5. alometría y construcción de ecuaciones

7/25/2019 5. Alometra y Construccin de Ecuaciones

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AlometraCurso Bases tcnicas para la agroforestera

Eduardo Somarriba

CATIE, Turrialba,

Costa

Rica21 febrero 2011


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Objetivos Mostrarles que muchas ecuaciones de regresin con

las cuales trabajarn durante su maestra y vida profesional son la expresin matemtica de varios conceptualizaciones del crecimiento, de proporciones y escalas en organismos vivos, etc. As, cuando realicen sus ajustes de regresin, los modelos con que trabajen signifiquen algo ms que simples ecuaciones seguidas de varios y complejos estadsticas que demuestran la bondad de ajuste de los modelos a los datos de campo.

Darles un

vistazo

rpido

del

proceso

de

construccin

de

ecuaciones alomtricas. El estudio detallado de este proceso es parte de los cursos de estadstica ofrecidos por la unidad de biometra de Postgrado.


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Contenido Definicin de alometra y un ejercicio de aula

(analoga con partes del cuerpo y desarrollo a lo largo del ciclo de vida de la persona) Un poco de matemticas bsicas para repasar

concepto de funcin y tasa de cambio Un vistazo rpido a los pasos del anlisis de datos y construccin de modelos alomtricos

Mostrarles un ejemplo con sistemas agroforestales indgenas de cacao en Talamanca, Costa Rica


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Alometra Es el estudio del tamao de los organismos

vivos y de sus consecuencias biolgicas (Niklas2004)

Es el

estudio

de

un

tipo

de

fenmenos

relacionados con escalas, dimensiones y proporciones


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Ejercicio de aula Usted piensa que existe proporcionalidad

entre la altura total de una persona y el largo de su brazo derecho? y entre la altura y el grosor del dedo gordo del pie izquierdo?

Cree usted que esas proporciones entre partes del cuerpo se mantiene a lo largo de toda la vida de una persona? ser igual o

diferente entre personas de diferente raza o ambientes donde viven?


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Ahora vamos a ver el concepto de

funcin y tasa

de

cambio;

trabajo

grfico en pizarrn.

El texto que sigue es para lectura y estudio. Fue escrito por Francisco

Quesada, Catedrtico Escuela Matemtica, UCR, Costa Rica, 2011.


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LEYES DE CRECIMIENTO EN CIENCIAS NATURALES

Francisco QuesadaSan Jos, Costa Rica

18 febrero 2011


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Describiendo la evolucin temporalUno de los problemas ms comunes en las

ciencias naturales es el de conocer las leyes que rigen la evolucin temporal de entidades como poblaciones o individuos.

Cmo aumenta la biomasa en un bosque? Cmo aumenta el nmero de individuos en

una poblacin animal? Con qu velocidad se difunde una epidemia?


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En otras ocasiones interesa comparar la manera como crecen las distintas partes de un individuo. Por ejemplo, se ha observado que,

en los seres humanos, la tasa de crecimiento de la cabeza es diferente a la tasa de crecimiento de las extremidades o de los ojos

y que dichas tasas varan segn la edad del individuo. Lo mismo puede decirse de las distintas partes que componen un rbol.


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Una de las leyes que describe la relacin que

existe entre las tasas de crecimiento de diferentes partes de un organismo es la llamada ley alomtrica , motivo central de la presente exposicin.

Pero antes de formular dicha ley, haremos un breve repaso


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Y naci el concepto de funcin:y = f(x)

La bsqueda de expresiones matemticas que

describan la evolucin temporal de fenmenos naturales ha sido y continua siendo uno de los principales problemas de las

ciencias naturales y aplicadas. Fue en el contexto de esa bsqueda que surgi el concepto de funcin matemtica , un

concepto que, con el tiempo, ha demostrado ser uno de los ms fructferos y exitosos en toda la historia de la ciencia.


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Una funcin describe la relacin entre una o varias variables x 1 , x 2 , x 3 , (variables independientes)

y una variable y , (variable dependiente), cuya conducta deseamos estudiar.

