4 la circunferencia - … · instituto valladolid preparatoria página 55 4.1 introducciÓn aunque...

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 55

4.1 INTRODUCCIÓN

Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la circunferencia es el lugar geomé-trico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado centro.

A partir de este momento, las cónicas que restan por analizar tienen por lo menos "un cua-drado". Para todas ellas existe, como un primer paso, el mismo procedimiento para transfor-mar su ecuación de la forma general a la forma particular, el cual consiste en dividir toda laecuación general entre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a todas las variables"al cuadrado".

En el caso de la circunferencia, su ecuación en forma general es

2 2A B D E F 0x y x y+ + + + =

pero como se mencionó en las páginas 17 y 18 al hablar del análisis de la ecuación general,para que sea circunferencia se requiere que "los cuadrados sean iguales", es decir, que .A B=Por lo tanto, cuando se trata de una circunferencia, su ecuación general puede escribirse como

2 2A A D E F 0x y x y+ + + + =

Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer párrafo de este nuevo tema, estaecuación queda dividida entre A , de la siguiente forma:

2 2A A D E F 0A A A A A

x y x y+ + + + =

que simplificada resulta

4 LACIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIAPágina 56

La ecuación general de la circunferencia es

x 2 + y

2 + Dx + Ey + F = 0 (3.1)

La ecuación particular de la circunferencia es

(x - h) 2 + (y - k)

2 = r 2 (3.2)

En donde:

(h , k ) indican las coordenadas del centro;r indica el valor del radio.

2 2 D E F 0A A A

x y x y+ + + + =

Al final de cuentas, los coeficientes , , y son números también, por lo que,DA

EA

FA

para simplificar la escritura, se renombran de la siguiente manera:

se renombra como D ;DA

se renombra como E ; EA

se renombra como F ;FA

por lo que la ecuación en forma general de la circunferencia se acostumbra escribir de la si-guiente manera:

Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona una información bastantelimitada acerca de las características de la figura; en cambio, con la ecuación particular se ob-tienen los datos necesarios para identificar plenamente a la cónica respectiva. En el caso de lacircunferencia, sus características principales son la ubicación del centro y la medida del ra-dio. La ecuación en forma particular proporciona esa información.


En esta ecuación, h indica el valor de la abs-cisa del centro, es decir, el valor en x del des-plazamiento del centro, mientras que k indicael valor de la ordenada del centro, es decir, elvalor en y del desplazamiento del centro. Verfigura 4.1.

Debe tenerse mucho cuidado en que los va-lores de las coordenadas del desplazamientodel centro, ya que cambian de signo al momen-to de reemplazarse en la ecuación particulardebido al signo negativo que tiene su ecuaciónparticular.

Por ejemplo, si una circunferencia tiene ra-dio y su centro en , le corres-4r = ( )C 2 3, −

ponden en este caso los valores de y de2h =; sin embargo, en la ecuación particu-3k = −

lar, por el signo menos que ésta tiene, los hace cambiar de signos, quedando

( ) ( )2 22 3 16x y− + + =

4.2 TRANSFORMACIONES

Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la particular son realmente la mismaecuación, solamente que escritas de diferente manera, por lo que es posible hacer transforma-ciones de una forma a la otra.

Para transformar la ecuación de una circunferencia de su forma general a la particular esconveniente practicar antes un proceso algebraico consistente en que teniendo el polinomiocuadrático , en donde D y G son números cualesquiera, pasarlo a la forma2 D Gx x+ +

, en donde también m y k son números cualesquiera. A éste último se le llama-( )2x m k+ +rá binomio al cuadrado más un residuo, en el que m es el segundo término del binomio y k esel residuo.

Para comprender el proceso perfectamente conviene analizar primero el procedimiento in-verso, es decir, pasar de un binomio al cuadrado más un residuo a un polinomio cuadrático.

Por ejemplo, si se tiene el polinomio para convertirlo en un polinomio cuadráti-( )27 3x + +co es suficiente elevar al cuadrado el binomio y luego sumar términos semejantes. Recordarque un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble productodel primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

k

h

x

y

(h, k)

figura 4.1


De manera que

( )2 2

cuadrado doble cuadradodel primero producto del segundo

del primeropor el segundo

7 3 14 49 3x x x+ + = + + +

y sumando se llega a que49 3+

( )2 27 3 14 52x x x+ + = + +

El proceso inverso consiste en que dado el trinomio cuadrático , transfor-2 14 52x x+ +

marlo en el binomio al cuadrado más su residuo . Analizando el procedimiento( )27 3x + +hecho renglones arriba, se deduce que:

a) es el cuadrado del primer término del binomio buscado. Por lo tanto, dicho2xprimer término es su raíz cuadrada, es decir .x

b) es el doble producto del primer término por el segundo, del binomio buscado.14xPor lo tanto, si se divide entre 2 se le quita “lo doble” y así se obtiene el segun-14do término del binomio. En este ejemplo, es 7 dicho segundo término del binomiobuscado.

Hasta este momento se podría escribir que

( )22 14 52 7x x x+ + = +

lo cual no es cierto porque lo escrito del lado izquierdo no es igual a lo escrito del lado dere-cho, debido a que el proceso no está completo todavía. Hace falta verificar que lo que está es-crito del lado izquierdo realmente sea igual a lo que está escrito del lado derecho:

( )22

lado izquierdo lado derecho

?14 52 7x x x+ + = +

En el lado derecho existe un término de más y otro de menos respecto de lo que está escritoen el lado izquierdo para que ambos lados realmente sean iguales. Si se desarrolla mentalmen-te el binomio al cuadrado que está indicado en el lado derecho, lo que se tiene allí es:


a) : que es el cuadrado del primer término del binomio. Esto está también en el2xlado izquierdo.

b) : que es el doble producto del primer término por el segundo del binomio. Ob-14xsérvese que también está en el lado izquierdo.

c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este no49+ 49+aparece en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debequitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,52para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese que52le falta y quitarse el que le sobra, de la siguiente manera:49

( )22 14 52 7 49 52x x x+ + = + − +

Finalmente, sumando se llega a que49 52− +

( )22 14 52 7 3x x x+ + = + +

Ejemplo 1: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo el siguiente trinomio cuadrático:2 8 9x x− −

Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado del primer término2 8 9x x− − 2xdel binomio buscado y es el doble producto del primer término por el segundo del8x−mismo binomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es mientrasxque el segundo término es (se obtiene de dividir ). Provisionalmente se co-4− 8 2− ÷mienza escribiendo que

( )22?

