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TECSUP - PFR Matemática I

UNIDAD V

LA PARÁBOLA

1. INTRODUCCIÓN

Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta fijay un punto fijo que no está en ella. La recta fija se llama directriz de la parábolay el punto fijo se llama foco.

2. PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN EL ORIGEN

Veamos ahora algunos otros elementos de la parábola. Pensemos en la parábolaque tiene su foco en el eje X, digamos en el punto ( ;0)F p y su directriz es la

recta cuya ecuación es x p , ver la Figura 1. Para que un punto ( ; )P x y

pertenezca a la parábola, debe satisfacer.

( ; ) ( ; )d P F d P (*)

Sustituyendo las coordenadas de P y F, así como la ecuación de en lasfórmulas para calcular la distancia entre dos puntos y la distancia entre un puntoy una recta, obtenemos:

2 2

2( ) ( 0)

1

x px p y

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación y simplificando obtenemos

: x = -p

45

2 4y px

X

Y

Figura 1

P (x ; y)

F (p ; 0)

Matemática I TECSUP - PFR

Observa en la Figura 1 que la parábola pasa por el punto medio entre el foco y ladirectriz, dicho punto es la cúspide de la parábola se llama vértice de la parábola.La recta que une al vértice y al foco, que es perpendicular a la directriz es el ejede simetría de la parábola.

Veamos ahora el caso cuando el vértice de la parábola está en el origen peroahora el foco se encuentra en la parte negativa del eje X y la directriz esparalela al eje Y pero corta al eje X en la parte positiva de él. Ver la Figura 2

El foco es ( ;0)F p y la directriz es x p . Sustituyendo estos valores en la

ecuación de la parábola, obtenemos ahora:

2 2

2( ) ( 0)

1

x px p y

si elevamos al cuadrado y simplificamos la expresión, llegamos a:

Observemos entonces que el sise abre la parábola, si es posiabre hacia la izquierda.

Consideremos todavía otras parfoco colocad sobre el eje Y.

Si el foco es (0; )F p y la direct

obtiene:

(x

X

Y

Figura 2: x = p

P (x ; y)

F (-p ; 0)

46

gno del coeficiente de x nos dice hacia qué ladotivo, se abre hacia la derecha, si es negativo se

ábolas con vértice en el origen, pero ahora con el

riz es y p , al sustituir estos valores en (*) se

2 2

20) ( )

1

y py p

2 4y px


que al simplificarla se transforma en:

Finalmente, si el foco es (0;F

antes se obtiene:

Podemos resumir los casos de lparalela a uno de los ejes cartesia

Posición Ab

Horizontal dere

Horizontal izqu

Vertical Arrib

Vertical abaj

x

X

Y

F

Pa

)p y la directriz es y p , procediendo como

2 4x py

47

a parábola con vértice en el origen y directriznos en la siguiente tabla:

re hacia Ecuación

cha 2 4y px

ierda 2 4y px

a 2 4x py

o 2 4x py

2 4py

X

Y

F

rábolas verticales


48

BLOQUE I

1.- Encuentra el foco y la directriz de las siguientes parábolas

a) 2 8y x b) 2 12x y

c) 2x y d) 2 4y x

e) 2 24 0y x f) 2 6 0x y

g) 2 2 0y x h) 23 20 0x y

2.- Encuentra en cada caso la ecuación de la parábola con vértice en el origen y con:

a) Foco en (0;2) b) Foco en (-½;0)

c) Foco en (4;0) d) Foco en (0;-5)

e) Directriz x = 5 f) Directriz y = 3

g) Directriz y = -2 h) Directriz x + 2/3=0

3.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si el foco estásobre el eje Y y la parábola pasa por el punto P (2;3)

4.- Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, que abre haciaabajo y su lado recto mide 12.


49

3. ECUACIÓN ESTÁNDAR DE LA PARÁBOLA

Veamos ahora la ecuación de una parábola que tiene su vértice en cualquierpunto del plano y su eje de simetría paralelo a alguno de los ejes cartesianos.