El valor que toma la variable y depende de los valores que toman las variables x.

Para mayor sencillez, en esta exposicin nos referiremos slo a las funciones de una variable independiente.

Con frecuencia la variable independiente suele representar el tiempo y denotarse por la letra t . Escribimos entonces: y = f(t)


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Maneras de describir una funcin matemtica.

Describir una funcin es especificar la relacin

que existe entre la variable independiente t y la variable dependiente y . Esto puede hacerse esencialmente de tres formas:

Mediante una grfica. Mediante una tabla. Mediante una frmula matemtica.


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Jerarqua de las tres formas posibles de describir

una funcin matemtica:

Una frmula una tabla una grfica

En efecto:A partir de una frmula es posible generar una

tabla y a partir de una tabla se puede generar

una grfica. El camino en la direccin opuesta no siempre es posible.La grfica es la forma ms dbil de describir una

funcin y la frmula la ms fuerte . La grfica , sin embargo, es la que mejor permite captar, a grandes rasgos, la forma como el fenmeno en estudio evoluciona en el tiempo.


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Comparacin de los incrementos de

ambas variables.Para tener una idea de la rapidez con que vara

una fenmeno y (y podra ser la altura de un rbol) a lo largo de una variable indepen diente t (t podra ser el tiempo), lo que se hace es comparar el incremento (que denotamos como y) que se produce en la

variable dependiente

y

cuando

la

variable

independiente t incrementa en t .


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La razn de cambioLa mejor manera de hacer esta comparacin y

obtener una idea del ritmo con que y est respondiendo a los cambios en t es dividiendo ambos incrementos: y/ t

(Ciertamente, la resta y x no nos dara mucha informacin)A esta divisin o razn de los incrementos se le

conoce con el nombre de razn de cambio de y con respecto a t, tasa de cambio o simplementerazn de cambio .

A pesar de su sencillez, no es posible exagerar la importancia que tiene este concepto!


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Podemos expresar con ms detalle la razn de

cambio entre un momento inicial i y un momento final f del tiempo en la forma: y/ t= (y f y i ) / (t f t i )

O si queremos destacar an ms el rol de la variable independiente:

y/

t=

(y(t f )

y(t i ))

/

(t f

t i )Por ejemplo, si t denotara el tiempo en aos y

y la altura de un rbol en metros, y/ t

expresara la velocidad de crecimiento del rbol en metros por ao.


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Ntese la similitud entre la frmula que

expresa la razn de cambio y la que expresa la pendiente m de una recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2):

Razn de cambio: y/ t= (y f y i ) / (t f t i )

Pendiente: m = (y2 y1)/ (x2 x1) La pendiente de una recta es una razn de

cambio entre lo que se asciende versus lo que se avanza. Por eso se dice:pendiente = ascenso / avance


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La derivada

La nocin de derivada de una funcin no es otra

cosa que un perfeccionamiento de la nocin de razn de cambio. No es casualidad que para denotar la derivada de una funcin y

con respecto a su variable independiente x se utilice la notacin dy/dx (notacin introducida por Leibniz, uno de los

descubridores del clculo infinitesimal).


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La derivada como razn de cambio

puntual.La derivada de una funcin no es otra cosa que

una razn de cambio puntual, es decir, en vez de expresar la razn de cambio entre dos instantes inicial t i y final t f , la derivada expresa

la razn de cambio en un solo momento (podramos llamarlo el inicial t i ). Esto se consigue tomando el momento final cada vez

ms cercano al inicial, o al decir de los matemticos: tomando el lmite t f t i (cuando t f tiende a t i )


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Definicin de

derivada

Es decir, la definicin de la derivada de una

funcin tomada en el valor t i es:


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Una conclusin

importante

Tanto la razn de cambio como la derivada son

formas de expresar la velocidad con que cambia una variable y con respecto a los cambios experimentado por la variable

independiente t .La derivada es la manera ms exacta de expresar la tasa de cambio porque, al ser una medida

puntual, no depende de la distancia que separa los momentos inicial y final t i y t f .