8 9 4x x x− − = −

en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito dellado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se veque allí hay lo siguiente:

a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.2x

b) : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese8x−que también está en el lado izquierdo.


c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este no aparece en16+ 16+el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,9−para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 9−que le falta y quitarse el 16 que le sobra, de la siguiente manera:

( )22 8 9 4 16 9x x x− − = − − −

( )22 8 9 4 25x x x− − = − −

Ejemplo 2: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo el siguiente trinomio cuadrático:.2 5 1x x+ −

Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado del primer término del2 5 1x x+ − 2xbinomio buscado y es el doble producto del primer término por el segundo del mismo5xbinomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio buscado es mientras que el se-x

gundo término es (se obtiene de dividir ). Provisionalmente se comienza escri-52

5 2÷

biendo que

22

? 55 12

x x x + − = +

en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado izquierdo es igual a lo escrito dellado derecho. Desarrollando mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se veque allí hay lo siguiente:

a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está también en el lado izquierdo.2x

b) : que es el doble producto del primer término del binomio por el segundo. Obsérvese5x+que también está en el lado izquierdo.

c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero este no aparece254

+ 254

+

en el lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.

Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el lado derecho, por lo tanto,1−para que ambos lados sean realmente iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 1−


que le falta y quitarse el que le sobra, de la siguiente manera:254

22 5 255 1 1

2 4x x x + − = + − −

2

2 5 25 45 12 4

x x x − − + − = + +

22 5 295 1

2 4x x x + − = + −

EJERCICIO ADICIONAL

Convertir a un binomio al cuadrado más un residuo los siguientes trinomios cuadráticos:

1) 2)2 12 3x x+ + 2 10 7x x+ −3) 4)2 2 21x x− − 2 14 11x x− +5) 6)2 22 8x x+ + 2 16 32x x− −7) 8)2 11x x+ + 2 3 13x x− +9) 10)2 9x x− 2 7x x+


1) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma generala la forma particular:

* Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de x2.

* Con los términos x2 + Dx se obtiene un binomio al cuadrado más su resi-duo.

* Con los términos y2 + Ey se obtiene un binomio al cuadrado más su resi-duo.

* Se escriben en el lado derecho todas las constantes y se suman.

Nota: No olvidar que inicialmente la ecuación original estaba igualada a cero.

2) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la forma particu-lar a la forma general:

* Se desarrollan los dos binomios: (x - h)2 y (y - k)2 .

* Se escriben todos los términos en el lado izquierdo para que quede igua-lado a cero.

* Se suman los términos semejantes, si resultan algunos y se ordenan.

4.3 REGLAS PARA LAS TRANSFORMACIONES

Ejemplo 1: Transformar a la forma particular la ecuación 2 2 6 4 12 0x y x y+ − + − =

Solución: Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado losque contienen a la variable x y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacersementalmente o en caso necesario escribirlo de la forma

2 26 4 12 0x x y y− + + − =

Con los términos en , es decir, con se obtiene un binomio al cuadrado más sux 2 6x x−


residuo; luego, con los términos en , es decir, con se obtiene también un bino-y 2 4y y+mio al cuadrado más su residuo:

( ) ( )2 22 26 4 12 3 9 2 4 12x x y y x y− + + − = − − + + − −

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, signi-fica que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( ) ( )2 23 9 2 4 12 0x y− − + + − − =

Al sumar las constantes se9 4 12 25− − − = −reduce a

( ) ( )2 23 2 25 0x y− + + − =

Y finalmente escribiendo esa constante en el ladoderecho, la ecuación particular buscada es

( ) ( )2 23 2 25x y− + + =

Se trata de una circunferencia que tiene por centro y cuyo radio es . Su gráfica( )C 3 2, − 5r =

está mostrada en la figura 4.2.

Ejemplo 2: Transformar a la forma particular la ecuación .2 2 2 35 0x y x+ + − =

Solución: Obsérvese, conforme se estudió en el análisis de la ecuación general de las cónicas, que setrata de una circunferencia por tener los dos términos cuadráticos; que está desplazado elcentro sobre el eje por existir término lineal en ; y que no está desplazado el centrox xsobre el eje por no existir término lineal en .y y

Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas variables, es decir, por un lado los

1 3 5

-2

-4

-6

-8

C

7

figura 4.2


que contienen a la variable x y por otro a los que contienen a la y. Esto pueden hacersementalmente o en caso necesario escribirlo de la forma

2 22 35 0x x y+ + − =

Con los términos en , es decir, con se obtiene un binomio al cuadrado más sux 2 2x x+residuo; luego, con los términos en , en este caso solamente con se obtiene tambiény 2yun binomio al cuadrado más su residuo:

( ) ( )2 22 22 35 1 1 0 35x x y x y+ + − = + − + + −

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, sig-nifica que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( ) ( )2 21 1 0 35 0x y+ − + + − =

Al sumar las constantes se reduce a1 35 36− − = −

( ) ( )2 21 0 36 0x y+ + + − =

Y finalmente escribiendo esa constante enel lado derecho, la ecuación particular bus-cada es

( ) ( )2 21 0 36x y+ + + =

que también puede escribirse, si se desea,como

( )2 21 36x y+ + =figura 4.3


Se trata de una circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas y que tiene( )C 1 0,−

por radio . Su gráfica corresponde a la figura 4.3.6r =

Ejemplo 5: Transformar a la forma general la ecuación .( ) ( )2 21 2 16x y− + − =

Solución: Se trata de la circunferencia cuyo centro tienepor coordenadas y radio ,( )C 1 2, 4r =mostrada en la figura 4.4.

