4 sistemas de ecuaciones no lineales senl

7/31/2019 4 Sistemas de Ecuaciones No Lineales SENL

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Sistema de Ecuaciones No Lineales

Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad de Ingenieria Industrial

Mtodos Computacionales


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin de

RacesLocalizacin de Races

Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante

Mtodo del Punto Fijo

Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton

Universidad Nacional Mayor

de San MarcosFacultad de Ingenieria

Industrial

Agenda

IntroduccinIntroduccin

Localizacin de RacesLocalizacin de Races

Mtodos de SolucinBiseccinRegula FalsiMtodo de la secanteMtodo del Punto Fijo

Mtodo de NewtonMtodo de Muller

Sistema de ENLIntroduccinMtodo del Punto Fijo

Mtodo de Newton


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

3 Introduccin

Localizacin de


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Antecedente

La finalidad principal de las matemticas aplicadas esdeterminar valores de x que cumplan con f(x) = 0. A

estos valores les denominamos races o ceros de laecuacin.

Para polinomios de primer a tercer orden existenfrmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sinembargo para grados superiores la situacin se complica.

En muchos casos no se puede resolver la ecuacin deforma analtica salvo por aproximaciones sucesivas.


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin de

Races4 Localizacin de Races

Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante



Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Mtodos Grficos

Los mtodos Grficos son utiles porque proporcionan unvalor inicial a ser usado por otros mtodos

Ejemplo

Localice grficamente las races de f(x) = 0, siendo

f(x) =

|x

| ex


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin de


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante



Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Solucin:

En primer lugar, se debe reescribir la ecuacin

f(x) = 0 . . . (1)

a una forma equivalente

f1(x) = f2(x) . . . (2)

Siendo f1 y f2 funciones cuyas grficas sean ms simple quela de f. Asimismio las races de (1) sern soluciones de (2),i.e, los puntos de interseccin de f1 y f2.


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin de


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante



Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Continuacin...

De la ecuacin, entoncesf

(x

) = 0 |x| =

ex

Haciendo: f1(x) = |x|, f2(x) = ex, graficando f1 y f2.Del grfico verificamos que el punto(nico) de interseccin,x, se sita en el intervalo 1, 0.


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin de


7 Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante



Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Mtodos de los Intervalos

Estos mtodos empiezan con un intervalo que contiene

a la raz y un procedimiento es usado para reducir elintervalo que contiene a la raz.

Ejemplos de mtodos de intervalos : Mtodo de la Biseccin Mtodo de Falsa posicin


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin de


8 Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante



Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Mtodos de Solucin

Muchos mtodos son disponibles para resolver ecuaciones nolineales

Mtodo de Biseccin Mtodo de Newton

Mtodo de la Secante

Mtodo de Falsa Posicin

Mtodo de Muller Iteracin del Punto Fijo


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin de


Mtodos de

Solucin

9 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante



Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Teorema

Teorema (Bolzano)Sea f : [a, b] R una funcin continua en [a, b] tal quef(a) f(b) < 0. Entonces existe c a, b tal que f (c) = 0.


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces

Localizacin de Races

Mtodos de

Solucin

10 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Mtodo de la Biseccin

Requisitos:f(x) es continua en el intervalo [a, b] , f(a) y f(b) debentener signo opuesto.

Definicin (Mtodo de la Biseccin:)

Dado un intervalo [a, b] que contiene un cero de f (x) , encada iteracin, el mtodo de la Biseccin reduce el intervalo

que contiene al cero a un 50%.

Los requisitos garantizan la existencia de al menos una raz ren [a, b] tal que f (r) = 0 y el mtodo de Biseccin converge


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

11 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Continuacin...

Clculo de las races f(x) = 0Primera Iteracin:Punto medio:

x1 =

a+ b

2Evaluacin de la funcinen el punto medio f(x1)Determinacin delnuevo intervalo de

bsqueda.Si (f(x1).f(a) < 0) entonces: b x1Si (f(x1).f(a) > 0) entonces: a x1 (En el dibujo)


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

12 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Continuacin...

Segunda Iteracin:Punto medio:

x2 =a+ b


bsqueda.Si (f(x2).f(a) < 0) entonces: b x2Si (f(x2).f(a) > 0) entonces: a x2 (En el dibujo)


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

13 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Continuacin...

Tercera Iteracin:Punto medio:

x3 =a+ b


bsqueda.

