3._derivadas_parciales

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICOFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

PROGRAMA DE ECONOMÍACÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES

DERIVADAS PARCIALES

Sabemos que la derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable

dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir

dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.

Suponga que dejamos que varíe solamente a x, dejando a y fija, digamos y = b, en donde b es una

constante. Entonces, estamos en presencia de una función de una sola variable x, a saber:

g(x) = f(x, b)

Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) De

forma análoga podemos hacerlo para y variable y x fija.

DEFINICIÓN:

Sea f una función de dos variables x e y D R2 y sea (a, b) D, entonces la derivada parcial de f con

respecto a x en (a, b) es:

f x (a , b )=g ' (a )=limh → 0

f ( a+h , b )−f (a ,b)h

siempre y cuando el límite exista

De forma similar definimos la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) por

f y ( a ,b )=g' (b )=limh → 0

f (a ,b+h )− f (a , b)h

NOTACIÓN:

La siguiente tabla muestra las diferentes notaciones de las derivadas parciales

Derivada parcial de f (o z) con

respecto a x


respecto a y


respecto a x evaluada en (x0,

y0)

Derivada parcial de f (o z)

con respecto a y evaluada en

(x0, y0)

fx(x, y) fy(x, y) fx(x0, y0) fy(x0, y0)

∂∂ x

[ f ( x , y )] ∂∂ y

[ f ( x , y )] ∂ z∂ x|(x0 , y0 )

∂ z∂ y |

(x0, y0)

∂ z∂ x

∂ z∂ y

∂ z∂ x| x=¿ x0

y=¿ y0

∂ z∂ y|x=¿ x0

y=¿ y0

Observación: los límites de la definición son en una variable, por lo que podemos calcularlos usando las

técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, etc.

Ejemplos: hallar las derivadas parciales1. Si z=2 x2+3 xy− y2

Solución: ∂ z∂ x

=4 x+3 y Suponiendo a y constante

∂ z∂ y = 3x – 2y Suponiendo a x constante

2. Si z=xy+lnx

Solución: ∂ z∂ y

= y+ 1x Suponiendo a y constante

∂ z∂ y

=x Suponiendo a x constante

Mag. Erwin Maury Mancilla



EJERCICIOS

1. Hallar las derivadas parciales si:

a. z = xy – ln xy b. z = yey/x c. z = x− yx+ y

d. z = ln x2− y2

x2+ y2 e. z = f. f(x, y, z) = x2 + y2z + z3

2. Si u =x2y + y2z + z2x, demuestre que: ∂ u∂ x

+ ∂u∂ y

+ ∂u∂ z

=( x+ y+z )2

3. Si f ( x , y )= 2 xx− y determine

∂ f∂ x|(3 ,1 )

; ∂ f∂ y |

(3 , 1)

4. SI f ( x , y )=2 x2−3xy+4 y2, determine ∂ f∂ x|(1 ,1 )

; ∂ f∂ y |

(1 , 1)

1.6 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Recordemos que la gráfica de z = f(x, y) representa una superficie S. Si f(a, b) = c, entonces el punto P(a,

b, c) está sobre la superficie S. El plano vertical y = b

interseca a la superficie S en la curva C1 (es decir, C1 es la

traza de la superficie S sobre el plano y = b). De manera

semejante, el plano vertical x = a interseca a la superficie S en

la curva C2. Ambas curvas pasan por el punto P.

Observe que la curva C1 es la gráfica de la función g(x, b) de

manera que la pendiente de su recta tangente T1 en el punto

es g’(a) = fx(a, b). Ver figura 12

La curva C2 es la gráfica de la función g(y) = f(a, y) así que la pendiente de su tangente T2 en el punto P

es g’(b) = fy(a, b). Ver figura 13.

Por consiguiente, las derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b)

pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de

las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 en el punto P,

respectivamente.

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como

razones de cambio. Si z = f(x, y), entonces fx representa la razón

de cambio de z con respecto a x, cuando y permanece fija. De manera semejante, fy representa la razón de

cambio de z con respecto a y, cuando x permanece fija.

1.7 DERIVADAS DIRECCIONALES.

Se ha visto cómo las derivadas parciales de una función caracterizan la tasa de variación de la función a lo

largo de rectas paralelas a los ejes coordenados. A continuación se generalizará la derivada parcial para

obtener la tasa de variación de una función con respecto a cualquier dirección. Esto conduce a la noción

de derivada direccional.