Elevando al cuadrado ambos binomios, seobtiene:

2 22 1 4 4 16x x y y− + + − + =

igualando a cero:

2 22 1 4 4 16 0x x y y− + + − + − =

sumando los términos semejantes y ordenando conforme a la1 4 16 11+ − =

ecuación general de las cónicas, se reduce a:

2 2 2 4 11 0x y x y+ − − + =

Ejemplo 6: Encontrar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia cuya ecuaciónes .2 22 2 20 192 0x y x+ − − =

Solución: En este caso se tiene que ; ; ; ; . El análisis de laA 2= B 2= D 20= − E 0= F 192= −ecuación general lleva a que se trata de una circunferencia por ser ; que está despla-A B=zado el centro sobre el eje por existir término lineal en ; y que no está desplazado elx xcentro sobre el eje por no existir término lineal en .y y

Lo primero que debe hacerse en toda cónica que tenga términos al cuadrado, es "quitarles elnumerito a los cuadrados", o sea dividir toda la ecuación entre los coeficientes de y de2x

. En este caso, dividir entre a toda la ecuación. Haciéndolo se obtiene:2y 2

2 2 10 96 0x y x+ − − =

1

2

figura 4.4


Después debe pasarse la ecuación a la forma particular:

( ) ( )2 22 210 96 5 25 0 96x x y x y− + − = − − + + −

Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba inicialmente igualado a cero, signi-fica que todo el lado derecho también es igual a cero, por lo que se puede escribir que

( ) ( )2 25 25 0 96 0x y− − + + − =

Al sumar las constantes 25 96 121− − = −se reduce a

( ) ( )2 25 0 121 0x y− + + − =

Y finalmente escribiendo esa constante en ellado derecho, la ecuación particular buscadaes

( ) ( )2 25 0 121x y− + + =

que también puede escribirse, si se desea,como

( )2 25 121x y− + =

de donde se deduce que y ,por lo que las coordenadas del centro son 5h = 0k = ( )C 5 0,

y el radio es (figura 4.5). Como , el centro no está desplazado sobre el eje 11r = 0k = ytal como se había previsto al analizar la ecuación general.

figura 4.5


EJERCICIO 6

Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones y deducir las coordenadas del centro y el radio de cadacircunferencia:

1) 2 2 2 4 1 0x y x y+ + + + =

2) 2 2 2 10 17 0x y x y+ + + + =

3) 2 2 4 4 1 0x y x y+ − − − =

4) 2 2 2 2 1 0x y x y+ − + + =

5) 2 2 10 6 2 0x y x y+ − − − =

6) 2 2 6 4 36 0x y x y+ − + − =

7) 2 24 4 56 8 196 0x y x y+ − + + =

8) 2 23 3 60 30 300 0x y x y+ + − + =

9) 2 2 16 48 0x y y+ − − =

10) 2 2 18 65 0x y x+ + + =

Transformar a la forma general las siguientes ecuaciones de circunferencias:

11) (x + 1)2 + (y + 9)2 = 912) (x + 7)2 + (y - 2)2 = 4913) (x - 3)2 + (y + 12)2 = 16914) (x + 10)2 + (y + 9)2 = 8115) (x + 11)2 + (y - 1)2 = 2516) (x + 13)2 + (y - 8)2 = 417) (x - 4)2 + (y + 3)2 = 118) (x - 2)2 + (y - 9)2 = 3619) x2 + (y - 5)2 = 1620) (x + 6)2 + y2 = 400

Hallar los valores de las constantes D , E y F de las circunferencias que se describen:

21) las coordenadas del centro son C(2, 0) y su radio es r = 3 .22) las coordenadas del centro son C(5, - 1) y su radio es r = 2 .23) las coordenadas del centro son C(- 6, 10) y su radio es r = 7 .24) las coordenadas del centro son C(0, - 7) y su radio es r = 12 .25) las coordenadas del centro son C(3, - 4) y su radio es r = 4 .26) las coordenadas del centro son C(- 8, - 3) y su radio es r = 9 .27) las coordenadas del centro son C(- 9, 1) y su radio es r = 14 .28) las coordenadas del centro son C(0, 0) y su radio es r = 8 .29) las coordenadas del centro son C(11, 4) y su radio es r = 13 .30) las coordenadas del centro son C(7, 7) y su radio es r = 7 .


4.4 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS CONOCIDOS

Para que una circunferencia quede bien definida deben cono-cerse mínimo tres puntos por los que pasa. Con dos puntosnada más no queda bien definida, pues por allí pueden pasarun sinnúmero de circunferencias. La figura 4.6 muestra trescircunferencias que pasan por los puntos P y Q.

Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos por losque pasa una circunferencia, para hallar su ecuación existentres opciones:

Primera opción: se sustituyen los valores de x y de y decada punto en la ecuación general de la circunferencia,con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres in-cógnitas D, E y F, sistema que se resuelve por cualquie-ra de los métodos conocidos. Una vez encontrados losvalores de esas constantes D , E y F , se reemplazan enla ecuación general.

Segunda opción: se sustituyen los valores de x y de y de cada punto en la ecuación par-ticular de la circunferencia, con lo que se obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitash, k y r , sistema que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos. Una vezencontrados los valores de esas constantes h , k y r, se reemplazan en la ecuación parti-cular.

Tercera opción: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos conocidos; luego se calculanlas ecuaciones de sus mediatrices y se obtienen las coordenadas del punto de intersec-ción de dichas mediatrices. Como éstas pasan por el centro (ver propiedad 2 de la cir-cunferencia, página 9), ese punto es el centro de la circunferencia. Finalmente se calculadistancia entre el centro y cualquiera de los puntos conocidos, obteniéndose así el radio.

En general, cualquier razonamiento, mientras no sea falso, es válido. Simplemente hay quetener presente la regla del Álgebra que dice que se deben tener igual número de ecuaciones co-mo de incógnitas, para poder resolver el sistema . O sea que si se tienen dos incógnitas, debentenerse dos ecuaciones; si se tienen tres incógnitas, deben tenerse tres ecuaciones. De otra for-ma no se puede solucionar el sistema.

Ejemplo 1: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 8) ; Q(5, 1) y R(- 2, 0) . Hallar su ecuación em-pleando la primera opción.

NOTA: La C no se emplea para nombrar a algún punto, ya que esta letra se reserva mejor para de-nominar así al centro.

Solución: La ecuación general de la circunferencia es

Q

P

figura 4.6


(A)2 2 D E F 0x y x y+ + + + =

Para el punto P se tiene que x = 4 y y = 8 . Sustituyendo esos valores en la ecuación (A)se obtiene la primera ecuación con tres incógnitas:

( ) ( ) ( ) ( )2 24 8 4 8 0D E F+ + + + =

Haciendo las operaciones indicadas y ordenando se obtiene que

16 64 4 8 0D E F+ + + + =(1)4 8 80D E F+ + = −

Para el punto Q se tiene que x = 5 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A) seobtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:

( ) ( ) ( ) ( )2 25 1 5 1 0D E F+ + + + =Efectuando las operaciones indicadas y ordenando se llega a

25 1 5 0D E F+ + + + =(2)5 26D E F+ + = −

Para el punto R se tiene que x = - 2 y y = 0. Sustituyendo esos valores en la ecuación (A)se obtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 2 0 0D E F− + + − + + =Realizando las operaciones indicadas y ordenando se obtiene

4 0 2 0 0D E F+ − + + =(3)2 4D F− + = −

Juntando y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que resultó:

( )( )( )

4 8 80 1

5 26 2

2 4 3

D E F

D E F

D F

+ + = −

+ + = −

− + = −

Este sistema se puede resolver directamente con la calculadora, o bien cambiándole de signoa toda la primera ecuación y luego sumándola con la ecuación (2) y con la (3), para eliminarla variable F , se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:


( )

4 8 805 26

47 54

D E FD E FD E

− − − =+ + = −− =

( )

4 8 802 4

56 8 76

D E FD FD E

− − − =− + = −− − =

Debe ahora resolverse este nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5), yasea por el método de suma y resta, por igualación, por sustitución o por determinantes, aun-que se aconseja que se haga mejor con la calculadora:

( )( )

7 54 4

6 8 76 5

D E

D E

− =

− − =

Con la calculadora se obtiene que

288

DEF

= −= −= −

Teniendo ya los valores de las tres variables D, E y F , se reemplazan en la ecuación gene-ral de la circunferencia (A) , para obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedi-da:

2 2 2 8 8 0x y x y+ − − − =

Ejemplo 2: Una circunferencia pasa por los puntos P(2, 4) ; Q(1, - 3) y R(- 7, 1). Hallar su ecuaciónempleando la segunda opción.

Solución: La ecuación particular de la circunferencia es

(B)( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

Para el punto P se tiene que x = 2 y y = 4. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) seobtiene la primera ecuación con tres incógnitas:


(6)( ) ( )2 2 22 4h k r− + − =

Para el punto Q se tiene que x = 1 y y = - 3. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) seobtiene la segunda ecuación con tres incógnitas:

(7)( ) ( )2 2 21 3h k r− + − − =

Para el punto R se tiene que x = - 7 y y = 1. Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) seobtiene la tercera ecuación con tres incógnitas:

(8)( ) ( )2 2 27 1h k r− − + − =

Juntando las tres ecuaciones y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitasque resultó:

(6)( ) ( )2 2 22 4h k r− + − =

(7)( ) ( )2 2 21 3h k r− + − − =

(8)( ) ( )2 2 27 1h k r− − + − =

Como todas están igualadas a r 2 , significa que todos los lados izquierdos son iguales entre

sí. De manera que igualando la ecuación (6) con la (7) y luego la (6) con la (8), se reduce elsistema a dos ecuaciones con dos incógnitas.

Igualando entonces la ecuación (6) con la (7) :

(2 - h)2 + (4 - k)2 = (1 - h)2 + (- 3 - k)2

desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdoy eliminando términos semejantes, se obtiene que:

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 1 - 2h + h2 + 9 + 6k + k2

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 1 + 2h - h2 - 9 - 6k - k2 = 0

- 2h - 14k + 10 = 0 (9)

Igualando ahora la ecuación (6) con la (8) :

(2 - h)2 + (4 - k)2 = (- 7 - h)2 + (1 - k)2

desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los términos en el lado izquierdoy eliminando términos semejantes:

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 49 + 14h + h2 + 1 - 2k + k2

4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 - 49 - 14h - h2 - 1 + 2k - k2 = 0


- 18h - 6k - 30 = 0 (10)

Juntando la ecuación (9) y la (10) se tiene ahora el siguiente nuevo sistema de dos ecuacio-nes con dos incógnitas:

- 2h - 14k + 10 = 0 (9)- 18h - 6k - 30 = 0 (10)

Resolviendo el sistema con la calculadora se llega a que

2h = −

1k =

sustituyendo estos valores en la ecuación (6) :

( ) ( )2 2 22 2 4 1 r− − + − =

( )2 2 22 2 3 r+ + = 16 + 9 = r

2

5r =

Teniendo ya los valores de las tres variables h , k y r , se reemplazan en la ecuación particu-lar (3.2) de la circunferencia (página 56), para obtener finalmente la ecuación de la circunfe-rencia pedida:

( ) ( )2 22 1 25x y+ + − =

Ejemplo 3: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 7) ; Q(6, - 7) y R(- 10, 5) . Hallar su ecuaciónempleando la tercera opción.

