducidos

115

una inercia de la carga de 4 kg·m2 para la máquina de 45 kW y de 8 kg·m

2 para la

máquina de 100 HP.

Asimismo en la figura 5-6 se ven los efectos que tiene sobre las intensidades el

despreciar los transitorios del flujo del estátor en las ecuaciones. Nuevamente la curva

es cualitativamente similar en el modelo de tercer orden clásico a la curva media tanto

en la envolvente de intensidades como en el factor de potencia, salvo por el tiempo en el

que se alcanzan las nuevas situaciones de régimen permanente.

5-6 Cortocircuito en Bornas. Modelo de orden 3 clásico. Envolvente de intensidades y factor de

potencia

Obviamente, al ser las tensiones aplicadas en el estátor nulas durante el

cortocircuito, la potencia consumida es nula y el factor de potencia carece de sentido,

por lo que no aparece representado en las curvas.

Para comprobar el funcionamiento del modelo con las variaciones de par

resistente, se ha simulado para las mismas dos máquinas de 45 kW y de 100 HP la

aplicación repentina, partiendo del régimen permanente en vacío, de una carga con un

par resistente igual al par base y con unas inercias de 1,2 kg·m2 y 2,22 kg·m

2

respectivas. Una vez alcanzada la nueva situación de régimen permanente se retira la

carga para que evolucione de nuevo a la situación de vacío.

El resultado es realmente preciso para este modelo en comparación con el

modelo completo, hasta tal punto que se hace muy complicado diferenciar las dos

curvas cuando se representan comparativamente en la misma gráfica. Esto hace que este

modelo resulte muy apropiado para las simulaciones de red en las que el interés

5 Modelos Reducidos

116

principal sea la simulación de los efectos producidos por las cargas aplicadas. Esto se

aprecia en las figuras 5-7 y 5-8.

5-7 Cambio brusco de par. Modelo orden 3 clásico. Par y velocidad.

5-8 Cambio brusco de par. Modelo orden 3 clásico. Envolvente de intensidades del estátor y factor

de potencia.

5 Modelos Reducidos

117

En el caso de que haya sistemas de frecuencia variable, se puede comparar el

efecto que tendría un cambio brusco de frecuencia. Así, se puede simular un aumento

repentino de la frecuencia de un 10% y cuando se alcance el régimen permanente

retornar a la frecuencia original. Escogiendo las mismas máquinas con una carga

aplicada de un par resistente igual a la mitad del par base, con unas inercias de la carga

de 0,6 kg·m2 para la máquina de 45 kW y de 1,11 kg·m

2 para la de 100 HP. Lo que se

observa en la figura 5-9 es que la variación experimentada en el par debido a los

cambios repentinos de frecuencia no tiene una componente oscilante tan fuerte como en

el arranque y por tanto el modelo tiende a seguirlo de una manera más fiel, no

observándose diferencias muy apreciables en la velocidad del rótor.

5-9 Aumento brusco de frecuencia. Modelo orden 3 Clásico. Par y velocidad.

Es de esperar por tanto que tampoco haya unas diferencias excesivas en las

envolventes de las corrientes del estátor, ni en el factor de potencia al ser comparadas

con las mostradas por el modelo de quinto orden completo. De hecho salvo el rizado

que aparece en las curvas del modelo completo el ajuste de este modelo reducido es

muy bueno tal y como se muestra en la gráfica 5-10.

Se puede concluir que este modelo ajusta muy bien las variaciones de las cargas

para cualquier parámetro, no ajustando tan bien los transitorios originados por

variaciones eléctricas, si bien la evolución promedio de las mismas si resulta muy

aproximado. Además, si se obvia el arranque de la máquina en vacío, la influencia del

par oscilante que permanentemente aparece en cambios bruscos de magnitudes

5 Modelos Reducidos

118

eléctricas es pequeña en la velocidad del rótor, lo que unido a su simplicidad hace que

sea apropiado para estudios de estabilidad.

5-10 Aumento brusco de frecuencia. Modelo Orden3 clásico. Envolvente de intensidades del estátor

y factor de potencia.

5.4. MODELO DE PRIMER ORDEN CLÁSICO

Es posible, a partir de las ecuaciones del modelo de tercer orden clásico, ir un

paso más allá y considerar despreciables las derivadas del flujo del rotor, considerando

que no tienen influencia en la ecuación (5-6). En ese caso haciendo 0r en (5-6) y

despejando r

b s b r

r rn

b b

r

n

c av v

da cb ad da cb ad

(5-9)

Ahora, sustituyendo (5-9) en (5-7) se obtiene la nueva ecuación mecánica

5 Modelos Reducidos

119

2

2

1

2

br rn s s

b br

n

b

rn r s r r L

b

ec d d v vH

da cb ad

e ad bc ad v v eabv v T

(5-10)

Se sustituye la ecuación (5-9) en la ecuación (5-8) para obtener las intensidades:

rn

bs b s b r

r rn n

b b

rn

br b s b r

r rn n

b b

cm sd sdma sb

i v v

da cb ad da cb ad

cr md mdar mb

i v v

da cb ad da cb ad

(5-11)

Este modelo corresponde al modelo clásico de los motores de inducción, en el

que las ecuaciones eléctricas vienen dadas por los valores del circuito equivalente de

régimen permanente y la mecánica por una ecuación diferencial de primer orden.

De primeras se puede pensar que si el modelo de tercer orden pudiera no ser

excesivamente preciso para transitorios eléctricos, este modelo de primer orden lo será

aún menos, ya que deshecha todavía más información de las ecuaciones al despreciar las

variaciones de los flujos del rótor.

Al evaluar el arranque en vacío para las cuatro mismas máquinas que en el

modelo de tercer orden lo primero que se observa en las figuras 5-11 y 5-12 es la

completa desaparición del rizado del arranque, tanto en el par como en la velocidad del

rótor. Curiosamente el siguiente efecto que se aprecia es que no hay sobreoscilación

alrededor del punto de régimen permanente en vacío y el tiempo que predice el modelo

de primer orden para la evolución desde el arranque al régimen permanente es todavía

menor que el modelo de tercer orden, y por tanto más erróneo.

Destacable es también como el modelo de primer orden predice un par máximo

mayor que en el modelo completo y el de tercer orden, que predecían el mismo par. La

excepción a esto es la máquina de 100 HP, cuyo comportamiento, conviene recordar,

era sobreamortiguado. En esta máquina la diferencia con el modelo de tercer orden es

mucho menor que en las otras, y es principalmente la pequeña oscilación que existía en

el par durante los primeros instantes del arranque en el modelo de tercer orden.

Cuando lo que se evalúa es la característica par velocidad durante el arranque en

la figura 5-13 se pone de manifiesto aún más si cabe la diferencia del par máximo en las

máquinas subamortiguadas y la no sobreoscilación de este modelo, así como la buena

aproximación en la evolución promedio del mismo en la máquina sobreamortiguada

(100 HP).

5 Modelos Reducidos

120

5-11 Comparativa modelo de primer orden clásico. Velocidad del rotor.

5-12 Comparativa modelo de primer orden clásico. Par electromagnético.

5 Modelos Reducidos

121

5-13 Comparativa modelo de primer orden clásico. Par velocidad.

5-14 Comparativa modelo de primer orden clásico. Envolvente de las intensidades.

5 Modelos Reducidos

122

La falta de oscilación alrededor del punto de equilibrio de régimen permanente

en vacío de las máquinas de 15 kW 45 kW y 1500 HP, provoca en las corrientes del

estátor una aproximación más abrupta al nuevo punto de equilibrio (figura 5-14), tal y

como ocurre con el par electromagnético y la velocidad del rótor en las figuras

anteriores.

De hecho si lo que se observa es la evolución de la intensidad y del factor de

potencia con respecto a la velocidad angular del rótor (figuras 5-15 y 5-16), lo que se

observa es como esa evolución más abrupta al punto de equilibrio y sin sobreoscilación,

predicha por el modelo de primer orden, crea una diferencia en la aproximación al punto

de equilibrio nuevo con respecto al modelo completo de cierta importancia. En cambio

durante los primeros instantes del arranque las curvas siguen de una forma bastante fiel

la evolución del promedio.

Merece la pena destacar la evolución de la máquina de 100 HP, que como ya se

sabía tiene una evolución hacia los nuevos puntos de trabajo sobreamortiguada. Este

modelo representa con bastante buena aproximación dicha evolución, salvo por la

oscilación de los conocidos transitorios eléctricos durante los primeros instantes del

arranque, lo que unido a la elevada simplificación de las ecuaciones, al pasar de un

sistema de cinco ecuaciones diferenciales a una sola ecuación diferencial y cuatro

ecuaciones algebraicas, lo hacen bastante apropiado para la representación de este tipo

de máquinas.

5-15 Comparativa modelo orden 1 clásico. Envolvente de intensidades frente a velocidad del rótor.

Arranque en vacío.

5 Modelos Reducidos

123

5-16 Comparativa modelo orden 1 clásico. Factor de potencia frente a velocidad del rótor.

Arranque en vacío

A la hora de considerar un cortocircuito trifásico en bornas de doce ciclos de red

completos, se contemplan las dos máquinas de 45 kW y 100 HP con un par resistente

igual al par base y con una inercia de la carga resistente de 4 kg·m2 y 8 kg·m

2

respectivamente.

En las figuras 5-17 y 5-18 se encuentra representada la evolución de las dos

máquinas en cuestión, tanto para el par como para la velocidad angular, así como la

envolvente de las intensidades y el factor de potencia, para el modelo de primer orden

comparativamente con el modelo de quinto orden. Se puede apreciar en ellas que no

aparece el par de frenado de los primeros instantes del cortocircuito, sino que

directamente el modelo pasa a una situación de par nulo y el freno que experimenta el

motor según este modelo se debe exclusivamente al par resistente aplicado. Asimismo,

las intensidades del estátor resultan nulas, y por carecer de sentido el factor de potencia

no aparece este representado durante el tiempo que dura el cortocircuito.

Al eliminar el cortocircuito en bornas y reponer la tensión nominal al cabo de los

doce ciclos completos de red, la máquina vuelve a generar un par electromagnético que

acelera la máquina hasta el punto de partida original. Nuevamente, se aprecia como el

modelo de primer orden ajusta mejor a la máquina sobreamortiguada, por ser esta de

evolución más simple hacia los nuevos puntos de equilibrio. En ambos casos no

aparece, como era de esperar la oscilación de frecuencia más alta debida a los

transitorios eléctricos, que se experimentan con el modelo de quinto orden.

5 Modelos Reducidos

124

5-17 Corto trifásico. Modelo de orden 1 clásico. Par y velocidad.

5-18 Corto trifásico. Modelo de orden 1 clásico. Envolvente de intensidades y factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

125

5-19 Aplicación brusca de par resistente. Modelo de orden 1 clásico. Par y velocidad.

5-20 Aplicación brusca de par resistente. Modelo de orden 1 clásico. Envolvente de intensidades y

factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

126

En las figuras 5-19 y 5-20 se representa la simulación para las máquinas de 45

kW y 100 HP de una aplicación brusca de un par resistente igual al par base con una

inercia de la carga de 1,2 kg·m2 y 2,22 kg·m

2 respectivamente, desde una situación de

régimen permanente en vacío, para una vez alcanzado el nuevo punto de régimen

permanente retirar las cargas resistentes.

Lo primero que llama la atención en estas gráficas es la buena aproximación que

tiene el modelo de primer orden para la máquina de 100 HP, lo que es debido, sin duda

a la nula sobreoscilación que tiene dicha máquina en la evolución entre los distintos

puntos de equilibrio. Este hecho es por la característica de sobreamortiguación de la

máquina y se verá posteriormente como está íntimamente ligado a los autovalores que

representan a la máquina.

La máquina de 45 kW en cambio, al tener una evolución subamortiguada, oscila

en su evolución hacia los nuevos puntos de equilibrio alrededor de los mismos. El

modelo de primer orden aquí no parece tan apropiado para sustituir al modelo de quinto

orden o la de tercer orden clásico.

Lo mismo sucede al evaluar un cambio brusco en la frecuencia aplicada.

Teniendo las dos máquinas antes mencionadas un par resistente igual a la mitad del par

base. Nuevamente la máquina con la característica sobreamortiguada se verá mejor

representada por el modelo de primer orden que la máquina subamortiguada, como se

aprecia en las figuras 5-21 y 5-22.

5-21 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 1 clásico. Par y velocidad.

5 Modelos Reducidos

127

5-22 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 1 clásico. Envolvente de las intensidades y

factor de potencia.

Como conclusión al evaluar el modelo de primer orden se puede decir que tendrá

un gran valor para representar máquinas de característica sobreamortiguada, por la

simplificación elevada en el orden del sistema de ecuaciones diferenciales, teniendo una

precisión suficiente en la aproximación que el modelo deriva, e incluso llegando a una

elevada precisión para las evoluciones debidas a variaciones de par externo. En cambio,

no será tan buena la aproximación cuando la característica de la máquina es claramente

subamortiguada ya que se pierde mucha información de la evolución de la máquina en

distintas situaciones, haciendo necesario evaluar la importancia que tendrán estas

evoluciones antes de aplicar el modelo.

