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Exposición de curvas y superficies : una experiencia extraacadémica

universitaria

Article · January 2001

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Juan Núñez Valdés

Universidad de Sevilla

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ARTÍCULOS

1

Índice36

febrero 2001

EDITORIAL3

5 La magia de las matemáticas.Brian Bolt

17 Requeteoremas: reinventando Teoremas en Geometría con Cabri II.José M. Pichel Cosme

23 Concepciones de los alumnos de secundaria sobre modelos probabilísticos enlas secuencias de resultados aleatorios.Luis Serrano, Carmen Batanero, J.J. Ortiz y M.a Jesús Cañizares

33 En la búsqueda de lo importante en el aula de Matemáticas.José M.a Chamoso Sánchez y William B. Rawson

43 Matemáticas electorales: desproporcionalidad y alianzas.Andrés Nortes Checa

51 Conjuntos convexos, funciones convexas y desigualdades clásicas.Antonio Álvarez Álvarez

IDEAS Y RECURSOS

57 Experiencias didácticas de matemáticas con Internet.Jesús Ángel Hernández Isla

67 ¿Paradoja matemática?Lucía Puchalt Guillem

73 Estudio de funciones con Derive.José de Francisco Estaire

77 Exposición de curvas y superficies: una experiencia extraacadémica uni-versitariaJuan Núñez Valdés, C. Aguilera, I. Fernández, M.J. Macías, A. Montaño, S.Pérez, I. Rivero, M.J. Romero, J.I. Sánchez y A.M. Serrato

DirectoresEmilio Palacián GilJulio Sancho Rocher

AdministradorJosé Javier Pola Gracia

Consejo de redacciónJesús Antolín Sancho

Eva Cid CastroBienvenido Cuartero Ruiz

Faustino Navarro CirugedaRosa Pérez GarcíaDaniel Sierra Ruiz

Consejo EditorialJosé Luis Aguiar BenítezJavier Brihuega NietoM.a Dolores Eraso Erro

Ricardo Luengo GonzálezLuis Puig Espinosa

EditaFederación Española de Sociedades

de Profesores de Matemáticas

Diseño portadaJosé Luis Cano

Diseño interiorConcha Relancio y M.a José Lisa

MaquetaciónE. Palacián, J. Sancho, D. Sierra

Revista SUMAICE Universidad de Zaragoza

C. Pedro Cerbuna,1250009-ZARAGOZA

Tirada: 6.500 ejemplaresDepósito Legal: Gr. 752-1988

ISSN: 1130-488XImpresión: INO Reproducciones. Zaragoza

Las ilustraciones de este número corresponden al calendario del año 2001 realizado por

la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas «Emma Castelnuovo».

2

Asesores

Pilar Acosta SosaClaudi Aguadé BruixAlberto Aizpún López

José Luis Álvarez GarcíaCarmen Azcárate GiménezManuel Luis de Armas Cruz

Antonio Bermejo FuentesJavier Bergasa Liberal

María Pilar Cancio LeónMercedes Casals Colldecarrera

Abilio Corchete GonzálezJuan Carlos Cortés López

Carlos Duque GómezFrancisco L. Esteban AriasFrancisco Javier FernándezJosé María Gairín SallánJuan Gallardo Calderón

José Vicente García SestafeHoracio Gutiérrez FernándezFernando Hernández Guarch

Eduardo Lacasta ZabalzaAndrés Marcos GarcíaÁngel Marín Martínez

Félix Matute CañasOnofre Monzo del OlmoJosé A. Mora Sánchez

María José Oliveira GonzálezTomás Ortega del Rincón

Pascual Pérez CuencaRafael Pérez GómezAntonio Pérez Sanz

Ana Pola GraciaIsmael Roldán Castro

Modesto Sierra VázquezVicent Teruel Marti

Carlos Usón Villalba

SUMAno se identifica necesariamente

con las opiniones vertidasen las colaboraciones firmadas

RECENSIONES

101 Taller de problemas: isoperimetros: Ficha didáctica en geometría. Métodos trigo-nométricos.Grupo Construir las Matemáticas

107 Mates y medios: Radio y matemáticas.Fernando Corbalán

109 Juegos: Sopa polinómica.Grupo Alquerque

113 Recursos en Internet: Cabri e InternetAntonio Pérez Sanz

117 Desde la Historia: Leyendo entre líneas la HistoriaCarlos Usón Villalba y Ángel Ramírez Martínez

121

RINCONES

Científicos griegos (F. Vera). Matemática emocional (I.M. Gómez Chacón).Matemáticas y vida cotidiana (Revista Ábaco). Galois, revolución y matemáticas(F. Corbalán). Monográfico: Año Mundial de las Matemáticas (Revista CátedraNova). Sistemas métricos y monetarios (M. Vázquez Queipo). Paseos matemá-ticos por Logroño (C. Usón y J.M. de Blas). Las matemáticas del siglo XX. Unamirada en 101 artículos (A. Martinón –editor–). En busca de Klingsor (J. Volpi).

CRÓNICAS133

XI Olimpiada Matemática Nacional de la FESPM: Prueba por equipos. Proyecto«Talento matemático» (fin del primer bienio).

CONVOCATORIAS139

X Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (X JAEM). XIXConcurso de Resolución de Problemas. 53 Encuentro de la CIEAEM.

MISCELÁNEA

85 Acerca del Libro de arena de Jorge Luis BorgesMiquel Albertí Palmer

ENTREVISTA

93 Ricardo Luengo: Secretario del Servicio de PublicacionesEmilio Palacián

INALIZADO EL AÑO 2000, cumple hacer balance y, sobre todo,buscar perspectivas de futuro al gran esfuerzo hecho por lacomunidad matemática española. Una primera apreciación,vistas las informaciones que nos llegan, es que en pocos países hahabido un volumen de actividad tan grande y que involucre atantas personas e instituciones. Para la Federación, el AMM2000no ha sido fruto de la improvisación, sino un paso más,importantísimo desde luego, de una trayectoria de trabajo y decrecimiento. Unidas nuestras fuerzas a las de otros sectores, lacapacidad de movilización conjunta ha sido extraordinaria.

Uno de los objetivos fundamentales del AMM2000 fue presentar algran público, al alumnado de todos los niveles, las facetas de lasMatemáticas menos conocidas: su importancia para las personasy para la sociedad, su imbricación con otras ciencias, su belleza ysu atractivo lúdico. Por desgracia, estos aspectos no suelen formarparte de la imagen escolar, rígida y aburrida, que la mayor partede la población escolar y adulta guarda de su paso por las aulas.

Buena parte de las actividades del AMM2000 se han dirigido acubrir este objetivo mediante exposiciones, conferencias, juegos,talleres, espectáculos, concursos de problemas, de narraciones o defotografía, entre otros. Aunque la mayoría de nuestras Sociedadestenían ya experiencia en este tipo de actuaciones, el AMM2000 haimpulsado la creación de recursos nuevos y los ha dado a conoceral resto de la comunidad matemática y al gran público.

Los medios de comunicación de ámbito local han recogido estasactividades, llegando algunos a ceder espacios con fines divulgativos.También ha sido importante la respuesta en revistas generalistas oespecializadas, y en menor medida en la gran prensa estatal, pocosensible a temas educativos. Sin embargo, la actuación de TVE hasido decepcionante, a pesar de la proposición de apoyo presentada

3

Y después del Año Mundialde las Matemáticas, ¿qué?

EDITORIAL

F

36

febrero 2001

por el Grupo Parlamentario Socialista ante el Comité de Control de RTVEy de las peticiones del CEAMM2000: la cobertura informativa ha sido casiinapreciable, e insuficiente la emisión y difusión de series científicas.

El papel de las instituciones en el desarrollo del AMM2000, respondiendoal llamamiento de las Cortes y de otros Parlamentos Autonómicos, ha sidomuy desigual. El Ministerio de Educación, que debería de haber prestadoun apoyo decisivo al CEAMM2000, del que formaba parte, se limitó aorganizar o a financiar alguna actividad. No hubo dinero para elAMM2000, y sólo gracias al Consejo Superior de Investigaciones Científicasy a las aportaciones de algunas Sociedades, se contó con un mínimoapoyo burocrático. Por suerte, la mayor parte de las administracioneseducativas autonómicas han sido más receptivas y han apoyado de mododecidido y eficaz la celebración del AMM2000 en sus territorios.

La falta de sensibilidad del MEC ante la educación matemática culminacon la gestación de un nuevo plan de estudios a espaldas del profesoradoque ignora las recomendaciones de la Jornada Matemática en elCongreso de los Diputados, de la Real Academia de Ciencias o de losSeminarios de la Federación. Por tanto, en otro gran centro de atencióndel AMM2000, el reconocimiento de la importancia de la educaciónmatemática, el balance no es positivo, aunque el camino no está cerrado:esperemos que los desarrollos curriculares que aborden las ComunidadesAutónomas, equilibren las propuestas educativas, dotándolas de losaspectos más ricos, innovadores y actuales que el MEC ha ignorado y delsuficiente número de horas para poderlos desarrollar debidamente.

Finalmente, el AMM2000 nos ha facilitado la confluencia con sectores dela comunidad matemática en los que sólo una minoría participaba antesen las Sociedades de Profesores. Hemos avanzado en la identificación deproblemas comunes como la necesidad de mejorar el enfoque en lasLicenciaturas de Matemáticas para adaptarlas a las nuevas necesidades,entre ellas la de formar al futuro profesorado de secundaria; lacoordinación entre el Bachillerato y la Universidad y el necesario cambiode la imagen de las Matemáticas en la sociedad.

Metas y problemas comunes, hacen que coordinación entre el profesoradode todos los niveles de enseñanza sea cada vez más necesaria. ElAMM2000 finaliza, pero nos deja cauces de relación estable, como son losconvenios de cooperación suscritos entre Sociedades o la subcomisiónespañola de ICMI, en la que confluimos la mayor parte de ella.

Una vez más, hay que agradecer el esfuerzo del profesorado en cadacentro de enseñanza, en cada zona y en cada Sociedad en torno al 2000,que nos ha permitido disfrutar de las Matemáticas, compartirlas con lagente y seguir aprendiendo. Y animaros a seguir trabajando en esamisma línea, desde el convencimiento de que es una buena manera paramejorar nuestra educación matemática, objetivo prioritario de la FESPM.

María Jesús Luelmo

Presidenta de la FESPM

4

XISTEN MUCHAS FORMAS de estimular el interés de losniños hacia las matemáticas. A una edad temprana éstosson, por naturaleza, curiosos y continuamente formulan lapregunta ¿por qué? Nuestra enseñanza a menudo mata suinterés y su pregunta se transforma en ¿para qué tenemosque hacer esto? Durante el tiempo que voy a estar convosotros compartiremos algunas ideas que estimulan elpensamiento matemático y que, sin duda, crean interés.Alguno de vosotros puede que ya las conozca, pero espe-ro que la mayoría de estas ideas sean nuevas y las podáisañadir a vuestro repertorio.

* Conferencia leída con motivodel proyecto TIEM98 patroci-nado por el Centr de RecercaMatemàtica del Institutd’Estudis Catalans.

Traducción: Nùria Planas

5

La magia de las matemáticas*

Brian Bolt

ARTÍCULOS

E

36

febrero 2001, pp. 5-15

¿Cuál fue la última vez que contásteis a vuestros alumnoslas propiedades mágicas de una cinta de Möbius? Cuandouna tira de papel larga y delgada se une por sus extremoscomo una correa, ésta tiene claramente dos aristas y doscaras distintas. Si usamos unas tijeras para cortarla longi-tudinalmente, se formarán dos cintas como la original.Ahora observemos la cinta que se forma cuando torcemos180° un extremo de la tira de papel antes de unir susextremos.

Curiosamente, esta nueva cinta tiene una sola arista. Siuna mosca decidiera caminar por la arista de la tira de

Las Matemáticas son el reconocimiento,el análisis y el uso de patrones.

papel, llegaría al punto de partida después de darle lavuelta dos veces siguiendo la única arista. Si empiezo acolorear la superficie y espero encontrar una parte interiory una parte exterior, me llevaré una gran sorpresa puestoque la cinta tiene una sola cara continua. ¿Qué sucederá sila corto longitudinalmente por la mitad?

Experimentos como los anteriores debe-rían plantear una pregunta importante:«¿Qué sucede si…?». De hecho, hacermatemáticas está relacionado con la for-mulación de preguntas.

Ahora vayamos a por un truco numéricoque supongo que todos conocéis, peroque siempre es fascinante para alguienque lo ve por primera vez. Tomemoscualquier número de tres dígitos, abc, yluego formemos otro número de tresdígitos cambiando el orden de los dígi-tos del primer número, cba. Restemos elnúmero menor del mayor para encontrarla diferencia, que es otro número de tresdígitos, pqr. Sumemos pqr y rpq y elresultado es siempre 1089. Bueno, nosiempre, ya que si al principio a = c, pqr= 000 y el truco no funciona.

¿Por qué funciona en la mayoría de loscasos? ¡Probadlo con otro ejemplo! Lasolución puede explicarse fácilmente através del álgebra pero el siguienterazonamiento nos proporciona unanueva visión:

621 – 126 = 601 – 106 =

= (6 ¥ 99 + 6 + 1) – (1 ¥ 99) + 1 + 6 =5 ¥ 99 = 495

En este paso el dígito de las decenas essiempre 9 y los dos dígitos exterioressuman 9, por tanto, el número que seforme intercambiando la posición de losdígitos tiene la misma propiedad y estambién un múltiplo de 99. Si pensamosveremos que la suma final siempre será

11 ¥ 99 = 1089.

Intentar extender este patrón a númerosde cuatro dígitos no es tan fácil ya queexisten distintos resultados posibles, sien-do, curiosamente, 10890 uno de ellos.

Si tuviera que dar una definición deMatemáticas diría algo parecido a esto:

6

¿Os ha sorprendido? ¡Hemos obtenido una única cinta dosveces más larga que la original! Ahora vayamos a por otrasorpresa. Esta vez cortaremos la cinta de Möbius longitu-dinalmente a un tercio de su arista, por lo que sólo vol-veremos al punto de partida después de dos circuitos.¡Magia! Tenemos dos eslabones de una cadena, uno de loscuales es dos veces más largo que el otro. ¿Habríamossido capaces de predecir el resultado? Bien, el lazo máslargo de la cinta está formado por las dos aristas de lacinta de Möbius original y el lazo corto es la cinta Möbiusmucho más estrecha.

Otro divertido truco de matemáticos consiste en atar jun-tas a dos personas mediante dos trozos de cuerda (comopuede verse en la figura adjunta) y proponerles que tra-ten de separarse sin desanudar ninguno de los nudos.

621– 126

495+ 594

1089

Es muy posible que los participantes acaben hechos unverdadero lío, pero con suerte podré demostraros lo fácilque resulta separarlos. Supongamos que las dos personasque aparecen en la figura son Jordi y Nuria. Nuria debetomar su cuerda por la mitad y pasarla bajo el lazo decuerda que rodea la muñeca derecha de Jordi, por la parteinferior de la muñeca y en la dirección que va del codo ala mano. A continuación, debe pasar un lazo de la cuer-da sobre la mano de Jordi hacia la parte superior de lamuñeca. ¡Ahora debe ser capaz de irse, separada por finde Jordi! Sus propias muñecas estarán aún atadas pero yano estará unida al otro. Nótese sin embargo, que si Nuriahubiese intentado pasar su cuerda a través del lazo querodea la muñeca izquierda de Jordi, terminaría con sucuerda más enredada con la de éste que antes.

De hecho,hacer

matemáticasestá

relacionado conla formulaciónde preguntas.

Quizás ya conocéis mis «Cartas de Lec-tura Mental», pero dejadme mostraroscómo funcionan. Pensad en un númerodel 1 al 31. Las cinco cartas que tengoaquí contienen estos números, perocada carta sólo contiene la mitad deellos. Cuando os muestre una carta ten-dréis que decir «SÍ» si contiene vuestronúmero y «NO» si no lo contiene. Serécapaz de deciros inmediatamente elnúmero que habéis pensado. ¿Cómofunciona? Aquí tenéis las cartas:

Cuando vosotros decís «SÍ» a una carta, yo añado ese peso.Cuando decís «NO», ignoro ese peso. Para decidir qué núme-ros deben ir en cada carta sólo se debe hacer una tablacomo la siguiente… y observad cuan interesante es el patrónde marcas que os ayudará a completarla rápidamente:

7

1 3 5 79 11 13 15

17 19 21 2325 27 29 31

2 3 6 79 11 14 15

18 19 22 2326 27 30 31

4 5 6 712 13 14 1520 21 22 2328 29 30 31

8 9 10 1112 13 14 1524 25 26 2728 29 30 31

16 17 18 1920 21 22 2324 25 26 2728 29 30 31

16 8 4 2 1

1 √2 √3 √ √4 √

5 √ √6 √ √7 √ √ √8 √

9 √ √10 √ √11 √ √ √12 √ √

13 √ √ √14 √ √ √15 √ √ √ √16 √

17 √ √

Imaginad que tenéis una balanza perosólo 5 pesas de: 1, 2, 4, 8 y 16 kg.Todos los pesos entre 1 kg y 31 kg pue-den pesarse gracias a una única combi-nación de estas pesas. Tomemos 29 kgcomo ejemplo:

29 kg = 16 kg + 8 kg + 4 kg + 1 kg

ninguna otra combinación de pesas dará29 kg.

Cada una de mis cinco cartas corres-ponde a una pesa, y los números quehay en ellas me dicen cuándo debo usaruna pesa para una cantidad concreta.Por ejemplo, para 29 kg encontraréisque el 29 está en la carta que empiezapor 16, en la que empieza por 8, en laque empieza por 4, en la que empiezapor 1, pero no en la que empieza por 2.

856413

374938

143586

530227

+ 469772

2374936

A continuación vamos a ver un truco de sumas. Tomemosdos números de 6 cifras. Parece justo que yo tambiénañada uno. Ahora quiero que me deis otro número de 6cifras y yo también añadiré uno e inmediatamente os daréel resultado de la suma de los cinco números. ¿Quierealguien comprobar mi suma? ¿Cómo he podido hacer uncálculo tan rápido?

Ahora pensad en lo que conocía cuando escribí mi núme-ro. Había escrito dos de vuestros números. Escribí el míofijándome en uno de vuestros números y relacionándolocon él. Si os digo que el mío está relacionado con vues-tro primer número, ¿podéis ver la conexión? Bien, paraformar mi número le resté a 9 cada uno de los dígitos devuestro primer número; por lo tanto, 856413 + 143586 =999999 = 1000000 – 1. De igual modo, escribí mi segun-do número restando 530227 de 999999, por lo que 530227+ 469772 = 999999 = 1000000 – 1.

Con todo esto, cuatro de los cinco números que debensumarse dan 2000000 – 2, por lo tanto la respuesta es 2millones más el número no utilizado menos 2. Las parejasde números que se añaden para formar una secuencia denueves se llaman complementos a nueve, y pueden usar-se ingeniosamente para realizar una resta.

Supongamos que quiero restar 38769 de 72134. Sustituyoel segundo número por su complemento a nueve y hagouna suma. Luego tacho el 1 que está al principio de la res-puesta y lo añado a la cifra de las unidades. El númeroresultante es la respuesta que se requería. Para entender

72134 72134– 38769 Æ + 61230

(1)33364+ 1

33365

el porqué, debéis ver que lo que he hecho es equivalentea 72134 + (99999–38769) – 100000 + 1. Este método fun-ciona para cualquier resta y se conoce como la resta a par-tir de la realización de una suma complementaria.

Los dos patrones numéricos bidimensio-nales siguientes pueden analizarse demuchas maneras. He tapado algunosnúmeros y la tarea consiste en decidircuáles son.

8

a b c d e f

a+b b+c c+d d+e e+f

… … … …

… … …

… …

a+f+5(b+e)+10(c+d)

Ahora voy a contaros otro truco numérico. ¿Me daráalguien un número de seis cifras?

Voy a sumarlos por parejas pero sólo anotaré la cifra delas unidades, y lo haré línea a línea hasta obtener un solodígito. Pero antes de empezar voy a predecir el númeroque va a quedar al final. A partir del número que mehabéis dado espero terminar en el 9. Probémoslo denuevo con otro número de seis cifras. ¿Alguien quieredarme un número? ¿Cómo lo hago?

92 15 37 59 81 4 26 48 70

11 33 55 77 99 22 44 66 88

29 51 73 95 18 40 62 84 7

47 69 91 • 36 58 80 3 25

65 87 10 32 54 76 98 21 43

83 6 28 50 72 94 17 39 61

2 24 46 68 90 13 • 57 79

20 42 64 86 9 31 53 75 97

38 60 82 5 27 49 71 93 16

56 • 1 23 45 67 89 12 34

74 96 19 41 63 85 8 30 52

26 59 15 48 4 37 70

5 38 71 27 60 16 49

61 17 50 6 • 72 28

40 73 29 62 18 51 7

19 52 8 41 74 30 63

75 31 64 20 53 9 42

54 10 43 76 32 65 21

33 66 22 55 • 44 77

12 45 1 34 67 23 56

68 24 57 13 46 2 35

47 • 36 69 25 58 14

Bien, los dos números del centro no contribuyen paranada en la obtención del número final, por tanto, pode-mos ignorarlos. Si los dos números siguientes, a derechao izquierda respectivamente, son ambos impares o parestambién podemos ignorarlos y la respuesta final es lasuma de los dos números exteriores. No obstante, si losdos dígitos son uno par y el otro impar, entonces debe-mos sumarle 5 a los dígitos exteriores para obtener la res-puesta final.

Esta idea la recogí en Barcelona en no-viembre de 1995 cuando estaba dandouna conferencia en el Museo de laCiencia. Siempre que la he presentadoante una audiencia, parece que encuen-tran los números que faltan de forma dis-tinta. Tomemos, por ejemplo, el númeroque está en en la cuarta fila y la cuartacolumna. ¿Descubrísteis que se trata del14? Si observáis las diferencias entre losnúmeros, restando de izquierda a dere-cha, veréis que siempre es 22, peroluego, cualquier número que sobrepaseel 99 debe reducirse, restándole 99,como si fuera una esfera de reloj con losnúmeros del 1 hasta el 99.

5 7 4 2 8 9

2 1 6 0 7

3 7 6 7

0 3 3

3 6

9

Esto queda claro cuando analizamos el truco algebraica-mente y aparece el modelo del triángulo de Pascal mos-trando cómo, de hecho, los dígitos del centro se multipli-can por 10 y los que están a su lado por 5.

Esta ideala recogí

en Barcelonaen noviembre de

1995cuando

estaba dandouna conferencia

en el Museode la Ciencia.

Vosotros mismos podéis construir un pa-trón similar, empezando con el número 1donde queráis y recorriendo la diagonalNE. Cuando lleguéis al extremo se consi-derará que es continua en el extremoopuesto. El segundo patrón, que incluyelos números del 1 al 77, se contruyó deforma pareciada, pero aquí saltando cadavez dos cuadros antes de sumar 8.

Voy a presentaros un juego muy sim-ple. En primer lugar querría que dos devosotros salierais aquí delante a jugar.¡Os prometo que no será difícil! Eljuego se llama, tres cartas total 18.

En mi mano tengo las cartas 2, 3, 4,5,… hasta el 10 de diamantes. No senecesitan las cartas para jugar, se puedesimplemente escribir los números del 2al 10 en un trozo de papel. Dos juga-dores tomarán por turnos una de lascartas. La primera persona que tengatres cartas que sumen 18 es la ganado-ra. Coger un 10 o un 8 no es una buenajugada, puesto que se deben tener trescartas que sumen 18, aunque es posiblehaber cogido más de tres cartas antesde tener tres cuya suma sea 18.

Si observamos los números de arriba aabajo en las columnas veremos que seincrementan en 18, mientras que en lasdiagonales, de izquierda a derecha, seincrementan en 40. No obstante, elpatrón más fácil se encuentra en las dia-gonales superiores de izquierda a dere-cha, donde los números se incrementanen 4. Así fue como contruí el patrón ytambién la forma más rápida de encon-trar los números que están ocultos.

Anotaré las cartas que escogéis para que podáis ver comofunciona el juego. Cuando lo realizo con audiencias britá-nicas, los hombres tienden a escoger los números másaltos para empezar, mientras que las mujeres empiezancon los números más bajos. Pero, ¿cuáles son los mejoresnúmeros, si es que los hay, para empezar el juego? ¿Cómolo podemos descubrir?

Después de haber comprendido el juego estoy seguro deque muchos de vosotros querréis probarlo. Me gustaríahacerlo pero no tenemos demasiado tiempo y quiero com-partir muchas más ideas con vosotros. Para analizar estejuego parece claro que, en primer lugar, debéis buscar todaslas combinaciones de tres cartas que sumen 18. Los niñosencuentran esto bastante difícil, ya que no tienen ningunaestrategia para saber cuándo las han encontrado todas.

Mi estrategia es la siguiente: empiezo con el 10, el núme-ro más alto y busco cuál es el número más alto que lepuedo añadir para sumar 18. Dado que el número máspequeño es 2, 6 debe ser el número más alto. Despuésreduzco 6 a 5 e incremento 2 en 3, y sigo teniendo un totalde 18. No puedo repetir este proceso, luego escojo el 9 yle sumo el número más alto posible, que es 7. Luego pro-cedo como antes, es decir, le resto 1 al segundo número yle sumo 1 al tercero, hasta que no puedo más. Despuéshago lo mismo con el 8.

9

a

a

a + 18

a

a + 40

a + 4

a

a + 22

10 + 6 + 2

10 + 5 + 3

9 + 7 + 2

9 + 6 + 3

9 + 5 + 4

8 + 7 + 3

8 + 6 + 4

7 + 6 + 5

De este modo encuentro que sólo hay 8 posibles combi-naciones ganadoras. Si las analizamos con más detalle ve-remos que puede ser útil observar con qué frecuencia apa-recen los números del 2 al 10 en una combinación gana-dora. Los números 2 y 10 y también 4 y 8 sólo aparecen endos de las ocho combinaciones ganadoras, pero el 6 apa-rece en 4, es decir, en la mitad de combinaciones ganado-ras. Por tanto, el jugador que escoja el número 6 controlaautomáticamente la mitad de las posibilidades ganadoras.

Si esto no os resulta suficiente para ganar, fijaros en elcuadrado mágico de la izquierda.

Estoy seguro de que ya os habíais encontrado con loscuadrados mágicos anteriormente. Éste contiene los

9 2 7

4 6 8

5 10 3

nueve números del 2 al 10 y la suma de los tres númerosen cada fila, cada columna y cada diagonal es 18. Por lotanto, las combinaciones ganadoras del juego de cartascorresponden a las filas, las columnas y las diagonales delcuadrado. Cada vez que escogéis un número estáis utili-zando una de las casillas del cuadrado y para ganar nece-sitáis tener tres en raya. Por lo tanto, lo que estáis hacien-do es jugar al tres en raya.

Si sabéis cómo fabricar cuadrados mágicos 3 ¥ 3 podéishacer tantos conjuntos de cartas como queráis para jugarcon vuestros alumnos. Si deseáis, podéis poner fraccioneso números negativos y hacer que el cuadrado, y por con-siguiente el juego, sean tan difíciles como queráis.

Veamos lo sencillo que es construir un cuadrado mágico3 ¥ 3. El secreto es saber que el total mágico debe ser tresveces el número que pongamos en el centro. Supongamosque escribimos 8 en el centro, entonces el total mágicodebe ser 24. A continuación escojo otros dos números ylos sitúo en las dos esquinas superiores. Supongamos quehe elegido el 2 y el 9, entonces el resto del cuadrado debellenarse teniendo en cuenta que todas las líneas debensumar 24. Por tanto, ahora el juego se jugaría usando losnúmeros 1, 2, 3, 7, 8, 9, 13, 14 y 15 y el objetivo sería con-seguir tres cartas que sumaran 24.

Entonces, tomamos las sumas de la filacentral, y las dos diagonales:

a + e + i = d + e + f = g + e + c =T

y hacemos la suma:

(a + d + g) + 3e + (i + f + c) = 3T

T + 3e + T = 3T,

por lo tanto, 3e = T.

Voy a mostraros ahora otros juegos, quea primera vista parecen ser bastante dis-tintos, pero que si los analizamos endetalle veremos que tienen exactamentela misma estructura subyacente. Para unmatemático son equivalentes al tres enraya, siguen el mismo modelo, por loque se denominan isomorfos. Recono-cer patrones semejantes en situacionesaparentemente distintas es una actividadcrucial en matemáticas.

Diseñé el primero de estos juegos paraun Taller de Matemáticas que se celebródurante unas Navidades. Dos jugadorestenían 9 cartas con palabras para escoger:

RUM SOCK BABY

HOLLY XMAS CRIB

CANDLE TURKEYS HOME

Por turnos debían escoger cartas, de unaen una, con el objetivo de tener trespalabras con una letra en común. Porejemplo, RUM, XMAS y HOME todas tie-nen una M. Este juego exige una mayorconcentración que el juego numéricobasado en un cuadrado mágico, aunqueescogí las palabras minuciosamente paraque formaran una cuadro de 3 ¥ 3, en laque las palabras de cada fila, columna ydiagonal tuvieran, tal y como muestro,una letra en común. Es importante queninguna de las letras comunes aparezcaen otras palabras, o que tres palabrasque no estén en una misma fila puedantener una letra en común.

10

XMAS RUM HOME

BABY TURKEYS HOLLY

CANDLE CRIB SOCKS

A R O

M

Y

C

S E

T = 24

Una propiedad interesante que comparten todos los cua-

drados mágicos 3 x 3 es el hecho de que la suma de los

cuadrados de números que se hallan en las columnas

exteriores y los de las filas exteriores da el mismo resul-

tado. En el caso anterior, por ejemplo:

22 + 132 + 92 = 4 + 169 + 81 = 254

72 + 32 + 142 = 49 + 9 + 196 = 254

y

22 + 152 + 72 = 4 + 225 + 49 = 278

92 + 12 + 142 = 81 + 1 + 196 = 278

No puedo acabar esta parte sin mostraros una prueba del

hecho de que el total mágico de un cuadrado 3 ¥ 3 es tres

veces el número central. Si los números del cuadrado son

a, b, c, d, e, f, g, h y i, y el total mágico es T.

• •/

/

2 9

8

2 13 9

15 8 1

7 3 14

a b c

d e f

g h i

Reconocerpatrones

semejantesen situacionesaparentemente

distintases una actividad

crucialen matemáticas.

Este juego es, como el anterior, isomor-fo al tres en raya. Si se tienen las pala-bras adecuadas, descubrir las ocho com-binaciones de grupos de tres palabrascon una letra común y luego ver quépalabras son más importantes es unejercicio interesante. Estoy convencidode que podréis hacer vuestro propiojuego con palabras en español.

El siguiente juego tiene una aparienciamuy distinta. El mapa adjunto pretenderepresentar ocho ciudades que estánentrelazadas por nueve autopistas.

drado mágico que se conoce es un cuadrado mágico 3 x 3que contenía los números del 1 al 9 y que se atribuye alemperador chino Yu, que reinó alrededor del año 2200antes de Cristo. En 1514 Durero hizo un grabado, La Melan-colía, que contiene un cuadrado mágico 4 ¥ 4 con losnúmeros del 1 al 16 distribuidos de tal modo que el año desu realización aparece en el centro de la fila inferior.

En total existen 880 cuadrados mágicos 4 ¥ 4 distintos quecontienen los números del 1 al 16 y que fueron publica-dos por primera vez por el francés Frénicle en 1693.¿Cómo logró encontrarlos todos? ¡A mí me costó tantoencontrar el primero!

En primer lugar, podemos observar que el total mágicodebe ser 34 ya que los números del 1 al 16 formarán cua-tro filas que suman el mismo total. Por lo tanto:

T = (1 + 2 + … + 16)/4 = 34

Pero lo que me fascina es observar que conjuntos de cua-tro números de los cuadrados que no están ni en las filas,ni en las columnas ni en las diagonales también suman 34.Tomemos el cuadrado de Durero que acabo de reproduciry fijémonos en las posiciones de los siguientes conjuntos:

16, 13, 4, 1 16, 3, 5, 10

3, 8, 14, 9 16, 2, 7, 9

5, 9, 8, 12 5, 3, 14, 12

¿Existe algún conjunto simétrico de cuatro números queno sume 34? La cantidad de conjuntos que suman 34 esmuy grande.

Una vez que hemos encontrado una solución, ¿cómo pode-mos encontrar otra a partir de ella? Si cambiamos el orden delas filas, se mantiene su total, pero el total de las diagonalesnormalmente cambia. Lo mismo ocurre con las columnas. Noobstante, hay algunas permutaciones de filas o columnas quemantienen el total de las diagonales y nos dan, por lo tanto,una nueva solución. Las tres soluciones siguientes se hanencontrado intercambiando pares de filas o de columnas, oambas, partiendo del cuadrado mágico de Durero.

11

A

E

G

B9

2

4

1

5

F

3

7

8H

C D

Dos jugadores sobre el mismo mapa y,por turnos, usan colores para quedarsecon una de las autopistas. El primerjugador que tiene tres autopistas queconducen a una misma ciudad es elque gana. Matemáticamente puedeconsiderarse como dual de los juegosanteriores, sólo que aquí buscamos treslíneas que lleven a un punto en lugarde tres puntos de una línea. Debemosobservar que hay tres autopistas quellegan a cada una de las ciudades, quecorresponderían a tres números o a trespalabras en una línea dentro de un cua-dro 3 ¥ 3. La autopista central que cruzacuatro de las ciudades A, B, C y D,desempeña el mismo papel que elnúmero central de un cuadrado 3 ¥ 3ya que utiliza en una sola jugada lamitad de las ocho ciudades. Por otrolado, una autopista que une sólo dosciudades corresponde a los númerosque están en el centro de los lados deun cuadrado 3 ¥ 3, ya que sólo estánpresentes en dos líneas.

Los cuadrados mágicos me fascinan y,probablemente, han fascinado a otrosmuchos antes que a mí. El primer cua-

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

5 10 11 8

16 3 2 13

4 15 14 1

9 6 7 12

10 5 8 11

3 16 13 2

15 4 1 14

6 9 12 7

3 16 13 2

10 5 8 11

6 9 12 17

15 4 1 14

Los cuadradosmágicos

me fascinany, probablemente,

han fascinadoa otros muchos

antes quea mí.

Este es un comienzo alentador, pero podemos hacer algomejor con otra de las 880 posibilidades que H.E. Dudeneydescribió como «Diabólicas», puesto que eran inclusomucho más mágicas que las de Durero. Imaginemos elcuadrado mágico que muestro a continuación como siestuviera en un rodillo, de modo que la fila superior desa-pareciera y volviera a aparecer por la parte inferior. Esteproceso puede repetirse tantas veces como sea necesariohasta que la fila superior haya estado en cada una de lascuatro posiciones. Del mismo modo, el cuadrado puedeenrollarse lateralmente y las columnas desaparecer por laderecha y volver a aparecer por la izquierda. Estos movi-mientos se pueden combinar para conseguir que el núme-ro 1 esté en cualquiera de las 16 posiciones del cuadradoy cada movimiento retiene la propiedad mágica total. Acontinuación muestro algunas de las posibilidades:

Mi método consiste en colocar losnúmeros del 1 al 16 en orden en uncuadro 4 ¥ 4 y después cambiar losnúmeros centrales de las filas o colum-nas de los lados por los diametralmenteopuestos. Éste es, esencialmente, el cua-drado mágico de Durero, y quizás fueasí como lo descubrió. Al intentar bus-car otro punto de partida, me dí cuentade que podía poner los números del 1al 16 en el cuadrado llenando primerodos columnas y luego las dos restantes;después se cambian los números queestán entre los vértices por sus diame-tralmente opuestos.

12

1 14 2 12

15 4 9 6

10 5 16 3

8 11 2 13

4 9 6 15

5 16 3 10

11 2 13 8

14 7 12 1

15 4 9 6

10 5 16 3

8 11 2 13

1 14 7 12

5 16 3 10

11 2 13 8

14 7 12 1

4 9 6 15

Otro tipo de transformación que siempre convierte uncuadrado mágico en otro también mágico es la que eneste caso se representa mediante n Æ 17 – n

16 3 10 5

2 13 8 11

7 12 1 14

9 6 15 4

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

1 15 14 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 16

Aplicado al cuadrado de Durero se genera el mismo cua-

drado, mientras que a partir del cuadrado diabólico se

genera otro nuevo. No obstante, el problema sigue sien-

do: ¿cómo puedo encontrar un cuadrado para empezar

con el que pueda generar varias transformaciones?

1 9 2 10

3 4 11 12

5 6 13 14

7 8 15 16

1 9 2 10

3 11 4 12

5 13 6 4

7 15 8 16

1 15 8 10

14 4 11 5

12 6 13 3

7 9 2 16

1 8 15 10

14 11 4 5

12 13 6 3

7 2 9 16

1 9 10 2

3 11 12 4

5 13 14 6

7 15 16 6

1 16 15 2

6 11 12 5

4 13 14 3

7 10 9 8

Antes de finalizar este tema, me sientoen la obligación de mostraros un cua-drado mágico de 4 ¥ 4 que está en lafachada de la Pasión del Templo de laSagrada Familia de Gaudí. En él, losnúmeros 10 y 14 aparecen dos vecesmientras que los números 12 y 16 noestán. Tiene un total mágico de 33. Eneste momento no tengo ninguna ideaacerca del significado de la disposiciónde los números en el cuadrado. Sólo séque es mágica. Por tanto, le estaré muyagradecido a quien pueda darme algu-na información.

1 14 14

11 7 6

8 10 10

4

9

5

13 2 3 15

…un cuadradomágicode 4 ¥ 4que está

en la fachadade la Pasióndel Templo

de la SagradaFamilia

de Gaudí.

Otro de los temas que uso los sábadospor la mañana en unas clases para niñosde 13 años, cuyo objetivo es mejorar sucompetencia en matemáticas, está basadoen el análisis y la resolución de una granvariedad de configuraciones mágicas.Para ilustrar las ideas en que se basa elcurso, quisiera contaros un problemaconcreto, las estrategias para resolverlo yalgunas de las nuevas ideas que descubrí.

Se deben poner los números del 1 al 8en los vértices de un cubo de tal modoque la suma de los cuatro números quequedan en cada una de las seis caras déel mismo resultado.

La siguiente parte de mi estrategia, que habitualmente esmuy potente para solucionar problemas de este tipo, con-site en considerar la posible distribución de los númerosprimos. En primer lugar, sabemos que el total de la cara espar y necesitamos considerar sólo cómo colocar cuatronúmeros impares en los vértices para conseguir este total.Sólo hay tres formas de hacerlo, y a partir de nuestro aná-lisis previo, no tardaremos mucho en encontrar todas lassoluciones.

13

Es evidente que se podría buscar unasolución usando inteligentemente estra-tegias de ensayo y error, pero es posi-ble idear otras estrategias.

Supongamos que la suma de los cuatrovértices de cada cara sea T, entonces:

6T = 3(1 + 2 + 3 + … + 8) = 3 ¥ 36

puesto que hay seis caras. Esto permiteobtener el valor de T = 18 que es unainformación relevante.

Si se toman los números que quedan endos caras contiguas. Como

a + b + x + y = x + y +c + d,

se tiene que: a + b = c + d.

Podemos decir que los pares de núme-ros que están en aristas opuestas delcubo suman siempre lo mismo.

a

by

x

c

d

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

67

1

2

34

5

6

7

8

8

La primera distribución posible con todos los númerosimpares en una cara se debe rechazar ya que

1 + 3 + 5 + 7 = 16

y no 18. No obstante, en la segunda distribución posible,en la que los números pares se enparejan en aristas opues-tas, es fácil ver que las parejas han de ser (1, 7) y (3, 5) encierto orden ya que es la única manera de que su sumafuera igual (1 + 7 = 3 + 5 = 8), que es una condición nece-saria. Esto hace que deban colocarse los cuatro númerospares en el otro par de aristas paralelas opuestas, ordena-dos de tal modo que su suma sea 10. En la siguiente figu-ra, a la izquierda, están las dos posibles soluciones:

La tercera posible distribución de los números impares,en los vértices de un tetraedro regular, conduce a una ter-cera solución (cubo de la derecha en la figura anterior).

Una estrategia para generar nuevas soluciones a partir delas existentes en una configuración mágica de este tipoconsiste en usar una transformación del tipo n Æ N – nen la que N sea el número siguiente al mayor de losnúmeros utilizados. En este caso n Æ 9 – n es la trans-formación que se necesita, aunque, en este caso, nogenera ninguna solución nueva.

Hoy mientras estaba sentado en mi despacho en el CRMpensando en esta conferencia y mirando algunos de losmodelos en 3D que había construido para mis conferen-cias sobre geometría, tuve varias ideas con las que pudevisualizar una gran gama de problemas a partir del cubo,y me gustaría contároslas.

Imaginemos que estamos mirando un cubo a través deuna de sus caras y proyectamos lo que vemos en unplano. Esto produce lo que se denomina un diagrama deSchlegel, una red en 2D que topológicamente tiene lasmismas características que el cubo. Si mantenemos losmismos números que teníamos en los vértices del cubo enlos correspondientes nudos de la red tendremos una figu-ra en la que los números que están en la frontera de cadaregión tendrán la misma suma (18).

centes del cubo. Ahora traslademos losnúmeros desde los vértices del cubohasta las caras del octaedro. Esto nos dael modelo dual del modelo del cubo,pero ahora el problema consiste encolocar los números del 1 al 8 en lascaras del octaedro para que la suma delos números de las cuatro caras alrede-dor de cada vértice sea la misma. Elsiguiente dibujo muestra una de las solu-ciones:

14

33

1

2

4

5

6 7

8

Pero al seguir reflexionando acerca de esta red se me ocu-

rrió pensar que podría reemplazar las líneas rectas por

seis círculos con la condición de que los cuatro números

que quedan en cada círculo sumaran lo mismo. Existen

muchas soluciones a este problema ya que en mi proyec-

ción inicial podía haber tomado cualquiera de las caras

del cubo como punto de partida.

8 5

1 4

6 7

3 2

Siguiendo en esa línea, mi siguiente modelo fue un octae-dro regular situado dentro de un cubo. Imaginemos quese ha formado al unir los puntos medios de las caras adya-

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

Mi siguiente movimiento fue considerarel diagrama de Schlegel del octaedro,que me dio la figura de más abajo. Ladistribución de los números del 1 al 8en las regiones de esta nueva red es talque los cuatro números que hay alre-dedor de cada vértice dan la mismasuma. Pero esto implica tener un núme-ro (el 5 en el ejemplo) en la regiónexterior del triángulo. La pregunta queme formulé fue ¿cómo puedo encontraruna solución usando sólo los númerosdel 1 al 7 en las regiones interiores paraque la suma de los números en lasregiones que se encuentren en un nudode la red sea constante?

1

2

3

4

5

6

7

8

T = 18

Si los números en las siete regiones sona, b, c, …, g, entonces queremos que:

a + b + e + d = a + d + g

por lo tanto, b + e = g, y de igual modo,

d + e = c

f + e = a

Con esta información encontramos unasolución única en la que T = 14.

Podría haber todo tipo de mecanismos dentro, como untambor y un engranaje, pero no hay nada de eso ya quepodría comprobarse que la caja es muy ligera. Hoy hiceesta caja después de visitar a la secretaria del Centre deRecerca Matemàtica que me facilitó, en unos segundos,todo lo que necesitaba, papel, clips, cuerda, celo, tijeras y,por supuesto, una caja.

¿Cómo funciona? Si levanto la tapa podréis ver que elmecanismo básico es un sencillo sistema de poleas, paracuya fabricación usé simplemente un par de clips. Para verpor qué la razón es 4 en este caso, imaginad una cuerdaP que se mueve 1 cm dentro de la caja. Para que estosuceda, la «polea A» debe moverse 1 cm hacia la izquierday esto sólo ocurre si la cuerda a su alrededor se desplaza2 cm hacia la derecha gracias a la «polea B»; para ello, lacuerda Q debe desplazarse 4 cm hacia la izquierda.

Brian BoltUniversity of Exeter

15

ab

ce

d f

g

25

74

3 1

6

T = 14

Vemos, pues, que a partir de estas ideasnace un nuevo puzzle numérico.

Para finalizar, veamos cómo funcionaesta caja de trucos que llamo LaFábrica de Cuerda de mi Mago. La ideaes que aparentemente fabrica cuatroveces más cuerda de la que engulle. Lacuerda entra dentro de la caja por unextremo y sale por el otro lado cuatroveces más rápidamente.

Durante años me han fascinado muchos aspectos de lasmatemáticas y espero que en el poco tiempo que he esta-do con vosotros haya sido capaz de compartir algunas delas cosas que han llamado mi atención.

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Revista SUMAICE Universidad de ZaragozaPedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

FEDERACIÓN ESPAÑOLA DE SOCIEDADES DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS

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Presidenta: María Jesús LuelmoSecretario General: José Luis Álvarez GarcíaVicepresidente: Serapio GarcíaTesorera: Claudia LázaroSecretariados:Prensa: Antonio Pérez SanzRevista SUMA: Emilio Palacián/Julio SanchoRelaciones internacionales: Luis Balbuena/Florencio VillarroyaActividades: Xavier Vilella MiróPublicaciones: Ricardo Luengo González

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N ENFOQUE del aprendizaje en el que el alumno o alum-na es un mero receptor de información, limita las posibili-dades individuales y colectivas de contribuir al desarrollode las ciencias. ¿Es posible desarrollar en la enseñanzabásica un espíritu creativo de manera que un alumno oalumna se convierta en generador de información válidadesde el punto de vista de las matemáticas? ¿Podemosdesarrollar en el alumnado la creatividad científica?

Esta preocupación por la creatividad no es extraña en mate-máticos profesionales, como en el caso de Hadamard cuan-do trata la naturaleza de la Invención o el de Wiener sobrela gestación y el cultivo de las Ideas. Desde otros camposcientíficos, de la llamada ciencia dura, también se ocupandel «extraño tema». Gerd Binnig es un físico que en 1986recibió el premio Nobel por sus trabajos sobre el microsco-pio de efecto túnel. En su libro Desde la Nada reflexionasobre la creatividad en el hombre y la naturaleza. Dice:

… el mejor método para el aprendizaje es llegar a comprenderel material mediante el juego, porque «resulta divertido», es pla-centero; por otro lado resulta que «el músculo creativo» tiene queejercitarse. El pensamiento creativo debe aprenderse y practicar-se. En mi caso resolví esa deficiencia dedicándome durante misestudios a otras actividades que nutrían mi afición al juego.Compuse música, escribí versos y pinté cuadros. Hoy día meconsta cuan valioso fue todo eso para mi –incluso para mi for-mación científica–, ya que los mecanismos que conducen a lacreatividad en el arte son exactamente los mismos que conducena la creatividad en la ciencia. El material es distinto, pero eljuego que se entabla con él es el mismo.

Un proceso educativo orientado al desarrollo de la creati-vidad, necesariamente debe estar abierto a que se pro-duzcan muchas «ideas basura», para poder encontrar las«ideas fértiles». Esta apertura a recibir de manera toleranteideas nuevas, debe ir seguido por procesos de análisisestrictos, que permitan depurar las propuestas creativas.Aún más, la creatividad es un fenómeno colectivo; es raro

En este trabajo se trata deresponder a las preguntas:

¿Es posible desarrollar en laenseñanza básica un espíritucreativo de manera que un

alumno o alumna seconvierta en generador deinformación válida desde el

punto de vista de lasmatemáticas? ¿Podemos

desarrollar en el alumnado lacreatividad científica?

17

Requeteoremas: reinventandoTeoremas en Geometríacon Cabri II

José M. Pichel Cosme

ARTÍCULOS

U

36

febrero 2001, pp. 17-22

el tipo de personas eficaces al mismo tiempo produciendoideas y depurándolas, ambas cualidades se encuentranmás fácilmente en grupos. Y existen diferentes obstáculosa la creatividad: el dogmatismo, la falta de libertad, eldominio opresivo del conocimiento, el miedo y otrasbarreras psíquicas.

Tal como dice Binnig, es imprescindible educar a la genteen los procesos de investigación para que la condición «serhumano» progrese, ya que en definitiva:

Creatividad es la capacidad de evolucionar, y sin evolución nohabría vida ni tampoco humanidad.

La creatividad está ligada al concepto de belleza; las sen-saciones durante un proceso creativo tienen que ver conla estética, tema no muy lejano a las Matemáticas. Un libroclásico habla del «placer estético de las matemáticas».

Y viceversa: la belleza está ligada a los procesos de crea-tividad, ya sea la que desarrolla la propia Naturaleza o delser humano en los distintos campos científico, artístico otécnico; estos procesos creativos son básicamente idénti-cos sea cual sea el campo en el que operan.

Las increíbles antenas de la hembra del Cerambiphidusbetullinus, las fractales formas de las hojas del helechoPhegopteris vulgaris o las formas geométricas de la piritason modestos ejemplos de la creativa belleza de laNaturaleza.

¿Y la conducta estética del ser humano? Tan necesaria noses que en épocas de restricción de libertades, en la pro-funda Edad Media, siempre quedo a salvo de los estrictossistemas morales imperantes. Así los artesanos de laAlhambra realizan sus mosaicos usando todas las estructu-ras geométricas posibles ante la imposibilidad de otro tipode representaciones; Escher se inspira en estas obras y ela-bora sus teselas; los matemáticos formulan la Teoría deGrupos Cristalográficos Planos; todo esto forma la CulturaComún de la sociedad y está ligado a la creatividad gene-ral, el desarrollo de diferentes lenguajes y la búsquedaapasionada de la belleza-verdad-conocimiento-compren-sión y recreación de nuestro entorno.

¿La construcción de las matemáticas es una tarea reservadapara unos pocos afortunados con altísima capacidad? Si larespuesta es sí, ser creativo en matemáticas, entonces, noestaría al alcance de un alumno normal en proceso de for-mación, salvo pequeñas libertades en aspectos procedi-mentales, estrategias y así. Lo conceptual, la elaboración deconceptos, la investigación de regularidades matemáticasoriginales, la formulación de «pequeños teoremas» no seríapor tanto un objetivo de la formación matemática. ¿Seríaposible cambiar esta actitud frente a las matemáticas?

Esto no es así en otras áreas, muy especialmente en lasLenguas. Cuando el profesorado se plantea sus objetivosde área se tiene como referencia el trabajo y la producción

profesional, sin que la modestia derecursos de los aprendices, alumnos yalumnas jóvenes, sea una traba paraexperimentar con su creatividad. Losalumnos y alumnas escriben poesía, sinque sean poetas, fabulan una historia,sin que sean novelistas, interpretan undocumento histórico sin que sean histo-riadores, dibujan, sin que sean pinto-res… En Matemáticas repiten procesosconsolidados sin mucho margen para laalegría, salvo pequeñas cositas. ¿Seríaposible que los alumnos y alumnas crea-ran matemáticas? Diversas propuestasrecogidas en materiales innovadores,como el libro de Alsina sobre Matemáti-cas de la Forma, avanzan en este senti-do, pero es necesario profundizar y am-pliar este enfoque a la totalidad de laeducación matemática.

La historia de las Matemáticas es unafuente de propuestas en este sentido.Escritos de Galileo, por ejemplo, apor-tan una idea del trabajo matemático deesa época. Por un lado los titubeos,errores conceptuales, y aciertos ponenal alcance de la comprensión de losalumnos el trabajo matemático, lo hu-manizan, pero sobre todo permiten queel alumnado sienta una cierta accesibili-dad en la construcción de las matemáti-cas. Los alumnos y alumnas puedenreflexionar sobre el número, el infinito,el cero, inventar categorías de números,jugar a la criptografía, pueden inventaroperaciones, estrategias, fabular en geo-metría, analizar en estadística, inventarproblemas en topología, diseñar funcio-nes, analizar juegos, «recrear» en fin;pero lo más interesante es el análisis deregularidades matemáticas en situacio-nes novedosas, en principio.

Veamos un ejemplo: algunas reflexionesde Galileo sobre la continuidad usan,digamos, métodos geométrico-dinámi-cos. Hace rodar hexágonos. En esa yposteriores épocas, y muy ligado al naci-miento del cálculo diferencial e integral,está el estudio de la cuadratura de lacicloide. ¿Cuál es la superficie que lacicloide limita sobre la recta por la querueda sin deslizar una circunferencia deradio r? Como es sabido la respuesta es3pr2, es decir el triple del área del círculo

Los alumnos yalumnas puedenreflexionar sobre

el número, elinfinito, el cero,

inventarcategorías de

números, jugar ala criptografía,

pueden inventaroperaciones,

estrategias, fabularen geometría,analizar enestadística,inventar

problemas entopología, diseñar

funciones,analizar juegos,…

18

que la genera. Para tener una idea sobrela respuesta al problema, Galileo com-paraba, mediante una balanza, el pesode un círculo con el peso, recortado enel mismo material que el círculo, delárea que abarcaba la cicloide. Tan hete-rodoxo procedimiento no daba una res-puesta matemática, pero hacia más fácilsaber por donde tirar. Las herramientasinformáticas hoy nos permiten una capa-cidad de experimentación que ni soñaríael bueno de Galileo, y por añadiduraposibilita que cualquier alumno desecundaria construya pequeños teore-mas, encontrando regularidades quedetectaría experimentalmente.

Cuadrado

Dibujamos un cuadrado, y seguimos el mismo procedi-miento que antes. Al rodar el cuadrado pasa por cuatroposiciones, y el vértice inferior izquierdo en la posicióninicial, define un cuadrilátero, al unir las cuatro posiciones,que llamaremos tetroide (figura 2).

El tetroide contiene dos cuadrados completos y dosmedios cuadrados, luego de nuevo:

AEFC = 3·ADCB

El área del tetroide es triple de la del cuadrado.

Las herramientasinformáticas hoynos permiten una

capacidad deexperimentaciónque ni soñaría elbueno de Galileo,

19

Idea: hagamos rodar polígonos regula-res (para trabajar con alumnos de ESO,manipulativamente y con Cabri II)

Triángulo equilátero

Trazamos un triángulo y dibujamos lastres posiciones por las que pasa cuandorueda a lo largo de una recta. Para facili-tar el ejercicio a los alumnos que tenganmás dificultades de visualización espacial,se podría recortar el triángulo en papel ocartulina. Señalando el vértice izquierdose sitúan las tres posiciones por las quepasa el vértice: inicial en la recta, mediapor encima de la recta y final otra vez enla recta. Trazado el triángulo resultante elejercicio ahora es demostrar que el áreaes triple del área del triángulo inicial. ConCabri se puede realizar el ejercicio peroes suficientemente trivial como para quecualquier alumno identifique la igualdaddel área de los tres triángulos en que sedescompone, llamémosle, el trioide: elárea depende solo de la base y la altura,no de la forma (figura 1).

A ON C

BM P

Figura 1

A D

B C F

E

Figura 2

Pentágono

Seguimos el mismo procedimiento: dibujo del pentágono,elaboración del modelo en cartulina, trazado de las cincoposiciones del polígono al rodar, definición del polígonopentoide, trazado del movimiento con Cabri. Hacemos elanálisis de la figura resultante (figura 3). (Si tenemos inte-rés, podemos encontrar en ella la razón áurea.)

El pentoide contiene un pentágono central y dos figurassimétricas (pentágonos también).

Obviamente los triángulos AEA1 y AED tienen la misma áreay por tanto la misma que el triángulo FGH. Asi que el polí-gono AFIA2A1 tiene la misma área que el polígono. Luego:

AA1A2A3A4= 3·AEDCB

El área del pentoide es triple de la del pentágono.

A E F

B A1 D G

HC A2

A3

A4

I

Figura 3

Hexágono

Construimos un hexágono en la forma habitual o bien usa-mos una parrilla de triángulos equiláteros, y hacemosrodar la figura. Obtenemos un hexoide. Analizamos el áreapor simple descomposición en triángulos (figura 4).

El hexoide contiene 16 triángulos equilateros y dos isós-celes A1EA2 y A3E1A4.

Obviamente A1EA2 = A1ED.

Luego el hexoide tiene 18 triángulos y el hexágono 6.

El área del hexoide es triple de la del hexágono

Heptágono

Construimos con Cabri II el heptoide(figura 5). Pedimos el área de ambasfiguras. De nuevo el área del heptoidetriplica la del heptágono

Proponemos esta actividad para los«mayores». De igual forma para el octoi-de (figura 6).

