42683283 libro prefacultativo

UMSA FACULTAD DE MEDICINA

CURSO PREFACULTATIVO GESTIN 2005 10


INTRODUCCIN

Aunque la matemtica no suele formar parte del equipo normal de los estudiantes

de la Facultad de Medicina , las tcnicas y razonamiento matemtico se puede

aplicar a las actividades de investigacin , interaccin y rea clnica del

profesional , por tener un orden lgico, mtodo y rigor como debe ser la ciencia.

El propsito del texto es que el estudiante prefacultativo tenga nociones

elementales del contenido mnimo que se requiere para el ingreso a la Facultad de

Medicina. Consta de nueve captulos de los cuales a continuacin se har una

breve descripcin de su contenido.

En el captulo de Conjuntos se hace una pequea introduccin a la teora de

conjuntos y a sus propiedades, proponiendo ejercicios que ayuden al estudiante a

repasar estos conceptos de manera prctica.

En el captulo que tiene como tema a los Sistemas Numricos, se hace un repaso

general de los conceptos de los nmeros que manejamos cotidianamente en

nuestras actividades y que tienen ciertas propiedades que ayudan a que podamos

realizar operaciones tanto aritmticas como algebraicas.

El captulo 3 contiene informacin referente a notacin cientfica que ayude al

estudiante a recordar conceptos de cmo utilizarla para poder expresar cifras de

tamao grande en cifras transportables y utilizables.

El captulo de lgebra resume gran parte de los conceptos relacionados con esta

teora y presenta problemas aplicativos a este tema.

El captulo 5 contiene informacin del uso de los productos notables, posterior a

este captulo se toca los casos de factorizacin mas utilizados que son en el

lgebra para poder resolver cualquier tipo de problema de esa ndole. CURSO PREFACULTATIVO

GESTIN 2005 11


El captulo 7 presenta un resumen de las leyes de los exponentes, que facilitarn

al estudiante la comprensin del uso de las propiedades de los exponentes que

son muy utilizadas en problemas algebraicos y que ms adelante sern tiles en la

teora de los Logaritmos.

Los siguientes captulos estn especficamente relacionados con la resolucin de

ecuaciones algebraicas de primer grado con una incgnita, y a los sistemas de

ecuaciones, para lo cual se repasarn los mtodos que ayuden a resolver dichos

sistemas. Por ltimo se encuentra el captulo de Logaritmos donde se aplica

especficamente la teora relacionada a las leyes de los exponentes.

Este texto de consulta en ninguno de los casos pretende reemplazar a textos

especializados en los temas propuestos anteriormente, sino que su objetivo

principal es ayudar al postulante del curso PREFACULTATIVO a recordar

conceptos que obtuvo en su formacin escolar secundaria. Recomendamos

tambin el uso de cualquier material bibliogrfico para poder complementar los

temas propuestos y que ayuden al estudiante a tener una mejor comprensin de la

asignatura y en especial a poder lograr el objetivo de ingresar a la facultad.



CONJUNTOS

En la teora de conjuntos definimos a un conjunto como la coleccin de objetos

que tienen una caracterstica especial que permite que los mismos estn

agrupados. Estos objetos pueden ser: Personas, animales, plantas, nmeros, etc.

De esta definicin podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto:

Elementos

Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto.

Ejm.: Jos pertenece al Cuarto curso de Secundaria.

Los elementos de un conjunto se representan por letras minsculas del alfabeto,

nmeros o smbolos que nos ayuden a identificarlos.

a, b, , 2, 3, , , ,

Notacin

Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras maysculas del

alfabeto, tales como:

A, B, C, , X, Y, Z

Representacin de un Conjunto Grficamente se puede representar a un conjunto a travs de Diagramas de Venn,

los cuales consisten en curvas cerradas.



Ejm.:

El conjunto A cuyo elementos son los cinco primeros nmeros pares.

A={0, 2, 4, 6, 8} .2 .4 .0 .6 .8

A

Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece a

un conjunto determinado se hace uso de los smbolos y , respectivamente.

En el ejemplo anterior podemos decir que A2 y que A1 .

Para poder definir un conjunto podemos valernos de dos formas de expresin:

Por Extensin y Por Comprensin.

Por Extensin

Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos que

lo componen.

Ejm.:

A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B={-2, -1, 0, 1, 2}



Por Comprensin

Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todos

sus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos.

,2/ kxx = k=0, 1, }={0, 2, 4, 6, 8, } A={

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto Finito

Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el ltimo de

sus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos.

Ejm.:

A= {3, 5, 7, 8} El conjunto A tiene 4 elementos

B= { ,2/ kxx = k=0, 1, , 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto B tiene 5 elementos

Conjunto Infinito

Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se

pueden terminar de contar.

Ejm.:

A= { ,2/ kxx = k=0, 1, , n } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, }



Conjunto Universo Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por

.

Ejm.:

A={ xx / }

Como el conjunto A hace referencia al Conjunto de Nmeros Enteros, entonces,

concluimos que = .

Conjunto Vaco

Tambin conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningn

elemento y es denotado por la letra griega { }.

Ejm.: A={El conjunto de n meros pares cuya ltima cifra sea impar}= { } =

Ejercicios Propuestos 1. Expres

a) A=

b) B=

c) C=

d) D=

CURSO PREFGESTIN 200ar por Ex

{ 2/ =xx{ x / x{ x / { x / xACULTATIV5 tensin los siguientes conjuntos:

1+k donde k=0, 1, , n } 01582 =+ x }

1337 + x } k2= , donde k= 0,1,2,3, , 11}

O 16


2. Expresar por comprensin los siguientes conjuntos:

a) A= {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

b) B= { Ene, Feb, Mar, May, Jun, Jul, Ago, Sep, Oct, Nov, Dic}

c) C= { Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes, Sbado, Domingo}

d) D={4, -3}

3. Indique si los siguientes conjuntos son Finitos, Infinitos o Vacos:

a) A= { x / 0482 2 =+ xx } b) B= { x / 1=)4(log 32 x } c) C = { x / 12 += kx , donde k= 0,1,2,3, , n}

Relaciones entre Conjuntos Inclusin

Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, si

todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relacin se la denota de

la siguiente forma:

}/{ BxAxxBA OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unin de dos Conjuntos La unin de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o de

B o de ambos conjuntos y se denota por:

}/{ BxAxxBA =U



Lo cual se lee: A unin B, es el conjunto formado por elementos x, tal que x

pertenece a A x pertenece a B.

Ejm.:

Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {-2, -1, 0, 1, 2}

Entonces, A B= {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} U

1

2

3 4

5 6-1

-2

0

UUA B

BAU

Interseccin de dos Conjuntos

La interseccin de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a A y a B y se denota por:

}/{ BxAxxBA =I

Que se lee, A interseccin B es el conjunto formado por los elementos x, tal

que x pertenece a A y x pertenece a B.



Ejm.:

Si A = {a, b, c, d}, B = {a, b, f, g, h}

BAI

a

b

c

dh

f

g

A B

Complemento de un Conjunto

Dado el conjunto universo y A . El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por elementos de que no pertenecen al conjunto A y se

denota por CA o 'A .

}U/{ AxxxAc = x AxAC

Ejm.:

Si A = {1, 3, 5, 7} y = { x / 10


Diferencia de Conjuntos

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de

A que no pertenecen a B y se denota por:

A B = { BxAxx } / BxAxBAx )(

Ejm.:

Si A = {1, 2, 3, 5, 7} y B = {3, 5, 7, 8 }, entonces, A B = {1, 2}

Diferencia Simtrica

La diferencia Simtrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por

elementos de A o de B pero no de ambos, denotado por:

BA = { Axx / v Bx } = )( BABA IU )( )()()( BAxBAxBAx IU

Ejm.:

Si A = {a, b, c, d} y B= {c, d, e, f}, entonces, BA = {a, b, e, f}

Ejercicios propuestos

1. Dados los siguientes conjuntos:

UU = { x / 10 }, A =4 x { x / 7x } y B={ x / 22 } xC = { x / } 10x



Hallar:

a) CBA IU )( b) CC BCA IU )(c) )( CAB d) CCBCA )()( UIUe)

f)

. Utilizando diagramas de Venn sombrear cada uno de los siguientes conjuntos:

)( CBA C I )()( CBBA I

2

CBA )( a) )( CBA C I b)

CCACBA )()( IUU c) CBA C UI )( d)

e)

3. Verificar las propiedades de la Teora de Conjuntos:

)( CC CBA UI

},,{},{},,{},,,,{ dcbCeaBcbaAedcba === a)

=UCCC BABA UI )(

)()()( CABACBA UIUIU b) ABBA c)

CAAU d) UU e)

f)

CAAI ABBA



4. Resolver los siguientes problemas:

a) En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron

Matemticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos

que no estudiaron Lenguaje ni Matemticas. Cuntos alumnos estudian

exactamente una de las materias mencionadas?

b) De 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 Derecho y

120 ninguna de las dos carreras. Cuntos quieren estudiar ambas al mismo

tiempo?

a) 27 b) 22 c) 66 d) 65 e) N.A.



SISTEMAS NUMRICOS

Nmeros Naturales ( )

El conjunto de nmeros naturales esta compuesto por todos los nmeros enteros

positivos excluyendo al cero y este conjunto esta denotado por .

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, }

Antes de continuar se har algunas definiciones.

Se dice que una operacin esta bien definida en un conjunto cualquiera A, si tomando dos elementos de dicho conjunto y sometiendo a estos elementos a

dicha operacin, el resultado obtenido, tambin pertenece al conjunto A.

En estn bien definidas las operaciones de adicin y multiplicacin, es decir:

a b + )( baSi S i a b )( ba

Por ejemplo si tomamos a:

a + b = 4 + 9 = 13

a x b = 4 x 9 = 36 a = 4 y b = 9



Como a + b = c, donde c podemos definir:

b = c - a

A lo que llamaremos sustraccin en .

Ejercicios Propuestos

Probar si las operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin de los

siguientes valores pertenecen al conjunto de nmeros naturales ( ).

a) a = 4, b = 3

b) a = 5, c = 3

c) a = 7, c = 7

d) a = 7, b = 3

e) a = 1, c = 2

f) a = 3, b = 1

Nmeros Enteros ( )

Este conjunto esta formado por valores enteros, tanto positivos como negativos,

el cual esta representado por .

