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CAPÍTULO 2

MARCO TEÓRICO

2.1. PRECURSORES DEL RAZONAMIENTO LÓGICO NUMÉRICO.

Platón y Aristóteles. (Enciclopedia Microsoft Encarta 2001)

Como otros filósofos griegos, afrontaron algunas de las cuestiones básicas de

la psicología, que aún hoy son objeto de estudio ¿nacen las personas con

ciertas aptitudes y con una determinada personalidad, o se forman como

consecuencia de la experiencia? ¿Cómo llega el individuo a conocer el mundo

que lo rodea? ¿Ciertos pensamientos son innatos o son adquiridos? Esto dio

las bases para los estudios posteriores relacionados con el pensamiento, la

lógica y su aplicación a la matemática.

Tales cuestiones fueron debatidas durante siglos, pero el razonamiento lógico

aplicado a la matemática como tal, no se inicia hasta el siglo XVII con los

trabajos del filósofo nacionalista francés René Descartes y de los empiristas

Thomas Hobbes y John Locke. Descartes, afirmaba que el cuerpo humano era

como una máquina de relojería, pero cada mente era independiente y única;

mantenía que la mente tiene ideas innatas, cruciales para organizar la

experiencia que los individuos tienen en el mundo. Hobbes y Locke, por su

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parte, resaltaron el papel del razonamiento humano. Locke creía que toda la

información sobre el mundo físico pasa a través de los sentidos, y que las

ideas correctas pueden ser verificadas con la comprobación razonada de los

hechos.

La corriente más influyente se desarrolló siguiendo el punto de vista de

Locke;; sin embargo, ciertos matemáticos sostendrían varios siglos después la

idea cartesiana de que la organización mental es innata. Esta concepción aún

juega un papel muy importante en las recientes teorías del razonamiento y la

lógica de los números: desarrollar métodos de lógica inductiva, como la que

sostiene que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la

verdad del razonamiento se deduce sólo con un margen relativo de

probabilidades, a través del razonamiento lógico de los números.

La contribución más importante de la lógica de la matemática fue la aportada

por el filósofo británico John Stuart Mill, quien en sistema de lógica (1843)

estructuró los métodos de prueba que, según su interpretación, iban a

caracterizar a la ciencia empírica; este estudio ha desembocado en el siglo XX

en el campo conocido como “filosofía de la ciencia”. Muy relacionada con

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ésta se encuentra la rama de la matemática llamada “Teoría de la

probabilidad” o “del razonamiento numérico”.

Tanto la lógica numérica como la clásica asumen en sus formas más corrientes

que: cualquier proposición bien elaborada puede ser verdadera o falsa,

verificable a través de los números. En años recientes se han desarrollado

sistemas de la denominada lógica combinada: una afirmación puede tener un

valor distinto a verdadero o falso. En algunos supuestos es tan sólo un valor

neutro; en otros, es un valor de probabilidad expresado como una fracción que

oscila entre –1 y +1.

También se han llevado a cabo ciertos trabajos para desarrollar sistemas de

lógica modal, con el objeto de representar las relaciones lógicas entre las

afirmaciones de posibilidad e imposibilidad, de necesidad y contingencia.

Otra vía es la que propone la lógica deóntica: la investigación de las relaciones

lógicas entre órdenes o afirmaciones de obligación.

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Lógica de Aristóteles

En la lógica de Aristóteles se desarrollaron reglas para establecer un razonamiento

encadenado a que, si se respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones, si la

reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez). En los razonamientos,

los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su

conjunto, proporcionaban una nueva conclusión.

En el ejemplo más famoso: “todos los humanos son mortales” y “ todos los

griegos son humanos “, se llega a la conclusión válida de que, “todos los griegos

son mortales”.

La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento más complejos.

En su lógica, Aristóteles distinguía entre dialéctica y analítica; para él, la

dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica,

por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre

la experiencia y una observación precisa. Esto supone una ruptura deliberada con

la Academia de Platón, escuela donde la dialéctica era el único método lógico

válido para aplicarse en Ciencia, como en Filosofía.

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Lógica Moderna

A mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos: George Boole y Augustus

De Morgan, abrieron un nuevo campo a la lógica, hoy conocido como lógica

simbólica (o moderna), que más tarde fue desarrollada por el matemático alemán

Gottlob Frege y de un modo especial por los matemáticos británicos Bertrand

Russell y Alfred North Whitehead cubre un espectro mayor de posibles

argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica silogística.

Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen,

(“O”, “Y”, “si....entonces” ) cuenta con símbolos diferentes para el sujeto lógico

y el predicado lógico de una frase; y adjudica símbolos para distinguir las

clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a

una clase y la inclusión a una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus

suposiciones de su existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones

universales. La afirmación “Todo A es B”, significa en lógica moderna que “ si

algo es A, entonces es B”; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no

significa que todo A existe.

Tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva.

En cierto sentido: las premisas de una proposición válida contienen la conclusión

y la verdad de la conclusión se deriva de la verdad de las premisas.

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GEORGE BOOL (1815-1864) (IIbidem)

Lógico y matemático británico, elaboró el álgebra de Boole. En gran medida

autodidacta, Boole fue nombrado profesor de matemática en el Queen ’s College

de Cork en Irlanda (hoy el University College) en 1849, En 1854, escribió

“Investigación sobre las Leyes del Pensamiento”, en donde describe un sistema

algebraico que más tarde se conoció como el álgebra de Boole. En él, las

proposiciones lógicas se indican por símbolos y pueden relacionarse mediante

operadores matemáticos abstractos que corresponden a las leyes de la lógica. El

álgebra de Boole es fundamental en el estudio de las matemáticas puras y en el

diseño de los modernos ordenadores o computadoras, cuya base algebraica está

sustentada en el razonamiento lógico numérico.

ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) (Ibidem)

Matemático y metafísico británico, reconocido como uno de los grandes

filósofos del siglo XX. Nacido en Ramsgate, (Kent), el 15 de febrero de 1816,

Whitehead estudió en el Trinity College (Cambridge), donde enseñó matemática

desde 1885 hasta 1911.

Impartió clases de matemática aplicada y mecánica en la Universidad de Londres

desde 1911 hasta 1924, y enseñó filosofía en la Universidad de Harvard desde

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1924 hasta 1936. Fue profesor emérito de Harvard hasta su muerte, el 30 de

diciembre de 1947, miembro de la Royal Society y de la Academia Británica.

Matemático brillante que hizo profundas contribuciones en el campo de la

matemática teórica, Whithead tenía gran conocimiento de filosofía y literatura, y

esta preparación lo llevó al estudio de los orígenes de la matemática y de la

filosofía de la ciencia, y al desarrollo de la lógica simbólica. Colaboró con su

alumno de Cambridge, el matemático y filósofo británico Bertrand Russell, para

escribir los tres volúmenes de Principia Mathematica (1910-1913), una de las

mayores obras sobre lógica y matemática.

BERTRAND RUSSELL, (1872-1970). (Ibidem)

Tercer Conde de Russell, filósofo, matemático y escritor británico, galardonado

con el premio Nobel de Literatura en 1950. Su énfasis en el análisis lógico,

repercutió de forma notable en el curso de la filosofía del siglo XX.

Nacido en Trelleck (Gales) el 18 de mayo de 1872, estudió matemática y

filosofía en el Trinity College, centro en el cual había empezado a impartir clases

desde su licenciatura. Al tiempo que desde su juventud mostró un acusado

sentido de conciencia social, se especializó en cuestiones de lógica y

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matemáticas, áreas sobre las que dio conferencias en muchas instituciones de

todo el mundo. Alcanzó un notable éxito con su primera gran obra, Los

Principios de la Matemática (1903), en la que intentó trasladar la matemática al

área de la lógica filosófica para dotar a ésta de un marco científico preciso.

Colaboró durante ocho años con el filósofo y matemático británico Alfred North

Whitehead en la elaboración de la monumental obra Principia Mathematica (3

vol.,1910-1913), en la que se mostraba que esta materia puede ser planteada en

los términos conceptuales de la lógica general, como clase y pertenencia a una

clase. Este libro se convirtió en una obra maestra del pensamiento racional.

Russell y Whithead demostraron que los números pueden ser definidos como

clases de un tipo determinado, y en este proceso desarrollaron conceptos

racionales y una notación que hizo de la lógica simbólica una especialización

importante dentro del campo de la filosofía.

En su siguiente gran obra: “Los Problemas de la Filosofía” (1912) Russell

recurrió a: la sociología, la psicología, la física y la matemática para refutar las

doctrinas del idealismo, la escuela filosófica dominante en aquel momento, que

mantenía que todos los objetos y experiencias son fruto del intelecto; Russell,

una persona realista, creía que los objetos percibidos por los sentidos poseen una

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realidad inherente, al margen de la mente.

JEAN PIAGET ( www.orientared. com/artículos/jpiaget.html )

Es uno de los autores cuyas aportaciones han tenido más trascendencia dentro de

la psicopedagogía.

Biólogo de formación, se vuelve psicólogo con el fin de estudiar cuestiones

epistemológicas.

Piaget se propone estudiar la génesis del conocimiento, desde el pensamiento

infantil al razonamiento científico adulto. Adopta la perspectiva del

evolucionismo darwiniano, desde la que desarrolla sus investigaciones y

construye su propio sistema teórico.

BIOGRAFÍA

Jean Piaget nació en 1896, en Neuchatel (Suiza), en el interior de una familia

culta y acomodada. Su padre, un historiador de espíritu escrupuloso y crítico le

inculca el gusto por el trabajo sistemático que asimila PIAGET muy

precozmente. A los siete años se entusiasma por la mecánica y realiza su primer

invento al que denomina “autovap”, un automóvil dotado de motor a vapor.

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Pero no profundiza en mecánica sino que se interesa sucesivamente por los

pájaros, por los fósiles, por las conchas marinas y redacta un manuscrito sobre

los pájaros, publicando un artículo sobre el gorrión albino, a los diez años. A

partir de entonces y hasta el último momento no deja de publicar con una

fecundidad sorprendente. Posteriormente se interesa por el estudio de los

moluscos, publicando en 1911 (a sus 15 años) una serie de artículos sobre

ellos.

Tras una etapa de lecturas de filosofía, entre los 15 y los 20 años,

terminado el bachillerato, obtiene la licenciatura en Ciencias Naturales y después

se doctoró en biología en 1918. A partir de entonces, se apasionó con la idea de

explicar el conocimiento a partir de la biología.

Terminado el doctorado se traslada a Zurich decidido a entrar en contacto con la

psicología. Allí frecuenta los laboratorios de LIPPS y WRESCHNER así como

la clínica psiquiátrica de BLEUER, en contacto con el psicoanálisis a través de la

lectura de FREUD y asistiendo a conferencias de PFISER y de JUNG.

Después de terminar su doctorado en biología, se interesó por la psicología.. En

1919 va a París y estudia durante dos años en la Sorbona, siguiendo varios

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cursos de psicología, de lógica, de filosofía de la ciencia y se instala en el

laboratorio de BINET (BINET es conocido por haber construido el primer test

de inteligencia con éxito). La tarea de PIAGET fue: desarrollar una versión

estandarizada, en Francés, de algunos test de razonamiento. Empezó su trabajo

con entusiasmo, pero pronto descubrió que el registrar respuestas correctas a test

estandarizados era bastante aburrido. Para vitalizar su trabajo, empezó a buscar

las respuestas incorrectas que daban los niños y las encontró intrigantes.