20

A

B

C D

E

F

A1

A2 A3

A4

A5

E1

Figura 4

Hasta aquí sería el tipo de actividades que un alumnopodría trabajar para comprobar la regularidad. A partir deaquí sería un ejercicio más complejo que en todo caso sepodría abordar con Cabri II.

Tendríamos una oportunidad de hacer distinguir entrecomprobación y demostración. La demostración no es elobjetivo de esta propuesta didáctica, sino la Formulaciónde un pequeño teorema. Sigamos con el heptágono, eloctógono,…

A

B

C

D

E

F

Gr

A1

A2

A3

A4

A5

A6

Figura 5

A

B

C

D E

F

G

H

A1

A2

A3A4

A5

A6

A7

m

Figura 6

¡Admirable regularidad! Descompon-gamos las figuras, relacionemos demanera abierta. ¿Por qué la igualdad detales áreas? ¿Por qué el alineamiento detales vértices. Y en el límite, la bellaHelena, la cicloide, ¿no encierra en símisma un infinito de regularidad?Hablemos de las justas matemáticas delos siglos XVII y XVIII, el nacimiento denuevas ciencias, el imperio del rigor…

Y ahora un poco de atrevimiento paraformular un pequeño teorema:

Tratando de explicar de manera creativa algo parecido alo que en este escrito propongo, en una reciente reuniónde las JAEM-99 en Lugo, recordé un teorema clásico: Sipor el interior de una circunferencia de radio R ruedasin deslizar otra circunferencia de radio R/2, un puntoP de la circunferencia interior describe un diámetroPOP’ (figura 7).

21

El área del n-polígono generado por unpolígono regular de n lados al pasar porlas n posiciones estables que se generanal rodar, sin deslizar, sobre una recta, estriple del área del polígono regular quelo genera.

P

P'

O

Figura 7

Probamos que pasa si tratamos con polígonos de unnúmero impar de vértices y uno de ellos está en el centrode la circunferencia (figura 8).

Parece que, en efecto, al igual que con circunferencias, elpunto ocupa posiciones en el diámetro.

Probemos ahora con polígonos de un número par de vér-tices, tal que el punto medio de un lado esté en el centrode la circunferencia. Veamos con el cuadrado, exágono, eloctógono…. (figura 9)

Idea: ¿Qué pasa si hacemos rodar polígonos regulares por elinterior de la circunferencia? ¿En que condiciones estarán ali-neadas las sucesivas posiciones de un vértice?

Figura 8

Figura 9

Nada, esto no va. ¿Y si volvemos atrás, a las circunferen-cias? Definamos los polígonos inscritos en una circunfe-rencia, aunque no tangente interior, que pase por el cen-tro de la mayor y tal que el los vértices de un lado del polí-gono estén en la circunferencia mayor. Mejor una imagen(figura 10).

Seguimos probando, veamos con el octógono (figura 11)

¡Bien! Ya estamos en condiciones de aventurar elRequeteorema:

José M. PinchelIES A Barcala

Cambre (A Coruña)

22

Figura 10 Figura 11

Si un polígono… las sucesivas posiciones de un vértice estánsobre el diámetro

Demostraciones aparte, hemos cumplido lo que pretendí-amos, formular pequeños teoremas con visos de verosimi-

litud, y quizás del análisis de la particióndel diámetro según el polígono, se nospodría ocurrir…

Bibliografía

ALSINA CATALÁ, C. (1993): Matemáticas dela forma, MEC-Edelvives, Zaragoza

BINNIG, G. (1996): Desde la nada. Sobre lacreatividad de la Naturaleza y del serhumano, Galaxia Gutenberg-Círculo delectores, Barcelona 1996.

BOYER, C. B. (1986): Historia de laMatemática, Alizanza UniversidadTextos,Madrid.

N LA ACTUALIDAD, se están desarrollando nuevos currícu-los de enseñanza primaria y secundaria, tanto en Españacomo en otros países desarrollados, que reflejan un cam-bio en las creencias sobre cómo se debe enseñar la pro-babilidad. Mientras que, hasta hace unos años, la probabi-lidad se ha incluido de forma limitada a partir de los 14-15años, enfatizando los métodos de cálculo combinatorio,los currículos actuales proponen adelantar la materia alcomienzo de la Educación Secundaria Obligatoria e inclu-so en algunos casos a la Enseñanza Primaria. Sugieren, asi-mismo, utilizar actividades de enseñanza donde el estu-diante primero haga predicciones sobre las posibilidadesde obtener diferentes resultados en experimentos aleato-rios sencillos con recursos tales como ruletas, dados omonedas, luego obtenga datos empíricos de estos experi-mentos y finalmente compare las probabilidades experi-mentales generadas con sus predicciones originales (MEC,1992; NCTM, 1989).

Sin embargo, en sus investigaciones sobre razonamientoprobabilístico, Konold (1995) sugiere que la simple reali-zación de predicciones y su comparación con los datosobtenidos experimentalmente, no son suficientes para quelos estudiantes cambien sus concepciones, ya que losdatos raramente revelan con suficiente claridad todos losresultados y propiedades matemáticas que queremos mos-trar a los alumnos, la atención de los estudiantes es limi-tada y la variabilidad de los datos normalmente se ignora.Puesto que los estudiantes tienen con frecuencia ideasincorrectas sobre la probabilidad y la aleatoriedad,Garfield (1995) indica que la enseñanza efectiva de la pro-babilidad debe apoyarse en el conocimiento previo sobreestas concepciones de los estudiantes, ya que, cuando seenseña algo nuevo, los estudiantes construyen este nuevoconocimiento conectando la nueva información con la queellos habían asumido previamente como correcta. El cono-

Presentamos aquí unainvestigación sobre

concepciones aleatorias enestudiantes de secundaria.

Las respuestas de 277estudiantes de dos grupos,con edades de 14 y 17

años, sirven para identificarlas propiedades asociadas a

secuencias aleatorias ydeterministas. En ellas

encontramos la capacidadde los alumnos parareconocer modelos

matemáticos subyacentes enlas secuencias de los

resultados aleatorios y suutilización en los juicios

sobre aleatoriedad. Por ellossugerimos al final algunas

implicaciones para laenseñanza de la

probabilidad en estos nivelesiniciales.

23

Concepciones de los alumnosde secundaria sobre modelosprobabilísiticos en las secuenciasde resultados aleatorios

Luis Serrano, Carmen Batanero,J. J. Ortiz, M.a Jesús Cañizares

ARTÍCULOS

E

36

febrero 2001, pp. 23-31

cimiento de las concepciones y formas de razonamientode los alumnos es, en consecuencia, un punto clave paraasegurar el éxito de las nuevas propuestas curriculares.

En este artículo presentamos los resultados de un estudiode las concepciones de dos grupos de estudiantes (14 y 17años) sobre los modelos probabilísticos que aparecen enlas secuencias de resultados que se obtienen en un expe-rimento aleatorio. El concepto de aleatoriedad ha recibidopoca atención en el área de didáctica de la matemática,aunque las investigaciones psicológicas, tanto con niñoscomo con sujetos adultos muestran concepciones inco-rrectas sobre este concepto y sesgos asociados en la tomade decisiones en situaciones aleatorias. Asimismo, la alea-toriedad presenta diversas interpretaciones, desde el puntode vista filosófico (Batanero y Serrano, 1995), lo que sinduda contribuye a la existencia de sesgos subjetivos en lapercepción de la aleatoriedad.

Por ser el punto de partida de la teoría de probabilidades,muchos profesores pueden pensar que la aleatoriedad esun concepto simple. Sin embargo, cuando se analiza condetalle, se puede mostrar la complejidad del concepto y lamultitud de modelos matemáticos asociados al mismo. Unpunto importante en este análisis es que en el concepto dealeatoriedad podemos separar dos componentes: el pro-ceso de generación de los resultados aleatorios (experi-mento aleatorio) y la secuencia de resultados obtenida(secuencia de resultados aleatorios). Puesto que con losordenadores y calculadoras podemos obtener tablas denúmeros «aleatorios» mediante algoritmos deterministas, laaleatoriedad de una secuencia de resultados, debe anali-zarse independientemente del proceso que la genera.

Desde el punto de vista del proceso, el experimento alea-torio más simple posible es aquél que sólo presenta dosresultados posibles, es repetible en las mismas condicio-nes y los resultados de pruebas sucesivas son indepen-dientes. Este experimento tan simple, que sin embargo sepuede aplicar a un sinnúmero de situaciones prácticas(lanzamiento de monedas, sexo de un recién nacido, éxitoen una prueba, etc.), da origen a una multitud de mode-los probabilísticos, entre otros la distribución binomial,geométrica y el teorema de Bernoulli que afirma la con-vergencia de las frecuencias relativas de los resultadosposibles a la probabilidad teórica de los mismos (Serranoy otros, 1991). Una dificultad práctica es decidir con segu-ridad si se cumplen las condiciones teóricas, es decir, quelas pruebas sucesivas son realmente independientes y quese realizan en las mismas condiciones.

Se han usado dos formas de definir y estudiar la aleatorie-dad de una secuencia de resultados (Fine, 1973). La prime-ra es debida a Von Mises y parte de la idea de que en unasecuencia aleatoria es imposible encontrar sus reglas opatrones; por tanto, no podemos predecir sus resultadospara, por ejemplo, apostar sobre ellos y ganar en un juego

de azar. Ello implica que la frecuenciarelativa de cada uno de los resultados seconserva invariante en cualquiera de sussubsucesiones. Esta idea se usa en lostest de aleatoriedad que tratan de estu-diar la concordancia entre las frecuenciasobservadas y esperadas de distintosresultados en las tablas de números alea-torios. Sin embargo, puesto que en uncontraste estadístico siempre hay posibi-lidades de error, es imposible estar com-pletamente seguros de la aleatoriedad deuna sucesión particular. Simplementeaceptamos la aleatoriedad de unasecuencia porque ha pasado con éxitolas pruebas disponibles.

Otro enfoque para definir la aleatorie-dad de una sucesión, debido a Kolmo-gorov, se basa en su complejidad com-putacional, que es la dificultad de des-cribirla o almacenarla en un ordenador,mediante un código que permita recu-perarla posteriormente. En este enfo-que, una secuencia sería aleatoria si nopodemos codificarla en forma resumida,es decir, la única forma de codificarla eslistando todos sus elementos. El mínimonúmero de símbolos necesarios paracodificar una secuencia nos daría unamedida de su aleatoriedad, por lo que ladefinición establece una jerarquía en elgrado de aleatoriedad de diferentessecuencias y la aleatoriedad perfectasería un concepto teórico, aplicable sóloa secuencias de infinitos resultados.

Percepción subjetivade la aleatoriedad

Estas dos definiciones muestran la con-tradicción fundamental subyacente enlas secuencias aleatorias que explica losproblemas psicológicos asociados. Porun lado, la aleatoriedad implica quecualquier secuencia de resultados esposible cada vez que realizamos elexperimento, pero por otro sólo lassecuencias de resultados sin patrón apa-rente se consideran verdaderamentealeatorias (Hawkins y otros, 1991).Muchos sesgos en la percepción de laaleatoriedad provienen de la aceptación

El conceptode aleatoriedad

ha recibidopoca atención

en el áreade didáctica

de la matemática,aunque

las investigacionespsicológicas,

tanto con niñoscomo con sujetosadultos muestran

concepcionesincorrectas sobre

este conceptoy sesgos

asociadosen la toma

de decisionesen situaciones

aleatorias.

24

de una de estas dos propiedades y elolvido de la complementaria.

La percepción subjetiva de la aleatorie-dad de los adultos ha sido investigadaextensamente por los psicólogos (porejemplo, Wagenaar, 1972; Falk, 1981;Bar-Hillel, 1991) usando una variedad detareas que son clasificadas en un estadoreciente de la cuestión por Falk yKonold (1997) en dos tipos principales.El primer tipo (generación de resultadosaleatorios) consiste en pedir a los sujetosque escriban la secuencia de resultadosque esperarían obtener al repetir unnúmero dado de veces un experimentoaleatorio, tal como lanzar una moneda.El segundo tipo (tarea de reconocimien-to) consiste en ofrecer a los sujetos unaserie de secuencias de resultados ypedirle su opinión sobre cuáles de ellasfueron generadas aleatoriamente.

Como resultado de estas investigacionesse han encontrado sesgos sistemáticos,como la falacia del jugador, por la que seespera que cambie el tipo de suceso deuna racha larga en la que no ha apareci-do dicho suceso. Las secuencias genera-das por los sujetos tienen demasiadasalternancias y rachas muy cortas, respec-to a lo esperado teóricamente. En lastareas de reconocimiento, se rechazanlas secuencias con rachas largas de unmismo resultado. Además de variosmecanismos psicológicos, como la repre-sentatividad local (Kahneman y otros,1982) que podrían explicar estos sesgos,Falk (1981), Falk y Konold (1997) creenque la consistencia de los sujetos en lasdiversas tareas sugiere la existencia deconcepciones erróneas subyacentessobre la aleatoriedad, aunque no las haninvestigado explícitamente.

Investigacionessobre la percepción de laaleatoriedad por los niños

Una cuestión de interés para el profesorde matemáticas es si estos segos sonespontáneos o se adquieren como con-secuencia de un enfoque inadecuado enla enseñanza de la probabilidad. Lainvestigación de la percepción de la ale-

atoriedad por los niños comenzó con Piaget e Inhelder(1974), quienes creen que la noción de aleatoriedad preci-sa del razonamiento proporcional y combinatorio y la ideade causalidad, que se adquieren durante la adolescencia.Piaget e Inhelder creen que, una vez alcanzada esta etapa,los sujetos perciben la ley de los grandes números, queexplica a la vez la regularidad global y la variabilidad par-ticular de cada experimento aleatorio. Sin embargo, estateoría es discutida por Green (1983, 1989, 1991), cuyasinvestigaciones con niños entre 11 y 16 años probaron quelos niños eran muy exactos al reflejar la equiprobabilidadde los distintos resultados en tareas de generación de resul-tados aleatorios. Sin embargo, la independencia de ensayosno era captada por los niños, que produjeron series conrachas demasiado cortas de un mismo resultado, respectoa lo que esperaríamos en un proceso aleatorio. La percep-ción de la aleatoriedad no mejoraba con la edad y, aunquelos niños basaban su decisión en consideraciones sobre elpatrón de la secuencia, impredecibilidad de los resultados,número de rachas y frecuencias de resultados, estas pro-piedades no siempre se asociaron correctamente con laaleatoriedad o el determinismo.

Descripción de la investigación

Los resultados que presentamos forman parte de un estu-dio amplio sobre las concepciones de 277 alumnos desecundaria sobre la aleatoriedad y la probabilidad.Aproximadamente la mitad de los alumnos cursaban 1.° deBachillerato (n = 147), con una edad de entre 14 y 15 añosy no habían comenzado el estudio de la probabilidad. Elresto, cursaba el Curso de Orientación Universitaria(n = 130) y habían estudiado probabilidad, con un enfoqueclásico, en 1.° y 3.° curso de bachillerato, aproximadamen-te 2 semanas en cada uno de los cursos, siendo su edad de17-18 años. Participaron cinco centros de la ciudad deMelilla. Los datos se recogieron durante una de las horasde clase de matemáticas, por medio de un cuestionario.

El fin de nuestra investigación fue completar los trabajosde Green y de Toohey (1995) y extenderlo a los alumnosde 17-18 años, ya que Shaughnessy (1996) sugiere el inte-rés de evaluar cómo varían las concepciones de los alum-nos sobre un mismo contenido con la edad y no haymuchos datos disponibles sobre el intervalo de edad 14-18. Las preguntas que nos planteamos son las siguientes:

¿Cuáles son las características de las secuencias y distribu-ciones aleatorias generadas por los alumnos? ¿Cuáles deellas coinciden con las propiedades matemáticas? ¿Varíanestas características en los dos grupos de alumnos? ¿Cuálesson los argumentos que los alumnos usan para consideraruna secuencia como aleatoria o no aleatoria? ¿Cambiancon las variables de tarea de los ítems?

La investigaciónde la percepción

de la aleatoriedadpor los niñoscomenzó con

Piaget e Inhelder(1974),

quienes creenque la noción

de aleatoriedadprecisa

del razonamientoproporcional

y combinatorioy la idea

de causalidad,que se adquieren

durantela adolescencia.

25

Los resultados que presentamos en este trabajo se refierena cinco ítems. En los cuatro primeros se evalúa la capacidadde los alumnos para discriminar modelos matemáticos enlas secuencias de resultados aleatorios. En el último ítem losalumnos deben escribir una secuencia de acuerdo a cómopiensen que sería si se hubiese obtenido mediante un pro-cedimiento aleatorio. Nos hemos limitado al caso más sim-ple: un experimento aleatorio (lanzar una moneda) consólo dos resultados posibles, que, además son equiproba-bles. En Serrano, Batanero y Cañizares (1999) analizamostambién la discriminación de modelos aleatorios en el planopor parte de estos mismos estudiantes y en Batanero ySerrano (1999) resumimos el resultado obtenido en las ta-reas de reconocimiento tanto de sucesiones, como de dis-tribuciones aleatorias. En consecuencia, este trabajo com-pleta los resultados expuestos en los dos anteriores.

Discriminación de propiedadesen la secuencias aleatorias

En los cuatro primeros ítems de nuestro cuestionario sepide al alumno su opinión sobre si una serie de secuenciasson o no producidas por un mecanismo aleatorio, así comolas razones en las que basa su respuesta. A continuaciónreproducimos estas tareas, en las que hemos consideradodos variables de tarea, que se refieren a la secuencia pre-sentada: a) La proporción de caras: en los ítems 1 a 3 estaproporción es muy cercana a la probabilidad teórica(P(H) = 0,53 en el ítem 1, P(H) = 0,48 en los ítems 2 y 3,mientras que en el ítem 4 la proporción de caras sólo esigual a 0,30); b) La longitud de las rachas de un mismoresultado, y, en consecuencia, la proporción de alternan-cias (cambio en el tipo de resultado, de cara a cruz o decruz a cara). Esta proporción es el cociente entre el núme-ro de alternancias y la longitud de la secuencia y es muycercano al valor teórico 0,5 en los ítems 1 (P(A) = 0,54), 2y 3 (P(A) = 0,51). Por el contrario, P(A) = 0,74 en el ítem 2,que tiene demasiadas alternancias (rachas muy cortas) paraque la secuencia pueda ser considerada aleatoria.

Por tanto, desde el punto de vista normativo, consideraría-mos que la respuesta correcta a los ítems 1 y 3 es que elniño jugaba correctamente, mientras que la respuestascorrecta en los ítems 2 y 4 es que el niño hacía trampas.Sin embargo, y puesto que en un contraste de aleatoriedadsiempre hay una probabilidad pequeña de que la secuen-cia no sea aleatoria, incluso cuando haya superado laspruebas de aleatoriedad, nuestro interés no sólo se centraen si las respuestas de los alumnos coinciden o no con larespuesta normativa, sino en cuáles son las propiedades delas secuencias que asocian a la idea de aleatoriedad.

Enunciado: Se pidió a algunos niños que lanzaran unamoneda 40 veces y anotaran los resultados obtenidos.Algunos lo hicieron correctamente y otros hicieron tram-

pas. Indicaron C para la cara y + para lacruz. Estos son sus resultados.

María:

+ + + C + C C + + + C + C C C C C + C +C + + C + C C + + + + C C C + C C + C C

Daniel:

C + C + + C C + C + C C + + C + + C C ++ C + C C + + C + C + C + C + C + + C +

Martín:

C + + + C + + C C C + C + + + + + C + C+ C C + C + + C C C C + + + C + + C C C

Diana:

C + + + C + + C + C + + + C + + + + C C+ + + C + + C + + C + + + + C + + + C +

En los cuatroprimeros ítems

de nuestrocuestionario

se pideal alumnosu opinión

sobre si una seriede secuencias

son o noproducidas

por un mecanismoaleatorio,así como

las razonesen las que basa

su respuesta.

26

Sucesión Respuesta Edad = 14 Edad = 17

1. María: P(H) = 0,53 Aleatoria 60 58

P(A) = 0,54 No aleatoria 34 27

No sabe 6 15

2.Daniel: P(H) = 0,48 Aleatoria 58 63

P(A) = 0,74 No aleatoria 37 23

No sabe 5 14

3. Martín: P(H) = 0,48 Aleatoria 53 56

P(A) = 0,51 No aleatoria 42 29

No sabe 5 15

4. Diana: P(H) = 0,30 Aleatoria 36 37

P(A) = 0,51 No aleatoria 56 48

No sabe 8 15

Tabla 1. Porcentajes de respuestas a los ítems 1- 4

Item 1: ¿Hizo María trampas? ¿Por qué?

Ítem 2: ¿Hizo Daniel trampas? ¿Por qué?

Ítem 3: ¿Hizo Martín trampas? ¿Por qué?

Ítem 4: ¿Hizo Diana trampas? ¿Por qué?

En la tabla 1 presentamos las respuestasde los alumnos. Podemos ver que lamayoría considera las sucesiones aleato-rias, excepto en la 4, que tiene una fre-cuencia de 12 caras, bastante diferentede la frecuencia teórica esperada. Entotal 54 alumnos de 14 años y 30 de 17consideran aleatoria la secuencia delítem 2, a pesar del sesgo que hemosintroducido en la longitud de las rachas.Este resultado confirma la opinión deGreen (1991), de que para los alumnos

es más difícil reconocer las propiedadesde las rachas que las propiedades de lasfrecuencias. La semejanza de los por-centajes de alumnos que consideran alea-torios los ítems 1, 2 y 3 indica que paraellos lo más importante para decidir siuna secuencia es aleatoria es la similari-dad entre las frecuencias de los dosresultados posibles.

En todos los ítems, al realizar un con-traste Chi-cuadrado de independenciaentre la respuesta y el grupo de estu-diantes, obtuvimos diferencias significa-tivas entre los grupos (el valor p fueigual a 0,0011, 0,0045, 0,0028 y 0,0192en los ítems 1 a 4), puesto que una pro-porción mayor de estudiantes de 17años consideró la secuencia aleatoria ono dio respuesta, lo que también coin-cide con los resultados de Green. Esteautor sugiere que los estudiantes mayo-res son más cautos en su respuesta por-que aprecian mejor la variabilidad delos resultados aleatorios.

Pedimos a los estudiantes justificar susrespuestas. Los argumentos se clasifica-ron según el siguiente esquema, tomadode Green, quien estudió los porcentajesglobales de los diferentes argumentos,pero no la variación en los diferentesítems debida a la edad.

a) La secuencia sigue un patrón regu-lar. Este argumento hace referenciaal orden de aparición de las caras ycruces en la secuencia y a la regu-laridad del mismo:

No hizo trampas, porque hay unasecuencia bastante regular de caras ycruces, que es lo más probable queocurra.

Podría haber hecho trampas, porqueel resultado es muy uniforme; las carasy las cruces casi se alternan.

b) Hay un patrón irregular en lasecuencia. En este caso se percibela irregularidad del patrón de lasucesión. Una parte de los alum-nos que dan el argumento a) o b)muestran una concepción de laaleatoriedad correcta, percibiendola aleatoriedad como complejidad,o ausencia de patrón. Un ejemploes el siguiente:

No hizo trampas, porque la secuencia no sigue ningúnorden.

c) Las frecuencias de los diferentes resultados son bas-tante parecidas. Aquí los estudiantes se refieren a lasfrecuencias, como en los casos siguientes:

Porque el número de caras y cruces está muy balanceado.

La proporción de caras y cruces es muy similar.

Los resultados se acercan al 50 %.

d) Las frecuencias de los distintos resultados son bastan-tes diferentes. Es el contrario al argumento previo.Tanto c) como d) los estudiantes basan su decisión enla comparación de las frecuencias observadas y la dis-tribución de probabilidad teórica, lo que indica quelos alumnos tienen una modelo matemático correctode dicha distribución y han sido capaces de aplicarintuitivamente un razonamiento similar al que se sigueal realizar un contraste de hipótesis. En los casos cita-dos se observa una concepción de la probabilidad fre-cuencial subyacente, mientras que en otros, el alum-no usa una concepción clásica de la probabilidad:

La probabilidad de cara debería ser igual que la de cruz.

e) Hay rachas largas. Aquí los estudiantes muestran con-cepciones erróneas respecto a la idea de independen-cia entre ensayos sucesivos:

Porque hay muchas cruces seguidas.

Se aprecia también aquí el uso de la heurística de larepresentatividad (Kahneman, Slovic y Tversly, 1982).

f) No hay rachas. Es el opuesto al argumento anterior, ypor tanto sugiere una concepción correcta por partedel alumno. Por ejemplo:

Hay muy pocas secuencias de caras.

g) Es impredecible; es aleatorio. Estos alumnos argumen-taron la impredecibilidad del resultado, debido a lanaturaleza aleatoria del experimento:

¡Así es la suerte! Aunque lances correctamente la moneda,puedes obtener estos resultados, porque es un juego.

Cuando lanzas una moneda no hay resultado seguro; la alea-toriedad juega un papel muy importante.

En estos resultados se vislumbra, a veces, bien el «enfoqueen el resultado aislado» descrito por Konold o creencias enmecanismos causales. Sin embargo, con nuestros datos,este punto es difícil de asegurar y sería necesaria unainvestigación más profunda usando entrevista u otro tipode tareas.

Como mostramos en la tabla 2, la mayor frecuencia apa-rece en los argumentos basados en la impredecibilidad osuerte, que no fueron obtenidos con mucha frecuencia por

En estosresultados

se vislumbra,a veces,

bienel «enfoque

en el resultadoaislado»descrito

por Konoldo creencias

en mecanismoscausales.

Sin embargo,con nuestros

datos,este puntoes difícil

de asegurary sería necesariauna investigación

más profundausando

entrevistau otro tipode tareas.

27

Green (1991). También observamos variaciones en los dis-tintos ítems: patrón regular en Daniel, patrón irregular enMaría y Martín; frecuencias iguales en María, Martín yDaniel, diferencia de frecuencias en Diana, rachas largasen María, Martín y Diana. Esto muestra la capacidad de losestudiantes para discriminar las características que hemoshecho variar en las sucesiones.

En cada ítem realizamos un contraste Chi cuadrado deindependencia entre argumento y grupo de estudianteobteniendo los siguientes valores significativos (p igual a0,001; 0,002; 0,0001 y 0,02 en los ítems 1 a 4). Los alum-nos más jóvenes se refieren mayormente al patrón de lasecuencia y las rachas, mientras que los de 17 años usaronmás a menudo argumentos frecuenciales.

Los argumentos también se diferencian según la conside-ración aleatoria o no de la sucesión (tabla 3). Los valoresp en el contraste Chi cuadrado de independencia entreargumento y respuesta fueron todos menores a 0,001. Elprincipal argumento para apoyar la aleatoriedad fue laimpredecibilidad. El patrón irregular, rachas largas y nocoincidencia de las frecuencias de caras y cruces se aso-ciaron con la no aleatoriedad.

Generación de secuenciasde resultados aleatorios

Nuestro cuestionario fue completado conla siguiente tarea de generación de unasecuencia aleatoria de caras y cruces.Nuestro interés sobre el ítem es analizarlas características que los alumnos asig-nan a las secuencias aleatorias y estudiarsu variación en los dos grupos de alum-nos, así como comparar los resultados enlas tareas de generación con los obteni-dos en las tareas de reconocimiento. Seproporcionó al alumno una plantilla con50 cuadros para completar, dándole lassiguientes instrucciones:

El patrónirregular,

rachas largasy no coincidenciade las frecuencias

de carasy cruce

se asociaron conla no aleatoriedad.

28

María Daniel Martín Diana

Argumento 14 17 14 17 14 17 14 17

Patrón regular 6 3 44 18 7 4 10 2

Patrón irregular 13 5 9 1 18 10 8 5

Frecuencias/probabilidades iguales 4 12 5 23 0 10 3 2

Frecuencias diferentes 9 8 0 4 9 7 13 27

Rachas 21 13 4 5 24 18 22 16

No se puede predecir 35 33 31 29 32 28 31 28

No da argumento 12 26 7 20 10 23 13 20

Tabla 2. Porcentajes de argumentos en los items 1-4 según edad

María Daniel Martín Diana

Argumento Real Falso Real Falso Real Falso Real Falso

Patrón regular 5 6 12 81 1 13 13 3

Patrón irregular 14 2 8 1 23 5 7 7

Frecuencias/probabilidades iguales10 6 19 6 7 2 5 1

Frecuencias diferentes 5 18 3 1 4 18 5 35

Rachas 2 53 4 6 4 54 4 33

No se puede predecir 52 12 43 5 48 5 51 18

No da argumento 12 3 11 0 13 3 15 3

Tabla 3. Clasificación de los argumentos según se considerela secuencia aleatoria o no aleatoria

Ítem 5: Supón que estás lanzando unamoneda 50 veces, sin hacer trampas.Escribe una secuencia de 50 lanzamientos(sin lanzar realmente la moneda). Pon C o Xen cada cuadro (C quiere decir que obtienesuna cara y X que obtienes una cruz).

Una vez recogidos los datos, hicimos unestudio estadístico de las característicasde las sucesiones generadas por losescolares de esta muestra, que se des-criben a continuación, comparándolascon los modelos matemáticos esperadosen una secuencia aleatoria. Si una deestas propiedades aparece en las suce-siones generadas por los estudiantes,pensamos que dicha propiedad ha sidoidentificada por el alumno a lo largo desu experiencia con los juegos de azar yla observación de secuencias de resulta-dos aleatorios. Las propiedades analiza-das son las siguientes:

Número total de carasque presentan las secuenciasescritas por los alumnos

Una propiedad importante desde elpunto de vista matemático en las suce-siones de Bernoulli es la convergenciaempírica de las frecuencias a la proba-bilidad teórica, explicada mediante elTeorema de Bernoulli. En la figura 1presentamos el número de caras en lassecuencias producidas por los dos gru-pos de alumnos (Grupo 1: 18 años;Grupo 2= 14 años).

En general, los alumnos han reflejado lafrecuencia relativa teórica de caras y cru-ces, ya que el número de caras se agru-pa alrededor de 23 a 27 para la mayorparte de alumnos y el valor teórico espe-rado sería 25 caras. El valor medio delnúmero de caras en las secuencias pro-ducidas por los alumnos (25,285 en elprimer grupo y 25,259 en el segundo) seaproxima mucho al valor esperado. Sinembargo, los alumnos no reflejan sufi-cientemente la variabilidad aleatoria, yaque la dispersión de la distribución delas secuencias producidas por los alum-nos es menor que la teórica. Puesto quese trata de secuencias de 50 resultados,se sigue una distribución binomial b(50,0,5), cuya media es 25, varianza 12,5 ydesviación típica 3,54. La desviación típi-ca de la distribución de las secuenciasproducidas por los alumnos de 14 añoses 2,99, menor que la esperada teórica-mente, aunque no tan pequeña como enla muestra piloto o en las investigacionesde Green. Del mismo modo, la desvia-ción típica de la distribución de lassecuencias producidas por los alumnosde 18 años es 3,023. No se observandiferencias con la edad en la apreciaciónde esta variabilidad.

Consistencia entrelas dos mitades

También estudiamos el número de carasen cada una de las dos partes de la

secuencia producida por los alumnos, para estudiar laconsistencia entre las dos mitades de la misma. Hemosanalizado la distribución del número de caras en cada unade las mitades de las secuencias, observando que estasdistribuciones son altamente consistentes, ya que los valo-res medios y desviaciones típicas fueron muy similares enlas dos partes de la secuencia producida. Se diría que elalumno intenta reproducir localmente el comportamientoglobal de la secuencia. Sin embargo, el coeficiente decorrelación entre el número de caras en la primera ysegunda mitad de la secuencia ha sido r = –0,1147, lo queindica que no hemos encontrado una asociación entreestas dos variables. El alumno intenta mantener una fre-cuencia dada en el total de la secuencia, pero no hay unarelación directa ni inversa entre el número caras de unmismo alumno en los dos trozos de la secuencia.

La longitud de la racha más larga

En las investigaciones de Green se vio que, en general, losalumnos subestiman la longitud de las rachas de un mismoresultado. Presentamos en la figura 2 la longitud de laracha más larga en las sucesiones producidas en nuestrocaso por los dos grupos de alumnos, a fin de compararlascon los resultados obtenidos por Green.

Al estudiar la figura 2, vemos que los alumnos producenrachas cortas. Aunque, con frecuencia máxima, los alum-nos producen rachas de 4 ó 5 elementos, un porcentajeimportante de alumnos no pasa de rachas de 2-3 sucesos,mientras que, en la distribución teórica, la máxima proba-bilidad es para la longitud de la racha más larga es de 5 ó6 elementos. Aparecen también los sujetos que Greendenomina «alternantes» (11 casos) que alternan entre caray cruz en toda la secuencia, la mayor parte alumnos de 18años. Aparecen también los «replicantes» que producen

… los alumnoshan reflejadola frecuencia

relativa teóricade carasy cruces

[…]sin embargo,no reflejan

suficientementela variabilidad

aleatoria,ya que

la dispersiónde la distribuciónde las secuencias

producidaspor los alumnos

es menorque la teórica.

29

120

10

20

30

40

50

60

70

Grupo 2Grupo 1

14 16 20 22 24 26 27 28 30 32 34 48 50

Valo

r

Número de caras

Figura 1. Frecuencias del número de carasen las secuencias producidas por los alumnos

Figura 2. Frecuencias de la longitud de la racha más larga

10

Valo

r

Número de caras12

0

20

30

40

50

60

80

Grupo 2Grupo 1

14 16 20 22 24 26 27 28 30 32 34 48 50

70

una sola racha o una racha muy larga de 24, 25 e incluso50 resultados seguidos iguales. Todos estos datos parecenapuntar a dificultades en la percepción de la independen-cia de los experimentos repetidos.

Para autores como Bar-Hillel y Wagenaar (1993) oShaughnessy (1992), la heurística de la representatividadpodría explicar la alta tasa de alternancias en las tareas desimulación de secuencias aleatorias. La característica deequiprobabilidad de los dos resultados, junto con algunairregularidad en el orden de aparición, se espera que apa-rezcan no sólo a largo plazo, sino en segmentos cortos; lainsistencia por la «aleatoriedad» en pequeñas sucesionesacarrea la «no aleatoriedad» en sucesiones largas.

Número de rachas

Una variable relacionada con la anterior es el número totalde rachas producidas en las secuencias de los alumnos.que en nuestro caso fue, en general, alto. El valor espera-do teórico del número de rachas es 25,5, mientras que ennuestros alumnos obtenemos un valor medio superior de30,015 y un porcentaje alto de alumnos que producen 35o más rachas. Hay también alumnos que producen unaúnica racha, o unas pocas, aunque, al igual que en lainvestigación de Green han sido muy escasos.

Todos estos resultados coinciden con los de Green, inclu-so en el caso de nuestros alumnos de dieciocho años. Porello confirman la hipótesis de este autor de que las pro-piedades que los alumnos atribuyen a las secuencias alea-torias no cambian con la edad.

Implicaciones para la enseñanzade la Estadísticia

En nuestro estudio hemos mostrado cómo los alumnosson capaces de reconocer modelos matemáticos en lassecuencias de resultados aleatorios y los utilizan para rea-lizar un juicio sobre la aleatoriedad de las mismas y en lastareas de generación de secuencias aleatorias, aunque, enocasiones las concepciones sobre la aleatoriedad nocorrespondan a las que tratamos de enseñarles. Esto escomprensible debido a las enormes dificultades psicológi-cas y filosóficas ligadas a la idea de aleatoriedad y a lacomplejidad de este concepto.

Sin embargo, es importante que, gradualmente los alum-nos vayan adquiriendo una idea lo más completa ycorrecta posible de las características de la aleatoriedad,ya que este concepto tiene muchas aplicaciones en lavida real, particularmente en las situaciones de muestreoy en el diseño de experimento en áreas diversas.Asimismo, las técnicas de simulación, fáciles de imple-mentar con los ordenadores y que se aplican a la solución

de muchos problemas en diferentesprofesiones y ciencias, se basan en laidea de aleatoriedad.

Por otro lado, los diseños curricularessugieren que la enseñanza de la proba-bilidad se base precisamente en la expe-rimentación con dispositivos comodados, ruletas, monedas, etc., donde losalumnos tendrán abundantes ocasionesde recoger datos sobre secuencias deresultados aleatorios. Estas actividadesdeben, sin duda, reforzarse y aprove-charlas para analizar las características delas mismas y ayudar al alumno a cons-truir progresivamente unas intuicionescorrectas sobre la aleatoriedad. Estamosde acuerdo con Hawkins y otros (1991),cuando indican que se dedica, en gene-ral, poco tiempo al análisis de los expe-rimentos aleatorios y al estudio de suscaracterísticas y que ello puede ser el ori-gen de muchas concepciones erróneasen el campo de la probabilidad.

La experimentación, registro y análisisde las secuencias producidas con dispo-sitivos diversos como monedas, dados,ruletas, chinchetas, etc., puede servirpara integrar el estudio de la probabili-dad con el de la estadística. La intro-ducción gradual de los conceptos ynotación probabilística servirá paraexplicar matemáticamente las regulari-dades observadas en los datos recogi-dos. Esperamos que, a partir de estasexperiencias, los alumnos adquieran lascaracterísticas esenciales de los fenóme-nos aleatorios y descubran progresiva-mente los diferentes modelos probabi-lísticos implícitos en las secuencias deresultados aleatorios.

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En nuestro estudiohemos mostrado

cómo los alumnosson capacesde reconocer

modelosmatemáticos

en las secuenciasde resultados

aleatoriosy los utilizanpara realizar

un juicio sobrela aleatoriedadde las mismasy en las tareasde generaciónde secuencias

aleatorias,aunque,

en ocasioneslas concepciones

sobrela aleatoriedad

no correspondana las que tratamos

de enseñarles.

30

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Luis SerranoJ. J. Ortiz

Departamento de Didácticade las Matemáticas.

Facultad de Educacióny Humanidades (Melilla)

Carmen BataneroM.a Jesús CañizaresFacultad de Educación.

Campus Cartuja (Granada)

Sociedad Andaluzade Educación Matemática

«Thales»

31

N LOS TEXTOS ESCOLARES surgen, hoy en día, diferentestérminos como problema abierto, problema cerrado, pro-blema, e incluso investigación, situados en epígrafes como«situaciones y problemas», «actividades», «curiosidades», «in-vestigaciones», «piensa un poco»… Y aparecen diferentesacepciones del significado de «Resolución de Problemas» e«Investigaciones».

Todos esos epígrafes diferentes nos plantean una cuestióninicial. ¿Por qué son necesarios tan diversos términos? Esposible que sea para llamar la atención del joven lector.Podría ser para hacer sutiles distinciones: por ejemplo, enun nivel básico hay que distinguir entre la forma de clasi-ficar un problema y las diversas maneras de resolverlo.También se puede considerar la distinción usual entre«Resolución de Problemas» e «Investigación». Lo primero deello se refiere al hecho de intentar conseguir la soluciónde un determinado problema utilizando las estrategias ytécnicas que parezcan convenientes, o a través de unalabor investigadora. Y se suele llamar «Investigación» cuan-do, además, se anima a ser curioso, a buscar estrategiasalternativas, a considerar qué sucedería si se cambian cier-tas condiciones o a intentar generalizar el problema.

Sin embargo, en términos abiertos es acertado entender Reso-lución de Problemas como una actividad convergente donde losestudiantes tienen que conseguir una solución de un determinadoproblema, mientras que Investigación debería ser visto como unaactividad más divergente. En una investigación se anima a losestudiantes a pensar en estrategias alternativas, a considerar quésucedería en una determinada línea de acción, o a ver si ciertoscambios cambiarían los resultados (H.M.I., 1985: 42).

Es interesante esa distinción, aunque en ocasiones nosdamos cuenta de que durante la resolución de un problemarealizamos una labor característica de lo que se llama inves-tigación en el sentido anterior. Eso también ocurre con fre-cuencia cuando experimentamos con estrategias alternativas.

Se quiere explicar cómo seconcibe el desarrollo de unaenseñanza de Resolución de

Problemas o deInvestigaciones en el aula deMatemáticas. Para ello, se

presentan diversos extractosde transcripciones de

estudiantes de 10-11 años,obtenidas en clase deMatemánticas, cuandoestaban resolviendo

problemas. Con ellas sedescubre cómo trabajan de

forma similar a como lo haceun matemático cuando seenfrenta a un problema:

construyen, experimentan, seapoyan, divergen,

preguntan, corrigen,comprueban, explican,

dirigen, contestan, suponen,generalizan,…

33

En la búsqueda de lo importanteen el aula de Matemáticas

José M.a Chamoso SánchezWilliam B. Rawson

ARTÍCULOS

E

36

febrero 2001, pp. 33-41

Es decir, en la práctica realmente estamos trabajando en unaactividad convergente. Parece que esas expresiones se utili-zan para referirse a la idea de que los alumnos trabajen cre-ando sus propias matemáticas, en contraposición a la de tra-bajar en cuestiones o ejercicios que consisten en la aplica-ción automática de una destreza o algoritmo previamenteaprendido. Llamémoslo investigación, por ejemplo.

Todo ello es importante, pero nos preguntamos: ¿eso es loimportante?

Ejemplos de investigacionesque se pueden proponer en un aula

En diversas fuentes y diferentes libros existen gran canti-dad de ejemplos de actividades como las siguientes:

1. Las chinchetas. ¿Cuántas chinchetas se necesitan parafijar distintas hojas de papel sobre un tablero? Cada hojade papel es igual a las demás, y para quedar fija acor-damos que necesita una chincheta en cada esquina.

9. Números pares e impares. Escogeun número cualquiera: si es par,divídelo por dos; si es impar, súma-le uno. Repítelo cuantas veces pue-das. ¿Qué ocurre?

10. La calculadora. Supongamos quetienes una calculadora cuyos úni-cos botones que funcionan son 4,3, –, x, =. ¿Qué números se puedenconseguir?

Éstas, y otras muchas, se puedenencontrar en diversos textos, y cadaprofesor tiene su propia opinión y suspreferencias sobre la eficacia de cadauna de ellas. Todas son importantespero, sin embargo, nos preguntamos:¿eso es lo importante?

Diversas clasificacionesde investigaciones

Se pueden considerar los ejemplosanteriores y trabajarlos como investiga-ciones. Éstas se pueden clasificar dediversas formas. Una de ellas podría serla de Burghes (1984), que distinguecuatro tipos:

a) Investigaciones Eureka: se caracteri-zan por necesitar una idea adecua-da («feliz idea») para resolver el pro-blema, sin la cual pocos progresosútiles pueden hacerse. Ejemplo: elcuadrado mágico.

b) Investigaciones del tipo escalerasmecánicas: aquéllas que no depen-den de una idea sino que permitenlograr ciertos progresos a lo largode la investigación. Ejemplo: la dia-gonal de un rectángulo.

c) Problemas de decisión: obtenidosoriginariamente de situaciones rea-les en las cuales se deben efectuardecisiones sin que exista evidenciaclara de cuáles serían las más ade-cuadas. Ejemplo: las rutas.

d) Problemas reales: aquéllos que tie-nen relación directa con el ciudada-no, pero que el contexto en que seencuentran tiene poco que ver conMatemáticas. Ejemplo: los sellos.

¿Cuántasformas distintas

se puedenconfeccionar

con 3 cuadradosunidos

al menoscon un lado?

Escogeun númerocualquiera:

si es par,divídelo por dos;

si es impar,súmale uno.

Repítelocuantas veces

puedas.¿Qué ocurre?

34

2. La diagonal de un rectángulo. ¿Cuántas líneas corta ladiagonal de un rectángulo?

3. Los colores de la bandera. Una bandera cuadrada estádividida en cuatro partes iguales. ¿Cuántas banderasdiferentes se pueden representar de esta forma cuan-do únicamente es posible utilizar dos colores distintos?

4. Los números y las cuatro operaciones. ¿Cuántos núme-ros distintos se pueden formar con cuatro cuatros y lasoperaciones +, –, x, :? ¿Y con cualquier operación?

5. Los cuadrados. ¿Cuántas formas distintas se puedenconfeccionar con 3 cuadrados unidos al menos conun lado?

6. Los sellos. Si tenemos muchas estampillas de 3 pts. y 5pts., ¿se pueden conseguir hacer todos los valoreshasta 50 pts.?

7. Los números de las casas. Se tienen los números 2, 5y 7. ¿Cuántos números de casas se pueden conseguirusando estos tres números solamente una vez?

8. Las rutas. ¿Cuántas rutas distintas hay de A a B?

Otra posibilidad sería clasificarlas segúnel objetivo de las mismas (Rawson yChamoso, 1999):

a) para contactar con la vida diaria,

b) para introducir un concepto nuevo,

c) para desarrollar y fortalecer con-ceptos conocidos,

d) para desarrollar el razonamiento yla explicación.

También se podría hacer de forma simi-lar a como lo hace Corbalán (1994)cuando se refiere a juegos que, segúnél, pueden ser:

a) De conocimiento, aquéllos quehacen referencia a uno o varios delos tópicos habituales de los pro-gramas de Matemáticas (cita ejem-plos numéricos, de geometría y deprobabilidad).

b) De estrategia, en los que se trataríade poner en marcha uno o variosprocedimientos típicos de resoluciónde problemas o los modos habitualesde pensamiento matemático (comoel Nim o el Sol y Sombra).

Existen otras muchas posibilidades deorganización. Todas ellas son importan-tes, pero nos preguntamos: ¿eso es loimportante?

¿Qué es lo importante?

Gairín Sallán (1996), en su artículo Deldicho al hecho… y basándose en suexperiencia, hace un gran esfuerzo porexplicar dos argumentaciones diferentesde la demostración de las estrategias deresolución de un ejemplo concreto: ini-cialmente de forma «dicha», con la nece-sidad de utilizar unos conocimientosmatemáticos elevados, de la mismaforma que lo haría cualquier libro detexto, y posteriormente de forma«hecha», con demostraciones que sepueden esperar de un alumno trabajan-do de forma similar a como lo hacen losmatemáticos. Pero quizás sería más cer-cano si pudiésemos descubrir cómofunciona la mente de cada estudiantecuando trabaja, en vez de cómo cree el

profesor que funciona dicha mente cuando desarrolla unacierta actividad.

Nos referimos a investigación como un viaje con ideashasta donde se pueda, de forma libre, con diálogo y dis-cusión entre los estudiantes. Es importante elegirlas deforma adecuada para utilizarlas en el momento concreto.Aunque el insertar varias de ellas anteriormente ha sidoúnicamente con la pretensión de su inclusión en el artícu-lo como elemento complementario y decorativo, ello noha sido óbice para que la lista definitiva haya sido confec-cionada después de arduas discusiones. Por ejemplo,había pensamientos divergentes acerca de la pertinenciadel problema de la calculadora, a pesar de considerarlomuy interesante y de utilizarlo frecuentemente como ele-mento de enseñanza en clase. Pero se recordó que en cier-ta ocasión había tenido resultados interesantes con unalumno: se trataba de un estudiante que no solía hacer losdeberes, pero ante el reto propuesto por el profesor de sise podían construir con esos botones todos los númeroshasta el 100, no sólo llegó al día siguiente con el proble-ma resuelto, sino que se presentó con un delicioso foliodoble, escrito por los dos lados, en el que se comprobabaque era posible hacerlo hasta el número 132.Normalmente no le gustaba repetir actividades similares,pero en esta ocasión lo hizo gustoso porque él tenía elcontrol del trabajo que efectuaba. Es decir, no sólo llegócon los deberes hechos, sino que llevó realizado más delo que se le había solicitado. Quizás en otras ocasiones sehabía utilizado como problema rutinario y no se habíandescubierto sus ventajas. Quizás no era tan importante elproblema en sí, sino la forma de su utilización.

Otra investigación que presentó opiniones encontradasdignas de mencionar en relación con su inclusión fue la delos sellos. Su simplicidad parecía que no daba más de síque ser prácticamente un ejercicio, aunque permitiese, porejemplo, generalizar cambiando los datos del enunciado.Nuestra sorpresa fue grande al caer por casualidad en esosmomentos en nuestras manos el libro de Gardiner The Artof Investigation (1989), escrito para lectores con un ciertonivel de conocimientos en Matemáticas y en el que, des-pués de una seria introducción en que trata de explicar quéentiende por investigación, se centra en dos casos concre-tos para ejemplarizarlos de forma práctica. Uno de ellos esel mencionado de los sellos, al que dedica 50 densas pági-nas tratando de explotar las posibilidades del mismo(tablas, múltiplos y divisores, ecuaciones diofánticas, cons-trucciones geométricas, áreas...). Quizás no se había pen-sado suficientemente el problema y sus posibilidades.

Interesante es la de la diagonal del rectángulo. Se ha expe-rimentado en el aula y ha servido para demostrar que nose debe subestimar la capacidad de raciocinio de los estu-diantes debido a su corta edad. Se ha hecho de la siguien-te forma: se ha observado con vídeo una clase de 20 per-

Nos referimosa investigacióncomo un viaje

con ideashasta donde

se pueda,de forma libre,

con diálogoy discusión entrelos estudiantes.

35

sonas de 10-11 años trabajando en varios grupos. Se hapresentado la misma investigación a alumnos de Magisterioy a profesores en activo, para que trabajen con ella y des-cubran sus dificultades. Posteriormente se les ha puesto elvídeo. Se ha utilizado como estímulo el usar el mismo tópi-co en diversos ambientes. Muchos docentes piensan querealizar esas investigaciones suele ser demasiado difícilpara los alumnos de esos años, y que nunca lo harán. Peropueden comprobar en el vídeo que no es así en realidadpues, si se les permite, nunca se puede suponer lo que loschicos son capaces de hacer. Lo que es cierto es que no sellegará a saber la capacidad que puede alcanzar una per-sona si no se le da la oportunidad de discutir alternativas,si únicamente preguntamos contenidos, si nos restringimosa seguir las indicaciones de un libro de texto.

Se había acordado que en la explicación inicial del plan-teamiento de la investigación la profesora hablara poco,hiciera preguntas muy breves y dejara el trabajo para losestudiantes. Con posterioridad se les dejaba actuar, engrupo, con dos profesores pendientes únicamente decomprobar si una pregunta adecuada en forma de suge-rencia era necesaria en algún caso. Se observaron conver-saciones en los grupos de alumnos como las que siguen:

Niña A: Eso es porque es exactamente lo mismo.

Niña B: Si tú cortas este pedazo en dos partes y lo doblas por lamitad, entonces…

Niña C: No te preocupes acerca de eso: si es más ancho ocurreexactamente lo mismo. Si es más estrecho también.

Y conjeturan:

Niña D: Se suman los lados de las cajas menos dos, eso es igualal número de cortes.

Después de esta hipótesis alguien observa que hay uncaso especial que no la cumple, el 1 x n. Por tanto, hayque seguir hasta que se llega a soluciones parciales.

Es decir, se observa que aparecen muchas oraciones con-dicionales, el método de investigación de formular conje-turas. Y son capaces de separar lo que necesitan de lo queno necesitan. Esto, realizado por estudiantes de 10-11años, hace que parezca que realmente se esté trabajandoen forma de investigación de la misma forma que lo haríaun investigador: observan primero, explican lo que obser-van y conjeturan una fórmula general que compruebancon posterioridad. ¿No es eso lo que queremos?

Veamos otro caso. Se trata de construir puertas con pali-llos o bloques. Una es posible hacerlo con 5, dos con 9,tres con 13 y así sucesivamente.

Se pregunta: ¿cuántas barras son necesa-rias para construir 10 puertas? ¿Y en gene-ral? Se ha experimentado en clase y gra-bado en vídeo a dos alumnos. En la trans-cripción de la conversación se ha podidodescubrir lo que los alumnos hacen:construyen, experimentan, se apoyan,divergen, preguntan, deducen, corrigen,comprueban, explican, dirigen, contes-tan, suponen, generalizan. Es decir, seobserva que los estudiantes resuelven:

• Construyendo, en lo que tiene quever con el desarrollo de la estructu-ra, ya sea manipulativa o numérica-mente: «...Si multiplicamos por 5,será igual 10 veces», «Pon a conti-nuación encima el capuchón delbolígrafo», «Comprueba el 4 denuevo. Quitamos 1, quitamos 2, 4igual... pero sólo quitas 1, ¿no?(mientras construye)»...

• Experimentando, intentando ver loque ocurre en algunos casos parti-culares: «Intentemos para 17»,«Intentémoslo con otro»...

• Apoyando afirmaciones de lo quese ha dicho, aunque no se sea ple-namente consciente del procedi-miento: «Sí, por tanto tenemos queir bien ahora», «De acuerdo, correc-to. Y eso para el número que túquieras»...

• Divergiendo, discrepando, mostran-do nuevos caminos que puedanabrir nuevas posibilidades del pro-blema: «¿Funcionará también paralos números impares?»...

• Preguntando, como parte funda-mental del proceso de resolucióndel problema, en que los alumnosexaminan cómo se compone laestructura: «¿Era 6 el siguiente?»,«Sí... ¿y si aplicamos esto para 10?»...

• Deduciendo (de una experienciaparticular los estudiantes utilizan ellenguaje para expresar relacionesque reconocen): «10 tiene que ser41, porque si añadimos cuatro cadavez no sería 42»...

• Corrigiendo, lo que demuestra cier-ta capacidad de razonamiento yque entienden una cierta parte del

…se observaque los estudiantes

resuelven:

Construyendo…

Experimentando…

Apoyando…

Divergiendo…

Preguntando…

Deduciendo…

Corrigiendo…

36

problema: «45 no puede estar bien»,«Tiene que estar confundido enton-ces. Quizás sea 8»...

• Comprobando para verificar elcorrecto desarrollo del razonamien-to: «Vamos a comprobarlo», «Vamosa comprobar 8 de nuevo. 4 igual a17, 5 igual a 21»...

• Explicando, enlazando experienciaspasadas y presentes con los razona-mientos que se están llevando acabo: «Acabamos de resolverlo para4. Si consideramos eso anterior por2, hace 18, quitamos 1, es 17. Portanto se cuenta por 2 y quitamos1...», «Será 61 porque mira, añadien-do 41 igual a 62, pero recuerda, estoes cuando estamos quitando 2»...

• Dirigiendo la acción de otras perso-nas con el fin de instruir, demostrary formalizar la estrategia que se estáutilizando: «...por tanto si quitas 2ahí y 3 allí, ¿qué quitarías para 6?Probemos el 6», «No, haz 9»...

• Contestando de forma crítica y jus-tificada las afirmaciones realizadas,añadiendo otros puntos de vista:«No puede ser 33, tiene que ser 32.Tienes que quitar otra, ¿recuerdas?»,«No, haz 9. Debería ser 37. Si 8 es33 y añadimos 4, será 37»...

• Suponiendo, formulando hipótesis yconjeturas: «10 podría ser igual a 42entonces», «73 debería funcionar»...

• Generalizando, estudiando quéocurriría en cualquier caso: «Portanto tenemos que averiguar quésería para cualquier secuencia decualquier número»...

