Marco Flores

Doctor (PhD) en Ingeniería Eléctrica

Abril-Agosto 2015

Universidad de las Fuerzas Armadas

Operaciones sobre señalesSean ( ) dos señales continuas (discretas)

Suma

Multiplicación (Modulación)

Escalamiento (producto por un escalar)

Desplazamiento

Inversión temporal (founding)

𝑥[𝑛] + 𝑧[𝑛] = 𝑥 𝑛 + 𝑧[𝑛]

𝑥(𝑡) × 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) × 𝑧(𝑡)

𝑥(𝑡) , 𝑧(𝑡)

𝛼 𝑥(𝑡) = 𝛼𝑥(𝑡)

z n = 𝑥[𝑛 − 𝑘]

z(t) = 𝑥(−𝑡)

𝑥[𝑛] , 𝑧[𝑛]

𝑥(𝑡) + 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) + 𝑧(𝑡)

𝑥[𝑛] × 𝑧[𝑛] = 𝑥 𝑛 × 𝑧[𝑛]

𝛼 𝑥[𝑛] = 𝛼𝑥 𝑛

z(t) = 𝑥(𝑡 − 𝑘)

z n = 𝑥[−𝑛]

Señales par e impar Señal par

Señal impar

En este caso

x(t)=x(−t)

𝑥 𝑛 = 𝑥 −𝑛

𝑥(−𝑡)= − x(t)

𝑥 −𝑛 = −𝑥[𝑛]-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.5

0

0.5

1

Señal Par

Señal impar

𝑥 0 = −𝑥 0 = 0

Señales par e impar Cualquier señal se puede separar en dos, una par y una

impar:

𝐸𝑣[𝑥[𝑛]] =1

2𝑥 𝑛 + 𝑥[−𝑛]

𝑂𝑑[𝑥[𝑛]] =1

2𝑥 𝑛 − 𝑥[−𝑛]

Señal par

Señal impar

𝐸𝑣(𝑥 𝑡 ) =1

2𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)

𝑂𝑑(𝑥 𝑡 ) =1

2𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡)

Continua Discreta

Ejercicios Sea 𝑥 𝑡 dada por

𝑥 𝑡 = 𝑡 + 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 4

0 𝑠𝑖 𝑛𝑜

Hallar : y t = 𝑥 −𝑡 ,

z t = 𝑥 𝑡/2 y

𝑤 𝑡 = 𝑥(−𝑡/4)

Sea 𝑥[𝑛] una señal discreta tal que 𝑥 𝑛 = 2𝑛 + 1

Hallar las señales par e impar

En ambos casos, graficar las señales usando Matlab

Señales periódicas Sea 𝑥(𝑡) una señal continua, se dice periódica, con

período 𝑇, si:𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇)

Sea 𝑥[𝑛] una señal discreta, se dice periódica, con período 𝑁, si:

𝑥 𝑛 = 𝑥[𝑛 + 𝑘𝑁]

con 𝑛 = 0, ±1,±2,… y 𝑘, 𝑁 = 1,2, …

Si una señal es no periódica entonces de denominaaperiódica

0, Tt

Ejemplos señales periódicas

N=3 o 5?

Señales periódicas Señales no periódicas

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6-15

-10

-5

0

5

10

15

Señales periódicas Sean 𝑥1(𝑡) una señal con período fundamental 𝑇01, y𝑥2(𝑡) una señal con período fundamental 𝑇02,

Sea 𝑥 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 , entonces:

Si 𝑇01 𝑇02 es un numero racional (cociente de dos enteros)entonces 𝑥(𝑡) es periódica. Entonces 𝑇 = 𝑚𝑐𝑚(𝑇01, 𝑇02)

Si 𝑇01 𝑇02 es un numero irracional entonces 𝑥(𝑡) esaperiódica

Sea 𝑦 𝑡 = 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 , entonces:

𝑇 = 𝑚𝑐𝑚(𝑇01, 𝑇02) es el de período o un múltiplo del período

Referencia: Roberts, pg. 54-55, Corinthios pg. 28. LCM = last common multiple (mcm)

Período fundamental (Continuo) Una señal periódica, de período 𝑇 > 0, satisface la

relación𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇)

El número real más pequeño, positivo, 𝑇0, que satisfaceesta relación se denomina período fundamental.