= {, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, }

En este conjunto estn bien definidas las operaciones de Adicin, Sustraccin y

Multiplicacin.

Tambin se debe indicar que el conjunto de nmeros naturales esta incluido

dentro del conjunto de nmeros enteros, es decir . CURSO PREFACULTATIVO GESTIN 2005 24


Ejm.: Sean a = - 3, b = 2, entonces,

a + b = - 3 + 2 = -1 a x b = (-3) x (2) = - 6 a b = - 3 2 = - 5 Ejercicios Propuestos 1. Efectuar mentalmente las siguientes operaciones:

a. (120 - 20) + (2 x 3)

b. 2 x (98 - 2)

c. (3 x 5) + (2 x 5)

d. (100 / 2) + (3 x 5)

e. (1000 + 2) x 3

f. (2 x (300 / 2)) 300

g. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

h. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

i. 1 + 2 + 3 + 4 + + 50

j. 1 + 3 + 5 + 7 + +51

2. Descomponer en Factores Primos los siguientes nmeros:

a. A = 120

b. B = 3600

c. C = 1260

d. A = 225

e. B = 144



3. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de los siguientes valores:

a. 40; 250

b. 120; 36

c. 255; 120

d. 12; 4

4. Cuales de los siguientes nmeros son Primos y cules nmeros compuestos:

a. 3

b. 120

c. 37

d. 111

e. 77

f. 24

g. 355

5. Efectuar mentalmente las siguientes expresiones:

a. ( - 5 - 7) x (11 - 5)

b. 3 x ( - 3) + 5 x ( - 1)

c. (1 - 1000) x ( - 2)

d. (100 / 4) x (2 - 10)

e. (3 x 5) + (2 x 3 x ( - 2 + 8))

f. ( -36 / 6) + 8 x ( - 2)



NMEROS RACIONALES ( )

El conjunto de nmeros racionales esta formado por nmeros que pueden

expresarse como qp

, donde p y q , siendo 0q .

= { ,49,

711,

23,

2713,

21,

43,

25, }

En se dice que estn bien definidas las operaciones de adicin, sustraccin,

multiplicacin y divisin:

+

Q

ba

QbaQbaQba

a y b

Ejm.:

3

=263

0 =700

- 2 =482

Con estos ejemplos tambin podemos concluir que .



MEROS IRRACIONALES ( )

El conjunto de nmeros irracionales esta formado por nmeros que no pueden

expresarse como qp

, donde p y q , siendo 0q .

= { ,,,23

En

3,28,3,2,3, 3 e }

no estn bien definidas las operaciones de sustraccin, multiplicacin y

otenciacin. Tambin debemos mencionar que p y no tienen ningn nmero

en comn.

NUMEROS REALES ( )

El conjunto de nmeros reales esta formado por la unin de conjuntos de

meros Racionales e Irracionales ( ). Para denotar a este conjunto n Uutilizaremos la letra .

Si buscamos una relacin entre los conjuntos de nmeros anteriormente

mencionados tendramos lo siguiente:

NOTACIN CIENTFICA

En este apartado se trata de explicar lo que es la notacin cientfica y la forma

como se la puede utilizar en las matemticas.



Empezaremos mencionando que la notacin cientfica es la forma abreviada de

escribir cantidades numricas suficientemente grandes o lo contrario

suficientemente pequeas. Para poder lograr este cometido se hace uso de las

potencias de 10, con lo cual permitimos que las expresiones en las mediciones

ientficas puedan ser ms explicitas, ms compactas y ms sencillas de utilizar,

para lo cual utilizaremos la siguiente notacin:

c

ba 10

Don

de:

a y puede ser este un decimal y esta comprendido en el rango . 101 ab ya sea este positivo (+) o negativo (-).

En los siguientes ejemplos se muestra como expresar algunas cantidades a su

correspondiente notacin cientfica:

b)

jercicios Propuestos

1. Escribir en notacin cientfica las siguientes cantidades:

c)

21012546,3546,312 = a) 31045225,125,1452 =

c) = 2109752,8089752,0

E

265,125 a)

879,256'2 b)

56,875223



d)

f)

2. Escribir en notacin decimal las siguientes cantidades:

41563

c)

d)

e)

000154789,0

e) 21,745,8

123654,0

a) 1, 410210912,2 b) 4102564,3

41089,1 41014159,4



Operaciones con Notacin Cientfica

Adicin y Sustraccin

Para poder efectuar estas operaciones con notacin cientfica, primeramente

debemos asegurarnos que todas las potencias de 10 sean semejantes, caso

contrario hay que procurar a que lo sean.

Ejm.:

a. , 666 10534,510254,110284 =+

1(

b. 33323 108498,2102912,010141,310912,210141,3 ==

Multiplicacin y Divisin con Notacin Cientfica

Para realizar la multiplicacin simplemente se multiplican los valores decimales y

se suman las potencias de 10, con lo cual se obtiene el resultado que en algunos

casos se debe volver a expresar en notacin cientfica, de igual manera se

procede en la divisin la nica diferencia radica en que se deben restar las

potencia de 10 del numerador menos la potencia de 10 del denominador.

Ejm.:

a. , 13232 10905794,610)346,4589,1()10346,4()10589 ==

b. 22424

1043,31046,244,8

1046,21044,8 =

=


1. Sumar y Restar los siguientes nmeros decimales:



a) 2, 624 104689,210464,31081 ++ b) 363 10356,11024,010568,2 + c) 912, 246 109145,210145,6102 + d) 47 1018,51023,1 +

23 10945,210124,9 e) 12 105,121025,1 f)

2. Multiplicar y dividir los siguientes nmeros decimales

1( 3510)1056,3)(10256,2( 34 a)

b) , )10658,1)(10256.0)(10025 c) )1028,1)(1045,5( 43

)1056,2)(1089,7( 46 d)

2

10

1013,21065,3

e)

4

5

10234,01036,1

f)

4

8

1045,81021,4

g)

2

3 1056,4)1034,2(h) 71089,0

3. Si la gravedad de la tierra tiene una constante de

2100981,0 2sm

a cuanto

equivale esta cantidad en 2min.lgpu



ALGEBRA Expresin Algebraica

Una expresin algebraica es aquella expresin que esta compuesta por nmeros y

tras del alfabeto los cuales estn ligados por una o varias operaciones de suma,

resta, multiplicacin y divisin.

Ejm.:

le

332 3 + xyx a.

b. 16

1682 + xx 2 x

c. 23 62 xx d.

zxxy

234

Trmino Algebraico

Es una expresin en la que intervienen nmeros y letras por medio de operaciones

algebraicas tales como el producto y cociente de nmeros y letras, en un trmino

o intervienen las operaciones de adicin y sustraccin.

n

Ejm.:

cxbbzyxy 2

2

217;;45;3



E

2xy

Coeficiente NumricoCoeficiente Literal

Signo

Exponente

21-

lementos de un Trmino

rminos Semejantes

e dice que dos trminos son semejantes cuando la nica diferencia que existe

entre ambos es la de su coefici

ino. Por ejemplo:

24 es 4+2+1=7

rado de un Polinomio

Es el correspondiente al trmino de mayor grado. Por ejemplo:

Los grados de los trminos del polinomio

T S

ente numrico.

Grado de un Monomio

Es la suma de todos los exponentes de la parte literal de un trm

El grado de x8

zy

G

xyyzxzyx + 2234 38 son 8, 5 y 2 por consiguiente el grado del polinomio es 8.



Operaciones Algebraicas

Suma Algebraica

Si dos o ms expresiones algebraicas estn vinculadas por los signos (+) (-), la

expresin resultante se denomina Suma Algebraica. Por ejemplo:

( bc cab32 ) +( 68 abb + ) 32 ) - ( 68 ( bc cab abb + )

Multiplicacin Algebraica

El producto de la multiplicacin algebraica se la obtiene multiplicando cada trmino

del multiplicando por cada trmino del multiplicador (Propiedad distributiva con

respecto de la multiplicacin). Se debe recordar tambin que es importante aplicar

la ley de los signos, la ley de los exponentes y propiedades asociadas con la

multiplicacin.

Ejm.:

463124324 27))()(93()9)(3( babababa == ++ 2311212 26))((2))()(32()3(2 xyyxyxyxyxxy == ++


1. Sumar las siguientes expresiones Algebraicas

a) 2ab + 4bc + 2abc; 21bc - 2ab - 3abc; 12abc - 3bc - 2ab

b) 3x2y3 + 4x2y + x3y2; 2x3y2 + 2x2y - 3x2y3



c) 12zy - 3x2y + 3; 2x2y + 3zy + 4x

d) 2x3 + 2x2 - 3x + 5; x3 - x2 + 3x + 8

e) 7ab + 8a2b3 + 3; 8ab - 7a2b3 + b; 9ab + 7a2b3 - 4

f) m3 - n3 + 6m2n; - 4m2n + 5mn2 + n3; m3 - n3 + 6mn3; - 2m3 -2m2n + n3

g) a5 + a6 + a2; a4 + a3 + 6; 3a2 + 5a - 8; - a5 - 4a2 5a + 6

h) 5a - 2b - 3c; 7a - 3b + 5c; - 8a + 5b - 3c

2. Multiplicar las siguientes expresiones Algebraicas

a) 2a3b(4a2b 2ab2)

b) (a b)(a + b)

c) (2a 3)2

d) (3a2 + 3a 3)(a + 1)

e) (3xy + 4xz 2)(2x2 3x + 1)

f) (3m + n)(4m 2n)

g) 21xy(2x2 + 3xy 2y2)(xy2 + 3xy)

h) (2x + y)(2x 3)(3x + y2)2

i) (2x3)3

j) (a - b)(a2 + ab + b2)

k) (a + b)(a2 ab + b2)

l) (3x + l)(3x - l)

m) (a + 2ba)2

n) (2a + a2)3

o) (2a - b)3

PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son conocidos as debido a que son casos de

multiplicacin que se presentan con mucha frecuencia en la resolucin de

problemas de multiplicacin y factorizacin algebraicas.



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2 (a + b)(a b) = a2 b2 (a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3 (a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3


a) (a - b)(a2 + ab + b2)

b) (a + b)(a2 ab + b2)

c) (3x + l)(3x - l)

d) (a + 2ba)2

e) 9 a2

f) 27x3 + y3

g) (3x + 4)3

h) (2a 2b)2

i) (6 + b)(36 6b + b2)

j) (5a 3b)(5a + 3b)

k) (4xy + 7y)2

l) x2 + 4x + 4

m) a2 8a +16

FACTORIZACION

La factorizacin de expresiones algebraicas es el proceso por el cual se expresa

dicha expresin en el producto de sus factores primos. Para la resolucin de CURSO PREFACULTATIVO

GESTIN 2005 37


problemas de factorizacin existen muchos casos, por lo cual para una mejor

comprensin y aplicacin resumiremos algunos de estos casos.

Factor Comn Monomio: ax + ay = a(x + y) Factor Comn Polinomio: 3(x 2y) + a(x 2y) 2b(x 2y) = (x 2y)(3 + a 2b) Factor Comn por Agrupacin: ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y) Diferencia de Cuadrados: a2 b2 = (a + b)(a b) Suma de Cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) Diferencia de Cubos: a3 b3 = (a b)(a2 + ab +b2) Trinomio Cuadrado Perfecto: a2 2ab + b2 Trinomio de la forma: x2 + px + q Trinomio de la forma: ax2 + bx + c



Ejercicios Propuestos Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

a) 125a3 + b3

b) x3 27y3

c) 100x2 4

d) 1 x3

e) 8x2 14x 15

f) X3y6 + 216y9

g) 12a2b 4ab2 + 8ab

h) 2a2 + 3a 2

i) 4m6n6 + 32m4n4 + 64m2n2

j) 4x2 + 12xy 9y2

k) (m2 n2)2 + 8(m2 n2) +16

l) 3x2 + 2x 5

m) 10x2 + 11x 6

n) 3a2 + 2a 5

o) 9k2 8k 20

p) 64(m + n)3 125

q) 8x3 + 27y3

r) 4x4 9x2 + 2

s) 64x12y3 68x8y7 + 4x4y11

Mnimo Comn Mltiplo (mcm)

El mcm de dos o ms polinomios es el polinomio de menor grado y menor

coeficiente que es el mltiplo comn de cada uno de ellos.

Para hallar el mcm de dos o ms polinomios se sigue el siguiente procedimiento:



Paso 1: Se determina si se puede factorizar las expresiones. Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos. Paso 3: El mcm es igual al producto de todos los factores comunes y no comunes, para lo cual se toma a los factores con mayor exponente.

Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes polinomios:

,33 +x 66 x

Factorizamos cada polinomio:

),1(3 +x ( )16 x

Una vez factorizados los polinomios procedemos a sacar los factores primos de

los coeficientes numricos 3 y 6.

3 3 1

6 2 3 3 1

Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente con los

cuales obtenemos su producto. De los coeficientes numricos seria 2 x 3 = 6 y de

la parte literal sera (x + 1)(x 1), con lo cual concluimos que el mcm es igual a:

mcm = 6(x + 1)(x 1)

Mximo Comn Divisor

El MCD de dos o ms polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor

coeficiente que sea divisor de los polinomios dados. CURSO PREFACULTATIVO GESTIN 2005 40


Para hallar el MCD se debe proceder a:

Paso 1: Se factoriza si se puede las expresiones que se estudia.

Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.

Paso 3: El MCD es igual al producto de todos los factores comunes, tomando cada factor con el menor exponente.

Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes polinomios:

,48 43tr ,54 62tr 2460 tr

Primero determinamos si se puede factorizar o no los polinomios. Posteriormente

se obtiene el producto de los factores primos.

48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1

54 2 27 3 9 3 3 3 1

60 2 30 2 15 3 5 5 1

Para hallar el MCD solo tomamos el producto de los factores comunes con su

menor exponente, as:

MCD = 2 x 3 r2t2 = 6r2t2




Hallar el mcm y MCD de los siguientes polinomios y factorizar su resultado.

a) x3 + 4x2y, x3y 4c2xy, x2y2 + 4cxy2 + 4c2y2

b) (x 1)2, x2 1

c) x3 y3, (x y)3

d) 75(x + 3y)2(2x y )4, 54(x + 3y)3(2x y)5

e) a3 + 2a2b, a2 4b2

f) 16y2z4, 24y3z2

g) 9a2bx, 12ab2x2, 18a3b3x

h) y4 16, y2 4, y2 3y + 2

EXPONENTES Y RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

Ley de los Exponentes

En esta seccin se hace un resumen de las propiedades de la ley de los

exponentes que son vlidos para cualquier nmero n , con a y b dos expresiones algebraicas.

1. nmnm aaa +=2. mnnm aa =)( 3. nnn baab =)(

=

n

nn

ba

4. ba

, 0b

0,, >= anmaaa nm

n

m

5.



6. n baba == nn mn aa = 7.

m

8.

9.

10 =a 0,1n = a

aa n

de los Radicales

Ley

La ley de los radicales se basan en las leyes de los exponentes, pues:

n mnm

aa =

En base a esta definicin tenemos las siguientes leyes:

nnn abba1. = 2. 0, = b

bb naa n

n

3. mnm n aa = ( ) n mmn aa = 4.

n nn baba = 5.

Tambin mencionar que el siguiente enunciado no es vlido:

nnn baba ++



Ejercicios Propuestos Simplificar las siguientes fracciones:

11

22

yxyx

a)

1

11

11

+

yb)

xyx

41

41

22 yx c)

11

yx +

Calcular la suma de las siguientes races:

333

321250432 + a)

abab

ba 432 + b)

Racionalizar

yxz+ a)

543

b)

4 91

x c)



d) 4 3255 xy

e)

1

11

2

2

+

xxxx

Fracciones Algebraicas

Para resolver una fraccin algebraica se debe realizar el mismo procedimiento que

se utilizaba en Aritmtica es decir simplificar todo lo que sea permitido del

umerador como tambin el denominador a travs hallar un comn denominador,

de suma, resta,

acin y divisin necesarias,

fraccin equivalente expresada en trminos

sencillos. Para simplificar una fraccin algebraica se deben eliminar los factores

comunes numricos y literales tanto del numerador, como del denominador, lo que

nos permitir obtener una fraccin irreducible.

Ejm.: Simplificar la siguiente fraccin algebraica:

n

factorizando los miembros y por ltimo aplicando las operaciones

multiplic

Simplificar una fraccin es hallar otra

aaab

aaabaa

abaa

aba

288

2)1(8)1(4

2)1(4

126 233233

3

32 +===




Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

a) y

yx

x2

4214

255 +

443

887

222

2 +

aa

aa

aa

b)

x

x

x

11

11

11

++

c)

x

xx

x

212

12

42

2

+

+ d)

)1)(1(91

)1(2

13

322 +

++++ xxx

xx

xx e)

8126

12222 32

+++++

xx

xxx

f)

g) xaaxa

x 112 ++



ECUACIONES E INECUACIONES

Ecuacin

Se llama ecuacin a la igualdad que existe entre dos expresiones algebraicas.

Para resolver una ecuacin el principal objetivo es encontrar el valor de la

incgnita que en las expresiones algebraicas vienen representadas por las ltimas

letras del alfabeto. Toda ecuacin algebraica consta de dos miembros.

Expresin Algebraica Expresin Algebraica =

Primer Miembro Segundo Miembro

Donde el primer y segundo miembro son llamados miembro de la izquierda y

miembro de la derecha respectivamente.

Toda ecuacin es clasificada por el nmero de incgnitas y por su grado, siendo

este el exponente mayor que se encuentra en la incgnita.

Ejm.: Los siguientes son ejemplos de ecuaciones:

Ecuacin de primer grado con una incgnita 3432 =+ xx

=++

Ecuacin de Primer grado con dos incgnitas

=+=

334043

yxyx

Ecuacin de segundo grado con una incgnita 0442 xx



Inecuaciones

Una inecuacin es una desigualdad que comparte las propiedades de una

ecuacin comn y es representada de la siguiente manera:

515


la correspondencia entre los valores negativos y positivos, esta es una de las

dife c lgebraica comn y corriente.


ren ias que existe con respecto a una ecuacin a

a) 9832 =+ xx Resp. x = 2

2354

21

12

2 +=+ xx

xxx

Resp. X = 0 b)

21 =+x 3 Resp. x = c) d)

xxx 2 R+=+1

410

25

2 esp. x = 3

e) 11

144

11

2

2

++=+

+xx

xx

xx

Resp. x = 1

f) 3=++b

acxa

cbxc

bax Resp. x=a+b+c

)52(2)26(23 = xxxg) Resp. x = 5 h)

154

132

=

xx

xx

i) 242


a) Un hombre recibi por concepto de intereses del 5% por sueldos atrasados,

actualmente gana 2.500 Bs. Cunto era su salario originalmente?

b) El rea de una circunferencia es de 25 cm2, si el dimetro de la

c)

cm. menos que su ancho. Hallar sus dimensiones.

al doble del de B y

la suma de los de los ngulos A, B y C es 180. Cunto miden cada uno

e) Un estudiante del curso Preuniversitario de Medicina obtuvo las siguientes

calificaciones en la asignatura de matemticas: 72, 86 y 59 en tres

exmenes. Cunto debe obtener en el ltimo examen para que su

promedio sea de 80?

Sistemas de dos Ecuaciones Lineales con dos incgnitas

incgnitas es aquella que esta

efinida de la siguiente manera:

=+111

cybxa

Do e

circunferencia es el doble de su radio. Cunto mide su radio?

El permetro de una superficie rectangular es de 420 cm., la longitud de dos

de sus lados es de 30

d) Un triangulo rectngulo tiene su ngulo A que equivale

de sus ngulos?

