Tema: Probabilidad

4. CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Probabilidad de la unión de sucesos

E

A

BA ∩ B

A ∩ B A ∩ B

p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B)

p(B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B)

p (A ∪ B) = p(A) + p(B) – p (A ∩ B)

Para 3 sucesos:p (A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + p (C) – p (A ∩ B) – p (A ∩ C) – p (B ∩ C) + p (A ∩ B ∩ C)

Ejemplo

Probabilidad condicionada

E

•2 •6•4

•1

•5•3

B

Ejemplo: Se lanza un dado cúbico y sale un número par. ¿Qué probabilidad hay de que el número obtenido sea mayor que tres?

AA|B = “mayor que 3 condicionado a que salió par”

P(A ∩ B)P(A|B) = =

2

3 P(B)

B = «Obtener número par» = {2, 4, 6}

A = «Obtener número mayor que 3» = {4, 5, 6}

A veces, tener información sobre un suceso cambia su probabilidad.Es lo que llamaremos una probabilidad condicionada

Si sabemos que es número par, el espacio muestral ha cambiado; ya no es E sino B

P (A) = 3/6 P (B) = 3/6 P(A ∩ B) = 2/6

A ∩ B = {4 , 6}

Probabilidad condicionada

Sea B tal que P(B) ≠ 0. Para cualquier suceso A se define la probabilidad de A condicionada por B, como: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

apuntes – La probabilidad condicionada se puede calcular por dos caminos:

d) Considerando el nuevo espacio muestral que surge a partir de la información conocida.

f) Aplicando la fórmula anterior.

Ejemplo con tablas de contingencia (libro)

De forma análoga: P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)

Regla de la multiplicación

P(A ∩ B)Partiendo de P(A / B) =

P(B)se llega a P(A ∩ B) = P(B) ·P(A / B)

Esta última relación recibe el nombre de regla de la multiplicación.

Ejemplo: El 35% de las personas que viajan entre dos ciudades lo hace con cierta compañía cuyos vuelos llegan con retraso el 5% de las veces. ¿Qué probabilidad hay de que una persona elija dicha aerolínea y llegue con retraso?

Sea A = «llega con retraso»

Sea B = «viaja con esa compañía»

P(A ∩ B) = P(B) · P(A / B) = 0,35 · 0,05 = 0,0175

Como A ∩ B = { (3, 6), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (6, 4), (6, 6)} → P(A ∩ B) = 1/6

Dependencia e independencia de sucesos

• Dos sucesos son independientes si la aparición de uno de ellos no cambia la

probabilidad de que ocurra el otro.

• En términos matemáticos: A y B son independientes si P(A / B) = P(A).

• O también: A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A / B) . P(B) = P(A) . P(B)

• Cuando dos sucesos no son independientes se dice que son dependientes.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado dos veces seguidas. Sucesos: A = «en el segundo lanzamiento sale par» y B = «la suma es al menos 9»

E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6). (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

B = {(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}

P(A) = 1/2 P(B) = 5/18

Los sucesos A y B son dependientes ya que P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)

Experimentos compuestos

• Los experimentos formados por varios experimentos simples se llaman experimentos compuestos.

• Dados dos experimentos simples de espacios muestrales E y E', el espacio muestral del experimento compuesto obtenido por la realización simultánea de ambos es el producto cartesiano E x E'.

• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar un dado”: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda”: E' = {C, X}• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda y un dado a la vez”:

E" = {(C,1), (X,1), (C,2), (X,2), (C,3), (X,3), (C,4), (X,4), (C,5), (X,5), (C,6), (X,6)}

C

X

123456123456

Podemos obtener este espacio muestral mediante un diagrama en árbol.

(C,1)(C,2)(C,3)(C,4)(C,5)(C,6)(X,1)(X,2)(X,3)(X,4)(X,5)(X,6)

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

• Si A y B son independientes p(A∩B) = p(A) . p(B).

Ejemplo:De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas devolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea blanca.

1B1R

3/8 5/8

2B 2R

Urna

2B

2R

3/8 5/8 3/8 5/8

p(primera bola blanca y segunda blanca) = p(1B∩2B) =

= p(1B) · p(2B/1B) = p(1B) · p(2B) = 3 3 9

8 8 64⋅ =

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

• Si A y B son dependientes p(A∩B) = p(B) · p(A/B) = p (A) · p(B/A)

Ejemplo:De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas no devolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea blanca.

1B1R

3/8 5/8

2B 2R

Urna

2B

2R

2/7 5/7 3/7 4/7

p(primera bola blanca y segunda blanca) = p(1B∩2B) =

= p(1B) · p (2B/1B) = 3 2 6

8 7 56⋅ =

Probabilidad de la intersección de sucesos

•Si los experimentos simples que dan lugar al experimento compuesto son independientes se verifica

P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An)

• Si los experimentos simples que dan lugar al experimento compuesto no son independientes se verifica:

P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) =P(A1) · P(A2 / A1 ) · … . P(An–1 / A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An–2) ·P(An / A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An–1)

Ejemplo: Una urna contiene cuatro bolas blancas, tres negras y cinco verdes. Se extraen sucesivamente y sin devolución tres bolas. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean blancas y la tercera sea negra.

Al extraer las bolas sin reemplazamiento los sucesos son dependientes.

P(B1 ∩ B2 ∩ N3 ) = P(B1) · P(B2 / B1) · P(N3 / B1 ∩ B2) = 4/12 · 3/11 · 3/10 = 3/110