3º bloque 3 guia de ejercicios

a) ¿En cuánto tiempo el agua alcanza una temperatura de 15 ºC? .... ____________________

b) ¿En cuánto tiempo el agua alcanza una temperatura de 0 ºC? ...... ____________________

c) Escriban la expresión algebraica que relaciona el tiempo transcurrido con la temperatura del

agua ___________________________________________________________________

Forma un equipo de trabajo con dos de tus compañeros, resuelvan los siguientes problemas con los datos que se indican a continuación.

Comenta con tus compañeros de equipo y de grupo los resultados obtenidos.

La máquina del ferrocarril del CHIHUAHUA AL PACÍFICO, tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 10 000 litros. Al viajar, cada hora consume 150 litros de combustible.

Con la información que se encuentra en la tabla, anoten los datos que faltan:

a) ¿Cuánto combustible quedará después de 12 horas? ................................. ________________

b) ¿Cuántas horas deben de transcurrir para que se agote el combustible?.... ________________

c) Escriban la expresión algebraica que relaciona la cantidad de combustible en el tanque, en función de las horas transcurridas............................................................... ________________

Un litro de agua a una temperatura de 80 ºC, se pone a congelar en un refrigerador que está a 0 ºC. En el proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 40 % por cada minuto que transcurre.

RELACIONES FUNCIONALES

Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales84

Minutos transcurridos 0 1 2 3 4 5 8 10 13 16

Temperatura del agua 17.25º 0.48º

3.1Reconocer en diferentes

situaciones y fenómenos de la física, la biología, la

economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades

que varían una función de la otra y representan la regla que modela esta variación mediante una tabla o una

expresión algebraica.

BLO

QU

E 3

Horas transcurridas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Litros de combustibleen el tanque 9 850 9 550 8 650

Se tiene un recipiente con agua a 20 ºC (temperatura ambiente). El agua se calienta, de tal manera que su temperatura aumenta 6 ºC por minuto. De acuerdo con esta información, completa la siguiente tabla

a) Si el calentamiento continúa de la misma forma, ¿cuál será su temperatura a los 15 minutos?

b) ¿Cuál será su temperatura a los 18 minutos?

c) Si el agua hierve a los 100 ºC, ¿después de cuántos minutos empezará a hervir el agua?

d) ¿En qué minuto está el agua a 60 ºC?

e) Escriban la expresión algebraica que relaciona el tiempo transcurrido con la temperatura del agua.


Tiempo Temperatura (minutos) ( ºC)-

0 20-

1-

2-

3-

4-

5-

6-

7-

8-

9-

10

BLO

QU

E 3

De acuerdo a la información obtenida, completen la siguiente tabla:

Durante el simulacro de una maniobra militar, un avión de combate suelta una bomba desde una altura de 1103.6 metros.

Algunos datos que se registraron fueron los siguientes:

a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo la bomba?................................... _________________

b) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite calcular la distancia de caída "d" en

tiempo transcurrido "t".............................................................................. _________________

c) Expliquen la respuesta entre sus compañeros de equipo; enseguida, con los compañeros del grupo comparen las respuestas.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

d = 8.9t² d = 5 + t² d = d = 79.21 t d = 8.9 t9.8 t² 2


Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4

Distancia de caída del avión (m) 0 4.9 19.6 44.1 78.4

Tiempo segundos 0 2 3 5 9 10 11

Distancia de caída (al avión) 0 19.6

Altura a la que se encuentrala bomba del suelo (m) 1 103.6

BLO

QU

E 3

Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla; como se ilustra en las imágenes siguientes.

De acuerdo a la información obtenida, completen la siguiente tabla anotando los datos que faltan.

a) Escriba la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas.

b) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe de colocar el proyector de manera que el área de la imagen sea de 625 m²

c) En una pantalla gigante con medidas de 10 m de largo por 6 m de ancho, se realiza una proyección abarcando sólo 36 m² del área total, ¿desde qué distancia se está realizando la proyección?

Algunos datos que se registraron fueron los siguientes:


Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1 2 3

Área de la imagen en m ² 5 20 45

Distancia entre el proyector y la pantalla 1 2.5 3.5 4.5 5 6

Área de la imagen en m ² 5

BLO

QU

E 3

1 m2 m

3 m

3 m 2 m 1 m

Generalmente, en la expresión algebraica de una función está en la forma y = f(x)

donde la variable dependiente está despejada; por lo cual el grado de dicha función

estará indicado por el máximo exponente que tenga la variable independiente.


a) ¿Cuál será la distancia recorrida a los 18 minutos de vuelo? __________________________

b) ¿Cuál será la distancia recorrida a los 20 horas de vuelo? __________________________

El piloto Steve Fossett, de 60 años de edad, partió del aeropuerto de Salina, Kansas, en Estados Unidos, con el fin de realizar una travesía en su nuevo avión experimental. El viaje duró 67 horas, 2 minutos y 38 segundos, y recorrió 36 874 kilómetros. Lo más sorprendente de tal hazaña es que este hombre le dio la vuelta al mundo en su aeronave sin hacer una sola escala o recargar combustible y voló sobre Inglaterra, el Mar Mediterráneo, África, Pakistán, China, Japón, el Océano Pacífico y el éste de la Unión Americana. Al final de su recorrido logró aterrizar en la misma pista que lo vio partir.

¿Cuál es la velocidad promedio de vuelo, que hizo en su viaje? ___________________

De acuerdo a la información obtenida, completen la siguiente tabla:

Tiempo en Hrs. Distancia en Kmsrecorridos

0-

1-

2-

3-

4-

5 2 724.68-

6-

7-

8-

9-

10

BLO

QU

E 3

Ahora nos corresponde analizar la resolución de las ecuaciones de SEGUNDO GRADO o CUADRÁTICAS de distintas características, utilizando la FÓRMULA GENERAL.

Para comenzar el tema, lo primero que haremos es resolver problemas numéricos y representárlos algebraicamente.

ENUNCIADO 1:

"Un número que multiplicado por sí mismo dé como resultado 121", ¿cuál es? ..... ________

Puedes representar el número desconocido de este problema con cualquier letra.

Representa algebraicamente el problema: _____ x _____ = _____

Aplica las propiedades de potencia: _____ = _____

ENUNCIADO 2:

"¿Cuál es el número que multiplicado por sí mismo y disminuido en dos veces él mismo se obtenga como resultado cero (0)?"...................................................... ____________________

Puedes representar al número desconocido de este problema con cualquier letra.

Representa algebraicamente el problema: _____ - _____ = _____

ENUNCIADO 3:

"¿Existe algún número que multiplicado por sí mismo y aumentado en diez veces el mismo número dé como resultado 25?" ................................................................ ____________________

Puedes representar al número desconocido de este problema con cualquier letra.