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos

d

=+ cybxa 222

nd : 212121 ,,,,, ccbbaa y 0,0,0,0 2121 bbaa Para poder satisfacer este tipo de sistemas de ecuaciones se debe obtener un par

e valores x y que llamaremos soluciones. yd



Para poder resolver este tipo de ecuaciones, existen mtodos de resolucin, los

Mtodo de Sustitucin Mtodo de Igualacin Mtodo de Reduccin Mtodo de Determinantes


Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de igualacin:

cuales los mencionamos a continuacin:

1.

==+

284032

yxyx

=+=

112143

yxyx

=+=

23235

yxyx

=+=++

22)2(3)(4

yxxyx



2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el mtodo de

determinantes:

==+

5282

532

yx

yx

xyyx

2

3.

l mismo tiempo con la totalidad

de su capacidad albergaran a un total de 230 alumnos, pero si una de ellas

=+=+

1023048

==+

54262

yxyx

==

10452

yxyx

Una institucin educativa cuenta con dos ambientes para impartir sus clases

correspondientes. Si las dos aulas funcionaran a

trabaja en 43

de su capacidad y la otra en su totalidad albergaran a un total de

210 alumnos. Hallar la capacidad de cada aula.

4.

5. ionando en toda su capacidad al mismo

tiempo llenan un total de 20 Lts. en una hora. Si en el mismo tiempo uno de

ellos funciona en un

Hay dos nmeros cuya suma es de 8 y restando el primero por el doble del

segundo nos da un valor de 4. De que nmeros estamos hablando?

Los dos grifos de un departamento func

31

menos que el otro llena un total de 9 Lts. Cul es la

? capacidad de cada grifo en una hora



LOGARITMOS

La funcin Logaritmo esta definida por:

0,log >== aAayA ya 0,1 > xb

Esta expresin se lee logaritmo de A en base a, donde A es el argumento del

logaritmo y a es la base del mismo.

jm.: E

164216log 24 ==

16124

161log 42 ==

Propiedades de los Logaritmos

Sea >>> nBAaabb 1 ,0,,,0,1,0

)(logloglog BABA aaa =+ a.

=BABA aaa logloglog b.

naa AAn loglog = c.

naa AAn

1

loglog1 = d. e.

f.

1log =aa01log =a

g. nana =log



Ejm.:

41

42

0log04log

0

2

=

=

==+

x

xxx


1. lar el valor de x de los siguient s logaritmos:

a)

b)

d)

log2 x42

14=

41 = x

Hal e

2log4 =x 03log2 =x

c) 4log 33 =x 3log =x

2. icando las propiedades de logaritmos resolver las siguientes ecuaciones:

a)

Apl

23loglog =+x 14log2log 55 =x b)

c)

d)

e)

2log3log 22

2 = xx 04loglog 55 =+ xx

6log1log6log =+ xx



f) 0)]}52(glog{log[lo 3 =x g)

3. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con logaritmos:

a)

b)

2)76(log =+xx

=+=

10log4log 33

yxyx

=+=

08321log3log 22

yxyx



TEMA N 1 UNIDADES DE MEDICIN

rodea, es el estudio de las interacciones de la materia con la materia o con

la energa.

las informaciones bsicas de las interacciones se

obtienen, en primer estudio, por medio de nuestros sentidos. De aqu las

1. RAMAS DE LA FSICA.

1. QU ES LA FSICA?.

La fsica se esfuerza siempre en presentar una imagen clara del mundo que

nos

Es denotar que todas

subdivisiones clsicas de la fsica:

conducen a un cambio de movimiento.

El calor.- Interacciones en el interior de la materia. La acstica.- Interacciones entre partculas en movimiento peridico.

luz con la materia.

ero la fsica ampla los medios para ir ms all de los lmites naturales de

La electricidad.- Interacciones debidas a las cargas elctricas. La fsica atmica.- Interacciones en el interior del tomo. La fsica nuclear.- Interacciones en el interior del ncleo.

Hasta ahora la fsica se desarrollaba a partir de las propiedades macroscpicas

de la materia, es decir, de la materia tomada como un bloque. Actualmente, se

La mecnica.- Interacciones que

La ptica.- Interacciones de la

P

nuestros sentidos; de all nacen cada da nuevas subdivisiones que no se

podran imaginar.



trata de llegar a las mismas leye las propiedades microscpicas de

la materia, es mo el tomo.

1. S Y MEDIDAS

s a partir de

decir a partir de sus constituyentes elementales co

MAGNITUDE .

El objeto de toda medida es ob informacin cuantitativa de una cantidad

definir itudes fsicas para poder resar los

idas.

Se denominan magnitudes fundamentales, las que no pueden definirse con

respecto a las otras magnitudes y con las cuales toda la fsica puede ser descrita.

En cambio, se san como una

combinacin de las fundamentales

A DE UNIDADES1.1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.).

tener una

fsica.

Para esto, es necesario las magn exp

resultados de las med

definen como magnitudes derivadas cuando se expre

1. SISTEM .

El S.I. est formado por siete magnitudes fundamentales y dos complementarias o

suplementarias, las cuales se muestran a continuacin:



TABLA 1.1 Magnitudes y unidades fundamentales del S.I.

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO Longitud

ad luminosa

Metro

do

candela

m

s

cd

Masa

Tiempo

kilogramo

segun

kg

Temperatura

Intensidad de corriente

Intensid

kelvin

ampere

K

A

Cantidad de sustancia mol mol

TABLA 1.2 Magnitudes y unidades complementarias del S.I.

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO ngulo plano

ngulo slido

Radian

Esterorradin

rad

sr

Cada una de estas unidades est definida del siguiente modo:

etro.- Es la longitud igual a 1 650 763,73 longitudes de onda en el vaci de la radiacin correspondiente a la transicin entre los niveles 2p10y 5d5 del tomo de

criptn 86 (11ava CGPM, 1960). Kilogramo.- Es la masa del prototipo internacional del kilogramo custodiado por el Bureau Internacional Des Poids et Mesures, Svres, Francia (1ra y 3ra CGPM, 1889

y 1901).

Segundo.- Es la duracin de 9 192 631 770 perodos de la radiacin correspondiente a la transicin entre los niveles hiperfinos del estado fundamental

del tomo de cesio 133 (13ava CGPM, 1967).

M



Am s conductores paralelos ta, seccin circular

espreciable, colocados a un metro de distancia entre s, en el vaco producira

entre ellos una fuerza igual a 2 x 10-7 newtons por metro de longitud (9na CGPM,

1948).

El Kelvin.- Es la fraccin 1/273,16 de la temperatura termodinmica del punto ua (13ava CPGM

la cantidad de tema que contie tas entidades

omo tomos arb (1a CGPM,

a can ccin perpendicular, de una

0 de eg temperatura

e solidificacin del platino (2 042 K) y bajo una presin de 101 325 newtons por

m

El radin.- Es el ngulo plano que rtice en el centro de un crculo, intercepta en la circunferencia del mismo, un arco cuya longitud es igual al radio el

circulo (11ava CGPM, 1960, ISO R-31-1).

El ester s el ngulo s o que, tenieuna esfera, re rta de sta un r lent n cua es

de la esfera (11ava , 1960, R-31-1).

pere.- Es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en do rectilneos, de longitud infini

d

triple del ag , 1967).

El mol.- Es sustancia de una sis ne tanelementales c hay en 0.012 kilogramos de c ono 12

1971).

La candela.- Es l tidad luminosa, en diresuperficie de 1/600 00 metro cuadrado de un cuerpo n ro a la

d

etro cuadrado (13ava CGPM, 1967).

, teniendo su v

eorradin.- E lid ndo su vrtice en el centro de co ea equiva e a la de u drado cuyo lado

igual al radio CGPM ISO



Ejemplos de unidades derivadas del SI definidas a partir de las unidades fundamentales y suplementarias

U N I DA D

MAGNITUD

NOMBRE SMBOLO

Superficie Metro cuadra m2do Volumen Metro cbico m3 Velocidad Metro por segundo m.s-1Aceleracin Metro por segundo al cuadrado m.s-2Densidad Kilogramo por metro cbico kg.m-3Caudal de volumen Metro cbico por segundo m3.s-1Caudal de masa Kilogramo por segundo kg.s-1Velocidad angular Radin por segundo rad.s-1Ac Radin por segundo al cuadrado rad.s-2eleracin angular

les: Unidades derivadas del SI expresadas a partir de las que tienen nombres

especia

UNIDAD

MAGNITUD

Smbolo

Expresin en unidades SI Nombre

fundamentales Frecuencia Hertz Hz s-1Fuerza Newton N Kg.m.s-2Pre Pascal Pa Kg.m-1.s-2sin, tensin Ene Joule J Kg.m2.s-2rga, trabajo Pot Watt W Kg.m2.s-3encia, flujo radiante Car Coulomb C A.s ga elctrica Pot Volt V Kg.m2.s-3.A-1en ial elctrico cRes t Kg.m2.s-3.A-2is encia elctrica OhmCap d F m-2.kg-1.s4.A2acidad elctrica FaraFlu lu cd.sr jo minoso Lumen LmIlum a m-2.cd.sr in ncia Lux LxActrad

Bq s-1Becquerel ividad (de un ionucleido)



1.2. SISTEMA MKS.

Acepta como magnitudes y unidades fundamentales el metro de longitud, al

kilogramo de masa, y al segundo de tiempo, es decir:

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO L

o s

ongitud Masa

Tiempo

metro gramkilo

segundo

m kg

e hecho, el SI es el sistema MKS ampliado, de consecuencia, ste ltimo ha sido

1.3. SISTEMA CGS.

Tiene como magnitudes y unidades fundamentales: centmetro para longitud,

D

absorbido por el primero.

gramo para masa, y segundo para tiempo:

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO Longitud Masa tiempo

g s

centmetro cmgramo segundo

Volumen: cm3 : cm/s

2 : g/s

: cm3/s 2 g) = din cm

g cm/s

Como unidades de algunas magnitudes derivadas en este sistema podemos

mencionar:

rea: cm2 Velocidad Aceleracin: cm/s Caudal de masa Caudal de volumen Fuerza: dina (din) = g.cm/s

er Trabajo y energa: ergio (to: Cantidad de movimien

Potencia: erg/s 3 Densidad: g/cm



1.4. SISTEMA TCNICO MTRICO MkgrS.

fundamentales en este sistema: metro de longitud,

ilogramo fuerza de fuerza y segundo de tiempo.