Si la parábola es horizontal y su foco es 0 0( ; )F x p y , es decir su vértice es

0 0( ; )V x y , y se abre hacia la derecha, la ecuación es:

20 0( ) 4 ( )y y p x x

y si la parábola se abre hacia la izquierda y su foco es 0 0( ; )F x p y , obtenemos:

20 0( ) 4 ( )y y p x x

Si la parábola es vertical y su foco es 0 0( ; )F x y p , es decir su vértice es

0 0( ; )V x y , y se abre hacia arriba, la ecuación es:

20 0( ) 4 ( )x x p y y

Finalmente, si la parábola abre hacia abajo, y su foco es 0 0( ; )F x y p ,

obtenemos:

20 0( ) 4 ( )x x p y y


50

BLOQUE II

1.- Encuentra la ecuación de la parábola con los datos indicados.

a) Foco F (-3;-2); vértice V (-3;-5) b) Foco F (4;-6); vértice V (2;-6)

c) Foco F (1;4); vértice V (0;4) d) Foco F (-5;5); vértice V (-5;8)

e) Foco F (0;-2); directriz x = 5 f) Vértice V (3;5/3); directriz y = 2

g) Foco F (5;1); directriz y + 7 = 0 h) Vértice V (3;0); directriz x – 10 = 0

2.- Encuentra la ecuación general de la recta con pendiente 3m que pasa por el

foco de la parábola con vértice ( 2;2)V y directriz 1

02

y

3.- En los siguientes casos determine:

a) La ecuación de la parábola.

b) La ecuación de la(s) recta(s).

c) Los puntos de intersección de las rectas con las parábolas.

X

Y

-2

-2 2 5 6

2

4

L1 L2

X

Y

2

3

7

4 7

(12,8)


51

4.- En el siguiente caso determinar:

a) La ecuación de la parábola.

b) La ecuación de la recta.

c) El valor de a.

5.- En el siguiente caso, determine:

a) La ecuación de la recta.

b) La ecuación de la parábola.

c) Los puntos de intersección.

6.- Un proyectil se lanza siguiendo una trayectoria parabólica calculada como

20.10y x x . Unos cuantos minutos después se lanza un antiproyectil en una

trayectoria calculada como 22.50 0.10y x diseñada para interceptar al

proyectil.

Trácense las trayectorias de los proyectiles y determínense las coordenadas de supunto común, gráfica y algebraicamente.

2K

3K

-3

5

a

5.5

X

Y

Q

p

4

10

1280

30°


52

7.- La velocidad de distribución de gas natural que fluye sin problemas en una

tubería está dada por 26.6V x x , donde V = velocidad en metros por

segundo y x = distancia en metros desde la pared interior del tubo.

a) Trácese la gráfica de V contra x, para el intervalo positivo de V.

b) ¿Cuál es la velocidad máxima del gas?

8.- El cable de un puente suspendido se aproxima a la forma de una parábola. Ladistancia horizontal entre los puntos más elevados es 100m, y el punto más bajo(vértice) está a 125m por debajo de los puntos más elevados. Si el vértice secoloca sobre el eje y negativo y los puntos más altos sobre el eje x, ¿cuál es laecuación de la parábola?

9.- Pedro desea cerrar un patio rectangular con 200pies de material para cerca.Si x = longitud, entonces (100 – x ) = ancho y el área A = x (100 – x ).

a) Trácese la gráfica de A contra x e identifíquese la curva.

b) ¿Cuál es el área máxima que Pedro puede cerrar?

10.- La deflexión y (mm) de una viga está dada por la ecuación:23 12 7.68y x x ; donde x es la distancia en metros desde uno de los

extremos de la viga.

a) ¿Cuál es la distancia d (m) entre los apoyos?

b) ¿Cuál es la máxima deflexión f (mm) de la viga?.

dY

X

L

f


53

11.- La función de demanda para cierta marca de videocasetes está dada por

20.01 0.2 8p q q donde p es el precio unitario al mayoreo en dólares, y q

es la cantidad demandada cada semana, en unidades de millar. Trace la curva dedemanda correspondiente. ¿Arriba de cuál precio ya no habrá demanda?, ¿Cuáles la cantidad máxima demandada por semana?