Representa algebraicamente el problema: _____ + _____ = _____

Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:

1.- El cuadrado de un número sea igual a dicho número más 15............. ____________________

2.- El producto del número y el número menos 3, sea igual a 28............. ____________________

3.- El largo de un rectángulo es triple del ancho y su Área es 45 m ²........ ____________________

4.- Su cuadrado menos el doble del número sea 48................................ ____________________

3.2Utilizar

ecuaciones cuadráticas para

modelar situaciones y resolverlas usando la

fórmula general.


ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS

BLO

QU

E 3

1 x 1 = 111 x 11 = 121

111 x 111 = 123211111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

Para identificar las ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO, que son las que en este caso nos corresponde su estudio, recuerda que:

Así por ejemplo:

3 x + 8 = 1 Es una expresión de primer grado ( x )

8 y ² + y - 8 = 0 Es una expresión de segundo grado ( y ² )

¿De qué grado son las siguientes expresiones?

4v ³ - 5 v ² + 8 = 7 Es una expresión de ________________ ( )

7 r ² - 3 r + r = 5 Es una expresión de ________________ ( )

Con base en lo anterior, podemos identificar que las siguientes son ejemplos de:

Ahora, si observas las siguientes ecuaciones, puedes contestar la pregunta que enseguida se te hace:

8 x ² + 3 x - 54 = 0 5 x ² - 3 x = 0

¿En qué son diferentes las dos ecuaciones anteriores?

__________________________________________________________________________

Organizados en parejas, encuentren las ecuaciones que expresan los siguientes problemas y resuélvanlos.

1.- Encuentren dos números enteros consecutivos tales que su producto sea 462.

Primer número: _________

Segundo número: ________

Ecuación: _____________

2.- Si el ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que la mitad del largo y su área es de 48 m², ¿cuáles son sus dimensiones? Asignar los valores del rectángulo

Altura = __________

Base = __________

Área = __________


A = 48 m ²

El grado de una ecuación algebraica lo determinael mayor exponente que ésta tenga.

020x613x3x409x5x

x36x7x6

2

2

2

2

=−=+=−−

+=−SEGUNDO GRADO, porque el mayor exponente

de la incógnita es 2.

BLO

QU

E 3


BLO

QU

E 3

Escribe la palabra SÍ o NO según sean ecuaciones de segundo grado.

1) 3x ² - 7x ³ + 2 = 0 ________ 2) 7x ² + 26x = 8 ________

3) 7x + 3y ² = 997 ________ 4) 21 - 6x + 8x ² = 0 ________

5) 6x + 1 = 2x ² + 3 ________ 6) x ² + 10 - 5x = 0 ________

7) 3x ² y ³ - 5x + y = 1 ________ 8) ( x - 9 ) ² = 5x ________

9) 2x + 2y = 2 ________ 10) + y = 5 ________

11) a ² - b ² = 7 ________ 12) m - 2n + 6 = 2 ² ________

13) x ³ + y ³ = 1 ________ 14) 2 v ³ - 5 v ² + 9 = 2 ________

15) 6 + 8 z - z ² = 4 ________ 16) 9n ² - 25 = 3 n ________

5y

3x 2−

Analicemos la primera ecuación: 8x ² + 3x - 54 = 0

Está formada por tres términos que son: 8x ² , + 3x y - 54

Un término donde la incógnita tiene exponente 2, otro donde la incógnita tiene exponente 1 y un término independiente que no tiene incógnita.

Decimos entonces que 8x ² + 3x - 54 = 0 es una ECUACIÓN COMPLETA.

Ahora analicemos la siguiente ecuación: 5x ² - 3x = 0

Está formada por dos términos: 5x ² y - 3x Un término donde la INCÓGNITA tiene exponente 2. Un término donde la INCÓGNITA tiene exponente 1. NO tiene término INDEPENDIENTE.

Decimos que 5x ² - 3x = 0 es una ECUACIÓN INCOMPLETA

porque no tiene término independiente.

Ahora observa la siguiente ecuación y contesta: 12x ² - 36 = 0

¿Cuántos términos tiene la ecuación? ............................. _______________________________

¿Cuál término falta en la ecuación? ................................. _______________________________

¿La ecuación se clasifica en completa o incompleta? ...... _______________________________

Por lo tanto:

Una ecuación es INCOMPLETA cuando no tiene término independiente o término en "x" (de primer grado).

320


Escribe a la derecha de cada ecuación de SEGUNDO GRADO, la palabra COMPLETA o INCOMPLETA, según corresponda.

1) 25 x ² - 625 = 0 ____________ 2) 5 x ² + 4 x +2 = 0 ____________

3) 9x + 24 x + 16 = 0 ____________ 4) 49 x ² - = 0 ____________

5) 25 - 10 x + x ² = 0 ____________ 6) 81 x ² -126 x + 49 = 0 ____________

7) 3 x ² - 75 = 0 ____________ 8) ( 5 x ² + 3 ) ² = 0 ____________

9) 4 a ² + 8 a b + b = 6 ____________ 10) 9 x ² = 81 ____________

11) ( a + b )( a + c ) = 0 ____________ 12) ( m + 2 n )( m - 2 n ) = 0 ____________

13) ( x + 3 ) ² - 5 = 4 ____________ 14) ( y - 4 ) ( y + 5 ) = 6 ____________

15) 7 u - 8 + 4 u ² = 3 u ____________ 16) w ² - ( a + b ) w = a b ____________

17) k ³ - 5 k ² + 3 k = 7 ____________ 18) q - q ² + 5 q ³ = 5 q ³ ____________

19) 45 n ² - 56 = 5x ____________ 20) 21 + 5 x = 4 x ² - 8 ____________

En las siguientes ecuaciones de segundo grado que se te presentan en forma desordenada, ordénalas en forma descendente y escríbelas en las líneas de la derecha.

42 x + 30 + 3x ² = 0 .............................. _______________________________

35 x - 4 - 4x ² = 0 .............................. _______________________________

12 - 4x - 9x ² = 0 .............................. _______________________________

x ² + 11 = 10x .............................. _______________________________

12 - 7x ² + 64 x = 0 .............................. _______________________________

Sólo que no todos los números tienen raíz cuadrada exacta. Al extraer de una cantidad cualquiera, su raíz cuadrada, obtendremos los siguientes tipos de números:

RACIONALES. Son enteros o decimales, resultado exacto de una raíz cuadrada, ejemplo:

749 ±= 321024 ±=119

12181

±=

Recuerda que al extraer raíz cuadrada a un número tenemos que :

Porque: ( + 4 )( + 4 ) = +16 ( - 4 )( - 4 ) = +16

EN LA MULTIPLICACIÓN Porque: ( + 6 )( + 6 ) = + 36 ( + ) ( + ) = +

( - 6 )( - 6 ) = + 36 ( - ) ( - ) = +

Porque: ( + 25 )( + 25 ) = + 625 ( + ) ( - ) = - ( - 25 )( - 25 ) = + 625 ( - ) ( + ) = -

Toda RAÍZ CUADRADA tiene un resultado positivo y uno negativo.