Si (f(x3).f(a) < 0) entonces: b x3Si (f(x3).f(a) > 0) entonces: a x3 (En el dibujo)


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

14 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Ejemplo:


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

15 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Ejemplo:


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

16 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Nmero de Iteraciones

Cuntas iteraciones deben realizarse para asegurar que laraz buscada dista menos de de la solucin exacta?Al comenzar el intervalo de bsqueda mide: L0 = (b a)

Tras la primera iteracin el nuevo intervalo de bsquedamide: L1 =

1

2L0 =

1

2(b a)

Tras la segunda iteracin el nuevo intervalo de bsqueda

mide: L2 =1

2L1 =

1

22(b a)

. . .Tras la n-sima iteracin el nuevo intervalo de bsqueda

mide: Ln =1

2Ln1 =

1

2n(b a)


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

17 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Continuacin...

Si se toma como raz aproximada tras n iteraciones el puntomedio del intervalo de bsqueda (punto xn+1) la distancia a

la raz exacta x ser menor que1

2Ln.

Luego:


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

18 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Continuacin...

Una precisin mayor que se asegura realizando un nmerode iteraciones (n) tal que:

|x xn+1| b a2(n+1)

< 2n+1 > b a

(n + 1) ln(2) > lnb

a

n >ln

b a

ln(2) 1


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73

Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

19 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Ejemplo

Ejemplo

Encontrar la raz de la funcin f (x) = x3 3x + 1 en elintervalo [0, 1]Solucin:

f(x) es continua

f(0) = 1, f(1) = 1 f(a) f(b) < 0 Podemos usar el mtodo de Biseccin para encontrar la

raz.


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73

Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

20 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Ejemplo:


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73

Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

21 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton



Industrial

Algoritmo de la Biseccin


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73

Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

22 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos

Facultad de Ingenieria

Industrial

Anlisis del Mtodo de Biseccin

Teorema (Teorema de la Biseccin)

Si f es continua en [a, b], y existe s, una nica raz def(x) = 0. Si f (a) f(b) < 0 entonces:

|s xk+1| b a2k+1

k = 0, 1, 2, . . .

y la sucesin {xk} converge a la raz s.


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73

Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

23 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Ejemplo

Ejemplo

Usar el mtodo de la biseccin para aproximar la raz

f(x) = ex ln x, comenzando en el intervalo [1, 2] con unaprecisin de 3 c.d.e

Solucin: a = 1; b = 2

x1 =a+ b

2= 1.5

f(x1) = 0.1823 < 0; f(1) > 0; f(2) < 0De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo[1,1.5]a=1; b=1.5

La nueva aproximacin es x2 =1 + 1.5

2= 1.25


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73

Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

24 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Con una precisin de 3 cifras decimales exactas:Tol = 0.5 103

n ln

2 1

0.5

103ln 2 1 = 9.9658

Para alcanzar la precisin se requiere como mnimo: 10iteraciones. Tras 10 iteraciones se alcanza la precisindeseada.


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

25 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Tabla


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

26 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Algoritmo


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

27 Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Observaciones

Ventajas Simple y fcil de implementar

Se evalua solo una funcin por iteracin

el tamao del intervalo que contiene el cero es reducido

al 50% despus de cada iteracin. El nmero de iteraciones pueden ser determinado a

priori

No se necesita la derivada.

La funcin no tiene que ser diferenciableDesventajas

Lenta

Aproximaciones intermedias buenas podran ser

descartadas

M d R l F l i (M i i )


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

28 Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Mtodo Regula Falsi (Motivacin)

Cal es la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))?

y =f(b)

f(a)

b a (x a) + f(a)

Cual es la interseccin de la recta con el eje X.

c = a f(a) b af(b) f(a)

M d R l F l i


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73

Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

29 Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Mtodo Regula Falsi

1. Determinar un intervalo [a,b] tal que f(a) tiene signodistinto de f(b).

2. Hallar el punto c que divide el intervalo [a,b] en partesproporcionales a f(a) y f(b).

c = a f(a) b af(b) f(a) =

af(b) bf(a)f(b) f(a)

3. La interseccin de esta recta con el eje X es unaaproximacin a la raz

4. Elegir, entre [a,c] y [c,b], un intervalo en el que lafuncin cambie de signo.

5. Repetir los pasos 2 y 3 hasta conseguir la precisindeseada.

Mt d R l F l i


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

30 Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Mtodo Regula Falsi

c =af(b) bf(a)

f(b) f(a)