¿Por qué la mayoría de los niños de una determinada edad eran incapaces de

resolver ciertos problemas de razonamiento?

Y más importante aún, ¿Por qué las respuestas “incorrectas” se parecían tanto

unas a otras y eran tan distintas de las “correctas” que ofrecían niños mayores?.

Estas preguntas le daban las pistas en las que habría de basar su teoría del

desarrollo cognitivo.

Los test de inteligencia no podían dar respuestas a las preguntas de PIAGET.

Éstos están diseñados para probar cuánto saben los niños y cuán bien pueden

razonar, en relación con otros niños de su edad. No están diseñados para

explicar por qué los niños razonan como lo hacen u ofrecen las respuestas que

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dan. Intentan asignar a los niños un “coeficiente intelectual” relativamente

constante y no explican cómo el pensamiento infantil cambia a través del tiempo.

Así, PIAGET empezó a trabajar en la tarea de describir en términos cualitativos

cómo los modelos de pensamiento que emplean los niños al razonar se

desarrollan a través del tiempo, de modo que problemas que a una edad parecen

insuperables pueden resolverse varios años más tarde. Para llegar al proceso de

razonamiento que emplean los niños, PIAGET abandonó los test estandarizados,

y creó en su lugar un formato que permitiera al experimentador una visión más

amplia de cómo llegan los niños a soluciones de problemas dados de

razonamiento.

Pronto se da cuenta PIAGET que las diferencias fundamentales en el modo en

que razonan los niños están relacionados con la edad. A partir de ello, PIAGET

insiste en que los distintos usos de la lógica (razonamiento) no se pueden atribuir

simplemente a que los niños mayores saben más porque se les ha enseñado más.

La diferencia es más bien del desarrollo. A medida que maduran biológicamente

y adquieren una mayor experiencia del mundo de los objetos, se hacen más

aptos para ver el mundo “como es”; en otras palabras, se hacen más inteligentes.

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De estos primeros descubrimientos nacen tres artículos, uno de los cuales envía

a CLAPARÉDE quien, además de publicarlo, le ofrece un puesto de trabajo en el

Instituto J.J. Rousseau de Ginebra, para que prosiga allí sus investigaciones

que se encaminan ya de manera clara, a construir una epistemología psicológica

y biológica.

Para ello se propone estudiar los mecanismos psicológicos que intervienen en la

elaboración de las operaciones lógicas y del razonamiento causal, empezando

por los factores más ligados al medio social y al lenguaje.

En estos trabajos colaboró Valentine Chatenay, entonces estudiante del

Instituto, con la que posteriormente contrajo matrimonio, del cual nacieron tres

hijos que lo motivaron, sin duda, a estudiar la conducta de los bebés.

Posteriormente estudió la aparición de las nociones lógicas elementales en el

niño entre los 2 y los 7 años y prosiguió los estudios con adolescentes,

conjuntamente con Barbel Inhelder , que fue su más fecunda colaboradora.

Paralelamente a sus trabajos de investigación, se dedicó a la tarea docente en su

país y ocupó cargos en organismos internacionales.

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Fue: presidente de la Comisión Suiza de la UNESCO, miembro del Consejo

Ejecutivo de la misma y Subdirector General Encargado del Departamento de

Educación.

En 1947 publica su obra “Psicología de la inteligencia” que constituye una

primera síntesis de su teoría, estudiando diferentes temas, en el marco del

programa de trabajo del “Centro de Epistemología Genética” que creó en 1956 y

dirigió hasta su muerte, en 1980 . Durante estos años, rodeado por sus discípulos

y colaboradores, llegados de todas partes del mundo, PIAGET fue puliendo los

aspectos esenciales de su teoría sobre “génesis y desarrollo del conocimiento”

TEORÍA PIAGETIANA

Las primeras ideas sobre las que sustenta su base la teoría de Piaget son:

- El funcionamiento de la inteligencia :

Asimilación y Acomodación.

En el modelo de Piaget una de las ideas centrales es el significado de inteligencia

como proceso natural, plantea que el ser humano, como ente biológico, llega al

mundo con una herencia predeterminada que afecta su inteligencia. Presenta la

cualidad de limitar nuestras percepciones y, a la vez, permite la posibilidad de

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progresar intelectualmente.

Tomando como premisa las teorías de Darwin; Piaget, construyendo un modelo

que plantea una de las partes más controversiales y conocidas de su teoría, cree

que los organismos humanos comparten dos funciones invariables: Organización

y Adaptación. Piaget pensaba que el proceso de aprendizaje está bien organizado

y que todos sus procesos tienen coherencia y propician la capacidad de adaptarse

a los cambios bruscos del entorno en que se desarrollan.

En tanto que, la adaptación en sus sistemas físicos y mentales está supeditada a

dos procesos complementarios: Asimilación y Acomodación.

La asimilación se refiere a la forma en que un individuo se enfrenta a un

estímulo del entorno que lo rodea de acuerdo a como tiene organizado su

razonamiento y su lógica actual, en tanto la acomodación, significa modificar la

organización actual en respuesta a los estímulos del medio. Mediante la

asimilación y la acomodación se va estructurando el pensamiento lógico a lo

largo del desarrollo.

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- El concepto de esquema.

Aparece en la obra de Piaget en relación con el tipo de organización cognitiva

que, necesariamente implica la asimilación: los objetos externos son siempre

asimilados a algo; a un esquema mental, a una estructuración mental organizada.