T

𝑥 𝑡 = 5cos2𝜋

5𝑡

Ejemplo de señal periódica continuaConsiderando la señal:

𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗𝜔0𝑡

Entonces, para ser periódica: 𝑒𝑗𝜔𝑜 𝑡+𝑇0 = 𝑒𝑗𝜔𝑜𝑡𝑒𝑗𝜔𝑜𝑇0

Para ser periódica 𝑒𝑗𝜔0𝑇0 = 1 con lo cual

𝑇0 =

𝐶𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 > 0 𝑠𝑖 𝜔0 = 02𝜋

𝜔0𝑠𝑖 𝜔0 ≠ 0

La señales 𝑒𝑗𝜔0𝑡 y 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 tienen el mismo periodofundamental

Período fundamental (Discreto) Una señal periódica, de período 𝑁 > 0, 𝑁 entero,

satisface la relación:

𝑥 𝑛 = 𝑥[𝑛 + 𝑁] para todo 𝑛

El entero 𝑁 más pequeño que satisface esta relación sedenomina período fundamental, y se denota por 𝑁0.

𝑥 𝑛 = 5cos2𝜋

500𝑛

𝐹𝑠 = 100 𝐻𝑧

Ejemplo de señal periódica discretaConsiderando la señal: 𝑥[𝑛] = 𝑒𝑗𝜔0𝑛

Entonces: 𝑒𝑗𝜔𝑜(𝑛+𝑁0) = 𝑒𝑗𝜔𝑜𝑛𝑒𝑗𝜔𝑜𝑁0

2𝜋

𝑁0=

𝜔0

𝑚

Despejando el período fundamental se tiene

𝑁0 =2𝜋

𝜔0𝑚 con 𝑚 entero

Frecuencias analógica y digital Sea 𝑥(𝑡) una señal continua con periodo 𝑇 = 1/𝐹 > 0

y frecuencia analógica 𝜔𝑎 (rad/seg).

Sea 𝑥[𝑛] la señal discreta, obtenida al muestrear 𝑥(𝑡) auna frecuencia de muestreo 𝐹𝑠 = 1/𝑇𝑠 (Hz), es decir,𝑥 𝑛 = 𝑥(𝑡)|𝑡=𝑛𝑇𝑠, con frecuencia digital 𝜔𝑑 (rad/seg).

Entonces, la relación entre la frecuencia analógica y lafrecuencia digital es:

𝜔𝑑 =𝜔𝑎

𝐹𝑠= 𝜔𝑎𝑇𝑠

Referencia: Soria et al, pg. 3

Ejercicios Sea 𝑥 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠(2000𝜋𝑡 + 𝜋/4)

¿Cuál es su período y su frecuencia analógicos?

Si 𝐹𝑠 = 4 KHz, ¿Cuál es su período y su frecuencia digital?

Verificar la relación entre frecuencia analógica y digital

Sea 𝑥 𝑡 = 10 sin 12𝜋𝑡 + 4cos(18𝜋𝑡). ¿Es periódica?, Verificar que su período es 1/3(=mcm(1/6,1/9)=1/mcd(6,9)). Graficar en Matlab

Determinar el período fundamental de:

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗 2𝜋/3 𝑛 + 𝑒𝑗 3𝜋/4 𝑛

Graficar en Matlab y comprobar que:

𝑁01 = 3 y 𝑁02 = 8 entonces 𝑁0 = 24 (=mcm(8,3))

Referencia: Roberts, pg. 54-55: LCM = last common multiple (mcm)

Ejercicios ¿La señal 𝑦(𝑡) es periódica? Graficar en Matlab (No)

𝑦 𝑡 = cos 𝑡 𝑠𝑖 𝑡 < 0sin 𝑡 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ejemplo señales periódicas Sean 𝑥 𝑡 = 5cos

2𝜋

5𝑡 y 𝑦 𝑡 = 2sin

2𝜋

3𝑡 . Representar en Matlab

𝑤 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑦(𝑡) y 𝑧 𝑡 = 𝑥 𝑡 𝑦(𝑡) y hallar sus períodos.

t = -2*pi:pi/100:6*pi; xt = 5*cos(2*pi*t/5); % T01 = 2pi/(2pi/5) = 5 yt = 2*sin(2*pi*t/3+pi/2); % T02 = 2pi/(2pi/3) = 3 wt = xt+yt; % T = mcm(5,3)=15 zt = xt.*yt; % T = 7.5 subplot(4,1,1), plot(t,xt) subplot(4,1,2), plot(t,yt) subplot(4,1,3), plot(t,zt) subplot(4,1,4), plot(t,wt)

Verificar experimentalmente zt