5.5. MODELO DE SEGUNDO ORDEN DE RICHARDS Y TAN

Si se considera que el rótor de la máquina de inducción no está alimentado,

resulta que en condiciones de régimen permanente, la posición del flujo mutuo

resultante respecto al sistema de referencia síncrono viene exclusivamente determinada

por el deslizamiento. Cuando hay transitorios eléctricos con deslizamiento constante, la

magnitud del flujo mutuo resultante varía, mientras que su velocidad experimenta

pequeñas variaciones alrededor del valor de sincronismo. Cuando desaparecen los

transitorios eléctricos el flujo resultante retorna a la misma posición relativa al sistema

de referencia. Si el deslizamiento varía también, el campo resultante se desplazará a una

5 Modelos Reducidos

128

posición distinta correspondiente al nuevo deslizamiento. Esta idea es desarrollada por

Gill Richards y Owen Tan en [6].

Los cambios en la amplitud del flujo mutuo se corresponden con cambios de

amplitud en las corrientes y tensiones inducidas en los devanados del estátor, mientras

que la variación de velocidad del flujo produce variaciones de frecuencia y amplitud en

dichas corrientes y tensiones. Si se asume que el segundo efecto es despreciable, se

puede decir que en cualquier momento la relación dr qr solo depende del valor

instantáneo de deslizamiento. Entonces como el flujo resultante del rótor es

2 2 2

Re Imr r r r r (5-12)

entonces

Re Re Im Im

2

r rr r r r r r r r

r

r r r

(5-13)

Ahora considerando la relación constante dr qr y dado que se puede elegir el

ángulo inicial del sistema de referencia, es posible calcular de los valores dr r y

qr r del régimen permanente mediante la ecuación (5-9), para ello se impone que

0qsv , de forma que la tensión de alimentación no tiene componente imaginaria,

r rn n

b br

rr rn n

b b

ad cb ad ad cb ad

ad cb ad ad cb ad

(5-14)

Sustituyendo (5-6) en (5-13) teniendo en cuenta (5-14)

1

rn

br r b s

rn

b

ad cb ad

da cb c va

a ad cb ad

(5-15)

y ahora (5-14) en (5-7)

21

2

rn

brr b r s L

b rn

b

ead cb ad

abev T

H aad cb ad

(5-16)

Las ecuaciones (5-15) y (5-16) forman un sistema de ecuaciones diferenciales de

segundo orden. Una vez calculados los valores de r y r se puede calcular r de

(5-14),

5 Modelos Reducidos

129

rn

br r

rn

b

ad cb ad

ad cb ad

(5-17)

s puede ser calculado a partir de (5-5) como

1r

n

bs r b s

rn

b

ad cb adb

va a

ad cb ad

(5-18)

y las intensidades si e ri de (5-8), con el siguiente resultado

rn

bs r b s

rn

b

rn

br r b s

rn

b

ad cb adsb s

i m va a

ad cb ad

ad cb admb m

i r va a

ad cb ad

(5-19)

Lo primero que se aprecia en este modelo por simple observación de sus

ecuaciones es que en no aparece por ningún sitio la tensión aplicada al rótor. Esto es

debido a que el modelo considera el rotor cortocircuitado desde el primer momento en

que se plantean las ecuaciones, y por ende este modelo solo será aplicable para

situaciones en las que el rótor no esté alimentado.

Si se evalúan los resultados de un arranque en vacío de las máquinas de 15 kW,

45 kW, 100 HP y 1500 HP especificadas anteriormente, se puede apreciar en las figuras

5-23, 5-24, 5-25 y 5-26 como la evolución hacia el punto de régimen permanente de las

máquinas subamortiguadas es mucho menos abrupta que en el modelo de orden 1

clásico dado en las figuras 5-11, 5-12, 5-13 y 5-14, si bien han desaparecido las

sobreoscilaciones que aparecían en el modelo de tercer orden clásico y en el modelo de

quinto orden. Además el punto de par máximo representa un valor inferior en este

modelo que en el de primer orden, y más próximo al punto “real” dado por el modelo de

quinto orden completo.

Nuevamente, y al derivarse este modelo del modelo de tercer orden clásico, los

transitorios eléctricos oscilatorios del arranque no están presentes, desapareciendo los

rizados de las curvas de los primeros instantes, si bien hay que hacer notar que el par

electromagnético parte del valor 0 en el primer instante, cosa que no ocurría en el

modelo de primer orden, si bien alcanza rápidamente el valor promedio de la curva del

modelo completo con bastante buena aproximación.

5 Modelos Reducidos

130

5-23 Comparativa modelo orden 2 de Richards & Tan. Par electromagnético.

5-24 Comparativa modelo orden 2 de Richards & Tan. Velocidad del rótor.

5 Modelos Reducidos

131

5-25 Comparativa modelo orden 2 de Richards & Tan. Característica par-velocidad.

5-26 Comparativa modelo orden 2 de Richards & Tan. Envolvente de las intensidades.

5 Modelos Reducidos

132

En la figura 5-25, que representa la curva característica durante el arranque en

vacío, se aprecia perfectamente lo dicho anteriormente, y presenta unas curvas más

aproximadas a las dadas por el modelo completo que en el caso del modelo de primer

orden clásico, si bien carecen de la buena precisión que presenta el modelo de tercer

orden.

Mención aparte merece el caso de la máquina sobreamortiguada de 100 HP, en

la cual no se aprecia mejora alguna significativa con respecto al modelo de primer orden

clásico, con lo que la complejidad añadida de tener una ecuación diferencial más no

aporta apenas ventajas.

En todos los casos el modelo tiene un adelanto en tiempo del arranque en vacío

inferior a los dos modelos vistos anteriormente, debido principalmente al menor par

máximo predicho por este modelo y a partir de un valor nulo de par.

Al simular un cortocircuito trifásico en bornas durante seis ciclos de red para las

máquinas de 45 kW y 100 HP descritas anteriormente, se aprecia en las figuras 5-27 y

5-28 como el par sigue de una forma razonable al modelo de quinto orden, salvo por el

rizado de la curva. Aparece nuevamente el par de frenado de los primeros instantes del

cortocircuito, en oposición al modelo de primer orden, aunque en menor medida que el

modelo completo. Al eliminar el cortocircuito, la máquina desarrolla un par

electromagnético que si bien no ajusta tan bien como el modelo de tercer orden, la

buena aproximación de la envolvente de intensidades del estator a la media del modelo

de quinto orden hacen que esta reducción de orden sea bastante buena si los valores

requeridos para la simulación no son los valores de pico, sino una evolución cualitativa

de la máquina.

5-27 corto trifásico. Modelo de orden 2 de Richards & Tan. Par y velocidad.

5 Modelos Reducidos

133

5-28 Corto trifásico. Modelo de orden 2 de Richards & Tan. Envolvente de las intensidades y factor

de potencia.

Nuevamente en la máquina de 100 HP no se aprecia mejoría significativa con

respecto a las simulaciones de cortocircuito del modelo de primer orden.

En una simulación de cambio brusco de par, partiendo de régimen permanente

en vacío y aplicando repentinamente un par resistente igual al par base con unas inercias

de las cargas de 1,2 kg·m2 y 2,22 kg·m

2 para las máquinas de 45 kW y 100 HP

respectivamente, no se aprecian cambios importantes con respecto al modelo de primer

orden clásico en lo que respecta a la evolución del par, tal y como muestra la figura 5-29

y más al compararla con la figura 5-19.

En cambio sí se aprecia una evolución más próxima al modelo de quinto orden

en las envolventes de las intensidades y en el factor de potencia representados en la

figura 5-30, mejorando para la máquina de 45 kW con lo previsto por el modelo de

primer orden clásico, si bien no tiene la evolución oscilatoria del modelo de tercer orden

clásico.

Otra vez vuelve a repetirse el hecho, cada vez más significativo de la poca

diferencia entre los modelos para la máquina de 100 HP, y el poco beneficio que aporta

este modelo a la máquina sobreamortiguada.

En la simulación de cambio de frecuencia, se ha aumentado la misma un 10%

para, una vez alcanzado el nuevo régimen permanente, revertir la situación. La

simulación se ha realizado con un par resistente igual a la mitad del par base, para las

máquinas de 45 kW y 100 HP, y con una inercia de la carga de 0,6 kg·m2 y 0,11 kg·m

2

respectivamente. La simulación está representada en las figuras 5-31 y 5-32.

5 Modelos Reducidos

134

5-29 Aplicación brusca de par. Modelo de orden 2 de Richards & Tan. Par y velocidad.

5-30 Aplicación brusca de par resistente. Modelo de orden 2 de Richards & Tan. Envolvente de

intensidades y factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

135

5-31 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 2 de Richards & Tan. Par y velocidad.

5-32 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 2 de Richards & Tan. Envolvente de

intensidades y factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

136

De nuevo, la máquina subamortiguada (45 kW) presenta una evolución

promedio más suavizada que en el modelo de primer orden clásico, y tampoco presenta

las oscilaciones que aparecen en el modelo de quinto orden y que sí figuran en el

modelo de tercer orden clásico. Siguiendo la pauta hasta ahora vista, no aparece un

beneficio claro en usar el modelo de segundo orden para predecir la evolución de la

máquina sobreamortiguada (100 HP).

Como conclusión de este modelo se puede decir que para las máquinas

subamortiguadas, presenta una mejora de la previsión con respecto al modelo de primer

orden clásico, a costa de introducir una ecuación diferencial más que éste. Para

transitorios eléctricos y arranque se tendrá una mejora significativa con respecto al

modelo de primer orden clásico, mientras que para cambios de par y de frecuencia, si

bien existe una mejora, no es tan grande.

En lo que se refiere a la máquina sobreamortiguada, no se aprecia un beneficio

en la previsión de esté modelo con respecto al modelo de primer orden clásico, y por

tanto no arroja una mejora al introducir una ecuación diferencial más.

5.6. MODELO DE TERCER ORDEN REFINADO

F.D. Rodríguez y O. Wasynczuk proponen en [7] un método para obtener un

modelo reducido de tercer orden mediante la separación de componentes rápidas de

componentes lentas de los flujos del estator, si bien este método presenta una

complicación en cuanto a la formulación de las ecuaciones, esta se ve contrarrestada por

el comportamiento del propio modelo a la hora de predecir la respuesta del motor ante

diversas perturbaciones como un salto en la tensión aplicada o cortocircuitos en el

estator.

El método descrito en [7] contiene una errata atribuible probablemente a la

transcripción, conduciendo a una formulación de las ecuaciones finales no del todo

correcta, sin embargo la metodología seguida es perfecta, habiéndose simplemente

subsanado en este proyecto el error en dicho documento y adaptado las ecuaciones a la

terminología aquí utilizada.

En el modelo de tercer orden clásico se desprecian las variaciones del flujo del

estator, por considerar que la influencia de estas variaciones en la dinámica de la

máquina de inducción desaparece de una manera muy rápida al comparar con el resto de

variables que componen la mencionada dinámica.

En realidad, los flujos y sus variaciones se pueden separar en dos partes, una,

que se denomina componente rápida, y cuya variación desaparece en un pequeño lapso

de tiempo, comparativamente hablando, y otra que es la componente lenta cuya

variación tarda algo más en desaparecer.

De esta forma, el modelo de tercer orden clásico al despreciar las variaciones del

flujo del estátor, desprecia por igual las variaciones de las componentes lentas y rápidas

de dicho flujo estatórico. Para evitar esto y corregirlo de algún modo, el método

propone separar los flujos del estator en la suma de componentes rápidas y lentas de la

siguiente forma.

5 Modelos Reducidos

137

*f

s s s (5-20)

Donde f

s representa las componentes rápidas y *

s las componentes lentas de

los flujos estatóricos. Sustituyendo *

s en la ecuación (5-20) por el valor de la ecuación

(5-5):

1f

s s r b s

bv

a a (5-21)

Sustituyendo en (5-2) se obtiene:

f r

r s r n r b s b r

b

ad bc cc d v v

a a

(5-22)

Se puede expresar la ecuación electromecánica en función de f

s

1

2

frs r r r b s r L

b

eb ee v T

H a a

(5-23)

Se escribe ahora la ecuación del estator en términos de f

s sustituyendo el valor

de s dado por la ecuación (5-21) en la ecuación (5-1), de esta manera

1 1f

s r b s r b s s r b s

b b a av v a b v

a a a a a a (5-24)

Sustituyendo ahora la ecuación (5-22) en (5-24)

2f f n b b br

s s r r s r s

b

bd ba bc ad bc a b bc av v v

a a a a a a a a a a

(5-25)

De momento no se ha hecho ninguna aproximación y por tanto estas ecuaciones

son del mismo orden que las del modelo de quinto orden clásico. Esto quiere decir que

caracterizan de igual manera la dinámica de la máquina de inducción. Lo único

destacable es que el vector de estado original s ha sido sustituido por f

s , que

corresponde a la componente rápida de s .