12.- El receptor de una antena parabólica de televisión dista 3pies del vértice y seencuentra situado en su foco. Hallar una ecuación de la sección del receptor.

13.- El casquete de un faro buscador tiene un reflector parabólico que forma un“cuenco” de 12 pulgadas de extremo a extremo con una profundidad de 8pulgadas, como se ve en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco delreflector, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra?

Encontrar:

a) La distancia focal.

b) Deduzca una ecuación de la parábola.

c) La ecuación de la recta directriz.

d) ¿A qué altura la parábola tiene un diámetro 8 pulgadas?

14.- La figura muestra el puente George Washington en New York cuyo cable desuspensión tiene forma parabólica. De acuerdo a datos brindados en la figuraencuentre:


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a) El vértice de la parábola.

b) La ecuación de la parábola.

c) La posición del foco.

MISCELÁNEA

1.- Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son ( 6; 2), ( 2; 1), ( 1;3), ( 5;2)A B C D es un rombo.

2.- Dados los puntos (2;2), (5; 2)M N , hallar en el eje de abscisas un punto P de

modo que el ángulo MPN sea recto.

3.- Los puntos ( 2;5), (1; 1), (7;1) yA B C D son los vértices de un paralelogramo, tal

que BD es una diagonal. Si M divide a AB en la razón ½ y N es punto medio

de BC , hallar el punto T que es intersección de MC y DN .

4.- Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta de menor inclinaciónpasa por ( 2;1), (9;7)P Q y la recta de mayor inclinación pasa por

(3;9), ( 2; )A B y . Hallar la ordenada de B.

5.- Dados dos vértices opuestos de un cuadrado (2;2), ( 5;3)A C . Hallar los otros dos

vértices.

6.- Dos de los vértices de un paralelogramo ABCD son los puntos A (2;1) y B (5;-3).Hallar los otros vértices C y 1 1( ; )D x y sabiendo que el punto de intersección de

sus diagonales está en el eje de ordenadas y que se cumple 1 14 3 28x y .


55

7.- Los vértices de un cuadrilátero son ( 2;4), (4;6), (8;2), ( 4; 2)A B C D . Hallar

( ; )d P Q donde P divide a la diagonal BD en la razón 3 y Q divide a la diagonal

AC en la razón 2/5.

8.- Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son los puntos ( 2;4), (0;6)A B .

Hallar los otros dos vértices sabiendo que las diagonales se bisecan en el eje Y yque el área del paralelogramo es 16u2.

Sugerencia: El paralelogramo se divide en dos triángulos cuyo lado común estáen el eje Y. Calcular cada área como la mitad de la base por laaltura.

9.- (2;10 /3), (5;19 /3), (5;7 /3)P Q R son los (primeros) puntos de trisección de los

segmentos AB , BC y CA respectivamente. Determine A, B, C, el baricentro y el

área del triángulo ABC.

10.-Para O (0;0) se tiene un triángulo ABO, recto en B. Si (2;-1) es el punto de la

hipotenusa OA que divide a ésta en la razón 2/3 y OB es el cateto contenido en

la recta que pasa por (2;1). Hallar las coordenadas de los puntos A y B.

11.-En el triángulo ABC, A (2;1), el lado AB mide 5 y es paralelo a la recta

3 4 10x y , el lado AC mide 12 y forma con el lado AB un ángulo cuya

tangente es 33/56. Si B se encuentra a la derecha de A y C encima de A y B,determine los vértices B y C y las tangentes de los otros ángulos.