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Recordando la interpretacin geomtrica. La razn de cambio entre los valores x0 y x viene dada por el valor de la pendiente de la lnea

PQ. La derivada en x0 viene dada por el valor de la pendiente de la tangente PT


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Encontrar funciones que expresen con exactitud la conducta de fenmenos naturales, afecta dos por muchos factores no suele ser una

tarea fcil.

En las ciencias biolgicas, este tipo de problema se suele abordar buscando funciones que describan en forma aproximada, pero

aceptable, la

conducta

de

los

fenmenos

en

estudio.


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La bsqueda de funciones que describan la evolucin temporal de fenmenos como el crecimiento de los entes vivos se suele abordar del siguiente modo:


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1. Primero se busca formular una ley que describa cmo depende la tasa de crecimiento del fenmeno (la derivada) con el fenmeno mismo. Esta ley suele expresarse en forma de una

ecuacin diferencial, es decir, una ecuacin que relaciona la variable y con su derivada dy/dx . 2. Se intenta resolver la ecuacin diferencial en

forma exacta o al menos aproximada. La solucin de una ecuacin diferencial es la funcin buscada, la cual describe la conducta del fenmeno a lo largo del tiempo: y = f(t).


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Repertorio de

funciones

Existen un amplio repertorio de funciones que

pueden servir como ladrillos de base para construir funciones ms complejas con las cuales describir la conducta de fenmenos naturales complejos. Algunas de estas funciones surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales.

Veamos los tipos ms comunes:


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Potencias de exponente entero : la base es variable

y el exponente es constante: f(t) = t n donde n es un entero. Ejemplo: t 5

Polinomios : sumas de trminos formados por

potencias, donde cada potencia est multiplicada por un coeficiente. Ejemplo:

f(t) =5t 3 + 2.3 t 2 200t sera un polinomio de tercer grado.

Funciones exponenciales : la base es constante y el

exponente es variable. Ejemplo: f(t) = 2t

Funciones logartmicas : Son las funciones inversas de las exponenciales. Recordemos la regla

prctica: si a b = c entonces decimos que log a c = b


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Tambin podemos agregar a la lista:

Las potencias de exponentes no enteros, entre las cuales se encuentran la raz cuadrada, la raz cbica y dems races.

Las funciones racionales, que son fracciones donde tanto el numerador como el

denominador son polinomios.


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En la era de las computadoras, han cobrado

fuerza los llamados modelos computacionales. Estos modelos utilizan como insumo varios tipos de funciones matemticas. Entre las ms

comunes que podemos agregar a la lista anterior se encuentran las funciones:Parte entera [x], parte decimal {x}, las funciones

mximo y mnimo de dos nmeros y la funcin mdulo m (resto de la divisin de x entre m).


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Muchas leyes de crecimiento se basan en la funcin exponencial.

En rojo: funcin exponencial con base a < 1

En verde: funcin exponencial con base a > 1


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La funcin

lineal

Una de las leyes ms simples para describir la

relacin entre dos variables es la llamada ley lineal o ley de proporcionalidad: si duplico t se duplica y, si triplico t se triplica y, y as

sucesivamente.Cuando dos cantidades t y y estn relacionadas

de forma proporcional o lineal, una de ellas es igual a la otra multiplicada por una constante:

y = kt


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Se han

empleado

varios

tipos

de

frmulas

matemticas para describir el crecimiento no lineal de poblaciones o individuos. He aqu algunas y a la derecha la ecuacin diferencial de la cual provienen (ntese la alta presencia de la funcin exponencial de base e):

(Tomado de: Boris Zeide, Analysis of Growth Equations, Forest Science, Vol. 39,

No. 3, pp. 594 616)


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La razn de cambio y/ t nos da una medida

absoluta de la rapidez con que vara y al variar t . Volviendo a nuestro ejemplo, si y denota el nmero de rboles en una parcela, y t el

tiempo medido en aos, y/ t nos dice en cuntos rboles ha aumentado o disminuido la poblacin en un ao.