Como solo interesa la componente lenta de la respuesta, se desprecia la derivada

de la componente rápida del flujo del estátor, realizando esto en la ecuación (5-25) y

despejando f

s :

2 2 2

2 2

f nrs r r b s

b

b br s

ad bc a a bcbbda a a a v

a bc a bc a bc

bv v

a bc a bc

(5-26)

Sustituyendo ahora (5-26) en (5-22)

5 Modelos Reducidos

138

2 2

2 2 22 2

b n brr s r r b s r

b

a aa ad bc bc ca c

c a d aa av v va bc a bc a bca bc a bc

(5-27)

Para poner esta ecuación en la forma convencional de variables de estado se

puede realizar el siguiente cambio de variable:

2r b s

cx v

a bc

(5-28)

Sustituyendo en (5-27) y agrupando se obtiene la ecuación de estado en función

de la nueva variable de estado

2 22

222 2

2 2

2 22

3 2nr

b s

b

nrb s b r

b

a aa ad bc bc a c a d c a bc

a da ax x x va bca bc a bc

a cd av v

a bca bc

(5-29)

Se sustituye ahora r de la ecuación (5-28) en la ecuación (5-26) para obtener

las componentes rápidas del flujo por segundo del estátor en función de la nueva

variable de estado

2

22 2 2

2 2 22

2

1

f nrs b s

b

nrb s b r b s

b

ad bc a ab bc a d a bcbda a ax x v

a bc a bc a bc

bcd bv v v

a bc a bca bc

(5-30)

De modo que ahora se calcula a partir de (5-21), (5-30) y (5-28) el flujo por

segundo total del estátor en función de la nueva variable.

3 2

22 2 2

2 2 22

2

1

nrs b s

b

nrb s b r b s

b

a ad a b bcd a a bcbda ax x v

a bc a bc a bc

bcd bv v v

a bc a bca bc

(5-31)

Tomando ahora la ecuación mecánica (5-3), teniendo en cuenta que la parte real

de un número complejo es igual a la de su conjugado y que e e , por ser imaginario

puro

5 Modelos Reducidos

139

1

2

rs r L

b

e TH

(5-32)

y a partir de (5-31) y (5-28)

2 2

3 2

22 2 2

2 2 2 2

2

1

2

2

1 1

nr r

b b

b s

nrb s b r

b

b

ad a b

bdae x x x x

H a bc a bc

a ad a bc a bcd a bca a v x

a bc a bc a bc

bcd bv x v x

a bc a bc a bc a bc

b

2 3 2

2

2 222 2 2

2

2 22 2

2

1

nrs s b s s

b

b r s b b s s L

ac d a c c a bc

bcdca v v v va bca bc a bc a bc

c b cv v x v v T

a bc a bca bc a bc

(5-33)

El término que contiene la derivada de la tensión del estátor puede ser expresado

como:

22

2

22 2

1

2

1 1

2 2

b b s s

b s b s s

e cx v v

H a bc a bc

e ecx v v v

H Ha bc a bc a bc

(5-34)

Se puede comprobar que si se escoge el sistema de referencia de modo que sv

tenga un valor real sin componente imaginaria el segundo término de la parte derecha de

la ecuación (5-34) es nulo, ya que el producto solo contiene parte imaginaria. Este

sistema de referencia coincide con el sistema de referencia síncrono. De esta forma se

puede expresar dicha ecuación como

5 Modelos Reducidos

140

22 2

2 2

2 22 2

1 1

2 2

1

2

1 2

2

b b s s b s

b s b s

b s b s b s

e c ex v v x v

H Ha bc a bca bc

e d ex v x v

H dta bc a bc

d e aae ex v x v v x

H dt a bc a bc a bc

(5-35)

Sustituyendo (5-29) en (5-35) y esta última en (5-33) y reorganizando

2 2 2

2 3 2

22 2 2

2 2 2 2

2 2

1 1

2 2

2 2 3 2

2

b nr rs

b b

b s

nrb

b

ad a

e bdd ax v e bx x x xdt H Ha bc a bc a bc

a abc a d abc bc a bcd a bc

a a v xa bc a bc a bc

a bc a b cd

a bc a

2

2 3 22

2 2

2 22 2 2 2

22

2 2 2

2 4

s

nrb s s b s s

b

b r b r s L

v xbc a bc

abc a cd a c c a bc bc a cda v v v v

a bc a bc a bc a bc

b a bcv x v v T

a bc a bc a bc

(5-36)

Haciendo lo mismo con la ecuación mecánica (5-23) y a partir de (5-30) y

reagrupando términos, teniendo en cuenta además que se puede elegir el origen del

sistema de referencia, se hace de forma que la tensión del estátor sea una variable sin

componente imaginaria como se ha especificado anteriormente, además se tiene en

cuenta que la parte real de un valor complejo es igual a la del valor complejo conjugado.

Se puede definir una nueva variable ahora,

2

1

2

rb s

b

ex x v

H a bc

(5-37)

Sustituyendo (5-37) en (5-36) y teniendo en cuenta lo dicho en el párrafo

anterior se puede reescribir la ecuación mecánica como:

5 Modelos Reducidos

141

2 3 2

22 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 3 21

2

2

b s

n nr rb s

b b

b

a abc a d abc bc a bcd a bc

a ax e v xH a bc a bc a bc

ad aa bc a b cd bdav x bx x x x

a bc a bc a bc a bc a bc

bc a

2 3 22

2

2 22 2 2 2

22

2 2 2

2 4nr

s s b s s

b

b r b r s L

acd a c c a bc bc a cda v v v va bc a bc a bc a bc

b a bcv x v v T

a bc a bc a bc

(5-38)

Para el cálculo de las intensidades, se sustituye (5-21) en (5-4)

f

s s r b s

f

r s r b s

bs si s m v

a a

bm mi m r v

a a

(5-39)

Ahora se sustituye (5-30) y (5-28) en (5-39) quedando

3 2 2

22 2

22 2 22

2

2

s b s

n nr rb s b r b s

b b

r b

a ad a bs s bcd a a bc mc a bc

a ai m x v

a bc a bc

sbd sbcd sb sx v v v

a bc a bc a bca bc

ad a bm m bc

ai r x

a bc

3 2 2

22

22 2 22

2

s

n nr rb s b r b s

b b

ad a a bc rc a bc

av

a bc

mbd mbcd mb mx v v v

a bc a bc a bca bc

(5-40)

Para la simulación, se puede despreciar en (5-40) la influencia del término que

depende de sv ya que la constante que le precede tiene un valor muy bajo respecto al

resto de la ecuación.

Este modelo ha despreciado únicamente las componentes rápidas del flujo del

estátor, con la ventaja que se verá que arroja. A cambio y a primera vista se observa una

mayor complejidad de las ecuaciones.

5 Modelos Reducidos

142

Otra contrapartida que arrojan estas ecuaciones es el manejo de variables de

estado que no tienen un significado físico directo, dándose el caso incluso de que la

variable relacionada con la velocidad del rótor depende de la inercia propia del motor

más la inercia de la carga, lo cual hay que tener en cuenta a la hora de integrar las

ecuaciones en el caso de simular la carga aplicada mediante un embrague, por ejemplo.

Las ecuaciones dependen también de la variación temporal de la constante

compleja de acoplamiento a , o lo que es lo mismo de las variaciones en la frecuencia

de alimentación del estator. Esto provoca que los coeficientes de cada uno de los

términos no sean constantes a menos que la frecuencia así lo sea.

En cambio si la frecuencia de alimentación y la inercia de la carga han de

permanecer constantes, las ecuaciones quedarán bastante más simplificadas, con

coeficientes invariantes en los distintos términos, con lo que este modelo no arrojaría

más complejidad que el modelo de tercer orden clásico, salvo, eso sí, un par de cambios

de variables y que las ecuaciones presentan algún término más.

Entrando en materia de lo que es una simulación de arranque en vacío, para las

cuatro máquinas mencionadas en las simulaciones hechas en los modelos anteriores, es

decir las de la Tabla 4-1, se ha procedido a hacer dicha simulación, representada en las

figuras 5-33, 5-34, 5-35 y 5-36 donde se no se aprecia diferencia significativa entre los

modelos de tercer orden clásico y el modelo refinado, salvo por una oscilación muy

levemente mayor alrededor del régimen permanente en vacío del par electromagnético

correspondiente al modelo de tercer orden refinado, así como en consecuencia de la

velocidad del rótor.

5-33 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 refinado. Velocidad del rotor.

5 Modelos Reducidos

143

5-34 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 refinado. Par electromagnético.

5-35 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 refinado. Característica par-velocidad.

5 Modelos Reducidos

144

5-36 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 refinado. Envolvente de las intensidades.

Al simular un cortocircuito trifásico en bornas es donde se aprecia la mejora

introducida por el modelo refinado. En las figuras 5-37 y 5-38 se ha simulado dicho

cortocircuito durante seis ciclos completos de red, para las máquinas de 45 kW y 100

HP, con un par resistente igual al par base y una inercia de carga de 1,2 kg·m2 y 2,22

kg·m2 respectivamente. La simulación consiste en que, viniendo del régimen

permanente con las cargas aplicadas, y tensión aplicada la nominal a frecuencia

nominal, se reproduce un cortocircuito en bornas de 6 ciclos de red en el instante

t=0,1s, durante el cual la tensión es nula por estar en cortocircuito, para tras el tiempo

equivalente a los seis ciclos de red restablecer la tensión nominal.

Para comenzar, en el momento del corto, aparece en el modelo refinado un par

electromagnético de frenado mayor que en el modelo de tercer orden clásico, lo que

lleva al caso de ambas máquinas a que el modelo refinado prediga una velocidad del

rotor más próxima a la dada por el modelo completo que el modelo de tercer orden

clásico. Asimismo, la curva de la envolvente de la intensidad describe un pico algo

mayor en el modelo refinado en el momento inicial del corto, lo que está en consonancia

con el mayor valor de par predicho.

Una vez eliminada la falta, al restablecer la tensión nominal de alimentación,

resulta apreciable en todas las curvas como el modelo refinado sigue la media de la

curva del modelo completo de forma bastante más aproximada que el modelo clásico.

Esto es especialmente evidente en la máquina subamortiguada, mientras que en la

máquina sobreamortiguada, aunque también hay una mejora en la aproximación no

resulta tan evidente como en la otra.

5 Modelos Reducidos

145

5-37 Corto trifásico. Modelo de orden 3 refinado. Par y velocidad.

5-38 Corto trifásico. Modelo de orden 3 refinado. Envolvente de las intensidades y factor de

potencia.

5 Modelos Reducidos

146

Para poner más énfasis en la mejora que se obtiene mediante este modelo con

respecto al modelo de tercer orden clásico, se ha simulado un aumento de tensión de un

20% sobre la nominal en t=0s, viniendo de régimen permanente y para ambas máquinas

de 45 kW y 100 HP en vacío. De esta forma nos evitamos la duda que ofrece el que, en

la simulación de cortocircuito, al eliminar la falta, el modelo clásico y el modelo

refinado parten de distintos puntos de velocidad del rótor.

En las figuras 5-39 y 5-40, están representadas las simulaciones de aumento

repentino de un 20% de la tensión. Es apreciable a simple vista como el modelo

refinado aporta unas curvas mucho más aproximadas tanto para la velocidad como el

par y el factor de potencia, siguiendo de una forma mucho más precisa el promedio de

las curvas, no siendo tan evidente la mejora en la envolvente de las intensidades, si bien

existe aunque en menor grado.

Hay que hacer notar el detalle de que la velocidad del rótor, en el modelo

refinado, sufre un incremento instantáneo en el mismo momento de aplicar el aumento

de tensión, lo cual es físicamente imposible. Esto es debido a que la velocidad del rótor

ha dejado de ser una variable de estado en el sistema de ecuaciones diferenciales y está

ligado a la nueva variable de estado mediante la ecuación algebraica (5-37). Al no poder

aumentar bruscamente el valor de la variable de estado x y sí hacerlo la tensión

aplicada, necesariamente tendrá que reflejarse este súbito incremento de tensión en la

velocidad del rótor según la ecuación mencionada.

5-39 Aumento 20% tensión. Vacío. Modelo de orden 3 refinado. Par y velocidad.

5 Modelos Reducidos

147

5-40 Aumento 20% tensión. Vacío. Modelo de orden 3 refinado. Envolvente de las intensidades y

factor de potencia.

La inconveniencia de que la inercia de la carga sea parte de las variables de

estado y por tanto que haya que ir actualizando a cada paso de integración la inercia

lleva además aparejado el mismo problema que con los cambios bruscos de tensión.

Nuevamente, en la ecuación (5-37), se aprecia como un cambio brusco de inercia (por

una carga brusca aplicada, por ejemplo) supone que a tensión aplicada constante y, por

no variar de forma brusca la variable de estado x , se refleja directamente en un cambio

brusco de la velocidad del rótor.

Este inconveniente provoca que la predicción ante un cambio brusco de par

resistente, con inercia asociada, no sea tan buena como el resultado del modelo clásico y

tal y como se muestra en las figuras 5-41 y 5-42, en donde se han simulado un

incremento de par resistente desde el vacío hasta el par base, para las dos máquinas de

45 kW y de 100 HP, y con una inercia de la carga de 1,2 kg·m2 y 2,22 kg·m

2

respectivamente, aplicadas a la vez que la carga resistente. Una vez alcanzado el nuevo

régimen permanente se retiran las cargas resistentes, con sus inercias respectivas,

dejándose evolucionar las máquinas hasta retornar nuevamente al punto de régimen

permanente en vacío.