Solución: Se trazan las cuerdas RP y PQ uniendo los puntos conocidos (paso 1, figura 4.7). Sobre es-tas cuerdas se trazan las mediatrices (paso 2, figura 4.7) y su intersección es el centro de lacircunferencia buscada. finalmente, la distancia del centro a cualquiera de los puntos dadoses el radio de la circunferencia (paso 3, figura 4.7).


El procedimiento analítico es:

a) Calcular la pendiente de la cuerda RP:

1 2

1 2

y ym

x x−

=−

( )7 5

4 10RPm −=− −

2 114 7RPm = =

b) Obtener la pendiente de la mediatriz a RP. Por el resultado anterior, significa que la pen-diente de la mediatriz a RP, por la condición de perpendicularidad, es - 7 .

c) Calcular las coordenadas del punto medio s de la cuerda RP :

;1 2

2mx x

x+

= 1 2

2my y

y+

=

;4 10

2mx −= 7 52my +=

;6 3

2mx −= = − 12 62my = =

Paso 3: La distancia del punto de intersección de las mediatr ices con cualquiera de los puntos dados es el radio. .

Paso 1: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntosd a d o s . .

Paso : 2 Se trazan lasmediatrices a las cuerdasanteriores: El punto deintersección entre ellas esel centro de la circun-ferencia.

cuerdaR

P

Q

cuerda

RP

Q

mediatrizcentro

s

n

radio

RP

Q

s

n

figura 4.7


Las coordenadas de ese punto medio son: s(- 3, 6).

d) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a RP y su pendiente, suecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página41:

( )1 1y y m x x− = −

que en este caso se tienen los valores:

1 3x = −

1 6y =7m = −

sustituyendo valores:

( )6 7 3y x− = − − −

( )6 7 3y x− = − +

6 7 21y x− = − −7 21 6y x= − − +7 15y x= − −

(11)7 15 0x y+ + =

e) Se repiten todos los pasos anteriores ahora con la cuerda PQ. La pendiente de la cuerdaPQ es:

1 2

1 2

y ym

x x−

=−

( )7 74 6PQm− −

=−

14 72PQm = = −

−

f) Obtener la pendiente de la mediatriz a PQ. Por el resultado anterior, significa que la

pendiente de la mediatriz a PQ, por la condición de perpendicularidad, es .17

g) Calcular las coordenadas del punto medio n de la cuerda PQ :


;1 2

2mx x

x+

= 1 2

2my y

y+

=

;4 6

2mx += 7 72my −=

;10 52mx = = 0 0

2my = =

Las coordenadas de ese punto medio son: n(5, 0).

h) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a PQ y su pendiente, suecuación (de la mediatriz) es, utilizando la fórmula de punto y pendiente de la página41:

( )1 1y y m x x− = −

que en este caso se tienen los valores:

1

1

5coordenadas del punto medio .

0xy

= =

n

17

m =

sustituyendo valores:

( )10 57

y x− = −

7 5y x= −(12)7 5 0x y− − =

i) Obtener el punto de intersección de las dos mediatrices. Recordar que dicho punto seobtiene resolviendo por simultáneas las ecuaciones que se intersecan. En este caso elsistema de ecuaciones que debe resolverse es la (11) y (12), o sea

7 15 07 5 0

x yx y

+ + =− − =

Con la calculadora se llega a que

2x = −1y = −


de manera que las coordenadas del punto donde se cortan estas dos mediatrices son, que son las coordenadas del centro de la circunferencia.( )C 2 1,− −

j) Calcular el valor del radio, que es la distancia entre el centro y cualquiera de los puntosconocidos, por ejemplo P, utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos de la pági-na 23:

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

( ) ( )2 24 2 7 1r = − − + − −

( ) ( )2 24 2 7 1r = + + +

2 26 8r = +

36 64r = +

100 10r = =

k) Teniendo las coordenadas del centro y el valor del radio, se sustituyen en la ecuaciónparticular de la circunferencia, para llegar a:

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 22 1 100x y+ + + =

Ejemplo 4: Las coordenadas de un rombo son P(- 5, 2); Q(3, 8), R(11, 2) y S(3, - 4). Hallar la ecuaciónde la circunferencia inscrita a dicho rombo.

Solución: La figura 4.8 muestra gráficamente lo que pideel enunciado de este problema. Para que la cir-cunferencia sea inscrita al rombo debe tocar enun solo punto a cada uno de sus lados, es decir,cada lado del rombo es tangente a la circunfe-rencia.

Por lo tanto, la clave para solucionar este proble-ma será recordar la propiedad 1 de la circunfe-rencia vista en la página 9: Toda tangente a unacircunferencia es perpendicular al radio trazadodesde el punto de tangencia.

P

Q

R

S

C

F

figura 4.8


En la figura 4.8, el punto C representa el centro de la circunferencia (que lo es también delrombo) y el punto F representa el punto de tangencia entre la circunferencia y el lado RS,por lo que el radio CF y el lado RS son perpendiculares.