Para Piaget, un esquema es una estructura mental determinada que puede ser

transferida y generalizada. Un esquema puede producirse en muchos niveles

distintos de abstracción. Uno de los primeros esquemas es el del objeto

permanente, que permite al niño/a responder a objetos que no están presentes

sensorialmente. Más tarde el niño consigue el esquema de una clase de objetos,

lo que le permite agruparlos en clases y ver la relación que tienen los miembros

de una clase con los de otras. En muchos aspectos, el Esquema de Piaget se

parece a la idea tradicional de concepto, salvo que se refiere a operaciones

mentales y estructuras cognitivas en vez de referirse a clasificaciones

perceptuales.

- El Proceso de Equilibración.

Aunque asimilación y acomodación son funciones invariantes en el sentido de

estar presentes a lo largo de todo proceso evolutivo, la relación entre ellas es

cambiante, de modo que la evolución intelectual es la evolución de esta relación

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y asimilación/acomodación.

Para Piaget el proceso de equilibración entre asimilación y acomodación se

establece en tres niveles sucesivamente más complejos:

• El equilibrio se establece entre los esquemas del sujeto y los acontecimientos

externos.

• El equilibrio se establece entre los propios esquemas del sujeto .

• El equilibrio se traduce en una integración jerárquica de esquemas

diferenciados.

Etapas del desarrollo cognitivo.

En la teoría de Piaget, el desarrollo intelectual está claramente relacionado con el

desarrollo biológico. El desarrollo intelectual es necesariamente lento y

también esencialmente cualitativo: la evolución de la inteligencia supone la

aparición progresiva de diferentes etapas que se diferencian entre sí por la

construcción de esquemas cualitativamente diferentes.

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La teoría de Piaget descubre los estadios de desarrollo cognitivo desde la

infancia a la adolescencia como: “las estructuras psicológicas que se desarrollan

a partir de los reflejos innatos y se organizan durante la infancia y la

adolescencia en complejas estructuras intelectuales que caracterizan la vida

adulta”.

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ETAPAS DEL DESARROLLO COGNITIVO.

Período Estadio Edad

Etapa sensoriomotora - De los mecanismos reflejos

congénitos.

- De las reacciones circulares

primarias.

- De las reacciones circulares

secundarias

- De la coordinación de los esquemas

de conducta previos

- De los nuevos descubrimientos

por experimentación.

- De las nuevas representaciones

mentales

0 –1 mes

1 – 4 meses

4 - 8 meses

8 -12 meses

12-18 meses

18-24 meses

Etapa preoperacional - Preconceptual

- Intuitivo

2-4 años

4-7 años.

Etapa de las operaciones concretas 7-11 años

Etapa de las operaciones formales > 11 años..

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2.2 -Teorías del aprendizaje.

El comportamiento humano ha sido estudiado por diversas teorías, las

cuales proporcionan una explicación de como los sujetos acceden al

conocimiento. Tales teorías son llamadas del aprendizaje.

Básicamente, su objeto de estudio está centrado en la adquisición de

destrezas, habilidades, razonamiento y aprendizaje de conceptos.

Entre ellos se pueden mencionar:

- La teoría del condicionamiento clásico de Pavlov, la cual explica como los

estímulos simultáneos llevan a evocar respuestas semejantes, aunque tales

respuestas ueran evocadas en principio sólo por uno de ellos.

- La teoría del condicionamiento instrumental u operante de Skinner, que

describe como los refuerzos forman y mantienen un comportamiento

determinado.

- Albert Bandura describe las condiciones en que se aprende a imitar

modelos.

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- La teoría Psicogenética de Piaget, establece las fases del desarrollo en

relación con las etapas de maduración.

Cada una de ellas ha aportado la información necesaria para comprender como

se constituyen los significados y que los conceptos sirven para identificar

objetos, para ordenar y calificar la realidad.

Jean Piaget en 1947 al hacer planteamientos de que el hombre tiene varias

etapas de desarrollo evolutivo descubrió que cada etapa, coincide con una base

de razonamiento lógico de la inteligencia.

El afirma que las estructuras fundamentales que permiten construir las

matemáticas son una prolongación formal de los esquemas lógicos, en los que

se organizan los actos del pensamiento.

Es por ello que la didáctica de la matemática se debe adaptar al ritmo en que

las estructuras mentales van apareciendo en el desarrollo intelectual del

niño/a.

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2.3 Evolución del pensamiento.

Jean Piaget determina que para cada edad existe un determinado desarrollo

mental.

El pensamiento lógico operativo y reflexivo se desarrolla en las siguientes

etapas:

Según Stern y Claparéde “ la inteligencia es entendida como la capacidad

para adaptarse psíquicamente a las situaciones nuevas” para Piaget, el

concepto de adaptación es esencial en la teoría de la inteligencia, en la cual se

explica que el pensamiento formal constituye un término de una construcción

activa y de un compromiso con el exterior.

Por lo tanto, la capacidad de pensar no es congénita y el psiquismo humano no

está formado al nacer.

Inteligncia Sensomotor

Inteligencia Objetivo

Inteligencia Lógico

Inteligencia Lógico Formal

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2.3.1. Etapas del pensamiento Las etapas del pensamiento están relacionadas, una a continuación de otra: la

primera prepara a la siguiente y así sucesivamente.

La aparición de las etapas del pensamiento pueden ser alterables según el

desarrollo endógeno del individuo, lo que no puede ser es saltarse las etapas.

Para comprender cada una de éstas se describen brevemente.