12.-La recta H: 3 5 4 0x y contiene a la altura AM de un triángulo rectángulo

isósceles ABC relativa al vértice A (-3;-1), siendo BC el lado desigual. Hallar las

ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triángulo, si AM = 34


56

13.-Dadas las rectas:

1 : 2 0L x y , 2 : 5 0L x y , 3 : 5 0L x y

Determinar la ecuación de la recta paralela a L3 de modo que las cuatro rectaslimiten un rectángulo de área 32u2.

14.-Un vértice de un rectángulo está en el punto (6;1); sus diagonales se intersecanen (2;4) y uno de sus lados tiene pendiente –2. Determinar los otros dos vértices.

15.-Una parábola con vértice en el origen de coordenadas tiene como foco el punto(0;2).

a) Determinar la ecuación de su directriz.

b) Determinar la ecuación de dicha parábola.

16.-Hallar la ecuación de la parábola que tenga por foco F (-5/3;0) y directriz la rectaL: 3 5 0x

17.-Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen sabiendo que essimétrica respecto al eje Y, y que pasa por el punto D (4;-8)

18.-Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en V (-2;1) y cuyos extremosdel lado recto son (0;0) y (-4;0).

19.-Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal, con foco en F (-2;3) y vérticesobre la recta L: 5 2 4x y .


57

20.-El eje de una parábola es mediatriz del segmento MN donde M (-7;7) y N (9;7)son puntos de dicha parábola. Si la ecuación de la directriz de la parábola es y =-3, hallar:

a) la ecuación de la parábola, si la ordenada del foco es menor que 3.

b) La longitud del lado recto y las coordenadas del foco.

21.-En la figura se muestran 2 resortes de longitud inicial 3pulg. La relación entre lafuerza aplicada y la deformación de un resorte es F K d .

a) Halle las ecuaciones para I y II.

b) Si se cuelga en el resorte I un peso de 0,5N y en el resorte II un peso de0,4N, ¿cuál es la distancia L(cm) que separa a ambos resortes?

1 2 3 4 5 6 7

0,1

0,3

0,2

0,4

0,8

0,7

0,6

0,9

0,5

F (N)

d (cm)

8 9 10

L

0,5 N

0,4 N

I II


58

22.-Determine el valor de x.

23.-Determine las coordenadas de los puntos R y S.

24.-La resistencia de 1 000 pies de alambre de cobre N° 14 a 20°C es 2.6 , a 75°Ces 3.1 . la resistencia R es función lineal de la temperatura t dada por R = R0 +at, donde R0 es la resistencia a 0°C y a es una constante. Obténgase R y a, parael alambre, tomando en cuenta los datos previos.

Y

-10

(35;14)

25

X

42

x

53°

Y

-12X

12

9

R

S

-6 6

3


59

25.-La fuerza F (en libras) ejercida sobre un resorte es una función lineal de ladistancia x que el resorte se estira: F = kx (k = constante). Si k = 1.5 lb/piespara un cierto resorte, trácese la gráfica de F contra x variando desde x = 0pieshasta x = 6pies.

26.-El peso “normal” de una persona es una función lineal de su estatura. El peso estádado aproximadamente por la fórmula W = 0.97H – 100, cuando W se expresa enkilogramos y H en centímetros. Grafíquese W contra H, desde H = 150cm (4pies11pulg) hasta H = 200cm (6pies 7 pulg).

27.-A partir de la siguiente figura:

a) Determine las ecuaciones querelacionan a las variables F yd de los gráficos 1 y 2.

b) ¿Para qué valor de d, ladistancia vertical entre losgráficos 1 y 2 es 5?

28.-A partir de la siguiente gráfica indique el valor de la máxima tensión:

U (voltios)

t (s)

R

15

7

(75,-20)

60°

-20

1240

85

32.0°

F

d

a

5

15

4

GRÁFICO 1

GRÁFICO 2


60

29.-La temperatura de congelación del agua es 0°C (o 32°F). La temperatura deebullición es de 100°C (o 212°F). Utilice esta información para encontrar unarelación lineal entre la temperatura en °F y la temperatura en °C. ¿Quéincremento de temperatura en °F corresponde a un incremento de temperatura de1°C?

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