Tal y como se aprecia en las figuras, y pese a no ser tan precisa la predicción, sí

que las curvas tienen cualitativamente las mismas formas, con frecuencias similares al

modelo de tercer orden clásico y manteniendo el carácter subamortiguado o

sobreamortiguado de la evolución de la máquina. En este caso, el cálculo de las

corrientes del estátor, así como el par resistente, tendrán valores mayores de amplitudes

de sobreoscilación durante la evolución hacia la nueva situación de equilibrio.

5 Modelos Reducidos

148

5-41 Aplicación brusca de par (inercia variable). Modelo de orden 3 refinado. Par y velocidad.

5-42 Aplicación brusca de par (inercia variable). Modelo de orden 3 refinado. Envolvente de las

intensidades y factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

149

No obstante, en el caso de aplicar una carga de manera brusca pero sin variación

de inercia, los resultados son prácticamente idénticos en los tres casos, es decir, modelo

completo, modelo de tercer orden clásico y modelo de tercer orden refinado. Esto se

aprecia en la figura 5-43, donde se ha representado, par la máquina de 45 kW la

evolución de las curvas de velocidad, par, envolvente de intensidades y factor de

potencia, en la misma simulación que el caso anterior de cambio repentino de par

resistente, salvo que se ha mantenido la inercia de la carga resistente constante en todo

momento y con un valor de 1,2 kg·m2. Como se puede ver, apenas se diferencian unas

curvas de otras.

5-43 Aplicación brusca de par (inercia constante). Modelo de orden 3 refinado.

En un aumento brusco de frecuencia, representado en las figuras 5-44 y 5-45, no

hay aparentemente mucha diferencia entre el modelo refinado y el de tercer orden

clásico, si bien si se amplía la grafica suficientemente se podrá observar que de nuevo el

modelo refinado ajusta mejor al modelo completo, tal y como pasaba en los cambios

bruscos de tensión.

En las figuras y está representada la ampliación de las curvas a los instantes en

los que la frecuencia aumenta súbitamente un 10% pudiendo observarse ese mejor,

aunque levemente, ajuste del modelo refinado, de modo que este sigue mejor la línea

promedio en todas las curvas.

La simulación de aumento brusco de frecuencia vuelve a ser realizada con las

máquinas de 45 kW y de 100 HP, con un par resistente igual a la mitad del par base y

unas inercias de las cargas de 0,6 kg·m2 y 1,11 kg·m

2 respectivamente. Se aplica el

aumento de frecuencia en t=0.1s viniendo de régimen permanente y una vez alcanzado

el nuevo régimen se retorna a la frecuencia nominal.

5 Modelos Reducidos

150

5-44 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 3 refinado. Par y velocidad.

5-45 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 3 refinado. Envolvente de intensidades y factor

de potencia.

5 Modelos Reducidos

151

5-46 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 3 refinado. Par y velocidad. Ampliación.

5-47 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 3 refinado. Envolvente de intensidades y factor

de potencia. Ampliación.

5 Modelos Reducidos

152

Como conclusión, se puede decir que el modelo refinado ajusta mejor los

transitorios eléctricos del estátor, con una mayor precisión que el modelo de tercer

orden, sin haber aumentado el orden del sistema de ecuaciones diferenciales.

Como contrapartida, el sistema se complica matemáticamente, con más términos

en las ecuaciones diferenciales. La inercia de la carga afecta directamente a las variables

de estado y hay que realizar dos cambios de variables, de modo que no se puede obtener

la velocidad angular del rótor directamente. Las evoluciones debidas a los cambios de

carga no presentan la misma precisión que el modelo de tercer orden clásico, salvo que

la carga tenga una inercia constante.

5.7. MODELO DE RICHARDS DE TERCER ORDEN

Gill Richards va un paso más allá que en el modelo de tercer orden refinado y

propone separar las variables eléctricas del estator en respuesta libre y respuesta

forzada, para posteriormente separar las componentes lentas de las componentes rápidas

en [8].

Si definimos 0

s como la respuesta forzada del flujo por segundo del estator y l

s como la respuesta libre del flujo por segundo del estator, se tiene el flujo por

segundo como suma de las dos componentes,

0 l

s s s (5-41)

Análogamente, para el rotor se puede hacer la misma separación

0 l

r r r (5-42)

0

s y 0

r se corresponden con la solución algebraica de las ecuaciones (5-1) y

(5-2), dado que son la respuesta de régimen permanente. Así pues, despejando de las

ecuaciones considerando que las derivadas son nulas se calculan las respuestas forzadas

de los flujos por segundo del rótor y del estator, que vendrán dadas por

0

rn

bs b s b r

r rn n

b b

d db

v v

ad bc ad ad bc ad

(5-43)

0

r b s b rr r

n n

b b

c av v

ad bc ad ad bc ad

(5-44)

Sustituyendo (5-43) y (5-44) en (5-41) y (5-42) respectivamente para

posteriormente sustituir en (5-1) y (5-2), se hallan las ecuaciones que relacionan las

respuestas libres de los flujos por segundo con las respuestas forzadas y la dinámica de

la máquina.

0l l l

s s r sa b (5-45)

5 Modelos Reducidos

153

0l l l lrr s r n r r

b

c d d

(5-46)

Las ecuaciones (5-45) y (5-46) pueden ser expresadas en el sistema de referencia

estacionario, sólo hay que realizar la trasformación entre sistemas de referencia,

0sl s sl sl e s

s s r sa b k (5-47)

0sl sl s sl sl e srr s r n r r

b

c d d k

(5-48)

Las constantes sa y

sd son las constantes a y d con la velocidad del sistema de

referencia nula, es decir, sustituyendo la velocidad del sistema de referencia por el valor

nulo, quedando las partes reales de las dos constantes. e sk es la constante compleja de

la trasformación del sistema de referencia síncrono al sistema de referencia estacionario,

y que junto con su derivada respecto al tiempo viene dada por

1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

e s s e

s e s e s e s ee s

e s e s

s e e s e e e

k cos jsen k cos jsenk

k sen jcos j k

(5-49)

Derivando la ecuación (5-43) y la ecuación (5-44) se calcula variación en el

tiempo de las respuestas forzadas de los flujos por segundo, que vendrán dadas por

0

2

2 2

rn

bs b s b r

r rn n

b b

r r r rn n n n

b b b b

b s b r

r rn n

b b

d db

v v

ad bc ad ad bc ad

bc d d a d d a d d a d d

v b v

ad bc ad ad bc ad

(5-50)

0

2

2 2

r b s b rr r

n n

b b

r r rn n n

b b b

b s b r

r rn n

b b

c av v

ad bc ad ad bc ad

a d d a d d abc a d d

c v v

ad bc ad ad bc ad

(5-51)

La ecuación mecánica, que todavía no ha sido utilizada, puede ser también

expresada en función de las respuestas libre y forzada de los flujos por segundo,

5 Modelos Reducidos

154

trasformando sl

s y sl

r de vuelta al sistema de referencia síncrono, añadiendo las

respuestas forzadas y sustituyendo en la ecuación (5-3).

0 0 0 01

2

l l s e sl s e slrs r s r s r s r L

b

e k k TH

(5-52)

El tercer y cuarto término de la derecha de la igualdad corresponden a un par

oscilante de media nula, que en caso de que no sea de interés puede ser despreciado, el

primer término será la respuesta forzada del par electromagnético y el segundo termino

la respuesta libre.

Se separan ahora las intensidades del estator también en respuesta forzada más

respuesta libre

0

0

l

s s s

l

r r r

i i i

i i i

(5-53)

donde

0 0 0

0 0 0

s s r

r s r

i s m

i m r

(5-54)

l s e sl sl s e sl

s s r s

l s e sl sl s e sl

r s r r

i k s m k i

i k m r k i

(5-55)

Para reducir el orden de las ecuaciones y evitar esfuerzo de cálculo conviene

ignorar la parte rápida del la respuesta libre del flujo, dado que desaparece mucho antes

de que tenga influencia en la aceleración de la máquina. Para ello Richards propone

hacer un cambio de variables, de forma que una de ellas contenga predominantemente la

respuesta rápida y la otra la respuesta lenta. Se puede considerar entonces que la

variable con la componente rápida alcanza el régimen permanente casi

instantáneamente, convirtiéndose su ecuación en algebraica.

En cualquier caso las variables del rótor y el estátor no son buenas candidatas a

respuesta lenta y respuesta rápida, ya que están muy acopladas entre sí (como se ve por

el orden de magnitud de las constantes b y c) conteniendo ambas además componentes

rápidas y componentes lentas como se ha visto.

Si se separan las respuestas libres de los flujos por segundo referidas al sistema

de referencia estatórico en dos partes correspondientes al flujo por segundo de

dispersión más el flujo por segundo mutuo

sl sl sl

s s smutuo dispersión (5-56)

sl sl sl

r r rmutuo dispersión (5-57)

Se puede concluir, al ser los flujos por segundo mutuos iguales y los flujos por

segundo de dispersión muy inferiores a los primeros, que la diferencia de ambas tendrá

exclusivamente flujos de dispersión y que la suma de ambas tendrá como componente

5 Modelos Reducidos

155

muy predominante el flujo por segundo mutuo. La diferencia está asociada a una

constante de tiempo pequeña, mientras que la suma está asociada a una constante de

tiempo elevada en comparación.

Adoptando esta transformación se pueden definir dos nuevas variables

sl sl

f s r (5-58)

sl sl

g s r (5-59)

o lo que es lo mismo, la transformación inversa queda lo siguiente

2 2

g fsl

s

(5-60)

2 2

g fsl

r

(5-61)

siendo f la variable rápida y

g la variable lenta, asociadas ambas a los flujos por

segundo. Realizando el cambio de variables en la ecuación (5-47) y en la (5-48) y

despejando

0 0

0 0

1 1

2 2

s s s s e s e sr rg n g n f s r

b b

e s e s

g f s r

a b c d d a b c d d k k

f g k k

(5-62)

0 0

0 0

1 1

2 2

s s s s e s e sr rf n f n g s r

b b

e s e s

f g s r

a b c d d a b c d d k k

h n k k

(5-63)

Ahora, las constantes de acoplamiento tienen un valor muy inferior a las

originales b y c, así que se puede eliminar ya de la ecuación diferencial la variación

temporal de la variable rápida asumiendo que f alcanza casi instantáneamente el

régimen permanente. De esta forma, haciendo f nula en la ecuación (5-63) y

despejando

0 01 1e s e s

f g s r

nk k

h h h (5-64)

Sustituyendo a continuación (5-64) en (5-62), tal y como se ha hecho en los

modelos reducidos anteriores

0 0

s s sr rn n s

b e s e sbg g s r

a d d bc c d db a

k kh h h

(5-65)

Operando, la parte del par correspondiente a la respuesta libre queda:

5 Modelos Reducidos

156

2

0 0

2 2

1 1

2

l

f g g f

e s e s

g g s g r

e eT

e nk k

h h h

(5-66)

la ecuación mecánica queda entonces

0 0 0 01 1

2 2

s e sl s e slrs r f g s r s r L

b

e k k TH

(5-67)

Para calcular la respuesta libre de los flujos por segundo del rótor y el estátor, en

función de las variables de estado, se sustituye la ecuación (5-64) en (5-60) y (5-61), de

modo que

0 01 1 11

2

sl e s e s

s g s r

nk k

h h h

(5-68)

0 01 1 11

2

sl e s e s

r g s r

nk k

h h h

(5-69)

De esta forma, para calcular los flujos por segundo de rótor y estátor, se hace la

transformación al sistema de referencia síncrono de las ecuaciones (5-68) y (5-69)

añadiéndoseles las respuestas forzadas, quedando

0 0 0 01 1 11

2

s e sl s e

s s s g s r s

nk k

h h h

(5-70)

0 0 0 01 1 11

2

s e sl s e

r r r g s r r

nk k

h h h

(5-71)

Hasta aquí llega el modelo propuesto por Richards en [8]. Ahora bien, a la hora

de integrar las ecuaciones mediante métodos numéricos, los términos diferenciales de

las respuestas forzadas de los flujos por segundo son un inconveniente y aportan errores

numéricos en dicha integración, que sin ser muy grandes estos, al ir dependiendo un

punto calculado de los cálculos de los puntos anteriores va amplificando el error a

medida que se va realizando la integración, aunque dicho error no sea muy grande.

Para eliminar dicho error de los cálculos numéricos de las variables de estado, en

este trabajo se propone eliminar los términos diferenciales de los flujos por segundo

forzados en la ecuación del flujo por segundo lento (5-65) mediante el siguiente cambio

de variable:

0 0

s rn s

g bk s re s

c d db a

k h h

(5-72)

operando, se obtiene la nueva ecuación de estado

5 Modelos Reducidos

157

0 0

2 2

0 0

s s sr r rn n n s

b b b

k e k s r

s s sr rn n s

b be s r

a d d bc hd c d d hb a

j hh h h

a d d bc c d db a

jh h h

(5-73)

Es fácil comprobar que

1

2

rn

b

h d

(5-74)

y por tanto

0 0

2

0 0

1

2

s s rn s

b rk e k n s r

b

s s sr rn n s

b be s r

a d d bca b

j dh h

a d d bc c d db a

jh h h

(5-75)

De esta forma se ha eliminado con un nuevo cambio de variables los términos

diferenciales de las variables que no son de estado de la ecuación de estado. Sólo

aparecerán los términos diferenciales de las respuestas forzadas en las ecuaciones

algebraicas del cálculo de variables no de estado, como la respuesta rápida de los flujos

por segundo o las corrientes tanto del rótor como del estátor.