2.1.1.1 Inteligencia senso-motora.

Se extiende de 0-2 años, aproximadamente y durante ella se realiza la

adaptación del niño en el mundo exterior, a través de la coordinación de sus

movimientos y percepciones.

Son las primeras coordinaciones que realiza el bebé estimulado por el amor

que recibe de su familia, llegando a una serie de reflejos congénitos, cuya

actividad; poco a poco se va consolidando y acomodando a la naturaleza de

estímulos que le llegan del medio. Por un lado asimila el estímulo y por el

otro acomoda su esquema.

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La adaptación que caracteriza a la inteligencia surge del equilibrio entre

asimilación y acomodación, las cuales tienen un elemento común que es la

“acción” en donde los objetos existen para el niño sólo cuando permanecen en

su campo visual.

En esta etapa las acciones que el niño/a tienen son actos materiales de los que

no existe representación. El niño necesita ensayar repetidamente para observar

los resultados en su acción.

El niño al final de su segundo año ya no realizará ensayos, él imaginará el

resultado de sus modos conductuales.

Etapa de la Inteligencia Sensoriomotora:

1.El niño se desplaza, alcanzando diferentes objetos y juguetes, él descubre los

sonidos que produce al tocarlo y lanzarlo.

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La asimilación: en esta primera etapa se dan las primeras acciones físicas

inmediatas, que el niño manifiesta con su cuerpo y los sentidos (chupar, agarrar,

llorar), a través de sus diferentes habilidades.

La acomodación : es la que permite otras acciones nuevas, como alcanzar un

objeto deseado, o divertirse con él.

El niño disfruta de su familia y del amor.

Habilidad Social y Auditiva.

Habilidad social Habilidad Motora

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2 El niño/a mediante los primeros movimientos que realiza con su cuerpo

estimulado por los objetos y las personas de su entorno empieza a conocer

el mundo que lo rodea, aprendiendo de sus cualidades y posibilidades,

disfrutando de ellas.

Habilidad Motora. Habilidad Visual.

Habilidad Visual Motora.

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3 El niño/a conoce lo que está a su alrededor le encanta repetir el nombre de

los partes de su cuerpo, observar figuras, lanzar objetos y agarrarlos.

3.1)Primeros movimientos 3. 2)Agarrar Reflejos del Bebé (Habilidad Motora). 3.3) Agarrar, permite realizar 3.4)Agarrar (habilidad mo una nueva acción tora). Inteligencia: Alcanzar el muñeco deseado (habilidad visual).

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3.5) A la edad de 2 y 3 años los niños aprenden a caminar con ayuda de sus

padres, Les encanta realizar juegos de fantasía.

INTELIGENCIA OBJETIVO -SIMBÓLICA

Se inicia desde los 2 hasta 6 ó 7 años. En esta etapa el infante domina la

locomoción , va ampliando sus percepciones y su lenguaje lo ayuda a pensar.

Con los comienzos del pensamiento intuitivo, la inteligencia llega a ser capaz de

evocar imágenes mentales de figuras, objetos o personas con que el niño/a ha

tenido alguna experiencia.

El pensamiento del/a niño/a en esta etapa es preconceptual y prelógico no puede

realizar inclusiones de clases, ni coordinar entre ellas relaciones de Simetría y

Asimetría.

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Entre los cuatro y los siete años aproximadamente, el niño construye una serie de

menor a mayor y viceversa completa y correctamente.

Al terminar esta etapa es cuando el niño/a va desarrollando su capacidad para

realizar correspondencia biunívoca, comprensión de números cardinales de

algunas operaciones (adición, sustracción, multiplicación).

Por lo tanto, los/as niños/as de 6-7 años de edad cronológica, que ingresan a

primer grado de Educación Básica, no tienen las condiciones madurativas

indispensables que aseguren un aprendizaje correcto del número y del cálculo, en

el período de aprestamiento.

Habilidad gráfica Habilidad lógica motora.

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Habilidad motora y lógica. Habilidad motora auditiva.

Habilidad visual lógica Habilidad Social.

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ETAPA DE LA INTELIGENCIA LÓGICO-CONCRETA.

En la etapa de 7 a 11 años el/la niño/a tiene la capacidad de explicar con sus

propias palabras: ejemplos, juegos, gestos o dibujos, comprende lo que observa,

se le comunica o enseña.

El razonamiento en esta etapa actúa sobre datos que le hayan sido suministrados

por percepción y manipulación directa, pero no sobre hipótesis verbales.

Es decir, el pensamiento es lógico concreto, las operaciones están limitadas al

plano de lo concreto y requiere por lo tanto la presencia del objeto.

Los/las niños/as en esta etapa son capaces de observar y razonar dos variables

que cambian simultáneamente y cuyos comportamientos se compensan.

El pensamiento del niño/a no puede invertir mentalmente para conseguir la

reproducción del estado inicial.

Significa que las operaciones no han alcanzado todavía completamente un

equilibrio, lo cual tendrá lugar en las operaciones formales.

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Promueven operaciones Primeras agrupaciones mentales con diferentes Elementos.

Se interesa por aprender a que clase pertenecen los elementos.

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-ETAPA PENSAMIENTO LÓGICO FORMAL.

Se inicia desde los 12 años en adelante.

En esta etapa el adolescente compara lo que observa, ve y escucha y a su vez lo

diferencia de su propia experiencia personal, que le permite dar una respuesta y

actuar.

Dentro de esta estructura interna ya hay una coordinación de las acciones:

Combinar, disociar, ordenar, poner en correspondencia.

Puede poco a poco, establecer un equilibrio móvil en su pensamiento, encontrar

similitudes y diferencias, permitiendo formar criterio lógico ante sí mismo y el

mundo que lo rodea para continuar aprendiendo a aprender durante toda la vida.