En esas situaciones, además de lo ante-rior se observan circunstancias intere-santes dignas de mencionar:

a) Los estudiantes toman la iniciativa.Se observa cómo son los alumnoslos que tienen el control. Por ejem-plo, aparece una mala notaciónpero fue decidida por ellos. En elproblema de las diagonales noparece correcto poner 2 x 3 = 3,con el sentido de largo xancho = n.° de cortes de la diagonal

del rectángulo. Pero fue su elección. En otras circuns-tancias se han observado representaciones parecidas:en el de las puertas escribían 2=9. ¡Qué dirían lospadres si lo vieran! El sentido está bien, pero sólo esentendible si nos situamos en el contexto de su reso-lución. Lo aceptamos como una forma corta, cómoday sencilla de expresarse sobre el papel. La ventaja depermitir que los alumnos experimenten sus represen-taciones da oportunidad al profesor de hablar conellos sobre su significado. Hay que explicarles que tie-nen que pensar por qué escriben y quién va a leer loque escriben.

b) Resolución de dudas. De la misma forma surgíanimprecisiones cuando la diagonal pasaba por un vér-tice común a cuatro cuadrados, ya que se podíaentender que se debía contar una o dos veces (esdecir, era punto común de una línea vertical y otrahorizontal). Fue un buen momento que aprovechó elprofesor para animar un diálogo entre los estudiantespara llegar a un tipo de acuerdo, en el que se hablóde qué es una línea, qué se entiende por punto decorte, concepto de tangencia... Finalmente decidieroncómo considerarlo, y lo hicieron como quisieron (dehecho un curso lo consideró como un único punto decorte y otro como dos).

c) La importancia del profesor. En una ocasión en que seestaba trabajando de forma similar, después de que elprofesor planteara la investigación a dos alumnos, aldejarles que lo resolvieran observaba cómo a los cincominutos estaban convencidos de que habían resueltoel problema. Pero se mantuvo callado, paciente,aguantó sin decir nada con gran valentía y obtuvo surecompensa: los chicos, de forma conjunta pero solos,sin que el profesor añadiera una sola palabra, retoma-ron el problema hasta que obtuvieron la respuestacorrecta y una generalización de la que ambos estabanconvencidos (después de treinta minutos). Con poste-rioridad se les vio mucho más animados al hacer unsegundo problema. Esto también nos lleva a planteary meditar que, en muchas ocasiones, esta forma de tra-bajar lleva mucho tiempo. Pero, aunque se empleemás tiempo del que se suele disponer en otros casos,los estudiantes han trabajado hasta el último momentoy, lo que es más importante, han resuelto el problema.

d) Errores de los alumnos en el proceso. La corrección delprofesor es la reacción inmediata que surge en lamente de éste, pero para los estudiantes puede sermás positivo abstenerse y comprobar si son capacesde resolver las dificultades por sí mismos, de formaque descubran el camino que se puede seguir y lasolución adecuada.

e) Utilización de material. Los estudiantes emplean ele-mentos manipulativos para formarse una idea de la

…

Comprobando…

Explicando…

Dirigiendo…

Contestando…

Suponiendo…

Generalizando…

37

solución y formalizarla, aunque todo depende de ladificultad de encontrar ésta. Por ello parece impor-tante proporcionar a los alumnos oportunidades deutilizar instrumentos concretos que puedan ayudar afamiliarizarse con el problema y a buscar una solu-ción, de manera que les ayude a establecer una rela-ción entre el pensamiento y la acción. Ello tambiénpuede servir para comprobar resultados parcialesobtenidos o la solución final, lo que ayuda a conse-guir pequeños éxitos.

f) La importancia de la distribución de los recursos. Sepudo observar en el caso mencionado en el apartadoc cómo el chico que tenía bolígrafo y papel, que enprincipio parecía ser el más apocado y tímido, era elque iba tomando la iniciativa convirtiéndose en elauténtico director. Eso se ha comprobado en otrasocasiones al realizar experimentos en un aula, distri-buida en diversos grupos de 4 o 5 personas trabajan-do en la misma investigación de forma paralela: acada miembro de algunos grupos se le dio un papelcon el problema, en otros se dejó un par de hojaspara todos los componentes y en otros casos única-mente una para todo el equipo. Pues fue precisa-mente esa forma de reparto la que marcó la posteriormanera de trabajo de cada grupo, lo cual afecta pos-teriormente a la calidad del diálogo y discusión de lasrespuestas: los que tenían una para cada miembro delequipo trabajaron de forma casi exclusivamente indi-vidual; cuando se les había dado dos, se hicieron dossubgrupos, y cuando había una única para todo elgrupo el trabajo era realmente de un único equipoconjunto.

g) Trabajo en grupo. Se veía una motivación grandedurante la resolución de un problema cuando expli-caban el proceso a un compañero. También es inte-resante observar cómo cada grupo trabajaba en unambiente de respeto, con lo cual cada uno de susmiembros desempeñaba un papel significativo. En losejemplos anteriores se puede comprobar el alto nivelde participación y aportación de ideas. El respetomutuo ayuda a expresar esas ideas en un ambienteconfortante y en una sociedad democrática. Esto esesencial porque cada componente presenta peculiari-dades distintas: uno prefiere informar, otro preguntar,algunos son muy hábiles en concretar los puntosprincipales, otros prefieren bromear…

h) La importancia de la superación de etapas.Conseguir pequeños éxitos proporciona alegría yconfianza en la experiencia. Además, esas fasessuperadas deben servir al profesor para que consi-dere el grado de consecución obtenida. Y celebrarante la clase la superación de etapas puede aprove-charlo para motivar a los alumnos: el pensamiento

se estimula cuando hay que expli-car el proceso de llegar a unasolución.

i) Poca expresión escrita. Los estu-diantes normalmente no escribenmucho, y lo que escriben no sueleexpresar normalmente lo que hanpensado. No suele ser significativo.Tampoco lo hacen ordenadamente.Éste es un aspecto de la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticassobre el que se necesita muchainformación. Rawson (1997),Mitchell y Rawson (1998, 2000) hanestudiado distintas posibilidadesque utilizan los alumnos dePrimaria cuando escriben sobreMatemáticas. De esos estudiossobresalen las pocas ocasiones deldesarrollo normal del aula en losque los profesores ayudan y dirigena sus alumnos en la destreza deescribir el proceso de resolver pro-blemas de distintas formas.

Todo ello surge de las oportunidadesque brotan del diálogo, de la interac-ción de los estudiantes cuando secomunican. Por ejemplo, en el caso delas puertas, los estudiantes hicieron untrabajo de generalización muy bueno,pero fue porque estaban en situación dehacerlo. Y los alumnos no eran espe-cialmente brillantes; eran de nivelmedio. En algunos momentos del difícilcamino diario de la enseñanza nos pre-guntamos si los estudiantes son capacesde realizar una cierta actividad, y orga-nizarse y pensar para lograr una res-puesta adecuada. Y parece muy claro:lo hacen siempre que se les dé oportu-nidad de hacerlo.

Pero, ¿qué es lo realmenteimportante?

Existen diversas formas de entender elsignificado de las Matemáticas, así comodiferentes puntos de vista de cómo sepueden realizar los procesos de apren-dizaje con relación a ellas. Por ejemplo,algunos consideran que tiene que haber

En algunosmomentosdel difícil

camino diariode la enseñanzanos preguntamossi los estudiantes

son capacesde realizaruna ciertaactividad,

y organizarsey pensar

para lograruna respuesta

adecuada.Y parece

muy claro:lo hacen

siempre quese les dé

oportunidadde hacerlo.

38

una solución para cada problema. Paraellos las Matemáticas consisten enencontrar respuestas a los problemas, ysu enseñanza suele ir dirigida a conse-guir resultados, es decir, a obtener larespuesta correcta.

En contraposición a la consideración deque el aprendizaje no es más que ins-trucción, otros tienen un punto de vistade las Matemáticas como algo de natu-raleza creativa que requiere iniciativa,imaginación, reflexión y flexibilidad. Sinembargo consideran la Resolución deProblemas como identificar la categoríadel problema, seleccionar la estrategiaadecuada y aplicarla. Es indudable quese deben enseñar y conocer estrategias,pero hacerlo de esta forma convertiríalas Matemáticas en algo similar a unamera aplicación de unas reglas demanera mecánica.

Otra posibilidad es entender las Mate-máticas como un proceso que enfatizala necesidad de entender, siguiendo losprocedimientos y destrezas de un inves-tigador. En ese caso se deberían presen-tar los problemas como algo que esti-mule el trabajo de los estudiantes, asícomo una oportunidad para que losresolutores puedan desarrollar un méto-do de trabajo efectivo. De esa forma, lasactividades servirían como experienciasque desarrollen estrategias, permitanformular conjeturas y tabular los resulta-dos, identifiquen los objetivos, animen ala discusión y a conseguir acuerdos con-juntos... Así, Resolución de Problemasenfatiza la naturaleza interactiva de lasMatemáticas y favorece que los alumnostomen decisiones para conseguir losobjetivos que se pretenden. Con ellopasan de ser pasivos receptores delconocimiento a estudiantes activos. Estohace que presenten una amplia diversi-dad de respuestas. También pretendenpresentar situaciones que les permitangeneralizar de acuerdo con sus nivelesde desarrollo. Esta habilidad de genera-lización supone un paso importante, yaque ser capaz de adquirir una destrezaen determinadas condiciones es algobien distinto que mostrar diferentes des-trezas en la misma situación, o la misma

destreza en diferentes situaciones. Todo ello no elimina elvalor de dominar las destrezas del cálculo, pero debe sercon la finalidad de considerarlas como herramientas bási-cas para la solución de problemas.

Bruno D’Amore (1997) relata, en su artículo ¿Las imágenesmentales de los textos de las situaciones-problema influen-cian su resolución?, la reveladora frase que le dio un estu-diante de diez años ante un problema del que no enten-día exactamente el enunciado:

Lo importante no es comprender, sino resolver el problema.

Pero, realmente, ¿qué es lo que pretendemos con la edu-cación? Recordar, comprender y ser capaz de utilizaresos recuerdos, pero no situados en tres niveles diferen-tes, sino presentes en cada situación y en cualquier acti-vidad humana.

No se debe confundir educación con memorización por-que, en realidad, saber con precisión que Felipe II fue Reyde España, el número de años que vivió, la extensión desus dominios bajo su mandato y el nombre de sus hijos noparece demasiado relevante. Eso se puede consultar encualquier libro que trate sobre el tema, pero una enciclo-pedia con piernas no suele entenderse como una personabien preparada. Quizás sea más importante conocer quétuvieron que ver esos hechos con el desarrollo de lahumanidad, en su momento y en lo relacionado con lasituación actual. Aunque tampoco se puede caer en elpolo opuesto identificando la educación como mero racio-cinio. Según Bruner (1962: 34):

Enseñar no es crear pequeñas bibliotecas vivientes, sino más bienque los estudiantes piensen por ellos mismos, matemáticamente,a considerar cuestiones como lo hace un historiador, a tomarparte en el proceso de construir el conocimiento. El conocimientoes un proceso, no un resultado.

También se debe distinguir educación de mecanización,porque hacer hincapié en trabajar en una larga lista desumas puede ser una actividad matemática trivial. Esasactividades necesariamente no hacen a los estudiantesser especialmente competentes cuando utilizan números.Quizás también sería interesante tener en cuenta cómocada persona interpreta su significado. Veamos un ejem-plo que puede mostrar esa distinción entre educación ymecanización. Se necesita imaginación para convertiruna página de sumas en una actividad que estimula laacción de pensar. Para ello hay que mirar dicha páginacon una visión nueva. Por ejemplo, un profesor inquietopuede sugerir, en primer lugar, hacer las sumas que nose pueden realizar fácilmente de forma mental.Posteriormente se trata de inventar el relato de un pro-blema donde la solución:

• esté comprendida entre las respuestas de la primera yla última suma de cada fila de sumas,

Otra posibilidades entender

las Matemáticascomo un proceso

que enfatizala necesidadde entender,

siguiendolos procedimientos

y destrezas deun investigador.

En ese casose deberíanpresentar

los problemascomo algo

que estimuleel trabajo

de los estudiantes,así como

una oportunidadpara que

los resolutorespuedan

desarrollarun método

de trabajo efectivo.

39

• esté entre la solución más grande y más pequeña decada fila,

• es mayor/menor que la solución más/menos grandede cada fila de sumas,

• es mayor/menor que la mitad de las soluciones mayo-res de cada fila...

Muchos alumnos y profesores comentan que lo que hacennormalmente los estudiantes es preparar un examen, y esose suele hacer habitualmente «el día antes». También sehabla de atender a la diversidad, ya que cada alumno debemantener su propio ritmo y conseguir sus resultados.Luchar contra eso es más fácil si se intenta que los estu-diantes piensen por sí mismos. Con ello querríamoscomentar y criticar el conocido proverbio chino:

Escucho y olvido, veo y recuerdo, hago y comprendo.

Según nuestro criterio habría que incluir una palabra entrehago y comprendo: reflexiono.

En los libros de texto de hace años se utilizaban los nom-bres mental, algoritmo y problema. Ahora las cosas hancambiado, y parece que la sociedad actual demanda ense-ñar a pensar en un contexto cada vez más competitivo.Pero en muchas facetas y situaciones de nuestra vidaactuamos de la primera forma que se nos ocurre, sin com-prender y sin ni siquiera intentar comprender. Es decir, loque se hace es resolver problemas prácticos de formainmediata, y posteriormente observar el éxito o fracaso dedichas acciones. Sin embargo, cuando actuamos comodocentes lo hacemos de forma reflexiva, de manera que lacompresión de un problema precede a la actuación anteel mismo. Nos gustaría que los estudiantes siguiesen uncamino similar.

Se habla de unas Matemáticas reflexivas, que los estudian-tes tengan una actitud crítica, pero ¿qué significa eso?

Y eso, ¿cómo se hace?

Parecen adecuadas las investigaciones (o cualquier otradenominación), entendidas como una forma de trabajarque intenta establecer un ambiente donde despierta elpensamiento. Lo difícil es medir «cuánto son de buenas».Lo importante es utilizarlas como un medio y no como unfin. Hasta que no se hagan no se sabe ni qué pueden serni a qué pueden llegar. Se busca que los estudiantes cojanconfianza al enfrentarse a cualquier problema. Y a losjóvenes hay que animarles a investigar cuando estudianMagisterio, cuando aprenden a enseñar. Según Halmos,(1991: 33):

Un profesor debe mostrar a sus alumnos cómo resolver problemas–y resolver problemas es hacer investigación, que puede y debe

hacerse en muchos niveles diferentes– y unprofesor debe ser capaz de reconocer ensus alumnos la habilidad para investigar,para poder animarles y darles consejosadecuados.

En esta situación, se debería presentar alos estudiantes la posibilidad de aplicarlo que conocen en posibilidades cam-biantes y no familiares, lo que permiteque sigan sus propios caminos matemá-ticos y desarrollen sus propias ideas.Para ello la presentación ocupa un lugarimportante, especialmente para favore-cer el interés y la motivación. E inclusopuede ser interesante un periodo depreparación. También sería favorableque fuesen fácilmente entendibles yabordables. Situar a los estudiantes engrupos puede animar el trabajo coope-rativo, pero eso no asegura que la dis-cusión tenga lugar.

También hay que tener en cuenta que:

Sobre la metodología en base a la resolu-ción de problemas desearíamos añadir quetan importante como la resolución de pro-blemas consideramos que es la «propues-ta» de nuevos problemas, es decir, que losalumnos lleven al aula problemas de lavida real o imaginados, para los que hayque buscar el planteamiento matemático. Elhecho de extractar el esquema matemáticode situaciones problemáticas, dándolesforma tratable matemáticamente de acuer-do con modelos conocidos, es muy impor-tante y debe ser estimulado. Es la mejorforma de estimular la creatividad» (Santaló,1992: 86-87).

Polya solía decir que si no se puederesolver un problema se debería elegiruna parte del mismo o buscar otro pro-blema que parezca más sencillo, que nose sepa resolver, y entonces resolverlo.Luego resolver problemas es buscarproblemas o, mejor, hallar el plantea-miento correcto de los mismos. Elmismo principio se aplica en la ense-ñanza. Se comenta de Sócrates, conside-rado por muchos uno de los mejoresprofesores de todos los tiempos, quedecía:

¡no les cuentes cosas, pregúntales! No lesresuelvas los problemas, plantéaselos. Lamejor manera de enseñar no es dictar, sinopreguntar, identificar nuevas metas y justifi-car los hechos.

…se deberíapresentar

a los estudiantesla posibilidad

de aplicarlo que conocenen posibilidades

cambiantesy no familiares,lo que permite

que sigansus propioscaminos

matemáticosy desarrollensus propias

ideas.

40

Ya se ha explicado nuestro pensamien-to de que no tiene sentido buscar elmétodo por excelencia, sino que es másconveniente elegir en cada momento eladecuado, dependiendo de la actividadque se pretende realizar y de las carac-terísticas del grupo concreto de alum-nos. No existen varitas mágicas. Cual-quier estrategia de trabajo puede tenersu importancia, pero en la actualidad sesigue investigando por qué ciertasmetodologías consiguen mejores resul-tados que otras, con la intención decontinuar mejorando.

Sí, sí. Pero eso, ¿cómo se hace?

ReferenciasAMORE, B. D. (1994): «Lápices-Orettole-

Przxetqzyw ¿Las imágenes mentales de lostextos de las situaciones-problema influen-cian su resolución?, Suma, n.° 17, 111-116.

BRUNER, J. S. (1962): The Process of Educa-tion, Harvard University Press.

BURGHES, D. (1984): «Mathematical investigations». TeachingMathematics and its Applications, n.° 3, 2, 47-52.

CORBALÁN, F. (1994): Juegos matemáticos para Secundaria yBachillerato, Síntesis, Madrid.

GAIRÍN SALLÁN, J. Mª (1996): «Del dicho al hecho...», Suma, n.°21, 41-54.

GARDINER, A. (1989): Discovering Mathematics. The Art ofInvestigation, Oxford Science Publications, New York.

HALMOS, P. R. (1991): «¿Qué es un matemático?», Epsilon, n.° 20,33-40.

H.M.I. (1985): Mathematics from 5 to 16. Curriculum Matters 3,Department of Education and Science, HMSO, London.

MITCHELL, C. H. y W. B. RAWSON (1998): «DevelopingMathematical Reasoning at Key Stage 1 and 2», Paper delive-red at the British Educational Research Association AnnualConference, The Queen’s University of Belfast, 27-30 August.

MITCHELL, C. H. y W. B. RAWSON (2000): «Using Writing toScaffold Children’s Explanations in Mathematics’», en KOSHY(ed.): Mathematica for Primary Teachers, Routledge, Lon-don, 182-195.

RAWSON, W. B. (1997): «Working with Writing Frames in Mathe-matics», Education 3 to 13, n.° 25, 1, 49-54.

RAWSON, W. B. y J. M.a CHAMOSO (1999): «¿Hacia formas deinvestigación en clase de Matemáticas?», Actas de las IX JAEM,septiembre 99, Lugo.

SANTALÓ, L. A. (1990): «Entrevista al profesor Santaló», Epsilon,n.° 18, 81-87.

José M.a ChamosoFacultad de Educación

Universidad de SalamancaSociedad Castellano-Leonesa

de Profesoradode Matemáticas

William B. RawsonSchool of EducationUniversity of Exeter

England

41

PUBLICACIONES DE LA FEDERACIÓN

AS MATEMÁTICAS en la vida cotidiana es un aspecto tra-tado cada vez más en nuestras aulas. Los alumnos han dever en los niveles de la enseñanza obligatoria las aplica-ciones inmediatas que tienen las matemáticas que ellosestudian, sirviéndoles como elemento motivador a suaprendizaje. Por otra parte, los docentes tenemos la obli-gación de enseñarl a nuestros alumnos todos aquellosaspectos relacionados con el cada día y que son motivo denoticias diarias en los medios de comunicación.

Cuando se aproxima una campaña electoral son muchos losperiódicos que encargan a empresas especializadas sondeosde opinión que publican con grandes titulares en sus pági-nas. Tras las elecciones, bien sean generales, autonómicas olocales, también hay grandes titulares en los periódicos men-cionando los partidos con mayoría absoluta, relativa e inclu-so de las posibles coaliciones que permiten que gobierne unpartido que no ha alcanzado la mayoría relativa o minoríamayoritaria. Todo esto es motivo de interés para la ciudada-nía en general y los alumnos que estudian la enseñanza obli-gatoria tiene la necesidad, por una parte, y la obligación, porotra, de adquirir ese mínimo de conocimientos que les pro-porcione una alfabetización matemática.

En el caso de las matemáticas electorales que vamos a tra-tar en sus aspectos iniciales, vamos a desmenuzar esos con-ceptos que si bien son repetidos con cierta insistencia nollegan a ser aprehendidos por la mayoría de los individuos.

¿Quién no ha oído hablar de la Ley D’Hondt o de las coa-liciones políticas o de las circunscripciones o de las cuo-tas de poder? Pero, ¿sabemos exactamente su alcance y loque supone cada uno de esos términos?

En el aula se puede tratar este aspecto como aplicaciónde la «proporcionalidad/desproporcionalidad numérica y,según el nivel donde nos encontremos, podemos ajustarsu contenido.

Las matemáticas electoralesson una fuente de

información valiosa en elestudio de la

proporcionalidad/despropor-cionalidad numérica. De ahíque partiendo del caso delas elecciones autonómicas

catalanas de 1999, endonde un partido que

obtiene menos votos queotro, sin embargo, tiene másescaños, nos introducimos en

la aplicación del métodoD’Hondt que regula el

proceso electoral en nuestropaís, viendo los resultados

que se obtendrían de utilizarun procedimiento

proporcional.Debido a que en las

elecciones locales la mayoríaabsoluta es difícil de

conseguir, esto nos sirvepara hacer una irrupción enlas alianzas postelectorales ydeterminar algún índice de

poder.

43

Matemáticas electorales:desproporcionalidad y alianzas

Andrés Nortes Checa

ARTÍCULOS

L

36

febrero 2001, pp. 43-49

Como punto de partida, podemos considerar lasElecciones Catalanas de 1999. El periódico El País del 18de octubre de 1999 encabezaba su primera página con elsiguiente titular: «Pujol gana en escaños y Maragall obtie-ne más votos». ¿Cómo es posible esto?

Consultando los datos, éstos fueron los resultados ennúmero de votos y de escaños de estos dos partidos:

das si se compara con las que se regis-tran en los sistemas electorales delentorno, siendo superior a la registradaen cualquier otro país que utilice unsistema de representación proporcio-nal, sistema teóricamente utilizado ennuestro país.

En nuestro país los escaños se distribu-yen entre los partidos según el métodoD’Hondt (o D’Hont), participando sola-mente aquellos que hayan superado el3% de los votos válidos emitidos en lacircunscripción. A continuación seordenan de mayor a menor en unacolumna las cifras de votos obtenidospor los partidos y se divide el númerode votos de cada uno entre 1, 2, 3, …hasta un número igual al de escañoscorrespondientes a la circunscripción,atribuyéndose los escaños a las candi-daturas que obtengan los cocientesmayores en el cuadro.

Refiriéndonos al Congreso de Diputadoslos 350 escaños se reparten entre 50 dis-tritos que coinciden con la demarcaciónprovincial atendiendo a un doble crite-rio: a cada provincia corresponde unnúmero inicial de dos escaños y el restode escaños se atribuye de forma pro-porcional a cada población (en el casode Ceuta y Melilla se atribuye un esca-ño a cada circunscripción). Por eso enprovincias de pocos habitantes comoSoria o Huesca, el número de votos paraobtener un escaño es muy inferior al deMadrid o Barcelona.

En las Elecciones Generales del 12 demarzo de 2000, con una población dederecho de 39.852.651 habitantes y unCenso de 33.969.640 votantes, losresultados al Congreso de los Dipu-tados arrojaron 183 diputados para elPP, 125 para el PSOE, 15 para CiU, 8para IU, 7 para el PNV, 4 para Coali-ción Canaria y 3 para el Bloque Nacio-nalista Galego, mas 5 escaños paraotras cinco candidaturas. El porcentajede votos y los escaños que habríanobtenido estos siete partidos, de ser elreparto proporcional, sin aplicar la LeyD’Hondt, y considerando una sola cir-cunscripción, hubiera sido el que serefleja en la tabla 4.

…en provinciasde pocos

habitantescomo Soriao Huesca,el númerode votos

para obtenerun escaño

es muy inferioral de Madrido Barcelona.

44

Partido Barcelona Tarragona Girona Lleida TOTAL

CiU 833.168 (31) 116.974 (8) 137.079 (9) 91.199 (8) 1.178.420 (56)

PSC 948.202 (36) 96.632 (6) 82.502 (5) 55.963 (5) 1.183.299 (52)

De haber sido el reparto de escaños de forma proporcio-nal, los resultados habrían sido los siguientes:

Tabla 1

Partido Barcelona Tarragona Girona Lleida TOTAL

CiU 35,14% (30) 41,30% (7) 48,55% (8) 48,10% (7) 100% (52)

PSC 39,99% (34) 34,11% (6) 29,22 % (5) 29,51% (4) 100% (49)

Total 100% (85) 100% (18) 100% (17) 100% (15) 100% (135)

Tabla 2

Y si se hubiera considerado Cataluña como una sola cir-cunscripción. Los resultados habrían sido estos otros:

Partido Cataluña En % N.° escaños

CiU 1.178.420 38,05% 51

PSC 1.183.299 38,21% 52

Total 3.097.122 100% 135

Tabla 3

Desproporcionalidad de la ley D’Hondt

Sin embargo, nada de esto último ha ocurrido porque ennuestro país la Ley Orgánica de Régimen Electoral Ge-neral (LOREG) que regula el proceso electoral estableceuna desproporcionalidad. Para poder conocer el gradode desproporcionalidad que genera un sistema electoraly poder compararlo con cualquier otro es preciso acudira algún indicador para cuantificarlo. Todos los indicado-res tienen en cuenta la diferencia que se establece entreel porcentaje de votos y el porcentaje de escaños querecibe cada candidatura, distinguiéndose unos de otrosen la forma en que se computan esas diferencias. La des-proporcionalidad del sistema electoral español, segúnindican Oñate y Ocaña (1999), está entre las más eleva-

De haber sido el reparto de escaños deforma proporcional y con una circuns-cripción única estas 7 candidaturas enlugar de alcanzar entre todas ellas 345diputados habrían conseguido 324diputados, dando de esta forma másrepresentación a los partidos minorita-rios. La candidatura más castigada porel hecho del número de circunscripcio-nes y la aplicación de la Ley D’Hondtha sido IU, mientras que el más favore-cido ha sido el PP ya que en estas cir-cunstancias se habría quedado con 156escaños, no alcanzando la mayoríaabsoluta (176 diputados).

De aquí que una primera conclusión esque la Ley D’Hondt favorece a los parti-dos más votados y desfavorece a lospartidos menos votados, y que el mayornúmero de circunscripciones favorece alos partidos más votados.

¿En qué medida es justa o injusta la des-proporcionalidad existente? Pues debi-do a que la desproporcionalidad de laLey D’Hondt favorece a los partidosmayoritarios y desfavorece a los parti-dos minoritarios, los electores se aco-modan a este criterio y optan por lospartidos grandes bajo la hipótesis del«voto útil». De esta forma los índices dedesproporcionalidad se reducen allograr menos apoyo de los electores lospartidos medianos y pequeños.

Como segundo aspecto significativo esque, si bien favorece a los dos primerospartidos el reparto de escaños según laLOREG, desfavorece a los situados en ter-cero y cuarto lugar según el número devotos, tal como se deduce de la tabla 4.

Por último, el que haya dos escaños fijospara cada provincia o circunscripción

electoral y el resto sea establecido de forma proporcional ala población, hace que el tamaño del distrito sea el ele-mento que mayor consecuencia tiene en la desproporcio-nalidad que genera la aplicación de la Ley Orgánica delRégimen Electoral General en nuestro país.

Aplicación de la ley D’Hondt

Hemos elegido la circunscripción de Murcia en las Elec-ciones Generales al Congreso del 12 de marzo de 2000,para aplicar La Ley D’Hondt. Éstos son los datos aportadospor el Ministerio del Interior (2000)

Electores: 917.354

Votos Totales: 674.516 73,53%

Votos en Blanco: 7.185 1,07%

Votos Nulos: 3.832 0,57%

Abstención: 242.838 24,67%

Votos Válidos: 670.684

Votos a Candidaturas: 663.499

…hace queel tamaño el distrito

sea el elementoque mayor

consecuencia tiene en la

desproporcionalidadque genera

la aplicaciónde la Ley Orgánica

del RégimenElectoral Generalen nuestro país.

45

PP PSOE CiU IU PNV CC BNG Total

Votos 10.321.178 7.918.752 970.421 1.263.043 353.953 248.261 306.268 22.814.467

% 44,52 34,16 4,19 5,45 1,53 1,07 1,32 100

D’Hont 183 125 15 8 7 4 3 350

Propor. 156 120 15 19 5 4 5 350

Tabla 4

Partido Eleg. Votos %

PP 6 389.564 58,08

PSOE 3 217.179 32,38

IU — 41.842 6,24

Tabla 5

La tabla de cocientes es la siguiente:

Partido 1 2 3 4 5 6 7 8 9

PP 389564 194782 129855 97391 77913 64927 55652 48696 43285

PSOE 217179 108590 72393 54295 43436 36197 31026 27147 24131

IU 41842 20921 13947 10461 8368 6978 5977 5230 4649

Tabla 6

obtenida dividiendo el número de votos de cada partidoentre 1, 2, 3, ... y eligiendo los nueve cocientes mayores(señalados en negrita).

De haber sido el reparto proporcional y excluyendo lascandidaturas que no alcanzan el 3%, el escrutinio habríasido: 5 diputados para el PP, 3 para el PSOE y 1 para IU.

Elecciones autonómicas

La fórmula D’Hont se aplica también en las eleccionesautonómicas y locales. Para las autonómicas cada comu-nidad establece el número de circunscripciones o distri-tos en que se divide, así como el tamaño de la Asambleao número de escaños. El número de distritos suele coin-cidir con el número de provincias de cada comunidad:Andalucía (8), Aragón (3), Cantabria (1), Galicia (4)...;sin embargo, en otras como Asturias o Murcia, que sonuniprovinciales se subdividen en 3 y 5 circunscripciones,respectivamente. Todas las comunidades autónomas,excepto Asturias, Baleares, Canarias y Murcia, han esta-blecido distritos coincidentes con las demarcacionesprovinciales utilizando para el reparto de escaños entrelos partidos la fórmula D’Hondt. Además los sistemaselectorales repiten los elementos completados en laLOREG, excepto en la cláusula de exclusión que varíaentre el 3% y el 5% en el ámbito del distrito o de lacomunidad autónoma.

Vamos a analizar el caso de la Comunidad de Murcia que estádividida en 5 distritos ya que los resultados habrían sido dis-tintos de haberse considerado como circunscripción única.

En las Elecciones a la Asamblea Regional de Murcia de 13de junio de 1999 estos fueron los resultados generales,facilitados por el INE:

Electores: 911.054

Votos totales: 616.397 67,66%

Abstención: 294.657 32,34%

Votos en Blanco: 8.839 1,43%

Votos Nulos: 4.327 0,70%

Votos Válidos: 612.070

Votos a Candidaturas: 603.231

Vamos a analizarel caso

de la Comunidadde Murcia

que está divididaen 5 distritos, yaque los resultados

habrían sidodistintos

de haberseconsiderado

comocircunscripción

única.

46

Partido Eleg. Votos %

PP 26 323.446 52,84

PSOE 18 219.798 35,91

IU 1 42.839 7,00

Otros — 17.148 2,8

Tabla 7

Partido Eleg. Votos %

PP 4 41.591 43,59

PSOE 3 41.485 43,48

IU — 7.923 8,30

Otros — 3.171 3,32

Tabla 8. Distrito 1: Lorca(Votos Válidos: 95.410)

Partido Eleg. Votos %

PP 6 68.782 54,58

PSOE 4 42.353 33,61

IU — 7.601 6,03

Otros — 5.423 4,30

Tabla 9. Distrito 2: Cartagena(Votos Válidos: 126.014)

Partido Eleg. Votos %

PP 13 174.476 56,30

PSOE 7 103.039 33,25

IU 1 19.915 6,43

Otros — 7.760 2,50

Tabla 10. Distrito 3: Murcia(Votos Válidos: 309.897)

Partido Eleg. Votos %

PP 2 24.892 46,90

PSOE 2 23.466 44,21

IU — 3.728 7,02

Otros — 505 0,95

Tabla 11. Distrito 4: Noroeste(Votos Válidos: 53.078)

Partido Eleg. Votos %

PP 2 13.811 49,91

PSOE 1 9.349 33,79

IU — 3.672 13,27

Otros — 289 1,04

Tabla 12. Distrito 5: Altiplano(Votos Válidos: 27.671)

Al ser cinco distritos, éstos han sido losresultados en cada uno de ellos:

Aplicada la fórmula D’Hondt por distri-tos, el número de votos necesarios paraobtener diputados ha sido el siguiente:

terios que hemos descrito anteriormente. Sin embargo,hay dos aspectos importantes que merecen ser destaca-dos, por un lado, que sea cual sea el número de habitan-tes de la localidad y de electores, el número de conceja-les elegidos siempre lo es en número impar; y por otro,que al ser los concejales representantes de muy variadascandidaturas es difícil obtener mayorías absolutas y sehace necesario, en muchos casos, las coaliciones o alian-zas entre distintas fuerzas políticas.

Aquí es donde entra en juego un aspecto muy importante delas Matemáticas electorales, y es el tema de las coaliciones oalianzas políticas para facilitar la gobernabilidad en aquellosayuntamientos en donde una candidatura no llega a obtenermayoría absoluta.

Tres casos sencillos de la vida cotidiana, aportados porGarfunkel (1999) nos van a introducir en el significado delíndice de poder.

• Caso 1. Una empresa pertenece a dos personas A y B,la primera con el 60% de las acciones y la segundacon el 40%. La mayoría se alcanza con el 51%, por loque el índice de poder de A es del 100% mientras queel de B es del 0%

• Caso 2. Una empresa pertenece a tres personas A conel 49%, B con el 48% y C con el 3%. Ninguno tiene lamayoría del 51%, pero que pueden conseguir si sealían A con B, A con C o B con C. Por tanto, las trespersonas tienen el mismo índice de poder, el 33,3%

• Caso 3. Una empresa pertenece a cuatro personas Acon 26%, B con 26%, C con 26% y D con 22%. Aunqueel porcentaje de las acciones de D no difiere muchocon el del resto, no puede alcanzar la mayoría si seune con A con B o con C. Por el contrario, A con B,A con C y B con C sí que obtienen mayoría, por tantoel porcentaje de poder de A, B y C es del 33,3%, mien-tras que el de D es del 0%.

El poder, como vemos, está relacionado con el número deformas que una persona o grupo político puede convertiruna derrota en victoria al unirse a una coalición perdedo-ra para hacerla ganadora.

La cuota necesaria para ganar en los casos anteriores es del51% y, en general, se obtendrá de la siguiente manera:

Sea un sistema de votación con pesos o ponderadorepresentado por [q: w (A), w (B), w (C),...], en dondeq = E [(w (A)+w (B)+w (C)+...)/2] + 1, es la cuota necesa-ria para ganar y w (A), w (B), w (C),... son los pesos paralos distintos grupos.

Para aplicar las alianzas a la vida política y desarrollaralgún caso, hemos recurrido a las elecciones locales de1999 en la Comunidad Autónoma de Murcia (BOE de 27de junio de 1999). Analizados los 45 municipios que lacomponen, hemos seleccionado aquellos en donde era

El poder,como vemos,

está relacionadocon el númerode formas queuna persona

o grupo políticopuede convertir

una derrotaen victoriaal unirse

a una coaliciónperdedora

para hacerlaganadora.

47

Partido Distrito 1 Distrito 2 Distrito 3 Distrito 4 Distrito 5

PP 10.398 11.464 13.421 12.446 6.906

PSOE 13.828 10.588 14.720 11.733 9.349

IU — — 19.915 — —

Tabla 13

Partido Elegidos Votos/diputado Votos %

PP 25 12.938 323.446 52,84

PSOE 17 12.929 219.798 35,91

IU 3 14.280 42.839 7,00

Otros — — 17.148 2,80

Tabla 14

Si por el contrario se hubiera considera-do la Comunidad Autónoma de Murciacomo un solo distrito, aplicando elmétodo D’Hondt habría resultado:

Este caso corrobora que los partidossituados en tercer lugar por número devotos salen desfavorecidos al aumentarel número de distritos. En caso de dis-trito único IU habría obtenido tres esca-ños, mientras que con los cinco distritosactualmente establecidos por ley, sólo lecorrespondió un escaño. Mientras queal PP y al PSOE cada escaño lo obten-dría con algo más de 12.900 votos, IU lohubiera obtenido con 14.280.

También es importante destacar la dife-rencia entre votos necesarios para obte-ner un escaño. El PP en el distrito 5necesita solo 6.906 votos, mientras queIU en el distrito 3 necesitó 19.915 votos,casi el triple.

Elecciones locales

Las elecciones locales para elegir repre-sentantes en los ayuntamientos denuestro país se rigen también por laLOREG. Una vez efectuada la votacióny el escrutinio, la elección de conceja-les se hace atendiendo a los mismos cri-

posible establecer alianzas entre distintos grupos políticos.Estos fueron los casos:

• Águilas: PP (7), PSOE (4), IU (2), MIRA (6), UCAP (1),PDIA (1)

• Alhama: PP (7), PSOE (6), IU (2), PADE (2)

• Cieza: PP (10), PSOE (9), IU (2)

• Fortuna: PP (5), PSOE (4), IU (1), PADE (2), PDNI (3)

• Jumilla: PP (10), PSOE (9), IU (2)

• Mazarrón: PP (5), PSOE (4), IU (1), PIXM (7)

• Moratalla: PP (5), PSOE (6), IU (2)

• Puerto Lumbreras: PP (8), PSOE (8), IU (1)

• Torre Pacheco: PP (8), PSOE (5), IU (1), AITP (7)

• Torre Cotillas: PP (8), PSOE (7), IU (2)

• Totana: PP (10), PSOE (7), IU (4)

Si consideramos el caso de Cieza o de Jumilla [11: 10, 9,2], las coaliciones ganadoras son PP-PSOE, PP-IU y PSOE-IU ya que en las tres se alcanza la mayoría absoluta (11),por lo que el índice de poder de cada partido es elmismo, el 33,3%.

También podríamos haber obrado así:

Vamos a desarrollar ahora el caso deAlhama. Para ello formamos todas las coa-liciones perdedoras. Para convertirlas enganadoras necesitamos un pivote o como-dín (otro partido) que al cambiar su votocambie el resultado de la votación. Setiene: [q: w(A), w(B), w(C), w(D)], es decir[9: 7, 6, 2, 2] (figura 2).

El número de veces que cada grupopolítico hace de comodín es:

Grupo político: A B C D

Pivote n.° veces: 6 2 2 2

de ahí que el Índice de poder sea: (6, 2,2, 2), o en porcentaje (50; 16,67; 16,67;16,67).

Se tendrá pues:

Este Índicede poder calculado

se denominade Banzhaf

en donde el poderde un grupo

políticoes proporcionalal número de

combinaciones enque dicho partido

es comodíno pivote

para convertiruna coalición

perdedoraen ganadora.

48

Coaliciones perdedoras: A B C

Pivote: B C A C A B

Coalición ganadora: AB AC BA BC CA CB

El número de veces que cada partido actúa de pivote paraconvertir una coalición perdedora en ganadora es 2, de ahíque el índice de poder sea el mismo para cada uno de lostres partidos, es decir 1/3, o del 33,3%.

Este Índice de poder calculado se denomina de Banzhaf endonde el poder de un grupo político es proporcional alnúmero de combinaciones en que dicho partido es como-dín o pivote para convertir una coalición perdedora enganadora. En este caso todas las coaliciones o partidos tienenla misma ponderación, independientemente de su tamaño.

Otros casos como Moratalla [7: 5, 6, 2], Puerto Lumbreras[9: 8, 8, 1], Torre Cotillas [9: 8, 7, 2] y Totana [11: 10, 7, 4]corren la misma suerte que los anteriores. Cada partidotiene el mismo índice de poder aunque la situación dePuerto Lumbreras parezca injusta ya que a un porcentajede escaños del 47,06% y a otro de 5,88% les correspondeel mismo índice de poder, del 33,3%, puesto que el Índicede Banzhaf no tiene en cuenta el tamaño de cada partido.

Partido Nº concejales % Concejales % Poder

PP 7 41,76 50

PSOE 6 35,29 16,67

IU 2 11,76 16,67

PADE 2 11,76 16,67

Tabla 15

Figura 1

Aunque hemos analizado las coalicioneso alianzas en el caso de las eleccioneslocales, también es aplicable a las gene-rales y autonómicas. Sin embargo es enel caso de las locales donde mayor yvariada aplicación tienen.

Un caso interesante que dejamos comoentretenimiento al lector de este artícu-lo es el cálculo del Índice de poder enel Ayuntamiento de Águilas: PP(7),PSOE (4), IU (2), MIRA (6), UCAP (1),PDIA (1) con seis grupos políticos. Eneste caso se tiene: [q: w (A), w (B), w (C),w (D), w (E), w (F)], es decir: [11: 7, 4, 2,6, 1, 1] y en donde las coaliciones per-dedoras son: A, B, C, D, E, F, AC, AE,AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF,EF, ACE, ACF, AEF, BCE, BCF, BEF, CDE,CDF, CEF, DEF, BCEF y CDEF, obtenidasviendo todas las posibles combinacio-nes y señalando aquellas que no alcan-zan los 11 votos que constituye la mayo-ría absoluta.

A modo de conclusión

A la vista de nuestras reflexiones corro-

boramos la afirmación de Nulart (2000),

que un análisis global de los resultados

de las siete elecciones generales habi-

das en nuestro país muestra una baja

proporcionalidad entre el número de

votos y el número total de escaños reci-

bidos por cada partido. Nosotros lo

hemos analizado en el caso de las

Elecciones Generales del 12 de marzo

de 2000 y en las autonómicas y locales

de 13 de junio de 1999 en la Comu-

nidad de Murcia. Pero además hemos

constatado la enorme desproporcionali-

dad existente en el coste de un diputa-

do en número de votos en distintas cir-

cunscripciones en el caso de la Comu-

nidad Autónoma de Murcia, que llega a

ser de hasta tres veces, y consultando

Ministerio del Interior (2000) vemos

que mientras que en Soria con 3 dipu-

tados, el PP con 31.883 y el 58,47%

obtenía 2 diputados a un coste de

15.942 votos y el PSOE con 17.436 y el

31,98% obtenía 1 diputado, en Barce-

lona, el «coste» del número de votos por

diputado del PSC era de 75.800, el de

CiU de 74.840, el del PP de 112.847, el

de ERC de 131.114 y el de IPCV de

103.778.

La desproporcionalidad, por un lado

achacable al método D’Hondt, pero

también debido a la existencia de

muchas circunscripciones pequeñas,

hace que los dos partidos más votados

de ámbito nacional reciban más de su

cuota proporcional, mientras que el ter-

cer partido de ámbito nacional queda

grandemente afectado en los escaños que recibe y los

demás partidos de ámbito nacional, tienden a desaparecer.

De ser los repartos proporcionales y de circunscripción

única ya hemos visto cómo quedaría modificada su estruc-

tura de número de escaños.

Por último, las coaliciones políticas, en donde tan slo

hemos efectuado un esbozo con la aplicación del Índice

de Banzhaf a las últimas elecciones locales de la Comu-

nidad Autónoma de Murcia, ponen de manifiesto el enor-

me atractivo que tiene la aplicación de la matemática coti-

diana en el desarrollo de los contenidos de la enseñanza

obligatoria.

La matemática electoral es una aplicación para que los

alumnos reflexionen sobre la contextualización de los con-

tenidos de matemáticas en la enseñanza obligatoria y den

respuesta a situaciones como la que presentábamos al

principio de este trabajo ¿cómo es posible que un partido

que globalmente tiene más votos que otro, sin embargo

tenga menos diputados? La desproporcionalidad de

D’Hondt y las muchas circunscripciones electorales en

nuestro país tienen la respuesta.

Bibliografía

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ESPINEL, M.a C. (1999): «Sistema de reparto de poder en las elec-

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MINISTERIO DEL INTERIOR (2000): Elecciones a Cortes Generales

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Jornada Matemática 21.1.00, Congreso de los Diputados,

Madrid.

OÑATE, P. y F. A. OCAÑA (1999): Análisis de datos electorales,

Colección Cuadernos Metodológicos, n.° 27, CIS, Madrid.

Andrés NortesDepartamento de Didácticade las Ciencias Matemáticas

y SocialesFacultad de Educación.Universidad de MurciaSociedades Andaluza,Canaria y Murciana

49

Coaliciones perdedoras: A B C D BC BD CD

Pivote: B C D A A A A D A C A B

Coaliciones ganadoras: AB AC AD AB AC AD ABC BCD ABD BCD ACD BCD

Figura 2

A TEORÍA DE FUNCIONES y conjuntos convexos incorpo-ra elementos del análisis, la geometría, el álgebra, etc., ytiene numerosas aplicaciones en programación lineal, pro-blemas clásicos de extremos, teoría de juegos... por lo quees de interés especialmente en matemática aplicada.

Una de las ideas fundamentales de esta teoría es la cone-xión natural que existe entre la noción de función conve-xa (que en el Bachillerato se estudia generalmente comouna noción puramente analítica1, y bajo el requisito más omenos explícito de derivabilidad) y la de conjunto conve-xo (que suele aparecer asociada a la de polígono en elestudio de la geometría plana que se hace en la ESO).Utilizando esta conexión, es posible –como se muestra eneste artículo– introducir la convexidad de funciones deuna forma distinta, complementaria a la habitual, que per-mite resaltar el carácter geométrico de la convexidad.

En segundo lugar, veremos cómo las desigualdades clási-cas –tan útiles en la resolución de problemas, especial-mente en los de Olimpiadas Matemáticas– pueden obte-nerse de forma muy sencilla a partir de la convexidad defunciones, entendida del modo al que aquí nos referimos.Es más, algunas de esas desigualdades (por ejemplo, laque relaciona la media aritmética con la media cuadráticade una colección finita de números positivos) no son másque una traducción del hecho de ser convexa una deter-minada función elemental (en el ejemplo citado, la fun-ción x2, en R+).

Sólo se pretende con este artículo mostrar algunas ideasque, tratadas adecuadamente, son susceptibles de serempleadas en el aula en la etapa de Bachillerato –tambiénen niveles superiores–; por ello la exposición se limita alámbito natural de trabajo en la Enseñanza Secundaria(geometría plana, funciones reales de variable real),renunciando a todo tipo de generalizaciones posibles.

En este artículo se presentauna propuesta para

introducir el concepto defunción convexa de un modo

diferente al habitual,complementario a éste, que

se apoya en la relación entreconvexidad de funciones y

conjuntos convexos, y que norequiere que la función seaderivable. Además, permiteobtener, de forma sencilla yunificada, las desigualdadesnuméricas clásicas a partirde la convexidad de ciertas

funciones

51

Conjuntos convexos,funciones convexasy desigualdades clásicas

Antonio Álvarez Álvarez

ARTÍCULOS

L

36

febrero 2001, pp. 51-56

Conjuntos convexos

Intuitivamente, un conjunto C convexo es aquél que con-tiene el segmento que une dos puntos cualesquiera de C.

Una definición formal, bien conocida, es:

Un subconjunto C de R2 decimos que es convexo si paracualesquiera x, y Œ C, y para todo número real l con0 < l < 1 se tiene:

(1 Рlx) + ly ΠC.

bién convexo por ser envoltura convexade la correspondiente circunferencia.

Funciones convecas

Podemos ya presentar la convexidad deuna función. Diremos que una funciónes convexa cuando la región de los pun-tos del plano que se encuentran en lagráfica de la función o por encima deella es un conjunto convexo.

O, con un mayor grado de formalismo:

Sea I un intervalo. Sea f: I Æ R.Llamamos epígrafo de f, y lo denotamosepi(f), al subconjunto de R2:

epi(f) = (x, z): x Œ I, f(x) ≤ z

De una función f: I Æ R. decimos quees convexa si epi(f) es un conjunto con-vexo de R2. Y decimos que es cóncavasi –f es convexa.

Por tanto, de ciertas funciones sencillas,cuyas gráficas son bien conocidas (sidisponemos de calculadoras gráficas,esto sirve para todas), podemos decirinmediatamente si son convexas o no.Por ejemplo, f(x) = ax + b es convexa ycóncava.

Puede probarse como ejercicio que todafunción convexa y cóncava es afín.

Las siguientes funciones son convexas(y no cóncavas):

• f(x) = ΩxΩ.

• f(x) = xn , con n par.

• f(x) = ax, con 0 < a < 1 o a > 1.

• f(x) = –loga(x), con a > 1.

Las siguientes funciones no son conve-xas en su dominio (R), pero sí lo sonen los intervalos que se citan:

• f(x) = sen(x), en I = [(2k – 1)p, 2kp],con k entero.

• f(x) = xn (n impar), en I = [0,+•).

El dominio de la función f(x) = 1/x noes un intervalo, pero la restricción deesta función a R+ es convexa.

Como se observa, la definición de fun-ción convexa que hemos utilizado es denaturaleza geométrica y no recurre al

1 Durante la elaboración de esteartículo he encontrado la defi-nición de función convexa queaquí se analiza, primero en ellibro de texto Matemáticas I, deCOU, de J. R. Vizmanos y M.Anzola, editado por SM, y, yaal final, en Matemáticas aplica-das a las Ciencias Sociales 2,del Equipo Arrixaca, editadopor Santillana.

52

Figura 1

Conjunto no convexo Conjunto convexo

Hagamos algunas observaciones sobre esta definición:

• Nada cambia si a l exigimos 0 ≤ l ≤ 1.

• La definición puede reescribirse así:

C es convexo si ax + by Œ C para cualesquiera x, y Œ C,y para todo a ≥ 0, b ≥ 0, con a + b = 1.

El empleo de herramientas informáticas puede ser muy útilpara hacer ver a los alumnos cómo esta definición res-ponde a la noción intuitiva.

Los alumnos no tendrán problema en reconocer que rec-tas, segmentos, polígonos regulares o círculos son conju-tos convexos del plano. No obstante, es fácil probar quela intersección de una colección arbitraria de conjuntosconvexos es un conjunto convexo. Dos consecuenciasdestacables de este resultado son:

a) El conjunto de las soluciones de cualquier sistema deecuaciones e inecuaciones lineales con dos (n) incóg-nitas es un convexo de R2 (Rn).

b) Tiene sentido definir la envoltura convexa de un sub-conjunto cualquiera M de R2 como la intersección detodas las partes convexas de R2 que contienen a M.Es, obviamente, el conjunto convexo más pequeñoque contiene a M.

De a) se deduce que semiplanos, rectas, segmentos, trián-gulos, polígonos regulares, son conjuntos convexos delplano. De b) se tiene, por ejemplo, que todo círculo es tam-

El empleode herramientas

informáticaspuede

ser muy útilpara hacer vera los alumnos

cómoesta definición

respondea la nociónintuitiva.

53

Figura 2. Dos funciones convexas:ΩxΩ , x2

Figura 3. 2x y –log2x son convexas

Figura 4. senx es convexa en [(2k–1)π, 2kπ], con k enterox3 es convexa en [0, + ∞ ]

Figura 5. 1/x es convexa en R+

concepto de derivada. De hecho, una función puede serconvexa y no ser derivable en algún punto del intervalode definición I, como le ocurre a la función valor absolu-to en x = 0. Incluso, una función convexa puede no sercontinua en los extremos de I. Es el caso de:

(1 – l)(x, f(x)) + l(y, f(y)) == ((1 – l)x + ly, (1 – l)f(x) + lf(y))

pertenece a epi(f), para todo lcomprendido entre 0 y 1, de dondese tiene la propiedad de arriba.

‹) Sean (x, z), (y, t) Œ epi(f). Entoncesf(x) ≤ z, f(y) ≤ t.

Así se tiene que:

f((1 – l)x + ly) ≤ (1 – l)f(x) ++ lf(y) ≤ (1 – l)z + lt, " l Œ (0, 1).

Y entonces:

((1 – l)x + ly, (1 – l)z + lt) =

= (1–l)(x, z) + l(y, t) Œ epi(f),

para todo l con 0 < l < 1; es decir,epi(f) es convexo.

…las nocionesde conjunto

convexoy de función

convexaaparecen, así,relacionadas

de formanatural.

54

f xa x b

x a x b( ) =

< <ÏÌÓ

0

1

,

,

= o =

Figura 6. Función convexa no continua

Puede probarse, eso sí, que una función convexa definidaen I es continua en todo punto de I que no sea extremode I (Aparicio y Payá, 1985).

Así pues, el concepto de función convexa que se pro-pone es una generalización del que se usa habitualmen-te (que requiere la existencia de derivada) y, sin embar-go, no sólo no pierde la posibilidad de ser interpretadogeométricamente, sino que su naturaleza geométrica esmanifiesta. Además, las nociones de conjunto convexo yde función convexa aparecen, así, relacionadas de formanatural.

El siguiente teorema es una útil caracterización de las fun-ciones convexas, que algunos autores adoptan como defi-nición. Como puede apreciarse en la figura 7, tiene unaclara interpretación geométrica, que puede servir para jus-tificar el teorema si se desea obviar su demostración, que,no obstante, aquí se expone.

Teorema 1

Sea f: I Æ R, donde I es un intervalo. Entonces f es con-vexa en I si y sólo si

f((1 – lx) + ly) ≤ (1 – l)f(x) + lf(y), 0 < l < 1,

para todo x, y de I.

Demostración

fi) Sean x, y ΠI arbitrarios. Obviamente, (x, f(x)) e(y, f(y)) pertenecen a epi(f), que es convexo. Portanto,

Figura 7

f(y)

(1 – t)f(x) + tf(y)

f((1 – t)x + ty)f(x)

(1 – t)x + ty yx

El teorema anterior sugiere hacer lasiguiente definición:

Sea f: I Æ R, donde I es un intervalo.Decimos que f es estrictamente conve-xa si:

f((1 – lx) + ly) < (1 – l)f(x) + lf(y)

con 0 < l < 1, para todo x, y de I, conx ≠ y.

Pero, como se ha dicho, esta forma depresentar la convexidad de funciones escomplementaria de la usual: obviamen-te no podemos prescindir del potentecriterio de la derivada segunda.Volvamos a él en este punto:

Sea f: I Æ R una función dos vecesderivable en I. Entonces f es convexa siy sólo si f”(x) ≥ 0 para todo x de I.

La demostración de esta propiedad, uti-

lizando el teorema 1, sobrepasa el nivelde un curso de Bachillerato. Puede con-sultarse la demostración en Aparicio yPayá (1985) o en Webster (1994). EnRockafellar (1970) se encuentra una de-mostración distinta de un resultado algomás restrictivo (exige continuidad a laderivada segunda).

De forma análoga, puede demostrarseque si f”(x) > 0 para todo x de I, enton-ces f es estrictamente convexa en I. Sinembargo, el recíproco no es cierto. Porejemplo, la función f(x) = x4 es estricta-mente convexa y f”(0) = 0.

Estas dos propiedades habrán de justifi-carse, por tanto, apelando a la intuiciónde los alumnos, como, por otra parte, eslo habitual.

Convexidady desigualdades clásicas

Un aspecto muy interesante de la intro-ducción a la convexidad que aquí se hapropuesto es que permite mostrar de unmodo muy sencillo la íntima relación queexiste entre las desigualdades numéricasclásicas y la convexidad de ciertas fun-ciones elementales, relación que suelepasar desapercibida.

La pieza clave es el teorema 1, del quese pueden deducir de forma sencilla yunificada algunas de las desigualdadesclásicas; por ejemplo, las que relacionanlas distintas medias –que obtendremosaquí–, y otras como la desigualdad deMinkowski, la de Hölder, etc.

El esquema que seguiremos para obte-ner desigualdades es muy simple:habiendo comprobado que una deter-minada función es convexa, aplicare-mos el teorema 1 y obtendremos ladesigualdad correspondiente. Parasaber si una función es convexa pode-mos recurrir, si no conocemos su grá-fica, al criterio usual que caracteriza alas funciones convexas dos veces deri-vables.

Vamos a obtener ya las desigualdadesanunciadas:

a) La función –ln: R+ Æ R es estrictamente convexa. Esdecir, para todo x, y > 0 se verifica:

–ln((1 – l)x + ly) ≤ (1 – l)(–lnx) + l(-lny), 0 < l < 1.

Y la igualdad sólo es cierta si x = y.

Por ser ln (estrictamente) creciente, esto equivale a:

x1 – l · yl ≤ (1 – l)x + ly, 0 < l < 1. [1]

Tenemos así que la conocida desigualdad entre lamedia geométrica y la media aritmética ponderadasde dos números positivos x e y equivale a la convexi-dad de –lnx.

En particular, para l = 1/2:Un aspecto

muy interesantede la introduccióna la convexidad

que aquíse ha propuestoes que permite

mostrarde un modomuy sencillo

la íntimarelación

que existe entrelas desigualdades

numéricasclásicas

y la convexidadde ciertasfunciones

elementales,relación

que suele pasardesapercibida.

55

[2]xyx y£ +

2

[4]x y x y+ £ +

2 2

2 2

donde la desigualdad es estricta salvo que x = y.

b) La función x2 es (estrictamente) convexa. Esto es:

((1 – l)x + ly)2 ≤ (1 – l)x2 + ly2, 0 < l < 1,

para todo x, y ΠR. Como es (estrictamente) crecien-te en R+:

(1 – l)x + ly ≤ ((1 – l)x2 + ly2)1/2, 0 < l < 1, [3]

para todo x, y > 0.

Es decir, la convexidad de x2 en R+ se traduce en ladesigualdad entre las medias aritmética y cuadráticaponderadas de dos números positivos.

En particular, para l = 1/2:

donde sólo se alcanza la igualdad si x = y.

c) Razonando del mismo modo, la convexidad de 1/x enR+ nos dice que la media armónica de dos númerospositivos es menor o igual que la media aritmética. Noobstante, aplicando [2] a 1/x y 1/y, podemos probaralgo mejor: que la media armónica es también menoro igual que la geométrica:

[5]1

1

2

1 1

1

1 1x y x y

xy

+ÊËÁ

ˆ¯

£ =

Al igual que antes, la igualdad es cierta si y sólo six = y.

d) Llamemos h(x, y), g(x, y), m(x, y) y q(x, y) a lasmedias armónica, geométrica y aritmética y cuadráti-ca, respectivamente, de dos números positivos x, y.

Sean 0 < x ≤ y. Es inmediato comprobar que

x ≤ h(x, y) , q(x, y) ≤ y

En resumen:

esto es,

x ≤ h(x, y) ≤ g(x,y) ≤ m(x,y) ≤ q(x,y) ≤ y

Y todas las desigualdades son estrictas a menos quex = y.

Extensión al caso finito.La desigualdad de Jensen

Hemos obtenido las desigualdades anteriores como apli-cación del teorema 1, que caracteriza a las funciones con-vexas mediante una propiedad (desigualdad) en la queintervienen sólo dos números x, y de un intervalo I. Cabeobjetar que podrían haberse obtenido más fácilmente porotros medios. Por ejemplo, la desigualdad [2] es conse-cuencia inmediata de ser (x – y)2 ≥ 0. Sin embargo, comovamos a ver, la desigualdad del teorema 1 equivale a suextensión al caso de una colección finita de números x1,..., xn de I, por lo que casi con el mismo esfuerzo podría-mos haber deducido directamente las correspondientesextensiones de las desigualdades anteriores para un núme-ro finito de números positivos. (No lo hemos hecho asíbuscando una mayor simplicidad en la notación y pen-sando en su posible uso en el aula.)

Teorema 2 (Desigualdad de Jensen)

Sea f: I Æ R. Sean x1, ..., xn Œ I y sean a1, …, an ≥ 0,tales que a1 + … + an = 1. Entonces f es convexa en I siy sólo si:

f(a1x1 + ... + anxn) ≤ a1f(x1) + ... + anf(xn).

La demostración de este teorema es un buen ejemplo deprueba por inducción, que podría ser empleado en el 2.°curso de Bachillerato.

Utilizando la desigualdad de Jensen en lugar de la del teo-rema 1, se obtienen las correspondientes extensiones detodas las desigualdades anteriores.

Conclusión

Como ya se ha dicho, la forma de introducir la convexi-dad de funciones que se ha descrito no pretende sustituira la forma habitual; más bien, se ha buscado aportar unenfoque distinto, complementario, del que podríamos des-

tacar, resumiendo, varios aspectos inte-resantes:

• Hace hincapié en la naturaleza geo-métrica del concepto de funciónconvexa.

• Permite mostrar a los alumnoscómo una misma idea o conceptopuede ser abordado desde perspec-tivas diversas.

• Permite un acercamiento puramen-te intuitivo o una exposición másformalizada.

• Supone un ejemplo simple y ele-gante de generalización de unconcepto.

• Permite mostrar la estrecha relaciónque existe entre la convexidad y lasdesigualdades numéricas, así comoobtener de forma sencilla y unifica-da las desigualdades clásicas entremedias.

Bibliografía

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WEBSTER, R. J. (1994): Convexity, OxfordUniversity Press.

Antonio ÁlvarezIES José de MoraBaza (Granada).

Sociedad Andaluzade Educación Matemática

«Thales»

56

[6]x

x y

xyx y x y

y£+

ÊËÁ

ˆ¯

£ £ + £ + £1

1

2

1 1 2 2

2 2

…la formade introducirla convexidadde funciones

que se ha descritono pretende

sustituira la formahabitual;más bien,

se ha buscadoaportar

un enfoquedistinto,

complementario…

AS PRÁCTICAS que a continuación se desarrollan tienencomo objetivos fundamentales:

• Usar técnicas elementales de matemáticas en el análi-sis de cualquier tipo de suceso de la vida cotidiana.

• Buscar información en Internet que permita obtener,observar, analizar, manipular y contrastar el suceso encuestión.

• Utilizar la calculadora y la hoja de cálculo como herra-mienta en el desarrollo matemático.

En el diseño de las prácticas se han tenido en cuentavarios factores:

1. Debe resultar atractiva y motivadora: mediante noti-cias de prensa local (próxima al alumnado) se propo-ne una labor de investigación. El uso de ordenadoresy de Internet resulta un elemento motivador en símismo, pero el proponer búsqueda de información decarácter demográfico o económico hace más atractivala labor de investigación.

2. Debe ser estética: la redacción y presentación juega,aunque no lo parezca, un papel importante en eldesarrollo de la práctica; es conveniente recordar alalumnado qué se debe hacer, dejar espacios para laanotación de datos, representación de gráficas yobtención de conclusiones.

3. Deben evitarse los problemas técnicos: la navegaciónpor Internet y el manejo de la hoja de cálculo puedenenturbiar el desarrollo de la práctica. Para ello es conve-niente dedicar una clase previa en el caso de que losalumnos no cursen la asignatura de Tecnología de laInformación. Este criterio debe ser fundamental a la horade crear los grupos de trabajo en el aula de informática.

4. Deben graduarse los niveles de resolución de un pro-blema: elaborar la práctica de menor a mayor dificul-

En el artículo se plantean dosprácticas con las siguientes

pautas: se comienza con unanoticia de prensa que generala búsqueda de información

en Internet (proceso deinvestigación) para, a

continuación, realizar unestudio de los datosobtenidos (proceso

cuantitativo) y,posteriormente, analizar los

resultados (procesocualitativo). Se trata de

prácticas interdisciplinares,ya que se realizan estudiosdemográficos (currículo deGeografía) y se analizanparámetros económicos

(currículo de Economía), enlas que deben utilizarsecomo herramientas los

conocimientos matemáticos yla hoja de cálculo Excel.

Estas dos prácticas se handesarrollado en el primercurso del Bachillerato de

Ciencias Sociales y son unamuestra de las posibilidades

que tiene esta línea detrabajo para aplicarlas en elcuarto curso de ESO y en el

Bachillerato de CienciasSociales.

57

Experiencias didácticasde matemáticas con Internet

Jesús Ángel Hernández Isla

IDEASY

RECURSOS

L

36

febrero 2001, pp. 57-65

tad permite que cada grupo, independientemente dela destreza que tenga, obtenga conclusiones. Para elloen el proceso de análisis de la información, se esta-blecen distintos niveles de resolución:

Nivel 1: Estudio de gráficas y tablas.

Nivel 2: Observación de la pendiente de las gráfi-cas: relación del crecimiento y decrecimiento máso menos «suave» en función del porcentaje.

Nivel 3: Comprobación numérica y mediantegráficos.

Nivel 4: Contrastar datos y analizar cómo seobtienen.

Las herramientas empleadas en cada nivel son:

Niveles 1 y 2: Web del INE.

Niveles 3 y 4: Calculadora y Hoja de Cálculo.

Otro aspecto que debe ser tratado es la evaluación, paraello se proponen las siguientes pautas:

• Cuaderno de aula: El profesor anota el desarrollo dela práctica en el aula de informática. Observa las defi-ciencias que se producen en el desarrollo para unaposterior reformulación de la práctica o una dinami-zación del grupo diferente a la inicial.

• Resolución de la práctica: En ella se observa el gradode cumplimiento de los objetivos.

• Encuesta a los alumnos: En ella se debe valorar la apor-tación de la práctica y la consecución de los objetivos.

En este artículo se desarrollan dos prácticas, pero el lectorentenderá que se pueden diseñar muchas más sin mayorproblema: estudio del IPC, gasto medio trimestral de lafamilia, estudios estadísticos relacionados con sanidad,educación, medio ambiente...

Práctica 1. Análisis de población

Introducción

En la prensa local apareció la información de la figura 1.

Parece lógico pensar que un lugar para obtener yampliar dicha información es el Instituto Nacional deEstadística (INE):

http://www.ine.es

La búsqueda sobre población se puede realizar desde dife-rentes lugares de la web del INE.

I) En la Base de Datos Tempus: Podemos encontrar enAcceso por temas los siguientes temas o categorías:

• Territorio y medio ambiente.

• Población.

• Sociedad.

• Economía.

• Agricultura.

• Industria.

• Servicios.

y dentro del tema de Población lossiguientes apartados y divisiones:

• Censo y padrón.

— Población de hecho y dederecho.

…se puedendiseñar

muchas más[prácticas]sin mayorproblema:

estudio del IPC,gasto mediotrimestral

de la familia,estudios

estadísticosrelacionadoscon sanidad,educación,

medio ambiente...

58

Figura 1

• Movimientos naturales de

población.

• Movimientos migratorios.

• Empleo y paro.

• Análisis demográficos y de

población.

— Proyecciones y estimacio-

nes intercensales.

Detallaremos brevemente aquellas

divisiones que nos pueden ser úti-

les en las actividades que posterior-

mente se propondrán:

I.a) Proyecciones y Estimaciones

Intercensales: Sobre las cifras del

censo de 1991 se ha realizado

una estimación hasta el año

2005. Se pueden representar

gráficamente las estimaciones

por años.

I.b) Población de hecho y de dere-

cho: Basada en Censos, Pa-

drones y rectificaciones anuales.

La población de hecho está

dada de 10 en 10 años. La

población de derecho es anual

desde 1985 hasta 1995.

I.c) Movimientos naturales de población: Se obtienen

resultados sobre Nacimientos, Matrimonios y

Defunciones anuales entre 1975 y 1996.

II) En Información Estadística tenemos información sobre

distintos temas:

• Todos.

• Población.

• Sociedad.

• Economía.

• Industria.

• Servicios.

En el tema de Población se puede obtener distintos

apartados; los de interés para las actividades que

vamos a desarrollar son los siguientes:

II.a)Censo de Población y Padrón Municipal. Cifras

de Población a 1/1/98: se obtiene la población

por Municipios, Provincias, Capitales de Provin-

cia y Comunidades Autónomas con fecha 1/1/98.

II.b)Análisis y Proyecciones Demográficas. Proyec-

ciones de la Población de España calculadas a

partir del Censo de 1991: se realizan hipótesis

sobre la evolución de la mortalidad, natalidad y

migración, realizando predicciones de pobla-

ción por Comunidades Autónomas y Provincias.

59

Actividades

Actividad 1

Vamos a contrastar los datos de la información aparecida en la prensa. Para ello buscaremos información relativa a la población de las ComunidadesAutónomas de Castilla y León, País Vasco, Baleares y Canarias entre los años 1994 y 1998.

Tarea 1

Dentro de la base de datos Tempus en Proyecciones y estimaciones intercensales en la opción Población a 1 de julio por sexo y comunidad autóno-ma de residencia [I.a]. Busca información sobre la predicción de población en las comunidades autónomas que queremos estudiar y represéntalaentre los años 1989 y 2003. Imprime las 4 gráficas (opción página horizontal).

Observa las gráficas, ¿están en consonancia los resultados con la noticia del periódico?

Tarea 2

Haz un análisis comparativo sobre las pendientes de las gráficas en su parte intermedia (1994-1998) de Castilla y León con el País Vasco por unlado y de Baleares y Canarias por otro. Realiza un comentario sobre lo que observes:

Tarea 3

La información sobre la predicción de población de todas las comunidades autónomas y provincias puedes encontrarlas en Información Estadísticatema de Población y apartado de Análisis y Proyecciones Demográficas (Proyecciones de población a 1 de julio) [II.b]. Imprime los datos porComunidades.

En la hoja de cálculo, rellena la tabla adjunta:

Recuerda que:

• El índice de variación se calcula:

Población 1998I.V. =

Población 1994

• El porcentaje de crecimiento se obtiene de restar 1 al índice de variación (En formato deCelda poner el número en porcentaje).

Tarea 4

Observa si los resultados que has obtenido coinciden con los del artículo del periódico. Comenta el resultado:

Tarea 5

Realiza el mismo estudio que en la tarea 3 pero con valores obtenidos de Censos y no de predicciones.

La información relativa al año 1994 puedes tomarla de Población de hecho y de derecho [I.b], mientras que la información del censo de 1998 pue-des tomarla de Censo de Población y Padrón Municipal. Cifras de Población a 1/1/98 [II.a].

60

Castilla y León–País Vasco Baleares–Canarias

Sobre estimaciones

Castilla y León País Vasco Baleares Canarias

Población 1994

Población 1998

Diferencia

Índice de Variación

Porcentaje crecimiento

Sobre el Censo

Castilla y León País Vasco Baleares Canarias

Población 1994

Población 1998

Diferencia

Índice de Variación

Porcentaje crecimiento

Tarea 6

Realiza un comentario sobre los resultados y saca conclusiones generales:

Actividad 2

Los datos relativos a Proyecciones y Estimaciones Intercensales son estimaciones; podemos plantearnos dos nuevas cuestiones:

i) El error relativo que se comete.

ii) La correlación con los datos reales.

Tarea 7

Calcula el error relativo entre la población de derecho y la estimada de Castilla y León entre los años 1991 y 1995. Para ello rellena la siguientetabla en la hoja de cálculo.

Recuerda que:

• El error absoluto es:

E.A. = |Valor exacto – Valor aproximado|

• El error relativo es:

E.R. = E.A. / Valor exacto

(En Formato de Celda poner el número en porcentaje).

Tarea 8

Representa en XY-Dispersión la nube de puntos Población de derecho-Población estimada y calcula el coeficiente de correlación lineal (función == COEF.DE.CORREL(B2:F2; B3:F3)). Comenta el resultado.

Actividad 3

Una conclusión que hemos sacado de la Actividad 1 es la disparidad de situaciones que se dan en las distintas comunidades autónomas, es decir,el comportamiento no es homogéneo. Veamos ahora si ocurre lo mismo entre las provincias de nuestra comunidad.

Tarea 9

Dentro de la base de datos Tempus en Proyecciones y estimaciones intercensales en la opción Población a 1 de julio por sexo y provincia de residencia [I.a].Busca información sobre la predicción de población en las provincias de León, Palencia, Valladolid, Salamanca y Segovia, entre los años 1971 y 2005.

Imprime las 5 gráficas y estudia qué analogías y diferencias encuentras con la gráfica de nuestra comunidad. Escribe las conclusiones que obtengas:

61

Castilla y León 1991 1992 1993 1994 1995

Población de derecho

Población estimada

Error absoluto

Error relativo

Tarea 10

¿La coincidencia de tantas provincias hace pensar que la evolución de la población es homogénea o es porque han utilizado parámetros semejan-tes en la estimación de la población?

Actividad 4

La estimación de la población se realiza tomando como base el Censo de 1991 y teniendo en cuenta la evolución de los tres fenómenos demográ-ficos: mortalidad, fecundidad y migración. (Ver Metodología del apartado [II.b]).

Para el cálculo de los efectivos futuros de población por sexo y edades a nivel nacional, autonómico y provincial, se ha empleado el método de componentes, que es

el utilizado en la práctica totalidad de los países del contexto occidental.

La aplicación del método de componentes responde al siguiente esquema: partiendo de la población residente en un cierto ámbito geográfico y en un instante dado,

se trata de obtener la correspondiente a fechas posteriores bajo ciertas hipótesis sobre la evolución que van a experimentar los tres fenómenos demográficos, mortali-

dad, fecundidad y migración, que determinan su crecimiento y estructura por edades.

...Los efectivos de población, por sexo y edad, en cada uno de los ámbitos geográficos considerados, deducidos de la explotación exhaustiva del Censo de Población

de 1991, constituyen la población base o de partida, formulándose las hipótesis sobre la evolución futura de la mortalidad, la fecundidad y la migración resumidas en

la presente página. La exposición detallada de la metodología puede encontrarse en la publicación mencionada en la presentación, tanto para el total nacional, como

para las comunidades autónomas y las provincias.

En esta actividad estudiaremos si las predicciones siguen un comportamiento «regular» a través de los años. Estudiaremos el porcentaje de creci-miento desde el año 1994 hasta 1998 tomando como referencia el año 1994 de las Comunidades Autónomas de la Actividad 1.

Tarea 1

En la hoja de cálculo rellena la siguiente tabla:

* Usar la tabla de la tarea 3

Recuerda que:

• El porcentaje de crecimiento en el año t respecto al año 1994 es:

Pt Pt – P1994PC.de.1994.a.t. = – 1 = P1994 P1994

donde Pt es la población en el año t. En Formato de Celda poner dicho número en porcentaje.

Tarea 12

Selecciona en la tabla las columnas de años y porcentaje de crecimiento de las 4 comunidades (columnas A, F, G, H, I ). Representa gráficamentedichos valores, eligiendo el tipo de gráfico de líneas. Imprime la gráfica.

Observa su comportamiento y saca conclusiones.

62

Estimaciones* Porcentaje de crecimiento

Año Castilla-León País Vasco Baleares Canarias Castilla-León País Vasco Baleares Canarias

1994

1995

1996

1997

1998

A la vista del resultado obtenido, haz una predicción para el año 1999.

I.b) Estadística de Empleo del INEM: Datos registra-dos por el citado organismo.

II) En Información Estadística en el tema de Población,aparece una referencia a la EPA. Si seleccionamosMetodología, podemos conocer en profundidad cómose hace la EPA, así como los concepto de poblaciónactiva, ocupados, parados, inactivos…

De igual manera se pueden obtener archivos en formatoExcel con toda la información por trimestre.

Conceptos

Haremos un breve resumen sobre los conceptos:

• Población activa: Población de 16 o más años queestá trabajando o en expectativas de trabajar. No seincluyen jubilados, amas de casa ni estudiantes. Lapoblación activa se divide en:

– Ocupados: Personas que desempeñan un trabajoretribuido.

– Parados: La parte de población activa que noencuentra trabajo.

Tasa de actividad = Población activa / Población total

Tasa de Paro = Parados / Población activa

La información puedes obtenerla en Metodología sobrela EPA:

http://www.ine.es/htdocs/daco/daco43/notaepa.htm

63

Práctica 2. Parámetroseconómicos

Introducción

Es usual encontrar en la prensa referen-cias a los conceptos de tasa de desem-pleo o paro, población activa, poblaciónocupada, parada, etc. Todos ellos sonempleados por la EPA (Encuesta dePoblación Activa) y el INEM (InstitutoNacional de Empleo).

Para buscar información sobre la EPA oel INEM, podemos hacerlo en la WEBdel INE a través de:

I) En la base de datos Tempus, enAcceso por tema de Población,podemos encontrar el apartado deEmpleo y Paro. Dentro de este apar-tado tenemos las secciones:

• Encuesta de población activa.

• Estadísticas de empleo del INEM.

• Relaciones laborales.

I.a) Encuesta de población activa(EPA): La realiza el INE y superiodicidad es trimestral. Lamuestra la componen 64.000familias.

Actividades

Actividad 1

Analizaremos la EPA del 4.° trimestre de 1998.

Tarea 1

Busca en la base de datos TEMPUS, información sobre la EPA de 3.er y 4.° trimestre de 1998 para completar la siguiente tabla:

Tarea 2

En la tabla adjunta, calcula la tasa de actividad y paro de la EPA del 4.° trimestre por sexos; determina también la variación de los totales sobre eltrimestre anterior: diferencia y porcentaje.

Recuerda que

Diferencia = EPA 4.° – EPA 3.°

EPA 4.°Porcentaje = – 1

EPA 3.°

Tarea 3

Dentro de Información estadística en la parte relativa a la EPA [II] puedes obtener un archivo (epa0498.xls) sobre la EPA del 4.° trimestre en forma-to de la hoja de cálculo Excel. Guarda el archivo en la carpeta de Mis documentos.

Comprueba que los datos que has calculado coinciden con los que aparecen en la primera hoja.

Tarea 4

En la 6.a hoja del archivo anterior se tienen los datos de Ocupados, Parados, Tasa de actividad y de paro por sexos, provincias y comunidadesAutónomas, según la estructura de la tabla adjunta.

Determina la provincia y la comunidad con más tasa de paro, total y por sexos.

64

EPA 3.er Trimestre EPA 4.° Trimestre

Total Hombres Mujeres Total Hombres Mujeres

Población 16 años o más

Activos

Ocupados

Parados

Inactivos

Servicio Militar o P.S.S.

EPA 4.° Trimestre Variación trimestre anterior

Total Hombres Mujeres Diferencia Porcentaje

Población 16 años o más

Activos

Ocupados

Parados

Inactivos

Servicio Militar o P.S.S.

Tasa de actividad

Tasa de paro

Ambos sexos Varones Mujeres

Ocupado Parado Tasa actividad Tasa paro Ocupado Parado Tasa actividad Tasa paro Ocupada Parada Tasa actividad Tasa paro

Total

Autonomía

Provincia

¿Cuáles son las que tienen menos?

Nota: Puedes realizar la búsqueda seleccionando la tabla entera y ordenando según la columna que corresponda.

Otra forma más gráfica, es representar en diagrama de barras las provincias en el eje X y la tasa de paro que proceda en el eje Y.

Tarea 5Utilizando la función COEF.DE.CORREL(«datos de la primera variable»; «datos de la segunda variable») determina si existe correlación entre la tasade paro de mujeres y de hombres en todo el territorio. Comenta este hecho:

Actividad 2Contrasta los resultados de la EPA con los datos registrados por el INEM.

Tarea 6Busca en Movimientos laborales registrados en las oficinas de empleo del INEM, el paro registrado por sexos en diciembre de 1998 y determinar latasa de paro por sexos.

Tarea 7Realiza un estudio comparativo de las tasas de paro de la EPA y del INEM. ¿Qué observas?

Explica las razones por las cuales la tasa de paro de la EPA es superior a la del INEM.

Tarea 8

Reflexiona sobre el modo de «toma de datos» de la EPA y del INEM. ¿Qué diferencias encuentras?

Jesús Á. HernándezIES Jorge Guillén. Villalón de

Campos (Valladolid).Sociedad Castellano-Leonesade Profesores de Matemáticas

65

INEM-Diciembre de 1998

Total Hombres Mujeres

Población activa

Parados

Tasa de paro

A ACTIVIDAD que voy a contar es una experiencia propiaque realizamos en el instituto. Voy a intentar describircómo empezó todo y cómo, sin apenas proponémerlo,involucré a medio centro en la actividad.

Casi siempre resulta difícil plantear una actividad quemotive a los alumnos y los haga pensar, los haga trabajaren grupo y, al mismo tiempo, les resulte atractiva la idea.Y que, además, intervengan distintos departamentosdidácticos simultáneamente.

Terminaba el primer trimestre y los alumnos estaban yamás pensando en el descanso de Navidad, que en la clasede matemáticas. Casi todos estaban realizando la actividadque les había planteado, cuando vi a una alumna con unosauriculares escuchando música, tal fue mi indignación queautomáticamente le requisé el radiocasete y le advertí quecuando su madre viniera a por él se lo devolvería.

Ese día iba a ser pesado, ya que tras la jornada de las cla-ses nos esperaba una interminable tarde de sesiones de eva-luaciones, con la gran fortuna de tener que asistir a la pri-mera y a la última. Después de la primera sesión, subí aldepartamento y arreglando mi estantería apareció el radio-casete y pensé, mira que bien oiré música mientras esperoa la siguiente evaluación. Cuando empecé a escuchar lamúsica que tenía grabada la casete, no pude más que pen-sar ¿cómo les puede gustar una música tan dura y tan árida?Y en ese mismo instante pensé: seguro que si las matemá-ticas se las explicásemos cantando las entenderían mejor.

No pude ni escuchar un minuto más de la canción, así quefui a tomarme un café. Allí coincidí con otros compañerosque estaban esperando a la próxima evaluación igual queyo. En la tertulia del café le comenté al profesor de Lengua:

–¿Qué te parece si organizamos una Parodia Matemática?

–¿Qué? –me respondió.

Tal vez sea una paradoja otal vez no, pero los alumnosdisfrutaron de la actividadtanto por activa como por

pasiva. Aprendieron,repasaron, bailaron ycantaron matemáticas.

¿Cómo que cantaron? ¿Sepueden cantar las

matemáticas? Pero, ¿ESO decantar no se hace en la clasede música?, ¿cómo que cantar

en matemáticas? no, no. No es cantar en

matemáticas, es cantar lasmatemáticas.

67

¿Paradoja matemática?

Lucía Puchalt Guillem

IDEASY

RECURSOS

L

36

febrero 2001, pp. 67-71

–Sí, que adapten una canción, utilizando la música cambien laletra, e incluyan un tema matemático.

–¿Crees que se puede hacer?, debe ser muy difícil –me dijo.

–A mí se me ocurre utilizando la canción Depende de Jarabe dePalo, que podrían hacer algo muy sencillo como

«Depende, de qué dependela prioridad de las operacionesprimero…»

Estando en esta conversación apareció el profesor deMúsica y le preguntamos si nos ayudaría. Y le pareció unaidea estupenda. Además, que el tema se adaptaba perfec-tamente a su programación, ya que tenía previsto realizaralgunas adaptaciones musicales.

Yo, como jefe de mi área propondría la actividad a miseminario y el de Lengua haría lo mismo con el suyo (eldepartamento de Música, es unipersonal).

Y así empezó todo.

Nos pusimos manos a la obra y planificamos la actividadpara todos los 3.° de Educación Secundaria (los grupos detercero tienen música como asignatura obligada y en cuar-to es optativa). Estaba finalizando el trimestre, y les comen-tamos a los chavales que para la próxima evaluación teníanque realizar una Parodia Matemática y que íbamos a eva-luar el trabajo desde tres áreas, Matemáticas, Lenguaje yMúsica. Les comentamos que podían realizar la actividadtanto en grupo como individualmente y que el máximo decomponentes por grupo sería de cuatro alumnos.

En algunas clases la idea les resultó tan fascinante que sólocon relacionar parodia con matemáticas empezaron aimprovisar y a cantar matemáticas en la clase de matemá-ticas. Sin embargo hubo clases en las que les tuve quetararear el «Depende…» para que entendieran lo que lesestaba pidiendo.

Las canciones las entregaban a su profesor de matemáti-cas, escritas con la referencia de la canción utilizada yluego grababan la canción en una cinta junto con la músi-ca. Cuando se valoró el contenido matemático, el mismoprofesor se lo entregaba al departamento de Lengua, yéste, una vez valorado su contenido, al de Música.

Así que el trabajo lo valoramos en la segunda evaluación,matemáticas y lengua, y en la tercera, lo valoró música.

De todas las canciones de una clase, el profesor de músi-ca junto con los alumnos, eligieron la canción que más lesgustaba, para representar al grupo y luego poder interpre-tarlas en la fiesta de final de curso.

La parte de interpretar las canciones fue voluntaria, eincluso el autor no tenía por qué coincidir con alguno delos intérpretes. Cada grupo tendría su representación.

El profesor de música estuvo trabajando aspectos propiosde su currículo, y los alumnos al mismo tiempo estudia-ron matemáticas en la clase de música e hicieron música

en la clase de matemáticas. Paradoja ono, así fue.

La creatividad de los alumnos hizo quela actividad pudiera implicar a otrasáreas como el área de Plástica. Algunosgrupos presentaron una carátula de lacinta, que dicha área pasó a valorar(figuras 1 y 2).

Así pues, Sras y Srs empieza «La ParodiaMatemática”. (A continuación, leerán, yaque no pueden escuchar el trabajo querealizaron los alumnos. Sería recomen-dable que si pueden conseguir las can-ciones de referencia, lean mientrassuena la música.)

Las canciones fueron calificadas deforma distinta, en cada área, de mane-ra que las de mayor contenido mate-mático, no coincidían con la mejoradaptación musical y viceversa. De lasde más contenido matemático, quisieradestacar:

Las cancionesfueron

calificadasde formadistinta,

en cada área…

68

Figura 2

Figura 1

69

Título: La ecuación MatemáticaAutor: Rafael Redondo MartínezCurso: ESO 3CBasada en la canción «El tractor amarillo»

Pa pa pa pa pa, pa pa pa pa pa, pa pa pa pa pa, pa pa pa pa pa,Me miraste con ojos de gacela cuando vistes mi ecuación,Me pusistes cara de asombrada cuando vistes aquello tan largo,Sabes bien que soy muy listo y que sólo sé de matemáticas.Cuando llegue el próximo domingo voy a traerlo para impresionarte.

EstribilloTengo una ecuación muy larga que es lo que se lleva ahora,Tengo una ecuación muy larga que es la última moda,Hay que solucionar la ecuación primero los paréntesis.Que es la forma más rápida de solucionar una ecuación.Pa pa pa pa pa, pa pa pa pa pa, pa pa pa pa pa, pa pa pa pa pa,Después la multiplicación o la división, con sus respectivas fórmulas,Se separa la x de los otros números. Pero se cambian los signos,Cuando cambian de lado,Se despeja la x y se resuelve la ecuación

Estribillo

Tengo una ecuación muy larga que es lo que se lleva ahora,Tengo una ecuación muy larga que es la última moda,Hay que solucionar la ecuación primero los paréntesis.Que es la forma más rápida de solucionar una ecuación.

Título: Las fraccionesAutora: Ana BonillaCurso: ESO 3DBasada en la canción «Allá en el rancho grande»

Allá en el institutoAllá donde estudiabaHabía una profesoraQue alegre me enseñabaQue alegre me enseñabaTe voy a enseñar las fracciones,Como me las enseñaron en su día,Empezaremos por las sumas y seguiremos por las restasPara sumar fracciones, se halla el denominador Y seguidamente se hlla el numeradorAllá donde yo estudiabaAllá donde yo ibaHabía una profesoraQue claramente me decía Que claramente me decíaPor último se suman los numeradoresPero una cosa queda muy clara,Que el denominador se queda igual

Para restar se hace lo mismo Pero cambiando el signo,Porque en vez de sumarlos Lo que haría sería restarlos

En esto consisten las sumasLas sumas y las restas, si esto lo dominasYa estás preparada para complicarlo,Lo podemos complicarPoniendo paréntesis y quebradosPero esto no lo voy a explicarPorque esta canción ya ha terminado.

Título: Explica me como sumar monomiosAutoras: Davinia Cordero y Natalia GómezCurso: ESO 3ABasada en la canción de los Mojnos Escocidos «Chow-Chow»

Mi profe # sa inventao una nueva forma de sumar, Que tiene un viaje de letras y números para sumarA esto se le llama monomio y solo, se puede sumar,Cuando éste es semejante con la misma parte literalY yo le digo…

Estribillo¡Explica me como sumar monomios!¡Explica me! (bis 3)

Al número se le llama coeficiente, y la letra parte literal To monomio tiene un grado que se le pone al finalY mi profe # dice que le da mucha alegriaCuando sale a la pisarraY la escuchamos tos los díasY yo le digo...

Estribillo

Cuando nosotros no lo entendemos,## lo vuelve a explicar,to las veces que hagan falta hasta poderlos sumarY cuando llega el verano y logramos aprobar,Nuestra profe # dice que podemos descansarY yo le digo…

Estribillo

70

Título: Números enterosAutoras: Natalia Conde y Ana Belén AbadCurso: ESO 3ABasada en la canción de Malu «Díme al oído»

Por si acaso me estuvieras escuchandoTú que ahora has decidido aprenderY de pronto tú verás que no es tan fácilComo tu piensas aaaaa…

Sólo espero que te dé buen resultadoEn la resta y en la suma de enteros,Ya que suele ser un poco extrañoEl que puedas resolverlo de esta maneraY cuando tienen igual signo se deben sumarY a diario tú, debes ir estudiando

Cuantas veces he pensado cómo lo debería ponerY por fin lo resolví y ahora todo es más fácil

Ya lo aprendí, las cosas buenas que me has enseñadoY mi deber haré, mi deber haréQue sepas que se resta si no es el mismo signo, niñoYo no quiero olvidarLas cosas buenas que me has enseñado y mi deber haré

Yo que nunca di importancia a la enseñanza,Me daba miedo ponerme a estudiar,Me estoy poniendo ya las pilas Necesito aprobar este trimestreY tan fácil me parece ahora todo,Y me costaba comprender las matemáticasPero trataba de esforzarme y tú, para ayudarme me lo volvías a enseñar

En fin quería que supieras que ya lo aprendí Las cosas buenas que me has enseñadoY mi deber haré, mi deber haréQue sepas que algo de esto te queda por aprender, niño

Te enseñaré la resta de enteros,Si me estás oyendo, dime que me estás oyendoQue sepas que se resta si no es del mismo signo, niño.Yo no quiero olvidar,Las cosas buenas que me has enseñado y mi deber haré

Título: De MatemáticasAutor: Pablo AlcaláCurso: ESO 3ABasada en la canción de Manolo Tena «Pájaros de barro»

Para poder hacer un problema, hay que seguir Estos pequeños pasos, para poder realizarlo.

Primero hay que elegir la incógnita,Segundo se traduce el problemaSi puede ser al lenguaje matemático,Y tercero, se resuelve la ecuación Y cuarto, se da el resultadoY quinto, se comprueba

Luego hay cuatro métodos Uno es de Igualación,Que consiste en despejar, la misma incógnita de las dos ecuaciones,y luego se igualan los resultados,

Luego está el de sustitución, consiste en despejar, una de las dos incógnitas,en una de las dos ecuaciones y sustituir en la otra ecuación.

Está el método de reducción Consiste en eliminarUna de las dos incógnitasY para ello se multiplican las ecuacionesPor un número distinto de cero y luego,se suman o se restanlos resultados,

Y luego,está el método gráficoque éste consiste en dibujar las gráficasque representan las dosecuaciones y el punto donde se cortan es la solución del sistema.

Cuando sepas esto ya sabrás resolver ecuaciones y sistemas

La canción que a continuación presen-tamos fue una de las pocas que tanto elprofesor de Música, como el deMatemáticas valoraron positivamente;además fue una de las más votadas yrepresentó a ESO 3A en el festival de finde curso.

Lucía PuchaltIES Pere Boïl

Manises (Valencia)Societat d’Educació

Matemàtica de la ComunitatValenciana

«Al-Khwarizmi»

71

ciones más pegadizas con su contenido matemático.Además todo el centro asistió a la representación de lascanciones y, pasivamente, se quedaron con la copla.

• El Departamento de Matemáticas se coordinó con losdepartamentos de Lengua Castellana, Música, Plásticay Extraescolares.

• El Departamento de Lengua se encargó de valorartanto el estilo lingüístico de las canciones, como loserrores ortográficos.

• El Departamento de Música se encargó de que los alum-nos oyeran las canciones que habían hecho sus com-pañeros y eligieron una que representara al curso.Trabajó los aspectos propios de su currículo con estascanciones y así repasaron en la tercera evaluación con-ceptos básicos de matemáticas vistos en la primera ysegunda evaluación. También se encargó, con mi cola-boración, de los ensayos y de todos los problemas téc-nicos de la grabación de las canciones, pruebas, etc.

• Diseñamos unos diplomas (figura 3) de menciónhonorífica para todos aquellos alumnos que colabora-ron en la representación de las canciones (ya que fuetotalmente voluntaria esta parte; incluso la coreografíafue diseñada por ellos mismos y supervisada por elprofesor de Música).

• El Departamento de Plástica fue el último en colabo-rar y por eso no dio tiempo a desarrollar su participa-ción en la actividad pero sí de empezar una coordi-nación interdisciplinar muy interesante, ya que a lavista de los trabajos presentados por los alumnos pen-samos que podían realizar las carátulas de sus cancio-nes y al mismo tiempo trabajar la educación para elconsumidor, un eje transversal.

• Además me gustaría proponer para el próximo curso, alDepartamento de Educación Física su colaboración ypedirles que valorasen el trabajo de coreografía que hande realizar los alumnos para realizar las actuaciones.

Se propuso la actividad de una manera improvisada y seresolvieron los problemas según se fueron presentando.

Pero, la experiencia ¿fue una Paradoja? Juzgue, ustedmismo.

Título: Las traducciones de ecuacionesAutoras: María González, Sara Romero, Tania Trapero, María Andrés

y Sandra MuñozCurso: ESO 3ABasada en la canción de Venga Boys «Boom, Boom, Bomm»

Oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh ohOh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh,

Las mates no las soporto, las traducciones de Ecuaciones, ya no puedo aguantar más voy a catear

Oh oh oh oh voy a catearOh oh oh oh ya no aguanto másOh oh oh oh voy a reventarOh oh oh oh

Bum, Bum, Bum, el doble de un número es igual a 2 por x es, 2 por x Bum, Bum, Bum, el triple de un número es igual a 3 por x es, 3 por x

Oh oh oh oh voy a catearOh oh oh oh ya no aguanto másOh oh oh oh voy a reventarOh oh oh oh no me gusta estudiarOh oh oh oh al final me voy a irOh oh oh oh

Bum, Bum, Bum, la mitad de un número es igual a x entre dos Bum, Bum, Bum, el cuadrado de un número es igual a x elevado a dosBum, Bum, Bum, el cubo de un número es igual a x elevado a tres

Las mates son un rollo voy a explotar de tanto estudiar

Oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh ohOh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh oh,

Bum, Bum, Bum, la diferencia de dos números es igual a x menos y Bum, Bum, Bum, la razón entre dos números es igual a x partido y

Valoración de la paroodiamatemática

Conseguimos unas 40 canciones, conmás o menos contenido matemático,entre todos los grupos. Algunos paro-diaron la clase de matemáticas, comoclase, no los contenidos matemáticos yotras consiguieron adaptar contenidosmatemáticos a sus canciones.

La mayoría de los autores de las cancio-nes, aprendieron el contenido matemá-tico que incluían en sus temas. Y elresto tarareaba, a todas horas, las can- Figura 3

PUBLICACIONES DE LAS SOCIEDADES

L ORIGEN de este artículo está en no haber preparadodebidamente una clase.

La historia es la siguiente. Había terminado, en 2.°deCiencias Sociales, el tema «Trazado de Funciones» y reali-zado algún ejercicio de aplicación, así que decidí hacer unejercicio completo en el que se trataran todos los aparta-dos estudiados. Del libro de texto, en la sección de ejerci-cios propuestos seleccione:

Representar la función

Se presenta un módulo paraDerive que permite ir más

allá del simple dibujo de lagráfica de una función. Tansólo basta cargarlo y definiren él la función F(x) sobre laque se quiere aplicar, para

que las funciones que lointegran proporcionen suselementos característicos:

asíntotas, máximos ymínimos, inflexiones,…

73

Estudio de funciones con Derive

José de Francisco Estaire

IDEASY

RECURSOS

E

36

febrero 2001, pp. 73-76

yx x

x x= + -

- -

3 2

2

2

2 4

¢ = - - - -

- -( )y

x x x x

x x

4 3 2

22

6 15 4 6

3 4

Calculamos las asíntotas, la derivada primera y después desimplificarla obtuvimos:

El paso siguiente fue solucionar y’ = 0. Al tratar de anularel numerador dije: «Ahora buscaremos por Ruffini las raí-ces del numerador y cruzaremos los dedos para que seandivisores del termino independiente». Comenzamos a pro-bar los divisores de 6 sin éxito. En ese momento sonó eltimbre que indicaba el final de la clase y me despedídiciendo: «No hay que preocuparse, pues si las raíces sonirracionales mi amigo Derive nos las encontrará».

Cuando fui a casa abrí el programa y le suministré la fun-ción. Calculé la derivada primera, por si hubiera habidoalgún error en la simplificación, comprobé que no habíaocurrido y mande que resolviera la ecuación y’ = 0. Comosospechaba las raíces eran irracionales; obteniendo:

[x= 7’95956, x = –1’85656, x = –0’0514983 + 0’63512 i,x = –0’0514983 – 0’63512 i]

Al tener el programa abierto represente la función, peroeche en falta los elementos característicos como asíntotas,

Estudio de funciones

#1: “APLICACIÓN”

22·x/(x - 1)

#2: F(x):= x·ê

#3: VERTICALES(x) := SOLVE(F(x) = ∞, x)

#4: “Resolver mediante aproximado”

#5: VERTICALES(x) := [x = 1, x = -1, x = ∞, x = -∞]

F(x)#6: ASINTOTAS(x) := IF(lim(F(x) = ∞, IF(lim(——––– =∞), “no tiene Asinto

xÆ∞ xÆ∞ xF(x) F(x)

as”,”La Asintota oblicua es”·y= lim(——-–)·x + lim(F(x) - (lim ——––)xÆ∞ x xÆ∞ xÆ∞ x

·x)), “la asintota es”.y = lim F(x))xÆ∞

#7: ASINTOTAS(x) := “La Asintota oblicua es”·y = x + 2

“F(x)” = F(x)#8: FUNCIONES(x) := “F’(x)” = F’(x)

“F’’(x)”= F’’(x)]]

22·x/(x - 1)

“F(x)” = x·ê2 2

2·x/(x - 1) 2·x·(x + 1)#9: FUNCIONES(x) := “F’(x)” = ê ·(1 - –––––––––––)

2 2(X - 1)

22·X/(X - 1) 5 4 3 2

4·ê ·(x +3·x +2·x -2·x + x - 1)F’’(x)” = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2 4(x - 1)

#10: CORTES(x) := [SOLVE(F(x) = 0, x)]

#11: CORTES(x) := [[x = 0, x = 1, x = -1 , x = ∞, x = -∞]]

#12: MAXIMOS(x) := [SOLVE(F’(x) = 0, x)]

#13: MAXIMOS(x) :=[[x = 1, x = -1, x = 2.89005, x = 0.346014, x = ∞, x = -∞, x = -0.618033 + 0.786151·î, x = -0.618033 - 0.786151·î]]

#14: INFLEXIONES(x) := [SOLVE(F’’(x) = 0, x)]

#15: INFLEXIONES(x) := [[x = 1, x = -1, x = 0.648865, x = ∞, x= -∞]]

LATERALES(p) := [lim F(x), lim F(x)]#16: xÆp- xÆp+

0 -∞#17: VECTOR(LATERALES(p), p, [-1,1]) =

0 +∞

Página: 1

máximos, mínimos, inflexiones... estas ausencias fueron

las que me llevaron al deseo de tener un programa tal que,

conocida la función permitiese el cálculo de los elementos

necesarios para el estudio e interpretación de dicha fun-

ción, de forma que el trabajo de cálculo solo se hiciera

una vez. Para definir las funciones que calculan los apar-

tados deseados tuve que utilizar algunas de las funciones

predefinidas en Derive, las funciones utilizadas han sido:

SOLVE ; LIM ; IF ; VECTOR ; INSERT_ELEMENT

Recordemos su sintaxis:

SOLVE([F(x, y) = a, G(x,y) =b] ,[x, y]): resuelve el sistema

F(x, y) = a, G(x, y) = b , en las variables x e y.

SOLVE(F(x), x): resuelve la ecuación F(x)=0, en la variable x.

LIM(F(x), x, a): calcula el límite de la función F(x) cuando la

variable x tiende hacia a. El valor a puede ser mas o

menos infinito.

Si queremos calcular los límites lateralescuando x tiende hacia a la sintaxis es:

LIM(F(x), x, a, 1) y LIM(F(x), x, a, –1), que cal-culan el límite de F(x) cuando x tiendehacia a, siendo x >a (derecha) y siendox < a (izquierda).

IF(«Condición C», realizar A si se cumple la

condición C, realizar B si no se cumple la con-

dición C). Abreviadamente IF(C, A, B).

La función VECTOR puede generar unvector o un vector cuyas componentessean vectores (una matriz).

VECTOR(Función o funciones en la variable n,

variable n, Valores que toma n)

VECTOR ([x, F(x)], x, [1, 2 ,5, 9]) genera lamatriz cuyas filas son: [1 ,F(1)] , [2 ,F(2)] ,

[5 ,F(5)] , [9 ,F(9)]

Si queremos que la primera fila de unamatriz A no sea numérica y que tengapor valores el encabezamiento de unatabla, debemos insertar una primera filacon dichos encabezamientos medianteINSERT_ELEMENT.

INSERT_ELEMENT([fila a insertar], A, K), siendoA el vector o matriz en la que vamos ainsertar la fila y K la posición en la que serealizara la inserción. Como en la prime-ra fila queremos que figure un texto y noun cálculo debemos colocar entre comi-llas cada elemento de la fila insertada.

Una forma de realizar el estudio esmediante los siguientes pasos:

1.° Definir la función a estudiar

F(x) := «función objetivo»

2.° Cálculo de las asíntotas verticales

VERTICALES(x) := SOLVE(F(x) = •, x)

Resuelve la ecuación para la variable x.En algunas funciones (principalmenteen las definidas a trozos) no efectúa elcálculo correctamente.

3.° Asíntotas horizontales y oblicuas

ASINTOTAS(x) := IF ( LIM(F(x), x, •) = •,IF(LIM(F(x)/x = •, x, •), «No tiene Asíntotas»,«La Asíntota oblicua es» y = LIM(F(x)/x, x, •)* x + LIM(F(x) – LIM(F(x)/x, x, •) * x, x, •)) ,«La Asíntota horizontal es» y = LIM( F(x), x, •))

74

Estudio de Funciones

#18: PUNTOS(x) := [-2, -1, -0.5, 0, 0.346014, 0.5, 0.648865, 1, 2, 2.89005, 3]

#19: TABLA_MINIMA(x) := INSERT_ELEMENT([“x”, ”F(x)”, ”Signo de F’(x)”, ”F’(x)”], VECTOR([x, F(x), SIGN(F’(x)), F’(x)], x, PUNTOS(x)),1)

“x” ”F(x)” ”Signo de F’(x)” ”F’(x)”

-2 -0.527194 1 0.849368

-1 ? ? ?

-0.5 -1.89683 1 12.224

0 0 1 1

0.346014 0.157642 ±1 0#20: TABLA_MINIMA(x):=

0.5 0.131798 -1 -0.322174

0.648864 0.0689785 -1 -0.47852

1 ? ? ?

2, 7.58733, -1, -4.6367

2.89004 6.34347 ±1 0

3 6.35099 1 0.132312

#21: TABLITA(x) := VECTOR([x, F(x)], x, PUNTOS(x))

-2 -0.527194

-1 ?

-0.5 -1.89683

0 0

0.346014 0.157642#22: TABLITA(x) :=

0.5 0.131798

0.648864 0.0689785

1 ?

2 7.58733

2.89004 6.34347

3 6.35099

Página: 2

En nuestro caso si el limite de F(x) esinfinito calcula A = límite de F(x)/x. Sino es infinito calcula B = « a Asíntotahorizontal es» y = Valor del Límite.

Cuando se cumple la condición nosconduce a otro IF en el que la condiciónes: si el límite de F(x)/x es infinito,entonces A = «no tiene Asíntotas», si elcociente no es infinito se cumpliráB = «la Asíntota oblicua es» y = mx + b

4.° La función, su derivada primeray su segunda derivada

Las agrupamos en una matriz de 3 ¥ 1.Cada fila de la matriz debe ir entre cor-chetes y el texto que queremos queaparezca tiene que ir entrecomillado.

FUNCIONES(x) := [[«F(x)»=F(x)], [«F’(x)» = = F’(x)], [«F“(x)»=F“(x)]]

Esta matriz permite trabajar con cada filaindependientemente.

5.° Puntos de corte. Posibles máximos,mínimos y puntos de inflexión

Resolvemos las ecuaciones F(x) = 0,F’(x) = 0, F’’(x) = 0 . Para ello utilizare-mos la función SOLVE entre corchetes yaque de esta forma obtenemos las solu-ciones como componentes de un vector.

CORTES(x) := [SOLVE(F(x) = 0, x)]

MAXIMOS(x) := [SOLVE(F’(x) = 0, x)]

INFLEXIONES(x) := [SOLVE(F“(x) = 0, x)]

6.° Límites laterales

Si queremos calcular los límites lateralesen algunos puntos p1, p2, p3, … que con-sideremos interesantes (puntos de dis-continuidad, asíntotas verticales, …).Les agruparemos en un vector p.

LATERALES(p) := [LIM(F(x), x, p, –1),LIM(F(x), x, p , 1) ]

VECTOR(LATERALES(p), p, [p], p2, p3, ...]) =

La última instrucción calcula los límiteslaterales en los puntos p1, p2, p3, …mediante la función LATERALES(p). La varia-ble de la función es p y no x. El resultadoes una matriz de dos columnas e i filas,siendo la primera columna el límite por laizquierda en cada punto pi y la segundacolumna es el límite por la derecha.

7.° Puntos de estudio y valoración (máximos, inflexiones, ...)

Agrupamos todos los puntos en una función.

PUNTOS (x) := [puntos de estudio y valoración separados porcomas]

8.° Tabla de valores de la función y su derivada

En cada punto de estudio podemos calcular F(x), el signo

de la primera derivada y el valor de F ’(x). Una forma de

conseguirlo es mediante una matriz que llamaremos

TABLA_MINIMA. Esta matriz tendrá en la primera fila, como

encabezamiento: x, F(x), signo de F ’(x) y F ’(x) y en las

filas siguientes las tabulaciones de las funciones en los

puntos deseados.

TABLA_MINIMA(x) := INSERT_ELEMENT([«x», «F(x)», «Signo deF’(x)», «F ’(x)»], VECTOR([x, F(x), SIGN(F’(x)), F’(x)], x, PUN-TOS(x)), 1)

75

TABLA_MINIMA, mediante el valor de F ’(x) y su signo a la

izquierda y derecha de un punto en el que se anula la deri-

vada, permite dilucidar si en ese punto existe máximo o

mínimo. El estudio del signo a la izquierda y derecha de un

punto es fundamental, pues a veces al estudiar el signo en

las soluciones de F ’(x) = 0 no da signo cero, pues da un

valor pequeño a la derivada en el punto y por tanto tiene

signo positivo o negativo.

9.° Tabla de valores de la función

Si queremos representar un punto no es posible con

TABLA_MINIMA(x), pues tiene cuatro columnas.

Necesitaremos una tabla en la que únicamente figuren la

variable x y el valor de F (x). Esto lo conseguimos median-

te la función TABLITA(x)

TABLITA (x) := VECTOR([x, F(x)], x, PUNTOS(x))

En nuestro caso la función es un vector de dos compo-

nentes [x, F(x)], la variable es x y los valores que tomará

serán los puntos que hemos seleccionado para el estudio

y que figuran en PUNTOS(x).

10.°

Guardamos en la carpeta de Math de Derive el archivo

«Estudio de Funciones» (siendo su extensión .mth). Cada

vez que queramos estudiar una función llamaremos al

archivo, indicamos quien es F(x) , copiamos las funciones

de estudio y posteriormente bastara con llamarlas para

obtener los resultados.

Al aplicar el algoritmo anterior a diversas funciones he

notado que en las definidas a trozos al resolver la ecua-

ción: derivada primera = 0 , a veces nose obtienen todas las soluciones, laforma mas eficaz es resolver la primeraderivada de cada trozo y seleccionar lospuntos que están en el intervalo de defi-nición. En estas funciones el cálculo delas asíntotas verticales suele dar algúnproblema.

Apliquemos todo lo anterior al estudiode la función (ver figuras):

José de Francisco EstaireIES Andrés Laguna

Segovia

76

y xex x

=-( )2 12

BibliografíaGARCÍA, A. (1994): Prácticas de matemáticas

con Derive, Alfonsa García, Madrid.

GUZMAN, M y B. RUBIO (1993): AnálisisMatemático –3– Sucesiones y series defunciones, números complejos, Derive,aplicaciones, Pirámide, Madrid.

IBAÑEZ JALÓN, M, M. F. PÉREZ MARTÍNEZ,A. J. POBLACIÓN SAEZ y A. SUÁREZBARRIO (1999): Práctias de matemáticasde Bachillerato con Derive paraWindows, Ra-Ma, Madrid.

KUTZLER, B. (1996): Introducción a Derivepara Windows , Derisoft, Valencia.[Manual de Derive, traducción de LLO-RENS FUSTER, J. L. (1998).]

PÉREZ, C. y C. PAULOGORRÁN (1998):Matemática práctica con Derive paraWindows, Ra-Ma, Madrid.

SÍ COMO suele ser habitual encontrar artículos relativos aexperiencias extraacadémicas realizadas por alumnos deEducación Primaria o Secundaria en las páginas de revis-tas especializadas en Educación, Didáctica o Metodología,no suele ser frecuente, por el contrario, encontrar estosmismos trabajos cuando los sujetos son alumnos universi-tarios, sobre todo en el caso de las disciplinas científicas.

El presente artículo, que viene a paliar en algo la conside-ración anterior, trata sobre una experiencia extraacadémi-ca realizada, a instancias del profesor, por un grupo de 9de sus alumnos universitarios del curso de la asignaturaGeometría III (Geometría Diferencial de Curvas y Su-perficies) de la licenciatura de Matemáticas, en la Facultadde Matemáticas de la Universidad de Sevilla (año acadé-mico 1999-2000). Esta experiencia tuvo lugar dentro de losactos programados durante la Semana de las Matemáticas(semana del 27 de marzo al 2 de abril de 2000) organiza-da por la Facultad de Matemáticas de la Universidad deSevilla en conmemoración del Año Mundial de las Mate-máticas (Año 2000).

Lo que en principio fue un simple comentario por partedel profesor a la totalidad de sus alumnos del citado grupoen el sentido de que le gustaría que su clase de Geometríaparticipase como tal, de forma activa, en dicha Semana,realizando una actividad inicialmente sin determinar, sibien relacionada de alguna forma con el temario de laasignatura, se convirtió posteriormente en el firme com-promiso por parte de un grupo reducido de estos alumnosde idear, planificar, organizar y, en definitiva, realizar unaExposición sobre Curvas y Superficies, que es la queseguidamente se pasa a comentar.

El presente artículo se estructura en seis secciones. En laprimera, se señalan los objetivos que nos marcamos al ini-cio de la experiencia. En la segunda, tercera y cuarta sec-

En este artículo se comentauna experiencia

extraacadémica realizadapor un grupo de alumnos

universitarios deMatemáticas, juntamente consu profesor, en el marco de

la Semana de lasMatemáticas organizada porla Facultad de Matemáticasde Sevilla para conmemorar

el Año Mundial de lasMatemáticas (Año 2000). Lacitada experiencia consistióen la realización y montaje

de una Exposición de Curvasy Superficies, cuyos objetivos

generales, desarrollo yconclusiones finales

constituyen la base de estetrabajo.

77

Exposición de curvasy superficies: una experienciaextraacadémica universitaria

Juan Núñez Valdés, C. Aguilera, I. Fernández,M.J. Macías, A. Montaño, S. Pérez, I. Rivero,M.J. Romero, J.I. Sánchez y A.M. Serrato

IDEASY

RECURSOS

A

36

febrero 2001, pp. 77-84

ciones se tratan, respectivamente, las cuestiones referentesa la preparación y montaje, decoración externa y conteni-dos de la Exposición. En la sección quinta se comentanalgunas curiosidades y anécdotas surgidas al hilo de lamisma, dedicándose finalmente la sexta sección al trata-miento de la valoración final y conclusiones extraídas pornosotros mismos a la finalización de la misma.

Objetivos de la Exposición

El principal objetivo que nos propusimos fue el de acer-car la Geometría Diferencial de Curvas y Superficies acompañeros, profesores y demás visitantes interesados enel tema y hacerlo, además, de una forma seria y rigurosaaunque no exenta de un tratamiento algo más informal y¿por qué no decirlo? también lúdico del tema.

Para ello, pensamos que la Exposición no solamente debe-ría mostrar algunas de las curvas y superficies que había-mos estudiado en clase de Geometría e indicar sus princi-pales propiedades, sino que al mismo tiempo debería pre-sentarlas además de una manera física y tangible, que per-mitiese al visitante observarlas con el mayor detenimientoposible, considerar en ellas todos los conocimientos teóri-cos previamente estudiados y también, en gran parte delos casos, poder manipularlas o incluso «crear» en el orde-nador sus «propios» cuerpos geométricos. A tal fin, deseá-bamos que los visitantes no sólo vieran sino que tambiénparticiparan de manera activa en la Exposición.

Un segundo objetivo fue, cómo no, aprovechar el año enel que nos encontrábamos, para aportar nuestro peque-ño granito de arena, como parte integrante de la Facultadde Matemáticas, participando activamente en los actos dela Semana de las Matemáticas organizada por la misma,ayudando a promocionar de esta forma el conocimientoy el uso de las Matemáticas en todo el mundo, y a mos-trar a la sociedad la presencia permanente de lasMatemáticas en diferentes hábitos de nuestra vida y resal-tar su importancia en el desarrollo científico, tecnológicoy cultural, tal como se recogía en los objetivos generalesdel Año Mundial de las Matemáticas, que celebrábamosen ese año 2000.

Un tercer objetivo fue el de calibrar si las actividades extra-académicas universitarias (sobre todo en las áreas científi-cas), tan denostadas por lo general tanto por profesorescomo por alumnos, deberían ser más tenidas en cuentapor ambos estamentos a fin de conseguir la tan ansiadaformación integral, no sólo teórica y de conocimientos, delalumnado de estas licenciaturas.

Pasamos a continuación a detallar la actividad realizada ylos logros obtenidos, que nos permitirán concluir si losobjetivos inicialmente propuestos se cumplieron o no.

Preparación y montaje

Con respecto a la preparación y monta-je en sí de la Exposición, debemoscomentar que resultó más complicado yque nos llevó más tiempo del que enprincipio habíamos considerado.

Así, nuestras primeras ideas sobre el con-tenido fueron variando desde la primerade nuestras reuniones hasta prácticamen-te el mismo momento de la inauguración.De hecho, todo lo que finalmente seexpuso fue fruto de intensos debates yreuniones en los que se cambiaban, seampliaban e incluso se desechaban nu-merosos proyectos inicialmente previstosy que después, por diferentes razones, nopudieron llevarse a cabo.

Por otra parte, el aula que nos habíasido asignada por la Facultad, aunquebastante amplia, estaba lógicamenteocupada por las correspondientes mesasy sillas, que necesariamente tuvimos queredistribuir, para facilitar el paso libre ysin obstáculos de los visitantes. Además,había que colocar los carteles informati-vos, figuras, dibujos, cuerpos geométri-cos, etc., de forma que todos ellos estu-viesen bien a la vista y que no se estor-basen unos a otros. Al respecto, cabemencionar la gran dificultad que nossupuso el traslado hasta el aula de unapreciosa y extensa colección de cuerposgeométricos propiedad de la Facultad(donada por un familiar de un profesorde la misma hace ya bastante tiempo)que se guardaban en unos estantescerrados, construidos expresamentepara ello, que fue necesario trasladar talcual, desde su lugar habitual, la Sala deJuntas de la Facultad, hasta el aula, entrecuatro o cinco de nosotros, con el mayorcuidado para evitar posibles golpes odeterioros entre ellos. También fue rela-tivamente complicado el traslado y pos-terior montaje en el aula de dos ordena-dores gentilmente prestados por miem-bros de la Facultad, que hubo de reali-zarse con el máximo cuidado.

Además, el tiempo de que dispusimospara ello fue más bien escaso, habidacuenta que la mayor parte de la tareaanterior hubo de hacerse durante las

…la Exposiciónno solamente

debería mostraralgunas

de las curvasy superficies

que habíamosestudiado

en clase deGeometríae indicar

sus principalespropiedades,

sino que al mismotiempo debería

presentarlasademás

de una manerafísica y tangible,que permitiese

al visitanteobservarlas

con el mayordetenimiento

posible…

78

primeras horas de la mañana del lunesde esa misma semana, dado que hastala última hora lectiva de la tarde delviernes anterior hubo clases en el aulaasignada y durante el fin de semana nopudimos acceder a ella.

Decoración externa

En un principio, la Exposición estabareducida sólo y exclusivamente al auladestinada para ella, situada en la segun-da planta de la Facultad. Por ello, decidi-mos ampliar algo el espacio y se nosocurrió decorar la Facultad con algunasfiguras geométricas gigantes, que fuesen«abriendo boca» a los visitantes. Así, pen-samos en distribuir a lo largo del caminoque llevaba al aula una serie de elemen-tos geométricos que pudieran ser apre-ciados a simple vista a medida que elvisitante se fuese acercando y que, porotra parte, constituyesen por sí mismosparte del material que se deseaba expo-ner. Estos elementos fueron confecciona-dos manualmente por nosotros mismos,con materiales habituales en nuestroquehacer cotidiano, como papel de alu-minio, cables, latas de refrescos vacías,periódicos, alambres, etc. Ciertamente,atraídos por estas figuras gigantes, fueronmuchos los que se decidieron a visitar laExposición, saliendo muy complacidosfinalmente de la misma.

Las dos primeras figuras en aparecer a lavista del visitante, una vez dentro de laFacultad eran una espiral logarítmica (DoCarmo, 1976: 23) y una banda de Mobius(Do Carmo, 1976: 118). La primera, reali-zada con cables y chinchetas se situó allado del cartel anunciador de laExposición y la segunda, construida conperiódicos y cartulina, que permitíanmostrar la no orientabilidad de estasuperficie (Do Carmo, 1976), se colgó deltecho de la entrada de la Facultad, porcierto con grave riesgo de algunos de losque lo hicieron, por motivos de un ino-portuno vértigo, no convenientementesuperado en esos momentos.

También en la entrada de la Facultad secolocó una enorme catenaria (Do

Carmo, 1976: 37), de 30 metros de longitud, confeccionadacon papel de aluminio (evidentemente, hubo de dárseleuna cierta «anchura» por razones obvias de confección). Secolgó entre dos de los puentes de la Facultad, estirándoseen primer lugar el rollo de papel y descolgándolo despuésmuy poco a poco, quedando finalmente una figura muybonita tanto por su tamaño como por su color.

Al final de una de las escaleras que conduce a la primeraplanta de la Facultad se colocó un cilindro (Do Carmo,1976: 77) de aproximadamente metro y medio de altura,realizado con 266 latas de refrescos vacías (14 columnas de19 latas cada una), que nos habían sido graciosamentedonadas por personas de la Facultad que las habían idodepositando en una gran caja que a tal fin habíamos colo-cado nosotros en el vestíbulo de entrada, por cierto, bajoun enorme cartel indicador en el que les pedíamos que nos«diesen la lata». Para ensamblarlas y unirlas fueron necesa-rios 6 metros de cable, dos cartones circulares grandes, queconstituían las bases, un perchero adosado a uno de ellos,que mantenía la figura en pie y, sobre todo, muchísimapaciencia y un poco de habilidad para darle la forma ade-cuada, habida cuenta de que en la geometría actual, el«cilindro abombado» aún no tiene la categoría de superficieregular. Al lado de este cilindro, al igual que en la prácticatotalidad de figuras presentadas, aparecía un cartel expli-cativo de la figura en sí y de sus principales propiedades.

Las dos primerasfiguras

en aparecera la vista

del visitante,una vez dentrode la Facultad

eranuna espirallogarítmica

y una bandade Mobius…

…se colocóuna enorme

catenariade 30 metrosde longitud,

confeccionadacon papel

de aluminio…

79

Seguidamente, a la entrada del aula, en la segunda planta,se colgaron unas hélices de alambres de distintos colores(Do Carmo, 1976: 17), que habían sido confeccionadashaciéndolas girar alrededor de la pata de una mesa. Por

cierto que estas hélices, aparte de actuar como tales en laExposición, sirvieron de improvisados, pero no menosdivertidísimos, columpios a los personajes de menor edadde los colegios que nos visitaron, lo cual, con toda sinceri-dad, nosotros nunca hubiéramos podido llegar a imaginar.

De esta manera, y bajo la mirada virtual de todas estasfiguras, el visitante llegaba finalmente, siguiendo los car-teles indicativos, a la puerta de entrada del aula que ence-rraba la Exposición. En ese lugar fue donde se colocó laúltima de las figuras gigantes: un toro (Do Carmo, 1976:73) colgado del techo por una cuerda (o mejor, su repre-sentación en forma de neumático de coche) que también,como le ocurrió al cilindro, acabó un poco abollado porculpa de los niños que visitaban la Exposición (ya sesabe, el «juego del toro»).

Contenidos

El contenido de la Exposición ha estado centrado en dosaspectos básicos:

1. Exposición de Curvas y Superficies, mediante mode-los reales, pósters, carteles, etc.

2. Generación de curvas y superficies mediante progra-mas de ordenador.

Y otros dos aspectos complementarios:

3. Historia de las Matemáticas, mediante pósters, pane-les, carteles, etc.

4. Mujeres matemáticas, mediante fotografías y paneles.

Referente al primer aspecto básico, algu-

nas superficies estaban hechas de hierro y

se apoyaban en peanas de madera, lo que

permitía hacerlas girar manualmente y

apreciar de esta forma su volumen y sus

principales propiedades, tal como ocurría

con los casos de la superficie esférica,

cilindro, cono, paraboloides, hiperboloide

de una hoja y de dos, etc. (Do Carmo,

1976). Como ejemplo de lo que decimos,

el hiperboloide de una hoja estaba hecho

con hilos de colores, lo que permitía

observar su propiedad de ser una superfi-

cie doblemente reglada, al aparecer de

forma claramente visible las dos familias

de rectas diferentes que la constituyen.

Aparte las superficies anteriormente

citadas, que pueden considerarse como

las más conocidas, también se encontra-

ban en la Exposición otras menos fre-

cuentes, hechas algunas de ellas en car-

tulinas de diferentes colores, mediante

técnicas manuales, que también provo-

caron un gran interés entre los asisten-

tes por conocer sus propiedades, la

mayor parte de las cuales eran expues-

tas al visitante por los propios alumnos

encargados de la Exposición. Entre ellas

podemos citar la bipirámide triangular

elongada, el tetraedro truncado, el cubo

truncado y la seudoesfera.

…algunassuperficies

estabanhechas de hierroy se apoyaban

en peanasde madera,

lo que permitíahacerlas girarmanualmente

y apreciar,de esta forma,

su volumeny sus principalespropiedades…

80

Aparte de lo anterior, y tal como ya seha comentado, contábamos en la Expo-sición con una gran cantidad de cuerpospoliédricos, entre ellos los cinco sólidosde Platón (poliedros regulares) y nume-rosísimos poliedros irregulares, algunosde ellos estrellados, que forman partede la colección donada a la Facultad deMatemáticas, de la que antes se hahablado. Por evidentes razones de segu-ridad, estos últimos cuerpos geométri-cos permanecían guardados en susestantes cerrados y únicamente podíanobservarse, pero no manipularse.

Con respecto al segundo aspecto básicode la Exposición, tal como se ha comen-tado ya anteriormente, nuestro objetivoes que las visitas no se conformasen sólocon mirar, sino que participasen demanera activa en la Exposición. Para ellose contaba con dos ordenadores y pro-gramas adecuados de simulación y repre-sentación de curvas y superficies (Mathe-matica, Maple V y Poly) que permitían lavisión tridimensional de los sólidos dePlatón, sólidos de Arquímedes, sólidos deCatalán, etc., así como también su mani-pulación mediante movimientos rígidos yla visión de su desarrollo en planta(véase, por ejemplo, Cordero y otros,1995) y el programa Poly, fabricado porPedagogery Software.

Los dos aspectos complementarios seincluyeron en la Exposición a peticiónde algunos de sus organizadores.Ambos estaban muy relacionados y, enparticular, el tema de los grandes acon-tecimientos matemáticos, ordenadoscronológicamente, tuvo una gran acep-tación, sobre todo por parte del alum-nado de la Facultad. Aunque éste esotro tema, que no es oportuno aquí yahora considerar, la Historia de las Ma-temáticas no es una disciplina que seimparta en nuestra Facultad y en nues-tra opinión sí debería serlo. La granaceptación antes indicada así como elhecho de que a lo largo del curso seimpartan varios seminarios y cursos deforma voluntaria sobre el tema así tam-bién lo atestiguan.

Del tema de las Mujeres Matemáticas seencargó personalmente una de las orga-

nizadoras de la Exposición. Utilizando una serie de foto-grafías y las correspondientes biografías, dio a conocer alos visitantes la extraordinaria labor que realizaron desdeel punto de vista matemático, determinadas mujeres queiban desde Hipatia de Alejandría, nacida cerca del año 370d.C. y considerada «primera mujer matemática» de laAntigüedad (aunque obviamente el término «matemático»resultase algo ambiguo por aquellos tiempos) hasta GraceMurray Hooper, matemática y física, nacida a principios desiglo, nombrada «Distinguished fellow of the BritishComputer Society» y primera y única mujer almirante en laU.S. Navy. Entre ellas, y cronológicamente, Emilie deBreteuil (marquesa du Chatelet), María Gaetana Agnesi,Caroline Hershel, Mary Fairfax, Ada Augusta Lovelace,Sonya Corvin-Krukovsky (esposa, luego viuda de VladimirKovalevsky), Sophie Germain y Emmy Noether, conside-rada por el gran Albert Einstein como «la más grande, sig-nificativa y creativa Genio matemático producida en la his-toria del desarrollo educativo de las mujeres».

Curiosidades y anécdotas

Hay que entender que en una semana y expuestos atodo tipo de visitantes en general, profesores y alumnosde la Facultad, profesores y alumnos de otras facultades,especialmente de las situadas en el campus, profesoresy alumnos de institutos y colegios, acompañantes, etc.,nos han ocurrido bastantes curiosidades y anécdotas,cuya mención global sería muy extensa. Por razonesobvias de espacio, nos limitamos a continuación acomentar las dos o tres que creemos más interesantes,por las consecuencias y aplicaciones posteriores quepudieran originar.

Así, una de las primeras curiosidades que nos ocurrió fuecuando un visitante de la Exposición, alumno creemos dela Facultad, preguntó a los organizadores que estaban enaquel momento en labores de «guías» de la Exposición sisabían qué se obtenía al cortar la Banda de Mobius longi-tudinalmente por su mitad. Estos contestaron, quizás sinmeditarlo mucho, que se obtendrían dos bandas deMobius. El visitante no sólo se limitó a responderles nega-tivamente, sino que pasó directamente a la acción parahacerles ver, construyendo él mismo una banda con unatira de papel que traía preparada y cortándola con unastijeras que también traía, que lo que se obtenía era otrabanda de Mobius con dos rizos. Ya no preguntó nada más,sino que volvió a cortar de igual forma esta nueva bandapara hacerles ver a los organizadores que lo que se obte-nía ahora eran dos bandas de Mobius con dos rizos cadauna, enlazadas.

Esta primera curiosidad hizo que posteriormente estudiá-semos este tipo de hechos con mayor detenimiento,

…contábamosen la Exposicióncon una gran

cantidadde cuerpospoliédricos,entre elloslos cinco

sólidos de Platón(poliedrosregulares)

y numerosísimospoliedros

irregulares,algunos de ellos

estrellados…

81

encontrando que esta propiedad no sólo es característicade la Banda de Mobius, sino que se verifica en general entodas aquellas bandas generadas mediante vueltas o rizos.Así, dada una banda con n medios rizos, con n impar, alcortarla longitudinalmente por su mitad quedará unanueva banda con 2n + 2 medios rizos, mientras que si labanda tiene 2k medios rizos, al cortarla longitudinalmentepor su mitad quedarán 2 bandas con 2k medios rizos cadauna, enlazadas k veces (Gardner, 1984).

Al respecto, se nos ocurre citar aquí una poesía (en su ver-sión original en inglés), que aparte explicarnos clara yconcisamente el hecho anterior, nos relaciona de algunaforma la banda de Mobius con la no menos conocida bote-lla de Klein:

A mathematician confinedthat a Mobius band is one-side,and you will get quite a laughif you cut one in half.For it stays in one piece when divided.

A mathematician named Kleinthought the Mobius band was divineSaid he: if you gluethe edges of two, you will get a weird bottle like mine.

Otra de las anécdotas nos sucedió cuando una chica quevisitaba la Exposición comentó que se había llegado por-que había visto el cartel anunciador y se había preguntadocómo de un tema tan abstracto (según ella) como las cur-vas y superficies se podía montar una Exposición. Cuandoacabó su visita, nos dijo que se había dado cuenta de suerror y que se había sorprendido muchísimo de que algo

que para ella era tan obtuso, como laGeometría, estuviese tan presente en lavida cotidiana. De hecho, se podríadecir que esa chica fue una de las per-sonas que más se interesó por cómo sehabían construido las figuras expuestas ypor las dificultades aparecidas en suconstrucción.

Al hilo de lo comentado anteriormente,decir que como nosotros mismos tuvi-mos que «construir» algunas curvas ysuperficies para exponer, tuvimos querechazar la realización de algunas deellas, que aunque teníamos muy clarasu idea intuitiva, iban a ser muy difícilesde obtener. Así, en particular, tuvimosque desechar la construcción de uncono gigante (nuestra idea era queacompañase al cilindro gigante, que sífue construido), por no disponer de unaidea concreta de cómo hacerlo, asícomo por no saber tampoco de quémedios y recursos nos íbamos a valerpara hacerlo. Decir también como anéc-dota, que una vez ya transcurridos dosdías de la Exposición, dos de nosotrostuvimos claro cómo haberlo hecho ycon qué, pero, desgraciadamente, ya eratarde. Todo ello hizo que la muy exten-sa lista inicial de curvas y superficiesque deseábamos exponer quedara algo

…una poesía[que]

nos relacionade alguna forma

la bandade Mobius

con la no menosconocida

botellade Klein…

82

más reducida, por lo que tuvimos quebuscar otras más sencillas de construiren libros especializados, Internet, y tam-bién pedir la colaboración de otros pro-fesores de la Facultad que nos facilita-ron modelos propiedad de sus departa-mentos (a todos los cuales, por cierto,aprovechamos para agradecerles desdeaquí, muy sinceramente, la colaboraciónque nos prestaron, cosa que ya hicimos,personificándolos simbólicamente, en laIlma. Sra. Decana de la Facultad). Esohizo que pudiéramos construir curvasno tan usuales para el público en gene-ral, como la clotoide y la curva deAgnesi y superficies poliédrica no usua-les, como las truncadas o la bipirámidecuadrangular. Por cierto que tambiéndeseamos personalizar en la Decananuestro agradecimiento al resto de per-sonas de la Facultad: conserjes, limpia-doras, personal de copistería, Biblioteca,Aula de Informática y compañeros delAula de Cultura de la Facultad (estosúltimos nos cedieron amablementeparte de su espacio para almacenar elmaterial), sin cuya ayuda hubiésemosencontrado muchas más dificultadespara llevar a buen puerto nuestrasintenciones.

Además, referente a lo anterior, debemosdecir que uno de los puntos que nosresultaron más difíciles y divertidos a lavez fue la búsqueda de los materialesadecuados que íbamos a emplear en laconstrucción de las curvas y superficiesque deseábamos. Para algunas de ellas,como las gigantes ya citadas (catenaria,cilindro y banda de Mobius), así comopara algunos poliedros usuales, las pro-puestas fueron múltiples: cartón, tela,papel, latas de refrescos vacías, alambre eincluso se propuso «tricotar» alguna deellas. Sin embargo, superficies como lasilla de montar (Do Carmo, 1976: 165) oel toro o el elipsoide (Do Carmo, 1976: 73)nos pusieron en un apuro, por lo difícilque sería encontrar un material con elque construirlos, aunque estén tan pre-sentes en la vida real en forma de donuts,ruedas, etc. Eso nos hizo ver la íntimarelación existente entre la Geometría y lapropia vida real, tan alejada de los textoscientíficos actuales de las asignaturas.

Valoración finaly conclusiones

Nunca imaginamos que lo que en principio fue sólo fueun pequeño proyecto, llegase a producir tanto interés,como corrobora el número de visitas recibidas. El recuen-to final superó con creces todas nuestras expectativas másoptimistas. Más de 260 personas a nivel individual, lamayoría de ellos alumnos de la licenciatura, si bien esimportante constatar la presencia de bastantes profesoresde la Facultad (conocemos estos datos porque al final delrecorrido se registraban las visitas en unos folios prepara-dos al efecto) y numerosos grupos de entre 40 y 50 alum-nos de los colegios e institutos y centros de primaria ysecundaria de Sevilla, capital y provincia, que acudían alSalón de Juegos Matemáticos (otra de las actividades de laSemana de las Matemáticas), y aprovechaban para visitartambién la Exposición, dan fe del éxito incuestionable dela misma. Esta gran afluencia de público hizo que se tuvie-se que ampliar algunos días el horario inicialmente esta-blecido, que era de 10 a 12 de la mañana y de 17 a 19horas por las tardes, de lunes a viernes.

Esta heterogeneidad de los visitantes, en cuanto a su nivelde conocimientos, también fue para nosotros motivo decomentario. Nuestros compañeros y profesores tendían ahacer gala de sus conocimientos, acompañando nuestrasexplicaciones con sus particulares «aclaraciones». Porsupuesto, esto, lejos de resultar negativo, sirvió para unenriquecimiento general de unos y de otros. La visita de losalumnos de primaria ysSecundaria, por el contrario, nos sir-vió a su vez para darnos cuenta de la dificultad de explicardeterminados conceptos matemáticos a un nivel sensible-mente inferior al que habitualmente solemos emplear. Eneste caso, la posibilidad de relacionar las curvas y superfi-cies con objetos de la vida real (tal como ya se ha indicadoanteriormente), nos ha sido de un valor incalculable parasalir adelante en nuestras explicaciones y para conseguir, nosólo que ellos nos entendieran, sino incluso que ellos mis-mos nos sorprendiesen a nosotros con sus ajustados y porlo general, correctos comentarios y apreciaciones.

Otro de los logros obtenidos ha sido a nuestro entender,haber conseguido abrirnos un pequeño hueco entre losactos oficiales de la Semana de las Matemáticas, organiza-dos por la Facultad para la celebración del Año Mundialde las Matemáticas, en nuestra calidad mayoritaria dealumnos de la misma (excepto, lógicamente, el profesorfirmante). Esta Exposición, junto con una «gymkhana»también organizada por nosotros, han sido los dos únicosactos organizados prácticamente por alumnos, si biendebemos hacer constar una presencia numerosa de elloscolaborando en la realización de otro tipo de actos. Dehecho, recibimos muchas felicitaciones del profesoradoasistente a la Exposición, sorprendiéndose en algunos

La visitade los alumnos

de primariay secundaria,

por el contrario,nos sirvióa su vez

paradarnos cuentade la dificultad

de explicardeterminados

conceptosmatemáticosa un nivel

sensiblementeinferior al quehabitualmente

solemosemplear.

83

casos de que hubiesen sido mayoritariamente alumnos yademás universitarios, los organizadores de la misma.

Otra de las conclusiones a las que llegamos es constatar lavariedad existente de distintas formas de entender laGeometría por personas de diferentes edades y conoci-mientos en Matemáticas. En particular, si a un alumno detercer curso de la licenciatura se le pregunta qué es un elip-soide, probablemente nos contestará que es la superficiede revolución generada por una elipse al girar alrededor deuna recta contenida en su plano. Un alumno de primaria,obviamente, no va a entender esto pero si se le dice queun elipsoide es (salvando las distancias) un balón de rugby,probablemente no tenga problemas en entender el con-cepto. Y lo mismo ocurre con la superficie esférica y elbalón de fútbol o con el cono y el capirote de nazareno.De ahí que como ya se ha indicado, los alumnos visitantesde estas edades mostrasen mayor interés y entusiasmo enlas figuras geométricas «representadas» mediante objetoscotidianos, tales como el cilindro de latas, las hélices dealambre o el neumático de coche que en esas mismas figu-ras representadas como tales. También tuvieron muchoéxito, esta vez para todo tipo de edades y conocimientos,los programas de ordenador utilizados, que mostraban lasfiguras desde diferentes perspectivas, las desarrollaban enel plano o las cambiaban de color, entre otras acciones,todo lo cual era muy divertido y sobre todo didáctico.

Como «propuestas de mejora» para una futura repeticiónde esta actividad, aparte por supuesto de pensar enaumentar el contenido de figuras presentadas y de nuevosprogramas informáticos que permitan una mejor visualiza-ción y manipulación de las mismas, nos atreveríamos asugerir las siguientes:

1. Incrementar el grado de participación activa de losvisitantes. Para ello podría disponerse de «materialesde construcción»: papel, cartulina, pegamento, plásti-cos, cables, etc. y animar a los visitantes a fabricar suspropias figuras.

2. En la línea anterior, instalar un taller de «papiroflexia»con las pertinentes instrucciones de utilización.

3. Mostrar en grandes paneles o pósters la identificaciónentre estas figuras y determinados objetos de la vidareal, tal como ya se ha hecho, si bien de palabra, enesta ocasión. En este sentido, un ejercicio interesanteque realizamos los dos últimos días fue el de mostrarlas figuras expuestas una a una y pedirle al visitanteque nos dijese «a qué se parecían». Es sorprendente laconstatación de los «parecidos» que resultan.

4. La posibilidad de acompañar la Exposición con unamúsica de fondo adecuada, así como entregar unpequeño folleto al visitante en el que se explique elcontenido de la Exposición también creemos que con-tribuiría grandemente a mejorarla en todos los aspectos.

Pensamos, finalmente, que este tipo deactividades extraacadémicas siempreresultan beneficiosas para el alumnoque las realiza, tanto para ampliarconocimientos y ver la materia de clasedesde otro punto de vista, como a nivelpersonal, ya que ayudan a tener unamejor relación con los compañeros declase y entre estos y el profesor. Somosconscientes de que este tipo de activi-dades son mucho más frecuentes enenseñanza no universitaria y que bri-llan prácticamente por su ausencia enla Universidad y también pensamosque este hecho se debe tanto a los pro-pios alumnos, que alegan una supues-ta falta de tiempo o desinterés por todolo que no sea preparar los exámenes,como del profesorado, que mayorita-riamente, creemos, no se preocupa defomentarlas y de colaborar en ellas,pero sin embargo, la realidad demues-tra que siempre resultan positivas yque deberían tenerse en cuenta paraconseguir la formación integral delalumno universitario que se pretende ypor ello las defendemos. De hecho,estamos totalmente convencidos deque esta actividad que nosotros hemosllevado a cabo nos va a servir en unfuturo a los que de nosotros nos dedi-quemos a la enseñanza, como una pri-mera aproximación de cómo ven nues-tros alumnos de primaria y secundariala Geometría en particular y las Mate-máticas en general, y de cómo organi-zar para ellos actividades de este tipo osimilares, que de una forma interactivay práctica, permitan visualizar, tocar,manipular y, en una palabra, «hacer»Matemáticas.

Bibliografía

CORDERO, L, FERNANDEZ, M. y GRAY, A.(1995): Geometría Diferencial de Curvasy Superficies con Mathematica, Addison-Wesley Iberoamericana.

DO CARMO, M. (1976): Geometría Diferencialde Curvas y Superficies, Alianza UniversalTextos, Prentice-Hall Inc.

GARDNER, M. (1984): Festival Mágico-Matemático, Alianza Editorial, Madrid.

Juan NúñezDepartamento de Geometría

y TopologíaFacultad de MatemáticasUniversidad de Sevilla.

Sociedad Andaluzade Educación Matemática

«Thales»Carmen M.a AguileraM.a Inés FernándezMaría José MacíasAna C. MontañoSalvador Pérez

Inmaculada RiveroMaría José Romero

José I. SánchezAna María Serrato

84

…este tipode actividades

extraacadémicassiempre resultan

beneficiosaspara el alumnoque las realiza,

tantopara ampliarconocimientos

y verla materia

de clasedesde otro

punto de vista,como

a nivel personal…

N EL LIBRO DE ARENA podemos ver cómo el conoci-miento de algunos de los conceptos que se estudian en lasMatemáticas no son exclusivos de los matemáticos y quepueden ser expuestos y explicados por autores de otroscampos. Considero este relato un excelente ejemplo nodel concepto de infinito, sino de su casi indomable carác-ter y un magnífico contraste con el punto de vista (¿másriguroso?) que de él podemos dar los matemáticos.

En la primera parte, como indica su título, comento eltexto de Borges. Bajo una óptica no del todo matemáticaquiero mostrar qué conjunto de números se amolda allibro borgiano de acuerdo con las referencias explícitasque nos brinda el relato. En la segunda parte me he toma-do la libertad (con la única intención de mostrar un ejem-plo entretenido) de readaptar el cuento de Borges (casodiscreto) al caso continuo. En ella incluyo la que quizá seala manera más apropiada de imaginarse la recta real.

Comentario al Libro de arena

La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de unnúmero infinito de líneas; el volumen, de un número infinito deplanos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes…1

Nada más empezar su relato Borges quiere convencernos deque éste merece el crédito que le otorgará. Para ello se valede la exposición del leitmotiv geométrico con el que se cons-truyen los espacios multidimensionales, o sea, una verdadmatemática. Con ella Borges ubica al lector en un ámbitocuyo carácter formal resulta difícil de refutar y pretende asig-nar a su cuento un valor de verdad muy superior al de otrosrelatos de tipo fantástico, cosa que después subraya minimi-zando el grado de veracidad atribuible a éstos diciendo quetal pretensión es inherente a todo relato de este tipo:

Muchas veces en clase hetrazado de extremo a

extremo de la pizarra unalínea blanca a la que he

puesto por nombre R. Estegesto invita a pensar que R,el conjunto de los númerosreales, se parece mucho a

una fila india de puntos muyapretados. Pero los

matemáticos sabemos que noes así, pues hay infinitos de

diversa índole.El infinito del Libro de arenaborgiano es numerable, elinfinito real no. El continuo

real no es ni debeimaginarse como una hilera

muy tupida de puntossuspensivos, sino más bien

como… ya se verá.

1 Esta cita y todas las que siguenproceden de BORGES, J.L.(1996): El libro de arena,Alianza Editorial, Madrid.

85

Acerca del Libro de arenade Jorge Luis Borges

Miquel Albertí Palmer

MISCELÁNEA

E

36

febrero 2001, pp. 85-92

Afirmar que es verídico es ahora una convención de todo relatofantástico;

Y se reafirma en ello por dos veces. Al repitir el mismo

calificativo (verídico) en lugar de una expresión más sim-

ple («lo es») y al escribir en cursiva el verbo de su réplica

(hecho que por otra parte invita a interrogarse por el sig-

nificado del mismo):

el mío, sin embargo, es verídico.

A partir de aquí, lo cotidiano del acontecimiento (un ven-

dedor visita al narrador con la intención de venderle un

libro) y lo corriente del lugar donde se desarrolla la esce-

na (en casa) también contribuirán a la veracidad del cuen-

to porque un acontecimiento así lo hemos vivido muchos.

Borges habla de un libro que tiene una infinidad de pági-

nas, concepto este que ya fue introducido en la obertura

y que constituye la esencia de la historia:

El número de páginas de este libro es exactamente infinito.

Ahora bien, ¿de qué tipo es este infinito? ¿Se trata de un

infinito numerable como el de N, Z o Q? ¿O tal vez pien-

sa más en un infinito no numerable como el de R?

En el argumento geométrico que inicia el relato se dan

cita los dos conceptos que otorgan al infinito su carácter.

Por un lado, infinito es sinónimo de cantidad ilimitada, un

cardinal mayor que cualquier cardinal finito por enorme

que éste sea; y por otro, es sinónimo de potencialidad ili-

mitada porque partiendo de un objeto primigenio tene-

mos la posibilidad de generar tantos como queramos con

la aplicación reiterada de una operación. En este sentido

es la ilimitada posibilidad de reiteración la que da al infi-

nito su talante. Tras los tres puntos suspensivos que

siguen la exposición iterativa del comienzo no se alber-

gan únicamente los sucesivos espacios multidimensiona-

les, sino también el argumento mismo que permite su

construcción:

de un número infinito de volúmenes... (sic)

Un lector matemático seguramente tendrá la impresión de

haberse topado antes, y muy a menudo, con algún obje-

to semejante al que protagoniza la historia. Los seres fun-

damentales de las Matemáticas son los conjuntos de

números. Es precisamente al estudiar uno de estos con-

juntos (N, el conjunto de los números naturales) donde

el matemático se enfrenta por vez primera con la idea de

un cardinal infinito.

Los números naturales (N) no son infinitos porque no se

acaban nunca, sino porque el procedimiento que permite

construirlos y que consiste en sumar una unidad al último

natural construido se puede aplicar de nuevo para gene-

rar otro, y otro, y otro...: 1, 1+1 = 2, 2+1 = 3, 3+1 = 4, ...

Las páginas del libro llevan una nume-ración desordenada, arbitraria:

Me llamó la atención que la página par lle-vara el número (digamos) 40.514 y laimpar, la siguiente, 999. La volví, el dorsoestaba numerado con ocho cifras.

No sé por qué están numeradas de esemodo arbitrario. Acaso para dar a enten-der que los términos de una serie infinitaadmiten cualquier número.

y ese desorden las hace comparables ala arena de un desierto:

Me dijo que su libro se llamaba el Libro deArena, porque ni el libro ni la arena tienenni principio ni fin.

Al contar un desierto nosotros determi-namos el principio cogiendo un granode arena (al que llamaremos uno, el pri-mero) de la ingente polvareda. ¿Y el fin?Bueno, el final,… ¿Acaso lo hay? Si nosimaginamos el espacio infinito, ¿dóndeestoy? ¿En qué punto del espacio mehallo? ¿En medio? ¿Muy cerca de la ori-lla? No, cerca de la orilla no puedo estarporque si el espacio es infinito carecede ella. O sea:

Si el espacio es infinito estamos en cual-quier punto del espacio. Si el tiempo es infi-nito estamos en cualquier punto del tiempo.

Esta ambigüedad induce el desordencon el que se han numerado las páginasdel libro. Pero hay más. Lo que me inte-resa es ver qué conjunto numérico seajusta al ejemplar borgiano. El compra-dor aprecia en él una propiedad sor-prendente:

Me pidió que buscara la primera hoja.Todo fue inútil: siempre se interponíanvarias hojas entre la portada y la mano.Era como si brotaran del libro.

Hojeando el libro uno no puede darnunca con la primera página, o el primerfolio. Esto no sucedería si las páginas delvolumen se correspondieran con losnúmeros naturales porque aunque infi-nitas siempre habría una que sería la pri-mera y otra que sería la última. Si toma-mos un intervalo de números naturales[m, n], donde m representa la portadadel libro y n la contraportada, la prime-ra hoja será m+1 y la última, n–1.

Un lectormatemáticoseguramente

tendrála impresión

de haberse topadoantes,

y muy a menudo,con algún objeto

semejante alque protagoniza

la historia.

Lo queme interesa

es verqué conjunto

numéricose ajusta

al ejemplarborgiano.

86

En cambio en Q, el conjunto de losnúmeros racionales, sí que se da esaextraña imposibilidad. En Q no sepuede elegir el primer elemento de unintervalo abierto de números racionales.Si suponemos que x es el primer núme-ro racional del intervalo abierto (0, 1)nos encontramos con la sorpresa de quex/2 es otro número racional que le pre-cede. Sucede pues igual que en el libro.Si sus hojas están numeradas con núme-ros racionales y [p, q] es el intervalo quelas representa (p es la portada y q lacontraportada) resulta que siempre seinterpone alguna hoja entre p y cual-quier p+r por pequeño que sea r. Dehecho, no sólo una, sino infinitas:

p+r/2, p+r/4, p+r/8, …, p+r/2n, …

Los números reales también poseen estapropiedad, pero si Borges hubiera que-rido expresar con más claridad que laspáginas se correspondían con ellos qui-zás hubiera dado alguna indicación másexplícita, como por ejemplo decir quealguna de las páginas del libro portabala cifra π, e, o √2

—. Lo cierto es que no

da pie a pensar en eso ya que todos losnúmeros explícitamente mencionadosen el texto son naturales.

El rasgo diferencial entre los cardinalesde R y de Q es la numerabilidad. R noes numerable; Q, sí. Que un conjuntosea numerable quiere decir que sus ele-mentos, pese a ser una infinidad, sepueden contar igual que contaríamoslos de un conjunto finito: 1, 2, 3, 4, 5, ...Y contar significa establecer una corres-pondencia 1-1 entre N y los elementosdel conjunto en cuestión. Puesto que Qes numerable, además de compartir elmismo cardinal infinito, comparte conN el carácter de su infinidad, una infi-nidad contable. El infinito de R es deotro tipo porque no se puede contar.

¿Será que las páginas del libro obedecenentonces a un talante de tipo real? Tam-poco. En tal caso el libro no se podría niabrir porque abrirlo significaría cortarlo:los reales forman el llamado continuo,no hay resquicios entre sus puntos.

Q es el conjunto que se ajusta al Librode arena.

La infinidad es también responsable de transmutar unhecho corriente y banal, como hojear un libro y fijarnospor un instante en una de sus páginas, en todo un acon-tecimiento debido a la nula probabilidad de dar con lamisma página al abrirlo de nuevo:

Fue entonces que el desconocido me dijo:

—Mírela bien. Ya no la verá nunca más.

Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz.

Me fijé en el lugar y cerré el volumen. Inmediatamente lo abrí. Envano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja.

La primera idea que nos pasa por la cabeza al quererdemostrar que los elementos de un conjunto tienen unadeterminada propiedad es observar si todos, mirándolosuno por uno, la poseen. Trabajo razonablemente aplicablea los conjuntos finitos de cardinal pequeño, pero del todoabsurdo en el caso de un conjunto infinito:

Comprobé que las pequeñas ilustraciones distaban dos mil pági-nas una de otra. Las fui anotando en una libreta alfabética, queno tardé en llenar. Nunca se repitieron.

Enseguida uno se da cuenta de lo inapropiado del proce-so. No tiene fin porque de algo que no sucede en veintemil casos no podemos inferir que nunca se repetirá. Si unconjunto es infinito y conocemos la ley generadora de suselementos o la propiedad que los caracteriza es esta ley opropiedad la que hemos de atacar en nuestra demostra-ción. N es un conjunto generado por una ley inductiva yes mediante demostraciones por inducción como se con-siguen muy buenos resultados.

El nuevo dueño, convencido del prodigio, se ve obligadoa aceptar la existencia de un objeto que minutos anteshubiera tildado de imposible. La insólita y palpable realidad

Q

es el conjuntoque se ajusta

alLibro de arena.

87

del libro transmuta en irreal el universo a su alrededor,todo lo que hasta este momento él había tomado incons-cientemente por realidad común. Realidad e irrealidadpermutadas:

De nada me sirvió considerar que no menos monstruoso era yo,que lo percibía con ojos y lo palpaba con diez dedos con uñas.Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena quecorrompía la realidad.

En la vida que llamamos real a menudo nos cuesta creercosas y hechos que vemos, sentimos o padecemos.Entonces expresamos nuestra incredulidad diciendo quelas cosas no pueden ser así, rechazamos la súbita realidad:

—Esto no puede ser.

—No puede ser, pero es.

Nos cuesta aceptarla. Y más si somos conscientes de laambigüedad del término existencia: cuando los matemáti-cos dicen que algo existe no lo hacen en el mismo senti-do que un filósofo o un biólogo, aunque los objetos delprimero no sean tan tangibles y palpables como los delsegundo2. La existencia matemática es potencial como lade los números y el libro de arena constituye un buenejemplo de ello: ¿qué me resulta más difícil como mate-mático, aceptar la existencia de semejante libro o la de unpunto fijo para toda aplicación continua del intervalo [0, 1]en sí mismo?

Aceptar la nueva realidad supone para el comprador delrelato un esfuerzo, una especie de acto de fe, al que noestá acostumbrado. Un acto que nadie dudaría en calificarcomo propio de los campos menos rigurosos de la cultu-ra, impropio de una persona valedora de un juicio sano yobjetivo. Pero tengamos presente que a pesar del prestigiodel reino del rigor y de la objetividad del que disfrutan,también en el mundo matemático se hacen actos de fe.Sirva como ejemplo el axioma de elección. Si lo aceptaspuedes seguir adelante y hacer grandes Matemáticas; de locontrario, gran parte de las Matemáticas desaparecen odeberían ser revisadas y puedes pasar a engrosar las listasdel paro.

Siento un poco de alivio, pero no quiero ni pasar por la calleMéxico.

El cabello de plata

Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena porque ni ellibro ni la arena tienen ni principio ni fin. (J. L. Borges)

La línea consta de un número infinito de puntos; el plano,de un número infinito de líneas; el volumen de un núme-ro infinito de planos; el hipervolumen, de un número infi-nito de volúmenes… Si antes al menos lo creía así, ahora

lo dudo. Pero no es ésta la mejor mane-ra de iniciar mi relato. Asegurar que esverídico sería caer en la tradición decualquier relato fantástico; el mío, sinembargo, lo es.

Yo no vivo solo, pero lo estaba cuandouna tarde, hace unos meses, sonó el tim-bre de casa. Abrí y entró un desconoci-do. Era un hombre alto, de rasgos impre-cisos. No soy miope, por tanto no fueculpa de la miopía que yo los viera así.Todo su aspecto era de pobreza decente.Iba de gris y traía una valija gris en lamano. Enseguida sentí que era extranje-ro. Al principio lo creí joven; despuésadvertí que me había engañado su peloaviejado, como rubio. En el curso denuestra conversación, que no duraríauna hora, supe que procedía de las Órca-das. Mientras hablábamos no podía qui-tarme de la cabeza la idea de que ya noshabíamos visto antes en algún otro lugar.

Le señalé el sofá. El hombre tardó unrato en hablar. Exhalaba melancolía,como yo ahora.

—Ya no vendo biblias –me dijo.

No sin pedantería le contesté:

—En esta casa no hallará ninguna, asíque como puede ver ha venido al lugarapropiado.

Al cabo de un silencio me contestó.

—No vendo biblias, pero puedo mos-trarle algo que tal vez le interese. Loadquirí en los confines de Amritsar.

—¿En Amritsar? Hace algunos años estu-ve allí. Quizás fue ese el lugar donde levi por primera vez.

—No sé. Para serle sincero tambiénusted me recuerda a alguien, aunque aalguien más viejo, cosa extraña y deltodo imposible. Pero no me haga caso,tal vez rememore en usted a un antiguocliente. De un tiempo a esta parte soyincapaz de afinar bien mis recuerdos.

Abrió la valija y la dejó sobre la mesa.Era un estuche largo y delgado, forradode cuero y tela. Sin duda había pasadopor muchas manos.

—¿Se trata de un taco de billar o de unflorete? Mucho me temo que tiene que

En la vidaque llamamos real

a menudonos cuesta creercosas y hechos

que vemos,sentimos

o padecemos.Entonces

expresamosnuestra

incredulidaddiciendo

que las cosasno pueden

ser así,rechazamos

la súbitarealidad…

88

2 ¿Debería decir tal vez: másirreales que los del segundo?

ser difícil encontrar algo así en la ciudadde la que me habla –le dije.

Lo abrí. En efecto se trataba del estuchede un taco, pero no era un bastón loque se alojaba en el surco de terciope-lo. Un hilo brillante y rectilíneo colma-ba toda su longitud. Pensé que al coger-lo conservaría la tensión, pero cuandolo pellizqué para sacarlo del hueco mesorprendieron su docilidad, casi líquida,y su extrema finura que lo hacía apenasvisible. Colgado de mi índice gravitólacio como lo haría una cadena deincontables y diminutos eslabones, peroal recorrerlo de punta a punta las yemasde mis dedos no percibieron en él nin-gún enlace. Nunca habría podido imagi-nar que algo tan liviano y sutil pudieracomportarse así. Me preguntaba quépodía ser. Para decir alguna cosa apunto estuve de manifestar que era unacuerda de guitarra, pero en el últimoinstante me acordé de su origen y mecorregí:

—¿Una cuerda de sitar?

—Podría decirse así.

—Bueno, si no lo es no sé qué otra cosapuede ser.

—Un cabello. Fíjese en el material.

Me acerqué el hilo hasta que los ojosdesenfocaron la mirada. Era tan pocotangible que no podía decidir si era decrin, de tripa o de acero. Perplejo, se lopregunté:

—Lo llaman el cabello de plata aunquenadie sepa con exactitud si lo es.

—Tal vez mirándolo por un microsco-pio.

Sonrió y bajó la mirada como quien hade repetir una historia por enésima vez:

—Ya lo examinaron en Delhi.

—¿Y qué vieron?

—Lo mismo. Se supone que las lentestenían que aumentar su grosor mas elcabello permaneció igual.

¿Me estaba tomando el pelo? En cual-quier caso conviene andarse con ojo contodo lo procedente del subcontinente.

—¿Me permite afinarlo?

Me respondió con un gesto y una sonrisa burlona que enaquel momento no supe interpretar.

Sustituí la prima de mi guitarra por aquel cabello nuncavisto y giré la clavija para afinarlo. De reojo le veía que meobservaba y tuve la impresión de que yo no era el prime-ro en vivir aquella escena. Su cara reflejaba la paciencia yresignación propias del conocedor del desenlace. Cuandome pareció que la cuerda estaba un poco más tirante medecidí a pulsarla. La nota que emitió fue grave, lánguida,un lamento claro y limpio. Fue entonces que el descono-cido me dijo:

—Escúchela bien. Ya no la oirá nunca más.

Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz.

Al pulsarla de nuevo sonó más grave aún, efecto habitualen las cuerdas nuevas o en desuso. Tenía que afinarlaenseguida si no quería olvidarme de la primera. Fue enbalde. Cuanto más creía que me aproximaba al sonidoanterior notaba o bien que el color no era el mismo o bienque no había acertado con precisión suficiente el grado detensión. El error cometido era muy pequeño, menor queun octavo de tono, pero a pesar de oírlo me resultaba deltodo imposible corregirlo. Entre tanto, el sonido primige-nio empezaba a evaporarse de mi mente. Enfadado, giré ygiré la clavija sin parar. Sólo me detuve minutos después,cuando un nido enorme se había formado en el clavijero.Mientras tanto la cuerda apenas mostraba signos de haber-se tensado. Para ocultar mi desconcierto, le dije:

—¿Se trata de una cuerda mágica?

—No, simplemente es así. Por mucho que la estire nologrará romperla.

—¿Y si la corto?

—No importa. Entonces cada pieza heredará la misma vir-tud. Puede hacer seis cuerdas de este cabello para vestirsu guitarra. ¡Qué digo seis, tantas como quiera!. Aunque locorte en pelillos de un milímetro estos poseerán la infini-ta elasticidad del cabello entero.

Luego bajó el tono de voz como para confiarme un secreto:

—Lo adquirí en un pueblo de las montañas, a cambio deunas rupias y de la última de mis biblias, la de Wiclif enletra gótica. Su poseedor no sabía tocar. Supongo que enel cabello vio una reliquia. Me contó que perteneció a ungurú sij que había alcanzado la iluminación. Lo llamaba elcabello de plata, porque los sijs llaman the silver cord a laconexión más delicada y sutil que une el cuerpo físico conlos planos superiores del espíritu. Sólo cuando morimos serompe. Por lo tanto su vida es tan breve o larga como lade nuestro cuerpo. Algunos maestros indios son capacesde abandonar temporalmente su cuerpo y adoptar otrosestados de consciencia. Es el cordón de plata el que losmantiene ligados al mundo, gracias a él pueden ir y veniruna y otra vez sin que importe la distancia a la que se

Un hilobrillante

y rectilíneocolmaba

todasu longitud.

—Lo llamanel cabellode plata

aunque nadiesepa

con exactitudsi lo es.

89

halle el plano espiritual que visitan porque el hilo puedeestirarse a voluntad y sin límite.

—Esto no puede ser.

—No puede ser, pero es. Si quiere puede quedarse aquísentado en su sofá con un extremo del cabello entre losdedos. Yo me iré con el otro extremo hasta donde quiera.Podría dar la vuelta al planeta y encontrarme de nuevoaquí con usted sin que el cabello apenas hubiera aumen-tado su tensión.

—Usted es religioso, sin duda.

—Sí, soy presbiteriano. Mi conciencia está clara. Estoyseguro de no haber estafado al nativo cuando le di la pala-bra del señor a trueque de su pelo diabólico.

Le aseguré que no tenía nada que decir al respecto y le pre-gunté si estaba de paso por estas tierras. Me respondió queen unos días pensaba volver a su patria. Fue entonces cuan-do supe que era escocés, de las islas Órcadas. Le confeséque a Escocia yo ni la conocía ni le tenía especial estima.

Mientras hablábamos mis dedos seguían explorando yjugando con el cabello elástico. Con falsa indiferencia lepregunté:

—¿Usted se propone ofrecer este curioso ejemplar a unmuseo?

—No. Se lo ofrezco a usted –replicó, y fijó una suma ele-vada.

—¿Por qué a mí?

—La naturaleza del objeto así lo requiere: usted es músi-co y matemático. Por eso he venido.

—¿No será usted de los que opinan que ambas disciplinasestán estrechamente ligadas, verdad?

—Perdone que le corrija. Yo diría íntimamente ligadas.

—Tanto da. Yo no lo creo así.

—Entonces vive usted, perdóneme el atrevimiento, en unabsurdo.

—Posiblemente, pero ello me concede el privilegio deopinar con lo que se llamaba antes conocimiento decausa. Reconozco que las bases de la música se cimientanen un tipo de estructura susceptible de ser estudiadodesde un punto de vista abstracto o matemático. No esnada del otro mundo pues ocurre con la mayoría de lascosas. Incluso admito que partiendo de estas bases estruc-turales pueden componerse obras maestras. Pero al hacer-lo así el compositor trabaja los sonidos como un herreroen su fragua, como un científico en su laboratorio y no menegará que es otra la esencia de la música.

—Acaba de explicarse a sí mismo el motivo de mi visita.

Le contesté, con toda sinceridad, que agradecía su consi-deración, pero que la cantidad exigida era inaccesible para

mí y me quedé pensando. En pocosminutos había urdido mi plan.

—Le propongo un canje –le dije–. Ustedobtuvo ese ejemplar por unas rupias ypor su última biblia; yo le ofrezco elmonto de mi sueldo, que acabo decobrar, y dos libros: la Astronomía deJosé Comas Solá del año 57, el libro queme incitó a iniciarme en el estudio de lamatemática, y el Liber Embadorum deAbraham bar Hiyya Ha-Nasi, la primeraálgebra escrita en Europa por el mate-mático y astrónomo barcelonés del sigloXI. No puedo ofrecerle ejemplares másapreciados.

—El mejor regalo es el que más nosduele hacer –murmuró.

Fui a buscarle el dinero y los libros.

—Trato hecho, pero guárdese el dinero–me dijo.

Me asombró que no regateara y que searrepintiera de haberme pedido dinero.Más tarde comprendí que había entradoen casa con el ánimo de desprendersedel cabello.

Charlamos de la India, del encanto deOriente y de los cambios económicos ysociales que allí se avecinan. Era ya denoche cuando se marchó. No lo hevuelto a ver ni sé su nombre, pero estoyseguro de haberlo visto o leído antes enalgún lugar. Al despedirse tuve la certe-za de que él también lo sabía.

Me acosté y no pude pegar ojo. A lastres o las cuatro de la madrugadaencendí la luz y examiné otra vez elcabello. Había en él algo que me resul-taba conocido, familiar. Estuve dándolevueltas al coco durante un buen ratohasta que al fin cayó: el continuo. Unescalofrío me subió por el espinazo. ¿Eraposible que aquel cabello casi imper-ceptible fuera un pedazo de recta real?¿Quién había bautizado como reales losnúmeros menos tangibles? ¿Quizás fuealguien que conocía la existencia deobjetos como el que yo acababa deobtener? Sin duda soñaba. Tenía queestar soñando. Me mordí el labio inferiorhasta sangrar. Me acordé de El Libro deArena. ¿Quién sabe si Borges mintió y niel vendedor ni el libro existieron nunca

¿Era posibleque aquel

cabellocasi imperceptiblefuera un pedazo

de recta real?¿Quién había

bautizadocomo realeslos números

menos tangibles?¿Quizás

fue alguienque conocíala existencia

de objetoscomo el queyo acababade obtener?

90

fuera de su imaginación? Igual que losobjetos matemáticos siempre habíanexistido en las mentes de sus pensado-res. Pienso, luego existo, dijo el filósofo.Y lo que pienso, ¿también existe? Si escierto, entonces puedo ser un pensa-miento y existir en la mente de alguien.¿Cómo distinguirme de ese otro yo pen-sado? Círculos ruinosos que encierran ycobijan la locura. ¿Seguro que no estabasoñando? ¿Estaba convencido de que lasangre que manaba de mi labio no erasoñada? Pero alguien me había visitadoy vendido el cabello. De esto no cabíaduda porque poseía una prueba pormuy extraña que fuera. Al fin y al cabono debería sorprenderme de ver cosascomo aquella acostumbrado como esta-ba a convivir a diario con espacios deBanach, grupos de Lie, geometrías deLobachevsky, conjuntos de Mandelbrot yotros monstruos. Al revés, debería estarcontento de toparme al fin con un ejem-plar vivo de aquellas abstracciones. Paséen vela el resto de la noche, pensando:

Se acostumbra a representar R comouna recta, un segmento para ser preci-sos, de puntos que se suponen ínfimos ybien enganchados los unos con los otros,sin resquicios:

tiza, pincel, lo que sea, recorre una longitud de un extre-mo al otro de la hoja, mesa, pizarra o cualquier superfície.Al trazar el segmento la punta del instrumento pasa pormuchos puntos de los infinitos que también forman el áreadónde se escribe, y los señala de manera ordenada, unotras otro. Si hemos de ser sinceros hemos de reconocer querepresentando R de esta manera nos hacemos la idea deque ¡dibujamos N de forma que no quede ningún espacioentre los números que lo forman! Prueba de esto es la sor-presa que tenemos al efectuar las ampliaciones menciona-das. Si hago un gráfico de N, por muy juntos que coloquesus puntos, al ampliar una parte, ésta mostrará espaciosentre ellos:

Y lo que pienso,¿también existe?

Si es cierto,entoncespuedo ser

un pensamientoy existir

en la mentede alguien.

¿Cómodistinguirmede ese otro yo

pensado?

…deberíaestar contento

de toparmeal fin

con un ejemplarvivo

de aquellasabstracciones.

91

R

R

[0, 1]

¿Es ésta una imagen adecuada de R? Almirar este segmento, ¿de qué manerapensamos en él? Cuando vemos un seg-mento nos lo imaginamos como unahilera de puntos bien dispuestos. Tanminúsculos y pegados que si hacemosuna ampliación de algún trozo dedicho segmento tendremos exactamentela misma visión:

¿De verdad podemos imaginar que porgrande que sea la ampliación el seg-mento no cambiará de aspecto? Paradibujar segmentos el lápiz, bolígrafo, Figura 1

X

Yx = 1

x = –1

No así en R. Una imagen más apropiada para él sería lade una cinta elástica. Un elástico puede aumentar o dis-minuir su longitud sin perder ni adquirir punto alguno.Aún así el elástico Real es un poco especial: puede estirar-se a voluntad hasta el infinito sin perder grosor (porque nolo tiene) ni romperse. Difícil imaginárselo, pero fácil deprobar porque mediante la función

el intervalo (-1,1), un pedacito del continuo, se estiraindefinidamente:

f R

x f xx

x

: (– , )

( )–

1 1

1 2

Æ

Æ =

1 10 100

[1, 100]

N

Cualquier parte de N posee un primer elemento, entre dosnúmeros naturales consecutivos (he aquí el quid de lacuestión) no hay otro. Así el número natural más pequeñodel intervalo (1, 100), el menor de todos ellos es el 2. Noocurre lo mismo ni tan siquiera con los racionales. ¿Cuáles el menor número racional del intervalo (0, 1)? No lopodemos ni nombrar porque si le llamamos A resulta queA/2 aún es un racional más pequeño: tenemos una con-tradicción que proviene de suponer su existencia.Pensemos en una cinta elástica sostenida entre dos puntos:tampoco tiene primer elemento dado que siempre puedeestirarse un poquito más y aquel que antes parecía ser elprimero se ha alejado ahora del extremo. Por desgracia lascintas elásticas llegan a romperse si se las tensa demasia-do, en cambio R, como el cabello de plata, no. En el grá-fico anterior se ve de hecho cómo mediante la función f seha deformado el segmento-intervalo (-1, 1) hasta transfor-marse en la curva.

Otra dificultad a la hora de visualizar los conjuntos denúmeros como R, R2, R3, etc. es que éstos representan laesencia espacial en el mundo de las matemáticas y estamosacostumbrados a ver el espacio siempre colmado de mate-ria. Al pensar en un cubo muy probablemente nos haremosla idea de una caja vacía, de paredes finísimas y transpa-rentes, ¿pero está realmente vacía?, ¿no contiene nada?, ¿niaire siquiera? Todo lo que vemos en el mundo es visible porla materia que contiene, es ésta la que le da forma. Comovisualización del espacio serviría un cubo cuya ilimitadadocilidad le permitiera ser deformado en cualquier direc-ción, como el segmento que representaba R, y hueco porcompleto, lleno de nada: una bolsa que cuando se vacíano ocupa lugar alguno, pero en la que cabe todo elUniverso gracias a su ilimitada elasticidad.

No hemos de imaginarnos R como unahilera tupida de puntos suspensivos. Nolo es.

No mostré a nadie mi tesoro. Al goce deposeerlo se agregó el temor de que lorobaran, y después el recelo de que elcabello no fuera infinitamente elástico.De noche, durante los breves intervalosque me concedía el insomnio, soñabacon él. Soñaba que ataba un extremo auna pata de la mesa del comedor, salíade casa con el otro en la mano y corríacalle abajo hasta quedar sin resuello. Elcabello no mostraba indicios de tensión.¿Era que se había desatado del otrolado? Volvía atrás y habiendo compro-bado que no era el caso me despertabaempapado de sudor.

No quería ser la víctima de mis inquie-tudes ni sentirme ligado a aquella cuer-da de afinación imposible. Recordéhaber leído que el mejor sitio para ocul-tar una hoja es un bosque. Aprovechéuno de los lapsos de insomnio para per-derlo en la frondosa cabellera de miamada. No encendí la luz ni traté deescudriñar entre las sombras qué jironeslo habían alojado. Por la mañana coin-cidimos en el baño. Ella se quejó:

—¡Vaya! Me ha salido otra cana.

Sin mirarla, le dije:

—Ya lo sé. Es preciosa.

…y despuésel recelo de

que el cabellono fuera

infinitamenteelástico.

92

Miquel AlbertíIES Pau Vila

Sabadell (Barcelona)

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Se ruega a los suscriptores y a los socios de la Federación que para cualquier comunicación sobreenvío de ejemplares atrasados, reclamaciones, suscripciones… se haga por correo, fax o mail.No se podrán atender este tipo de comunicaciones por teléfono.

ACE, aproximadamente, un año la Federación Española de

Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) creó su

Servicio de Publicaciones y designó, después de una con-

vocatoria pública entre sus socios, a Ricardo Luengo Gon-

zález como responsable del mismo.

Ricardo Luengo es Doctor en Matemáticas y Catedrático de

Escuela Universitaria del área de Didáctica de la Mate-

mática de la Universidad de Extremadura, en cuyo ICE ha

sido Jefe de División de Investigación y responsable de

Publicaciones, así como Director de la Escuela de Magis-

terio de Badajoz.

Posee una amplia experiencia docente tanto en la Enseñan-

za Media, como en la Universidad y ha impartido un gran

número de cursos de formación para el profesorado y ha

participado en más de sesenta congresos y jornadas nacio-

nales e internacionales presentando ponencias y comuni-

La FESPM ha creado suServicio de Publicaciones y

ha designado a RicardoLuengo responsable del

mismo.En esta entrevista RicardoLuengo habla sobre este

importante proyecto de laFederación, desgranando sus

ideas sobre las múltiplesfacetas y detalles de su

nuevo cometido.

93

Ricardo Luengo: Secretariodel Servicio de Publicaciones

Emilio Palacián

ENTREVISTA

H

36

febrero 2001, pp. 93-100

Ricardo Luengo

caciones y pronunciando en algunos de ellos conferenciasplenarias.

El campo editorial no le es ajeno, pues además de habersido, como ya he señalado, responsable de las Publica-ciones del ICE de Extremadura y de haber escrito él mismomás de una docena de libros y de medio centenar de artí-culos ha sido miembro fundador y director de la Revistade Investigación y Docencia Campo Abierto y pertenece avarios comités de redacción de revistas de educación deámbito nacional.

Es presidente de la Sociedad Extremeña de EducaciónMatemática «Ventura Reyes Prósper» desde su fundación en1990 y en los últimos años, vicepresidente y presidente,sucesivamente, de la Federación Española de Sociedadesde Profesores de Matemáticas.

Éstas son algunas pinceladas del perfil profesional deRicardo Luengo que en modo alguno pretenden ser, nisiquiera, una síntesis de su currículum que, con ser muyimportante, queda oscurecido por sus características per-sonales. Ricardo es una persona comprometida con susideas y coherente con ellas, tenaz, trabajador, dialoganteen extremo, nada dogmático, con un gran sentido delcompañerismo y de la amistad, dispuesto a colaborar conquien sea… en definitiva, como dicen ahora nuestrosalumnos, es «una persona legal».

Pues con él vamos a hablar del Servicio de Publicacionesde la Federación que ha comenzado a andar. Esta conver-sación está hecha de forma poco ortodoxa, en parte a tra-vés del correo electrónico y en parte en el transcurso delos descansos que tuvimos en la última Junta de Gobiernode la Federación.

—Una primera pregunta previa y personal, ¿por qué te hasmetido en este «tinglado» del Servicio de Publicaciones?

—Porque creo que es necesario que exista este servicio,que por otra parte tienen algunas sociedades. Yo teníaexperiencia como coordinador de las publicaciones delICE de mi Universidad y dejaba el cargo de Presidente deFESPM, por lo que quedaba más libre y algunos compa-ñeros me animaron a presentarme al concurso convocadopor FESPM en SUMA, presenté mi proyecto y la Junta deGobierno de FESPM lo aprobó y me otorgó su confianza.

—En la actualidad, y a diferencia de tiempos pasados,existen iniciativas privadas que editan un número apre-ciable de títulos dedicados a las matemáticas, a su ense-ñanza, a su divulgación, etc. Estoy pensando, por ejemplo,en Síntesis, Proyecto Sur, Nivola, Rubes, Graò, ¿aún hayespacio para que la Federación se lance a publicar?

—Es cierto que existen iniciativas privadas que editanlibros de matemáticas, divulgación y enseñanza de lasmatemáticas, pero existen libros que nunca podrían sereditados por la iniciativa privada, porque interesan a un

reducido número de personas y no esrentable su edición. Y, sin embargo, sonlibros muy interesantes para los profe-sores y para la contribución de la mate-mática a la cultura. La matemática formaparte también de la cultura, como la his-toria o el arte y otras materias. Si la ini-ciativa privada no lo puede hacer ten-drán que hacerlo las instituciones públi-cas y los colectivos directamente intere-sados en que estos documentos seaneditados; de lo contrario se perderán y,en mi opinión, tenemos todos el deberde contribuir a que no se pierda nuestropatrimonio matemático. Es grande elhueco que deja la iniciativa privada y esgrande también la tarea que tenemospor delante.

Lo ideal sería, y de hecho se estáhaciendo en la medida de lo posible,aunar los esfuerzos de la iniciativa pri-vada y la pública. En el proyecto de laFESPM está contemplada esta colabora-ción entre nuestro servicio y la iniciativaprivada y, de hecho, estamos conver-sando con editoriales comerciales con elfin de que esta colaboración se materia-lice en realizaciones concretas.

—¿Cuál es la filosofía general del

Servicio de Publicaciones de la Federa-

ción?, ¿cuáles son sus objetivos?

—El Proyecto de SP sintoniza en su filo-sofía general, en sus fines y objetivoscon lo que marcan los estatutos de laFESPM. La elaboración del Proyecto sehizo después de la reforma de estatutosy está por tanto totalmente adaptado alos mismos.

De acuerdo con los fines de FESPM, elSP tiene una doble tarea: por una parte,la de publicar los documentos (en cual-quier formato, no sólo libros) que porsu calidad y utilidad para los profesoresmerezcan no perderse y pasar a formarparte de nuestro patrimonio culturalmatemático, poniendo esta documenta-ción a disposición de nuestros asocia-dos y de los profesores en general.

Por otro lado, no olvidemos que FESPMagrupa sociedades. Algunas tienen suservicio de publicaciones propio y estánhaciendo desde él una gran labor, pero

La matemáticaforma parte

tambiénde la cultura,

como la historiao el arte

y otras materias.

…tenemos todosel deber

de contribuira que no se pierda

nuestropatrimonio

matemático.

94

otras no disponen de este servicio (ypor su tamaño y circunstancias no esprevisible que lo puedan tener) por loque no poseen un cauce para canalizarsus iniciativas. Ese cauce lo puedenencontrar en el SP de la FESPM. Ademáses conveniente no duplicar esfuerzos (ytambién sumarlos) para abordar otrosproyectos, por lo que en el ConsejoEditorial están los responsables de losSP de las sociedades para lograr esalabor de coordinación.

—¿Qué tipos de libros se van a editar?

¿hay colecciones previstas?

—En cuanto a qué publicaciones se vana editar, quiero hacer la puntualizaciónde que no sólo se contempla editarlibros. Sin desdeñar la publicación enpapel, debemos estar abiertos a otrossoportes de futuro (vídeo, CDROM,DVD, publicación directa en Internet,etc.), lo cual ya se está haciendo porparte de las sociedades (recordemos lasactas de las JAEM de Lugo en CD-ROM,entre otros casos).

Una primera «fuente» de publicacioneses la documentación y conclusiones quegeneran las actividades propias de laFederación (Olimpiadas Nacionales,Debates, Seminarios, Documentos detoma de posición de FESPM frente aproblemas generales del Estado relati-vos a la Enseñanza de las Matemáticas,Guías de Exposiciones de la Federaciónetc.). En este sentido, tenemos una asig-natura pendiente como es la publica-ción de las actas de las JAEM deCastellón, hueco que vamos a llenarpara completar toda la colección de lasJAEM, porque creemos forma parte delpatrimonio de la FESPM.

Sería interesante también editar publica-ciones dirigidas a la formación delprofesorado en Educación Matemática.(libros y documentos relativos a temastanto de actualización en Matemática,como de Didáctica de las Matemáticas).

Podríamos editar asimismo publicacio-nes de autores extranjeros traducidos alcastellano, que se consideren de muchaimportancia en el ámbito de la Educa-ción Matemática, y que traten de paliar

la dificultad que tiene la mayoría de los profesores espa-ñoles para leer las obras originales en otros idiomas dis-tintos al castellano.

También podrían publicarse materiales curriculares y uni-dades didácticas generadas por los propios profesores deaula, con la calidad adecuada, quizá mediante la resoluciónde concursos convocados al efecto por la propia FESPM.

En todo caso, deberíamos hacer publicaciones dirigidasal público en general, dirigidas hacia la popularizaciónde las Matemáticas, que ayudaran a los profesores a rea-lizar esta tarea.

Recoger nuestro patrimonio histórico-cultural matemáticodebe ser otra de nuestras preocupaciones y publicar obrasinéditas de autores matemáticos españoles, reediciones delas ya publicadas, u obras de otros autores que versensobre nuestros matemáticos.

La investigación que se está produciendo hoy en día en elcampo matemático y en el de la Didáctica de la Mate-mática debe proyectarse sobre la práctica docente, losavances que se produzcan deben llegar al aula, por ellosería interesante publicar (quizá en colaboración condepartamentos, ICE, SEIEM, etc.) investigaciones o resú-menes de investigaciones que sean de aplicación directa ala docencia o que den ideas potentes que puedan ser lle-vadas al aula.

Quizá fuera bueno publicar un Handbook anual que reco-giera un conjunto de los mejores trabajos generadosdurante ese año en Educación Matemática, dando entradaa trabajos de profesores extranjeros de prestigio, pero conal menos un 60% de trabajos de autores españoles.

Por supuesto, debemos hacernos eco de los eventos oca-sionales importantes y hacer la contribución de FESPM aellos. Por ejemplo, publicaciones relativas a la conmemo-ración del año 2000 como año internacional de las Mate-máticas, La Educación Matemática en el siglo XX, La Edu-cación Matemática ante el cambio de milenio, prospectivade la Educación Matemática para la década del 2000, parael siglo XXI, etc.

En todo caso hay que estar abierto a las futuras demandasy necesidades sentidas por el profesorado, que podrán sercolmadas mediante las correspondientes publicaciones

—Una de las tareas difíciles de un editor consiste en laelección de títulos, ¿cómo se van a seleccionar? Me figuro,bueno lo sé, que hay un comité de redacción, ¿quién loforma y cómo funciona?

—Efectivamente, creo que esa es una labor difícil y demucha responsabilidad. Afortunadamente no recae sólosobre una persona.

Tengo que explicar primeramente que el SP no es un«organismo autónomo», es un servicio de la FESPM, su res-ponsable es un «secretario de publicaciones» vocal de la

Una primera«fuente» de

publicaciones esla documentación

y conclusionesque generan

las actividadespropias

de la Federación…

Tambiénpodrían

publicarsemateriales

curricularesy unidadesdidácticasgeneradas

por los propiosprofesoresde aula…

95

Comisión Ejecutiva y ello implica que la primera depen-dencia es justamente de dicha Comisión Ejecutiva y enúltima instancia de la Junta de Gobierno de la Federación.

La Junta de Gobierno aprueba las líneas y criterios gene-rales de publicación y el proyecto de presupuesto anual.Todo ello constituye un marco de actuación dentro delcual nos debemos mover. Además las publicaciones con-cretas serán aprobadas por la Comisión Ejecutiva, atenién-dose a las líneas y criterios generales establecidos por laJunta de Gobierno y a propuesta del vocal secretario dePublicaciones.

No obstante, y en similitud con la revista SUMA, se cuen-ta con un Consejo Asesor Editorial. En él están integradosun representante de cada servicio de publicaciones exis-tente en las sociedades federadas, un representante deSUMA, el vocal de prensa y el vocal de Actividades y dosmiembros designados por la Junta de Gobierno de laFESPM. Sus funciones son de la mayor importancia porqueprepara las propuestas concretas que yo hago, como vocalde publicaciones, a la Comisión Ejecutiva y a la Junta deGobierno y hace los informes claves a la hora de la tomade decisiones por los órganos de Gobierno de la FESPM.

—Si un socio de la Federación dispone, por ejemplo, deunos buenos materiales de clase, o ha llevado a cabo unainvestigación que piensa que puede ser interesante paraotros colegas, o ha escrito una buena divulgación sobrecualquier tema, en definitiva, si alguien quiere publicaralgo en la Federación, ¿qué pasos debe seguir?

—La Junta de Gobierno de FESPM (en su sesión de 3 defebrero de 2001) ha aprobado un procedimiento para lapropuesta de publicaciones por parte tanto de las socie-dades, como de cualquier asociado, a FESPM. La propues-ta puede hacerse tanto por una persona física como poruna sociedad federada. En todos los casos deben dirigirlaal SP que recepciona la propuesta y la envía al ConsejoAsesor. El Consejo Asesor realiza el preceptivo informe yla Comisión Ejecutiva de FESPEM decide sobre la viabili-dad o no de la edición. Es conveniente que los propo-nentes nos hagan llegar todos los datos y condiciones queestimen oportunos, aunque si fuera necesario se le solici-tarían los datos adicionales pertinentes y se mantendríanlos contacto necesarios para ultimar las condiciones deedición.

El plazo quedó abierto desde el momento de su aproba-ción el pasado día 3 de febrero por lo que ya se puedenhacer propuestas de publicación.

—Hay sociedades federadas que ya disponen de un servi-cio de publicaciones, ¿qué tipo de relaciones van a existirentre los servicios de las sociedades y el de la Federación?

—Las sociedades con servicio de publicaciones estánhaciendo una gran labor y estamos en contacto con susresponsables. En fecha próxima vamos a tener un Consejo

de Publicaciones y allí estarán represen-tados estos servicios. Creo que las rela-ciones serán excelentes porque vamos apartir del respeto a su autonomía y a lalabor que están haciendo, y esa labordebe ser potenciada y coordinada. Hayque tener en cuenta que no son la «com-petencia», sino parte de nosotros mis-mos y cualquier éxito editorial que ten-gan es mérito suyo pero es un prestigiopara toda la Federación. Por eso pensa-mos que el SP de FESPM puede serbueno para todas las sociedades, paralas que tienen servicio de publicacionesporque serán potenciadas y para las queno tienen este servicio porque tendránun cauce para la coedición con el SP deFESPM. En resumen, debemos conside-rar que da prestigio y debe ser un orgu-llo para una sociedad federada que ensus publicaciones figure el respaldo y ellogotipo de la Federación.

—Un Servicio de Publicaciones, aunque

sea modesto, es evidente que no lo puede

llevar una única persona, ¿quién te

ayuda en ello? ¿Con qué infraestructura

inicial contáis?

—Se contempla en el proyecto unaSecretaría, que está integrada actual-mente por un tesorero, un asesor técni-co y otra persona que se ocupa de lastareas administrativas, de gestión, man-tenimiento de stock, envíos etc. El pro-blema es que somos todos socios quetrabajamos cada uno en su ámbito, muyocupados y que trabajamos en estostemas «por amor al arte» por lo que cadauno hace lo que buenamente quiere ypuede. Si el servicio cobra importanciay movimiento, vamos a necesitaralguien con mucha dedicación y encon-trar esto no es fácil. De momento esta-mos cubriendo los objetivos porque nosbasamos en la infraestructura y en laestructura y potencial humano de laSociedad Extremeña de Educación Ma-temática. Sin este apoyo no sería viableel servicio. Por eso me parece bien queel Servicio no sea «autónomo» y quedetrás de él haya el apoyo de una socie-dad federada, que ahora coincide ser laExtremeña, pero que en otra ocasiónserá cualquiera otra.

…pensamosque el SPde FESPM

puede ser buenopara todas

las sociedades,para las que

tienen serviciode publicaciones

porque seránpotenciadas

y para las queno tienen

este servicioporque tendrán

un caucepara la coedición

con el SPde FESPM.

96

—Tu primer «hijo» en el Servicio de

Publicaciones ha sido un facsímil de

Vera, Los historiadores de la matemáticaespañola, que, por cierto, ha quedado

precioso. Sé que tienes una cierta «vene-

ración» por tu paisano Vera; en un

momento en el que se está reivindican-

do, con toda justicia, algunos matemáti-

cos españoles, como Rey Pastor o Puig

Adam, ¿qué papel ha tenido Vera en la

matemática española?

—En realidad la publicación de Fran-cisco Vera ha sido fruto de la estrechalabor que hemos mantenido el profesorJosé M. Cobos y yo. Él es un gran espe-cialista en Vera (y ya ha publicado varioslibros suyos, me estoy acordando porejemplo de Evolución del pensamiento

científico editada por la Editora Regionalde Extremadura y otros) y ha coincididosu interés por este autor con nuestroproyecto de iniciar una colección titula-da «Recuperación del patrimonio mate-mático español». Esta colección va en lalínea que apuntabas de reivindicar, tam-bién yo creo que con toda justicia, lalabor de los matemáticos españoles;pero no sólo los más conocidos nacionalo internacionalmente (como los que hascitado), sino además los que tenemos encada región y de los que estamos tam-bién orgullosos, como es el caso deVera, Reyes Prósper, o Roso de Luna enExtremadura, como los hay sin duda enel resto de las regiones españolas.

En cuanto a la pregunta que me formu-las con respecto al papel de Vera en lamatemática española, voces mucho másautorizadas que la mía consideran aVera como uno de los más grandes his-toriadores de la Ciencia que ha habidoen España. Su obra es ingente, puesVera publicó más de 35 obras sobreMatemáticas, Historia de la Ciencia y Fi-losofía Científica. Fue un defensor acé-rrimo de los valores científicos hispáni-cos. Era un hombre polifacético (mate-mático, periodista, funcionario del Tri-bunal de Cuentas, filósofo y fundamen-talmente historiador de las ideas cientí-ficas), que se vio, como muchos otrosespañoles, perseguido por sus ideas.Fue republicano, masón y teósofo (por

influencia de Mario Roso de Luna) y sobre todo profun-damente liberal; aunque anticlerical, era tolerante y anti-dogmático. Fue condenado a muerte, por aquellos mismosque preconizaban la reconciliación, entre otras causas, porel crimen de haber escrito el código criptográfico del ejer-cito leal a la República. La caída de la República hace que,como muchos otros, Vera salga al exilio, pero… no voy acontar aquí su vida, los interesados pueden encontrar unresumen de su vida y obra en el prólogo del libro.

—En relación con la pregunta anterior, y para ahorrarnosuna recensión en SUMA, ¿podrías hacer un breve comen-tario sobre Los historiadores de la matemática española?

—La obra, Los historiadores de la matemática española,que se ha editado en facsímil está publicada originalmenteen 1935 y se trata de una conferencia que da Vera en elAteneo madrileño el 15 de febrero de 1935. Vera que yahabía publicado, en 1933, sus cuatro volúmenes de Histo-ria de la Matemática en España, hace un recorrido por lasaportaciones que los historiadores de la Matemática hanhecho a esta ciencia. No quisiera comentar más sobre ellibro sino animar a todos a que disfruten con su lectura.

—Piensas que en el futuro se podrían publicar otros facsí-miles de Vera, como los cuatro volúmenes de La historia dela Matemática en España, o las breves historias de la Mate-mática o la Geometría, que en su día publicó Losada y quehoy son libros difíciles de encontrar, incluso en las libreríasde viejo.

—Sería interesante hacerlo, tenemos acceso a los origina-les e incluso a material inédito. Pero el SP es un serviciode la Federación y no sólo de la Sociedad Extremeña de

Veraes uno de

los más grandeshistoriadoresde la Ciencia

que ha habidoen España.

Su obraes ingente,pues Verapublicó

más de 35 obrassobre

Matemáticas,Historia

de la Cienciay FilosofíaCientífica.

97

Educación Matemática y no sería adecuado dedicar lospocos recursos existentes sólo a autores extremeños. Haytambién otros autores oriundos de otras regiones españo-las cuya obra también debemos rescatar. Hemos empeza-do por Vera, ahora seguirán otros autores, pero no hayque descartar la posibilidad de volver en otra ocasión aeditar una de sus obras.

—Es obvio que un libro es un vehículo para expresar unas

ideas, del tipo que sean, y por ello es esencial el contenido

del mismo. Pero a los amantes del libro, entre los que creo

encontrarme y pienso que tú también, los libros nos gustan

también como objetos: el diseño, la maquetación, el tipo de

papel, la encuadernación, el tipo de letra, la corrección

tipográfica, sintáctica y hasta ortográfica son importantes.

Hoy día se editan libros preciosos, en matemáticas basta

pensar en los de Nivola, y otros desastrosos, que se caen de

las manos (evidentemente, no vamos a citar ejemplos).

¿Qué piensas de este aspecto formal de los libros?, ¿qué

importancia va a tener en los que edite el Servicio de

Publicaciones?

—Por supuesto pienso que lo primero es el contenido deun libro, sin ello no habría libro. Sin embargo, ocurrecomo con la pintura: un buen lienzo gana muchísimo sitiene un buen marco que lo realce. De la misma manerapienso que influyen mucho los factores que has citado. Yotambién me encuentro entre los amantes de los libros ypor eso hemos dedicado mucha atención y muchas horasa la edición de los dos libros editados por el SP hasta elmomento: El libro de Vera y el libro coeditado con laSociedad Extremeña Instrumentos y Unidades de Medida

tradicionales en Extremadura.

Tanto en uno como en otro la edición se ha cuidado almáximo. En este último, el libro presenta un formato ori-ginal, escrito a dos columnas (es una edición bilingüe cas-tellano-portugués) con inclusión de unas 100 fotografíasde gran calidad y a todo color y un papel de bastante cali-dad. En el caso del libro de Vera, hemos cuidado muchoel diseño en el que se han tenido que conjugar los ele-mentos que van a ser comunes y que identifican la colec-

ción con el logotipo de FESPM y con eltipo de edición (fascimilar) que debecontener, también en portada, elemen-tos procedentes de la edición original.Con todo se ha logrado un conjuntoarmónico, sobrio pero elegante. Elpapel es de suficiente gramaje y laspáginas superan ampliamente en lim-pieza a la edición original, gracias a losadelantos técnicos de los que dispone-mos hoy en día. Pero todo esto nohubiera sido posible sin la sensibilidad yla profesionalidad del personal deTecnigraf, que no ha regateado esfuer-zos, medios, ni tiempo hasta que la obraquedó a gusto de todos.

Pero creo que ha merecido la pena, yvamos a seguir así; estamos recibiendomuchas felicitaciones por la edición ycreo que hemos empezado a caminar,pero queda mucho camino por delante.

—El libro de Vera, al ser el primero edi-tado por el Servicio de Publicaciones, hasido enviado de forma gratuita a todoslos socios de la Federación. Pero, parececlaro que con el presupuesto que tiene laFederación esto no va a ser posible conlos siguientes libros que se publiquen.¿Cuál va a ser el procedimiento definanciación del Servicio?

—Considero que el SP es UN SERVICIOy no una editorial comercial, por lotanto deben de primar los criterios deutilidad, calidad y contribución a lacreación de patrimonio antes que losfines económicos. Esto no quiere decirque alguna publicación concreta puedaser rentable, algunas sociedades fede-radas tienen publicaciones que produ-cen beneficios económicos, pero no esla tónica general, ni lo que a mi juiciodebe de primar en nuestro Servicio.¿Quiere lo anterior decir que debe serun Servicio que cueste muy caro a laFESPM? Creo que no, se debe de bus-car que la publicación se autofinancie,y esto es posible asociándose a otraentidad (como las coediciones) ypidiendo por el documento a nuestrossocios el precio estricto de coste (y enalgunos casos menos si se consigueuna subvención mediante el conveniocon las otras entidades). Y hay entida-

…el SPes un servicio

y no una editorialcomercial,por lo tanto

deben de primarlos criteriosde utilidad,

calidady contribucióna la creaciónde patrimonio

antes quelos fines

económicos.

98

des públicas y privadas dispuestas aello (Consejerías Autonómicas, Univer-sidades, Cajas de Ahorro mediante suobra social, etc.). En principio, laspuertas a las que hemos llamado sehan abierto. La edición del libro deVera se financia en un 50% gracias a lasensibilidad hacia la recuperación delpatrimonio que tiene el Consejo Socialde la Universidad de Extremadura.

En resumen, y respondiendo a la pre-gunta que se me formula, hay que ir auna financiación múltiple con aportacio-nes por patrocinio de entidades públi-cas o privadas, convenios de coedición,derechos de publicidad y, naturalmentetambién, por financiación a través de losrecursos propios de FESPM. No se des-carta la venta de las propias publicacio-nes, para nuestros socios a precio decoste y para los no socios con unos pre-cios muy moderados tendentes a larecuperación de la inversión y no a lageneración de beneficios.

—Excepto en el caso de las editorialespotentes, el mayor problema que tiene elmundo editorial es el de la distribución ycomercialización, como tú bien sabes, yaque has sido responsable de las publica-ciones del ICE de Extremadura. Los alma-cenes de editoriales institucionales osemiinstitucionales están abarrotados delibros, en muchos casos muy interesantes,debido a este problema de distribución.¿Cómo lo va a afrontar tu equipo?

—Efectivamente ese es el mayor proble-ma de las editoriales comerciales y paranosotros es también un problema serioque hay que considerar. Sin embargo,tenemos una circunstancia que juega anuestro favor y es que la Federación tra-baja fundamentalmente para un públicomuy concreto e integrado en una estruc-tura (la de la propia FESPM y sus socie-dades) y la noticia de una ediciónpuede llegar con seguridad a toda lapoblación-objetivo (el conjunto de losaproximadamente 5.500 asociados enEspaña). Los canales de publicidad parallegar a esta población son la revistaSUMA (que reciben todos los socios) yla inclusión en la web de FESPM queconocen también nuestros socios. En

todo caso el alcance de la web es mucho mayor (se supo-ne que mundial) y por ello hemos decidido comenzar porahí y el Consejo Editorial analizará la marcha del procesoy pasado un tiempo prudencial se podrán establecer lascorrecciones oportunas. En cuanto al stock no nos produ-ce todavía agobio, dado que estamos comenzando, peroes evidente que habrá que planteárselo. En todo caso,vamos a tratar de ajustar el número de ejemplares a lademanda; en nuestro caso lo tenemos más fácil que unaeditora comercial por estar la población-objetivo muy defi-nida y localizada.

—¿Cómo piensas que aceptarían los socios de las distintas

sociedades un aumento de la cuota anual que pagan, por

ejemplo mil o mil quinientas pesetas más, y que esa canti-

dad fuese destinada al Servicio de Publicaciones de la

Federación con la contrapartida de recibir cada año, de

forma gratuita, dos o tres libros de los que se publicasen?

¿No se solucionarían de esta forma dos cuestiones a la vez:

la financiación y la distribución?

—Debo decir, que esta cuestión escapa a mis competen-cias y a las del Servicio. Sería una opción, desde luego,pero no la creo necesaria por el momento. Se ha plantea-do en la Junta de Gobierno de FESPM, creo recordar, perose vieron algunos inconvenientes: hay socios que perte-necen simultáneamente a dos o más sociedades, conve-nios de reciprocidad con otras etc. y se plantearían pro-blemas de doble recepción de los libros, doble aumentode cuotas y algunos otros problemas. Como responsabledel SP para mí sería lo más cómodo, pero como Presidentede una sociedad federada y como miembro de la Junta deGobierno de FESPM tengo que decirte que no sería fácil,al menos por el momento adoptar esta decisión.

—Cambiemos de tema, debido a tu gran experiencia en el

campo de la educación y a que conoces perfectamente el

funcionamiento de las sociedades y de la Federación, ya

que llevas bastantes años de presidente de la Sociedad

Extremeña y has sido vicepresidente y presidente de la

Federación, para terminar esta entrevista desearía hacerte

una pregunta: ¿cómo ves el presente y, sobre todo, el futu-

ro de la Federación?

—La Federación ha cambiado mucho en los últimos años.Ha cambiado su estructura y organización interna; ha habi-do un periodo de transición en el que los estatutos exis-tentes no servían ya de marco para nuestro funcionamien-to, debido sobre todo a la inclusión de nuevas sociedadesy a las circunstancias que atraviesa la educación en nues-tro país. Actualmente considero que ese periodo de adap-tación ha terminado, tenemos unos nuevos estatutos acep-tados por todos y una nueva estructura que está funcio-nando bien, en mi opinión.

La introducción en la sociedad española y en el sistemaeducativo de las nuevas tecnologías y de Internet ha faci-

La Federaciónha cambiado

muchoen los últimos

años.Ha cambiadosu estructura

y organizacióninterna;

ha habidoun periodo

de transición […]

Actualmenteconsidero

que ese periodode adaptaciónha terminado,

tenemosunos nuevos

estatutosaceptadospor todos

y una nuevaestructuraque está

funcionandobien,

en mi opinión.

99

litado mucho la comunicación y eso posibilita llegar a

nuestros socios y organizar más y mejor las actividades.

Vosotros habéis conseguido editar con calidad y regulari-

dad la revista SUMA ya desde hace años y en el año 2000

hemos colgado en la red la web de la Federación. Hemos

tenido años muy intensos y emblemáticos en los que la

Federación y sus sociedades «han dado la talla» (estoy

recordando ICME en 1996 y recientemente el año 2000,

año mundial de las matemáticas) pero, sobre todo, hemos

mantenido también con regularidad nuestras actividades

tradicionales como son los Seminarios, las JAEM y las

Olimpiadas Matemáticas. Y todo ello a pesar de tener una

subvención cada año reducida a la mitad de nuestro pro-

pio Ministerio (el último año la subvención era de la ridí-

cula cantidad de 500.000 pts, mientras que a otros colecti-

vos privados se les multiplicaba por diez y por más las

subvenciones recibidas de gobiernos anteriores).

Yo soy optimista ante el futuro de FESPM. Tenemos un

colectivo de asociados muy numeroso y de gente muy

interesada (un gran capital humano), una estructura que

funciona, canales de comunicación eficaces, un conjunto

de actividades consolidadas y representación nacional e

internacional (con proyección en Europa y en Iberoamé-

rica). Hemos conseguido también unprestigio y una consideración por partede colectivos como las facultades deMatemáticas, RMSE, Sociedades deInvestigación, etc. Y, sobre todo, unaactitud de respeto mutuo y de colabora-ción. Y tenemos por delante los retosque nos plantea este nuevo siglo y mile-nio. Por último, tenemos también lamiopía de un ministerio que no nosconsidera para nada, no se da cuenta deque representamos a un colectivo deunos 5500 profesores distribuido portodo el país y la potencia y la fuerza queesto significa. Y yo espero que en elfuturo nos miren con otros ojos o bienque sean otros ojos los que nos miren.

—Muchas gracias, Ricardo. DesdeSUMA te deseamos que este proyecto delServicio de Publicaciones que hasexpuesto se haga realidad. Estamos ple-namente convencidos de que así será, loque fortalecerá en buena medida anuestra Federación.

Emilio PalaciánCodirector de SUMA

100

Página Web X JAEM

www.unizar.es/ice/jaem

N LA ENTREGA del n.° 35 nos preguntábamos si la evolución históricadel problema nos podría servir de guía para planificar una actuación enclase, siguiendo el modelo Van Hiele. ¿Cómo describir este modelo enpocas líneas?

1. Se basa en la idea de que cada persona tiene un nivel de pensa-miento y conocimientos frente a cualquier actividad matemática,independientemente de su edad y su desarrollo evolutivo.

2. Cada nivel supone una forma de comprensión, un modo de pensa-miento particular, de manera que una persona sólo puede razonarsobre conceptos matemáticos adecuados a su nivel de pensamientoen cada momento.

3. Se distinguen cinco niveles de pensamiento:

Nivel 0, predescriptivo, básico o visual.

Nivel 1, de reconocimiento visual, descriptivo.

Nivel 2, de análisis, teórico.

Nivel 3, de clasificación, de relación.

Nivel 4, de deducción formal.

4. El proceso de la enseñanza debe orientarse a facilitar el progreso deuna persona que esté en el nivel n al n + 1, para ello la planifica-ción debe estar adecuada a su nivel de razonamiento.

5. ¿Cómo se puede determinar el nivel de cada cual frente a una mismatarea?

Aquí surgen las fases de actuación en el aula:

1. Consulta o diagnóstico, para determinar el nivel de pensamien-to. El uso de materiales manipulativos es recomendable en estafase, puesto que ayudan a los estudiantes a explicitar conoci-mientos que de otro modo dificilmente pondrían de manifiesto.

101

Isoperímetros:Ficha didáctica en geometría.Métodos trigonométricos

Grupo Construir las Matemáticas*

TALLERDE

PROBLEMAS

E

36

febrero 2001, pp. 101-106

* Los componentes del Grupo Construir las Matemáticas son Rafael Pérez, IsabelBerenguer, Luis Berenguer, Belén Cobo, M.a Dolores Daza, FranciscoFernández, Miguel Pasadas y Ana M.a Payá.

2. Orientación dirigida. Actividades muy estructura-das, encaminadas a conducir a los estudiantes ala construcción de nuevos conocimientos (conte-nidos mínimos) a partir del nivel en el que seencuentran. El trabajo en grupo puede facilitar elavance en esta fase.

3. Explicitación , para comunicar los resultados deltrabajo. Esto requiere una reflexión individualsobre lo que se sabía y lo que se ha aprendido yla organización de todos los resultados obtenidos.

4. Orientación libre. Es el momento de la atencióna la diversidad, de actividades menos estructura-das y más abiertas.

5. Integración. Organización y presentación formal delos nuevos aprendizajes, por parte del profesorado.

Actividades y objetivos

El objetivo de la actividad que se propone es la introduc-ción del método trigonométrico para resolver problemas.

A lo largo de la ESO, también pueden sacarse a colación,además del entrenamiento en heurísticos, el método de loslugares geométricos, el de las transformaciones y el de lascoordenadas.

La actividad que vamos a presentar aquí se encuentra entrelos niveles de pensamiento 2 y 3 descritos arriba y estápensada para 3.° o 4.° de ESO.

Observaciones:

1. Tal y como pondremos de manifiesto en la octavaentrega, este problema puede tener una primera apro-ximación en el primer ciclo de la ESO de la mano dela función cuadrática.

2. Con esta entrega, la quinta y la referida antes, preten-demos mostrar cómo se puede abordar un mismo pro-blema desde los diferentes bloque de contenidos delcurrículo de Matemáticas, así como el carácter cíclicodel aprendizaje, al presentarse a lo largo de toda la ESO.

3. Para colegas «nerviosos(as)» (sí, aquellos(as) que ya hanechado mano del cálculo de derivadas) está prevista lanovena entrega, propia de un curso de Bachillerato.

El problema

Dispones de un listón de madera de 3 m de longitud para enmar-car un cuadro. ¿Cuál es la lámina de mayor superficie que pue-des enmarcar?

Diagnóstico

Se pregunta a la clase:

¿Qué significa la palabra perímetro?

Se pretende, además de comprobar las ideas previas decada alumno o alumna, la utilización correcta del lengua-je que vamos a usar en esta actividad.

Sobre un geoplano ortométrico y uno isométrico y una cuerda delongitud dada, formar, al menos, tres poligonales cerradas conárea diferente.

Trasladar los resultados sobre papeles pautados y anotar, paracada dibujo, las medidas de los lados, suponiendo que la «cuer-da» tuviese 3 metros de longitud.

¿Qué tienen en común todas las figuras?

Respuesta prevista:

Igual perímetro = iso-perimétricas. Comentar la etimologíade este término y buscar analogías con otros términos queincluyan el prefijo iso.

¿Cuál es el perímetro de un rectángulo?

Si conoces el valor de un lado, ¿puedes deducir el del otro?

Mediante estas actividades se deben detectar los niveles depensamiento del grupo para ajustar el punto de partida deltrabajo y tratar de unificar el lenguaje.

Comentario:

1. Observar si funciona el principio de conservación dela cantidad y no la forma.

2. Observar si se detectan variaciones entre las áreas delas figuras.

Actuación (tratamiento de la diversidad):

Si alguien de la clase está en la situación 1, entonces elproblema está lejos de sus posibilidades y habrá que pro-poner actividades adecuadas para que supere ese nivel. Eneste punto se pueden formar grupos de trabajo de inte-gración, formados por personas de los dos niveles, tenien-do en cuenta que conviene que haya más del nivel 1 quedel 2 en cada grupo.

Si se está en situación 2, seguir avanzando en la propues-ta que se presenta.

1ª Orientación dirigida

Organizar la clase en grupos de 4 personas.

Para el paralelogramo, que es un caso más sencillo, vamos aanalizar diferentes posibilidades de construcción del marco y cal-cular la superficie de la lámina que admite en los distintos casos.

El listón de que disponemos mide 3 m, luego todas las láminasdeben tener el mismo perímetro y se verifica que: 2·lado mayor+ 2·lado menor = 3. Para simplificar, vamos a llamar L a la lon-gitud del lado mayor de rectángulo y l a la del lado menor y asípodemos decir que 2L + 2l = 3.

Haremos una indagación sistemática y para ello, cada grupo vaa dar cuatro valores a L y a rellenar la siguiente tabla en la queaparecen láminas de distintas dimensiones.

102

En la figura, el segmento CT representa geométricamentea la media geométrica de los segmentos L y l:

Como L + l = d, será igual al radio. Observa que t es

menor o igual que el radio, ¿cuánto vale?

103

Lado mayor, L

Lado menor, l

Área, L ¥ l

Observación:

Es aconsejable trabajar con calculadoras, para evitar que se«pierda» el problema que nos interesa entre cálculos engo-rrosos. El objetivo ahora no es el entrenamiento en cálculo.

Entre todos los rectángulos posibles, parece intuirse que el cua-drado es el que tiene mayor área, pero, ¿cómo validar esta hipó-tesis? El ejemplo no demuestra, hay que generalizar.

Si la lámina es cuadrada, el lado será la cuarta parte de esteperímetro. Podemos expresar las áreas de cualquier rectánguloy del cuadrado en función de L y l, e intentar averiguar cuál deellas es mayor.

El área del cuadrado es igual a lado x lado, luego, será:

2 24 2

2 2L l L l+Ê

ËÁˆ¯

= +ÊËÁ

ˆ¯

y la de cualquier rectángulo será L ¥ l. ¿Cuál de las dos será mayor?

L l+ÊËÁ

ˆ¯2

2

con

Debes comparar con L ¥ l, o lo que es lo mismo L +2

L l◊ , que no son otra cosa que la media aritmética y lamedia geométrica de L y l, respectivamente, que en cada casoson números construibles con regla y compás.

¿Cuál de las siguientes desigualdades es cierta:

L l L l L l L l+ < ◊ + > ◊2 2

o ?

Estos resultados, como desigualdades algebraicas, se

verán en la quinta entrega.

1.ª Explicitación

Cada grupo redactará un informe organizando todo el tra-

bajo realizado, en el que se explique claramente los resul-

tados obtenidos. Dicho informe será expuesto por un

miembro del grupo a la clase.

En este momento volvemos a la orientación dirigida para

avanzar un poco más en el problema. Para hacer la com-

paración anterior se puede utilizar una estrategia: Hacer

una representación gráfica. Organizamos la siguiente acti-

vidad en torno a esta idea.

2.ª Orientación dirigida

1. Haz una circunferencia de diámetro cualquiera (represéntalocon la letra d de diámetro).

2. Dibuja un triángulo rectáng ulo cuya hipotenusa sea d.3. Traza la altura del triángulo sobre d (la representaremos con

la letra t, de altura)4. La hipotenusa queda dividida en dos trozos de longitudes des-

conocidas, represéntalas con las letras L e l.

L +2

L l◊

L lA BT

C

x + y2

÷x·y

d d

t

dL

d

tl

La media aritmética de estos segmentos, . viene repre-sentada geométricamente por cualquiera de los radios de lacircunferencia en la que está inscrito el triángulo ABC; enparticular, el paralelo al segmento CT.

¿Cuál de las dos medias es mayor? ¿Cuándo serán iguales?

La igualdad se da cuando L = l. Es decir cuando el rec-tángulo es un cuadrado. En este caso, el cuadrado tienede lado 3/4 m, y su área será de 9/16 m2 (0.56 m2).

2ª Explicitación

Idem a Explicitación 1.

Orientación libre

Resultado

Entre los cuadriláteros con igual perímetro, el cuadrado es el quetiene área máxima.

Un triángulo en el uno de sus lados sea el diámetro deuna circunferencia y el vértice exterior a ese lado sea unpunto cualquiera de la circunferencia, es rectángulo y eldiámetro es la hipotenusa. Utilizando este resultado, sabe-mos que el triángulo ABC de la figura es un triángulo rec-tángulo, de modo que los ángulos a + b = 90°.

L +2

a b

g1 g2

A B

C

T

Los triángulos ATC y BTC son también rectángulos, luegose verifica que a + g1 = 90° y b + g2 = 90°, de donde,g1 = 90° – a y g2 = 90° – b.

Como a + b = 90, se tiene que: a = 90 – b y b = 90 – a.Por tanto, a = g1 y b = g2, y los dos triángulos ATC y BTCson semejantes.

Por tratarse de triángulos semejantes, los lados homólogosserán proporcionales. Entonces:

El rectángulo tiene 1 m de base. Utilizando el teorema dePitágoras, y puesto que el triángulo trasladado es rectán-gulo, se puede calcular la altura, t, del rectángulo:

104

CT

AT

TB

CT=

AT

AC

AC

AB=

de donde CT2 = AT·TB, o bien . Dicho deotra manera, la altura de un triángulo rectángulo sobre lahipotenusa es media proporcional, o media geométrica,entre los segmentos en que ésta queda dividida.

Sobre el triángulo anterior, también se verifica la igualdad:

CT AT TB= ◊

Dicho de otra manera, en un triángulo rectángulo uno delos catetos es media proporcional entre la hipotenusa y suproyección sobre ésta.

Integración

Teorema de la altura

La altura, relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, esmedia proporcional entre los segmentos en que divide a esta.

TBCT

CTAT

=

A

C

BT

ACAB

ATAC

=

A

C

BTCBAB

ATCB

=

Teorema del cateto

Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es media pro-porcional entre la hipotenusa y la proyección de éste sobre ella.

¿Qué ocurrirá si la lámina tiene forma de triángulo equi-látero, de pentágono regular, o de cualquier otro polígo-no regular? ¿Cuál de ellas tendrá área máxima, mante-niendo igual el perímetro?

3ª Orientación dirigida

Dibujar, a escala, un triángulo de 3 m de perímetro. Completar eldibujo con otro triángulo igual, hasta obtener un paralelogramo.

Se puede convertir este paralelogramo en un rectángulo, trasla-dando la mitad de uno de los triángulos al otro extremo del con-junto, como muestra la figura:

1 m 1 m

t

11

21

1

2

3

40 872

22 2 2

2

= ÊËÁ

ˆ¯

+ = - ÊËÁ

ˆ¯

= =t t t, , ,luego y m

El área del rectángulo es el producto de la base por laaltura; es decir, 1·0,87 = 0,87 m2. El área del triángulo ini-cial será la mitad de la del rectángulo, es decir 0.435 m2.

3ª Explicitación

Idem a Explicitación 1.

Resultado

En general, para calcular el área de un triángulo cualquiera,podemos convertirlo en un paralelogramo uniendo dos iguales,y éste en un rectángulo de igual área multiplicando las medidasde dos de sus lados diferentes. Si a una la llamamos base y a laotra altura, queda el área del rectágulo como el producto de labase por la altura.

De este modo, el área de un triángulo cualquiera será la mitadde la base por la altura.

Se compara el área del triángulo equilátero con la del cua-drado, la de éste es mayor.

Vamos a seguir calculando áreas de otros polígonos regu-lares, ¿cómo hacerlo? Se puede utilizar una técnica llama-da de la triangulación. Se organiza la siguiente orienta-ción dirigida con esta idea.

4ª Orientación dirigida

Dibujar un hexágono regular y buscar su centro. Unirlo con losseis vértices del hexágono. ¿Cuántos triángulos se obtienen?¿Son iguales? Si se conoce el área de uno de ellos, ¿se puedecalcular el área del hexágono? ¿Cómo?

apot

ema

Una altura de cualquiera de estos triángulos es la apote-

ma del hexágono y la base correspondiente, el lado. El

área del triángulo será:

Área del triángulo = (lado ¥ apotema)/2

Área del hexágono = 6 ¥ Área del triángulo =

= 6·(lado ¥ apotema)/2

El perímetro del hexágono es la suma de los seis lados,

con lo que la fórmula anterior quedaría:

Área del hexágono = (perímetro ¥ apotema)/2

¿Cómo se calcularía el área de un octógono regular? ¿Y lade cualquier otro polígono regular?

4ª Explicitación

Idem a Explicitación 1.

¿Qué sucederá con el pentágono regular de 3 m de perí-metro?

5ª Orientación dirigida

Observa que para calcular el área de cualquier polígono, se puededescomponer éste en triángulos y sumar las áreas de todos ellos.

Dibuja un pentágono regular de 3 m de perímetro. Busca su cen-tro y únelo con los cinco vértices. Obtienes cinco triángulos isós-celes iguales, cuya base mide 3/5 m. Calcula su área.

¿Cómo saber el valor de r?

Aparece un nuevo problema: calcular el área de un trián-gulo del que sólo conocemos un lado.

Una aplicación de la trigonometría es el cálculo del áreade un triángulo isósceles del que conocemos la longituddel lado desigual y el ángulo opuesto.

En cada uno de los triángulos que resultaron al descomponer elpentágono regular el lado desigual mide 3/5 m, es decir 0,60m, o 60 cm y su ángulo central, será de 360°/5 = 72°. El áreade este triángulo será el producto de su base, 60 cm, por la altu-ra, que desconocemos.

Dibujar este triángulo, utilizando una escala 1:10. Traza la altu-ra relativa al lado desigual. De este modo obtienes un triángulorectángulo cuyos ángulos agudos miden 36° y 54° y el catetomenor 3 cm.

5ª Explicitación

Idem a Explicitación 1.

Comparar este resultado con las áreas calculadas antes del trián-gulo equilátero y del cuadrado y ordenarlas de menor a mayor,¿qué se puede conjeturar acerca del área de estos polígonosregulares del mismo perímetro?

6ª Orientación dirigida

Siguiendo los mismos razonamientos utilizados en el caso delpentágono regular, completar la siguiente tabla.

105

t

36∞

54∞

Utilizando, por ejemplo, el ángulo de 36° podemos escri-

bir tan 36° = 3/t, siendo t la altura del triángulo. En la cal-

culadora averiguamos el valor de tan 36° = 0,73, y susti-

tuyendo tenemos que 0,73 = 3/t.

Si despejamos el valor de h, tenemos que t = 3/0,73, t =

4,2 cm, que deshaciendo la escala nos da una altura del

triángulo de 42 cm. Ya que conocemos la altura, podemos

calcular el área del triángulo:

Área de triángulo = (60 ¥ 42)/2 = 1260 cm2 = 0,126 m2

Volvemos al problema inicial de calcular el área de un

pentágono regular de 3 m de perímetro, para ello se

puede multiplicar el área anterior por cinco triángulos

iguales en los que se había descompuesto.

Área del pentágono = 0,63 m2.

Polígono PerímetroLongituddel lado

númerode lados

Área

Triánguloequilátero

3 m 1 m 3 0,435 m2

Cuadrado 3 m 0,75 m 4 0,56 m2

Pentágonoregular

3 m 0,60 m 5 0,63 m2

Hexágonoregular

3 m 0,50 6

Heptágonoregular

3 m

A la vista de los resultados de la tabla, ¿qué se puede conjeturar?

6ª Explicitación

Idem a Explicitación 1.

Para generalizar, ¿cómo calcular el área de un polígonoregular de n lados sabiendo que la longitud del lado es l?

7ª Orientación dirigida

Partimos de un polígono regular de n lados, y longituddel lado l.

1. Descomponerlo en n triángulos iguales.

2. Calcular el área de uno de ellos. Considerar como base ellado, l, del polígono y como altura la apotema, a.

l

360∞/n

l/2

180∞/n

a

Área del triángulo = (l ¥ a)/2

3. Calcular la longitud de la apotema, a, utilizando la trigono-metría.

tiende a infinito, resulta 9/4π m2, que coincide con el áreadel círculo de perímetro igual a 3 m.

7ª Explicitación

Idem a Explicitación 1.

Resultado

Para un perímetro fijo, el polígono regular de mayor área esaquel que tiene mayor número de lados.

Orientación libre

Conjetura

Si el número de lados del polígono regular aumenta indefinida-mente, la figura plana de mayor área, con un perímetro fijo serála circunferencia.

Otras posibilidades para orientación libre:

¿Por qué sólo se tratan polígonos regulares?, ¿qué ocurre con losirregulares?

Estos aspectos los retomaremos con «otras» herramientas.

Se puede invertir la cuestión:

Para un área fija, ¿cuál es la figura de menor perímetro?

Quienes diseñaron la forma de las latas para bebidas losabían bien. Es decir, se plantearon el problema siguiente:

¿Qué forma ha de tener un recipiente de altura (ancho estándar deuna mano) y volumen (33 cl) dados para que se gaste la menorcantidad de aluminio (material para la fabricación de latas

106

tantan tan

180 2 2180

2180

∞ = fi =

ÊËÁ

ˆ¯∞ =

◊ ∞n

l

aa

l

n

l

n

A

ll

n l

n

triángulo =

◊◊ ∞

=◊ ∞

2180

2 4180

2tan

tan

A nl

n

polígono regular = ◊◊ ∞

2

4180

tan

A nn

nn

n

polígono regular = ◊◊ ∞ =

◊ ∞( )

tan tan

3

4180

9

4180

2

4. El área del triángulo es:

5. El área del polígono es n veces la del triángulo:

6. Ahora bien, lo que realmente permanece constante es el períme-tro de cada polígono y no el valor del lado. Por tanto, hay queexpresar el área en función del perímetro y del número de lados.

7. Haciendo uso de una calculadora científica, verificar los valo-res de las áreas de los polígonos que figuran en la tabla ante-rior.

8º ¿Cuál es el área para n = 100? ¿Se refuerza la conjetura quese hizo al final de la 6ª orientación dirigida?

Observación para el profesorado:

Si se calcula el límite de la expresión del área cuando n

O HAY QUE EMPEÑARSE mucho ni dar razonamientos sofisticados para

estar de acuerdo que entre todos los Medios de Comunicación Social

(MCS) el menos apropiado para servir de soporte a las matemáticas es la

radio. Porque por sus ondas pueden transmitirse ideas y situaciones que

tengan que ver con los números, pero en cuanto pasemos a la geome-

tría, ¿de qué posibilidades dispondremos para visualizar situaciones pla-

nas y mucho peor si nos involucramos en las tres dimensiones? Desde

luego, que el reto es complejo y quizás por eso mismo atractivo. Y recor-

dando que durante años (que incluso podríamos extender a siglos) el

soporte principal de la enseñanza (luego se supone que del aprendizaje)

de las matemáticas ha sido la pizarra (que tampoco es que sea ni muy

apropiado ni muy sugestivo) igual se podría hacer algo al respecto. Tal

vez valdría la pena intentarlo.

Echando un vistazo al mundo que nos rodea, la verdad es que no hay

demasiados ejemplos de la conexión radio-matemáticas. Yo conozco en

algún lugar de Iberoamérica emisiones regulares de radio destinadas a la

enseñanza a distancia de diversas materias (y también de matemáticas)

que tienen vida propia. Hay que situarlas en un contexto de suplencia

de clases presenciales, y se trata de clases orales iguales o muy pareci-

das a las tradicionales en las aulas, pero transmitidas por radio ante la

imposibilidad de la presencia directa. Y, en cualquier caso, contando con

un soporte escrito de complemento a lo que se transmite por las ondas.

Algo difícil de trasladar a nuestro entorno.

Aquí el ejemplo más completo de programas regulares de radio sería la

serie «Ingéniatelas con Thales» que los compañeros de Huelva llevaron a

cabo a finales de los años ochenta, transmitida por Radio Cadena

Española (ya desaparecida) y en las que se hacía un despliegue que invo-

lucraba a la propia emisora, a un colegio de EGB y a todos los posibles

oyentes de ese u otros niveles que podían comunicarse con los estudios

por teléfono. En ella se proponían problemas (tanto de tipo «académico»

como «recreativo») que «en tiempo real» eran resueltos y emitidos por la

emisora. Existen publicaciones de la Sociedad Thales con el título del

programa que da completa información del mismo.

107

Radio y matemáticas

Fernando Corbalán

M A T E SY

M E D I O S

N

36

febrero 2001, pp. 107-108

Pero lo cierto es que el tiempo pasó y (al menos que yoconozca) no hay ningún programa matemático en la radioactual (más allá de ocasionales entrevistas o presentacio-nes de libros). Ni incluso en una cadena como Radio 5Todo Noticias que parece un soporte idóneo para ello,puesto que, además de ser pública y sin grandes preten-siones de audiencias masivas, alberga espacios cortos delos temas más diversos (inmobiliarios, científicos, del mar,del campo,...). Y a pesar de ofertas al respecto, tanto dequien suscribe como de otros compañeros, pero que noacaban de cuajar. Pienso que es una de las tareas que laFederación como tal tendría que tomar como un reto aalcanzar: si queremos que las matemáticas dejen de estarconfinadas en el gueto escolar, si pretendemos una pre-sencia de nuestra materia en la sociedad, siguiendo lalínea del Año Mundial que acaba de finalizar, es urgenteque aparezca con naturalidad en los MCS (que incluyen ala radio).

Algo sobre radio y matemáticas

Pero una vez lanzado el desafío, nos vamos a detener enlas relaciones de la radio con las matemáticas. Porque esun medio que tiene gran incidencia en el alumnado, sobretodo, las llamadas radio-fórmulas musicales, compañerodiario habitual de un elevado porcentaje de adolescentesy jóvenes. Lo que hace interesante a priori los temas rela-cionados con ellas.

Las radio fórmulas son una buena oportunidad para trataren la práctica, y con temas interesantes para el alumnado,de la diferencia entre encuestas y opiniones particularesvestidas con un envoltorio de seriedad. En todas ellas sedan cada semana y se repiten cada día hasta la saciedadlistas de discos destacados (sean «principales» o con otrosnombres).¿Cómo se hacen y qué son? Son listas confor-madas con la apariencia de encuestas pero que, en reali-dad, se hacen entre los «comentaristas» o «expertos» de lapropia emisora: opiniones con apariencia de encuestas (de

las que nunca se dice muy claro el método con el que seconfeccionan).