Son unidades y magnitudes

k

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO Longitud Fti

Mekilogramo-fuerza seg

r

uerza empo

tro

undo

mkgs

En este sistema, la masa es una magnitud derivada y se la obtiene a partir de la

cuacin de Newton.

F = m . a De

m = F/a Co leracin en m/s2, las unidades de la masa

son

nidad tcnica de masa 1 UTM = 9,8 kg

tese que la primera letra m significa masa y las siguientes m minsculas

sig

rea: m2 volumen veloc aceleracin: /s2 caudal de masa: kgr s/m caud lumen: m3/s densidad: kgr . s2/m4 presin: kgr/m2

e

donde:

mo la fuerza se mide en kgr y la ace

:

UTM = u

N

nifica metro.

Algunas unidades derivas de este sistema son:

: m3 idad: m/s

m

al de vo

trabajo y energa: kg m



1.5. SISTEMA INGLS ABSOLUTO. Las unidades y magnitudes elegidas en este sistema son: pie de longitud, libra de

masa y segundo de tiempo.

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO Longitud

Masa

Tiempo

pie (foot)

libra

ft

lb

segundo s

Alguna

volumen:

ie3/s

1.6Considera como unidades fundamentales: al pie de longitud, a la libra fuerza de

a, y a segundo de tiempo.

s unidades derivadas en este sistema son:

rea: pie2 pie3

velocidad: pie/s aceleracin: pies/s2

2 fuerza: poundal (pdl) = lb pie/s cantidad de movimiento: lb pie/s

caudal de volumen: p caudal de masa: lb/s densidad: lb/pie3

presin: pdl/pie2

. SISTEMA INGLS TCNICO.

fuerz

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO Longitud pie (foot) ft

Fuerza

masa

libra fuerza

segundo

lbr

s

De nue us unidades son:

vo, la masa es una magnitud derivada y s



1.7. OTRAS UNIDADES. gen de las unidades citadas en anteriores prrafoAl mar s, existen otras, que por

u frecuente uso en el comercio o en algunas ramas tcnicas y cientficas, an

La pulgada, la yarda, la braza, la legua, la milla terrestre, la ica, el milmetro, l ngstrom, el ao

s, r ntal, la tonelada mtrica, la tonelada larga, la tonelada corta, etc.

De volumen.- El litro, el mililitro, el decmetro cbico, la pulgada cbica, el

De energa.- La calora, la kilocalora, el kilovatiohora, el pie-libra, el BTU, el -vo

potencia.- E Kilow el HP, el ca /hora, la a por segu o, etc

resin.- La atmsfera la columna d agua, los ellis, los res y milibares, el kilogramo fuerza por centmetro

ado, etc.

2. CIN CIE FICA O POTENCIAS DE 10

Para ar nmero en n in cientfica debemos conocer las siguientes

reglas

Si la potencia de 10 es positiva, la coma decimal debe correrse a la derecha tantos lugares como indique la potencia.

s

persisten y de ellas podemos mencionar las siguientes:

De longitud.- milla marina o nut el micrn o micra, e

luz, el prsec, etc.

De masa.- La onza avoirdupoi la onza t oy, la arroba, el qui

barril, el galn americano, el galn ingls, la pinta, etc.

De velocidad.- El kilmetro por hora, el nudo que es igual a 1 milla marina/hora, el mach que es igual a la velocidad del sonido, etc.

electrn lt, etc.

De l att, ballo vapor (CV), el BTUcalor nd .

De p e mercurio, la columna de Torric ba

cuadr

NOTA NT

manej s otac

:



Si la potencia de 10 es negativa, la coma decimal debe correrse a la izquierda tantos lugares como indique la potencia.

2

0 50000 = 5 x 104

-

71,24 x 10-5 = 0,0007124 = 7,124 x 10-4

Los siguientes ejemplos ayudarn a comprender este aspecto:

,77 x 106 = 2770000

,5 x 105 =

2,65 x 10-3 = 0,00265

34,84 x 10 3 = -34849 = -3,484 x 104 -0,68 x 10-4 = -0,000068 = -68 x 10-5

Pero h

diez, s

grande se presentan a continuacin:

ay ms, con el fin de facilitar el manejo de cantidades que sean mltiplos de

e dispone de prefijos que sealan el orden de magnitud de una cantidad

o pequea. Estos mltiplos y submltiplos

Prefijo Smbolo Potencia de 10 Equivalente

Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca Deci Centi

E

c

101815

10910610310210 10-1 10-2

10-18

1 000 000 000 000 000 000

1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 0,1 0,01 0,001 0,000 001

0,000 000 000 000 000 001

P 1010T

G M k h da d

12 1 000 000 000 000 000 0 000 000 0001 00

Mili Micro

m

10

Nano Pico Femto atto

n p f a

10

-3

10-6-9

10-1210-15

0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001



3. REDONDEO DE VALORES. Se aplica redondeo de valores cuando una cantidad desea expresarse con menor

nmero de dgitos, para lo cual el Sistema Internacional recomienda las siguientes

reglas:

menor a cinco, el ltimo dgito retenido no

Cuando el dgito a eliminarse es mayor a cinco, el ltimo dgito retenido se

o a eliminarse es cinco (exacto), se aplica el criterio de la ia a los nmeros pares, es decir, nos fijamos si el dgito anterior al

dgito a eliminase es par o impar, si es par queda par, si es impar se

s redondeos sucesivos.

Cuando el dgito a eliminarse es

cambia.

aumenta en una unidad.

Cuando el dgit

preferenc

aumenta en una unidad para volverlo par.

El proceso de redondeo debe realizar en una sola etapa mediante redondeo

directo y no en dos o m

CANTIDAD ORIGINAL CANTIDAD REDONDEADA 6,24 6,2 6,27 6,3 6,45 6,4 6,35 6,4 6,748 6,7

6,8501 6,9 4. FACTORES DE CONVERSIN.

Son cias numricas que nos permiten cambiar de un sistema de

unidades a otro. A continuacin se encuentra la tabla que proporciona alguno de

los factores de mayor uso.

equivalen



5. EJERCICIOS. 1. Si el cerebro humano pesa 1200 gramos, cuntos nanogramos pesa la

su masa?

e cido acetil salicilico (ASA) es de 1,5 gramos diarios, cul

sera la dosis en microgramos?

1,5 x 106

n bombea 60 mililitros tiempo bombear

4. Si la conduccin nerviosa del co lgar de la mano tarda 60

cuntos segundos viosa de ambos

bros superiores?

acrfago tara 110 s r un bacilo de la

sis, a cuntos milisegu

potencias de diez las sig

0,00088544=

mitas de

R.- 6 x 1011

2. Si la dosis d

R.-

3. El coraz por segundo, en qu

4000 mililitros.

R.- 66,666.

do al dedo pu

milisegundos, durar la conduccin ner

miem

R.- 0,125.

5. Si un m egundos en fagocita

tuberculo ndos corresponde?

R.- 100 x 103.

6. Anote en uientes cifras:

834000 =

0,60872 =

000,8657 =

6543,0000 =



7. Expresar los siguientes nmeros en notacin decimal.

7 x 10-6 =

9,5 x 102 = -8 = 7,176 x 10

8,03 x 102 =

5,0005 x 107 =

Masa 1 kg = 1000 g 1 kg = 2,205 lb 1 lb (avoirdupois) = 453,6 g1 lb (avoirdupois) = 16 onz

1 ton mtrica = 1000 kg 1 ton larga = 2240 lb 1 ton corta = 2000 lb

as

onza (avoirdupois) = 28,35 g

1 UTM = 9,8 kg 1 slig = 14,59 kg 1 qq (quintal) = 110 lb 1

1 onza troy = 31,1035 g Volumen 1 ml = 1 cm = 1cc 1 l. (litro) = 1000 ml 1 dn = 1 l 1 pie = 28,32 l 1 m = 1000 l

1 barril = 159 l 1 Galn USA = 3,785 l 1 Galn Ingls = 4,5461 l 1 pinta = 0.4731 l

3

3

3

3

Energa 1 J = 107 erg

1 BTU = 778 lbf pie 1 kw h = 860 kcla.

J 1 cal = 4,186 J 1 BTU = 252 cal

1 kw h = 3,6 x 106 J 1 lbf pie = 1,356

Fuerza Potencia

1 kw = 1000 W 1 H.P. = 746 W

735 W

1 BTU/h = 0,293 W

1 N = 105 dina 1 N = 0,225 lbf1 kgf 1 kgf 1 lbf =1 lbf = 32,17 pdl (poundal) 1 pdl

= 9,8 N 1 C.V. =1 H.P. = 2545 BTU/h 1 H.P. = 550 lbf 3 pie/ s

= 2,205 lbf 453,6 gf

= 0,1383 N 1 cal/s = 3,087 lbf pie/s


TEMA N 2


ESTTICA

VECTORES. tud escalar.- Es aquella que solo tiene magMagni nitud y puede especificarse

completamente mediante un nmero y . Como ejemplo podemos citar

la mas

volumen de 1l), y la frecuencia (la corriente de uso domstico tiene una frecuencia

de 60

energ

en la a

Magnitud vectorial.- Es aquella que posee magnitud y direccin. Por ejemplo: el despla

que vi za (un hombre aplica una fuerza de 60

xpresa con una flecha sobre

s si tienen igual magnitud y

direccin y son opuestos si tienen igual magnitud y direccin opuesta.

, dibujamos una flecha que indique su

Las partes de un vector son:

o, que es la orientacin que lleva el vector y est indicado por

una flecha.

El punto de aplicacin, que es el punto sobre el cual se supone acta el vector.

una unidad

a (una piedra tiene una masa de 2 kg), el volumen (una botella tiene un

ciclos/s), Otras magnitudes escalares son: tiempo, temperatura, densidad,

a, entre otras. las cantidades escalares de la misma clase se suman como

ritmtica ordinaria.

zamiento (un avin vuela 200 km hacia el suroeste), la velocidad (un carro

aja a 60 km/hr hacia el norte) y la fuer

N dirigida hacia arriba para levantar un paquete). Se e

el smbolo correspondiente. Dos vectores son iguale

Al representar grficamente un vector

direccin y cuya longitud sea proporcional a su magnitud.