En este caso, las coordenadas del centro C se pueden deducir a simple vista, lo cual es válidoya que se tiene la seguridad de que los puntos P y R están a la misma altura horizontal mien-tras que los puntos Q y S están alineados verticalmente. Por lo tanto, las coordenadas delcentro son . De tal manera que para encontrar la ecuación de la circunferencia ya( )C 3 2,solamente hace falta saber la medida del radio y para poder calcular la medida del radio hacefalta conocer las coordenadas del punto de tangencia F. Todo el proceso siguiente estará en-caminado a obtener dicha medida.

Cuando un problema como el actual requiere de más de dos cálculos previos para llegar alresultado pedido, es común que al estudiante novato se le dificulte encontrar la secuenciaque debe seguir. Entonces el manejo de un cuadro de procedimiento resulta una herramientamuy eficaz.

Para elaborar y manejar un cuadro de procedimiento se forma una tabla con cuatro columnasencabezadas con los títulos: CALCULAR, DATOS, FÓRMULA y RESULTADO. En elprimer renglón de la tabla y en la columna correspondiente a CALCULAR se anota lo que sepide en el problema; en la columna DATOS se ponen los datos requeridos para el cálculoanterior; en la columna FÓRMULA se escribe la fórmula que debe emplearse y finalmenteen la columna RESULTADO se anota el resultado obtenido.

Para el problema de este ejemplo, el cuadro de procedimiento iniciaría así:

CALCULAR DATOS FÓRMULA RESULTADO

ecuación de lacircunferencia.

coordenadas delcentro (h, k) ylongitud r del

radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

A continuación, se analiza en la columna de DATOS cuáles ya se conocen y cuáles no. Esobvio que si ya se conocen todos, ya se puede utilizar la fórmula y ya se está en condicionesde llegar al resultado buscado. Pero si se desconoce alguno de los datos, significa que debecalcularse. Entonces se agrega un segundo renglón a la tabla en donde se anota en la colum-na CALCULAR ese dato desconocido en el renglón anterior y se llenan las demás columnascon lo que le corresponde.

Para el ejemplo presente, ya se conocen las coordenadas del centro que son , es de-( )C 3 2,

cir que y , mientras que se desconoce la magnitud del radio. Se analiza qué se3h = 2k =requiere para poder calcular tal magnitud y se llega a que conociendo las coordenadas delcentro de la circunferencia (ya se conocen) y las coordenadas del punto de tangencia, con lafórmula de distancia entre dos puntos se obtiene el valor del radio. Agregándolo a la tabla,queda de la siguiente manera:




coordenadasdel centro (h, k)y longitud r del

radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio

coordenadasdel centro (h, k)y coordenadasdel punto detangencia F.

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

Se repite el procedimiento: Al analizar la columna DATOS se ve que se desconocen lascoordenadas del punto de tangencia F, lo que indica que deben calcularse. Éstas se obtie-nen resolviendo por ecuaciones simultáneas la ecuación del radio CF con la ecuación dellado RS. Lo anterior se agrega en una nueva fila de la tabla:




radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

coordenadasdel punto detangencia F.

ecuación de RSy ecuación de

CF.Por ecuaciones simultáneas.

Repitiendo el procedimiento, analizando la columna DATOS se ve que se desconocen lasdos ecuaciones allí anotadas. Entonces deben agregarse una fila más para cada una:

(La tabla se inserta en la página siguiente para que no aparezca cortada)





radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −




ecuación deCF.

coordenadas deun punto por elque pasa y supendiente mr.

( )1 1y y m x x− = −

pendiente deCF.

pendiente deRS. 1

2

1mm

= −

ecuación deRS.

coordenadas dedos puntos por

los que pasa(ya se cono-

cen).

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

La ecuación de RS ya se puede calcular porque se tienen todos los datos. Esto quiere decirque el cuadro de procedimiento está concluido y que debe procederse a realizar los cálculosde abajo hacia arriba de la tabla. Comenzando con la ecuación de RS:

; o sea que ( )R 11 2, 1 111 2x ; y= =

; o sea que ( )S 3 4, − 2 23 4x ; y= = −

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

( ) ( )2 42 11

11 3y x

− −− = −

−

( )62 118

y x− = −


Nótese que la pendiente de RS es ( )32 114

y x− = − 34RSm =

( ) ( )4 2 3 11y x− = −

4 8 3 33y x− = −

ecuación de RS.3 4 25x y− =

A partir de la pendiente de RS que resultó , por la regla de perpendicularidad en-34RSm =

tre dos rectas, se deduce que la pendiente del radio CF es . Conociendo ya las43CFm = −

coordenadas de un punto por el que pasa el radio CF y su pendiente, se calcula su ecuación(ver tabla, renglón 4):

; o sea que ( )C 3 2, 1 13 ; 2x y= =

43CFm = −

( )1 1y y m x x− = −

( )42 33

y x− = − −

( ) ( )3 2 4 3y x− = − −

3 6 4 12y x− = − +

ecuación de CF.4 3 18x y+ =

Con este resultado se puede ya calcular lo establecido en el renglón 3 de la tabla, esto es,resolver por simultáneas las ecuaciones de RS y de CF, o sea el sistema

3 4 254 3 18

x yx y

− =+ =

que haciéndolo con la calculadora se llega a que

5 88x .=1 84y .= −

La tabla del cuadro de procedimiento en este momento debe estar llena así:





radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −




5 881 84

x .y .

== −

ecuación deCF.


( )1 1y y m x x− = − 4 3 18x y+ =

pendiente deCF.

pendiente deRS. 1

2

1mm

= − 43CFm = −

ecuación deRS.



cen).