La respuesta rápida del flujo en función de la nueva variable de estado por tanto

será, sustituyendo (5-72) en (5-64)

0 0 0 01 1

s rn s

e sbf k s r s r

c d dn n n b a

kh h h h h h h

(5-76)

Los flujos por segundo del rotor y el estátor serán, a partir de (5-70) y (5-71) con

el cambio de variable de (5-72)

0 0 0 0 01

2

s srs k n s r s r s

b

h nh c d d b a

h h

(5-77)

0 0 0 0 01

2

s srr k n s r s r r

b

h nh c d d b a

h h

(5-78)

Las respuestas libres de las intensidades del estator y del rótor, tras reemplazar

(5-72) y (5-76) en (5-55) vendrán dadas por

5 Modelos Reducidos

158

0 0

0 0

1

2

1

2

1

2

1

2

l s e

s g f

s sr rn ns s

b bk s r

s r

l s e

r g f

s rn s

b

i k s m s m

d d b c d da c b a

s mh h h h

s m

h

i k m r m r

d d ba c

m rh h

0 0

0 0

s rn s

bk s r

s r

c d db a

h h

m r

h

(5-79)

Para el cálculo de la intensidad del estátor no hay más que sustituir las

ecuaciones (5-43) y (5-44) en la ecuación (5-54) calculando de este modo la respuesta

forzada de las intensidades, para posteriormente sustituir este resultado junto con (5-79)

en la ecuación (5-53), obteniendo los valores completos de las intensidades, tanto del

rótor como del estátor.

0

0

rn

bs b s b r

r rn n

b b

rn

br b s b r

r rn n

b b

mc sd s dsb ma

i v v

ad bc ad ad bc ad

rc md m dmb ra

i v v

ad bc ad ad bc ad

(5-80)

0 0

0 0

1

2

1

2

s sr rn ns s

b bs k s r

rn

bs r b s b r

r rn n

b b

s rn

br

d d b c d da c b a

i s mh h h h

mc sd s ds m sb ma

v vh

ad bc ad ad bc ad

d d b

i mh

0 0

0 0

s rns s

bk s r

rn

bs r b s b r

r rn n

b b

c d da c b a

rh h h

rc md m dm r mb ra

v vh

ad bc ad ad bc ad

(5-81)

5 Modelos Reducidos

159

De modo que se ha reducido el sistema de ecuaciones diferenciales de quinto

orden a otro tercer orden, con la simplificación que ello conlleva, si bien es cierto que

las ecuaciones ganan algo en complejidad por tener más términos, así como por tener

que calcular términos diferenciales, para los flujos.

La primera simulación a considerar es la de arranque en vacío, que es además la

simulación para la que el autor ha desarrollado el modelo. En las figuras 5-48, 5-49,

5-50 y 5-51 están representadas las curvas de evolución del arranque en vacío de par,

velocidad, característica y envolvente de intensidades respectivamente, para las

máquinas de la Tabla 4-1.

Simplemente por observación de la evolución de la velocidad del rótor, ya se

aprecia como aparece en este modelo el rizado de la curva en el momento de arranque,

lo cual desaparecía en todos los modelos vistos hasta ahora. Al observar el par

electromagnético, se aprecia como aparece el par oscilante que provoca ese rizado de la

curva de la velocidad en los primeros momentos del arranque. El par electromagnético

oscilante tiene una duración muy similar al modelo completo de quinto orden y unos

valores realmente aproximados en lo que a la amplitud de la oscilación se refiere, si bien

en las máquinas subamortiguadas esta oscilación es mayor en el modelo de Richards

para acabar decayendo a mayor ritmo que en el modelo completo. Para la máquina

sobreamortiguada, el par electromagnético calculado mediante el modelo de Richards

tiene una amplitud en la sobreoscilación siempre superior al modelo completo.

Al inspeccionar las características de par-velocidad para las cuatro máquinas la

similitud en la primera parte del arranque con respecto al modelo de quinto orden se

hace más que evidente. Las curvas de envolvente de intensidades dan unos resultados

parecidos.

No hace falta pues dar más justificaciones ante la evidente mejora que supone el

empleo del modelo de tercer orden de Richards frente a cualquiera de los otros modelos

reducidos explicados hasta ahora, cuando se trata de la primera parte de un arranque en

vacío.

En cambio, el modelo presenta un par de desventajas, que son la desaparición

del carácter oscilatorio de la evolución hacia el punto de régimen permanente en vacío

para las máquinas de carácter subamortiguado y la diferencia de par máximo con

respecto al valor del modelo completo, también para las máquinas subamortiguadas.

Para la máquina sobreamortiguada el ajuste es increíblemente bueno en todas las curvas,

salvo, tal vez, por la predicción de la amplitud de la evolución de la envolvente de las

intensidades, que en cambio tampoco es que diste mucho de los valores reales.

Las intensidades en las máquinas subamortiguadas tienen amplitudes de

oscilación similares al modelo completo pero con duración inferior, además de que en

los primerísimos instantes no alcanzan los valores tan altos debidos a la conexión. Otro

inconveniente es la caída brusca de las intensidades al alcanzar el nuevo equilibrio, que

no ajusta con la realidad, debido a la desaparición de carácter oscilante alrededor del

punto de régimen permanente cuando se hacen los cálculos con este modelo.

5 Modelos Reducidos

160

5-48 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 Richards. Velocidad del rotor.

5-49 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 Richards. Par electromagnético.

5 Modelos Reducidos

161

5-50 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 Richards. Característica par-velocidad.

5-51 Arranque en vacío. Modelo de orden 3 Richards. Envolvente de las intensidades.

5 Modelos Reducidos

162

Para solucionar de alguna forma estos defectos del modelo Richards propone

utilizar este modelo para la primera parte del arranque y una vez desaparecidos los

transitorios del estator, y para unos valores relativamente bajos de deslizamiento,

reemplazar este modelo por el de tercer orden clásico para seguir describiendo la

evolución de la máquina, lo que, como se puede imaginar por lo visto anteriormente,

daría unas curvas realmente próximas al modelo completo de quinto orden, y

únicamente mediante simulación de modelos de tercer orden, bien sea el de Richards,

bien el clásico.

En las figuras 5-52 y 5-53 se representa la evolución de un cortocircuito trifásico

en bornas, de 6 ciclos completos de red de duración, para las máquinas de 45 kW y de

100 HP. Ambas máquinas trabajan contra un par resistente igual al par base y una

inercia de carga de 4kg·m2 y de 8kg·m

2 respectivamente, y se encuentran en un

principio en situación de régimen permanente.

Durante el corto trifásico, el modelo describe el par de frenado inicial con más

exactitud que el modelo de tercer orden clásico, lo que redunda en una mejor

aproximación de la evolución de la velocidad del rótor.

5-52 corto trifásico. Modelo de orden 3 Richards. Par y velocidad.

Hay que destacar que durante el tiempo en que la máquina está en cortocircuito

el modelo de Richards no predice oscilaciones del par electromagnético y las curvas que

se describen son aproximadamente el promedio de las curvas del modelo de quinto

orden. En cambio, al retirar el cortocircuito y volver a aplicar la tensión nominal si

aparecen oscilaciones de las curvas de evolución tanto par, como velocidad del rotor,

envolvente de intensidades y factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

163

Las oscilaciones que presenta la máquina de 45 kW subamortiguada son

mayores en el primer momento que en la simulación con el modelo completo,

recuperando además el punto de régimen permanente en menos tiempo. Por tanto, el

modelo aproxima bastante bien el cortocircuito, pero no tan bien la eliminación de la

falta.

En cambio se puede apreciar que para la máquina de 100 HP sobreamortiguada

la similitud de las curvas es muy elevada y mejora con mucho a otros modelos. El único

pero que se puede poner en este caso es que los picos iniciales de las curvas que se

predicen con el modelo de Richards son del orden de un 20% superiores a los del

modelo completo, salvo para el factor de potencia. Una vez superado el pico inicial, las

curvas se asemejan mucho más a las del modelo de referencia.

5-53 Corto trifásico. Modelo de orden 3 Richards. Envolvente de las intensidades y factor de

potencia.

Es de esperar que, al desaparecer la característica subamortiguada en la

evolución de las máquinas durante el arranque, para una aplicación brusca de par

tampoco haya sobreoscilaciones alrededor del punto de régimen permanente hacia el

que evoluciona la máquina.

Efectivamente, en las figuras 5-54 y 5-55, están representadas las curvas de la

evolución de las máquinas de 45 kW y 100 HP para una aplicación repentina de una

carga resistente igual al par base de cada máquina y unas inercias de 1,2 kg·m2 y 2,22

kg·m2 respectivamente. Una vez alcanzado el régimen permanente se retira la carga,

también de manera brusca dejando evolucionar las máquinas al punto de régimen

permanente vacío original. En estas figuras se ve como la máquina subamortiguada no

5 Modelos Reducidos

164

está bien representada por el modelo de orden 3 de Richards, para cambios bruscos de

par, mientras que para la sobreamortiguada se ajustan de forma muy fiel las curvas.

5-54 Aplicación brusca de par. Modelo de orden 3 Richards. Par y velocidad.

5-55 Aplicación brusca de par. Modelo de orden 3 Richards. Envolvente de intensidades y factor de

potencia.

5 Modelos Reducidos

165

5-56 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 3 Richards. Par y velocidad.

5-57 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 3 Richards. Envolvente de las intensidades y

factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

166

A la hora de evaluar el comportamiento del modelo de Richards de tercer orden

para un aumento repentino de frecuencia de un 10%, en las máquinas antes

mencionadas de 45 kW y de 100 HP, con par resistente igual a la mitad del par base, el

resultado es muy similar a lo acontecido en la evolución de cambio de par. El modelo

aproxima de manera casi calcada las curvas de la máquina sobreamortiguada, mientras

que como se puede observar en las figuras 5-56 y 5-57 al tener el modelo completo una

evolución oscilante alrededor de la velocidad del nuevo punto de régimen permanente,

este modelo no ajusta bien, salvo el par en los primeros momentos, si bien si ajusta la

media de las velocidades del rótor. Es más si se observa el factor de potencia de la

máquina de 45 kW, el modelo predice una evolución contraria a la del modelo completo

en los primeros instantes.

Gill Richards sugiere en [8] que este modelo puede ser utilizado para simular un

arranque con rótor bloqueado. En las figuras 5-58 y 5-59 está representada la evolución

de las curvas para los motores de 45 kW y 100 HP en un ensayo de rótor bloqueado

(inercia infinita de la carga), con una tensión de alimentación tal que en régimen

permanente la corriente absorbida por la máquina sea la nominal.

Se puede ver como en el primerísimo instante las curvas de par no coinciden, ni

tampoco las de las envolventes de intensidades, pero en un tiempo de tan solo 0,1

segundos para la máquina subamortiguada y de 0,01 segundos para la

sobreamortiguada, las curvas del modelo de tercer orden de Richards se superponen con

el modelo completo hasta hacer indistinguibles unas de otras. Por poner algún pero al

modelo se puede decir que el modelo no predice el primer pico de intensidades

producido en el momento justo posterior a la conexión de la máquina.

5-58 Conexión con rótor bloqueado. Richards orden 3. Par electromagnético.

5 Modelos Reducidos

167

5-59 Conexión con rótor bloqueado. Richards orden 3. Envolvente de intensidades.

Como conclusión, se puede decir que el modelo reducido reproduce de forma

muy adecuada las corrientes y el par del modelo completo durante los transitorios de un

arranque en vacío o de un ensayo de rótor bloqueado.

En cuanto al resto de los casos, nuevamente hay que hacer distinción entre las

máquinas subamortiguadas y sobreamortigadas. El modelo de Richards elimina el

carácter de sobreoscilación en la evolución de las primeras, si bien los valores

aproximan a los promedios del modelo completo con una cierta precisión. Resultaría

interesante en estos casos realizar una alternancia de modelos de tercer orden para las

simulaciones según los tipos de evoluciones que vaya a tener la máquina, como bien

comenta Richards en su artículo.

En lo que ese refiere a máquinas sobreamortiguadas, el ajuste entre el modelo de

tercer orden de Richards y el modelo completo es tan próximo que hace que las curvas

sean casi indistinguibles en muchos de los casos, definiendo completamente las

dinámicas de estas máquinas y haciendo de este modelo el más apropiado de los vistos

hasta ahora con diferencia, si exceptuamos, como es lógico el modelo completo.