Y una situación parecida sucede en los noticiarios de TVy de radio, sobre todo en temas locales o regionales, cuan-do hay algún hecho ante el que la ciudadanía se posicio-na de formas distintas. Es frecuente hacer en esos casosentrevistas en la calle a varias personas que manifiestanopiniones contradictorias sobre el tema en cuestión, casisiempre en el mismo número. Con «informaciones» de esetipo lo que parece suceder es que hay opiniones contra-rias y aproximadamente el mismo número de personasestán de acuerdo con cada una de ellas, algo que en abso-luto permite deducir una práctica de ese tipo. Estamos denuevo ante opiniones, no estadísticas. No es pues un pro-cedimiento fiable.

No hay que sacar en consecuencia algo bastante exten-dido en la sociedad (que lo recoge en frases hechas deltipo «por medio de la estadística siempre sale lo que unoquiere» o «la estadística es la ciencia que hace que si yome como dos bocadillos y tú ninguno cada uno hayamoscomido un bocadillo»), porque incluso referidas a losMCS hay estudios estadísticos completamente serios,tales como los de audiencia de las diferentes cadenas deTV, de radio o de difusión de medios escritos (por la OJD–Oficina de Justificación de la Difusión– o el EGM –Estu-dio General de Medios–), de los que dependen, entreotros, los precios de la publicidad en esos medios (aun-que de sus resultados hagan a veces las cadenas de radioy televisión unas interpretaciones sesgadas, comparandocosas diferentes y con manipulaciones de los datos quelos hace parecer contradictorios, que habrá que mirarcon cuidado, pero que es una cuestión que no tratare-mos ahora).

Así pues, por terminar, aunque por el momento no seasoporte de informaciones o comentarios estrictamentematemáticos, la radio puede ser un buen medio para verlas utilizaciones y limitaciones de la Estadística, y las falsi-ficaciones que se hacen pasar por tales sin ser de ningu-na fiabilidad.

108

ENVÍO DE COLABORACIONES

Revista SUMAICE Universidad de ZaragozaPedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

STE JUEGO está diseñado para que jueguen desde uno hasta cuatro juga-dores, y cada grupo debe tener un tablero y dieciséis tarjetas con poli-nomios como las que vienen a continuación.

Tablero

109

Sopa polinómica

Grupo Alquerque*

J U E G O S

E

36

febrero 2001, pp. 109-111

* Los componentes del Grupo Alquerque de Sevilla son Juan Antonio HansMartín (C.C. Santa María de los Reyes), José Muñoz Santonja (IESMacarena), Antonio Fernández-Aliseda Redondo (IES Camas), José BlancoGarcía (IES Alcalá del Río) y Josefa M.a Aldana Pérez (C.C. InmaculadoCorazón de María –Portaceli–).

x – 1 x + 1 x - 2 2x + 3 1 – x

x – 1 x x – 7 x – 2 x + 4

x + 2 5x + 2 x + 3 x + 1 x - 2

x + 6 x x2 + 1 3x – 2 2x2 + 1

3x2 + 2 x –2x – 1 x + 1 –x2 – 1

x – 3 4x – 1 x + 2 x – 2 3 – x

Tarjetas Explicación del juego

Esta actividad se basa en el conocido pasatiempo de «Sopade Letras», un juego clásico que puede readaptarse y serutilizado en clase de Matemáticas. Según la clasificaciónutilizada por el profesor Fernando Corbalán perteneceríaa los Juegos de Procedimiento Conocido con Modifica-ciones, pues sus reglas generales son conocidas por losalumnos fuera del ámbito escolar. En nuestra adaptaciónproponemos que los alumnos trabajen la factorización depolinomios por lo que las palabras se sustituyen por poli-nomios y las letras de la sopa por factores.

Los objetivos que pretendemos con este juego son lossiguientes:

1) Factorizar polinomios de grado tres con dificultades detodo tipo (raíces reales simples, raíces dobles o triples,factores del tipo (ax + b), factor x, factores (x ± a)),usando factores comunes, el teorema del factor o laregla de Ruffini.

2) Comprobar que hay polinomios que no pueden fac-torizarse totalmente en factores de grado 1, razonan-do el porqué.

3) Trabajar el cálculo mental.

4) Trabajar la relación raíz (o solución o cero) de unpolinomio con la de factor y viceversa.

5) Resolver ecuaciones.

La presentación de esta actividad permite modificacionessobre la que hemos presentado. Así, los polinomios queaparecen en las tarjetas no tienen por qué ser todos degrado tres, se pueden colocar de distintos grados aunqueentonces habría que modificar la regla 3), pues la suerteen la elección puede hacer que se necesite más tiemposegún los polinomios que toquen. También se puedenmodificar los polinomios no incluyendo factores de gradosuperior a uno.

Una dificultad que presenta el juego tal como está plantea-do son aquellos polinomios cuyos coeficientes principalesson negativos, pues al descomponer en factores el alum-no debe decidir en cuál de los tres tiene que incluir elsigno menos y para ello tiene que fijarse muy bien en eltablero. Esto puede simplificarse poniendo todos los poli-nomios con coeficiente principal positivo.

La dinámica del juego también puede cambiarse, modifi-cando las reglas de juego que podrían ser las siguientes:

1) Las tarjetas se barajan y se colocan boca abajo sobrela mesa.

2) El jugador que tiene el turno toma una tarjeta y des-compone el polinomio, señalando los factores en lasopa. Si lo hace correctamente se anota un punto ypasa el turno al siguiente jugador y la tarjeta utilizadaes eliminada del juego.

110

1

x3 – 2x2 – x + 2

2

x3 + 3x2 + x + 3

3

2x3 + x2 – 7x – 6

4

x3 – 3x + 2

5

x3 + 2x2 – 3x

6

6x3 – 4x2 + 3x – 2

7

–x3 + 7x - 6

8

x3 – 6x2 + 12x – 8

9

4x3 – x2

10

5x3 + 7x2 + 2x

11

–2x3 – 5x2 – 2x

12

–2x3 – 5x2 – 23x + 6

13

3x3 – 9x2 + 2x – 6

14

–x3 + 3x2 + 4x – 12

15

3x3 – 5x2 – 4x + 4

16

x3 + x

Reglas del juego

1) Se barajan las 16 tarjetas y se colocan boca abajosobre la mesa y cada jugador, por turno, elige una tar-jeta hasta totalizar cuatro de ellas.

2) Los jugadores factorizan sus polinomios, y buscan, enla sopa de factores que aparece en el tablero, los fac-tores consecutivos de cada factorización y los marcan.

3) Gana el jugador que consigue marcar primero las des-composiciones de sus cuatro polinomios, en un tiem-po fijado de antemano. Si nadie lo ha conseguido seráganador el que más polinomios haya descompuesto.

3) Si el jugador no sabe descomponer el polinomio pier-de su turno y no se anota ningún punto. El jugadorsiguiente tiene la oportunidad de descomponer elpolinomio ganando un punto extra por rebote. Encaso de no hacerlo pasaría a su siguiente.

4) Si el jugador que le toca se equivoca en su descom-posición y algún contrincante lo descubre, el jugadorpierde su turno y el contrario se anota un punto porhaber hecho correctamente la descomposición.

5) La partida acaba después de haber dado cuatro ron-das, pasando por todos los jugadores. Gana quientenga más puntuación.

También podría jugarse sin tarjetas, solamente utilizandoel tablero. Jugarían dos alumnos y cada uno de ellos conel tablero por delante, construiría cuatro polinomios eli-giendo dos o tres factores del tablero. Después los juga-dores se intercambian los polinomios para factorizarlos yseñalarlos en la sopa de factores. El primero que consigaseñalar los cuatro polinomios gana la partida.

Con esta modalidad, antes de la factorización hay querepasar las operaciones de suma, resta y producto de poli-nomios.

Hay una última variante que podemos presentar. Una vezconsolidada la factorización y conocidas las reglas deljuego, éstas se pueden variar para trabajar el concepto deraíz (o solución o cero) de un polinomio, y relacionarlocon los factores de ese mismo polinomio, de modo que envez de buscar en la sopa los factores del polinomio corres-pondiente se busquen sus raíces reales.

De esta forma, al descomponer por ejemplo el primer poli-nomio:

x3 – 2x2 – x + 2 = (x-1)·(x+1)·(x–2)

señalamos sus raíces en el siguiente tablero.

En esta modalidad hay polinomios, como el segundo, quesólo tienen una raíz real y, por lo tanto, sólo se marcaríauna casilla en la sopa; y otros, como el noveno, con raí-ces múltiples donde se marcaría la misma raíz tantas vecescomo su multiplicidad.

111

1 –1 2 –3/2 1

1 0 7 2 –4

–2 –2/5 –3 –1 2

–6 0 –1 2/3 –1/2

–2/3 0 –1/2 –1 –1

3 1/4 –2 2 3

Sopa de raíces

A APARICIÓN hace ya unos cuantos años del programa Cabri-Géomètresupuso para muchos profesores y profesoras la apertura de una ventanade esperanza en el camino de ver y de enseñar la Geometría de unaforma diferente. El éxito de la filosofía del programa radicaba en la ideade poder contar con una pizarra electrónica en la que construir objetosgeométricos tan habituales como trazar rectas, segmentos, perpendicula-res, ángulos, triángulos, circunferencias, cónicas... y medir en formadirecta longitudes, ángulos y áreas, se convertían en cosas tan simplescomo pulsar con el ratón en un icono.

Los principios fueron duros, el programa exigía contar con co-procesa-dor matemático en los ordenadores, algo por otra parte poco frecuenteen los centros educativos. Pero con el paso del tiempo las aulas empe-zaron a contar con ordenadores más potentes y algunos profesores selanzaron a la aventura de explorar y explotar un recurso didáctico de pri-mera magnitud.

El programa hubiese sido el sueño de los grandes geómetras de la his-toria desde Arquímedes y Apolonio hasta el prolífico Euler: ver los gran-des teoremas geométricos del plano y verlos de forma dinámica.

Desde hace ya unos cuantos años, ¡cómo pasa el tiempo!, algunos pro-fesores nos han deleitado en las JAEM y en las Jornadas de las distintassociedades y en los curso de los CEP con aplicaciones visuales cada vezmás interesantes, más vistosas y más complejas. De la simple construc-ción del baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro de untriángulo y poder comprobar la existencia real de la recta de Euler encualquier triángulo –¡con nuestros propios ojos!– pasamos a las maravi-llosa e increíbles máquinas matemáticas de José Antonio Mora y OnofreMonzó, cuya página web ya comentamos en el número 33 de SUMA(http://teleline.terra.es/personal/joseantm). Su generosidad al brindarnoscientos de aplicaciones ya construidas con Cabri y susceptibles de ser«bajadas» y copiadas para ser utilizadas en el aula abrió una brecha en laresistencia del profesorado ante este tipo de recursos.

Pero Cabri tenía un problema nada desdeñable, su autismo, su dificultadde exportar sus gráficos y sus animaciones a otras aplicaciones más fami-liares para el usuario.

113

Cabri e Internet

Antonio Pérez Sanz

RECURSOSEN

INTERNET

L

36

febrero 2001, pp. 113-115

Y esto se notaba en las páginas web que trataban de esteprograma. A lo sumo en ellas podíamos ver una pantallaestática de una fase de la construcción o de la construc-ción final. Muchos estábamos esperando la herramientapara poder ver en Internet las increíbles animacionesgeneradas con Cabri.

Bueno, pues parece que el tiempo de espera toca a su fin.

Por cierto, es aconsejable bajarse también el ficheroCabriWeb.bat para ahorrarte problemas para arrancar laaplicación.

¡A trabajar!

Una vez con estas herramientas en tu ordenador empezara trabajar es fácil.

1. Inicia CabriWeb.bat con el explorador de windows. Tearrancará el programa traductor Cabriweb.jar y te apa-recerá una pantalla como esta, pero en francés (pue-des cambiar el idioma al español con el menú Ediciónseleccionando el lenguaje):

114

Los creadores de CABRI han lanzado un proyecto, elProyecto Cabri Java, que permite disfrutar de las aplica-ciones con animaciones y la posibilidad de manipulaciónde los objetos geométricos a través de cualquier navega-dor de Internet mediante applets de Java.

A partir de ahora, cualquier usuario de Cabri puede tra-ducir sus aplicaciones al lenguaje Java y colgarlas de supágina web. La geometría en movimiento por fin en la redy al alcance de cualquiera.

La idea es simple: una aplicación llamada Cabri Web quetraduce directamente un fichero de Cabri a un ficheroHTML con un applet de Java incluido.

La aplicación está todavía en fase de pruebas y está dis-ponible en la red en esta dirección:

http://www.cabri.net/cabrijava/

con manual incluido.

Y lo mejor es que no se requiere, como muchos estaránpensando, ser un experto en lenguaje JAVA, ni siquieradominar el HTML. La aplicación se encarga de todo.

Para empezar a crearte tus propios applets necesitas bajar-te de esta dirección dos aplicaciones, ambas versionesbeta. Por un lado el traductor que se llama CabriWeb.jar,un fichero de 180 Kb y por otro la máquina virtual, unfichero de 144 Kb llamado CabriJava.jar que es el que tepermitirá ver el fichero de Java dentro de una página web.

El menú edición te permitirá personalizar la páginaweb que vas a crear, seleccionando el color o la ima-gen de fondo, el borde de la ventana de Java, las tra-zas, animaciones, etc.

Si no tocas nada obtendrás un applet con las mis-mas características del fichero de Cabri con el quetrabajes.

2. Vete al menú Archivo y pulsa la opción Abrir unafigura Cabri que hayas construido previamente.Tendrás en tu pantalla una imagen como si hubiesesabierto el programa Cabri.

3. En este mismo menú tienes que seleccionar la opciónSeleccionar el archivo CabriJava. Esta opción incrusta-rá en el fichero HTML que vas a crear, la indicaciónde dónde ha de buscar la máquina para activar la apli-cación Java.

4. Por último, pulsa la opción Registra el fichero HTMLy ponle un nombre corto (de ocho letras o menos; nosé por qué, pero con nombres largos da problemas) ysálvalo en tu disco duro.

Y ya está, ya tienes creado un fichero HTML que podrásver con Internet Explorer o Netscape.

Lo puedes colgar en tu página web o salvarlo en un dis-quete para utilizarlo en clase. Eso sí, ten cuidado de copiartambién el motor CabriJava.jar en la misma ubicación quehayas definido antes. El resultado... una página parecida ala figura adjunta.

Pero con todas las animaciones que hayas definido y lasprincipales herramientas de Cabri accesibles pulsando dosveces con el ratón en cualquier punto de la ventana delapplet.

115

¡Ánimo y a poblar la red de aplicaciones dinámicas degeometría! Porque seguimos en la batalla de... «hacer visi-bles las matemáticas».

ARA QUÉ se hace la Historia1? ¿Por qué se estudia? En el comienzo de La

revolución permanente, advierte Trotsky: «Se ha confirmado de nuevo

que lo que aparentemente consiste en remover antiguas discusiones,

habitualmente viene a satisfacer una necesidad social presente, de la cual

no se tiene conciencia, y que en sí no tiene nada que ver con los deba-

tes pasados». Es decir: se recurre a la Historia porque se quiere interpre-

tar el presente y programar el futuro. Pero si la motivación es ésta, habría

que decir más bien «se construye la Historia» en lugar de «se acude a la

Historia». O, si se quiere, para ser dialécticos, una síntesis de las dos: a

partir de un incierto pasado se elabora una reconstrucción racional que

va variando con el tiempo

La decepción egipcia

La tradicional tendencia francesa al enciclopedismo tiene una bonita

plasmación en la Historia general de las ciencias, dirigida por René

Taton. Los treinta años transcurridos desde la primera edición no han

mermado su interés para un primer acercamiento a un período histórico

concreto. En el capítulo dedicado a la matemática de «una de las civili-

zaciones más plenas de la historia» (sic), la egipcia, encontramos la

siguiente valoración:

Basta leer los problemas tratados por los escribas egipcios para comprender ladecepción que experimenta un matemático moderno ante tal ciencia. Y la decep-ción es tanto mayor cuanto que el título (está hablando del papiro de Ahmes2)anuncia en exergo: «Reglas para estudiar la naturaleza y para comprender todolo que existe, todo misterio, todo secreto.

Un párrafo sin desperdicio. En unas pocas líneas han quedado recogidos

varios de los tópicos desde los que se observa la evolución de las mate-

máticas en el pasado.

1) Olvidémonos de dos obviedades que no suelen ser tenidas en cuenta:

a) Nunca tendremos seguridad de que nos ha llegado la mejor produc-

ción de cada época.

117

Leyendo entre líneasla Historia

Carlos Usón VillalbaÁngel Ramírez Martínez

DESDELA

HISTORIA

P

36

febrero 2001, pp. 117-120

b) Han tenido más probabilidad de perdurar las obrasdedicadas a la docencia que a la investigación pura,puesto que han sido, son y serán más numerosas.

Dejémoslas de lado y preguntémonos si tenemos derechoa decepcionarnos. Derecho «histórico», queremos decir.

Tenemos derecho, por ejemplo, a deplorar la pintura delsiglo XIX si nos parece peor que la del XX, pero seríaridículo exigir hoy a los artistas del XIX que hubieran pin-tado de manera distinta, según los cánones artísticos e ideo-lógicos de un arte más actual, porque no habrían podidohacerlo. Salvo en cuestiones metafísicas, el mismo hechode plantearse una pregunta supone, al menos, cierta con-fianza en la existencia de una respuesta. Dicho de otraforma: los seres humanos nos planteamos en cada mo-mento aquellos problemas que podemos empezar a resol-ver3 (el final del camino puede quedar aún muy lejos).

Nuestro derecho, por tanto, se limita a valorar personal-mente de acuerdo a nuestros gustos y preferencias; noes extensible a opinar desde la lejanía, desde la autori-dad que concedemos a los modelos que hoy considera-mos válidos, sobre lo que en matemáticas debería habersido hecho.

Nuestros gustos son gustos actuales. Los compartimos conun subconjunto del conjunto de personas que se dedicanhoy a las matemáticas. Es decir: como también nos adver-tiría con toda probabilidad Trotsky, nuestros gustos estáncondicionados históricamente. Los griegos, por ejemplo,desde Heródoto a Aristóteles, ensalzaron a los egipcios(¿Nos decepcionamos de los griegos por no habersedecepcionado?). La ciencia árabe, minusvalorada por algu-nos historiadores en el siglo XX, fue codiciada por secto-res intelectuales del siglo XII.

La consciencia de este condicionamiento no implica unrelativismo estético o moral paralizantes, pero sí el mante-nimiento de una cierta perspectiva reductora de la soberbia.

2) ¿Qué interpretación damos a la expresión «matemáticomoderno»? En 1966 podría ser equivalente a matemáticobourbakista. La vigencia de este enfoque explicaría clara-mente la decepción.

El estructuralismo y el formalismo ignoran la historia. Noles interesa la vida tal cual ha transcurrido y transcurre, elproceso de creación personal y colectivo que la impulsa,que evita su estancamiento. Puesto que lo importante es laordenación teórica de objetos teóricos, la Historia sólo esaceptable en la medida en que se ajuste a ese juego pla-tónico. Desde esta perspectiva Descartes se habría equi-vocado, porque si en vez de proponer su geometría ana-lítica hubiera inventado el álgebra lineal, nos habría hechoganar dos siglos.

3) La decepción ante el título del papiro de Ahmes es todoun patético ejemplo de incomprensión hacia el pasado.

Incluso en la Edad Media y en el Renacimiento las obrasde matemáticas mantienen alguna resonancia esotérica ensus títulos. ¿No es ello una muestra entrañable de la sor-presa que el mundo de los números y de las figuras haproducido4 a los seres humanos?

¿Cómo no maravillarse (¡atención!, queremos decir «sentirla maravilla») ante una relación que aparece continuamen-te, plasmada en casos particulares, si se intentan haceroperaciones con fracciones al estilo egipcio: 1 – (1/2 + 1/4+ 1/8 + ... + 1/2n) = 1/2n? Nada extraño desde un puntode vista algorítmico, por supuesto, pero ¡qué capacidad deevocación tiene! Podemos interpretar como conservadorel título del papiro de Ahmes, pero también encierra unaingenua sorpresa y el deseo, inherente a nuestra naturale-za, de encontrar la solución definitiva, la luz que nos per-mita controlar el azar.

4) Pero la incomprensión es más profunda: no afectasólo al aspecto formal del título de la obra sino quemanifiesta una fuerte falta de respeto a los tanteos, lasdudas, la lentitud de los comienzos. Es el empeño enavanzar con rapidez lo que frustra al historiador. Se hadicho muchas veces que el conocimiento de la Historiaes una buena ayuda para comprender el porqué de losbloqueos que aparecen en los procesos de enseñanza-aprendizaje. ¿Por qué no tomar en cuenta el recíproco deesta afirmación y utilizar lo mucho que sabemos sobre loque cuesta (también a nosotros) construir conocimientopropio y conocimiento colectivo para ponderar la valo-ración sobre el pasado?

5) En relación con lo anterior, resulta inevitable dejar quefluya por la mente una duda: ¿han hecho Matemáticas,antes de escribir Historia, los historiadores de las mate-máticas? ¿Han sentido el placer de un proceso creativo enmatemáticas? Sentir no quiere decir comprender racional-mente cómo se produce, sino vibrar con él de manera quedeje una huella permanente que actúe como referenciainterpretativa.

Exigir una determinada metodología y una determinadapresentación a las obras de matemáticas no quiere decirque se comprendan los entresijos de la creación en ma-temáticas. Puede ser simplemente una muestra de acríticaaceptación de la ideología oficial. Resulta sorprendenteencontrar todavía popes universitarios que afirman que enmatemáticas se crea deductivamente, encadenando axio-mas, teoremas y corolarios.

¿Existe creatividad en la obrade al-Khwarizmi?

En realidad, no es necesario personalizar la pregunta. Laaportación de los matemáticos islámicos medievales ha

118

sido habitualmente menospreciada, sobre todo en la lite-ratura anglosajona. Sin llegar a las destempladas ironíasdel ensalzado Bell (1949)5, se les suele acusar, velada oexplícitamente, de que no eran «suelo fértil»6, lo quehabría determinado su papel histórico de traductores ytransmisores de las obras griegas a territorios genética-mente mejor abonados. Más respetuosa es la historiogra-fía francesa7, a la que se puede recurrir no sólo para bus-car enfoques más democráticos, sino además para com-probar que la nómina de matemáticos árabes en la EdadMedia no se reduce a un par de nombres, sino que esincreíblemente amplia e interesante.

No vamos a entrar a discutir contra argumentos tan toscos.Bell, por lo demás, se muestra destemplado (y de formamuy agria) casi siempre. Nos interesa más continuar lasreflexiones anteriores. Hemos observados tres críticas a laobra de al-Khwarizmi:

a) Su álgebra es retórica y no emplea simbolismos. Unaactitud imperdonable porque Diofanto ya había dadoun paso en esa dirección.

b) No inventó nada nuevo, porque los babilonios yahabían avanzado con seguridad en la resolución delas ecuaciones de 2.° grado.

c) Su obra sobre álgebra es un conjunto de «recetas,reglas, fórmulas y procedimientos» (Paulos, 1993).

6) El primer simbolismo acabado del que tenemos noticiahasta ahora es el de al-Qalasadi (Baza, s. XV), un sigloantes que Viète y Descartes. En cualquier caso, seis siglosdespués de al-Khwarizmi. Es cierto que no se pide a esteúltimo que saltara esos seiscientos años, sino sólo que noretrocediera respecto a Diofanto. Boyer (1986), más mode-rado, considera improbable que llegara a conocer la obradel alejandrino, pero piensa que no aprovechó los inten-tos de notación sincopada del hindú Brahmagupta.

Mil años después las exigencias parecen de nuevo fuerade lugar. Quien avanza en una dirección tiene unas preo-cupaciones prioritarias que le hacen desatender otras.¿Censuraremos hoy a Fourier por sus apresuradas (desdeel punto de vista del rigor) teorías? ¿Por qué no pensar queel trabajo de sistematización de las reglas del álgebra poral-Khuwarizmi abrió la puerta que definitivamente llevaríaal lenguaje simbólico? ¡Qué afición a encorsetar en proce-sos rectilíneos los avances, individuales y colectivos! Elpensamiento es errático en sus tareas y se ve muy moti-vado por la necesidad. ¿No es razonable que se busque unsimbolismo cuando hace falta y no antes?

Sólo existe la línea recta en las ideológicas interpretacio-nes de los censores históricos del estructuralismo y del for-malismo, para los cuales la Historia debe estar al serviciode una matemática siempre en progresivo desarrollo haciala dirección por ellos marcada.

7) Más razonable nos parece censurar a al-Khwarizmi deconservadurismo por no haber sido coherente con sudivulgación del sistema numérico hindú. Todos los nú-meros de su libro sobre álgebra aparecen escritos, redac-tados en árabe. En cualquier caso, no conviene perder devista que la sociedad musulmana medieval, como la cris-tiana, opuso mucha resistencia a la difusión del nuevo sis-tema numérico (Ifrah, 1997) y recordar cómo la Historia leha perdonado sin problemas a Gauss haber mantenido ensecreto sus avances en geometría no euclídea, por miedoa que pudieran suscitar reacciones adversas.

8) Desde las más antiguas tablillas de arcilla conocidashasta al-Khwarizmi hay tres milenios. Desde las más re-cientes, mil quinientos años. ¿Se habría inventado la Ar-queología en el siglo IX? ¿Admitimos, negada esta posibi-lidad, que la tradición matemática se habría mantenidopor algún extraño procedimiento? Lo que parece muyprobable es que convivieran en la época sistemas artesa-nales de resolución de problemas, como la regla de ladoble falsa posición (se sabe que los chinos la manejabandesde épocas muy antiguas), con los procedimientosalgebraicos que empezarían a abrirse paso. La creatividadde al-Khwarizmi (suponiendo que fue el primero), estaríaen haber optado, con acierto, por lo que consideró méto-dos generales de trabajo. Su libro sobre álgebra no con-tiene ni una sola referencia a la falsa posición8. Ahí resi-de, nos parece, su modernidad: en haber sabido marcarun nuevo camino.

9) El modelo «recetario» para la transmisión del conoci-miento matemático tiene una tradición antiquísima. Nosería difícil conjeturar explicaciones variadas que expli-quen su éxito. Más perverso es que haya pervivido enparte, como puede verse en muchos libros de texto. Encualquier caso es absolutamente comprensible que desa-grade a un matemático actual. Se nos ocurren dos obser-vaciones sobre esta cuestión.

En primer lugar, la exposición al estilo euclídeo, que es loque se demanda con la crítica, tiene una componente fuer-te de recetario. No se discute que sea preferible; sóloadvertimos contra ella, aunque sea a riesgo de violentarmentes más prestigiadas que las nuestras. Traemos aLakatos (1978) en nuestro apoyo.

Desde un punto de vista histórico, hay que recordar queel modelo «recetario» tuvo un amplio desarrollo en la EdadMedia para múltiples temas, tanto en la sociedad musul-mana como en la cristiana. Las recopilaciones de cuente-cillos con finalidad moral9 están llenas de sucesiones dedichos enlazados, configurando una forma de transmisiónde conocimientos que parece acorde con unos siglos quesustentaron su sabiduría en la Revelación. Todavía algunasde las aritméticas publicadas en España en el s. XVI siguenel mismo modelo. Nos preguntamos en definitiva, repi-tiéndonos, si tiene sentido decepcionarse históricamente

119

con un autor (salvamos de nuevo, por supuesto, el gustopersonal) porque se exprese en los términos de su época.

Hacia una mayor toleranciaen la interpretación de la Historia

El genio individual puede ser mayor en unos que en otros,pero el momento histórico es quien define el campo dejuego en el que se manifestará. El individuo, por su parte,puede contribuir con su trabajo a la modificación de esemarco. La obra de al-Khwarizmi, al margen de cómo estáredactada, lo hizo, y por ello su presencia en los manua-les de historia. Pero nadie escapa a los condicionantes desu tiempo. ¿Acaso es imaginable Gauss en el s. IX? ¿Cuán-tas personas no han podido desarrollar mayores empresaspor las condiciones ambientales?

Así pues, la creatividad está condicionada históricamente.También lo está, por la ideología dominante en cadaépoca, el concepto que se tiene de ella. En la nuestra haprimado una visión de las matemáticas como algo inde-pendiente de la realidad, autosuficientes, autojustificadasen su persecución de mundos perfectos del limbo plató-nico. En consecuencia, los manuales dejan entrever inter-pretaciones que valoran por encima de otras cosas elcorrecto encauzamiento en esa dirección, penalizando lasdudas, menospreciando los rodeos. La teoría por encimade la vida, por encima de la aventura, individual y colec-tiva. ¿Contribuirá el auge actual de la matemática aplicadaa modificar este enfoque?

Obras citadasBEL, E.T. (1949): Historia de las matemáticas, FCE.

BOYER, C.B. (1986): Historia de la matemática, Alianza.

IFRAH, G. (1997): Historia universal de las cifras, Espasa.

JOSEPH, G.G. (1996): La cresta del pavo real, Pirámide.

LAKATOS, I. (1978): Pruebas y refutaciones, Alianza.

PAULOS, J.A. (1993): Más allá de los números, Tusquets.

TATON, R. (director) (1971): Historia general de las ciencias (tomoI), Destino.

Notas

1 «Historia» es una palabra que admite variados matices en su significado. Unaspecto de esta polisemia es la marcada diferencia que ofrece según se escri-ba con mayúscula o con minúscula: desde la magnificencia del pasado, suce-dido o escrito, hasta la sencillez de un cuento. Las dudas que sentimos noshan hecho elegir en muchas ocasiones la mayúscula en este escrito.

2 Más nombrado en los textos como papiro de Rhind, en una muestra de hastadonde llega el «democrático» enfoque eurocéntrico de la Historia. Aunque seconoce el nombre del redactor de la obra, se usa para referirse a ella el delcomprador de la misma 3500 años después.

3 Dice Chomsky que caracteriza al ser humano su capacidad para plantearseproblemas para los que no tiene respuesta. Obviamente nos referimos a pro-blemas científicos, que son más sencillos.

4 Ha producido, produce y (esperemos) seguirá produciendo. Basta observarlas reacciones de estudiantes de Primaria y Secundaria cuando el Ángel delos Números no está encerrado en las pizarras, como lamentaba Alberti, ysobrevuela libremente el aula.

5 «Además de sembrar para siglos la fértil semilla de la guerra, trajeron consi-go…»; «…nunca se incluyó entre los conocimientos que había de tener uncaballero, y ni siquiera un erudito, el dominio del árabe…».

6 Véase la cita de Kline recogida por G. Gheverghese Joseph (1996, pág. 28).

7 La misma Historia General de las Ciencias, de R. Taton, por ejemplo.

8 Que sí aparece todavía en algunos textos italianos del Renacimiento.

9 Véase, por ejemplo, la Disciplina Clericalis de Pedro Alfonso.

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CIENTÍFICOS GRIEGOS

Francisco Vera (Recopilación, estudio preliminar, preámbulos y notas)

2 volúmenes

Editorial Aguilar

Madrid, 1970

998+1190 páginas

121

RECENSIONES

La matemática griega 36

febrero 2001

Pocas veces una obra, como Científicos Griegos, que se define a sí misma como una antología,extracto de las aportaciones más significativas de la ciencia griega, produce en el lector la sen-sación de tener entre las manos un verdadero mirador desde el que se observa, si no con la niti-dez del primer plano sí con la visión que proporciona un punto desde el que se puede apreciarla enorme aportación de la ciencia griega a la cultura occidental y a la estructura del pensa-miento científico actual.

La obra se ocupa de toda la ciencia griega, ya que recoge obras, además de las de los gran-des matemáticos, que es lo que aquí nos interesa, las de Hipócrates, Teofrasto, Nicandro,

Dioscórides o Galeno, Platón, Aristóteles. De este modo, apare-cen textos de médicos y naturalistas junto a textos de los gran-des filósofos. Francisco Vera ha seleccionado de la obra inmen-sa de la ciencia griega textos en los que estos autores manifies-tan sus opiniones sobre las matemáticas en general, la geome-tría, la aritmética, la astronomía, la cosmografía, etc.

Es un hecho destacable que las obras seleccionadas de los mate-máticos, aparecen, muchas veces, completas, con multitud deanotaciones realizadas en lenguaje algebraico que facilitan allector actual, en gran medida, la comprensión del razonamientogeométrico de la matemática griega.

Francisco Vera ha seleccionado los escritos que mejor definenel pensamiento científico griego desde el siglo VI antes deJesucristo, en el que aparecieron los primeros naturalistas jonios,hasta el siglo V de nuestra era, en el que la ciencia griega sediluyó entre el practicismo romano, que comenzó a erosionarladesde el momento en que Egipto, y Alejandría con él, se convir-tió en una colonia del Imperio de Augusto.

Científicos Griegos es una antología en cuanto que seleccionaveintitrés autores y, de ellos, las obras y fragmentos que mejorrevelan sus ideas y el quehacer científico en Grecia y permitenconocer el legado que de ella hemos recibido. No obstante, porponer el ejemplo de los Elementos de Euclides, la selección reali-zada por Francisco Vera es muy amplia, ya que aparecen todaslas proposiciones de los Elementos que se recoge en una ediciónde los mismos, tan prestigiosa como la Opera Omnia de J.LHeiberg y M. Menge (1883-1916), aunque omite la demostraciónde unas pocas proposiciones ya que considera que el métodoempleado en su prueba es el mismo que el utilizado en alguna delas anteriores (tal es el caso de las proposiciones entre otras 61-65, 67-69, 80-84, 92-95,98-102, 105-107, 112-115 del libro X).

No es extraño que en una antología se trate de aligerar un pocola enorme dificultad conceptual de un libro que, como el libro Xde los Elementos de Euclides ha sido considerado la cruz de losmatemáticos desde que así lo denominó Simon Stevin (1548-1620). Este libro contiene la teoría generalizada de la propor-ción, el algoritmo de Euclides y los inconmensurables, el métodode exhausción, y llega a reconocer hasta trece líneas irraciona-les distintas.

La figura de Francisco Vera se ha visto reconocida, en el año2000, año mundial de las matemáticas y su obra, como mate-mático, historiador y filósofo de la ciencia, está siendo cada vezmás valorada. En el año 2000 se ha publicado una excelenteedición facsímil de su obra Los historiadores de la matemáticaespañola (1935), editada por Ricardo Luengo y José M. Cobosy publicada por la Federación Española de Sociedades deProfesores de Matemáticas con el patrocinio del Consejo Socialde la Universidad de Extremadura. En el prólogo de este librolos editores hacen una biografía de Vera y muestran una listaexhaustiva de sus libros y artículos publicados y hasta una seriede escritos inéditos. Del prólogo de esta obra hemos extraídouna buena parte de sus datos biográficos.

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Biografía de Francisco Vera

Francisco Vera y Fernández de Córdobanació en Alconchel (Badajoz), en 1888,fue uno de los historiadores de la cienciamás importantes que ha dado España y fueun científico y divulgador de gran relieveen el panorama de la ciencia española delmomento. A lo largo de su vida escribiócerca de setenta obras relacionadas conlas Matemáticas, la Historia de la Cienciay Filosofía de la Ciencia. Prueba de laimportancia y prestigio que llegó a alcan-zar es que formó parte del comité de recep-ción de Einstein, cuando éste visitó Españaen el año 1923. Francisco Vera, que, ade-más de matemático, era redactor delperiódico El Liberal, escribió la crónicaperiodística de las tres conferencias quepronunció en España el sabio alemán.

Con la caída de la República en España seexilió a Francia para luego pasar a laRepública Dominicana, después a Colom-bia y, finalmente, a Argentina donde murióel 31 de julio de 1967. Francisco Vera fueun reconocido republicano, masón y teóso-fo (por influencia de Mario Rosso de Luna)y fue condenado a muerte, entre otras cau-sas, por haber escrito el código criptográ-fico del ejercito leal a la República. Suestancia en Argentina coincidió con laestancia de Julio Rey Pastor (1988-1962).Dos personajes importantes de la cienciaespañola del momento coincidieron en elpaís sudamericano y entre los dos hubomuy pocas relaciones.

Julio Rey Pastor era, seguramente, el mate-mático más prestigioso en España y enArgentina. Cuando llegó Francisco Vera aBuenos Aires en el año 1943, Rey Pastor,afincado en ese país desde 1924, conprestigio conseguido por ser el máximoexponente de la matemática argentina, através de sus magníficos libros y por lahélade de discípulos, ya sabios e influyen-tes en ambos países. José Babini, JuanBlaquier, Juan Carlos Vignaux, Sixto Ríos,Ricardo San Juan, Luis Santaló o ManuelBalanzat forman parte de esa larga lista dediscípulos.

Se ha insinuado que entre Julio Rey Pastor yFrancisco Vera existieron desavenencias,pero Cobos Bueno y Luengo González afir-

Francisco Veraha seleccionado

los escritosque mejordefinen

el pensamientocientífico griego

desdeel siglo VI antes

de Jesucristo,en el que

aparecieronlos primerosnaturalistas

jonios,hasta el siglo Vde nuestra era,

en el quela ciencia griegase diluyó entreel practicismo

romano,que comenzóa erosionarla

desde el momentoen que Egipto,y Alejandría

con él,se convirtió

en una coloniadel Imperiode Augusto.

man en el prólogo de la obra Historiadoresde la Matemática Española que entre los dossiempre existió un respeto mutuo como loatestiguan diversos testimonios dejados porlos propios autores. No obstante, hubo doshechos que los mantuvieron distantes que fue-ron, por una parte, el discurso inaugural delcurso 1913 en la Universidad de Oviedo enel que el matemático riojano cuestionaba laexistencia de matemáticos en la historia deEspaña, opinión que no era compartida porVera, y, por otra, el apoyo que Rey Pastorprestó a la dictadura de Primo de Rivera.

La posición ante la política y una posiciónenfrentada ante a una polémica que se sus-citó a finales del siglo XVIII, que se prolongóa lo largo del siglo XIX y que se ha conoci-do como la Polémica de la Ciencia Espa-ñola marcó distancias entre estos dos espa-ñoles en Argentina. La Polémica de la Cien-cia Española dividió al mundo cultural ycientífico español entre los que pensabanque España no había aportado nada a laciencia universal y los que destacaban elgran número de aportaciones de los espa-ñoles a la ciencia y a la cultura. En todocaso no deja de resultar, cuando menos enprincipio, chocante la postura de ambosfrente a la ciencia española: Julio ReyPastor, que apreciaba el régimen políticoespañol de cualquier tipo (Primo de Rivera,República, franquismo) y cuya estancia enArgentina fue voluntaria, no apreciara laciencia española, mientras que un exiliadoobligado por motivos políticos, siguierahaciendo patria fuera de su país destacandola labor de los científicos españoles.

Francisco Vera destacaba la actividad cien-tífica de los investigadores españoles delpasado y del presente, tal es el caso del elo-gio que le hizo a José María Plans y Freyre(1878-1934) en su crónica del Liberal a latercera conferencia de Einstein:

El Sr. Plans ha estudiado la famosa y yapopular teoría desde que Einstein publicósus primeros trabajos en 1905 y ha dirigidolos trabajos de investigación de sus discípu-los en el Seminario Matemático para redac-tar varias tesis doctorales sobre Relatividad.Los que creen que en España se reciben lasnoticias con lamentable retraso, poniendolas tristes pinceladas de su pesimismo sobreel resurgimiento de la ciencia española, tie-nen en el Sr. Plans, hombre tan modestocomo sabio, el ejemplo vivo de que en la

silenciosa oscuridad luminosa de los gabinetes de estudio de loscatedráticos que no bullen, que no gritan, que viven en voz bajala vida de la populachería, se trabaja, como trabaja el Sr. Plans,por el porvenir de esta España científica tan amada y tan malcomprendida.

De este modo en 1923 hacía alusión a la Polémica de laCiencia Española y destacaba el buen momento de la ciencia ennuestro país.

Los científicos griegos

Realizar un comentario que recoja la opinión sobre cada uno delos aspectos que esta obra ofrece al lector es imposible a no serque se quiera hacer un resumen o un comentario extenso y, parahacer eso, saldría el lector ganando leyéndose el libro entero,que, por otra parte, le recomiendo ardientemente.

Comienza Vera con un estudio preliminar en el que los períodoshistóricos tradicionales en que se divide la historia de Grecia,helénico, helenístico y grecorromano no le parecen adecuadospara encuadrar la historia de la ciencia. Para un encuadre másadecuado la divide en seis partes también arbitraria, que sesolapan en el tiempo, pero permiten distinguir localizacionesgeográficas y presentar una visión, según Vera, más acordepara localizar, en el tiempo y en el espacio, el pensamiento cien-tífico griego. Los seis períodos son:

• Período Jónico. Período en el que florecieron, con Thales enMileto, Heráclito y Anaxágoras en Efeso y en Cnido y Cos,una serie de doctrinas médicas que unificó la escuela hipo-crática. Acaba este período hacia el 494 a. de C., fecha enque Mileto cayó en poder de Darío.

• La Magna Grecia. Apareció en Sicilia y el sur de Italia. Allísurgieron Pitágoras, hacia el 530, Parménides, hacia el 500,apareció el atomismo con Leucipo y Demócrito y surgieronlas paradojas que suscitó la aparición del infinito cuando lascotejó Zenón de Elea con la teoría atómica

• La época de los sofistas. Se extiende desde mediados delsiglo V hasta el siglo III, marcada por la figura de Sócrates.En esa época los sofistas perfeccionaron los métodos deargumentación y, por ejemplo, Hipócrates de Quíos escribiólos primeros Elementos de geometría que habían de culminaren los Elementos de Euclides.

• La escuela de Atenas: Desde el siglo V, con la Academia dePlatón, hasta el año 300 en que acaba el liceo de Aristóteles.Marcada por las aportaciones geniales de Platón yAristóteles.

• Período Alejandrino: Desde el siglo III a. de C. hasta el sigloI d. C. es la época de mayor brillantez científica y está repre-sentada por las obras de Euclides, Arquímedes, Eratóstenes,Hiparco y Erasístrato.

• Época de la decadencia: Se extiende desde la época deAugusto hasta que el califa Omar quemó los libros de laBiblioteca de Alejandría en 641. En esta época florecieronDiofanto, Pappo y Galeno.

La posiciónante la políticay una posición

enfrentada anteuna polémicaque se suscitó

a finalesdel siglo XVIII,que se prolongó

a lo largodel siglo XIX

y quese ha conocido

comola Polémica

de la CienciaEspañola

marcó distanciasentre estos dos

españoles[Vera y Rey Pastor]

en Argentina.

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ÍNDICE

Tomo IExplicación previa

Estudio preliminar

(Francisco Vera)

• Período jónico.

• La Magna Grecia.

• Época de los sofistas.

• Las escuelas de Atenas.

• Período alejandrino.

• Época de decadencia.

Bibliografía

Pitágoras

• La Década.

• Onomatomancia aritmética.

• Juicio entre adversarios.

• Versos dorados.

Hipócrates

• Juramento hipocrático.

• Aforismos.

• Sobre la medicina antigua.

Demócrito

• Cosmología.

• Matemática.

• Astronomía.

• Meteorología.

• Biología.

• Las sensaciones.

• Las cualidades sensibles.

Platón

• Teoría de las ideas.

• Aritmología pitagórica.

• El número nupcial.

• Aritmética.

• Geometría.

• Astronomía.

• Música.

• La ciencia del «Teeteto».

• Cosmología, Física y Biología del

«Timeo».

Aristóteles

• Naturaleza de la ciencia.

• Matemática.

• Astronomía.

• Cosmología.

• Física.

• Historia de los animales.

• De la generación de los animales.

• De los meteoros.

Teofrasto

• Clasificación de las Plantas.

• Plantas de hojas perennes y hojas

caducas.

• División de las plantas según su

germinación.

• Contra el finalismo.

• Influencias sobre la maduración.

• El fuego.

Eudemo de Rodas

• Cuadratura de las lúnulas.

Euclides

• Elementos de Geometría.

Aristarco

• Tamaños y distancias del Sol y de la

Luna.

• Comentario de Pappo.

Tomo II

Arquímedes

• Sobre la esfera y el cilindro.

• Medida del círculo.

• Sobre conoides y esferoides.

• Sobre las espirales.

• Del equilibrio de los planos o de

sus centros de gravedad.

• El Arenario.

• El problema de los bueyes.

• De la cuadratura y la parábola.

• Sobre los cuerpos flotantes.

• El método.

Apolonio de Pérgamo

• Las cónicas.

Eratóstenes

• Medida de la Tierra.

• Duplicación del cubo.

Nicandro

• Zeríaca.

• Alexifármaca (medicamentos pre-

ventivos o profiláctica).

Hiparco

• Posición de algunas estrellas.

• Cálculo de la hora nocturna.

• Teoría de los planetas.

Teodosio de Trípoli

• Las esféricas.

Herón de Alejandría

• Paralelogramo de los movimientos.

• Equilibrio sobre un plano inclinado.

• Momento estático.

• Las cinco máquinas simples.

• Máquinas compuestas.

• Cálculo de la raíz cúbica.

• Ángulo de incidencia y ángulo de

reflexión.

• El odómetro.

• El vacío.

• La eolipila.

• Apertura de las puertas de un tem-

plo encendiendo fuego sobre un

altar.

Dioscórides

• Materia médica.

Ptolomeo

• Geografía y corografía.

• Fundamentos de la geografía.

• Construcción de la esfera celeste y

sus principales paralelos.

• Plan del «Almagesto».

• Habitabilidad de la zona tórrida.

• Hipótesis de los planetas.

• Inscripción de Canopo.

• Refracción de la luz.

Galeno

• Procedimientos anatómicos.

• Los huesos.

• La disección de los músculos para

los principiantes.

• La bilis negra.

• La sangría: Contra Erasístrato.

Nicómaco de Gerasa

• Introducción a la Aritmética.

Pappo

• Colección matemática.

Diofanto de Alejandría

• Aritmética.

Proclo de Licia

• La esencia matemática.

• La geometría como rama de la

matemática.

• Geómetras anteriores a Euclides.

• Los «Elementos» de Euclides.

• Problemas y teoremas.

• Naturaleza del ángulo.

• Postulados y axiomas.

• El postulado de paralelismo.

Estructuración de la obra

La obra Científicos Griegos consta de unaexplicación previa en la que explica elencargo que le hizo de la obra el editorManuel Aguilar y las dificultades que tuvopara dar forma a la antología que le habíapedido. Insistiendo, sobre todo, en las difi-cultades que se derivan de la traducción. Lesigue un detallado estudio preliminar de todala obra en el que justifica la elección de losdiferentes autores y la selección de susobras. A continuación, da una nota sobre lastraducciones que se han hecho o utilizadopara construir la obra y la autoría de las mis-mas. Las traducciones de Aristóteles, Platón,Nicandro e Hipócrates han sido hechas porFrancisco de Paula Samaranch (n.1930), ladel Dioscórides está copiada de AndrésLaguna (1494-1560), traducción que ya fueelogiada por Cervantes en el Quijote (ParteII, cap. XVIII) y las obras de Galeno han sidotraducidas por Aníbal Ruiz Moreno (1907-1960). Las traducciones de las demás obrasy fragmentos fueron realizadas por FranciscoVera, así como las notas a pie de página,tanto de las traducciones propias como delas ajenas. Acaba esta parte introductoriacon una amplia bibliografía sobre la historiade Grecia.

Cada uno de los veintitrés científicos griegosseleccionados va precedido de un preámbu-lo, que es un estudio que sitúa al autor den-tro de su época y que aporta unas indica-ciones precisas para comprender su obra. Elpreámbulo de cada autor va seguido de unabibliografía específica de cada uno de ellos,que comprende traducciones anteriores desus obras, ediciones críticas de las mismas yartículos y libros publicados por otros auto-res sobre ellos y su obra.

El contenido matemático dela obra

Es difícil resumir el contenido de una obratan amplia, pero sí se puede plasmar la sen-sación que produce encontrarse ante elmonumento al saber humano que es la cien-cia griega. Francisco Vera ha sabido selec-cionar las obras de los autores adecuadospara apreciar la evolución de esta cienciaen el pueblo heleno.

Comienza con una selección de textos de Pitágoras que contie-nen la Década, Onomatomancia Aritmética y Juicio entreAdversarios en los que se pueden apreciar el misticismo con elque los pitagóricos trataban los números, a los que atribuían pro-piedades de adivinación del porvenir y un cierto esoterismo.

A continuación, se exponen fragmentos de las obras de Platón yde Aristóteles sobre las Matemáticas, la Aritmética, la Geometríay la Música para abordar la obra de Eudemo de Rodas (fl. 320a. C.), que fue discípulo de Aristóteles y, siguiendo la línea eru-dita del Liceo, escribió una Historia de la Geometría de la quese conservan fragmentos. El fragmento que selecciona y traduceFrancisco Vera es el de la Cuadratura de las Lúnulas deHipocrates de Quío, que es un ejemplo de las preocupacionesque ocuparon a los matemáticos en el período sofista.

El período Alejandrino está representado por Euclides, Arquí-medes y Apolonio. Los Elementos de Euclides en los que, comose ha dicho antes, aparecen todas las proposiciones salvo algu-nas demostraciones de las mismas, está presentado con clarasanotaciones sobre el significado y alcance de las diferentes pro-posiciones. Las obras de Arquímedes aparecen aclaradas connotas a pie de página y un lenguaje más actual, al igual que lossiete libros de Las cónicas de Apolonio.

La obra acaba con una selección de la Aritmética de Nicomacode Gerasa, que sirvió como base de la aritmética medieval, otraselección de Colección Matemática de Pappo, que aunque nosea completamente original constituye una colección de teore-mas, resultados y anécdotas que nos permiten adivinar el nivelque alcanzó la escuela de Alejandría hacia el año 300 de nues-tra era como finalmente la Aritmética de Diofanto con ampliasanotaciones y una selección de comentarios de Proclo sobretemas de matemáticas.

En suma, la obra puede ser que no constituya una obra paraespecialistas en Historia de la Ciencia, pues es una antología yde cada uno de los libros que seleccionó Francisco Vera se habíaneditado ya en 1970 excelentes ediciones críticas de todas ellas;pero, para el matemático, la obra constituye un medio de acer-carse a la ciencia griega con muchas introducciones históricasy, a través de los textos más significativos de la ciencia griega,pone al alcance del científico actual y del estudioso un materialabundante, muy anotado y bien seleccionado.

Víctor Arenzana HernándezJavier Arenzana Romeo

…la obrapuede ser que

no aportegran cosa

a especialistasen Historia

de la Ciencia,pues es

una antologíay de cada unode los libros

que seleccionóFrancisco Vera

se habían editadoya en 1970excelentes

ediciones críticasde todas ellas;

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pone al alcancedel científico

actualy del estudiosoun materialabundante,

muy anotadoy bien

seleccionado.

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Pitágoras Arquímedes

MATEMATICA EMOCIONALInés Mª Gómez ChacónNarceaMadrid, 2000

Con este título tan sugerente y con subtítulo «Losafectos en el aprendizaje matemático», nos pre-senta la profesora Gómez Chacón su último traba-jo matemático en el que a lo largo de 276 páginashace un repaso de la afectividad, las emociones,las creencias… todo ello en relación con la educa-ción matemática.

La autora define el contenido de su libro en el primer párrafo dela introducción al decir que «Matemática emocional es un libroque trata de las influencias afectivas en el conocimiento de lasmatemáticas» y para ello establece tres partes bien diferencia-das. La primera la dedica a planteamientos teóricos del apren-dizaje matemático desde la perspectiva afectiva, incluyendo unprimer capítulo dedicado a Afectividad y matemáticas, un segun-do a Emociones y matemáticas y un tercero a Configurar unmarco teórico de la dimensión emocional en educación mate-mática. Desde la primera página se plantea una serie de pre-guntas a las que irá respondiendo a lo largo de los capítulos,para lo que establece como concepto central, el dominio afecti-vo; como descriptores básicos creencias, actitudes y emociones,así como el significado de los afectos en matemáticas tanto comosistema regulador, como un indicador o como fuerzas de inerciao vehículos del conocimiento matemático.

Introduce a continuación algunas teorías psicológicas y socioló-gicas en relación con la emoción, para lo cual establece un cua-dro muy intuitivo para evitar al lector perderse y desarrolla pos-teriormente la perspectiva cognitivista de Mandler y de Weinerque han influido en las investigaciones en educación matemáticay afecto, completándolo con algunos de los elementos que carac-terizan las teorías constructivistas.

Por último, dentro del marco de planteamientos teóricos de la pri-mera parte del libro, configura un marco teórico de la dimensiónemocional en educación matemática haciendo una propuesta deintegración afecto y cognición, ya que según la autora «nuestrodeseo es poner de manifiesto la necesidad de articular afecto ycontexto», describiendo como dimensiones del estado emocionaldel resolutor de problemas: magnitud y dirección, duración, nivelde consciencia, nivel de control, estructuras de afecto en el suje-to y escenarios, terminando por afirmar que

la cualidad e intensidad del afecto puede tener gran influencia enel éxito o fracaso de muchos intentos del proceso de transferencia.

La segunda parte del libro está dedicada a dar respuesta a cues-tiones planteadas en la dimensión emocional de los alumnos y enla utilización en el aula de esta perspectiva, para lo cual empiezadesarrollando las creencias en educación matemática, aportando

referencias a estudios muy recientes en estedominio. Siguiendo a McLeod establece loscuatro ejes en relación a las creencias (sobrelas matemáticas, sobre uno mismo, sobre laenseñanza de la matemática y sobre el con-texto social al que pertenecen los alumnos),ejemplificándolo con casos prácticos en losque pone de manifiesto lo que para los alum-nos significa conocer matemáticas y el signifi-cado social de su aprendizaje. Nos presentapormenorizado el caso de Adrián que le sirvede soporte para desarrollar las característicasdel modelo de análisis que utiliza para cono-cer las reacciones emocionales de los estu-diantes en el aula. Y para poder diagnosticarel afecto local (estados de cambio de senti-mientos o reacciones emocionales durante laresolución de una actividad matemática a lolargo de la sesión de clase) la profesoraGómez Chacón establece la «estructura localafecto-cognición», que posteriormente comple-ta con el afecto global, viendo la necesidadde considerar la perspectiva de la identidadsocial en los procesos de aprendizaje mate-mático, presentando un interesante cuadrosobre escenarios, conductas y repercusión enel aprendizaje y comentándolo con algunosejemplos y la posición adoptada por tresalumnos en el grupo social, concluyendo conestas palabras «La imagen meramente racio-nal y fría del aprendizaje matemático comouna disciplina dura deja paso a la posibilidadde un aprendizaje en que el ejercicio racionalestá inmerso en un cúmulo de otros elementos:afectos, usos, creencias…». Por último esta-blece las relaciones significativas entre cogni-ción y afecto y su utilización en la enseñanzay aprendizaje de las matemáticas destacandodentro del Mapa de Humor de los Problemas(instrumento icónico que establece un códigopara expresar diferentes reacciones emocio-nales experimentadas por el estudiante en eltranscurso de la actividad matemática): curio-sidad, desconcierto, aburrimiento, prisa, blo-queado, come la cabeza, desesperación, ani-mado, confianza, de abuty, diversión, gusto,indiferencia, tranquilidad. Concluye estasegunda parte con unas implicaciones didác-ticas fruto del estudio llevado a cabo con ungrupo de alumnos del Centro Taller Fuencarralen las clases de Matemáticas.

En la tercera parte la autora hace una pro-puesta de formación del profesorado parala educación emocional en matemáticas,

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presentando el curso de formación queviene impartiendo desde 1994 para propi-ciar una formación sobre la dimensión emo-cional en matemáticas con tres objetivos fun-damentales: Proporcionar un conocimientode los diferentes aspectos que pueden blo-quear/estimular el aprendizaje en matemá-ticas, realizar un acercamiento de los conte-nidos actitudinales y presentar propuestasdidácticas de enseñanza/aprendizaje/eva-luación de la dimensión afectiva en mate-máticas en el aula.