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

3 4 25x y− =

Con esto se puede pasar al renglón 2 a calcular la longitud del radio con la fórmula de dis-tancia entre dos puntos, ya que se tiene que

, o sea que ( )C 3 2, 1 13 ; 2x y= =

, o sea que ( )F 5 88 ; 1 84. .− 2 25 88 ; 1 84x . y .= = −

( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + −

( ) ( ) 22CF 3 5 88 2 1 84. .= − + − −

( )2 2CF 2 88 3 84. .= − +

CF 8 2944 14 7456. .= +

CF 23 04.=


CF 4 8.=

La tabla del cuadro de procedimiento en este momento debe estar llena así:




radio.( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

radio


( ) ( )2 21 2 1 2d x x y y= − + − CF = 4.8




5 881 84

x .y .

== −

ecuación deCF.


( )1 1y y m x x− = − 4 3 18x y+ =

pendiente deCF.

pendiente deRS. 1

2

1mm

= − 43CFm = −

ecuación deRS.



cen).

( )1 21 1

1 2

y yy y x x

x x−

− = −−

3 4 25x y− =

Finalmente se tiene toda la información para proceder a efectuar el primer renglón de la tabladel cuadro de procedimiento. Teniendo las coordenadas del centro de la circunferencia

y la magnitud del radio , con la ecuación particular de la circunferencia se( )C 3 2, 4 8r .=llega a que

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 2 23 2 4 8x y .− + − =

( ) ( )2 23 2 23 04x y .− + − =


Este problema también se pudo haber resuelto calculando la longitud del radio por medio dela fórmula de distancia entre un punto y una recta.

Ejemplo 5: Calcular la ecuación de la circunferencia cuyo radio es , que además pasa por el pun-8r =to y que tiene su centro sobre la recta (ver figura 4.9).( )P 7 1, − 5 11 42 0x y− + =

Solución: Sabiendo las coordenadas del centro y la longi-tud del radio, con la ecuación particular se ob-tiene la ecuación de cualquier circunferencia.En este caso ya se sabe la longitud del radio,pero no las coordenadas del centro. Por lo tan-to, todos los cálculos deben enfocarse a encon-trar tales coordenadas.

Las coordenadas del centro de la circunferen-cia se representan por h y por k . Son dos in-cógnitas a encontrar y por lo tanto deben plan-tearse dos ecuaciones simultáneas que tengancomo incógnitas precisamente a h y a k .

Primera ecuación: Como la recta pasa por elcentro de la circunferencia, significa que enese punto C la x de la recta es la misma quela x del centro de la circunferencia (que es h ); y de manera semejante, la y de la recta es lamisma que la y del centro de la circunferencia (que es k ). Por lo tanto, la ecuación de larecta se convierte en el centro C de la circunferencia en 5 11 42 0x y− + =

(1)5 11 42 0h k− + =

Segunda ecuación: La ecuación particular de la circunferencia, recordando que el radio es

, es . Como en el punto P que pertenece a la misma circun-8r = ( ) ( )2 2 64x h y k− + − =

ferencia, allí y , entonces la ecuación particular se convierte en7x = 1y = −

(2)( ) ( )2 27 1 64h k− + − − =

De manera que el sistema de ecuaciones que debe resolverse es [juntando la ecuación (1)con la ecuación (2)]:

(1)5 11 42 0h k− + =

(2)( ) ( )2 27 1 64h k− + − − =

Cuando se tienen sistemas de ecuaciones como éste, muchas veces el método más prácticoes el de sustitución, que consiste en despejar una de las incógnitas en una de las dos ecuacio-

P(7, - 1)

C

5x - 11y + 42 = 0

figura 4.9


nes (en la que se vea más fácil de hacerlo) y sustituirla en la otra. En este caso, es más fácildespejar la h de la ecuación (1). Haciéndolo resulta:

5 11 42 0h k− + =5 11 42 11 42 0 11 42h k k k− + + − = + −

5 11 42h k= −

5 11 425 5h k −=

11 425

kh −=

Este valor se sustituye en la ecuación (2), de lo que se obtiene:

( )2

211 427 1 645

k k− − + − − =

Sacando común denominador en el primer paréntesis:

( )2

235 11 42 1 645k k− + + − − =

( )2

277 11 1 645

k k− + − − =

Elevando al cuadrado ambos paréntesis:

225929 1694 121 1 2 64

25k k k k− + + + + =

Recordar que es falso que el “pase” al otro lado su-11k−

mando. Lo que realmente sehace para eliminarlo del ladoizquierdo es sumar en amboslados de la igualdad . Lo11k+mismo puede decirse del .42+

Ahora, para eliminar el 5 quemultiplica a la incógnita h de-ben dividirse ambos lados de laigualdad entre 5:


Multiplicando toda la igualdad por 25 para quitar el denominador:

2 25929 1694 121 25 50 25 1600k k k k− + + + + =

Reduciendo términos semejantes e igualando a cero:

2146 1644 4354 0k k− + =

De donde se obtiene, revolviendo con la calculadora, que

1

2

74 26

kk .

==

Como hay dos valores de k, debe haber dos valores de h que correspondan a los primeros.Éstos se obtienen simplemente sustituyendo en la ecuación (1):

(1)5 11 42 0h k− + =

Para k = 7:

( )5 11 7 42 0h − + =

5 35 0h − =5 35h =

353

h =

7h =

Para k = 4.26:

( )5 11 4 26 42 0h .− + =

5 4 86 0h .− =5 4 86h .=

4 865.h =

0 972h .=

Significa que en realidad existen dos circunferencias que cumplen con las condiciones delenunciado: Tener radio , que pasan por el punto y que además tienen su8r = ( )P 7 1, −

centro sobre la recta . Las coordenadas de los centros de estas dos cir-5 11 42 0x y− + =cunferencias son

y( )1 7 7C , ( )2 0 972 4 26C . ; .