5.8. MODELO DE RICHARDS DE SEGUNDO ORDEN

En [8] Gill Richards expone este modelo que deriva de su modelo de tercer

orden explicado en el epígrafe anterior y se basa en que g recibe sus condiciones

5 Modelos Reducidos

168

iniciales, en un arranque a plena tensión, de los impulsos de 0

qds y 0

qdr cuando t=0, de

forma que

0 0

0

0 0 00 0

rs

n s

bg s r

c d db a

h h

(5-82)

Si la fase de sl

s no tiene interés en el estudio a realizar, solo es necesario

simular la amplitud de g . Denominando a esta magnitud h

2

2 2 2

h g g dg qg g (5-83)

entonces

1

2

dg dg qg qg

h g g g g g

h h

(5-84)

Sustituyendo (5-65) en (5-84) e ignorando las funciones de impulso,

1

2

0 0 0

s s s sr rn n

b b

h g g

h

s s rn

b

h

h g g

a d d bc a d d bc

h h

a d d bc

h

(5-85)

La parte del par correspondiente a la respuesta libre resulta de (5-66)

2 0 010

2

e sl

h s r g

en e kT

h h

(5-86)

0g puede ser aproximada asumiendo que h mantiene su orientación

angular inicial, por tanto

0

0

g

g h

h

(5-87)

Este valor se puede usar en (5-64) para hallar f

5 Modelos Reducidos

169

0 00 1

0

g e s

f h s r

h

nk

h h

(5-88)

y junto con (5-79) calcular l

si .

0 0

0 0

01

2 0

01

2 0

s rn s

gl s e bs h s r

h

s rn s

gl s e br h s r

h

d d ba c s m

i k s mh h h

d d ba c m r

i k m rh h h

(5-89)

Sustituyendo ahora en (5-53) junto con (5-54) se pueden calcular las

intensidades del estator.

0 0

0 0

0 0

01 1

2 0

01 1

2 0

s rn s

gs e bs h s r

h

s r

s rn s

gs e br h s r

h

d d ba c

i k s m s mh h h

s m

d d ba c

i k m r m rh h h

0 0

s rm r

(5-90)

Se ha reducido, por tanto, el orden del sistema de ecuaciones diferenciales,

pasando de un orden tres a un orden dos, ya que la ecuación (5-85) que rige el flujo no

tiene valores complejos, al contrario de lo que pasaba con el modelo de tercer orden de

Richards.

De esta forma se puede realizar la simulación de arranque de una máquina en

vacío. Otra vez, se escogen para ello las máquinas de la Tabla 4-1, y la evolución está

representada en las figura 5-60 para la evolución de la velocidad angular, en la figura

5-61 para el par electromagnético, en la 5-62 para la característica par-velocidad y en la

5-63 para la evolución de la envolvente de las intensidades del estator. En todas las

figuras se ha comparado este modelo con el completo (en línea azul) y con el de tercer

orden de Richards (en línea verde).

5 Modelos Reducidos

170

5-60 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards. Velocidad del rotor.

5-61 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards. Par electromagnético.

5 Modelos Reducidos

171

5-62 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards. Característica par-velocidad.

5-63 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards. Envolvente de las intensidades.

5 Modelos Reducidos

172

En primer lugar llama la atención el gran parecido entre las curvas del modelo

de tercer orden de Richards y el modelo de segundo orden. Tienen prácticamente el

mismo par máximo, el mismo rizado en todas las curvas al comienzo del arranque, la

misma amplitud de oscilaciones de par, etc. En cambio, se aprecia que el modelo de

segundo orden tiende a predecir un tiempo de arranque algo mayor que el modelo de

tercer orden, aunque dependiendo de la máquina este efecto es más o menos acusado.

En cualquier caso, es evidente la ventaja que supone este modelo para una

simulación de arranque frente al modelo de tercer orden de Richards, ya que predice una

dinámica muy similar y en cambio se ha reducido el orden del sistema de ecuaciones

diferenciales, con la ventaja que eso conlleva.

La desventaja de este modelo reside en la ecuación (5-82), de una forma no del

todo evidente a simple vista. Esta desventaja resulta de tener que calcular en el

momento exacto del cambio de condiciones las magnitudes de los flujos forzados y de

la velocidad angular, para mantener ese valor constante. Esto obliga a que a la hora de

escribir un programa para la simulación sea necesario que este identifique los instantes

en los que se producen dichos cambios, lo que unido a la integración de ecuaciones

puede llegar a introducir más tiempo de cálculo que el propio del modelo de tercer

orden de Richards, anulando de esta manera la ventaja de la reducción de orden.

Lo comentado en el párrafo anterior hace que este modelo sea idóneo para

simulaciones ya preparadas de antemano, y no simulaciones continuas en el que las

entradas puedan variar en cualquier instante de la simulación sin determinar, como por

ejemplo un cortocircuito trifásico con eliminación de la falta ya que habría que calcular

el ángulo de la variable relativa al flujo por segundo para dos instantes distintos.

De esta manera la única simulación que se va a realizar para este modelo, aparte

del arranque en vacío, es la de conexión con rótor bloqueado, igual que se hizo

anteriormente para el modelo de tercer orden de Richards.

Para ello se simulan las máquinas de 45 kW y 100 HP con rotor bloqueado

(velocidad inicial nula e inercia infinita), y con una tensión tal que en el régimen

permanente circule por las máquinas su corriente nominal. La simulación está

representada en las figuras 5-64, 5-65 y 5-66, con una ampliación de la curva para ver

las evoluciones de forma más clara.

Se repite el comportamiento que ha ocurrido con la simulación de arranque en

vacío, e incluso ahora el modelo de Richards de segundo orden se hace indistinguible en

las curvas del modelo de Richards de tercer orden. Siguiendo la misma evolución y con

las mismas conclusiones que se indicaron en el epígrafe 5.7, cuando se explicó el

modelo de Richards de tercer orden.

La ventaja que se aprecia en esta simulación vuelve a residir en que se ha

reducido el orden del modelo de uno de tercer orden a uno de segundo, siendo además

los resultados calcados entre ambos modelos. De esta forma cuando se vaya a hacer una

simulación de conexión con el rótor bloqueado, cuando además interesen los

transitorios del estátor, este será el mejor modelo a elegir si se pretende reducir el orden

del sistema de ecuaciones diferenciales.

5 Modelos Reducidos

173

5-64 Conexión con rótor bloqueado. Richards orden 2. Par electromagnético.

5-65 Conexión con rótor bloqueado. Richards orden 2. Envolvente de intensidades.

5 Modelos Reducidos

174

5-66 Conexión con rótor bloqueado. Richards orden 2. Factor de potencia.

En resumen, este modelo será igual de bueno como el de tercer orden de

Richards, siempre y cuando las simulaciones sean simples, de forma que se pueda

calcular el ángulo inicial de las componentes lentas de los flujos por segundo. Con la

consiguiente ventaja de reducción de orden.

5.9. MODELO DE RICHARDS Y TAN MODIFICADO

N. Derbel, B.A. Kamoun y M. Poloujadoff, proponen en [9] una modificación

del modelo de Richards y Tan de segundo orden comentado en el apartado 5.5. Lo que

se propone es un paso a coordenadas polares a partir del modelo de tercer orden clásico

y considerar el flujo por segundo del rotor como la componente lenta y el ángulo del

mismo como la componente rápida.

Si bien la modificación que proponen los autores no considera que el rotor pueda

estar alimentado, aquí se va a considerar la alimentación del rotor, dado que no

complica demasiado las ecuaciones y generaliza más el modelo. El cambio de variables

es

exp

exp exp

r r

r r r

j

dj j j

dt

(5-91)

5 Modelos Reducidos

175

Por tanto haciendo el cambio en la ecuación (5-6) y dividendo por exp j se

obtiene

exprr r n r b s r

b

d cb cj d d v v j

dt a a

(5-92)

que separando en parte real y parte imaginaria queda de la siguiente forma:

exp

exp

rr n r b s r

b

rr n r b s r

b

d cb cd d v v j

dt a a

cb cd d v v j

a a

(5-93)

Si ahora se considera que 0 en la segunda ecuación de (5-93), o sea que no

tiene peso en dicha ecuación y sustituyendo algunas constantes

2

exp

exp 1

r r b s r

ers r r

b b

d cb cd v v j

dt a a

c cbv v j

a a

(5-94)

Teniendo en cuenta ahora que exp cos senj j se puede poner

2

cos sen

cos sen 1

r r b s r s r

ers r s r r

b b

d cb c cd v v v v

dt a a a

c c cbv v v v

a a a

(5-95)

Para calcular el ángulo expresamos la ecuación (5-95) de la siguiente forma

2sen cos 1 0

sen cos 0

e rr s r s r

b b

c c cbv v v v

a a a

A A B

(5-96)

Esta ecuación se puede resolver con las siguientes relaciones trigonométricas

2 2

tan 1sen cos

1 tan 1 tan

(5-97)

que reemplazando en (5-96) y resolviendo para tan resulta

5 Modelos Reducidos

176

2 22 2 2

2 2

2 2

22

2

2

22

2

2

tan 2 tan 0

tan

1

tan

1

s s s e rr r r r

b b

s e rr r

b b

A B A A A B

A A B A B

A B

cv cv cv cbv v B v

a a a a

cv cbv

a a

(5-98)

La primera ecuación de (5-95) se puede expresar de la siguiente forma

1cos sen

1cos sen

s sr r b r b r

r r

cv cvdda cb v v

dt a a a

dda cb A A

dt a

(5-99)

Ahora, sustituyendo el seno y el coseno por los valores de (5-97), reemplazando

la tangente del ángulo por el valor de (5-98) y simplificando

2 2

22

2

2

1

11

r r b

s e rr r b r r

b b

dda cb A B

dt a

cvd cbda cb v

dt a a a

(5-100)

y la ecuación mecánica queda sustituyendo la primera ecuación de (5-91) en (5-7)

21

exp2

rr b r s L

b

e eb v j T

H a a

(5-101)

que sustituyendo la segunda ecuación de (5-94) y operando y sustituyendo el valor de la

constante a se convierte en

21

exp2

er rb r r r L

b b b

jev j T

H c

(5-102)

Las ecuaciones (5-100) y (5-102) suponen un modelo de segundo orden, se

calcula ahora la componente rápida despejando en la ecuación de (5-98),

5 Modelos Reducidos

177

22

2

2

22

2

2

1

arctan

1

s s s e rr r r r

b b

s e rr r

b b

cv cv cv cbv v B v

a a a a

cv cbv

a a

(5-103)

Con estas componentes se puede calcular el flujo del rotor mediante (5-91)

expr r j (5-104)

y ya se puede calcular el flujo del estator mediante la ecuación (5-5)

1

exps r b s

bj v

a a (5-105)

y las intensidades mediante (5-8).

exp

exp

s r b s

r r b s

sb si m j v

a a

mb mi r j v

a a

(5-106)

Aparentemente el modelo está perfectamente resuelto, aunque surge un

problema, hay situaciones en las que el ángulo no podrá ser calculado, dado que el

término que está dentro de la raíz cuadrada de la ecuación (5-98) puede hacerse

negativo y por tanto no existiría una solución en el dominio real para el ángulo del flujo

del rótor. Esto quiere decir que este modelo, tal cual, solamente es válido con la

siguiente condición.

22

2

21s e r

r r

b b

cv cbv

a a

(5-107)

En cambio, para el caso en el que la primera parte de la desigualdad dada en

(5-107) sea nula, el sistema sí tiene una solución, ya que en este caso concreto la

ecuación (5-92) vendría dada por:

rr r n r

b

d cbj d d

dt a

(5-108)

Ahora separando parte real y parte imaginaria

r r

rn

b

d cbd

dt a

cbd d

a

(5-109)

5 Modelos Reducidos

178

Imponiendo que 0 el resultado que se obtiene es que el ángulo no varía y

por tanto se mantiene en el tiempo y el flujo variará solamente en magnitud según la

primera ecuación de (5-109).

De esta forma la velocidad angular de rotor vendrá dada por la ecuación (5-101)

teniendo en cuenta que mientras dure esta situación cte . Esto permite al menos

poder simular un cortocircuito trifásico en la alimentación para una máquina sin

alimentación rotórica. En cualquier caso, y para evitar problemas de integración en

diversas situaciones lo apropiado será considerar que cte , utilizando las ecuaciones

(5-109) y (5-102) siempre que no se cumpla la condición dada en (5-107).

Este problema que presenta este modelo no es debido a la inclusión de la tensión

del rótor de las ecuaciones, sino que tras el paso a coordenadas polares, se desprecia la

variación del ángulo de la velocidad del rótor por suponer que carece de influencia en la

ecuación.

La realidad es que hay momentos puntuales en que esto no es así y sí que tiene

una influencia considerable en las ecuaciones. De hecho en [9] surge el mismo

problema y aparece una raíz cuadrada en la ecuación de la magnitud del flujo que puede

llegar a dar resultados en el dominio complejo para la magnitud del flujo, cuando la

variable de estado debe pertenecer a la fuerza al dominio real.

La simulación de arranque en vacío, que para este modelo viene representada en

las figuras 5-67, 5-68, 5-69 y 5-70 para la velocidad del rótor, el par electromagnético,

la característica de arranque de par velocidad y la envolvente de las intensidades del

estátor respectivamente. Se ha realizado como en las otras ocasiones para las máquinas

referidas en la Tabla 4-1.