416 ±=

636 ±=

25625 ±=

BLO

QU

E 3

DEFINICIÓN: Racional, es todo número que puede ser

representado en la forma " " siendo b = 0ab

IRRACIONALES. Al extraer raíz cuadrada a un número y ésta no sea exacta, obtendremos el número irracional, ejemplo:

IMAGINARIOS. Encontraremos a los que no es posible extraer su raíz cuadrada, por ejemplo, la raíz de cualquier número negativo:

_ 3 4- 4 - 10 -7.4


6811457478.75825756949.4

5921

±=6055512754.313 ±=5930204235.884.73 ±=

Cualquier ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO se puede expresar de la forma: ax² + bx + c = 0 siendo b = 0 y c = 0 Ecuación completaax² + bx = 0 siendo c = 0 Ecuación incompletaax² + c = 0 siendo b = 0 Ecuación incompleta

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA GENERALDespejamos la "x" de la ecuación ax² + bx + c = 0, para encontrar su solución.

DEFINICIÓN: Son números imaginarios porque no hay solución real; no existe algún número que al multiplicarse por sí mismo sea - 4 , - 10 , - 7. 4 ó - .3

4

BLO

QU

E 3

DEFINICIÓN: Son números irracionales todos aquellos que no tienen una raíz exacta.

1° Dividimos todo entre "a" ...........................................

2° Eliminamos el término restándolo en ámbos miembros:

3° Elevamos al cuadrado la mitad del coeficiente de "x"

4° Se suma en ambos miembros de la ecuación y se obtiene un T.C.P. en el 1° miembro, factorizamos

5° Obtenemos el binomio cuadrado en el 1° miembro y efectuamos la suma algebraica del 2° miembro

6° Sacamos raíz a ambos miembros ............................

7° Despejando la "x" .....................................................

8° Combinando las fracciones nos queda la fórmulaa2

ac4bbx

a2

ac4b

a2

bx

a4

ac4b

a2

bx

a4

bac4

a2

bx

a4

b

a

c

a4

bx

a

bx

a4

b

a2

b

a

b

2

1

a

c

a

0

a

c

a

cx

a

bx

a

0

a

cx

a

bx

a

a

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

222

2

2

−±−=

−±−=

−=+

+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−=++

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=−++

=++

a2

ac4bbx

a2

ac4b

a2

bx

a4

ac4b

a2

bx

a4

bac4

a2

bx

a4

b

a

c

a4

bx

a

bx

a4

b

a2

b

a

b

2

1

a

c

a

0

a

c

a

cx

a

bx

a

0

a

cx

a

bx

a

a

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

222

2

2

−±−=

−±−=

−=+

+−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−=++

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=−++

=++

c a

Contesta si las raíces de las siguientes cantidades corresponden, a números racionales, irracionales o imaginarios.

35 = _______________ 196 = _______________ 596 = _______________

- 0.9 = _______________ 0.25 = _______________ 625 = _______________

- 9 = _______________ 32.64 = _______________ 0.016 = _______________

ESPACIO PARA OPERACIONES.


FÓRMULA GENERAL

Encuentra los valores de a, b, y c de las siguientes ecuaciones y usando la fórmula general resuélvelas.

xb b ac

a=− ± −2 4

2

ax² bx c

Término de segundo Término de primer Términogrado o cuadrático grado o lineal independiente

Ecuación a b c soluciones-4x² + 12x + 8 = 0 x1 = ______, x2 = ______-3x² - 9x = 0 x1 = ______, x2 = ______-9x² + 6x = -10 x1 = ______, x2 = ______

BLO

QU

E 3

Los valores de a, b y c que aparecen en la fórmula general, los tomamos de la ecuación cuadrática así: 3x ² - 7x + 2 = 0

a = 3 b = - 7 c = 2 a b c

sólo consideramos los coeficientes y los sustituimos en la fórmula general:

comprobación: Sustituimos los valores en la ecuación

3 x ² - 7 x + 2 = 0 x 1 = 2 3 ( 2 ) ² - 7 ( 2 ) + 2 = 0 3 ( 4 ) - 14 + 2 = 0

12 - 14 + 2 = 0 0 = 0

31

62

657x2

612

657x

657x

6257x

624497x

)3(2)2)(3(4)7()7(

x

21

2

==−

===+

=

±=

±=

−±=

−−±−−=

036

37

31

036

37

93

036

37

913

02317

313

31x

2

2

=+−

=+−

=+−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

En las siguientes ecuaciones encuentra los valores de a, b, c y sustitúyelos en la fórmula general para resolver las ecuaciones.

3 x ² - 7 x - 6 = 0

a =b = x 1 =c = x 2 =

comprobación:

5 x ² + 6 x - 8 = 0

a =b = x 1 =c = x 2 =

comprobación:

8 x ² + 18 x + 9 = 0

a =b = x 1 =c = x 2 =

comprobación:

4 x ² + 10 = 26

a =b = x 1 =c = x 2 =

comprobación:

x ² - = 0

a =b = x 1 =c = x 2 =

comprobación:

( ) ( ) ( )( )( )

x =− ± −2 4

2

( ) ( ) ( )( )( )

x =− ± −2 4

2


( ) ( ) ( )( )( )

x =− ± −2 4

2

( ) ( ) ( )( )( )

x =− ± −2 4

2

( ) ( ) ( )( )( )

x =− ± −2 4

2

14

BLO

QU

E 3


Resuelve cada uno de los siguientes problemas.

1.- Encuentra dos números enteros pares, positivos y consecutivos, cuyo producto sea 168.

3.- Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1 800, encontrar esos dos números.

5.- La base de un triángulo es 3 cm más grande que la altura. El área del triángulo es 15 cm². Calcula la medida de la altura y de la base.

7.- Si al recíproco de un número, se le resta el número original, la diferencia es . Encuentra dicho número.

2.- Si al cuadrado de mi edad se resta 15 veces mi propia edad, se obtienen 100 años. ¿Cuál es mi edad?

4.- El largo de un rectángulo es 6 cm más grande que su ancho. El área del rectángulo es 112 cm ². Calcula la medida del largo y del ancho.

6.- "A" tiene 3 años más que "B" y el cuadrado de la edad de "A" aumentado en el cuadrado de la edad de "B" equivale a 317 años. Encontrar ámbas edades.

8.- La longitud de una sala - comedor, excede su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumenta en 4 m el área será el doble. Hallar las dimensiones de la sala.

83

BLO

QU

E 3

Toda ecuación de segundo grado puede ser resuelta a través de la FÓRMULA GENERAL.

La expresión que se encuentra dentro del radical en la fórmula es:

b ² - 4 a c

y lo llamaremos DISCRIMINANTE porque de su resultado, depende el valor de las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática.

EJEMPLO: Sólo resolveremos la expresión del discriminante "b ² - 4a c" en cada caso.

xb b ac

a=− ± −2 4

2

Si el resultado del discriminante es un número mayor que 0.La Ecuación tiene solución en los números reales (racionales o irracionales) y sus raíces son diferentes. (3, 7), (4, - 4)

Si el resultado del discriminante es un número menor que cero.La ecuación no tiene solución en los números reales (racionales o irracionales) por lo que sus raíces son números imaginarios.

Si el resultado del discriminante es igual a cero.La ecuación tiene solución en los números reales (racionales o irracionales) sólo que sus raíces son iguales. (3, 3), (- 2, - 2)

Ecuación

x ² + 6x + 9 = 0

discriminante: b² - 4 a c ( 6 ) ² - 4 ( 1 )( 9 ) 36 - 36 0

Ecuación

x ² - 3x + 4 = 0

discriminante: b² - 4 a c ( - 3 ) ² - 4 ( 1 )( 4 ) 9 - 16 - 7


DISCRIMINANTE b² - 4 a c

Ecuación

x ² - 3 x - 4 = 0

discriminante: b ² - 4 a c( - 3 ) ² - 4 ( 1 ) ( - 4 )

9 + 1 6 25

CONCLUSIÓN:

b ² - 4ac > 0 La Ecuación tiene raíces reales y diferentes.

b ² - 4ac = 0 La Ecuación tiene raíces reales e iguales.

b ² - 4ac < 0 La Ecuación NO tiene solución, sus raíces son números imaginarios.

BLO

QU

E 3

Utiliza el discriminante, para determinar la naturaleza de las raíces o soluciones, en las siguientes ecuaciones:

1) x ² + 2 x - 3 = 0 .......................................... _____________________________________

2) y ² - 14 y + 49 = 0 ..................................... _____________________________________

3) x ² + 6 x - 3 = 0 ........................................ _____________________________________

4) m ² - 2 m + 2 = 0 ...................................... _____________________________________

5) 3 r ² - 5 r + 4 = 0 ...................................... _____________________________________

6) w ² + 8 w + 16 = 0 .................................... _____________________________________

7) p ² + 2 p + 4 = 0 ........................................ _____________________________________

8) t ² - 2 t + 1 = 0 ......................................... _____________________________________

9) z ² + 6 z - 3 = 0 ........................................ _____________________________________

10) 3 c ² - 4 c + 5 = 0 ...................................... _____________________________________

Utilizando la fórmula general, resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x ² + 12x + 35 = 0 b) 2x ² + 6x = 6x ² - 8x

c) x ² - 3x + 2 = 0 d) 8x + 5 = 36x ²

e) 7x ² + 5x + 6 = 0 f) 5y ² - 8y + 12 = 0

g) 6a ² + 7a - 18 = 0 h) 3x ² + 4x - 4 = 0


BLO

QU

E 3

El filósofo y matemático griego Tales de Mileto, fue uno de los siete sabios más grandes en esos tiempos.El Teorema de Tales, llamado así en su memoria, es una parte fundamental en el estudio de la semejanza. A él se debe una de las numerosas aplicaciones que tiene la semejanza, que es la determinación de la distancia entre dos puntos inaccesibles entre sí; para ello, se dice que calculó la altura de una de las pirámides de Egipto, sin medirla directamente, basándose en la longitud de la sombra de su bastón.

BC = altura del bastónAB = sombra del bastón

QR PQBC AB

QR = altura de la pirámidePQ = sombra de la pirámide

Si el bastón de Tales tiene una longitud de 1.4 metros y la sombra que produce es de 3 metros, en el mismo momento que la Pirámide produce una sombra de 12 metros, encontrar la Altura de la Pirámide.

Teniendo en cuenta que: BC = altura del bastón AB = sombra del bastónQR = altura de la pirámide PQ = sombra de la pirámide

entonces:BC = 1.4 m AB = 3 m QR = Valor desconocido PQ = 12 m

Sustituyendo en la relación de Tales: x 12 ; (12)(1.4) ; x = 5.6 metros1.4 3 3

Por tanto, la pirámide medida por Tales tenía una altura de 5.6 metros.

Aplicando el proceso que siguió Tales de Mileto, encuentren lo que se solicite en cada caso trabajando en equipo y en base a la siguiente figura resuelvan lo que se

plantea.

Como la recta MN es paralela a AC, verifica (midiendo) que:

BM BN ; Si BM = 9, MA = 3.2 y NC = 3.8 BN = ______ MA NC

Forma, espacio y medida Formas geométricas99

SEMEJANZA

TEOREMA DE TALES

P

R

QA B

C

=

"Lo más sabio es el tiempo porque esclarece todo"

BLO

QU

E 3

3.3Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema

de Tales en diversos problemas geométricos.

A

CB

M

N

x ==

=


BLO

QU

E 3

Y

Z

X

L

M

N

¿Cuál es el valor de los cocientes de los segmentos que forman el triángulo XYZ? .............______

Observa que el cociente = 1 es lo mismo que decir razón = 1

El punto medio de cualquier segmento está en la razón r = 1

Cuando la razón es 1 (punto medio) significa que tenemos un segmento antes del punto de división y otro después que son iguales.

Un segmento cualquiera al ser dividido en tres partes iguales genera dos puntos de división.

Observa que al dividir un segmento cualquiera en tres o más partes iguales los puntos de división que se generan están en función de una razón.

La suma del numerador con el denominador de cualquiera de las razones de los puntos de división del segmento nos da el número de partes en las que se divide, r = 1/2 1 + 2 = 3

Cuando la razón de un punto de división de un segmento es r = 3/4 significa que el segmento esta dividido en ______ partes iguales.

Al dividir un segmento en n partes se forman n-1 razones.

Dividir un segmento en 7 partes iguales ¿cuántas razones se forman? ............................. _______

Dividir un segmento en 5 partes iguales ¿cuántas razones se forman? ............................. _______

Escribe las razones que faltan para encontrar los puntos de división que se necesitan para dividir el segmento EF en seis partes iguales.

Siguiendo el procedimiento del ejercicio anterior, encuentra las razones que dividan al segmento GL en cinco partes iguales.

r = 1

punto de división

E F

r = 2/4 r = 5/1

r = ____ r = ____ r = ____

G H I J K LPunto H r = ____ Punto J r = ____

Punto I r = ____ Punto K r = ____

puntos de división

r = 1/2 r = 2

= =

Localiza los puntos medios de los segmentos XY, YZ y ZX del triángulo XYZ Mide los segmentos LZ, LY, MX, MY, NZ y NX para obtener los cocientes que se te piden. LZ = ___, LY = ___, MX = ___, MY = ___, NZ = ___, NX = ______ ___ ___LZ MX NZ LY MY NX

=___ ___ ___

BLO

QU

E 3

"TEOREMA DE TALES"Los segmentos determinados por una serie de paralelas

cortadas por dos transversales son proporcionales.

Traza un segmento y sobre él marca los puntos O, A, B y C.

Traza un segmento OP que pase por O.

Trazar segmentos paralelos que corten la recta OP partiendo de A, B y C, señalamos los puntos A', B' y C' .


