4.2.3 Método de Romberg

Para una función analítica (opuesta a la forma tabular), las ecuaciones de error [Ec. (13.13) y (13.19)]

indican que aumentando el número n de segmentos se genera una apro ximación más exacta a la integral. Esta observación la comprueba la figu ra 14.1, que es una gráfica del error real contra n para la integral de f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 = 675x3 - 900x4 + 400x5. Nótese cómo el error decrece a medida que n crece. Sin embargo nótese también que para valores muy grandes de n, el error empieza a crecer ya que los erro res de redondeo empiezan a dominar. También obsérvese que se necesi ta un número muy grande de segmentos (y por lo tanto, esfuerzo de

4.2.3 Integración de Romberg

Valor absoluto del error relativo porcentual verdadero contra el número de segmentos en la determinación de la integral f(x) = 0.2 + 25x — 200x2 + 675x3 — 900x4 + 400x5, evaluada de a = 0 a b = 0.8 usando la regla trapezoidal de segmentos múltiples y la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples. Nótese que ambos resultados indican que para un número considerable de segmentos, los errores de redondeo limitan la precisión.

cálculo) para alcanzar niveles altos de exactitud. Como una consecuen cia de estos inconvenientes, la regla trapezoidal de segmentos múltiples y las reglas de Simpson algunas veces son inadecuadas en problemas donde se necesita gran eficiencia y pocos errores.La integración de Romberg es un método diseñado para evitar estos inconvenientes. Es muy similar a los métodos analizados en el capítulo 13, en el sentido de que está basado en la aplicación sucesiva de la regla trapezoidal. Sin embargo, mediante manipulaciones matemáticas, se ob tienen mejores resultados con menos esfuerzo.

Extrapolación de Richardson

Este método usa dos cálculos de la integral para efectuar un tercer cálculo más exacto.El cálculo y el error asociado con la regla trapezoidal de segmentos múltiples se representa generalmente como:

en donde I es el valor exacto de la integral, I(h) es la aproximación de la integral usando la regla trapezoidal con n segmentos y con tamaño de paso h = (b — a)/n y E(h) es el error de truncamiento. Si se obtienen dos aproximaciones por separado usando tamaños de paso h1 y h2 y se tiene el valor exacto del error, entonces

Ahora recuérdese que el error de la regla trapezoidal de segmentos múl tiples se representa por la ecuación (13.13) [con n = (b — a)/h]:

[14.1]

[14.2]

Si se supone que /'' es una constante que depende del tamaño del paso, entonces la ecuación (14.2) se usa en la determinación del promedio de los dos errores, que es:

[14.3]

Este cálculo tiene el importante efecto de quitar el término /'' de los cál culos. Al hacerlo, se ha hecho posible utilizar la información relacionada

con la ecuación (14.2) sin conocimiento previo de la segunda derivada de la función. Para hacerlo, se reordena la ecuación (14.3) para obtener:

la cual se puede sustituir en la ecuación (14.1)

la cual, puede resolverse

Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error de trun camiento en términos del valor de la integral y el tamaño de paso. Esta estimación se sustituye en

obteniendo una estimación mejorada de la integral:

[14.4]

Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti mación es 0(h4). Por lo tanto, se han combinado dos estimaciones de la regla trapezoidal de 0(h2) en la obtención de una nueva estimación de 0(h4). En el caso especial en que el intervalo se divide en dos partes (h2 = h\/2), la ecuación se transforma a:

o, reordenando términos,

[14.5]

EJEMPLO 14.1

Corrección de errores en la regla trapezoidal

Enunciado del problema: en el capítulo anterior (ejemplo 13.1 y el cua dro 13.1) la aplicación de la regla trapezoidal de segmentos múltiples lle va a los siguientes resultados:

Segmentos h Integral evr%

1 0.8 0.172 8 89.5

2 0.4 1.068 8 34.9

4 0.2 1.484 8 9.5

Utilícese esta información junto con la ecuación (14.5) para calcular me jores estimaciones de la integral

Solución: los cálculos con uno y dos segmentos se combinan y se obtiene

El error en la integral mejorada es

que es superior a la aproximación en que se basó.

De la misma manera, los cálculos de dos y cuatro segmentos se combinan y se obtiene

que representa un error de

La ecuación 14.4 proporciona una forma de combinar dos aplicaciones de la regla trapezoidal con error 0(h2) y calcular una estimación de 0(h4). Este planteamiento es un subconjunto de un método más general que combina integrales para obtener mejores estimaciones. Por ejemplo, en el ejemplo 14.1, se calcularon dos integrales mejoradas de 0(ri4) en base a tres estimaciones de reglas trapezoidales.

Estas dos estimaciones mejoradas, pueden a la vez, combinarse para obtener todavía una mejor estimación de 0{h6). Para el caso especial en que las estimaciones me diante regla trapezoidal original se basen en divisiones sucesivas a la mi tad del intervalo, la ecuación usada con 0(h6) de exactitud es:

[14.6]

en donde Im y J, son las estimaciones más y menos exactas, respectiva mente. De manera similar, dos resultados de 0(h6) se combinan para calcular una integral que es 0(hs) usando

[14.7]

EJEMPLO 14.2

Corrección del error de órdenes mayores de dos en la estimación de integrales

Enunciado del problema: en el ejemplo 14.1 se usa la extrapolación de Richardson para calcular dos estimaciones de la integral de 0(h4). Utilí cense la ecuación (14.6) y combínense estas estimaciones para calcular una integral con 0(h6).

Solución: las dos aproximaciones de 0(fi4) obtenidas en el ejemplo 14.1 fueron 1.367 466 67 y 1.623 466 67. Estos valores se sustituyen en la ecuación (14.6) y se obtiene

la cual es la respuesta correcta a nueve cifras significativas que son las obtenidas en este ejemplo.

Algoritmo de la integración de Romberg

Nótese que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación [Ec. (14.5), (14.6) y (14.7)] suman 1. Por lo tanto, representan factores de peso que, a medida que la exactitud aumenta, coloca progresivamen te pesos mayores en la estimación de la integral. Estos planteamientos pueden expresarse en una forma general, que se adapta muy bien a las implementaciones mediante computadora: