3ª JornadaTEORÍA DE LA PROPORCIÓN.FORMA ESPACIO Y MEDIDA

Elaborado por: Mtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Enero 2011

Temario

Teoría de la proporción PitagóricaPropiedades de las razonesProblemas utilizando relaciones proporcionalesSignificado de la proporción como herramienta

algebraicaEstudio de los polígonos Los polígonos regulares y las propiedades del círculoUbicación en el espacio

Presentación de video

Las matemáticas con Donald

CONCEPTO DE RAZONUna razón es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida.

"""": baesaleesecasosambosenbaoba

Ejemplo 1: La razón entre 4 y 5 se puede escribir . 5:454o

Ejemplo 2: La razón entre 2m y 80 cm es: cmm

802

Las unidades deben ser iguales, es necesario transformar los metros a centímetros.

cmcm

80200

Simplificando la razón queda: 5.225

deasociadovalorcon

CONCEPTO DE PROPORCIONUna proporción es una igualdad entre 2 razones.Si se tiene que las razones a/b y c/d son equivalentes, entonces:

cbdadc

ba

Ejemplo 1:Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es unaproporción o no.

proporciónessi80801654024016

52

Actividad1. ProporcionesDetermina si las siguientes razones son proporcionales

1512

43

.1

2163

721

.2

35

810

.3

24125.0

213

.4

816

4121

.5

2.05.2

4.05

.6

Proporcionalidad directaSe aplicó un examen con 12 reactivos. La calificación obtenida es la siguiente:

Aciertos 12 9 6 3 2 0

Calificación 10 7.5 5 2.5 1.66 0

Tabla 1: Aumento de temperatura del agua

Distancia ( m ) 0 1 2 3 … 36

Tiempo ( segundo) 0 1 2 3 … 36

Tabla 2: Desplazamiento

La tabla muestra el desplazamiento de una persona en metros en diferentes tiempos. Los resultados aparecen en las siguiente tabla.

Problema proporcionalidad directa

Numero de sacos 1 2 3 … 26 …

Peso ( Kilogramos) 20 40 60 … 520 …

EjemploUn saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de papas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

520201 x

Como es proporcional entonces queda ad = bc

2620520

205201

205201

205201

x

xxx

Problema proporcionalidad inversa

Hombres 3 6 9 … 18 …

Días 24 12 8 … x …

Ejemplo 1Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

cdab

d

c

b

a

d

c

b

a 11

11

11

Como la relación entre los datos de hombres y los días de trabajo son inversamente proporcional entonces

díasx

xxx

41872

18243

18243

18243

Problema proporcionalidad inversa

No. De Vacas 220 … 450 …

No. De días 45 … x …

Ejemplo 2Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

cdab

d

c

b

a

d

c

b

a 11

11

11

Como la relación entre los datos de hombres y los días de trabajo son inversamente proporcional entonces

díasx

xxx

224509900

45045220

45045220

45045220

Actividad2. Resuelve los problemas

No. De toneles 8 … 32 …

No. De litros 200 … x …

1. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

2. En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

3. Un vehículo que circula a velocidad constante recorre 90 km. en 5 horas. Si se sabe que ha empleado 2 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B ¿Qué distancia separa las ciudades?

R1= 50 litros

R 2= 15 días

R 3= 36 Km

Teoría de la proporción pitagóricaConsiste en pensar que podemos encontrar un segmento de alguna longitud quizá muy pequeña, que cupiese un número entero de veces en dos segmentos de longitud arbitraria.

A

BC

D E

N

M

UV

N = No. De divisionesM = No. De divisiones

CEBD

ACAB

VU

CEBD

VU

ACAB

MVCEMUBD

NVACNUAB

Actividad3. Aplicando la teoría de la proporción

Calcular el valor de x, en cada caso:

6

28

x

35

a)

x

12

27

9

b)

9 x

54 45

c)

cbdadc

ba

Actividad4. Aplicando la teoría de la proporción

Calcular el valor de x, que representa la altura de un pino.

4 m

10 m

2,8 m

x

BD = 5.81 cmA'CAB = 5.81 cm2

A'C = 1.59 cm

AB = 3.65 cm

D

A'A

B

C

Ejemplo en Sketchpad de la proporcionalidad Pitagórica

Ejemplo en Sketchpad de la proporción inversa

CÍRCULOLa palabra círculo tiene varias acepciones, la primera: una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)Obtenido de: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo#Usos_del_t.C3.A9rmino_c.C3.ADrculo el 24/01/2011

Perímetro= π x diámetro

Área= π x radio2

Elementos del círculoCentro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.Diámetro: son dos radios que hacen un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de laCuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.

Obtenido de: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo#Elementos_del_c.C3.ADrculo el 24/01/2011

El círculo tiene 360 °

Actividad5. Pi π

• Toma varios objetos circulares.• Mide la circunferencia y el diámetro y registra

los datos en la tabla.

Muestra Circunferencia (Perímetro)

Diámetro Razón de la circunferencia y el diámetro

123

a) ¿Qué valor se obtiene de dividir la circunferencia entre el diámetro? ________

Polígonos regulares• Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por

lados rectos.• Un polígono regular es un polígono en el que todos los

lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.

• Un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.

Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Polígono el 24/01/2010

Crear un polígono regularUn polígono regular se puede crear a partir de un círculo, basta con dividir los 360 en el número de lados que se desea (triángulo en 3, cuadrado en 4, pentágono en 5, etcétera) y unir cada uno de las cuerdas que se obtienen.

Partes de un polígono•Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.•Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.•Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.•Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.•Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.•Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.•Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.

Área de los polígonos regulares:Multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido por dos.

Actividad6. Creación de un polígono (Con juego geométrico)

1. Genera un círculo con un radio de 5 cm.

2. Dentro del círculo crea un hexágono.3. Calcula el perímetro y área del círculo.4. Calcula el perímetro y área del

hexágono.5. Calcula el área sombreada de la figura.

Ubicación en el espacioEl plano cartesiano es un sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.

Actividad7. Figura en el plano cartesianoResuelve las siguientes operaciones aritméticas que corresponden a los valores de las coordenadas y posteriormente indícalas en el plano cartesiano y une los puntos; de preferencia apóyate en una hoja milimétrica. ¿Qué figura obtuviste?

4,5

424),( yxA

2

3,0),( yxB

)21(),2(),( 2 yxC

1

1),238(),( yxD

)2)412((,05),( yxE

3

64

32

,4),( yxF

5

5,6),( yxG

1,4),( yxH

)10220(,4),( yxI

Respuesta a la actividad 7P x yA -4 4B 0 1.5C -4 -1D 2 -1E 0 -4F -4 -4G -6 -1H -4 -1I -4 4

Actividad8: Elaboración de un plan de clase por parte de los profesores.

En equipo de 5 personas.

El plan de clase debe ser entregado digitalmente.

Se expondrá el último sábado.

Se compartirán con el resto del grupo; favor de traer memoria USB o enviarlo por correo al profesor.