Si PQ = 2 cm; MO = 5 cm y PR = 4 cm, ¿qué valor tienen MN y NO?

MN = ______; NO = ______

≅≅

≅≅

:

||||: 431

e n ton c e s

O PN OM N

LLL||LS i 2

≅≅

≅≅

:

||||: 431

e n ton c e s

O PN OM N

LLL||LS i 2M

N

O

P

Q

R

S

T

L1

L2

L3

L4

MN

O

P Q R

L3

L2

L1

'''': CBBAentoncesBCABSi ≅≅ '''': CBBAentoncesBCABSi ≅≅

O A B C P

O A B C

PC'

L3A'

L1

B'

L2

O A B C

PQMN

PRMOó

PRMO

QRNO

:también

PRMO

PQMN

:entonces

L||L||Si 32

==

=

1L:

PQMN

PRMOó

PRMO

QRNO

:también

PRMO

PQMN

:entonces

L||L||Si 32

==

=

1L:

Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de "x".

De los cuatro triángulos formados en las rectas paralelas, existe un ángulo común a los cuatro,

¿cómo será su medida?.................................................................................. ______________

Si dentro de cualquier triángulo trazamos una paralela a cualquier lado, se forma otro semejante al primero.

Al hacer coincidir las transversales en un punto y trazarles paralelas que las corten, se forman triángulos semejantes.

7 cm

5 cm

ab c

x

2 cm


En las siguientes situaciones, las rectas: L1, L2, L3, son paralelas. Lean atentamente cada problema y determinen el valor de "x". Registren el desarrollo correspondiente en la misma hoja.

1.- En la figura: L1 || L2 || L3, entonces x = ______

A) 2.5B) 2.8 C) 10

5D) 7

3

1.5

54.5

L1

L2

L3

x

BLO

QU

E 3

C D

E

FG

H

I

J K M NL1 L2 L3 L4

Rectas transversales: CD y CE

Si : L1 || L2 || L3 || L4

Los triángulos que se forman son:

FCJ, GCK, HCM y ICN que son semejantes.

N

M

OP

Q

A

B CE

D

ABC es semejante al DEC MNO es semejante al MQP

5.- Según los datos dados, x = ______

A) 7.5 cmB) 5 cmC) 3 cmD) 4 cm

2.- Si L1 || L2, entonces x = ______

A) 16B) 14C) 15D) 18

3.- ¿Cuál es el área de la figura color verde? A = ______

A) 37B) 60C) 25D) 78

9

12

8

x

12 cm

9 cm

6 cm

4.- Si L1 || L2, entonces x = ______

A) 18B) 12C) 15D) 10

x + 8x + 5

x + 2xL1

L2

8 cm

x

6 cm

12 cm


Si las rectas "a" y "b" son paralelas, tomando en cuenta las medidas que se dan en el siguiente dibujo, ¿podemos asegurar que "c" es paralela a las rectas "a" y "b"? ¿En qué te basas?

EXPLICACIÓN:

___________________________________

___________________________________

___________________________________AB = 200 cm

AB

C

A'B'

C'

BC = 220 cm

A'B' = 280 cm

B'C' = 308 cm

ab

c

r

s

BLO

QU

E 3

En los lados ML , NL y MN de la siguiente figura se eligen los puntos medios.

En el dibujo del triángulo MNL, A, B y C son puntos medios de los lados ML, NL y MN respectivamente.

¿Cuál es el cociente de MA entre AL? ________________

¿Cuál es el cociente de BN y BL? ________________

¿Qué posición guarda la recta que pasa por los puntos A y B con respecto al lado MN?

________________________________________________

¿Cómo son el triángulo dado y el formado con los puntos medios?............... ________________ Considerando que el lado MN = 7 cm, el prímetro del triángulo MNL es ...................... _________________

Si la longitud de MA = 4.3 cm y BN = 3 cm, la longitud de AB = ................... ________________

Con el valor obtenido para la recta AB, el perímetro del triángulo ABL es ..... ________________

Dentro de los edificios más altos construídos en los últimos tiempos, se encuentran los abajo expuestos. Encuentra el cociente que hay entre ellos, analizándolos de dos en dos, teniendo en cuenta su altura.

¿Qué interpretación se le da a cada cociente obtenido?

____________________________________________

____________________________________________


BLO

QU

E 3

Taipei 101Taipei Taiwan

1670 ft.2004

Torres PetronasMalasia1483 ft.

1998

Torres SearsChicago1450 ft.

1974

Torre Jin MaoShanghai1381 ft.

1999

1700 ft.

1600 ft.

1400 ft.

1300 ft.

1500 ft.

I II III IV I II

III

IV I

II III

IV

I

IIIII

IV

III

III

IV

B

L

A

NM C

3.4Determinar los resultados de

una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor

que 1 ó que -1.Determinar las propiedades

que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una

figura.Comprobar que una

composición de homotecias con el mismo centro es igual al

producto de las razones.

HOMOTECIA

Forma, espacio y medida Transformaciones105

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

En alguna ocasión habrás proyectado sobre una pared la sombra que producen tus manos o cualquier objeto para formar figuras

Observa como se han formado estas figuras:Este evento nos ilustra para comprender qué es la HOMOTECIA

En este ejemplo, sin mover la pantalla, ni la lámpara:

¿Qué sucede si acercamos el objeto a la pantalla? ____________

¿Qué sucede si acercamos el objeto a la lámpara? ____________

La figura que se proyecta, ¿cambia de forma?......... ____________

La HOMOTECIA es la transformación de una figura en otra, a través de puntos alineados con otro fijo llamado centro de homotecia, y está en función de la razón geométrica de sus distancias.

La relación por cociente de las distancias que se forman entre el centro de homotecia y los vértices de las figuras homotéticas recibe el nombre de RAZÓN

Ejemplo: La figura XYZ la transformamos en otra X'Y'Z' con relación a un Centro de Homotecia .

Mide la distancia de C a X con regla o compás y esa misma distancia será la de X a X'Mide la distancia de C a Y con regla o compás y esa misma distancia será la de Y a Y'Haz lo mismo con el punto Z, y une los puntos X'Y'Z' .

Como los triángulos XYZ y X'Y'Z' son semejantes y las rectas que unen los puntos XX', YY' y ZZ' se unen en un punto C, decimos que son FIGURAS HOMOTÉTICAS.

Centro deHomotecia

C

X

Y

X'

Y'

Z

FH' = 10 cmFH = 5 cm razón = 2 FI' = 12.6 cmFI = 6.3 cm razón = 2

FG' = 11 cmFG = 5.5 cm razón = 2

__

2.6 cm

1.3 cm

3.6

cm

1.8

cm

3 cm 1.5 cm

G'

I'

H'

G

IH

F

11 cm

10 cm

5 cm

5.5 cm

BLO

QU

E 3


Traza figuras Homotéticas a las dadas en el punto que se indica:

LA HOMOTECIA es el producto de una reducción o ampliación a escala sobre las magnitudes lineales, el área y el volumen de una figura o sólido geométrico.

Llamaremos HOMOTECIA DIRECTA cuando las figuras se localizan al mismo lado del centro de Homotecia y el valor de la razón es positivo.

Centro deHomoteciaL

K

J

N

M

K'

R

A'Centro deHomotecia

A

B

C

D

Las figuras HOMOTÉTICAS son INVERSAS cuando las figuras se forman a distintos lados del centro de Homotecia y el valor de la razón es negativo.

Traza la figura homotética a la dada, en el punto que se indica.

Ahora veamos como la figura OPQR la transformamos en otra O'P'Q'R' con relación a un Centro de Homotecia .

Mide la distancia de O a X con regla o compás y esa misma distancia será la de X a O'.Mide la distancia de P a X con regla o compás y esa misma distancia será la de X a P'.Haz lo mismo con los puntos Q y R, y une los puntos O'P'Q'R' .

X

O

P

Q

R P'

O'

Centro deHomotecia

Centro deHomotecia

A

BC

B'

BLO

QU

E 3


La figura "B" es la original y se va a transformar en las figuras "A" y "C"

La figura "D" es la original y se va a transformar en las figuras "E" "F" y "G"

M

M'

M''

N

figura A figura B figura C

La razón que hay entre las figuras E y D es k = _____

La razón que hay entre las figuras F y D es k = _____

La razón que hay entre las figuras G y D es k = _____

Las FIGURAS HOMOTÉTICAS se pueden formar del mismo o de diferente lado del centro de homotecia.

Cuando se forman del mismo lado del centro de homotecia la razón es de signo ....... __________

Cuando se forman de diferente lado del centro de homotecia la razón es de signo ... __________

Como es el tamaño de la figura Homotética en relación con la original:

Cuando la razón es menor que 1 ...................................................... ________________________

Cuando la razón es mayor que 1 ...................................................... ________________________

Cuando la razón es 1 ó - 1 _________________________________________________________

La razón que hay entre las figuras B y A es k = _____

La razón que hay entre las figuras B y C es k = _____

Dada la figura original (B), queremos encontrar otra cuya razón sea 1. ¿Dónde estaría ubicada la figura?

______________________________________________

Si el centro de homotecia es el punto N y las distancias NM = 6 cm, NM' = 3 cm, NM'' = 10 cm, y k es la razón que hay entre dos figuras. Hallar:

CONSIDERA EL CENTRO DE HOMOTECIA COMO EL ORIGEN DE LA RECTA NUMÉRICA PARA ASIGNAR EL SIGNO POSITIVO O NEGATIVO A LA RAZÓN.

Si el centro de homotecia es el punto J y las distancias JH = 4 cm, JH' = 2 cm, JH'' = 4 cm, JH''' = 7 cm, y k es la razón que hay entre dos figuras. Hallar:

H'H''

H'''

H

J

figura figura figura figura D E F G

BLO

QU

E 3

¿Cuál es la razón OA' y OA? ______

¿Cuál es la razón OA'' y OA'? ______

¿Cuál es la razón OA'' y OA? ______

BLO

QU

E 3


La razón de las longitudes de las alturas .......................................... 9 a 6 3/2

La razón de las longitudes de las bases ........................................... _____ a _____ _______

La razón de las longitudes de las tapas ........................................... _____ a _____ _______

La razón de los perímetros de las caras frontales es ......................... 30 a 20 3/2

La razón de los perímetros de las caras superiores es ...................... _____ a _____ _______

La razón de los perímetros de las caras laterales es ......................... _____ a _____ _______

La razón de las áreas de las caras frontales es ................................. 54 a 24 9/4

La razón de las áreas de las caras superiores es .............................. _____ a _____ _______

La razón de las áreas de las caras laterales es ................................. _____ a _____ _______

La razón de sus volúmenes .............................................................. _____ a _____ _______

La razón entre los perímetros es igual de la razón de sus longitudes.

La razón entre las áreas es el cuadrado de la razón de sus longitudes.

La razón entre los volúmenes es el cubo de la razón de sus longitudes

En la siguiente composición de homotecias con un mismo centro. La figura 1 es la original, y las figuras 2 y 3 son las homotéticas

figura 3

Observa los resultados. ¿Consideras que existe alguna relación entre la razón de las figuras 3 y 1 y las razones entre las figuras 2 y 1, y 3 y 2?

El producto de las razones homotéticas de las figuras 2 a 1 por 3 a 2 es igual a la razón de homotecia de las figuras 3 a 1.

6

426

9

3

figura 1 figura 2

AA'

O

A''

53

4

Interpretar, construir y utilizar gráficas de

relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o

fenómenos.

3.5

En cualquier camino siempre se encuentran bajadas y subidas, las cuales tienen una pendiente. Si la ecuación y = 5 x + 1 representa una de esas pendientes, encontrar la gráfica.

En los juegos de las olimpiadas de invierno se construyó una pista para deslizamiento de trineo, una de las curvas pronunciadas atiende a la expresión matemática y = x² encuentre la gráfica que represente la forma de la curva construida.

OPERACIONES

¿Qué diferencia y semejanza tienen las gráficas? ______________________________________

______________________________________________________________________________

¿Qué relación encuentran entre las expresiones algebraicas y sus gráficas? _________________

______________________________________________________________________________

Forma un equipo con dos de tus compañeros para encontrar los datos faltantes en la tabulación y encuentren la gráfica.

OPERACIONES

y

x

6

5

4

9

8

7

3

2

1

GRÁFICAS

y = x²

x y

- 2

- 1

0

1

2

3

y = 5x + 1

x y

1

2

3 16

4

5

Manejo de la información Representación de la información109

- 2 - 1 1 2 3 4 5x

y

30

25

20

15

10

5

- 2 - 1 1 2 3 4 5

BLO

QU

E 3

Forma un equipo con dos de tus compañeros para encontrar los datos faltantes en la tabulación y construyan la gráfica.

¿Cuál es la aceleración de un avión si a los 5 segundos de su salida ha recorrido 3000 m?

¿Cuál de las siguientes representaciones gráficas corresponde a la distancia recorrida por un objeto que se arroja ? ______________________________________________

¿Qué diferencia tienen las gráficas? _______________________________________________

¿Cuál semejanza existe en las gráficas?_______________________________________________

RESULTADO = __________________

Tiempo en Distancia recorrida segundos en metros

0-

1-

2-

3-

4-

5 3,000-

6-

7-

8-

9-

10

TIEMPO

DISTANCIA

Gráfica 1

TIEMPO

DISTANCIA

Gráfica 2


2

2atd =

Para calcular la aceleración e n e l m o v i m i e n t o uniformemente acelerado, se utiliza la siguiente fórmula:

TIEMPO

y GRÁFICA

DISTANCIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

BLO

QU

E 3

Un automovil tiene una aceleración 8 m/s²

a) ¿Cuánto tiempo necesitará para que alcance una velocidad de 24 m/seg partiendo del reposo?.................................... _____________________ b) ¿Que distancia recorrerá durante ese tiempo?................................... _____________________

Forma un equipo con dos de tus compañeros para encontrar los datos faltantes en la tabulación y construyan la gráfica.