Pero imagine que tenemos dos parcelas, una que crece a razn de 200 rboles por ao y otra a razn de 500 rboles por ao. Es claro que sin conocer el tamao de las parcelas no podramos

decir cul

tiene

mayor

tasa

de

crecimiento.


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Razn de

cambio

relativa

Para resolver el problema de comparar razones

de cambio, la solucin es expresar dichas razones en forma relativa o especfica , es decir, comparando cada razn de cambio

y/ t con el tamao y de la propia poblacin.

Se define

la

razn

de

cambio

relativa

como:


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La ley

alomtrica

Se conoce con el nombre de ley alomtrica a

una ley que expresa un tipo de comparacin entre razones de cambio. Se ha podido comprobar en numerosos casos, que la ley

alomtrica describe con bastante exactitud la forma como crecen distintas las partes de un ser vivo, por ejemplo las distintas partes de un rbol.


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Si y denota una parte de un ser vivo y x

denota otra de sus partes, sabemos que ambas partes crecen en funcin del tiempo con sus respectivas tasas puntuales: dy/dt ydx/dt

La ley alomtrica afirma que si se comparan dos partes de un mismo organismo, por ejemplo la cabeza y el tronco de un ser humano, o el tronco y las ramas de un rbol, sus razones de

cambio relativas son proporcionales.


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Ecuacin diferencial

alomtrica

La ley alomtrica se expresa matemticamente

como una ecuacin diferencial de la forma: (1/y)(dy/dt) = k (1/x)(dx/dt)

Con k una

constante

positiva

(k

>

0 ).Esta ecuacin afirma que: las tasas de crecimiento relativas se encuentran

en relacin de proporcionalidad a travs de la constante k.


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Solucin de

la

ecuacin

alomtrica

La ecuacin (1/y)(dy/dt) = k (1/x)(dx/dt)

se puede simplificar tratando las cantidades dt , dx y dy como si fueran partes de una fraccin ordinaria, con lo cual se obtiene la nueva ecuacin diferencial:

(dy/dx)=k(y/x)


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Solucin de

ecuacin

alomtrica

La ecuacin (dy/dx)=k(y/x) es de un tipo muy

sencillo de resolver (ecuacin de variables separables) y su solucin es la siguiente:


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Esta ltima ecuacin

nos dice que las partes x y y varan con el

tiempo de modo que una parte se expresa como una potencia de la otra. El valor de las constante k depende del tipo de organismo y de las partes de dicho organismo que se estn considerando. El valor de c depende de los

valores iniciales de las partes x y y .

Para propsitos numricos y grficos es prctico


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Para propsitos numricos y grficos es prctico

tomar logaritmos

en

ambos

miembros

de

la

ecuacin anterior, obtenindose la ecuacin:

log(y) = k log(x) + log(c) (*)

donde log denota el logaritmo en cualquier base.

Si convenimos en llamar Y=log(y) y X=log(x ), la relacin anterior se convierte en: Y = k X + B, lo cual muestra que si graficamos la relacin

(*) en papel doblemente logartmico obten dramos una lnea recta.

U l i i


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Una conclusin importanteLa ley alomtrica no nos dice cmo crecen en el

tiempo las variables x o y , tan slo nos

indica cmo se relaciona el crecimiento de una de estas variables con el crecimiento de la otra. Si la variable x creciera siguiendo, por

ejemplo, una ley exponencial, logstica o dada por cualquier ecuacin, la ley alomtricaindica que la variable y crecer en forma que se relaciona con x a travs de la ecuacin


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Otras funciones de crecimiento y

de volmenes

de

slidos

y sus

aproximaciones en rboles


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Zeide 1993


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Prodan et al. Mensura forestal. Serie Investigacin y Educacin en Desarrollo Sostenible N 1 , IICA San Jos (Costa Rica). 1997. 561 p..


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Ahora vamos

a ver

cmo

se

construyen las ecuaciones

alomtricas para rboles,

arbustos

y palmas en sistemas

agroforestales


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Construccin de modelos alomtricosde biomasaMilena Segura, MSc y Hernn Andrade, PhD

Universidad del Tolima. Ibagu, Colombia2011

Construccin de modelos


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Construccin de modelos

de biomasa y carbono

Q d di b l ?