Al it


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

31 Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Algoritmo

Algoritmo del Mtodo de Regula Falsi

1. a0 = a, b0 = b2. Para n = 0, 1, . . . , hacer:

mn =anf(bn) bnf(an)

f(bn) f(an) Si f(an)f(mn) < 0, tomar an+1 = an, bn+1 = mn; en

caso contrario, tomar an+1 = mn, bn+1 = bn

Ejemplo


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

32 Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos

Facultad de IngenieriaIndustrial

Ejemplo

Ejemplo

Usar el mtodo Posicin Falsa para aproximar la raz

f(x) = ex ln x, comenzando en el intervalo [1, 2].

Solucin: a = 1; b = 2x1 = a f(a) b a

f(b) f(a) = 1 f(1)2 1

f(2) f(1) =1.397410482f(x1) = 0.087384509 < 0; f(1) > 0; f(2) < 0De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo[1,1.397410408]a=1; b=1.397410408La nueva aproximacin es x2 =1.321130513.

Mt d d l t


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

33 Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Mtodo de la secante

Dada una funcin f(x) contnua en el intervalo [a, b] dondeexiste una nica raiz, es posible determinar una aproximacinde la raiz a partir de la interseccin de la secante de la curva

en dos puntos x0 y x1 con el eje X.

xn+1 = xn f(xn)

xn xn1f(xn) f(xn1)

; n 1

xn+1 = xn1f(xn) xnf(xn1)f(xn) f(xn1)

Mtodo de la secante


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi



Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Mtodo de la secante

Algoritmo


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi



Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Algoritmo

Algoritmo del Mtodo de la Secante

1. x0 = a, x1 = b2. Para n = 1, 2, . . ., hacer

xn+1 =xn1f(xn) xnf(xn1)

f(xn)

f(xn1)

Ejemplo


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi



Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Ejemplo

Ejemplo

Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz

f(x) = ex2 x, comenzando con x0 = 0 , x1 = 1.

Solucin:Tenemos que f(x0) = 1 y f(x1) = 0.6321Sustituimos en la frmula de la secante para calcular laaproximacin x2

x2 = x1 f(x1)(x1

x0

f(x1) f(x0) ) == 1 f(1)( 1 0

f(1) f(0) ) = 0.6127



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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante

37 Mtodo del Punto Fijo

Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos



Definicin (Punto Fijo)Un punto fijo de una funcin g es nmero p tal queg(p) = p.

Ejemplo

Para calcular los puntos fijos de la funcin g(x) = x2

6,consideramos la ecuacin g(x) = x, i.e. x2 x 6 = 0.Puntos fijos: 3 y2.Conexiones entre dos problemas: bsqueda de los puntosfijos y bsqueda de las races

Si g tiene punto fijo p, entonces f(x) = g(x) x tiene uncero en p. Si f tiene una raz p, entonces g(x) = x f(x)tiene punto fijo p (Tambin g(x) = x + 5f(x) tiene puntofijo p). Hay muchas formas de construir g que tiene punto

fijo p.



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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos



1. Transformar la ecuacinf

(x

) = 0 en una ecuacinequivalente de punto fijo: x = g(x).

2. Tomar una estimacin inicial x0 del punto fijo x de g.

(x punto fijo de g si g(x) = x).

3. Para k = 1, 2, 3, . . . hasta que converja, iterar

xn+1 = g(xn).

Teorema (Sobre la existencia y unicidad del punto fijo)

a) Sea g C[a, b] tal que g(x) [a, b] para todox [a, b]. Entonces g tiene un punto fijo en [a, b].

b) Sea g C[a, b] tal que g(x) [a, b] para todox [a, b], g existe en todo punto de a, b y existek 0, 1 tal que |g(x)| k para todo x a, b.Entonces el punto fijo de g en [a, b] es nico.

Convergencia


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73

Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Convergencia

Convergencia

Divergencia


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Sistema de

Ecuaciones No

LinealesMg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Divergencia

Divergencia

Ejemplos


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Ejemplos

EjemploVerificar si la funcin g(x) =

x2 13

cumple las condiciones

del teorema en el intervalo [1, 1]; en el intervalo [3, 4].Calcular los puntos fijos de g.