De la lectura de este libro cabe apreciar dosbloques, por un lado el que conforman lasdos primeras partes y por otro la terceraparte. Para las dos primeras le sirve depunto de partida la investigación realizadaen su Tesis Doctoral, reflexionando en tornoa la búsqueda de propuestas alternativaspara estudiantes que fracasan en la mate-mática escolar, mientras que en el segundobloque desarrolla de forma pormenorizadael curso «Actitudes, afectividad y motivaciónen Matemáticas». Como anexo presentauna serie de cuestionarios utilizados en eldiagnóstico y se completa el libro con unaextensa y actualizada bibliografía.

De este interesante trabajo, fruto de la inves-tigación y de la práctica docente en mate-máticas, interesa su lectura detenida, refle-xionada y debatida con los compañeros yalumnos, para poder aportar un eslabónmás en la lucha contra el fracaso escolar enmatemáticas que nos invade a todos losniveles y que desilusiona con frecuencia aldocente educativo.

Y qué mejor forma de terminar esta reseñacon las propias palabras de la autora:

la ansiedad, el miedo, el temor y la deses-peración son estados afectivos esencial-mente indeseables …[y]…. el reto del edu-cador/a es irrumpir e interrumpir los senti-mientos negativos como paso previo a lanecesaria reconstrucción afectiva/cognitivaque deben tener lugar para el avance delestudiante encontrando caminos didácticosque favorezcan estos aspectos (pág. 154).

A buen seguro que el modelo propuesto porla profesora Gómez Chacón al plantearse«metas afectivas locales» ayudará a unamejor transmisión de los conocimientos en laEducación Matemática.

Andrés Nortes Checa

MATEMÁTICAS Y VIDA COTIDIANARevista Ábaco

2.a época, 25-26Gijón, 2000

ISSN: 0213-6252138 páginas

Con motivo del Año Mundial de lasMatemáticas, la revista Ábaco que, aunque elnombre tiene resonancias matemáticas, es una«Revista de cultura y ciencias sociales» ha

dedicado un número extra doble a la publicación de los textosde las conferencias de un ciclo, organizado por la SociedadAsturiana de Educación Matemática Agustín de Pedrayes, conel apoyo de la Fundación Municipal de Educación yUniversidad popular del Ayuntamiento de Gijón.

La edición, muy cuidada y excelentemente presentada (a pesarde estar algún párrafo cambiado de lugar), está a cargo deJosetxu Arrieta, presidente de la Sociedad Asturiana.

El Presidente del Gobierno de Asturias, y sin embargo profesorde Matemáticas, inició el ciclo de conferencias con una titulada«Las matemáticas ante su Año Mundial: perspectivas y retos».Después de destacar el papel de dicha disciplina en la filosofíay en las ciencias naturales y sociales, realiza un breve recorridohistórico sobre las matemáticas y su enseñanza en nuestro país,con una referencia explícita a Asturias y a Agustín de Pedrayes.

«¿Sirven para algo las matemáticas?» es la pregunta que tratade responder Claudi Alsina en su artículo-conferencia. Trascomentar los diez usos esenciales que para el autor deberíandarse a las matemáticas (resolver, elegir, cambiar de hábitos,interpretar, planificar, defenderse, reclamar, aclarar, criticar ydialogar), explicita las cincuenta aplicaciones matemáticas quetodo ciudadano debería saber.

Miguel de Guzmán presenta el artículo «Las Matemáticas y laestructura de la naturaleza». En él, describe la concepción de lamatemática que nos ha llegado de los pitagóricos, y trata dedesentrañar el significado del pensamiento matemático comoquehacer para entender mejor «las raíces y fuentes de la natu-raleza», en expresión pitagórica, analizando las diferentes pos-turas, formalismo y realismo, en torno a esta cuestión.

El siguiente artículo, «Las Matemáticas como disciplina científi-ca», está a cargo del filósofo Gustavo Bueno. Se relacionan lasmatemáticas con las disciplinas, considerándola como la disici-plina por antonomasia y estudiando su relación con las discipli-nas científicas en general. Todo ello desde una concreta con-cepción de la ciencia, desde la teoría del cierre categorial, teo-ría que rechaza las otras tres concepciones y modulaciones delas ciencias, tanto las descripcionistas y adecuacionistas comolas teoricistas.

Fernando Corbalán conduce por rutas matemáticas al«Descubrimiento de TERAMATES: la tierra de las Matemáticas».Se ocupa de las primeras noticias de su descubrimiento, algo dehistoria, opiniones sobre la misma, tanto de nativos, los llama-

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dos matemáticos, como de visitantes entusiastas e incluso escép-ticos al respecto, además de proporcionar una guía rápida paradescubrir TERAMATES a nuestro alrededor.

En «Taller de juegos matemáticos. Otras clases de Mates» seexplica, por parte de su coordinador Antonio González García,una actividad realizada por la Sociedad Asturiana que consistióen la realización de más de 60 talleres de juegos matemáticoscon el título de «Otras clases de mates» en centros de primaria ysecundaria de Asturias.

En el último artículo, el Secretario General de la Federación, JoséLuis García, relata la historia de la Sociedad Asturiana, dentrodel contexto del fenómeno asociativo del profesorado de mate-máticas que se ha dado en España en los últimos veinte años.

Emilio Palacián

GALOIS. REVOLUCIÓN Y MATEMÁTICASFernando CorbalánNivola libros y edicionesMadrid, 2000ISBN:84-930719-4-3124 páginas

El libro del profesor Fernando Corbalán cuenta labiografía del matemático francés Evaristo Galois(1811-1832), que en los pocos años que vivió tuvotiempo de llevar, por una parte, una vida noveles-ca de activista republicano frente a la monarquíade Luis Felipe de Orleans y, por otra, la labor deinvestigación y estudio de un genial matemático, que abrió losestudios del álgebra a nuevos horizontes cuando consiguió lasolución de un problema con el que se habían enfrentado losmás brillantes matemáticos durante cerca de tres siglos.

El autor ha sabido describir de una forma clara y precisa y conestilo literario francamente brillante la vida del genial matemáti-co francés. La obra está dividida en siete capítulos. En la intro-ducción describe la orientación que ha dado a la obra y susintenciones expositivas diciendo:

Esperamos que después de la lectura de este libro, que en defi-nitiva es una biografía novelada (al menos en parte) con argu-mentos que tocan en bastantes momentos las matemáticas,entiendas un poco mejor la vida en las primeras décadas delsiglo XIX; que hayas profundizado un poco en la historia delálgebra, en la que, como en los distintos aspectos del saberhumano, los avances se logran con el esfuerzo conjunto de hom-bres y mujeres de todas las épocas y lugares; que hayas com-probado que todos somos tributarios de los esfuerzos de lasgeneraciones que nos preceden; y por fin que te hayas emocio-nado con un joven apasionado por las matemáticas, en las queencuentra resultados importantes, y a la vez desesperado ante laresistencia de los mayores y de los sabios oficiales.

A lo largo del libro se puede apreciar lapersonalidad del joven Galois, idealista,comprometido, estudioso de aquello que legustaba (las matemáticas), con sus deseosde entrar en la Escuela Politécnica paraestudiar con los mejores matemáticos, consu radicalismo político que le llevó a for-mar parte del grupo extremista Societé desamis du people, con su ansiedad vehemen-te por ver publicados sus trabajos por laAcademia Francesa. Todo ello está expues-to con documentación adecuada y con unaexposición clara y compartimentada con laque el lector puede hacerse cargo de lapersonalidad de Galois y de la trascen-dencia de su obra.

El segundo capítulo está dedicado a una sín-tesis de la historia de Francia comenzandoen su Revolución, de 14 de Julio de 1789 yla venida del imperio napoleónico.Asimismo contextualiza estos hechos con lavida de Galois y la situación en España, queen el año de su nacimiento, 1811, era unode tantos territorios europeos que dependíande Napoleón.

El tercer y cuarto capítulos describen la bio-grafía científica y política de Galois. Suprocedencia familiar y primeros estudiosen el Liceo Louis le Grand. Cómo en elLiceo, hacia 1827, descubrió las matemá-ticas a través de Eléments de Géometrie deLegendre, que le abrió el camino hacia lalectura de obras como Teoría de Funcionesanalíticas y Lecciones sobre cálculo de fun-ciones de Lagrange, libros con los queentró en contacto con la teoría de ecuacio-nes, materia en la que llevaría a caboaportaciones importantes en los añossiguientes. Pero fue en 1828 cuando estu-dió con el profesor Richard, buen profesio-nal, al tanto de las últimas investigacionesmatemáticas que le proponía a Galois tra-bajos matemáticos que él iba haciendo conregularidad. Precisamente a instancias deeste profesor envió sus trabajos a laAcademia de Ciencias y nunca fueronpublicados por el informe negativo dePoisson, que los calificó de oscuros eincompletos y porque Cauchy nunca emitióun juicio sobre ellos para autorizar supublicación.

El autor narra también cómo fueron sus acti-vidades políticas que le llevaron a ser expul-

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sado de la Escuela Normal por una cartaque apareció en la Gazette firmada por unalumno de la misma. Por su militancia fueencarcelado en 1831 y siguió sus investiga-ciones matemáticas en prisión. Cumplió lacondena en abril de 1832 y murió por untiro de pistola recibido en un duelo el día 30de mayo de ese mismo año.

El libro también recoge el relato pormeno-rizado de cómo la víspera del duelo, el día29 de mayo, escribió tres cartas. Una diri-gida a todos los republicanos, otra proba-blemente, a sus compañeros de causa polí-tica Napoleón Lebon y Vincent Duchâteleta los que les anuncia su muerte al díasiguiente y otra, más larga a AugusteChevalier, que fue el testamento de sus des-cubrimientos matemáticos en la quedemuestra la condición que permite decircuándo una ecuación algebraica es resolu-ble por radicales. En la misma le pedía aChevalier que hiciera publicar esa carta enla Revista Enciclopédica y que pidiera opi-nión a Gauss o a Jacobi sobre la impor-tancia de esos teoremas.

Concluye el autor el libro con una serie dehipótesis sobre quién pudo ser el hombreque mató en duelo a Galois y cuálespudieron ser los motivos del mismo conuna serie de interesantes reflexiones detipo detectivesco que dan al libro unadimensión más novelesca. Finalmente,hace una somera introducción a las ecua-ciones de segundo, tercer y cuarto gradoy una descripción de las aportacionesmatemáticas de Galois a la teoría de ecua-ciones algebraicas.

La obra termina con una serie de ocho pro-blemas históricos de álgebra extraído de lasobras de Euler, Newton, Erdös, Polya, JuanJusto y Vallejo.

Considero que la lectura de la obra es muyrecomendable para los alumnos deSecundaria y Bachillerato porque aporta lavisión de un científico joven, comprometidoy brillante matemático en relación con lasociedad que le tocó vivir. La vida de Galoistiene un cierto aire de romanticismo heroicoque el autor ha sabido plasmar muy bien enel libro.

Víctor Arenzana Hernández

MONOGRÁFICO: AÑO MUNDIALDE LAS MATEMÁTICAS

Cátedra NovaRevista de Bachillerato

N.os 11 (junio 2000)y 12 (diciembre 2000)

En el Año Mundial de las Matemáticas, la revis-ta Cátedra Nova, que publica la AsociaciónNacional de Catedráticos de Bachillerato, bajola dirección de Julián Martín Martínez,

Catedrático de Literatura del IES Zurbarán de Badajoz, ha publi-cado dos monográficos (Enero n.° 12; Diciembre n.° 13) sobreeste evento.

Han abierto sus páginas monográficamente a los profesores dematemáticas, aunque cualquier momento, como indican en laintroducción, sería bueno para hablar de la importancia de lasMatemáticas, hecho que sintetizan citando a Cervantes cuandoen la segunda parte del Quijote hace que su protagonista seña-le meridianamente que el hombre «ha de saber matemáticasporque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad de ellas».

Cátedra Nova se hace eco de la inquietud de los profesionalesde la enseñanza manifestada en el «Congreso de la EducaciónSecundaria a debate» en que reiteradamente se puso de mani-fiesto la necesidad de reconocer el carácter instrumental de lasmatemáticas y la imperiosidad de dar un número suficiente dehoras a esta asignatura.

Cada volumen de cuatrocientas páginas, es un mosaico de cola-boraciones de profesores de diferentes lugares del estado. Encada uno de los dos volúmenes se tratan diferentes aspectos delas matemáticas así como otros muchos temas relacionados conla enseñanza y sus diversas áreas.

Con referencia a las Matemáticas, en el número 11, correspon-diente al mes de Junio, se publican los artículos:

• Han pasado cien años (Alicia Delibes).

• La formación matemática de los alumnos de EducaciónSecundaria (M.a Dolores de Prada Vicente).

• Cultura, historia y matemáticas: el tema de la medida (LuisM. Casas García, Ricardo Luengo González y CiprianoSánchez Pesquero).

• Una ciudad sin ruidos (Valentín Gómez Escobar y JuanMiguel Barrigón Morillas).

• Percepción del espacio urbano (Antonio Tobarra).

• Acerca de los criterios de divisibilidad (M.a Jesús Villar Rubio).

• Un apunte metodológico: las inecuaciones algebraicas degrado superior (Fernando del Valle García).

• Los signos del zodiaco en la astronomía griega (AntonioArribas de Costa).

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• El cálculo de la fecha del día de Pascua (M.a Jesús VillarRubio).

• La cuarta dimensión: materialización eléctrica de figuras tri-dimensionales (Fernando del Valle García).

En el segundo monográfico, revista número 12 de Diciembre,aparecen:

• Enseñar deleitando (Julián Martín Martínez).

• Los cursos de El Escorial.

• El curso de Matemáticas (Enrique Fernández Cara y JoaquínHernández Gómez).

• Matemáticas y medios de comunicación (FernandoCorbalán).

• El arte Mudéjar en Aragón como motivador del estudio de lageometría (Florencio Villarroya).

• Matemáticas y sistemas electorales (Eugenio Hernández).

• Aplicaciones elementales ligadas a las ecuaciones diferen-ciales y aspectos históricos (Manuel Delgado).

• Algunas aplicaciones del cálculo computacional a la ense-ñanza de las matemáticas (Roberto Rodríguez del Río).

• Una breve introducción a las matemáticas de la transmisión deinformación: La teoría de códigos (Adolfo Quirós Gracián).

• El número de oro (Andrés Ruiz Merino).

• Anecdotario Matemático (Fco. Javier Peralta Coronado).

Ricardo Luengo GonzálezCipriano Sánchez Pesquero

SISTEMAS MÉTRICOS Y MONETARIOSV. Vázquez QueipoServicio de Publicaciones.Diputación de LugoLugo, 2000ISBN:84-8192-175-0357 páginas

Este libro cuyo título completo reza Ensayo sobrelos Sistemas métricos y monetarios de los pue-blos antiguos desde los primeros tiempos históri-cos hasta el final del Califato de Oriente es latraducción, debida a Manuel Calvo López, del tomo segundo dela edición francesa de 1859.

Ha sido enviado recientemente a todos los asistentes a las IXJornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas,ya que fue la contribución de la Diputación de Lugo a las IXJAEM. El primer tomo de este libro fue entregado en formato digi-tal en el CD ROM de dichas Jornadas.

PASEOS MATEMÁTICOSPOR LOGROÑO

Carlos Usóny Juan M. de Blas

Sociedad Riojana deProfesores de Matemáticas

Logroño, 200032 páginas

La Sociedad Riojana en colabo-ración con la Casa de lasCiencias de Logroño y el Comité

Riojano del Año Mundial de las Mate-máticas ha editado este fascículo, quesiguiendo otras iniciativas análogas, haceun recorrido matemático urbano por la ciu-dad de Logroño.

Para preparar al lector a los tres paseos ciu-dadanos a que son invitados, los autores ini-cian su trabajo con unos breves textos, amodo de ensayos, cuyos títulos son más quesugerentes:

• El cálido abrazo de la complicidad.

• Una mirada inteligente.

• Pero… ¿hay álgebra en las aceras?

• La menos sensual y más cotidiana de lascurvas.

• Navegar en un mar de calma.

• La acogedora caricia de la proporción.

• La inquietante incertidumbre de la arit-mética.

• Parábolas, catenarias y otros apaciblesmonstruos.

• Un torreón con ventanas a la calle.

• El seductor descaro de la geometría.

• La caricia poética.

Finalizan estas páginas con unos apéndices(Matemáticos riojanos; Curvas especiales;Relojes de Sol; Teselaciones del plano y delespacio; Grandes números; y Estructurasalgebraicas) y unas bellas fotografías mate-máticas.

Emilio Palacián

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LAS MATEMÁTICASDEL SIGLO XXUNA MIRADAEN 101 ARTÍCULOSNúmerosVolúmenes 43 y 44Sociedad CanariaIsaac Newtonde Profesores de MatemáticasCoedición con Nivola524 páginas

Pero siendo una revista de educación matemática, el alcance de estaobra no podía limitarse a dar un repaso a los aspectos relacionadoscon la investigación matemática. Tambien se encuentran numerososartículos dedicados a la enseñanza de las matemáticas, buena partede ellos escritos por miembros de las sociedades federadas en laFESPM, como puede dar idea la siguiente lista:

• La importancia de lo tangible en el aula de matemáticas (J.Giménez).

• Los libros de texto de matemáticas (B. Gómez).

• El papel de la historia de las matemáticas en la enseñanza(M. Sierra).

• Algunos aspectos de matemáticas recreativas (F. Corbalán).

• De la instrucción matemática a la educación matemática (F.Velázquez).

• La formación de profesores de primaria desde la didáctica delas matemáticas (Mª V. Sánchez, S. Llinares, M. García, I.Escudero).

• Resolver problemas: ayudar a los alumnos a pensar por símismos (Mª Luz Callejo).

• Didáctica de las matemáticas y formación de los profesoresde matemáticas de secundaria (S. Llinares, Mª V. Sánchez,M. García, I. Escudero).

• El desarrollo de la educación estadística en el siglo XX y pers-pectivas futuras (C. Batanero).

• El precálculo, un eslabón necesario entre las funciones y elanálisis (C. Azcárate).

• Sentido numérico (A. Bruno).

• Una mirada hacia las «matemáticas modernas» (. J. Hernández).

• Arquitectura del siglo XX y clases de matemáticas (C. Alsina).

• La consolidación de la educación matemática como discipli-na científica (J.D. Godino).

• Una visión de la didáctica de la matemática en Francia (F.Villarroya).

• Jean Piagel y su influencia en la educación (M.M. Socas).

• El papel dinamizador de las sociedades de profesores dematemáticas en España (Mª J. Luelmo).

• Congresos internacionales de Educación Matemática: del IVal VIII (L. Balbuena).

• Universidad, investigación y didáctica de la matemática enEspaña (L. Rico).

• Los ordenadores en la enseñanza de las matemáticas (A.Gutiérrez).

• Las publicaciones de las sociedades (E. Palacián).

•. Las dimensiones políticas y educacionales de la etnomatemá-tica (U. D’Ambrosio).

• El sentido del ICMI hoy (M. de Guzmán).

• Luis Antonio Santaló: matemático, científico, educador (N.Vázquez de Tapia).

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Antonio Martinón ha coordinado el equipode editores integrado por José Luis Aguiar,Luis Balbuena, Alicia Bruno, Juan AntonioGarcía Cruz, José Manuel Méndez,Casiano Rodríguez León, José Sabina,Rodrigo Trijillo y Fidela Velázquez, que porencargo de la Sociedad Canaria deProfesores de Matemáticas son responsablesde este número especial de la revistaNúmeros, con motivo del Año Mundial delas Matemáticas. En él participan 106 auto-res que a través de los 101 breves artículosse han esforzado por hacer asequible a unpúblico no especialista:

…el arte propio de esta ciencia, la bellezade sus creaciones, la que se puede con-templar en sus teorías, teoremas y demos-traciones. Los problemas que en el pasadosurgieron como desafíos a la inteligenciadel ser humano, así como otros nuevos queen el siglo se han planteado, están en labase de la investigación desarrollada enestos años, habiendo sido muchos de ellosdefinitivamente resueltos.

Frente a otros libros de divulgación matemáti-ca, aquí no se rehuye tratar temas que hanmovido la investigación matemática pura,yendo más allá de aquellos que han tenidomás resonancia en los medios de comunica-ción y los libros de divulgación, como los frac-tales, el caos, el teorema de los cuatro colores,el último teorema de Fermat… Así que tambiénse puede leer una breve introducción a los 23problemas de Hilbert, motor de la investiga-ción matemática de todo el siglo, una sencillaexplicación de la conjetura de Poincaré, de laparadoja de Banech-Tarski, o de la hipótesisdel continuo. O introducciones a alguna de lasnumerosas ramas que han proliferado en lamatemáticas del siglo XX: el análisis de datos,geometría simpléctica, la optimización combi-natoria, el teorema de Black-Stokes…

A través de los distintos artículos de esta obra se pretende mos-trar el papel central de las matemáticas en la cultura del siglo XX,tanto desde la educación, como en su relación con las otras cien-cias de la naturaleza y la tecnología, con las ciencias sociales,en la constitución del pensamiento moderno, en el arte… Y tam-bién mediante su presencia en los cambios políticos, sociales yeconómicos del siglo XX. Las matemáticas aparecen así comouna tarea humana. Para ello algunos artículos se dedican a labiografías personales y científicas de algunos de los hombres ymujeres que más han destacado en las matemáticas del siglo XX.

En palabras de Antonio Martinón, en este libro «…hay de todo,aunque, desde luego, no está todo». Con ello se quiere decir queno hay que esperar un manual sobre la historia de la matemáti-ca, de sus aplicaciones prácticas y de la educación matemáticaen el siglo XX. Su pretensión es más bien impresionista ya que,enfocando su mirada sobre unos cuantos aspectos, pretende daruna ponorámica de lo que han sido las matemáticas en el sigloXX. Y creo que lo consigue…

Julio Sancho

un matemático aleman, Gustav Links, de laUniversidad de Leipzig, donde trabaja enuno de los problemas del Programa deHilbert, nada menos que Hipótesis delContinuo. Para presentarlos, el autor descri-be su formación y el campo en el que tra-bajan, y así vemos como al joven y brillantefísico recién licenciado le entrevista J. vonNeumann para decidir si debe ser admitidoen Princeton y le plantea un problema deteoría de juegos. Luego será su colaborador.Su paso por el Instituto de EstudiosAvanzados le lleva a convivir con grandesde la ciencia como Einstein o Gödel.Mientras Links, que es el narrador del relato,explica el porqué de su pasión por el infini-to, mediante el relato de la vida de Cantor.Luego, a lo largo de la guerra, será uno delos colaboradores de Heisemberg en el pro-grama atómico alemán.

Estos dos personajes entran en contacto acausa de la misión que le encomiendan alamericano. Una vez finalizada la guerra,hay que capturar al asesor científico de Hitlerque controló el programa de investigacionesatómicas del III Reich. La investigación los lle-vará a entrevistarse con prestigiosos científi-cos, sobre todo físicos, que participaron enla génesis de la Teoría Cuántica. Desfilaránpor el relato, Planck, Heisenberg, von Laue,Schröedinger, Bohr,… que tomarán la pala-bra y hablarán de Mecánica Cuántica, perotambién de las relaciones entre ellos, de lasmezquindades dentro de la vida científica yde su papel en la guerra y sus relaciones conel poder. Y acaban convirtiéndose en losauténticos personajes de la novela, atrapa-dos en dilemas muy humanos.

Quizá pueda parecer que se trata de una«novela de física», más que de matemáticas,pero creo que no debemos olvidar que en elprograma de Hilbert, uno de los 23 proble-mas era el de axiomatizar la física matemáti-ca y que éste es el tema científico de la nove-la; y, por tanto, completamente inserto dentrode la matemática del siglo XX.

Para mi gusto la novela tiene baja un pocosu nivel cuando describe las vidas de lospersonajes de ficción, Bacon y Links, ya quea veces parece que estemos leyendo un«best seller», pero ello no desmerece delnivel general que es sobresaliente.

Julio Sancho

132

EN BUSCA DE KLINGSORJorge VolpiSeix BarralBarcelona, 1999ISBN:84-322-0788-8444 páginas

Esta novela no se publicó al calor del AñoMundial de las Matemáticas, –recibió el pre-mio Biblioteca Breve del año 1999–, perobien podría haber cabido dentro de esapequeña eclosión del genero de «novelas matemáticas» que hasurgido en este último año. En este caso se trata de novelar elesfuerzo de desarrollo científico relacionado con la consecucióndel arma atómica.

Desde mi punto de vista estamos ante una novela de más fusteque otras recientes de este género, sobre todo en lo tocante a sucalidad literaria y a la profundidad del pensamiento del autor.Más allá de cubrir ciertas pretensiones didácticas, reflexionasobre las relaciones de la ciencia con el mal. Y qué mejor esce-nario para esta reflexión que la época nazi y la complicidad delos científicos alemanes con el horror nazi. Además de un temainteresante, tenemos un tratamiento literario brillante, una narra-ción en la el autor nos hace desear saber lo que va a ocurrir,unos personajes creíbles y bien dibujados…

La novela tiene dos personajes principales. Un joven físico ame-ricano, Francis P. Bacon, enrolado en el ejercito después de unbreve paso por el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y

Olimpiada Matemática Nacionalde la FESPM

Prueba por equipos

BENVINGUTS!! BIENVENIDOS!!

Acabáis de llegar a nuestra ciudad, Sant Feliu de Guíxols,

perteneciente a la comarca del Baix Empordà, para reali-

zar la última prueba por equipos. Tranquilos, será fácil y

durará poco: de las 10h30 a las 12h30 aproximadamente.

Después podréis disfrutar un poquito del mar, el sol y la

tranquilidad de esta ciudad. Pero, además, nos gustaría

que también pudieseis saber un poco más de nosotros, los

guixolenses, de nuestra ciudad y de nuestra historia. Todos

los historiadores están de acuerdo en aceptar que el tér-

mino Sant Feliu procede de la antiquísima tradición que

sitúa el martirio del cristiano Feliu, originario de África, en

nuestra población. De hecho, en los primeros documentos

del s. X ya se la denomina así. Probablemente el origen de

la palabra guíxols deba buscarse en una lengua prerroma-

133

Olimpiada: prueba por equipos

CRÓNICAS

XI

36

febrero 2001

na hablada, el ibero, ya que en la llamada Punta delGuíxols se encontraba un primitivo poblado ibérico. Laspruebas que hemos seleccionado se relacionan con la his-toria de la ciudad, y también muy próximos entre sí paraque no os canséis caminando. Todas ellas se realizarán enel Paseo Marítimo.

LAS TRES PRUEBAS

La prueba práctica se divide en tres partes: La fuente delPaseo Juli Garreta, El Casino de la Constancia y El espigóndel Fortim.

Como formamos un grupo muy numeroso, haremos losiguiente: De los 12 grupos de 4 alumnos más acompa-ñante, una tercera parte, del grupo n.° 1 al n.° 4 comen-zarán por la primera prueba; del 5 al 8, por la 2.a, y del 9al 12, por la 3.a. A continuación, los grupos que han ter-minado la primera prueba harán la 2.a; los de la 2.a, la 3.a,y así sucesivamente. Pensad en distribuiros bien el tiem-po (unos 40 minutos como máximo por prueba).

Cada grupo dispondrá del siguiente material:

• una cinta métrica;

• un portafolios con clip;

• papel blanco, lápiz y goma;

• 3 hojas del cuestionario a rellenar;

• un pequeño plano de la zona.

Lo primero que tenéis que hacer es rellenar los datos dela última hoja.

Prueba 1. Los jardines de Juli Garreta

Durante la fiesta mayor de 1932, el president Macià inau-guró en estos jardines el monumento dedicado a JuliGarreta, obra del escultor Enric Monjo.

Juli Garreta (1875-1925) fue músico y compositor de sar-danas.

Su producción musical fue celebrada y aplaudida por emi-nentes personalidades y músicos de renombre mundial,como Pau Casals, Strawinsky, entre otros.

En estos jardines de Juli Garreta nos encontramos con otromonumento, la máquina n.° 1 del carrilet de Sant Feliu, elprimer ferrocarril de vía estrecha de 75 cm que hubo en Es-paña y que inauguró la línea Sant Feliu-Girona el año 1892.

La fuente del Paseo

Cerca veréis una fuente de 6 surtidores.

Es simétrica, «casi-rectangular», pero con

las 4 esquinas curvadas hacia adentro.

Bien, deseamos conmemorar el 125 ani-

versario del nacimiento del compositor

y para ello queremos embellecer la

fuente poniendo mármol sobre su

borde. Éste cuesta 14.500 ptas el metro

cuadrado.

Se trata de calcular cuánto le costará al

Ayuntamiento esta obra (en lo que se

refiere al gasto de mármol, se entiende).

Os recomiendo que hagáis previamente

un croquis de la fuente a escala, por

ejemplo, 1:100.

Aquí tenéis una fotografía de la fuente.

134

Juli Garreta

Pasos que hay que seguir

1. Dibujad un croquis sobre el papelmilimetrado a escala 1:100.

2. Tomad las medidas de los 4 ladosrectos, tanto interiores como exte-riores, con la cinta métrica (no lohagáis por piezas de piedra porqueno son todas iguales).

3. Considerad los 4 tramos curvoscomo si fueran 1/4 de corona cir-cular. Medid con la cinta la longi-tud del arco interior, multiplicadlopor 4 y hallaréis la longitud de lacircunferencia pequeña, de la cualpodéis deducir el radio.

4. Sumad el grosor del borde (igualen todo lugar) al radio hallado yobtendréis el radio del exterior.

5. Con una simple resta de las áreasde los círculos, obtendréis el áreabuscada.

6. Ojo con las uniones: prolongad la

circunferencia exterior tal como indi-

ca la línea de puntos de la figura.

cúpula de tres niveles de altura cubierta de mosaico blan-co y azul. Las paredes del edificio están profusamentedecoradas con celosías, arabescos,... Las aberturas de laplanta baja acaban todas con un arco de herradura, algu-nas marcadas entre columnas al estilo andaluz. En cam-bio, las aberturas del piso acaban en arco de herraduraapuntado.

En el interior del edificio, hay un café con un rincón enca-rado al mar muy interesante decorado con tres arcos deherradura. Merece la pena mencionar la excepcionalbiblioteca que se conserva en el piso superior del edificio,lugar de lectura muy frecuentado y utilizado hasta media-dos del siglo XX por obreros y clases populares de la ciu-dad en la época de mayor industrialización.

El Casino de la Constancia

Bien, un profesor os esperará en la entrada del recintopara acompañaros al primer piso, donde hay un ampliolocal en el que disponéis de mesas y sillas para trabajar. Setrata de que contestéis a las siguientes preguntas quehacen referencia a fechas históricas de Sant Feliu y a otrosnúmeros interesantes. Para poderlas contestar necesitaréisfijaros en una serie de elementos que encontraréis cercade vosotros:

1. ¿Cuál es la distancia entre Sant Feliu y la frontera conFrancia? Pista: Cuenta el número de puertas del pisoque dan al exterior y después el número total decolumnas; las cifras en este orden te darán el resultado.

2. La sociedad tipo casino más antigua que se fundó enSant Feliu se llamaba «La Unión». ¿En qué año sefundó? Pista: El triple del número de rosetones deyeso que hay en el techo (de los cuales cuelgan focos)y el número de barrotes de la baranda que habéisencontrado subiendo a mano derecha, y en esteorden, os darán la fecha.

3. ¿Cuántos kilómetros cuadrados tiene el municipio?Pista: Sumad una unidad al número de lados que tienela curiosa estrella que hay en los rosetones de yesodel techo.

4. La costa guixolense es muy recortada. ¿Sabríais decir-nos su longitud total en kilómetros? Pista: Divide portres el número de flores de yeso con 5 pétalos queencontrarás en algún lugar sobre la única pared conarcos y columnas adornadas con figuras de yeso, ysúmale 2 unidades.

5. ¿En qué año del siglo XX el president de la GeneralitatJosep Irla (guixolense) tuvo que marcharse al exilio?Pista: Sólo necesitas saber las dos últimas cifras: sal unmomento a la terraza y verás una casa señorial muyantigua, la Casa Patxot, que actualmente es la sede dela Cámara de Comercio; de los dos números queocupa el edificio en la calle, escoge el primero.

135

7. Finalmente sumad las áreas queobtengáis y hallad el precio totaldel mármol.

Prueba 2. El Casino del Nois

En el paseo de Sant Feliu de Guíxolsnos encontramos con el casino de laConstancia, llamado popularmente el«Casino dels Nois», que vendría a serantiguamente el casino de los obreros(local social donde se reunían y discu-tían...), para distinguirlo del casino delos señores.

Se trata del edificio más insólito de todala arquitectura guixolense; su aspectonos hace pensar en la arquitecturaárabe o mozárabe. Tuvo una primeraconstrucción en 1888 y fue diseñadapor General Guitart, aunque su cofra-día arranca del 17 de enero de 1851.Posteriormente se hicieron ampliacio-nes (1899 y 1928).

El Casino dels Nois es un edificio can-tonero de planta, piso y desván queen la esquina posee una tribuna circu-lar de dos pisos que acaba en una

6. En este Casino, el dels Nois, se ve por primera vez entelevisión el partido Barça-Madrid, ¿podéis decirme enqué año? Pista: Evidentemente te faltan las dos últimascifras de un año del siglo XX, éstas las obtendrássumando los dos números que ocupa la casa Patxoten la calle y restando 22.

7. Para terminar, vamos a ver cómo estáis de historia yde cuadrados mágicos: El virrey D. Juan de Austriaataca la bahía guixolense incendiando el arrabal deTueda. ¿En qué año sucedió tal hecho? Este suceso nopertenece al siglo XX, sino a mucho antes. Pista: Lafecha te la darán los números que faltan de izquierdaa derecha y de arriba abajo del siguiente cuadradomágico de suma 15 (un cuadrado mágico tiene la par-ticularidad de que suman lo mismo filas, columnas ydiagonales. ¡Compruébalo!):

Leyenda del martirio de Sant Feliul’Africà

La leyenda más tradicional ha sido la delmartirio de Feliu l’Africà en la Punta delsGuíxols, lugar que más tarde se conoce-rá con los nombres de Fortim ySalvament. Sant Feliu, nacido en África,predicó el cristianismo en estas tierras aprincipios del siglo IV. Se dice que fuellevado al Turó dels Guíxols o delFortim, donde hoy está el edificio delSalvament, y desde allí, por el acantila-do, fue arrojado, con una rueda demolino atada al cuello, al fondo del mar,por la banda de Calassanç, donde losángeles lo recogieron y lo pasaron alpuerto de l’Abric, a través de la cueva ogrieta (dicen que producida por elimpacto de la rueda de molino) que haydebajo del peñón, llegando sano a laplaya opuesta (la actual).

Desgraciadamente, hoy, el Club Náuticonos impide verla.

136

8

3 5 7

2

Prueba 3. El Fortim

Edificio del Salvamento

Situado encima del peñón dels Guíxols, proyectado por elmaestro de obras Pius Prujà y construido en 1889-1890.En 1886 se constituyó la delegación local de la SociedadEspañola de Salvamento de Náufragos.

El poblado ibérico dels Guixols

El primer núcleo de población propiamente estable (urba-no), poblado ibérico autóctono de marcada influenciagriega, lo hallamos emplazado en el promontorio delsGuíxols del s. IV aC. El lugar era muy estratégico. Lapunta dels Guíxols es una pequeña colina granítica que,adentrándose en el mar, separa la bahía de Sant Feliu endos playas, la de Calassanç y la actual playa conocida enla antigüedad como el puerto de L’Abric (abrigo). Elnombre de Guíxols es un topónimo que parece ser pro-viene de los iberos allí situados.

El espigón del Fortim

Bien, pues al final del paseo, yendo alSalvament, veréis un pequeño espigónrestaurado que se adentra hacia el mar,cuya vista aérea nos ofrece aproxima-damente la forma que vemos en lapágina siguiente.

Nos hemos apuntado a un campo detrabajo durante el verano para restaurarlas paredes laterales interiores del espi-gón con piedras que imitan ser anti-guas, de dimensiones 40 cm x 20 cm.Taparemos también los desagües quehaya. Tenemos que colocar las piedrasde la forma que nos indica la figura de

más abajo. Intentad no romper muchas,ya que partir una losa es tarea muylaboriosa.

¿Cuántas piedras de estas dimensionesnecesitaremos? ¿Cuántas piedras tendre-mos que partir como mínimo?

Pasos que hay que seguir:

1. Calculad primero la altura de lapared interna del espigón: Tomadla altura en 3 puntos distintos delrecorrido y calculad la media arit-mética. Como la pared acaba en unborde redondeado, tomad la alturamáxima, apoyando el portafolios deforma horizontal encima del muro.(Ved figura de sección transversaldel muro).

2. Luego medís el perímetro: Empe-zad el recorrido como indica la fle-cha. Allí habrá un profesor por sitenéis dudas.

3. Para que trabajéis mejor, os reco-mendamos que una vez tomadaslas medidas, hagáis un croquis aescala, por ejemplo 1:100.

4. Calculad el área en metros cuadra-dos y divididla por el área de lalosa del tipo citado anteriormente, yobtendréis el número total de losasnecesarias.

5. Haced un croquis en el papel decuántas losas quedarán partidas.Especificad el número.

137

h

PLANO DE SITUACIÓN0: Plaza del Monasterio

1: Jardines de Juli Garreta2: Casino dels Nois3: Espigón del Fortim

Proyecto «Talento matemático»

(fin del primer bienio)

Hace dos años, escribí para el boletín de la Asociación«Emma Castelnuovo» de Madrid (n.° 14, abril 1999) y paraSUMA (n.° 30, febrero 1999) una «crónica» bastante super-ficial de la presentación del proyecto «Talento matemático».

Confesada de antemano mi condición de «infiltrado» (nimatemático, ni español) y mi implicación personal en elproyecto (como padre de una y profesor de otro de losintegrantes del primer grupo de alumnos elegidos), en micomentario intenté ser rápido y evitar la pedantería.

Me arriesgaba a ser poco serio y superficial, pero me inte-resaba más dejar claro un punto que me parecía condivi-sible para los profesores de matemáticas que se reconocenen las propuestas de la Asociación:

Que el proyecto tuviera el objetivo de enriquecer la experienciaescolar de los participantes y no el de acelerarla o sustituirla.

En este sentido, evaluaba positivamente la experienciaalemana y, en consecuencia, la que iba a empezar enMadrid, inspirada en ella, que me parecían totalmentecoherentes con el trabajo que intentamos, con muchasdificultades por parte de la institución, desarrollar en lasaulas.

Por eso, pedía al director del proyecto, Miguel deGuzmán, y he continuado haciéndolo en todas las ocasio-nes en las que han reunido a los padres, que se estable-cieran relaciones entre el grupo de profesores involucra-dos en el proyecto y los profesores que trabajan cada díaen las aulas con alumnos de la misma edad.

En junio de 2000, el primer grupo de alumnos terminó lafase presencial, que los tuvo ocupados cada mañana desábado tres horas durante dos años.

Se les ofrece ahora continuar en relación con el grupo deprofesores que ha llevado el proyecto, reuniéndose unpar de veces al año y, aún más, a través de una páginade Internet, abierta a todos, que estará lista en muypocos días.

Este grupo ha sido sustituido por otro grupo, y el proyec-to, terminada la fase experimental, ha encontrado unafinanciación por parte de la Fundación Airtel y parece des-tinado a implantarse en otras comunidades.

La página web permitirá a los muchos compañeros queestán interesados en las actividades del proyecto teneracceso directo a parte del material utilizado y poder char-lar con profesores y alumnos.

Espero que Miguel de Guzmán y su grupo presenten a loscompañeros el resultado de su excelente trabajo y las pro-puestas de nuevas actividades.

Por mi parte, desde mi punto de obser-vación muy secundario, puedo sólovalorar muy positivamente el proyecto:

• los chicos y las chicas han trabaja-do a gusto y con una extraordinariacontinuidad;

• la relación con los profesores hasido excelente;

• el material propuesto, interesante;

• el aprendizaje ha resultado signifi-cativo y la motivación en relacióncon las matemáticas se ha manteni-do y, en muchos apartados, que enla escuela normalmente se descui-dan, ha mejorado.

Creo que el mejor síntoma del éxito delproyecto sea el que los ex alumnosestán encontrando a faltar esas mañanasdel sábado, cuando tenían que levantar-se más temprano que sus compañeros yesforzarse tres horas en torno a extrañascuestiones que, una vez resueltas, dejanuna muy peculiar sensación de euforia.

A juzgar por la participación en la últi-ma reunión, sábado 16 diciembre, tam-bién a los padres nos falta algo.

Así, que un sentido ¡Enhorabuena! atodo el equipo de profesores y muchasuerte para el futuro de las actividades.

Guido Ramellini

Metro de Barcelana

También en el Metro de Barcelona hanconmemorado el Año Mundial de lasMatemáticas, como puede verse en estebono:

138

JORNADAS para el Aprendizaje yEnseñanza de las MatemáticasLas X Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las

Matemáticas (X JAEM), convocadas por la Federación

Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y

organizadas conjuntamente por la Sociedad Aragonesa de

Profesores de Matemáticas «Pedro Sánchez Ciruelo» y el

Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de

Zaragoza, se celebrarán en Zaragoza los días 7, 8 y 9 de

septiembre de 2001.

Los actos plenarios tendrán lugar en el Auditorio de Zara-

goza y el resto en la Facultad de Ciencias de la Univer-

sidad de Zaragoza, situada en el Campus de la Plaza de

San Francisco.

Programa científico

El Comité de Programas ha elaborado el siguiente programa

constituido por conferencias plenarias, ponencias, comuni-

caciones, zoco matemático y talleres, que girará en torno a

ocho núcleos temáticos básicos.

Dentro de estos temas caben acercamientos desde: el tra-

tamiento de la diversidad, aspectos históricos, investiga-

ción didáctica, experiencias, recursos, gestión del aula,

resolución de problemas, etc., así como desde los diversos

niveles educativos.

CONFERENCIAS PLENARIAS

• LUIS BALBUENA. Reflexiones y retos en la Educación

matemática.

• M.a ANTONIA CANALS. Educación Matemática en las pri-

meras edades.

• MARTIN KINDT. ¿Probar o no probar?, es la cuestión.

139

X JAEM

CONVOCATORIAS

X

36

febrero 2001

PONENCIAS

Núcleo temático 1La modelización como actividad matemática

• MIQUEL ALBERTÍ. Kepala kelapa o de cómo salvar dis-continuidades y picos.

• CARMEN BATANERO. Aleatoriedad: modelización, simu-lación.

• JAVIER PÉREZ FERNÁNDEZ. Matemáticas fuera de lasMatemáticas.

• JULIO SANCHO. Modelización de problemas de pobla-ción.

[Moderadores: Víctor Arenzana y Félix Matute]

Núcleo temático 2¿Qué pasa con la demostración?

• CARMEN AZCÁRATE. Definiciones, demostraciones, ¿porqué?, ¿cuándo?, ¿cómo?

• JOSÉ M.a GAIRÍN. Aprender a demostrar: los juegos deestrategia.

• TOMÁS RECIO. La mecánica de la demostración y lademostración mecánica.

• VICENTE RIVIÈRE. Convencer y formalizar: papel y lími-tes de la demostración en secundaria.

[Moderadores: Rafael Escolano y José Luis GarcíaRodrigo]

Núcleo temático 3Lenguaje visual y geometría

• PEDRO HUERTA. El lenguaje geométrico en la formaciónde profesores.

• ARTURO MANDLY. La geometría como base del conoci-miento matemático.

• FRANCISCO MARTÍN CASALDERREY. Forma y proporción.Visión matemática de algunas obras de arte.

• ANTONIO PÉREZ SANZ. Matemáticas, historia e imagen:un trinomio cuadrado perfecto.

[Moderadores: José M.a Bandrés y Gloria Blasco]

Núcleo temático 4Funciones: una confluencia de lenguajes

• JORDI DEULOFEU. Las funciones en la educación secun-daria: ¿para qué?, ¿cómo? Aportaciones de la investi-gación.

• JUAN M.a GARCÍA DOZAGARAT. ¿Qué se aprende del len-guaje de las funciones?

• EDUARDO LACASTA. ¿Son los gráficos cartesianos unsoporte intuitivo privilegiado del aprendizaje de fun-ciones?

• XARO NOMDEDEU. Funciones para las caracolas.

[Moderadoras: Pilar González y Rosa Pérez]

Núcleo temático 5

Azar: la matemática de lo posible

• JUAN ANTONIO GARCÍA CRUZ. Inferen-cia y significación estadística

• MANUEL PAZOS. La probabilidad en laescuela, ¿una casualidad?

• ANTONIO PÉREZ JIMÉNEZ. Probabili-dad: historia y aprendizaje.

• ANNA POL. Más allá de la asignación deprobabilidades: comprender el azar.

[Moderadores: M.a Dolores Castán yJosé M.a Sorando]

Núcleo temático 6

Números: significado y destrezas

• EVA CID. Modelos concretos en la en-señanza de los números negativos.

• BERNARDO GÓMEZ. Las concepcionesescolares de los números decimales.

• CARLES ROMERO CHESA. Sobre algu-nos entornos de significado para losnúmeros reales.

• JOSÉ ROMERO SÁNCHEZ. ¿Son fascinan-tes las matemáticas? El número.

[Moderadores: Pilar Fernández yEusebio Rodríguez]

Núcleo temático 7

Álgebra: ¿cuándo? ¿cómo?

• ANTONIO GONZÁLEZ GARCÍA. Razonesy sinrazones de los contenidos al-gebraicos en la ESO y su tratamien-to: lo que hay y no debería haber ylo que no hay y sí debería haber.

• CARLES LLADÓ. La dependencia fun-cional como campo de problemaspara el estudio del álgebra.

• LUIS PUIG. Signos con los que operaren el nivel de la expresión: un com-ponente de la historia del álgebra.

• FIDELA VELÁZQUEZ. Una propuesta detránsito gradual de la Aritmética alÁlgebra.

[Moderadores: Esperanza Infante yCarlos Usón]

Núcleo temático 8Medida: de la regla a la trigonometría

• LUIS BERENGUER. Instrumentos demedida no convencionales para pri-maria y ESO.

Comité Nacional

de programas

José Luis Álvarez(Presidente)

Antonio Aranda

Carmen Azcárate

Xaro Nomdedeu

Emilio Palacián

Vicente Rivière

Julio Sancho

140

• MARTA BERINI. Ángulos, longitudes yproporcionalidad: su aplicación a laconstruccción de tablas de orientacióny al cálculo de la latitud de un lugar.

• Mª JESÚS LUELMO. Medir en secunda-ria: algo más que fórmulas.

• CARLOS MEDEROS. Aparatos de medi-da astronómica y trigonometría.

[Moderadores: M.a Ángeles Arroyo yJavier Galarreta]

COMUNICACIONES

• Los asistentes podrán presentarcomunicaciones a los distintos nú-cleos temáticos, preferentemente.

• La extensión máxima de cada co-municación será de cinco páginas(alrededor de 10.000 caracteres).

• El plazo de admisión de comunicacio-nes finalizará el 15 de abril de 2001.

• Antes del 15 de junio de 2001 seconfirmará a los autores si la comu-nicación ha sido aceptada por elComité de Programas.

• Normas más precisas para el envíode originales se remitirán a quienlas solicite o pueden verse en lapágina web de las X JAEM.

ZOCO MATEMÁTICO Y TALLERES

En estas JAEM, y retomando la expe-riencia de las III y IV JAEM, se vuelve aconvocar el Zoco Matemático, un espa-cio para presentar físicamente todo tipode materiales didácticos, pósters, etc.,con la presencia de los autores, con losque se podrá departir sobre sus trabajos.Además, los participantes podrán pro-poner la impartición de algún taller.

El plazo para presentar propuestas enestas secciones finalizará el 1 de mayode 2001. Quien desee participar enellas, deberá solicitar las normas corres-pondientes, por el mismo procedimien-to que para las comunicaciones.

Otras actividades

En el transcurso de las JAEM tendránlugar otras actividades: Programa cultu-ral, Exposiciones, Videomaratón, Es-tands y presentaciones comerciales…

Inscripciones

Para inscribirse en las X JAEM es preciso enviar a laSecretaría de las Jornadas (X JAEM. ICE Universidad deZaragoza. c/ Pedro Cerbuna, 12. 50009-Zaragoza) la fichade inscripción adjunta cumplimentada, junto con el justifi-cante de pago de la cuota de inscripción, que puedehacerse por los siguientes procedimientos:

• Talón nominativo a favor de «FESPM: X JAEM».

• Transferencia a la cuenta de Ibercaja n.°:2085 0168 55 0330014972

• Giro postal.

El periodo de inscripción finalizará el 30 de abril de 2001para las cuotas reducidas, y desde esa fecha hasta el 30 dejunio para las normales. Las cuotas de inscripción son lassiguientes:

141

Cuotas reducidas Cuotas normales(Antes del 30/4/01) (Después del 30/4/01)

Sociosde la FESPM 10.000 pts. 14.000 pts.

No socios 17.000 pts. 22.000 pts.

Fecha límite: 30 de junio de 2001.

Asistencia limitada a 800 personas.

Anulaciones: Sólo serán atendidas aquellas solicitudes de

reembolso de inscripción realizadas antes del 30 de junio

de 2001.

Alojamiento

Para todas las cuestiones relacionadas con viajes y reser-

va de alojamiento, dirigirse a la Agencia Oficial de Viajes

de las Jornadas:

Tívoli Congresos

c/ Verónica, 16

50001 ZARAGOZA

Tel.: 976 200 368; Fax: 976 201 404

Correo: congresos@viajestivoli.com

Secretaría JAEM

X JAEM.

ICE Universidad de Zaragoza

c/ Pedro Cerbuna, 12

50009 ZARAGOZA

Fax: 976 76 13 45

Correo electrónico: xjaem@posta.unizar.es

página web: www.unizar.es/ice/jaem

Comisión

Organizadora

Emilio Palacián(Coordinador)

Jesús Antolín

José M.a Gairín

Ana Pola

Julio Sancho

XIX Concurso de Resoluciónde Problemas

Está convocado por la Sociedad «Puig Adam» de Profesores

de Matemáticas y el Colegio de Doctores y Licenciados en

Ciencias y en Filosofía y Letras.

Bases del Concurso

Primera: Los alumnos podrán participar en el Concurso en

tres niveles:

a) Primer nivel: alumnos de 3.° de ESO.

b) Segundo nivel: alumnos de 4.° de ESO.

c) Tercer nivel: alumnos de 1.° Bachillerato (3.° BUP y

2.° y 3.° de FP II).

Segunda: Las pruebas consistirán en la resolución de Pro-

blemas de Matemáticas (los mismos para todos los con-

cursantes de un mismo nivel) y se realizarán en la maña-

na del sábado 23 de junio del 2001 a partir de las 10 horas.

Tercera: A los mejores de cada nivel, se concederán diplo-

mas y premios.

Cuarta: Los Centros que deseen presentar alumnos (hasta

un máximo de seis) deberán realizar la preinscripción

antes del dia 21 de Mayo del 2001, dirigiéndose por carta

al presidente de nuestra sociedad:

Prof. Javier Etayo Gordejuela

Departamento de Algebra

Facultad de Ciencias Matemáticas

28040-Madrid

En la preinscripción no es preciso hacer constar los nom-

bres de los alumnos seleccionados. Si algún centro desea

presentar más de seis alumnos, debe solicitarlo antes de la

fecha mencionada anteriormente.

Quinta: Los centros entregarán a losalumnos que envíen, credenciales indi-viduales en las que se haga constar quehan sido seleccionados por su excep-cional aprovechamiento enMatemáticas, así como el curso en queestán matriculados en el año académico2000-2001.

Nota importante: Los dos primeros cla-sificados de cada nivel son invitados aparticipar en la Olimpiada Rioplatensede Argentina, en diciembre de 2001 (enel supuesto de que se consigan becaspara pagar los billetes hasta BuenosAires).

53 Encuentro de laCIEAEM

Por problemas organizativos la reuniónde la CIEAEM prevista en Rodas(Grecia), ha cambiado de lugar y defechas. El 53 Encuentro de la CIEAEM,sobre el tema «Mathematical literacy inthe digital era» tendrá lugar en Verbania(Italia, Lago Mayor), desde el 21 al 27 dejulio de 2001.

La fecha límite de envío de comunica-ciones es el 28 de Febrero. Se puedeencontrar más información en la web

www.dm.unito.it/cieaem53/index.html

o escribiendo a la Coordinadora, Prof.Luciana Bazzini,

bazzini@dm.unito.i

142

NORMAS DE PUBLICACIÓN

1. Los artículos se remitirán por triplicado a la redacción de SUMA (Revista SUMA, ICE de Universidad de Zaragoza, C./Pedro Cerbuna 12, 50009 Zaragoza), impresos a doble espacio, por una sola cara, en formato Din A-4.

2. Los datos de identificación del autor no deben figurar en el texto original ya que éste será enviado a asesores para serreferenciado. Estos en ningún caso serán informados de la identidad del autor o autores del trabajo y aconsejarán laconveniencia o no de la publicación del trabajo, o recomendarán posibles modificaciones, etc.

3. Los gráficos, diagramas y figuras se enviarán en hojas separadas (una para cada gráfico), en tinta negra sobre papelblanco. Así mismo, podrán incluirse fotografías. En el texto debe figurar el lugar donde deben ser colocadas; de igualforma, si tiene que llevar un pie de ilustración, éste se reseñará en la hoja donde aparece la ilustración.

4. Adjunto al artículo se redactará un resumen, de entre cinco y diez líneas, que no necesariamente tiene que coincidircon la Introducción al artículo. Debe ir escrito en hoja aparte. En ese mismo folio aparecerán los datos de identifica-ción del autor o autores: nombre y apellidos; dirección completa; lugar de trabajo; teléfono de contacto; sociedad fede-rada a la que pertenecen (si procede).

5. Si se usa procesador de texto, agradeceremos que además se envíe un disquette con el archivo de texto que contengael artículo, así como tantos archivos gráficos, como figuras elaboradas con el ordenador se quiera incluir. La etiquetadel disquette debe identificarlo sin lugar a dudas. En cuanto al formato de los archivos de texto, se recomienda MS-Word (hasta versión 5.0) en Macintosh, o WordPerfect (hasta versión 5.1) en PC. Los archivos gráficos es preferibleque tengan formato EPS o TIFF.

6. En cualquier caso, tanto un ejemplar del texto como los gráficos, si proceden de impresoras, deben ser originales y nofotocopias.

7. Los trabajos se enviarán completos, aunque por necesidades de edición pudieran publicarse por partes.

8. Las notas a pie de página deben ir numeradas correlativamente, numeradas con superíndices a lo largo del artículo.

9. La bibliografía se dispondrá al final del artículo, por orden alfabético de apellidos, indicando autor(es), año, título delartículo, título de la revista completo (en cursiva o subrayado), volumen y páginas del mismo. Por ejemplo:

TRIGO, V. (1995): «Generación de números aleatorios», Suma, n.° 20, 91-98.

En el caso de libros se indicará el autor(es), año, título completo (en cursiva o subrayado), editorial y lugar de edición.Por ejemplo:

GARDNER, M. (1988): Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, Labor, Barcelona.

En el caso de artículos que se encuentran en una obra colectiva se indicará el autor(es), año, título del artículo (entrecomillas), título del libro (en cursiva), editorial y lugar de edición. Por ejemplo:

VILLARROYA, F. (1987): «Geometría: construir y explorar», en Aspectos didácticos de matemáticas, 2, ICE Universidadde Zaragoza, Zaragoza.

10. Dentro del texto, las referencias a la bibliografía se indicarán con el apellido del autor y el año entre paréntesis. Porejemplo: …supone un gran avance (Hernández, 1992).

Si el autor aparece explícitamente en el texto tan sólo se pondrá entre paréntesis el año. Por ejemplo: …según Rico(1993).

11. Posteriormente, se notificará a los interesados la aceptación o no del artículo, así como -–en caso afirmativo– la posi-ble fecha de su publicación. En ese momento los autores se comprometerán a retirar el artículo de otras publicacionesa las que lo hayan remitido. No se mantendrá correspondencia sobre las causas de no aceptación de un artículo.

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Señores, les ruego atiendan, con cargo a mi cuenta/libreta y hasta nueva orden, los recibos que periódica-mente les presentará la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) para elpago de mi suscripción a la revista SUMA.

Atentamente (Fecha y firma):

Fotocopiar y enviar a: Revista SUMA. ICE Universidad de Zaragoza. C./ Pedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

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