Es muy común que entre las jóvenes de la secundaria, se juegue a brincar la cuerda, ¿cuál sería la forma que adquiere dicha cuerda, cuando se encuentra completamente floja, siguiendo la expresión matemática y = x² + 2 ?

6

5

4

3

2

1

x

y


x y-- 2 -- 1- 0 2- 1- 2

y = x² + 2

y GRÁFICA

DISTANCIA

TIEMPO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

140150

10

130

2030405060708090

100110120

Tiempo Distancia recorrida seg en metros

-0

-

1-

2-

3-

4 64-

5-

6

- 2 - 1 1 2 3 4 5

BLO

QU

E 3

Forma un equipo con dos de tus compañeros para registrar los datos en la tabulación y encuentra la gráfica correspondiente a lo que se te indica.

Al realizar la siguiente práctica encontrarán la gráfica que origina un movimiento uniformemente acelerado; para ello reúnan y efectúen lo que se pide. La aceleración depende del ángulo de inclinación de la canaleta con la horizontal.

Una cartulina o cartón, una bola pequeña de unicel, un reloj con segundero, transportador, regla, lápiz y demás herramientas que crean necesario.

a) Formen con la cartulina o cartón una canaleta lo más largo posible y colócala en el piso a una inclinación de 15 grados.

b) Coloca la bola de unicel en el punto alto de la canaleta, hagan descender la bola de unicel, anotando segundo tras segundo la distancia del recorrido. Para ello, marquen hasta donde llega la bola en cada segundo y midan con la regla esa distancia.

c) Completen la tabulación anotando los datos que obtengan.

d) Realiza este evento cuantas veces creas necesario, dándole a la canaleta diferentes grados de inclinación y registra tus observaciones.

¿Cuál gráfica representa la velocidad?................................................. _______________________

¿Por qué?_______________________________________________________________________

¿Cuál representa la aceleración? ......................................................... ______________________

¿Por qué? ______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Interpreta las siguientes gráficas y contesta las preguntas.

Tiempo (s)

Ve locidad

Gráfica 1

cm s

cm Tiempo (s)

Distancia

cm

Gráfica 2


15º

Tiempo Distancia Velocidadseg cm

)( scmtdv=

BLO

QU

E 3

Forma un equipo con dos de tus compañeros para encontrar los datos faltantes en la tabulación y construyan la gráfica; posteriormente contesten lo que se pide. Para el primer caso consideren (g = 9.81 m/s²).

¿Qué diferencias tienen las gráficas? ........... __________________________________________

¿Qué semejanzas tienen las gráfica? ........... __________________________________________

¿Qué relación encuentran entre las expresiones algebraicas y sus gráficas? _________________

_______________________________________________________________________________

¿Qué situación representa cada gráfica? ..... ____________________ y ____________________

d = vt

Distancia

(m)

y GRÁFICA

Tiempo (seg.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

100110120130

102030405060708090

Distancia

(m)

y GRÁFICA

Tiempo (seg.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x

100110120130

102030405060708090


t (s) d (m) (x, y)-

0 0 (0, 0)-

1-

2-

3-

4-

5

28.9 2td =

t (hs) d (km) (x, y)-

0 0 (0, 0)-

1-

2-

3 75-

4-

5

BLO

QU

E 3

Recuerda que el bloque anterior trabajaste con ecuaciones de 2º grado, ahora vamos a analizar su comportamiento gráfico en ecuaciones de la forma:

y = ax² donde la literal a es el coeficiente del término cuadrático.

y = ax² + bx donde la literal b es el coeficiente del término sencillo.

y = ax² + c donde la literal c es el término independiente de la ecuación.

Completa las siguientes tablas y elabora las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas:

¿Qué semejanzas observas en las gráficas?........ ______________________________________

¿Qué diferencias observas en las gráficas?.......... ______________________________________

3.6Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las

expresiones algebraicas que definen a estas funciones.

Estas curvas reciben el nombre de PARÁBOLA.

Y el punto donde la curva cambia de dirección recibe el

nombre de VÉRTICE.


x y Punto

- 3 27 (- 3, 27)

- 2

- 1

0

1

2

3

y

x

y

x

y

x

y = x² + 3x y Punto

- 3 12 (- 3, 12)

- 2

- 1

0

1

2

3

y = 2 x²x y Punto

- 3 18 (- 3, 18)

- 2

- 1

0

1

2

3

y = 3 x²

BLO

QU

E 3

¿Qué semejanzas encuentras en las tres gráficas?

_____________________________________________________________________________

¿Qué ocurre con las gráficas de las parábolas cuando el valor de a cambia?

_____________________________________________________________________________

Organizados en equipo, construyan las gráficas de las siguientes ecuaciones de la familia y = ax²

¿Qué semejanzas encuentras en las tres gráficas?

______________________________________________________________________________

¿Qué ocurre con las gráficas de las parábolas cuando el valor de a es positivo?

______________________________________________________________________________

¿Qué ocurre con las gráficas de las parábolas cuando el valor de a es negativo?

______________________________________________________________________________


y = - x² y = - 2x² y = - 3x²

x y Punto y Punto y Punto

- 3 - 9 (- 3, - 9)

- 2 - 8 ( - 2, - 8)

- 1 - 3 ( - 1, - 3)

0

1 - 3 ( 1, - 3)

2 - 4 ( 2, - 4)

3 - 18 ( 3, - 18)

yx

x y Punto y Punto y Punto

- 3 9 (- 3, 9) 18 (- 3, 18) 27 (- 3, 27)

- 2 4 (- 2, 4) 8 (- 2, 8) 12 (- 2, 12)

- 1 1 (- 1, 1) 1 (- 1, 2) 3 (- 1, 3)

0 0 ( 0, 0) 0 ( 0, 0) 0 ( 0, 0)

1 1 ( 1, 1) 1 ( 1, 2) 3 ( 1, 3)

2 4 ( 2, 4) 8 ( 2, 8) 12 ( 2, 12)

3 9 ( 3, 9) 18 ( 3, 18) 27 ( 3, 27)

y = x² y = 2x² y = 3x²

x

y

BLO

QU

E 3

¿Qué semejanzas encuentras en las cuatro gráficas?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

¿ A qué le atribuyes las diferencias?

_____________________________________________________

_____________________________________________________

Organizados en equipo, construyan y analicen las gráficas de las siguientes ecuaciones de la familia y = ax² + c

y = x² + 2 y = x² - 3 y = x² + 4 y = x² - 1x y Punto y Punto y Punto y Punto

-- 3 11 (- 3, 11)

-- 2 1 ( - 2, 1)

-- 1 5 ( - 1, 5)

-0 - 1 ( 0, - 1)

-1

-2

-3

Traza las gráficas de las ecuaciones en el mismo plano.

y

x


BLO

QU

E 3

Organizados en equipo, construyan y analicen las gráficas de las siguientes ecuaciones de la familia y = ( x + d )² y contesta lo que se te pide.