Fig. 12

Fig. 13



Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de z en

el punto (x0, y0) en la dirección de un vector unitario

arbitrario u⃗ = (a, b) (a2 + b2 = 1). Para esto consideramos

la superficie S con ecuación z = f(x, y) (la gráfica de f) y

sea z0 = f(x0, y0). Entonces el punto P = (x0, y0, z0) está

sobre S. El plano vertical que pasa por el punto P en la

dirección del vector u⃗ interseca a la superficie S en la

curva T. La pendiente de la recta tangente a la curva

Ten el punto P es la tasa de cambio de z en la dirección de u⃗. (Fig. 14)

Si Q(x, y, z) es otro punto sobre la curva T, y si P’ y Q’ son las proyecciones sobre el plano xy de los puntos P y Q (Fig. 15), entonces el vector P⃗ ' Q' es paralelo al vector u⃗, y por consiguiente

P⃗ ' Q' = hu⃗ = (ha, hb)para algún escalar h

Fig. 15Así pues,

x – x0 = ha x = x0 + hay – y0 = hb y = y0 + hb

y la razón de cambio está dada por ∆ zh

=z−z0

h=

f ( x0+ha , y0+hb )−f ( x0 , y0 )h

y al tomar el límite cuando h → 0 obtenemos la tasa de cambio instantánea de z (con respecto a la

distancia) en la dirección de u⃗, la cual se llama derivada direccional de f en la dirección de y se

simboliza así: D u⃗f(x, y)

Si a⃗ es cualquier vector con la misma dirección que u⃗ , también se afirmará que D a⃗f(x, y) es la derivada direccional de f en la dirección de a⃗

Con propósitos de cálculo, la definición no es muy útil, por lo que en general se usa el teorema siguiente:

TEOREMA: Si f es una función diferenciable de dos variables y u⃗ = u1i⃗ + u2 j⃗ es un vector unitario,

entonces:

Ejemplo 1: Calcule la derivada direccional de f(x, y) = 4 – x2 – y2 en el punto P(1. 1) en la dirección del

vector u⃗=( 1√2

, 1√2 )


D u⃗f(x, y) = fx(x, y)u1 + fy(x, y)u2

Figura 14: Derivada direccional en P en la dirección de u



Solución: D u⃗f(x, y) = fx(x, y) u1 + fy(x, y) u2.

D u⃗f(x, y) = –2 x( 1√2 ) – 2y ( 1

√2 ) D u⃗f(1, 1) = –2 (1)( 1

√2 ) – 2(1) ( 1√2 )

−2( 1√2 )−2( 1

√2 )−4( 1

√2 )=−2√2

Esto nos dice que la razón de cambio de z en P en la dirección del vector u⃗ es −2√2, es decir, que z en esta dirección está decreciendo. En la figura 16 se ilustra esta situación.

Ejemplo 2: Sea f(x, y) = x3y2

a) Calcular la derivada direccional de f en el punto P(- 1,

2) en la dirección del vector a⃗ = 4 i⃗−3 j⃗

b) Explicar el significado de la parte (a) suponiendo

que f(x, y) es la temperatura en (x, y)

Solución:

a) Hay que hallar el vector unitario u⃗ en la dirección de a⃗,

para calcularlo aplicamos:

u⃗= 1‖a⃗‖

a⃗ = 15

( 4 i⃗−3 j⃗ ) = 45

i⃗−35

j⃗

Como fx(x, y) = = 3x2y2 y fy(x, y) = = 2x3y

Entonces. D u⃗f(x, y) = 3x2y2( 45 ) + 2x3y(−3

5 ) Por lo tanto, en P(-1, 2), D u⃗f(-1, 2) = 3(-1)2 (2)2( 4

5 ) + 2(-1)3(2)(−35 ) =

485

+155 =

635 = 12.6

b) Si f(x, y) es la temperatura (en ºC) en (x, y), entonces D u⃗f(-1, 2) = 12.6 dice que si un punto se

mueve en la dirección de u⃗, la temperatura en P aumentará a razón de 12.6ºC por unidad de

distancia.