Piaget afirma: “El desarrollo mental del sujeto no está solamente en función de

la edad, sino que es muy importante el contexto en el que se desenvuelve.

El niño es quien puede acelerar o retrasar la evolución de estas etapas.

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HABILIDADES EN RELACIÓN CON LAS ETAPAS DEL PENSAMIENTO.

Etapas Habilidades

Sensorio motora 0-2 a

Preoperatoria 3 – 7 años

Operatoria Concreta 7- 12 años

Operaciones formales > 12 años

Motoras Descubre su cuerpo y hace movimientos con él.

Visuales Aprende el nombre de los objetos. Reconoce sus colores y material con que .están hechos, los manipula y los dibuja.

Auditivas Escucha el sonido que producen diferentes objetos y sabe cual es su función.

Gráficas Identifica y dibuja la forma de símbolos (señales)

Lógicas Reconoce los movimientos interiorizados que puede realizar con su cuerpo e identifica las acciones que tiene que realizar cuando observa un símbolo. Distingue los símbolos y los clasifica.

Sociales Aprende y practica en la realidad el significado y función que tienen las normas.

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INTERACCIÓN DE LAS DIFERENTES HABILIDADES QUE

INTERVIENEN EN EL PENSAMIENTO DEL SER HUMANO.

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La gráfica y las figuras indican como se van utilizando, una etapa tras otra, sin

saltarse ninguna, las habilidades del pensamiento en el ser humano, facilitando

conducirse de manera inteligente.

Este es un sistema integrado, a cualquier edad, dentro del proceso de formación

del pensamiento del ser humano y/o en la estimulación de las diferentes

habilidades; ya que intervienen de manera gradual, unas más que otras,

dependiendo del grado de dificultad que presente la tarea o actividad a realizarse,

mediante el mecanismo de asimilación y acomodación ( Equilibrio móvil del

pensamiento).

Este método permite al ser humano elaborar y construir las bases necesarias

dentro de la estructura interna del pensamiento para aprender un nuevo concepto,

una actividad física, solucionar un problema o sugerir nuevas alternativas,

actuando con amor de manera inteligente y creativa.

2.3.2 PASO DE LO CONCRETO A LO ABSTRACTO.

Para la enseñanza de Matemática en Educación Básica, se requiere atender

aspectos importantes de modo que el/la alumno/a comprenda la naturaleza y

propiedades de cada operación, cubriendo las 3 etapas de la enseñanza:

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1- Concreta.

2- Semi-Concreta.

3- Abstracta.

- En la concreta, el/la alumno/a trabaja la operación manual que luego precede

a la operación aritmética. En esta etapa, la acción es acompañada con el

lenguaje. Así, el niño aprende el vocabulario elemental matemático,

simplemente describiendo las acciones que realiza.

- En la semi concreta, se trabaja con la representación gráfica. El lenguaje

gráfico puede ir, desde el dibujo más completo hasta los esquemas más

simples. El proceso debe tener un doble sentido: Ir de la operación concreta

al grafismo y viceversa.

La abstracta, es la iniciación de la representación simbólica de la operación.

La matemática es una ciencia que influye en las demás, siendo indispensable

para la formación integral del ser humano.

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Existe gran preocupación mundial por la enseñanza-aprendizaje de la

matemática y sobre todo acerca de cómo enseñar (métodos) en la escuela

parvularia y proseguir en la básica, facilitando al joven de manera progresiva el

paso a niveles superiores.

Para el logro de un mejor proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática,

el/la alumno/a debe trabajar los objetos concretos y tener oportunidad de

observar, comparar, inventar, imaginar, razonar y descubrir por sí mismo; de tal

manera que pueda establecer una relación con estructuras lógicas y matemáticas.

La enseñanza de la matemática, además de trabajar con los aspectos

mencionados anteriormente, debe proporcionar a los/as estudiantes elementos

para desenvolverse eficazmente en la vida diaria, tales como los mecanismos

básicos del cálculo y la composición de las estructuras y las formas. Igualmente,

debe ayudar a la formación de la personalidad del educando; es decir, la

enseñanza que debe hacerse resaltando los aspectos del razonamiento lógico,

reflexión, creatividad, análisis, síntesis, crítica, generalizaciones, desarrollo de la

actividad de investigaciones y operar en forma positiva en cada sector que

plantea el área de la matemática.

46

De esta forma se puede alcanzar una independencia intelectual que permite

entender la realidad y tomar decisiones razonables.

Los objetivos que se persiguen en la enseñanza de la matemática son los

siguientes:

1- Ofrecer bases sólidas para la comprensión de conceptos y estructuras

fundamentales de la matemática.

2- Desarrollar las capacidades y destrezas, para la mejor utilización de las

mismas en las diversas situaciones de la vida cotidiana.

3- Ayudar a la formación de la personalidad del educando, es decir, contribuir al

desarrollo de los aspectos de razonamiento lógico: reflexión, creatividad,

análisis, síntesis, y otros.

2.4 ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.

2.4.1 HISTORIA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.

Cuando surge la necesidad de contar, enumerar, clasificar y organizar; la

Matemática se constituye, durante mucho tiempo, como una ciencia formal del

47

espacio y cantidad; aunque la historia de ésta apunta que los intentos de

resolución de problemas matemáticos propuestos, tanto si se les ha dado

solución o se han dado como irresolubles, han permitido en gran medida la

producción significativa de conocimiento, constituyendo en estos tiempos un

amplio conjunto de modelos y procedimientos de análisis, cálculo, medida y

estimación en diferentes aspectos de la realidad o del entorno. También es muy

importante para la producción en la enseñanza de la Matemática la resolución de

problemas, estimulando el uso de capacidades cognitivas orientada a la

abstracción y al razonamiento lógico.