EjemploConsidere la funcin f (x) = x5 + x 1 en el intervalo [0, 1].Construir una funcin g que cumpla con las condiciones del

teorema y que tenga el punto fijo p. Probar las siguientes

funciones g(x) = 1 x5

g(x) =1

x4 + 1 g(x) = 5

1

x

Teorema


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Sistema de

Ecuaciones No

Lineales

Mg. Hermes

Pantoja C.

Introduccin

Introduccin

Localizacin deRaces


Mtodos de

Solucin

Biseccin

Regula Falsi

Mtodo de la secante


Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Teorema

Teorema (Iteracin de punto fijo)Sea g C[a, b] tal que g(x) [a, b] para todo x [a, b],existe g en a, b y existe k 0, 1 tal que |g(x)| k paratodo x a, b. Entonces, para cualquier nmerop0 [a, b], la sucesin {pn}

n=1 definida por

pn = g(pn1), n 1

converge al punto fijo de la funcin g en [a, b]. Presentado

como cota de error

|pn p| kn

1 k|p0 p1|, n 1

Ejemplo


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Mtodos de

Solucin

Biseccin

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Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


j p

EjemploUsar el mtodo del punto fijo para aproximar las raices de

f(x) = x2 2x 3, comenzando con x0 = 4.Solucin:

Existen muchas formas de cambiar la ecuacin f(x) = 0 a laforma x = F(x) , efectuando manipulaciones algebraicassimples.Para el ejemplo, sea:

x = F(x) = 2x + 3Evaluamos la funcin F en un punto inicial x0x1 = F(x0) = F(4) = 3.31662x2 = F(x1) = F(3.31662) = 3.03439

Mtodo de Newton


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Mtodos de

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44 Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


El mtodo de Newton-Raphson, tambin llamadosencillamente mtodo de Newton, es el mtodo ms famosopara hallar los ceros de una funcin. A diferencia del mtodode la biseccin, necesita que se evale la derivada f(x)

adems de la propia funcin. Es lejos uno de los mtodos ms usados para resolver

ecuaciones.

A partir de una estimacin inicial x0 se efecta un

desplazamiento a lo largo de la tangente hacia suinterseccin con el eje x, y se toma sta como lasiguiente aproximacin.

Interpretacin Geomtrica


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45 Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


p

La ecuacin de la rectatangente es:

y

f(xn) = f

(xn)(x

xn)

Cuando y = 0, x = xn+1o sea

0 f(xn) = f(xn)(xn+1 xn)o

xn+1 = xn f(xn)f(xn)

Continuacin...


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Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Ms concretamente el mtodo de Newton consiste engenerar las sucesin

xi+1 = xi f(xi)

f(xi)

i=0

a partir de un valor x0 dado.Si denotamos

g(x) = x

f(x)

f

(x)Estamos en presencia de un caso particular del mtodo delPunto Fijo.

Ejemplo


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47 Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


EjemploAproximar la solucin de la ecuacin x2 4 = 0 utilizando elmtodo de Newton, x0 = 1, x0 = 3

Propiedad


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48 Mtodo de Newton

Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Propiedad

Si la funcin g(x) = x f(x)f(x)

definida en [a, b] toma

valores en [a, b], es de clase C1([a, b]) y adems:

|g(x)| = f(x).f(x)(f(x))2

< 1, x [a, b]

entonces la sucesin dada porxi+1 = xif(xi)

f(xi)

i=0obtenida a partir de cualquier punto x0 [a, b] convergehacia la nica solucin de la ecuacin f (x) = 0 en [a, b].

Mtodo de Muller


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Mtodo de Newton

49 Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


El mtodo de Muller es similar al mtodo de la secante, peroa diferencia de ste; el mtodo de Mller hace uso de unaparbola para aproximar a la raz. El mtodo consiste en

obtener los coeficientes de la parbola que pasan por los trespuntos, Dichos coeficientes se sustituyen en la frmulacuadrtica para obtener el valor donde la parbola intersectaal eje x; es decir, la raz estimada. La aproximacin sefacilita al escribir la ecuacin de la parbola en una formaconveniente.

Mtodo de Muller


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Mtodo de Newton

50 Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Utiliza tres aproximaciones:x

0,x

1,x

2. Determina la siguiente aproximacin x3 encontrando la

interseccin con el eje X de la parbola definida por lospuntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).

Mtodo de Muller


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51 Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Se considera el polinomio

P(x) = a(x x2)2 + b(x x2) + c

Se puede encontrar a, b y c resolviendo

f(x0) = a(x0 x2)2 + b(x0 x2) + c

f(x1) = a(x1

x2)

2 + b(x1

x2) + c

f(x2) = a(x2 x2)2 + b(x2 x2) + c


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Continuacin...