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Qu podramos medir en rboles?

Dimetro a la altura del pecho rea basal

Altura total, comercial y de copa

Dimetro a la altura del pecho


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Dimetro a la altura del pecho

Dimetro o circunferencia: en rboles en pie, la

altura de medicin del dimetro es 1,3 m desde el

nivel del suelo, denominada dimetro a la altura

del pecho = dap, o circunferencia a la altura del

pecho= cap

Existe una relacin matemtica entre estas dos

variables: cap = *dap = 3.1416*dap


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Estimacin del dap


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Estimacin del dap

Uso de forcpula


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p

Se deben realizar al menos dos mediciones de dimetros

Cuando se hacen dos se recomienda que las mediciones sean perpendiculares entre si

Estimacin del dap: Uso de


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pforcpula

Estimacin del rea basal


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Estimacin del rea basal


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Un caso especial: rbol bifurcado


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abajo del dap

y ahora qu hacemos con estos dos datos?

Sugerencias!

Dimetro cuadrtico medio (DCM)


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DCM: es el dap que correspondera al rea basal resultante de

la suma del rea basal de cada uno de los troncos medidos

( )

DCM: Dimetro cuadrtico medio (cm)Dap: Dimetro a la altura del pecho de cada uno delos tallos medidos (cm)


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Estimacin de alturas

Vara graduada

Mtodos trigonomtricos (clinmetro e hipsmetro)

Mtodos geomtricos (relacin de tringulos)

Uso de vara telescpica


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Pasos

1. Ubicar el rbol a medir

2. Ir sacando las partes de la vara

graduada, iniciando desde la ms

interna (ms delgada) a la ms externa3. Desplegar la vara hasta que llegue a

la altura deseada

4. Leer directamente la altura en la vara5. Anotar

Clinmetro


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Instrumento para medir inclinaciones(pendientes)

Usualmente mide % y ngulos

Estimacin de alturas de leosas perennes


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Altura total: uso de clinmetro y cintamtrica

Estimacin de alturas de leosas perennes


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Altura total: uso de clinmetro y cinta mtrica

Hipsmetro


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Instrumento para medir alturas Se debe realizar a una distancia previamente

establecida (comnmente mltiplos de 15, 20 o 25 m) Realiza internamente una conversin de pendientes

a alturas

rea de copa


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Cmo estimar el rea decopa de este rbol?

reas de copas


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1. Medicin de reas de copa: A mayor nmero de dimetrosmedidos menor el error de laestimacin

Dc: Dimetro de copa promedio (m)

Dci: Dimetros de copa medidos (m) Ac: rea de copa (m2)

Construccin de modelos debiomasa y carbono


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biomasa y carbono

Mtodo directo


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Construccin de modelos debiomasa y carbono


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biomasa y carbono

Mtodo indirecto


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De cada componente se toman muestras y se pesan


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para calcular la gravedad especficaGE =PSH / VM

Donde: GE : Gravedad especfica (g cm -3);PSH : Peso seco horno (g);VM

: Volumen muestra (cm3

)

Se determina la biomasa B =V xGE

Donde: B : Biomasa componente (t);V: Volumen componente (m3);GE: Gravedad especfica (t m-3)

Volumen de fuste o ramas grandes:


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Cubicacin de tocones


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Sin gambas(Cilindro)

Volumen de tocn: Neiloida truncada


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Con gambas

ORGANIZACIN Y ANLISIS DELA INFORMACIN


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Organizacin de datos


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2. GraficarDap (eje x) y altura (eje y)


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Dap (eje x) y biomasa total (eje y)

Biomasa totalarea vs. Dap derboles en bosqueshmedostropicales, C.R.

(Segura &Kanninen, 2005)


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3. Realizar anlisis estadsticos para

determinar correlacin entre variables.