Lo primero que llama la atención en la simulación de arranque en vacío es que el

tiempo en alcanzar el régimen permanente para el modelo de segundo orden modificado

es menor que para el modelo de segundo orden de Richards y Tan, haciendo que la

diferencia con el modelo completo sea incluso mayor, lo cual es una desventaja. Esto se

produce como se puede observar en la figura 5-69 por el hecho de que el par

electromagnético previsto por el modelo modificado sea en todo momento superior al

del modelo de segundo orden de Richards y Tan y porque en los primeros instantes

crece de una forma más rápida, resultando en la previsión de una mayor aceleración de

la máquina.

En cambio, la curva característica del modelo modificado aproxima mejor la del

modelo completo, siendo también más próximo el par máximo al modelo de referencia.

Otra cosa llamativa de la curva característica es que la diferencia entre las curvas de las

máquinas subamortiguadas es mayor, lo que se debe a que para estas máquinas la

evolución prevista por el modelo de segundo orden de Richards y Tan ajusta peor a la

curva característica del modelo completo.

Las corrientes decaen también en menos tiempo en este modelo, como es lógico

al predecir que se alcance antes el régimen permanente. Por lo demás las curvas son

cualitativamente muy similares, teniendo la misma forma, salvo por un leve decremento

en el modelo modificado de la corriente prevista y por un primer pico inferior de la

misma, si bien, al partir del mismo modelo original para el cálculo de las ecuaciones,

alcanzan ambos el mismo valor de intensidad para el régimen permanente.

5 Modelos Reducidos

179

5-67 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Velocidad del rotor.

5-68 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Par electromagnético.

5 Modelos Reducidos

180

5-69 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Característica par-

velocidad.

5-70 Arranque en vacío. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Envolvente de

intensidades.

5 Modelos Reducidos

181

5-71 Corto trifásico. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Par y velocidad.

5-72 Corto trifásico. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Envolvente de intensidades y

factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

182

Al hacer una simulación de cortocircuito durante seis ciclos de red completos, a

las máquinas de 45 kW y 100 HP con par resistente el par base e inercia de 4 kg·m2 y 8

kg·m2 respectivamente, se observa como durante el tiempo que dura el corto, las curvas

son prácticamente idénticas entre lo predicho por el modelo de segundo orden de

Richards y Tan y el modelo modificado, como se puede apreciar en las curvas de 5-71 y

5-72.

En cambio, cuando se elimina la falta, se aprecia en primer lugar como el

modelo modificado tiene un menor salto de par en el primer instante, así como un

menor salto en la envolvente de intensidades. Así la curva de par es más parecida en el

modelo modificado en la primera parte de la evolución. La evolución predicha de las

corrientes del estator en este modelo es de valor inferior en todo momento al modelo de

segundo orden.

La máquina sobreamortiguada presente las mismas formas de curva en ambos

modelos, con un menor salto de par y de corrientes en el instante de eliminación de la

falta del modelo modificado. En cualquier caso, enseguida las curvas convergen entre el

modelo modificado y el de Richards y Tan para esta máquina sobreamortiguada.

Para un cambio brusco de par resistente resulta que no se parecían diferencias

entre el modelo reducido de Richards & Tan y el modelo modificado. Tanto es así que

las curvas quedan perfectamente solapadas unas encima de otras, no distinguiéndose ni

la más mínima diferencia. Esto se puede apreciar en las figuras 5-73 y 5-74 donde se ha

realizado la simulación para las máquinas de 45 kW y 100 HP con carga resistente igual

al par base e inercias de cargas igual a 1,2 kg·m2 y 2,22 kg·m

2 respectivamente.

5-73 Par brusco. Modelo de orden 2 de Richards & Tan modificado. Par y velocidad.

5 Modelos Reducidos

183

5-74 Par brusco. Modelo de orden 2 de Richards & Tan. Envolvente de intensidades y factor de

potencia.

Evaluando la respuesta en las figuras 5-75 y 5-76 del modelo modificado ante un

aumento repentino de frecuencia de un 10%, con las máquinas de 45 kW y 100 HP

trabajado sobre un par resistente igual a la mitad del par base y con una inercia de la

carga resistente de 0,6 kg·m2 y 1,11 kg·m

2, sólo se aprecia una leve diferencia entre el

modelo en cuestión y el de Richards y Tan. Eso sí, los picos de intensidad en el

momento de cambio de frecuencia del modelo modificado son aproximadamente un

20% mayores, aunque decaen más rápidamente. La similitud es tal que no se podría

decir cuál de las dos curvas ajusta mejor.

En conclusión, este modelo no aporta demasiadas mejoras respecto al modelo de

Richards & Tan expuesto en el epígrafe 5.5. Por un lado predice algo mejor las curvas

características, si bien los tiempos en los que se alcanza el régimen permanente están

más separados de la curva del modelo completo de referencia. Además obliga a

mantener en la programación el valor del paso anterior del ángulo del rótor, para poder

seguir integrando cuando no se cumpla la condición (5-107). Para cambios de par

resistente se ha visto que no hay ninguna diferencia y para cambios de frecuencia y

cortocircuitos no existen diferencias sustanciales.

La gran ventaja que tiene este modelo es que considera máquinas doblemente

alimentadas, al contrario que el de Richards & Tan que sólo considera máquinas con el

rótor cortocircuitado.

5 Modelos Reducidos

184

5-75 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Par y

velocidad.

5-76 Cambio brusco de frecuencia. Modelo de orden 2 Richards & Tan modificado. Envolvente de

las intensidades y factor de potencia.

5 Modelos Reducidos

185

5.10. INCLUSIÓN DE SATURACIÓN EN ALGUNOS MODELOS

La inclusión de la saturación en algunos modelos es bastante sencilla. En el

modelo completo esta inclusión es obvia y en los modelos clásicos de tercer orden y de

primer orden solo hay que adaptar las ecuaciones para el cálculo del flujo mutuo y

realizar una pequeña aproximación.

En cambio, en otros modelos la deducción de las ecuaciones con la inclusión de

la saturación acaba conduciendo a la necesidad de resolver sistemas de ecuaciones no

lineales por métodos numéricos en cada paso de la integración. De esta forma que lo

que se gana computacionalmente por un lado al reducir el orden del sistema de

ecuaciones diferenciales se pierde por otro al tener que realizar cálculos numéricos

intensivos en cada paso de la integración.

Es por esto que sólo se incluirá en este apartado los modelos de quinto orden

completo, de tercer orden clásico y de primer orden clásico.

5.10.1. MODELO DE QUINTO ORDEN

La saturación del núcleo magnético no introduce desequilibrios, por tanto, si se

alimenta la máquina de forma equilibrada también desaparecerán las componentes 0 del

rótor y el estátor. Es posible introducir la saturación en el modelo de quinto orden, sin

más que introducir la ecuación (4-101) y (4-102) escritas en forma compleja en las

ecuaciones anteriores (5-1)-(5-3). De esta forma (4-101) y (4-102) se puede escribir en

una sola ecuación en forma compleja como

s rm a

ls lr

XX X

(5-110)

donde

m md mqj (5-111)

Despejando r de la ecuación (5-110) para sustituir en (5-1) se obtiene la

variación del flujo por segundo del estátor considerado este lineal.

1 1

lr lr

s s e es b

r m s

a ls

m s mb b b s b b s

l ss s s b

s

l b

r rj v j v

X

X X

X X

X

(5-112)

Análogamente para la ecuación (5-2), despejando s de la ecuación (5-110) y

sustituyendo se calcula la variación del flujo por segundo del rótor considerando que es

lineal

5 Modelos Reducidos

186

1 1

ls lss m r

a lr

m r

lr

b r er rr b b b r b r

lr b b

e rb b r

b b

r

r r

m

X X

X X

X

rrj j v

X

j v

(5-113)

El par electromagnético se calcula sustituyendo el valor aquí deducidos de r en

la parte correspondiente al par de la ecuación (5-3), de esta forma

lr lr lrm s m s

a ls a ls

lr lr ls lsm s m r

a ls a l

lre s s s

s s r

r

r

T e eX X X X

X X X X

X X X X

X X X X

e

e e e e

(5-114)

Como el segundo término de la parte derecha de la ecuación (5-114) no tiene

parte real, por ser e imaginario puro junto con que el producto de un valor por su

conjugada resulte real y que el resto de factores sean reales, se puede eliminar de la

ecuación y al final queda

1 1

2 2e s m

ls lr

m rT j jX X

(5-115)

Con lo que la ecuación (5-3) queda de la siguiente forma

1 1

2 2

rr L

b lr

mj TH X

(5-116)

Ahora el flujo saturado se puede calcular igual que en el epígrafe 4.9. De esta

manera convirtiendo a variables complejas las ecuaciones (4-115)-(4-116) y

considerando la variable de disminución de saturación como m que sigue la misma

gráfica dada por la figura 4-71.

mm m

m

mq md mqj

(5-117)

Entonces el nuevo flujo mutuo por segundo saturado, de la ecuación (4-117) y

(4-118) será

r

l

sat s am a m

ls Mr

XX

X X X

(5-118)

que es el que se debe utilizar en lugar de m en las ecuaciones dadas por (5-112),

(5-113) y (5-116) cuando se quiere incluir la saturación.

5 Modelos Reducidos

187

Para el cálculo de las intensidades se calcula mediante las ecuaciones (4-87) a

(4-92) convenientemente convertidas al plano complejo y desechadas las componentes 0

tanto del rotor como del estátor, utilizando el m apropiado en función de que haya o

no saturación.

1

1

s s m

ls

r r m

lr

iX

iX

(5-119)

5-77 Arranque en vacío. Modelo orden 5 con saturación.

En la figura 5-77 está representada la simulación mediante las ecuaciones

referidas anteriormente para un arranque en vacío de la misma máquina de 50 HP

utilizada en el epígrafe 4.11. Los resultados, como no podía ser de otra forma, son los

mismos y, como ya se comentó, se aprecia una disminución en el modelo saturado de

las oscilaciones del par electromagnético, alcanzándose menores valores del mismo, así

como un menor valor en el punto de par máximo.

También aparece un primer pico de corrientes mayor que en el modelo con

núcleo lineal, si bien las oscilaciones de las corrientes son menores, alcanzando menores

valores durante la evolución. Al alcanzar el régimen permanente, como era de esperar,

el valor de las corrientes delo modelo saturado es mayor que en el modelo lineal.

De importancia resulta que los modelos con saturación encuentran puntos

distintos de régimen permanente con respecto a los modelos lineales, además de la

5 Modelos Reducidos

188

distinta evolución, y es por esto que se ha considerado de interés incluir la saturación de

una forma sencilla en modelos reducidos.

5.10.2. MODELO DE TERCER ORDEN CLÁSICO

Se puede formular las ecuaciones para considerar la saturación a partir de la

ecuación (5-112) , considerando saturación, despreciando el término diferencial y

despejando para s

1

1 1

sat b sm s

e eb s b s

b b

s v

j j

(5-120)

Para calcular sat

m se debe conocer el valor de m , y para conocer este último

hace falta conocer s que, según la ecuación anterior, depende de sat

m . El problema

está condenado a utilizar un método numérico en cada paso de integración.

En cambio, si se aproxima el flujo mutuo saturado por el flujo mutuo lineal en la

ecuación (5-120), solamente para el cálculo del flujo lineal, se podrá tener un valor

aproximado de este último. Con esta consideración en mente, se sustituye ahora en

(5-110) y despejando

1 1

1 1

sat b sm s

e eb s b s

b

a rm a

ls ls l

b

r

XX

jX X

jX

v

(5-121)

Se considera ahora el valor de sat

m igual a m y despejando

1

1 1

a

ls a

eb s

b b ss

e eb s b s

m r

lr

ls a l

b

a

b

s

XX X

XX X

v

jX X

j

j

(5-122)

Este es el valor del flujo mutuo lineal aproximado al que se le puede aplicar la

saturación. El valor saturado calculado se sustituye en las ecuación (5-113) y (5-115)

formando un sistema de tercer orden.

La intensidad del rótor vendrá dada por la segunda ecuación de (5-119) y la del

estátor sustituyendo la ecuación (5-120) en la primera ecuación de (5-119), de manera

que

1

1 1

b s s es

e eb s b s

b b

sat

s m

ls

v j

j j

iX

(5-123)

5 Modelos Reducidos

189

La ventaja de esta aproximación es que si no hay saturación, entonces las

ecuaciones del flujo mutuo no son aproximadas, sino exactas y el método coincide con

el modelo de tercer orden clásico sin considerar saturación.

Para comprobar la valía de la aproximación se simula para la máquina de 50 HP,

con la curva de saturación y las características dadas en la Tabla 4-2, un arranque en

vacío y se compara con el modelo de tercer orden clásico de flujo lineal y con el modelo

completo con saturación. La simulación está representada en la figura 5-78.

5-78 Arranque en vacío. Modelo orden 3 clásico con saturación.

La evolución de la velocidad es similar en ambos modelos reducidos, si bien se

aprecia un ligero descenso en el par máximo en el modelo con saturación, acorde con el

descenso en el mismo del modelo completo saturado respecto al modelo completo

lineal. De hecho este par máximo es más aproximado en el modelo saturado.