Por lo tanto, las ecuaciones de estas dos circunferencias son:


Para y :( )1C 7 7, 8r =

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 27 7 64x y− + − =

Para y :( )2C 0 972 4 26. ; . 8r =

( ) ( )2 2 2x h y k r− + − =

( ) ( )2 20 972 4 26 64x . y .− + − =

La figura 4.10 muestra estas dos circunferencias que cumplen con las condiciones del enun-ciado de este problema de tener su centro sobre la recta y además pasar por el punto

.( )P 7 1, −

CASOS ESPECIALES

1) Si , la gráfica es un punto.0r =

Por ejemplo, . 2 2 4 6 13 0x y x y+ + − + =

C1

C2

P(7, - 1)

rr

figura 4.10


Pasándola a la forma particular se obtiene .( ) ( )2 22 3 0x y+ + − =

2) Si , no existe gráfica.0r <

Por ejemplo, .2 2 2 6 14 0x y x y+ − − + =

Pasándola a la forma particular se obtiene . ( ) ( )2 21 3 4x y− + − = −

EJERCICIO 7

1) Una circunferencia pasa por los puntos P(7, 16) ; Q(- 11, 4) y R(- 10, - 1). Por cualquiera de los tres métodosexplicados, encontrar su ecuación.

2) Una circunferencia pasa por los puntos P(11, 7) ; Q(4, - 10) y R(- 6, - 10). Por cualquiera de los tres métodosexplicados, encontrar su ecuación.

3) Una circunferencia pasa por los puntos P(10, - 12) ; Q(- 14, 0) y R(- 11, 9). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados, encontrar su ecuación.

4) Una circunferencia pasa por los puntos P(- 3, - 8) ; Q(- 2, - 1) y R(- 9, 0). Por cualquiera de los tres métodosexplicados, encontrar su ecuación.

5) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ;( )P 7, 8

y . Hallar las coordenadas del centro( )Q 5, - 6 ( )R - 11, 2de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Sugerencia:Ver propiedades de los triángulos, página 6.

6) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son:; y . Hallar las coorde-( )P 5, 12 ( )Q 5, - 12 ( )R -13, 0

nadas del centro de la circunferencia circunscrita a dicho trián-gulo. Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6.

7) L a e c u a c i ó n d e u n a c i r c u n f e r e n c i a

es . Hallar la ecuación de la recta tan-( ) ( )2 2x - 2 + y - 6 = 25

gente a dicha circunferencia en el punto . Ver figura( )P 5, 24.11.

P(5, 2)

C

figura 4.11


8) La ecuación de una circunferencia es x2 + (y + 2)2 = 100. Encontrarla ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferencia en elpunto P(- 8, 4).

9) La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 - 4x - 12y + 15 = 0 .Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferen-cia en el punto P(- 2, 9).

10) La ecuación de una circunferencia es .2 2x + y - 2x - 168 = 0Calcular la ecuación de la recta que es tangente a dicha circunferen-cia en el punto .( )P 11, -5

11) Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia sonlos puntos y . Hallar la ecuación de( )P -12, 14 ( )Q 6, -10dicha circunferencia (ver figura 4.12).

12) Los extremos de uno de sus diámetros de una circunferencia sonlos puntos y . Hallar la ecuación de( )P -8, 11 ( )Q -2, -3dicha circunferencia.

13) Las coordenadas de los tres vértices de un triángulo son:; y . Hallar la ecuación de la( )P 2, 5 ( )Q -12, 7 ( )R -3, -5

circunferencia que tiene su centro en el vértice P y es tangente allado QR (ver figura 4.13).

14) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ;( )P 4, 0

y . Hallar la ecuación de la circunferen-( )Q -3, 17 ( )R -13, -7

cia que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado .QR

15) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el ejeY y pasa por los puntos y . Ver figura( )P 9, -9 ( )Q 12, 124.14.

16) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje

X y pasa por los puntos y .( )P 0, 3 ( )Q 7, -4

17) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto y que es tangente a la recta en( )Q 9, -5 5x + 12y + 184 = 0

el punto P(- 8, - 12) (ver figura 4.15).

18) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto y que es tangente a la recta en el( )Q 2, 7 4x - 3y + 38 = 0

punto P(- 5, 6).

P(-12, 14)

Q(6, -10)

figura 4.12

Q(-12, 7)P(2, 5)

R(-3, -5)

figura 4.13

C

P(9, -9)

Q(12, 12)

figura 4.14

Q(9, -5)P(-8, -12)5x + 12y + 184 = 0

figura 4.15


19) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente alas rectas y y tie-3x - 4y + 61 = 0 3x + 4y - 31 = 0ne por radio r = 10, (ver figura 4.16).

20) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente alas dos rectas y y3x - 4y - 18 = 0 3x + 4y + 24 = 0cuyo radio es r = 5.

21) Comprobar que la circunferencia cuya ecuación es es tangente exterior con2 2x + y + 18x - 6y + 65 = 0

la circunferencia de ecuación .2 2x + y - 30y + 125 = 0Ver figura 4.17.

22) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio esy que es tangente interior en el puntor = 25

a otra circunferencia cuya ecuación es( )P -57, 29

. Ver figura 4.18.( ) ( )2 2x - 3 + y - 4 = 4225

23) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son, y . Hallar la ecuación( )P -2, - 2 ( )Q - 5, 2 ( )R 4, 6

de la circunferencia que tiene por diámetro al lado AC.

24) En el triángulo del problema anterior, hallar la ecuación dela circunferencia que tiene por diámetro a la mediana allado AC.

3x - 4y +

61 = 0 3x + 4y - 31 = 0

r = 10

figura 4.16

figura 4.17

P(-57, 29)r = 25

r = 65

C(3, 4)

figura 4.18

4 la circunferencia - … · instituto valladolid preparatoria página 55 4.1 introducciÓn aunque...

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