El conocimiento de la historia en la enseñanza de la Matemática brinda una

perspectiva dinámica de los cambios o metamorfosis de dicha asignatura, esto

permite destacar que tal enseñanza ha sido una actividad desarrollada a lo largo

de los siglos y que se ha utilizado con propósitos muy variados que han sido

influenciados, ya sea por las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del

momento, impactos de la cultura en general, tecnología y otros aspectos que han

requerido de su aplicación, constituyendo a su vez una magnífica guía del

pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y filósofos

contemporáneos, y un campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos

los tiempos.

48

El valor del conocimiento histórico no consiste en poseer un juego de historietas

o cuentos curiosos para entretener estudiantes, sino que la historia debe y puede

emplearse para desarrollar el razonamiento y hacer comprender ideas un tanto

difíciles, de la forma más sutil y adecuada.

Diferentes métodos del pensamiento matemático como Geometría Analítica,

pensamiento algebraico, probabilidad, cálculo infinitesimal y otros, han surgido,

en momentos o circunstancias históricas interesantes y peculiares, lo que hace

resaltar, que la historia en la enseñanza de la Matemática debe ser una

herramienta valiosa en este quehacer educativo.

2.4.2 SITUACIÓN ACTUAL EN LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA.

En palabras de Freudenthal (1991), didáctica de cualquier materia significa: “la

organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal

materia”.

49

La didáctica, como actividad general, ha tenido un desarrollo bastante amplio en

las cuatro últimas décadas y específicamente en los últimos 30 años. La didáctica

de la Matemática es renovada con cambios muy marcados en el currículo de esta

asignatura, conocido como: “ La nueva Matemática” o “Matemática Moderna”

que fue impulsada por didactas que sostienen que vivimos actualmente un

momento de experimentación y cambio.

Este movimiento de renovación produjo una honda transformación en la

enseñanza que lastimosamente no obtuvo los resultados esperados.

En el período de iniciación, las bases filosóficas que se propusieron satisfacían

las expectativas por una idea de “innovación”, la cual proponía a los estudiantes

una enseñanza basada en el carácter deductivo de la Matemática, lo que produjo

efectos como el de que no hay aprendizaje de conceptos, los alumnos no

dominan rutinas básicas de cálculo; además, produce nuevos movimientos

renovadores como: retorno a lo básico, la resolución de problemas y la

Matemática como actividad humana.

Sin embargo ,“ Steiner considera que la didáctica de la Matemática debe tender a

lo que Piaget denominó transdiciplinariedad lo que situaría a las investigaciones

50

e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las múltiples

disciplinas que permiten avanzar en el conocimiento de problemas planteados. A

pesar de multiples evoluciones en este campo, no termina la lucha entre los que

se inclinan por potenciar la comprensión mediante una visión amplia de la

Matemática y los que claman el restablecimiento de las técnicas básicas en

interés de la eficiencia y economía del tiempo en el aprendizaje.

Lo que se puede afirmar en estos días , con la mayor justificación, es que se

sigue una etapa de profundos cambios en la didáctica de la Matemática para

lograr que ésta no sea una aberración para los estudiantes, sino una herramienta

que conlleve a la resolución práctica de situaciones cotidianas.

2.4.3 TENDENCIAS INNOVADORAS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA.

Las tendencias innovadoras en educación matemática pretenden facilitar el

aprendizaje del/la alumno/a, para que no sólo operen, sino que piensen y

empiecen a razonar, ya que los problemas matemáticos no son más que juegos

en los cuales hay que encontrar resultados a partir de ciertos datos.

51

El pensamiento que prevalece acerca de la actividad que representa la

matemática posee un gran impacto; muchas veces, más de lo que aparenta. Por

tal razón, es necesario romper con aquellos medios y técnicas, ideas

preconcebidas fuertemente arraigadas en la sociedad, que se han originado con

probabilidad de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la matemática

es aburrida, absurda, inútil, inhumana y muy difícil, presentando y reconociendo

el interés de la incorporación de nuevas tecnologías para la enseñanza de ésta, en

las cuales es necesario tener en cuenta aspectos importantes como:

1- Una simbolización adecuada que permita presentar eficazmente, desde el

punto de vista operativo, las entidades que maneja.

2- Una manipulación racional del material que emplea.

3- Dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del

modelo mental que se construye y luego, si se pretende, de la realidad

exterior modelada.

52

Siendo la matemática una ciencia dinámica, los agentes de ella deben estar

atentos y dispuestos a los cambios que van surgiendo y que va exigiendo el

ambiente en que se está desarrollando.

La educación, por ser un sistema complejo, presenta generalmente una fuerte

resistencia al cambio; lo que, aunque no necesariamente sea malo, entorpece la

actividad matemática y no permite valorar los logros que se obtendrán al ejecutar

propuestas que innoven este proceso y que son parte de una renovación de la

enseñanza.

2.5 -TÉCNICAS LÚDICAS EN EL APRENDIZAJE.

Los juegos, en el aprendizaje de la matemática, son actividades de investigación

y resolución de problemas, que enfatizan:

1- El desarrollo del pensamiento lógico matemático.

2- El estímulo de habilidades, destrezas y capacidades, tomando como eje

central la interpretación y resolución de problemas teniendo en cuenta tres

conocimientos básicos:

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- El estratégico.

- El semántico.

- El algorítmico.

Estas actividades de investigación y resolución de problemas son recursos

novedosos para mejorar el conocimiento, orientados al desarrollo del

pensamiento: observación, atención, concentración, percepción, discriminación

visual, creatividad, coordinación motriz, juicio y razonamiento.