La magnitud, que es el valor absoluto. La direccin, que es la trayectoria a lo largo de la cual se desplaza el

vector.

El sentid



MTODOS GRFICOS. Suma de vectores.- La suma de vectores por el mtodo grfico se define aplicando la:

Regla del paralelogramo.- Dibujando una flecha que indique su direccin y cuya longitud sea proporcional a su magnitud.

no de los vectores de

modo que el origen de uno de ellos coincida con el extremo del anterior. El

vector resu tor hasta el extremo del

ltimo. El orden en que se sumen los vectores no es de importancia.

Cuando los dos vectores son Paralelos, la suma (o resta) vectorial se

b

R = a b

Resta de vectores.- Para ector a, basta con sumar, geo

el V

de

R = a b = a + (-b)

R = a + b Para sumar ms de dos vectores se sigue exactamente el mismo

procedimiento, aplicando el:

Mtodo de polgono.- Por el que se dibuja cada u

ltante va desde el origen del primer vec

R = a + b + c

reduce a una SUMA ALGEBRAICA:

a

b

R = a + b

a

restar el vector b del v

mtricamente el vector a con el vector de b; y grficamente consiste en trazar

ector Substraendo en sentido contrario y luego unir el origen de la interseccin

las paralelas:



Tri s posible determinar grficamente la magnitud y direccin de la resultante de dos o ms vectores de la misma clase con una regla

y u

res

l que tiene dos de sus lados perpendiculares. Su

nte de un ngulo,

e define en trminos del tringulo rectngulo como sigue:

En consecuencia podremos expresar s la longitud de una de los lados de

un tringulo en funcin de las longitudes de los otros dos.

Mtodel:

Teorema de Pitgoras:

Teo

El seno del ngulo se obtiene del resultado de los 180 menos el valor de la

inc

que es el valor til para los clculos en la frmula.

Donde p

gonometra.- Aunque e

n transportador, ste procedimiento no es muy exacto y para obtener

ultados precisos es necesario recurrir a la trigonometra.

Un tringulo rectngulo es aque

hipotenusa es el lado opuesto al ngulo recto y siempre la de mayor longitud. Las

tres funciones trigonomtricas bsicas, el seno, coseno y tange

s

sen = a/c = lado opuesto / hipotenusa

cos = b/c = lado adyacente / hipotenusa

tg = a/b = lado opuesto / lado adyacente

iempre

os analticos.- Si es un tringulo rectngulo, obtenemos la resultante por

R2 = a2 + b2

rema del Coseno: R2 = a2 + b2 + 2ab cos

co

linacin del vector. Ejemplo: 180 - 60 = 120 y el coseno de ste es: -0,5,

ara calcular el ngulo se aplicara el:



Teorema

Que es la relacin entre los lados y ngulos respectivos, pudiendo obtener una

incgnita

EFINICIN DE EQUILIBRIO. Un

cuando

CONDICIONES DE EQUILIBRIO.

Primera condicin de equilibrio.- Segn la primera ley de Newton una

zas aplicadas sobre ellos es igual a cero, es decir:

n sistema de coordenadas cuyo origen sea la partcula y

uyos ejes tienen cualquier direccin y proyectar las fuerzas aplicadas

i tenemos varias partculas en equilibrio o en movimiento rectilneo

a) La pes estable (po una semiesfera.

de los senos: a/sen A = b/sen B = c/sen C

, conociendo los otros tres valores de un par de relaciones.

D cuerpo est en equilibrio respecto a la traslacin cuando est en reposo o

se halla animado de un movimiento rectilneo uniforme.

partcula est en equilibrio o en movimiento rectilneo uniforme si la suma

de las fuer

F = 0

Podemos dibujar u

c

sobre los ejes. Entonces tendremos:

Fx = 0 F y= 0

S

uniforme, las ecuaciones de equilibrio se aplican parra cada una de ellas.

Podemos ahora precisar la estabilidad del equilibrio, para un pequeo

desplazamiento de la partcula en equilibrio:

artcula regresa a su estado original, diremos que el equilibrio

r ejemplo, una esferita dentro de



b) La partcula se aleja del estado original, el equilibrio es inestable (por ejemplo, una esferita encima de una semiesfera).

c) La partcula ni regresa ni se aleja de su estado original, el

o = 0

T = F d

AP

equilibrio es indiferente, (por ejemplo, una esferita sobre un plano).

Segunda condicin del equilibrio.- La sumatoria algebraica de los momentos con respecto a un punto de las fuerzas aplicadas es igual a cero.

M

Se define momento de fuerza o T de una fuerza F con respecto 0, al

producto:

LICACIONES.

larg

penden dos pesos de 10 kp y 20 kp respectivamente. Se supone que la

So x las longitudes de los brazos, puesto que la alanca est en equilibrio, la suma de momentos con respecto al eje

a, perpendicular al plano de las fuerzas, ser cero tomando

momentos con respecto al eje que pasa por A.

los brazos miden 12 y 24 cm.

Ejemplo: Hallar la longitud de los brazos de una palanca de 36 cm. de o, sabiendo que permanece en equilibrio cuando de sus extremos

palanca no tiene peso.

lucin: Sean x y 36 p

cualquier

LA = 20 (x) 10 (36 x) = 0 x = 12 cm.



Aplicaciones: En la vida diaria se utiliza frecuentemente los momentos de fuerza, cuando se atornilla una tueca con una llave inglesa, cuando se saca

a de un pozo o se gira una rueda de bicicleta.

suma de momentos

quilibra una fuerza resistente R producida por objetos

con una fuerza motora F ejercida generalmente por una persona. Por la

anto los desplazamientos son inversamente proporcionales a las

fuerzas, se acostumbran a distinguir tres tipos de palancas segn la

er gnero.- El punto de apoyo est entre las dos fuerzas. Se puede

citar: la balanza de brazos iguales y la romana, los alicates, las tijeras y

e apoyo est en un extremo y la fuerza

tente est entre el apoyo y la fuerza motora. Se pueden citar: la

carretilla, el destapa botellas y el rompenueces.

JERCICIOS.

agu

Palancas: Una palanca es en principio un cuerpo rgido que tiene un punto fijo. Por aplicacin de la segunda ley del equilibrio (la

es igual a cero), se e

conservacin de la energa se tiene FS = RS; donde s y s son los

desplazamientos de cada fuerza.

Por lo t

posicin del punto fijo o punto de apoyo, respecto a las fuerzas F Y R.

a) Prim

el martillo cuando se usa para sacar clavos.

b) Segundo gnero.- El punto d

resis

c) Tercer genero.- La fuerza motora est entre el apoyo y la fuerza

resistente se pueden citar las pinzas de coger hielo y el pedal de una

mquina de cocer.

E

N

N vertical aplicados en un punto 0 forman un ngulo de 90.

.- 40,6

1. Hallar el vector resultante y su inclinacin, de dos vectores cuya fuerza de 7

horizontal y 6

R



2. Encontrar la magnitud y direccin de la fuerza resultante producida por una

fuerza vertical hacia arriba de 90 N y una fuerza horizontal de 82 N

. Sobre un msculo se ejerce una fuerza de 12N hacia arriba y de 34N en sentido

. Si la resultante que acta sobre una articulacin es de 66N y el ngulo que

que juntamente con otra de 10N

e de 33N?

R.- y = 31,44

7. Sabiendo que el mdulo del vector resultante se otros dos, correspondientes a

sendas fuerzas perpendiculares, es de 61N, y que el horizontal forma un ngulo

de 30 con dicha resultante, hallar esa fuerza.

R.- y = 30,5 y x = 52,5 N

8. Sabiendo que el vector fuerza resultante de otros dos que forman un ngulo

recto es de 25N, y que el horizontal es de 12 N, calcular el otro.

R.- x = 22N

R.- 47,4

3. Encontrar las componentes horizontal y vertical de una fuerza de 77N cuya

direccin forma un ngulo de 50 por encima de la horizontal.

R.- y = 59N y x = 49,5N

4

horizontal, formando ente ellas un ngulo de 60, cul es el valor de la

resultante?

R.- R = 41,33

5

forman con una de la fuerza horizontal es de 30, cul ser el valor de sta fuerza.

R.- x = 57,15

6. Cul es el valor de una segunda fuerza vertical,

horizontal, dan una resultant



9. Hallar la resultante e inclinacin de una de 20 N vertical y otra de

34 horizontal, cuyas lneas de accin forman un ngulo de 60

R.- R = 47,3N

10. e de otros dos, correspondientes a

, hallar esta fuerza.

R.- 86,6 kp

on una velocidad de 12 nudos. Sabiendo que

la velocidad de la marea es de 5 nudos y dirigida hacia el oeste, calcular el

mdulo, direccin y sentido del vector velocidad resultante del barco.

dos fuerzas,

Sabiendo que el mdulo del vector resultant

sendas fuerzas perpendiculares, es de 100kp, y que uno de ellos forma un ngulo

de 30 con dicha resultante

11. Un barco navega hacia el norte c

R.- 13 nudos

12. Un motorista se dirige hacia el norte con una velocidad de 50 km/h. La

velocidad del viento es de 30 km/h soplando hacia el sur. Este vector velocidad,

sumado geomtricamente con el de 30 km/h hacia el oeste da el vector velocidad

resultante R del viento con respecto al motorista.

R.- 58 km/h = 31



TEMA N 3 CINEMTICA

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

1. VELOCIDAD Y VECTOR VELOCIDAD. La velocidad media v de un mvil que recorre una distancia s en un tiempo t es,

por definicin el cociente.

tsv =

de donde:

tVs =

La velocidad es una magnitud escalar que expresa el valor numrico del cambio

de posicin de un mvil con respecto al tiempo, prescindiendo de la direccin y

nitud vectorial cuyo mdulo

s la velocidad y que posee una direccin y un sentido determinados por el

movimiento, el vector velocidad de un mvil vara cuando lo hace o bien la

el movimiento, o el sentido del mismo o una combinacin

e tales caractersticas.

unidad de velocidad lineal = unidad de longitud / unidad de tiempo to: el metro por segundo (m/s) o el kilmetro por hora (km/h) son unidades

de velocidad lineal.