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Mtodo de Newton

53 Mtodo de Muller

Sistema de ENL

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Otra Formah0 = (x1 x0), h1 = (x2 x1)

0 =

f(x1)

f(x0)

x1 x0 , 1 =f(x2)

f(x1)

x2 x1Luego:

a =1 0h0 + h1

b = ah1 + 1

c = f(x2)


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54 Mtodo de Muller

Sistema de ENL

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

El mtodo de Mller converge bastante rpidamente.

Adems, se puede utilizar en el caso de races complejas.Para evitar overflows cuando a es muy pequeo, esconveniente escribir x x2 como

x

x2 =

2c

bb2

4ac. . . (

)

tomando el signo que haga mximo el mdulo deldenominador. El mtodo de Mller puede tomar comovalores de comienzo nmeros complejos, en cuyo caso sirve

para obtener races complejas.


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Mtodo de Newton

55Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Dado los puntos en valor creciente: x0 < x2 < x1; evaluamosen () y obtenemos x3. Los nuevos puntos seran: x1, x2, x3.Observacion: Si se empieza en x2 ,obtenemos x0 y x1 como

x1 = x2 + hx2

x0 = x2 hx2h es el incremento.

Algoritmo


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Mtodo de Newton

56 Mtodo de Muller

Sistema de ENL

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Dato Inicial: xr, h, MaxIterx2 xrx1 xr + h xrx0 xr h xrPara i=1 hasta MaxIterh0 x1 + x0h1 x2 x1d0 (f(x1) f(x0))/h0d1

(f(x2)

f(x1))/h1

a (d1 d0)/(h1 + h0)b a h1 + d1c f(x2)


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57 Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

rad sqrt(b b 4a c)Si | b+ rad| > | b rad| entoncesden b+ radCaso Contrarioden b radFin Si

x3 x2 + (2 c)/denx0 x1x1 x2x2 x3Fin Para

EJEMPLO


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Mtodo de Newton

58 Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Ejemplo

Utilizando el mtodo de Muller, aproximar

f(x) = x3

13x 12; xr = 5Consideremos ahora de la siguiente manera:h = 0.1x0 = xr

h

xr = 5

0.1

5 = 4.5

x2 = xr = 5x1 = xr + h xr = 5 + 0.1 5 = 5.5

EJEMPLO


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Mtodo de Newton

59 Mtodo de Muller

Sistema de ENL

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Mtodo de Newton


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Industrial

Primera Iteracin:Conocido x0 = 4.5, x1 = 5.5, x2 = 5, hallamos x3

f(x0) = f(4.5) = 20.6250; f(x1) = f(5.5) = 82.8750

f(x2) = f(5) = 48

Calculando:h0 = x1 x0 = 1; h1 = x2 x1 = 0.50 = f(x1) f(x0)

x1 x0 = 82.8750 20.62501 = 62.2500

1 =f(x2) f(x1)

x2 x1 =48 82.8750

0.5 = 69.7500


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Mtodo de Newton

60 Mtodo de Muller

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Mtodo de Newton


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Industrial

Hallando los coeficientes:

a = 1 0h0 + h1

= 69.7500 62.25001 + (0.5) = 15

b = ah1 + 1 = 15 + 69.7500 = 62.2500

c = f(x2

) = f(5) = 48

Luego:

x3 = x2+2c

b

b2

4ac

= 5+2 48

62.25

62.252

4

15

48

Dado que:

| 62 25

62 252 4 15 48| > | 62 25 +

62 252 4 15 48 |


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Mtodo de Newton

61 Mtodo de Muller

Sistema de ENL

Introduccin


Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

| 62.25

62.25 4 15 48|

93.7946

> | 62.25 +

62.25 4 15 48

30.7054

|

tenemos:

x3 = 5 +2 48

62.25 62.252 4 15 48 = 3.9765

Ahora, los nuevos x0, x1 , x2 son:

x0 x1x1 x2x2 x3

Segunda Iteracin:

x3 = 4.0011

Sistema de ENL


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Mtodo de Newton


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Industrial

Dada la funcin

F : Rn Rn(x1, . . . , x2) (f1(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn))

El objetivo es determinar una solucin x = (x1 , . . . , xn ) del

sistema de n ecuaciones con n incognitas

f1(x1, . . . , xn) = 0...fn(x1, . . . , xn) = 0


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Mtodo de Newton


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Industrial

En su forma matricial

F(x) = 0

con

x =

x1x2...xn

, F(x) =

f1(x)f2(x)...fn(x)

, 0 =

00...0


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Mg. HermesPantoja C.