ANOVA

4. Probar modelos genricosUsando una o dos variables independientes (d


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y h)

Criterios de seleccin de modelos de mejor


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ajuste Lgica biolgica del modelo Coeficiente de determinacin ajustado

(R2-ajustado)

Coeficiente de determinacin (R2) Coeficiente de variacin (CV%) Prueba F (anlisis de variancia) para

el modelo y para cada parmetro


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Probar supuestos de normalidad

homocedasticidad e independencia

Probar el modelo con los datos originales

Estadsticos: PRESS, ndice de Furnival, Mallows (C)

NDICE DE FURNIVAL


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Compara los

valores

ajustados

contra

los

reales.

Funcin, comparar entre modelos cuya variable

dependiente (biomasa) fue transformada

Furnival, G. M. 1961. An index for comparing equations used in constructing volume tables. Forest Science 7(4): 337341.

Ejemplo de seleccin de modelos


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Simulada vs. real


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Estimacin de volumen


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Estimacin de biomasa


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Ejemplo de tabla devolumen. Tabla de volumen

l C di lli d


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total para Cordia alliodoracon corteza (m3 rbol-1)

Ejemplo:

Un rbol de 20 cm dedap y 26 m de alturatiene 0,451 m3 demadera

Fuente: Somarriba EJ;Beer JW. 1987.Dimensions, volumes,and growth of Cordiaalliodora inagroforestry systems.Forest Ecology &Management 18:113-126.


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Ahora veamos un ejemploconcreto de construccin de

modelos alomtricos de biomasa para rboles de cacao, laurel,

frutales y otras leosas perennes encontradas en fincas y sistemas

agroforestales con cacao en Talamanca, Costa Rica.


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Equations for estimating above-groundbiomass of individuals trees in Indigenouscocoa agroforestry Systems

Hernn J. Andrade, Milena Segura, Eduardo Somarribaand Marilyn Villalobos.

INAFORESTA, CATIE, Turrialba, 2006

Location of the study


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Area: 8,327 ha

Indigenous Reserve Cabcar Indigenous Reserve Bribri

Talamanca, Limn, Costa Rica. Altitud: 0 300 m Life zone: Tropical humid forest (Holdridge 1967) Mean temperature: 22 27C Rainfall: 1900 2740 mm year1

Sample and tree size


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(*) Data base of Somarriba and Beer (1999) and Ryan (2002); Diam30: Diameter at 30 cm height (cm); dbh: diameter at breast height (cm); h: total height (m)

Diametric distribution of sampledTheobroma cacao trees


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Relation between total aboveground biomass and stemdiameter at 30 cm above ground for Theobroma cacao


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Correlation with Diam30: r = 0.94 (P < 0.01 )

Stem diameter distribution of sampledCordiaalliodora trees


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Relationship between total aboveground biomass and a) dbhand b) total height of C. alliodora


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Correlation between TB with dbh and h r = 0.92 and r = 0.87, respectively (P < 0.01 )

Stem diameter distribution of sampled fruit trees


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Relation between total aboveground biomass and a)dbh and b) total height of fruit trees


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Correlation between TB with dbh and h r = 0.94 and r = 0.59, respectively (P < 0.01 )

Stem diameter distribution of sampled ofindividuals (h 1.5 m and dbh < 10 cm) inyoung forest fallows


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young forest fallows

Relation between total aboveground biomass and a) dbh and b) totalheight of individuals (h 1.5 m and dbh < 10 cm) of natural regenerationin fallows


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Lecturas


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Obligatorias Segura M, Andrade HJ. 2008. Cmo construir

modelos alomtricos de

volumen,

biomasa

o

carbono

de especies leosas perennes?. Agroforestera en las Amricas 46:8996.

Recomendadas Batschelet E. 1978. Matemticas para biocientficos. Editorial Dossat, Madrid, Espaa. Pp. 362365. Niklas KJ. 2004. Plant allometry: is there a grand

unifying theory?. Biol. Rev. 79:871889. Zeide B. 1993. Analysis of growth equations. Forest

Science XX:594616.

GRACIAS!


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5. alometría y construcción de ecuaciones

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