2. ACELERACIN. Es la variacin que experimenta el vector velocidad en la unidad de tiempo, por

consiguiente, se trata de una magnitud vectorial sea V0 la velocidad inicial en el

instante t = 0 un mvil. Si este aumenta disminuye uniformemente su velocidad a

sentido del movimiento. El vector velocidad es una mag

e

velocidad o la direccin d

d

por tan



partir de aquella, en el instante t su velocidad es v, de manera que el mdulo de la

aceleracin constante del movimiento es:

a = variacin de velocidad / tiempo

t

por tanto:

VVa o=

atVV o +=

como la aceleracin es constante, la velocidad media V es:

2

_ VVV o +=

el espacio recorrido en el tiempo t es s = vt , o bien:

y

tVV

S o 2+=

sustituyendo v = Vo + 2t

2)(

2

atVVtVVS ooo ++=+= o sea:

2

21 attVs o +=

de

aVVt a=



sustituyendo

aVVVVVVs ooo

22 = += a 22

de donde:

i el mvil parte del reposo, la velocidad inicial Vo = 0 y las ecuaciones 4), 7) y 8)

respectivamente en:

asVV o 222 +=

S

se transforman,

atV = ; 221 ats = ; asV 22 = cuando 0=V o

N DE LA GRAVEDAD.- (cada libre) a aceleracin de un cuerpo en cada libre (despreciando la resistencia del aire)

g = 9,8 m/s2

as ecuaciones del movimiento de aceleracin constante se pueden aplicar al

s cuerpos al movimiento uniformemente acelerado con

ue caen en el suelo todos los cuerpos dejados en libertad, bajo la accin de su

van. Esta

a con la forma de los cuerpos, su superficie y la velocidad con que

se mueven.

3. ACELERACIL

es constante para cada lugar de la tierra y vara relativamente poco de unos

puntos a otros. Su valor aproximado es:

L

movimiento de los cuerpos en cada libre sin ms que sustituir g por a.

Se llama cada libre de lo

q

peso.

El aire, adems del empuje que ofrece, como los dems fluidos, a los cuerpos que

estn en su seno, ofrece tambin una resistencia a que se mue

resistencia var



Si llamamos (h) a la altura de donde cae el mvil en el tiempo (t) y (g) a la

aceleracin de la gravedad, tendremos aplicando las frmulas del M.U.A. sin

elocidad inicial: v2tgh =

gtVf = ghV 22 =

EJERCICIOS. 1. Calcular el tiempo que emplear la luz en llegar del sol a la tierra si la distancia

6 km.

Se le cita a un estudiante a las 10 de la maana a la Universidad. Si parte de su o si va a 4 km/h llega 3 horas antes.

nar para llegar a la hora exacta?

si se acercan en sentidos

e del reposo y se mueve con MRUV,

con una aceleracin de 9,8 m/s2, en alcanzar una rapidez de 100 km/h?

R.- t = 2,83 s

que los separa es de 150 x 10

R.- t = 8 min. 20 s.

2.

casa a 2 km/h, llega 2 horas ms tarde, per

Con qu rapidez o velocidad debe cami

R.- v = 2,75 km/h

3. Dos mviles estn separados inicialmente 870 m,

contrarios y con velocidades constantes de 18 m/s y 12 m/s. Qu tiempo

demorarn en cruzarse?

R.- t = 29 s

4. Cunto tiempo demora un mvil que part



5. Al resbalarse por un tobogn con una aceleracin de 0,9 m/s2, se demora 3,8 s.

Qu longitud tiene el tobogn?

R.- L = 6,498 m.

a) Tiempo que demora en detenerse.

pacio que recorre hasta pararse.

. Desde la azotea de un edificio se deja caer una piedra y demora 2,8 s en llegar

ar la altura del edificio.

.- h = 38,42 m.

. Se lanza hacia abajo un objeto desde cierta altura y llega al piso 3 s despus

on una rapidez de 60 m/s. Calcular:

a) La rapidez con que se lanz.

b) La rapidez media de cada.

c) La altura desde donde se lanz.

.- a) 30,6 m/s

b) 45,3 m/s

c) 135,9 m

6. Un auto lleva una velocidad de 10 m/s, se aplican los frenos y empiezan una

desaceleracin de 3 m/s2. Calcular:

b) Es

R.- a) t = 3,33 s

b) e = 1 6,67 m

7

al suelo. Calcul

R

8

c

R



9. Un cuerpo cae libremente desd durante 6 segundos. Calcular la

distancia que recorre en los dos ltimos segundos.

olpear la rueda de la

rbina con una velocidad de 40 m/s?.

anza verticalmente una pelota de forma que al cabo de 4 segundos

e el reposo

R.- 98 m

10. Desde qu altura debe caer el agua de una presa para g

tu

R.- 81,5 m

11. Se l

regresa de nuevo al punto de partida. Calcular la velocidad inicial con la que se

lanz.

R.- 19,6 m/s



TEMA N 4 DINMICA

n cinemtica analizamos el movimiento de las partculas. En dinmica

1. FUERZA. Es el empuje o tirn que se ejerce sobre un cuerpo, se trata de una magnitud

Al aplicar una fuerza sobr aceleracin en la misma

direccin y sentido de la fuerza, recprocamente, todo cuerpo animado de una

aceleracin deber estar sometido a una fuerza resultante de la misma direccin y

in debe actuar sobre l una fuerza.

comunica una aceleracin de la misma

l a ella e inversamente

Ka = F/m o bien F = Km a

E

estudiaremos como las interacciones producen el movimiento y veremos que la

segunda ley de Newton es la ley fundamental de la dinmica.

vectorial y, por consiguiente, se caracteriza por un mdulo, una direccin y un

sentido.

e un cuerpo, este adquiere una

sentido que aquella. La fuerza resultante que acta sobre un cuerpo es

directamente proporcional al producto de su masa por la aceleracin que la

comunica.

2. LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO. 1.- Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilneo y

uniforme, a menos que acte sobre l una fuerza resultante. Dicho en otras

palabras: para que un cuerpo posea acelerac

2.- Una fuerza F aplicada a un cuerpo le

direccin y sentido que la fuerza, directamente proporciona

proporcional a la masa m del cuerpo.

En trminos matemticos, sta ley establece que:



siendo K una constante de proporcionalidad. Eligiendo un sistema de unidades

apropiado de manera que:

K = 1 resulta F = m a.

3.- A toda fuerza (accin) se le opone otra (reaccin) y opuesta. Es decir, si un

cue n sobre otra, este ltimo ejerce tambin una accin, del

3. UNIDADES.

rpo ejerce una acci

mismo mdulo y direccin, pero de sentido contrario sobre el primero

En el sistema MKS, la unidad de fuerza ser aquella que produce una masa de 1

kg, una aceleracin de 1m/s2. sta unidad se llama 1 Newton.

F (newton) = m (kilo) (m/s2)

4. MASA Y PESO. La masa de un cuerpo da idea de su energa, mientras que el peso w de un

cuerpo es una expresin de la fuer la tierra lo atrae y vara de unos

gares a otro, la direccin del peso w de un cuerpo es, muy aproximadamente la

d g (intensidad del campo

ravitatorio terrestre). La frmula F = m a se transforma ahora en cada uno de los

sistemas de unidades que existen, e

w (newton) = m (kg) + g (m/s2) w (dinas) = m (gramos) x g (cm/s2)

w (kilopondios) = m (UTM) x g (m/s2

Por consiguiente m =

za con que

lu

recta que une el lugar donde se encuentra y el centro de la tierra cuando un

cuerpo de masa m cae libremente, la fuerza que acta sobre l es su propio peso

y la aceleracin que adquiere es la de la graveda

g

s decir:

w = m g

)

gw



Por consiguiente si un cuerpo pesa 30 kp en un lugar en el que g = 9,8 m/s2, se

tiene una masa m = =gw utm

smkp 06.3/8.9

302 = si un cuerpo pesa 49N en un lugar en

que la gravedad es igual a 9,8 cm/s2 su masa es kgsm

Ngwm 5

/8.99.4

2 === .

l cuerpo una fuerza horizontal F, si sta fuerza es pequea, el cuerpo

o se mueve debido a una fuerza fs, que llamamos de rozamiento esttico y

or las fuerzas moleculares de la superficie sobre el cuerpo, la

ontrarresta. la experiencia muestra que esta fuerza crece hasta cierto lmite

pro

s es el coeficiente esttico de rozamiento durante el movimiento, la fuerza de rozamiento que llamamos movimiento se mantiene

constante y proporcional a la fuerza normal, es decir:

fd d N

d es el coeficiente dinmic

5. ROZAMIENTO. Consideramos un cuerpo sobre una superficie plana. Esta produce sobre el cuerpo

una superficie normal N.

Apliquemos a

n

producida p

c

porcional a la fuerza normal, es decir:

fs s N

ahora dinmica opuesta al

o de rozamiento.



6. EL ROZAMIENTO EN LA VIDA.

ducen

na disminucin de las fuerzas de rozamiento.

recuentemente el rozamiento es til, no se podra concebir la vida sin

roz por el cual podemos andar , en

EJEMPLO:

1. Una superficie de coeficiente esttico de rozamiento 0,3 y de coeficiente

dinmico de rozamien erpo una fuerza normal de

20 kg f. Cul es la fuerza de rozamiento esttico mximo que puede

bre el cuerpo?.

actuar sobre el

uerpo?

0 = 4 kg f

En las mquinas el rozamiento es perjudicial, debido a l las piezas en contacto se

gastan y generan calor disminuyendo el rendimiento. Para contrarrestar estos

efectos nocivos se impone la lubricacin de las superficies en contacto; pro

u

F

amiento, es debido al rozamiento con el suelo

el cual los vehculos pueden arrancar. Sin rozamiento los objetos y los muebles no

podran quedar en sus puestos fijos, las montaas se caeran.