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Mtodo de Newton


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Industrial

La resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales porprocesos analticos puede ser bastante difcil o imposible. Enese caso tenemos la necesidad de utilizar mtodos numricospara obtener una solucin aproximada. Consideraremos lossiguientes mtodos iterativos:


Mtodo de Newton



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Mtodo de Newton


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Industrial

Frmula de recurrencia

x(k+1) = G(x(k)), k = 0, 1, 2, . . . ,

donde

G(x) =

g1(x)g2(x)...gn(x)

que determina una sucesin de aproximaciones para una razx de la ecuacin F(x) = 0, a partir de una aproximacin

inicial

x =

x(0)1

x(0)2

...

x(0)n

Definiciones


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Mtodo de Newton

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Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

Definicin

Norma 1:

x

R

n,

||x

||1 =

n

i=1 |xi

| Norma 2 o norma euclidiana: x Rn,||x||2 =

ni=1

x2i

Norma Infinita:x Rn

, ||x|| = max1in|xi|.

Mtodo de Newton


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Mtodo de Newton

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67 Mtodo de Newton


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Industrial

Formula de recurrencia:

x(k+1) = x(k) J1F

(x(k))F(x(k)) k = 0, 1, . . . ,

donde

JF(x) =

f1x1

(x) . . .f1xn

(x)

.... . .

...fnx1 (x) . . .

fnxn (x)

Ejemplo


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68 Mtodo de Newton


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Industrial

EjemploDado el sistema no lineal

2x1 x2 = ex1

x1 + 2x2 = e

x2

Se pide:

1. Localizar grficamente las raices.

2. Aproximar la solucin utilizando el mtodo de Newton.

Considerar x

(0)

= [0.5 1]T

. Hallar el error cometido.3. Aproximar la solucin utilizando el mtodo del Punto

Fijo. Considerar x(0) = [0.5 1]T. Hallar el errorcometido.

Solucin


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Industrial

Arreglando:

f1(x1, x2) = 2x1 x2 ex1 = 0f2(x1, x2) = x1 + 2x2 ex2 = 0

Continuacin...


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Mtodo de Newton

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70 Mtodo de Newton


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Industrial

Solucion: (2)

F(x) =

2x1 x2 ex1x1 + 2x2 ex2

=

00

x(k+1) = x(k) J1F (x(k))F(x(k)); JF(x) =2 + ex1 11 2 + ex2

= 3 + 2(ex1 + ex2 ) + ex1x2

J1F

(x) =1

2 + ex2 1

1 2 + ex1

Continuacin...


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Ecuaciones No

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Mtodo de Newton

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71 Mtodo de Newton


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Industrial

Iteracin:1

x(0) =

0.51

F(x(0)) =

0.60651.1321

J1F

(x(x0)) = 0.4578 1.934

0.1934 0.5040

x(1) =

0.51

x(0)

0.05880.4533

x(0)

Error=||x(0)|| = 0.4533

Continuacin...


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Mtodo de Newton

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72 Mtodo de Newton


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Industrial

Solucin: 3Algoritmo del Punto Fijo:

x1 =x2 + e

x1

2= g1(x1, x2)

x2 =

x1 + ex2

2 = g2(x1, x2)

G(x1, x2) =

g1(x1, x2)g2(x1, x2)

Prueba de la convergencia:

JG =

g1x1

g1x2

g2x1

g2x2

[0.5,1]

= 0.3033 0.5

0.5 0.1839

Continuacin...


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Introduccin

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Mtodo de Newton

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Introduccin


73 Mtodo de Newton


de San Marcos


Industrial

||JG|| = 0.8033 . Por lo tanto Converge.x(k+1)1 =

x(k)2 + e

x(k)1

2

x(k+1)2 =

x(k)1 + e

x(k)2

2Primera Iteracin:x(0) = [0.5 1]T

x(1)1 =

1 + e0.5

2= 0.8033

x(1)2 =0.5 + e1

2 = 0.4339

x(1) = [0.8033 0.4359]

4 sistemas de ecuaciones no lineales senl

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