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola y = ( x + 4 )²?.... __________________

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola y = ( x + 2 )²? ... __________________

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola y = ( x - 3 )²? .... __________________

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola y = ( x - 5 )²? .... __________________

¿Qué semejanzas encuentras en las cuatro parábolas? ........................... __________________

¿Qué determina la posición de estas parábolas en la gráfica? ................. __________________

Las gráficas de las funciones representan parábolas.

y

x


y = ( x + 4 )² x y Punto

-- 7 9 (- 7, 9 )

-- 6

-- 5

-- 4

-- 3

-- 2

- - 1

y = ( x - 3 )² x y Punto

-6

-5

-4

-3

-2 1 ( 2 , 1 )

-1

- 0

y = ( x + 2 )² x y Punto

-- 5

-- 4 4 (- 6, 4 )

-- 3

-- 2

-- 1

- 0

- 1

y = ( x - 5 )² x y Punto

-8

-7

-6

-5

-4

-3 4 ( 3, 4 )

- 2

BLO

QU

E 3

Organizados en equipo, construyan las gráficas de las siguientes funciones de la familia y = ( x + d )² + e donde el valor de d es constante y el valor de e cambia, observa el comportamiento de las gráficas y contesta lo que se te pide.

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola y = ( x + 2 )² - 2? ..... _____________

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola y = ( x + 2 )² + 1?..... _____________

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola y = ( x + 2 )² + 4?..... _____________

¿Qué determina la posición de estas funciones en la gráfica?........................... _____________

Traza las gráficas de las funciones

en el mismo plano.

y

x


y = ( x + 2 )² - 2 x y Punto

- 5 7 (- 5, 7 )

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

y = ( x + 2 )² + 1 x y Punto

- 5

- 4 5 (- 4, 5 )

- 3

- 2

- 1

0

1

y = ( x + 2 )² + 4x y Punto

- 5

- 4

- 3

- 2 4 (- 2, 4 )

- 1

0

1

BLO

QU

E 3

Nuevamente organizados en equipo, construyan las gráficas de las siguientes funciones de la forma y = ( x + e ) ( x + f ); observa qué ocurre con la curva de acuerdo a los valores de e y f, la posición de las gráficas y contesta lo que se te pide.

De la gráfica de la función: y = ( x + 2 ) ( x - 3 ), ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de intersección con el eje de las x?________________________________________



¿Qué consideras que determina la posición de estas funciones en la gráfica?

________________________________________

Traza las gráficas de las funciones

en el mismo plano.

y = ( x + 2 ) ( x - 3 ) x y Punto

- 3 6 (- 3, 6 )

- 2

- 1

0

1

2

3

4 6 ( 4, 6 )

y

x


y = ( x + 2 ) ( x - 4 )x y Punto

- 3 7 (- 3, 7 )

- 2

- 1

0

1 - 7 ( 1, - 9 )

2

3

4

5

y = ( x + 2 ) ( x - 5 )x y Punto

- 3 8 (- 3, 8 )

- 2

- 1 8 (- 3, 8 )

0

1 - 12 ( 1, - 12 )

2

3

4

5

6

BLO

QU

E 3

Dadas las siguientes funciones, concluye las siguientes tablas, construye sus gráficas y contesta a las preguntas siguientes:

¿Las gráficas de las funciones y = x³, y = representan líneas? _________________________

¿La gráfica de la función y = x³ tiene alguna semejanza con las gráficas de parábolas de los

ejercicios anteriores? ______ ¿En qué consiste?_______________________________________

¿La gráfica de la función y = tiene alguna semejanza con las gráficas de parábolas de los

ejercicios anteriores? ______ ¿En qué consiste?_______________________________________

1x

1x

y = x³

x y Punto

- 2 - 8 ( - 2, - 8)

- 1

0

1

2

x y Punto

- 4 - (- 4, - )

- 2

- 1

0

1

2

4

y = 1x

y

x

y

x

14

14


BLO

QU

E 3

3.7Interpretar y elaborar gráficas

formadas por secciones de rectas y curvas que modelan situaciones

de movimiento, llenado de recipientes, etc.

Reunidos en equipo analiza la gráfica siguiente y describe una situación que la represente.

Ejemplos:

Carlos realiza un viaje en su camión de carga durante cuatro días con la misma carga, los siguientes dos días va distribuyendo toda su carga y queda vacío, descansa tres días e inicia un nuevo viaje, durante dos días carga nuevamente su camión pero únicamente a la mitad de la carga que transportó inicialmente.

Con tus compañeros de equipo describan dos situaciones que puedan estar representadas por la misma gráfica:

1.- ___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2.-___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Al inicio del día el depósito de una e s t a c i ó n d e g a s o l i n a s e encontraba lleno, en el transcurso del d ía se vac ió, luego lo recargaron pero sólo a la mitad de lo que tenía al inicio del día.

x

y


BLO

QU

E 3

Tres comedores de una planta maquiladora atienden a diario a setecientos cincuenta obreros que laboran en esa empresa.

a).- El comedor A distribuye en grupos iguales a los obreros y le da los alimentos cada cierto tiempo.

b).- El comedor B les da los alimentos a todos los obreros a la misma hora.

c).- El comedor C le da los alimentos a la misma hora pero en grupos que se van intercalando.

Las siguientes gráficas describen la información estadística de la forma de cómo se da la atención a los obreros, relaciona lo anterior colocando sobre la línea a qué comedor corresponde la gráfica:

Comedor __________ Comedor __________ Comedor __________

La siguiente gráfica representa la velocidad y las incidencias de un automóvil en un recorrido de diez minutos, contesta las siguientes cuestiones:

1.- ¿Qué ocurre durante los primeros tres minutos?.........

____________________________________________

2.- Del minuto tres al siete, ¿que sucede?.........................

____________________________________________

3.- Describe lo que ocurre del minuto siete al diez.............

____________________________________________

tiempo

velocidad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

70

60

50

40

30

20

10

tiempo

obreros

y

x tiempo

obreros

y

xtiempo

obreros

y

x


BLO

QU

E 3

tiempo

Llenado

Relaciona las siguientes gráficas que representan el llenado de recipientes que usas en el laboratorio.

Organizados en equipo representen graficamente las siguientes situaciones:

3.- El llenado de un tanque elevado de forma esférica con respecto al tiempo.

1.- La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa, respecto al tiempo.

tiempo

altura

2.- El depósito de agua de una fuente decorativa tiene la forma que se muestra en la ilustración, representa el llenado de agua en relación al tiempo.

tiempo

Llenado

figura A figura B figura C figura D

x

x

x

y y

y

figura________ figura ________ figura ________ figura ________

yy yy

x xx x


BLO

QU

E 3

3º bloque 3 guia de ejercicios

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