Los peligros de caminar sobre hielo nos hacen entrever lo que sera un mundo sin

rozamiento.

to 0,2 produce sobre un cu

actuar so

fs = s N = 0,3 x 20 = 6 kg f

Cul es la fuerza de rozamiento dinmico que puede

c

fd = d N = 0,2 x 2



7. FUERZA CENTRPETA. n un movimiento circular, un cuerpo de masa m, tiene una aceleracin: v2/r y por E

tanto la suma de las fuerzas que actan sobre l y que puede ser debido a la

tensin de una cuerda, o al rozamiento o a la fuerza gravitacional, ejemplo:

r

8. LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL. La fuerza de atraccin entre dos cuerpos de masas m y m

vmF2

=

onstante de proporcionalidad

co al de la gravitacin.

1 separados por una

distancia r, es proporcional al productos de dichas masas e inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia, siendo la c

G la nstante univers

21

rmmGF =

do m y m1 en kg, r en metros, F en Newtons siendo:

G = 6,67 x 10-11 Nm2 / kg2

Expresan

EJERCICIOS. 1. Calcular el peso w de un cuerpo cuya masa es a) 1 kilogramo; b) 1 gramo; c) 1

tm.

2 kg de masa est sometido a una fuerza de a) 6 N; b) 8000

inas. Calcular la aceleracin en cada caso.

R.- a) 3 m/s2

b) 4 cm/s2

u

R.- a) 9,8N y 980.000dinas; b) 0,0098 N y 980 dinas; c) 9,8 kp.

2. Un cuerpo ded



3. Calcular la fuerza necesaria para comunicar a un cuerpo que pesa 6 kp una aceleracin de 3 m/s2.

R.- 1,835 kp.

4. Calcular la mnima aceleracin con la que un hombre de 90 kp de peso puede

abajo.

. Un bloque de 50 kp est en reposo sobre un suelo horizontal. La fuerza

cidad

es de 10 kp. a) Calcular el coeficiente de rozamiento esttico y el

zamiento cintico o de movimiento; b) Cul ser la fuerza de rozamiento cuando

ue de rozamiento es de 5 kp

. Cunto pesa un cuerpo cuya masa es de 5 kg en un lugar donde la gravedad es m/s2?.

.- 30 N

. Un ladrillo de 50 N se apoya contra una pared vertical mediante una fuerza de entido horizontal; si el coeficiente de rozamiento es de 0,5. Hallar el mnimo valor

e la fuerza horizontal para mantener el ladrillo inmvil.

.- F = 100 newtons.

8. Cul ser la fuerza para mover a un hombre de 80 kg que sta parado sobre un piso, con el cual produce un coeficiente de rozamiento m = 0.6?.

R.- F = 470,4 N

deslizar hacia abajo por una cuerda que solo puede soportar una carga de 75 kp.

R.- a = 1,635 m/s2 hacia

5

horizontal mnima necesaria para que inicie el movimiento es de 15 kp y la fuerza

horizontal mnima necesaria para mantenerle en movimiento con una velo

constante

ro

se aplique al bloque una fuerza horizontal de 5 kp?.

R.- a) 0,30 y 0.20

b) bloq

6

6

R

7

s

d

R



9. A un peso de 100 N se le apli a horizontal de traccin de 60 N. Cul ser la velocid de haber iniciado la

aplicacin de la fuerza? e = 0,4 y c = 0,2

.- 3 m/s2

12. Un ascensor de masa m = aceleracin hacia arriba de 2 /seg2. Cul es la tensin del cable que lo mueve?

ca una fuerz

ad del cuerpo a los 3 segundos

R.- V = 5,88 m/s

10. Apliquemos una fuerza de 30 N a un cuerpo de masa de 10 kg. Cul es la aceleracin resultante?

R

11. Apliquemos una fuerza de 30 N paralela al eje x y una fuerza de 40 N paralela al eje y, a un cuerpo de masa de 10 kg. Cul es la aceleracin resultante?

R.- 5 m/s2

100 kg tiene una

m

R.- 1200 nt



TEMA N 5 TRABAJO POTENCIA Y ENERGA

En la vida cotidiana, la palabra trabajo se aplica a cualquier actividad que requiera

sfuerzo muscular o intelectual. En fsica su sentido es ms restringido, los fsicos

onstante F, aplicada aun cuerpo formando un ngulo on la direccin del movimiento y S el desplazamiento que lo produce. El trabajo

el producto del

F cos ) S

En el caso en que S cos de = 0 y por

W = F S

1 kpm = 9,81 J

e

dicen que se realiza trabajo cuando una fuerza mueve un cuerpo en la direccin

en que ella acta. El trabajo es una magnitud escalar.

Sea una fuerza exterior c

c

realizado por la fuerza F sobre el cuerpo se define comodesplazamiento S por la componente de la fuerza en direccin de S. por tanto:

W = (

y F tengan la misma direccin y sentido,

tanto:

La unidad de trabajo es el Joulio. Un Kilopondmetro (kpm) o kilogrmetro es el

trabajo realizado por una fuerza constante de 1N que aplicado a un cuerpo le

comunica un desplazamiento de 1 m. en la misma direccin de aquella. Un Joulio

(J) o Newton metro (Nm) es el trabajo realizado por una fuerza constante de 1 N

que aplicado a un cuerpo le comunica un desplazamiento de 1 m en la misma

direccin de aquella. Como:

1 N = 0,102 Kp y 1J = 1Nm = 0,102 Kpm Entonces:



1. TRABAJO CARDIACO.

terias un volumen sistlico

n contra de la presin que en ellas existe, para lo cual debe realizar trabajo,

dem movimiento debe proveer tambin la energa

artiendo de la frmula de trabajo (trabajo = fuerza x distancia).

Re rea y por tanto: fuerza = presin x rea

W = P a d y A d = V (volumen) ntonces tenemos:

W = P V

spiracin en la que la elasticidad de la caja y los tejidos

ulmonares se opone a los desplazamientos de las estructuras respiratorias, los

fectuado sobre

estructuras elsticas, queda acumulado en ellas como energa potencial, y es

devuelto durante el movimiento en trario, en cuyo caso los msculos

deben realizar un trabajo menor que puede llegar a ser nulo.

Al igual que el trabajo cardiaco que maneja presiones y volmenes de sangre, el

trabajo pulmonar maneja presione aire. Por lo tanto:

W = P V

Parte del trabajo cardiaco es empleado, por el elemento contrctil del msculo, en

estirar el elemento elstico ene serie o se pierde en rozamientos internos. La parte

invertida en expulsar la sangre se denomina trabajo cardiaco externo.

Durante la eyeccin cada ventrculo introduce en las ar

e

a s para poner la sangre en

cintica correspondiente.

P

cordando que: presin = fuerza /

Presin = fuerza / rea.

Reemplazando en la primera frmula:

E

2. TRABAJO RESPIRATORIO.

En las fases de la re

p

msculos ejercen trabajo sobre ellos. Cuando el trabajo es e

sentido con

s y volmenes de



3. POTENCIA. Es el trabajo realizado en la unidad de tiempo. Para deducir la unidad de potencia

en un sistema de unidades determinado no hay ms que medir la correspondiente

nidad de trabajo por el tiempo y se mide en J/s (Joulio / segundo) o vatio (w) y el

kilopondio metro / segundo. Unidades especiales muy empleadas en la

tcnica son el kilovatio (kw) y el caballo de vapor (c.v).

1 kilovatio (kw) = 1000 vatios = 1.34 caballo de vapor (c.v.)

1 caballo de vapor (c.v.) = 75 kpm / s = 4,500 kpm / min = 736 w

s la capacidad que se posee para producir trabajo, la energa de un cuerpo se

mide en funcin del trabajo que este puede realizar. Trabajo y energa se

expresan en las mismas unidades. La que el trabajo es una

magnitud escalar.

5. ENERGA CINTICA. Vam na fuerza F, suma de todas las fuerzas aplicadas

ultiplicando los dos miembros de la ecuacin por el desplazamiento s, se tiene:

u

kpm/s (

1 vatio = 1 joulio / segundo

4. ENERGA DE UN CUERPO. E

energa al igual

os a calcular el trabajo que u

a un cuerpo de masa m., realizar durante un desplazamiento s en funcin de la

velocidad del cuerpo.

Cuando la fuerza F es constante (movimiento rectilneo). Se tiene:

F = m a

M

Fs = m a s



Como la aceleracin es constante, el movimiento es uniformemente acelerado y

or lo tanto tenemos. p

saVV 2202 +=

o sea: 22 VV

20as =

y reemplazando esta expresin en la ecuacin tenemos:

2

20

2 VVmsF =

pero F s es el trabajo W realizado por la fuerza F. Por tanto:

22

20

2 mVmVW = o W = Ec Ec0

EcmV =2

Llamando energa cintica de una partcula ala cantidad 2

ucidas por otros cuerpos)

nte de las posiciones del cuerpo en el espacio; se dice en este

aso que tenemos un campo de fuerza. Vamos a estudiar ahora el trabajo de

estas fuerzas cuando nos desplazamos de un punto del espacio a otro y a

desarrollar un nuevo concepto: el de energa potencial, que es la capacidad que

un cuerpo posee para realizar un trabajo por efecto del estado o posicin en que

se encuentra.

6. ENERGA POTENCIAL Frecuentemente las fuerzas sobre un cuerpo (prod

dependen solame

c



La energa potencial de una masa m situada a una altura h, siendo g la

aceleracin de la gravedad se mide en Joulios.

Ep = mgh (joulios)

JERCICIOS.

E

so de una casa de 2,5 m de alto?.

. Una mquina elctrica tiene una potencia de 15 kW. Calcular cunto cuesta el

. Un avin vuela a una altura de 100 m a una velocidad de 720 km/h; su masa es

1. Cul es el trabajo realizado por un hombre que carga un silln de 100N hasta

el segundo pi

R.- 250 J.

2. Un hombre empuja una cortadora de csped con un ngulo de 30 con la

horizontal, con una fuerza de 200N, una distancia de 10 m. Cul es el trabajo

realizado?

42683283 libro prefacultativo

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