Por otro lado, la evolución del la envolvente de las intensidades es claramente

mejor ajustada por este modelo que por el modelo de flujo lineal. Esto es especialmente

cierto hacia el final de la simulación, donde el punto de régimen permanente aproxima

mejor con este modelo.

El facto de potencia previsto por el modelo que incluye la saturación, en cambio,

ajusta mejor en la primera parte, prediciendo el valor máximo de factor de potencia

mucho mejor, pero el valor que alcanza de régimen permanente dista más del modelo

completo que el modelo lineal.

Si se efectúa una simulación de cortocircuito trifásico durante 6 ciclos de red,

representado en la figura 5-79, a la misma máquina con un par resistente igual al par

5 Modelos Reducidos

190

base y una inercia de la carga de 1 kg·m2, se aprecia una evolución muy similar del par,

en todo momento, salvo por un levemente inferior par máximo en la reconexión del

modelo con flujo saturado, tal y como pasaba con el arranque en vacío.

La velocidad del rótor parte de puntos distintos por el efecto de la saturación y

en el caso del modelo reducido con flujo saturado ajusta fielmente la velocidad de

régimen permanente, al menos a tensión nominal, del modelo completo con flujo

saturado.

La gran diferencia entre modelos vuelve a estar en las corrientes y el factor de

potencia, donde se aprecia claramente una evolución más aproximada, especialmente

tras eliminar la falta, y aunque los valores de régimen permanente no son los mismos

entre el modelo completo saturado y el modelo de tercer orden saturado, sí que están

mucho más próximos que con respecto al modelo de flujo lineal. En los instantes que

dura el cortocircuito las curvas de evolución de las corrientes son muy similares al

modelo de flujo lineal ya que, al no haber excitación, trabaja en zona lineal y solo tiene

como diferencia en la evolución el punto de partida.

5-79 Cortocircuito trifásico. Modelo orden 3 clásico con saturación.

En la figura 5-80, está representada una simulación para la misma máquina de

50 HP de un cambio brusco de par, de forma que, partiendo de régimen permanente

vacío se le aplica a la máquina súbitamente un par resistente igual al par base de la

misma, con una inercia de dicha carga de 2 kg·m2, una vez alcanzado el régimen

permanente se libera dicha carga resistente y se deja evoluciona la máquina de nuevo al

régimen permanente vacío.

5 Modelos Reducidos

191

Es apreciable como para la evolución de cambio de par el modelo de tercer

orden con saturación aproxima mejor a los resultados del modelo completo con

saturación. En concreto, la curva de par y velocidad entre los modelos nombrados es tan

similar, que se hace prácticamente indistinguible uno de otro en la gráfica, mientras que

el modelo de tercer orden sin saturación evoluciona hacia otro punto distinto tras aplicar

el par resistente.

En las curvas de la envolvente de intensidades y factor de potencia hay una leve

diferencia entre el punto hacia el que evoluciona el modelo completo con saturación y el

modelo de tercer orden con saturación. En cualquier caso es más próxima la curva que

el modelo de tercer orden de flujo lineal. Para las intensidades, también el punto de

régimen permanente es más próximo en el modelo con flujo saturado.

En cambio, se puede observar como el factor de potencia de la curva del modelo

de tercer orden con saturación dista más del modelo de referencia al tratarse del régimen

permanente en vacío. Se puede comprobar que este efecto es debido a que el modelo

con saturación prevé una mayor componente de potencia activa, siendo la potencia

reactiva muy similar. Este efecto es producto del funcionamiento en vacío, debido a que

hay muy poco consumo y una pequeña diferencia tiene un gran efecto en el factor de

potencia. En cuanto hay una pequeña carga resistente, los modelos saturados predicen

factores de potencia más parecidos.

5-80 Cambio brusco de par resistente. Modelo orden 3 clásico con saturación.

En cualquier caso, el que las curvas de intensidad y factor de potencia, en el

modelo de tercer orden saturado, no converjan al mismo punto en el modelo completo

con saturación se debe a que se ha hecho una estimación aproximada del flujo lineal, al

que posteriormente se le aplica la saturación, introduciendo un error que será mayor

5 Modelos Reducidos

192

cuanto más saturado esté el flujo, si bien siempre será más próximo que el modelo con

el flujo lineal.

Cuando se somete a la máquina a un cambio repentino de frecuencia las

consideraciones son muy similares a las de la simulación de cambio de par. En este

caso, representado en la figura 5-81, se aplica a la máquina de 50 HP con un par

resistente igual a la mitad del par base y con una inercia de la carga resistente de 1kg·m2

un aumento repentino de la frecuencia de un 10%, para posteriormente, y tras superar el

transitorio, volver a la situación inicial, dejando evolucionar la máquina hasta que se

estabilice.

Tal y como ocurría con el cambio de par, las curvas de velocidad y par

electromagnético son muy similares entre el modelo de tercer orden con saturación y el

modelo de orden completo con saturación. La curva de par en este caso es muy similar

también en el modelo con flujo lineal, aunque la evolución de la velocidad del rótor se

aprecia como parte de distintos puntos de régimen permanente y evoluciona a distintos

puntos de régimen permanente.

En este caso la similitud es también muy alta en la envolvente de intensidades y

el factor de potencia, distando mucho de la predicción del modelo de tercer orden lineal,

partiendo de valores parecidos y evolucionando de forma similar, de no ser por el rizado

originado por los transitorios del estator del modelo completo.

5-81 Cambio brusco de frecuencia. Modelo orden 3 clásico con saturación.

En resumen, cuando hay saturación el modelo aquí presentado predice

evoluciones de las curvas mucho más próximas que el modelo lineal, especialmente

para las variables eléctricas, si bien los valores de régimen permanente no coinciden

5 Modelos Reducidos

193

entre los modelos saturados, al contrario de lo que pasa cuando se comparan los mismos

modelos pero de flujo lineal.

Como se comento anteriormente esto es debido a la aproximación hecha al

calcular las ecuaciones del modelo, provocando esta aproximación que los modelos

saturados disten más entre sí cuanta más saturación haya. Aún así, se obtiene un

resultado más próximo al de referencia y con la ventaja de que en caso de ausencia de

saturación en la máquina a considerar el modelo coincide con el modelo de tercer orden

clásico.

5.10.3. MODELO DE PRIMER ORDEN CLÁSICO

Para hacer extensivo lo visto en el epígrafe anterior, si se quiere incluir la

saturación en el modelo de primer orden clásico no hay más que partir de las ecuaciones

para saturación del modelo de tercer orden clásico. Así, despreciando las variaciones del

flujo del rótor en la ecuación (5-113), considerando saturación y despejado r

1

1 1

sat b rm r

e er rb r b r

b b b

r

b

v

j j

(5-124)

Ahora, sustituyendo en (5-121) y despejando m

1 1

1 1

1 1

1 1

a am

ls lr

a

ls

sat sat

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b s b rb b b

b s b rs r

e e rb

lrs b r

b b b

j j

v v

j

X X

X X

XX

jX

(5-125)

Realizando la misma aproximación que en el modelo anterior de que sat

m m

2

1 11 1

1 1 1 1 1

ls

m

a

e erb r b s s b s

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b b lr b

b r s e e e

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er rb s r

M b b b M b M lr b b

X X

X X X X

j v j

X

v

Xj

(5-126)

De esta forma se tiene la aproximación del flujo mutuo por segundo lineal del

motor en función de las tensiones de alimentación. Se reduce el flujo por segundo

mutuo según se ha indicado anteriormente para calcular el valor saturado y se introduce

en la ecuación (5-127), que viene de sustituir r de la ecuación (5-124) en la ecuación

(5-115) y realizar algunas sustituciones de las constantes de acoplamiento para

simplificar la forma de la misma.

5 Modelos Reducidos

194

2

2

2 2

1 1

2 211

e rb r

b b sat satb re m m r

lr lr e re rb rb r

b bb b

T j vX X

j

(5-127)

Para el cálculo del flujo del rótor se utiliza la ecuación (5-124) y para el estátor

la ecuación (5-120). Para la intensidad del estátor se utiliza la ecuación (5-123) y para

calcular la intensidad del rótor se sustituye (5-124) en la segunda ecuación de (5-119)

1

1 1

e rb r

b b b rr r

e er rb r b r

b b b b

m

lr

i j vX

j j

(5-128)

La figura 5-82 contiene las gráficas de la simulación del modelo de primer orden

clásico con saturación para un arranque en vacío de la máquina de 50 HP descrita en la

Tabla 4-2. Este modelo se compara con el modelo completo en presencia de saturación

y con el modelo de primer orden clásico con flujo lineal.

5-82 Arranque en vacío. Modelo orden 1 clásico con saturación.

Se puede apreciar como las curvas de velocidad y de par son similares entre los

modelos de primer orden, ambos con adelanto en el tiempo de arranque con respecto al

modelo completo. Tiene una leve diferencia, que consiste en que el par máximo del

5 Modelos Reducidos

195

modelo de primer orden con saturación es ligeramente inferior al modelo de primer

orden de flujo lineal. Este descenso, que es debido a la saturación, se aprecia también al

comparar el modelo completo lineal y el modelo completo saturado.

En la curva de intensidad, hay mayor diferencia entre el modelo lineal y el

modelo con saturación, más acusada en la segunda parte de la curva, cuando se

aproxima al régimen permanente. En este caso el valor de régimen no es tan

aproximado como ocurría con el modelo de tercer orden con saturación, pero aún así es

apreciable la mejora de introducir saturación en el modelo de primer orden.

El factor de potencia del modelo de primer orden con saturación tiene una

primera parte más aproximada a la curva, mientras ocurren los transitorios del estator y

la máquina se está acelerando. En cambio cuando se aproxima a valores de

deslizamiento nulo de la máquina el valor del factor de potencia dista mucho del real, lo

que se debe a la mayor potencia activa prevista por el modelo, tal y como sucedía en el

modelo de tercer orden clásico con saturación

Al examinar la figura 5-83, en la que se describe un corto trifásico de seis ciclos

de red de la máquina de 50 HP trabajando con un par resistente igual al par base y una

inercia de 1kg·m2, es evidente la similitud de par entre los dos modelos de primer orden

y la diferencia en la curva de velocidad estriba, básicamente, en que parten de distintas

velocidades de régimen permanente los dos modelos.

Algo parecido pasa con las curvas de intensidad y de factor de potencia, la

tendencia a distintos puntos de régimen permanente marca las curvas, ya que en forma

son muy similares. De cualquier manera, es apreciable la mayor proximidad del modelo

reducido con saturación frente al modelo lineal.

5-83 Cortocircuito trifásico. Modelo orden 1 clásico con saturación.

5 Modelos Reducidos

196

En la simulación de aplicación de par resistente de forma repentina para la

máquina de 50 HP, mostrada en la figura 5-84, la curva de par es prácticamente idéntica

entre los tres modelos, si bien, aunque levemente, es más próxima al modelo de

referencia el modelos reducido con saturación aquí tratado. El efecto es, por tanto, que

en la evolución hacia al nuevo punto de régimen permanente a plena carga el modelo

con saturación aproxima más la velocidad final del modelo de referencia, si bien

presenta una diferencia apreciable con respecto a este último.

Las intensidades del modelo reducido con saturación son claramente más

próximas al modelo saturado, aunque se queda la previsión a medio camino entre el

modelo de referencia y el modelo de flujo lineal.

En cuanto al factor de potencia, a nada que haya algo de carga resistente, es el

modelo de primer orden de flujo saturado el que lo predice mejor. Al contrario, cuando

la máquina trabaja en condiciones próximas al vacío, el modelo de flujo saturado

presenta una mayor diferencia, por las razones explicadas en la simulación de arranque

en vacío.

5-84 Cambio brusco de par resistente. Modelo orden 1 clásico con saturación.

La última simulación realizada es la de aumento brusco de frecuencia en un

10%, nuevamente con la máquina de 50 HP y con un par de carga resistente igual a la

mitad del par base, con inercia de la carga de 1 kg·m2.

Esta simulación, representada en la figura 5-85 muestra nuevamente el mejor

ajuste del modelo clásico de primer orden con saturación al modelo de referencia en

todas las curvas, aunque en las de par y velocidad la diferencia no sea tan apreciable

como en las de envolvente de intensidades y factor de potencia. Las curvas tienen

5 Modelos Reducidos

197

cualitativamente la misma forma en todos los modelos, salvo, claro está, en el rizado de

los transitorios del estátor que se han eliminado, al despreciar la influencia de las

variaciones del flujo del estátor en las ecuaciones.

5-85 Cambio brusco de frecuencia. Modelo orden 1 clásico con saturación.

En resumen, el modelo reducido con flujo no lineal no presenta unos resultados

tan parecidos al modelo de referencia como el modelo de tercer orden, pero predice

mejor la evolución de las variables de la máquina que el modelo de primer orden lineal,

especialmente las variables eléctricas, salvo el caso del factor de potencia en los

regímenes próximos al vacío.

Tal y como pasaba con el modelo de tercer orden, en este modelo también

aumentará la diferencia con respecto al modelo de referencia cuanto más saturado esté

el flujo, pero también ocurrirá que en esta situación será siempre mejor la aproximación

que el modelo de primer orden de flujo lineal.

5 Modelos Reducidos

198