1.7.1 El Gradiente de fSi f es una función diferenciable de dos variables, el gradiente de f es la función vectorial

dada

por:

El símbolo para el gradiente de f es ∇ f , donde∇ es la letra griega delta mayúscula invertida y se lee

“del”. En ocasiones se emplea la abreviación grad f


∇ f (x, y) = fx(x, y)i⃗ + fy(x, y) j⃗

Fig.16



En muchas aplicaciones nos gustaría conocer en que dirección movernos para que f(x, y) crezca lo más

rápidamente posible. Llamamos a ésta dirección de máxima pendiente y viene dada por el gradiente de

f(x, y).

Teorema: Si f es una función diferenciable en el punto (x, y)

1. Si ∇ f ( x , y )=0 , entonces D u⃗ f ( x , y )=0 , para todo u⃗

2. La dirección de máximo crecimiento de f viene dado ∇ f ( x , y ). El valor máximo de D u⃗ f ( x , y ) es

‖∇ f ( x , y )‖.

3. La dirección de mínimo crecimiento de f viene dado por −∇ f ( x , y ). El valor mínimo de D u⃗ f ( x , y ) es

–‖∇ f ( x , y )‖.

Ejemplo: la temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por:

T(x, y) = 20 – 4x2 – y2,

midiendo x, e y en cm. Desde el punto (2, – 3) ¿En qué dirección crece la temperatura más rápidamente?

¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

Solución:

La dirección en que crece más rápidamente viene dada por el gradiente de la función:

∇ f ( x , y )= (−8 x ) i⃗−(2 y ) j⃗

∇ f ( x , y )=¿

El ritmo al que se produce este crecimiento viene dado por la norma del vector gradiente:

‖∇ f ( x , y )‖=√(16)2+62=√256+36=√292≅ 17.09o por cm.

1.7.2 Derivada direccional en términos del gradiente

Ejemplo 3: Sea f(x, y) = x2 – 4xy.

a) Encontrar el gradiente de f en el punto P(1, 2) y representarlo gráficamente.

b) Usar dicho gradiente para calcular la derivada direccional de f en P(1, 2) en la dirección de P(1, 2)

a Q(2, 5)

Solución:

a) ∇ f (x , y) = fx(x, y)i⃗ + fy(x, y) j⃗ = (2x – 4y)i⃗ - 4x j⃗

Por lo tanto, en P(1, 2),

∇ f (1 , 2) = [2(1) – 4(2)]i⃗ – 4(1) j⃗ = (2 – 8)i⃗ - 4 j⃗ = – 6i⃗ – 4 j⃗

Gráfica:


D u⃗f(x, y) = ∇ f (x, y). u⃗

a⃗

Q(2, 5)

∇ f (1 ,2)

P(1, 2)



b) Si tomamos a⃗ = P⃗Q , entonces:a⃗ = (2 – 1, 5 – 2) = (1, 3) = i⃗ + 3 j⃗

Por lo tanto el vector unitario en la dirección de P⃗Q es:

u⃗= 1‖a⃗‖

a⃗ = 1

√10( i⃗+3 j⃗ )

D u⃗f(1, 2) = ∇ f (1, 2). u⃗

= (– 6i⃗ – 4 j⃗ ¿ . 1

√10( i⃗+3 j⃗ )

= 1

√10 (– 6 – 12) = –

18√10

– 5.7

EJERCICIOS1. Encuentre el gradiente de f en el punto indicadoa) f(x, y) = √ x2+ y2, P(- 4, 3)b) f(x, y) =7y - 5x, P(2, 6)c) f(x, y) = x ln(x – y), P(5, 4)d) f(x, y, z) = yz3 - 2x2, P(2, - 3, 1)2. Calcule la derivada direccional de f en el punto P en la dirección indicada.

a) f(x, y) = 2x2 - 5xy +3y2, P(3, 1), u⃗=(√22 )(i⃗+ j⃗)

b) f(x, y) = x3 - 3x2y - y3, P(1, - 2), u⃗=( 12 )(−i⃗+√3 j⃗)

c) f(x, y) = x2 ln y, P(5, 1), ), a⃗=(−i⃗+4 j⃗)

d) f(x, y) = x− yx+ y P(2, - 1), a⃗=(3 i⃗+4 j⃗)


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