Utilizando problemas, juegos lógicos y de estrategias, se pretende que los

jóvenes desarrollen su capacidad lógica de razonamiento, ya que éstos deben dar

soluciones a las situaciones cotidianas de la vida.

Los juegos para la enseñanza aprendizaje deben ser seleccionados de acuerdo

con el contenido que se desea transmitir y el objetivo que se pretende alcanzar,

así como la edad y características especiales de los alumnos y alumnas con

quienes se ha de aplicar. Los juegos, además, cumplen la doble función de

formar y divertir, mejorando la motivación hacia el aprendizaje.

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2.5.1 CLASIFICACION DE LOS JUEGOS

CONOCIMIEN-TOS BÁSICOS ACTIVIDADES CARACTERÍSTICAS JUEGOS

Manipulativas

Manipulación de objetosconcretos a través de observación, diseño, construcción y composición

Construcción

Reflexión Desarrollo de la capacidad lógica y razonamiento.

- Problemas, - Juegos lógicos.

Estratégicos

Observación del entorno

Analiza, identifica y trabaja sobre su medio

- Rompecabezas - Cuadrados - Estrellas

mágicas - Mosaicos - Cubos - Laberintos - Geoplano - Poliminós.

Semánticos

Resolución de crucigramas y sopas de letras.

Hacen referencia al significado y dominio de conceptos.

- Palabragramas - Pirámides de

palabras. - Memoria.

Algorítmico. Procedimientos

para efectuar las operaciones

Dominio de Técnicas operatorias, organizando el conocimiento matemático- lógico.

Planteamiento y resolución de problemas.

2.5.2 JUEGOS EDUCATIVOS MATEMATICOS:

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1.- POLIMINOS

Creado por el matemático norteamericano Salomón W Coulomb, en 1954,

las posibilidades didácticas y pedagógicas se basan en los siguientes

aspectos:

- Generación de los distintos tipos de poliminós.

- Desarrollos planos del cubo.

- Formación de losetas que permiten teselar el plano.

- Manipulación del concepto de movimiento en el plano.

- Uso de los poliminós con fines lúdicos creativos.

2. ROMPECABEZAS

Entre los rompecabezas se tienen:

1- El Tangram:

- Inventado por los chinos hace varios siglos, está formado por:

2 triángulos pequeños

2 Triángulos grandes

1 triángulo mediano

1 cuadrado

1 romboide

Con estas piezas se pueden construir muchas figuras

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Además de éste existen tambien:

- El huevo mágico

- Tangram de 4 piezas

- Tangram Circular

- Rompecabezas de construcción propia.

3- POLICUBOS

Son cuerpos geométricos formados por cubos iguales, encajados por sus caras.

Por Ej. El cubo soma, que fue ideado por Pier Hein, escritor danés, quien

alcanzó a vislumbrar algunos teoremas geométricos.

4- GEOPLANO

Fue inventado por el matemático italiano Caleb Gaettano para enseñar

Geometría.

Es una plancha de madera u otro material, sobre la cual se clavan puntillas

simétricamente distribuidas.

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5.- PASATIEMPOS DE MONEDAS

Juegos en que se emplean monedas para indicar y realizar operaciones.

6.- CUADRADOS Y ESTRELLAS MAGICAS.

Completación de datos numéricos en cuadrados y estrellas, cumpliendo una

regla o indicación específica.

2.6 ASPECTOS SOCIALES Y CULTURALES DE LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

Generalmente , los estudiantes rechazan y tienen múltiples dificultades en

las clases de matemática y como resultado, existe aversión hacia esta

materia.

Según Bishop, “Existe tal animadversión que si yo le digo a alguien que

soy un profesor de matemática, me miran como si fuera un bicho raro. Si

le digo que me gusta la matemática, piensa que estoy loco. Si comento que

puedo ayudar a que también a los demás les guste, simplemente no me

creen, piensan que la matemática no es para disfrutar de ella sino para

sufrirla como una tortura necesaria para la mente” Estos calificativos que

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proporciona la humanidad se deben a factores tanto sociales como

culturales.

2.6.1 Factores Sociales

El carácter social de la educación matemática se enfoca en que en las

sociedades actuales es sumamente importante manejar conceptos

matemáticos que estén relacionados con la vida diaria, en el ámbito del

consumo, de la economía familiar y otras situaciones de la vida social.

Por esto es necesario que los estudiantes progresen a través de sus niveles

de estudio matemático y tengan una preparación precisa para el

conocimiento y la aplicación práctica.

2.6.2 Factores Culturales

La cultura es la otra importante área en el aprendizaje de la matemática.

Anteriormente se tenía la idea de que esta ciencia era un conocimiento

independiente del entorno cultural, pero recientemente esta idea ha sido

rechazada pues la matemática y su aprendizaje están ampliamente

vinculadas con todas las culturas; pues, aunque los currículos tengan

diferencias, en todos los países existe el quehacer matemático. La

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matemática representa en estos tiempos un elemento influyente en los

diferentes aspectos de la cultura humana.

La matemática es una de las ciencias básicas para el desenvolvimiento de

las personas en todo el mundo, aunque en toda la humanidad se ha

concebido como aburrida, áspera, difícil y hasta innecesaria, porque no le

ven aplicación práctica.

La matemática es una Ciencia, una disciplina que se observa en los

aspectos sociales y culturales; su aplicabilidad varía de acuerdo con la

necesidad. Por Ejemplo: los cálculos que se emplean a diario con las

conversiones del y al dólar.

La matemática es de uso múltiple y a quien no conoce de esta ciencia, le

será difícil solucionar de una forma lógica y precisa los problemas de la

vida cotidiana.