NORMA VENEZOLANA

TECNOLOGÍA DEL CONCRETO. MANUAL DE ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

COVENIN 3549:1999

FONDONORMA

PRÓLOGO La presente norma fue elaborada de acuerdo a las directrices

del Comité Técnico de Normalización CT27 Tecnología del concreto. Manual de elementos de estadística y diseño de experimentos y aprobada por FONDONORMA en la reunión del Consejo Superior N° 1999-13 de fecha 14/12/1999.

En la elaboración de esta norma participaron las siguientes

entidades: PREMEX; Ministerio de Infraestructura; ALIVEN; B.R.S. Ingenieros; Cámara de la Construcción; Cementos Caribe; COCIPRE; COINPRESA; Colegio de Ingenieros; COLOCA; CETELCA; C.V.G.; EDELCA; FUNDALANAVIAL; GRACE Venezuela; Ing. Control Calidad - I.C.C.; INGEROCA; Lab. Centeno Werner; LABSUELOS; LAFARGE-Cementos La Vega; LATEICA; LASUECONAF; M.B.T. de Venezuela; Nueva Casarapa; Oficina Técnica Ing. J.V. Heredia; Oficina Técnica S-03; Premezclados Avila; Premezclados Caribe; PREPICA; Serviconcreto Valencia; S.O.P.E.C.; SIDETUR; SIKA de Venezuela; SIMPCA; TECNOCONCRET; Universidad de Carabobo; Universidad Católica Andrés Bello; U.C.V.-IMME-Facultad de Ingeniería; Universidad Metropolitana; U.S.B. Centro de Ingeniería de Superficie; CEMEX-VENCEMOS; VENMARCA -MIXTOLISTO; VIPOSA.

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1 INTRODUCCIÓN, ESTADÍSTICA, CONCEPTOS BÁSICOS

Con razón se ha definido a la Estadística como la ciencia de tomar decisiones en presencia de la incertidumbre, pues en el largo camino de la investigación científica, constantemente nos enfrentamos con la incertidumbre, y si bien no podemos decir que la Estadística, en su estado actual de desarrollo, da solución a todas las situaciones que impliquen inseguridad, cada vez se desarrollan métodos nuevos que proporcionan el fundamento para el análisis de estas situaciones con base científica, de una forma lógica y sistemática.

El estudio de la estadística, el empleo de los métodos estadísticos, puede ser dirigido a los campos específicos de investigación y es precisamente nuestro objetivo en este trabajo, puntualizar aspectos básicos de su aplicación en el campo de la Tecnología del Concreto.

Los métodos estadísticos manejan datos obtenidos de observaciones, en forma de mediciones o conteo, siempre a partir de una fuente de observaciones, con el objetivo de arribar a conclusiones respecto a dicha fuente.

Uniendo los dos conceptos antes expuestos se puede decir entonces, que los métodos estadísticos son aquellos que sirven para obtener conclusiones acerca de poblaciones a partir de muestras.

La parte de los métodos estadísticos dedicada a la obtención y compendio de datos, se denomina estadística descriptiva, en tanto que la parte que trata de hacer inferencias, o sea de obtener conclusiones, se denomina inferencia estadística.

La mayor parte de los métodos estadísticos tienen dos objetivos:

§ Estimar alguna propiedad de la población

§ Probar alguna hipótesis respecto a la población

Estos son por tanto, los dos problemas básicos de la inferencia estadística. Los problemas que tratan sobre la prueba de alguna hipótesis respecto a la población, o sea de la decisión de aceptar o rechazar determinada hipótesis, se basa en la Teoría de las probabilidades. Esto es indispensable, pues una conclusión basada en una muestra involucra una información incompleta acerca de la población, por lo que no se puede hacer con absoluta certeza.

La magnitud de la probabilidad asociada a una conclusión, representa el grado de confianza que se posee sobre la veracidad de dicha conclusión. Por ejemplo, cuando se dice que la probabilidad de que una estimación tenga un error menor de 3%, es de 0,95, esto debe interpretarse como que alrededor del 95% de tales afirmaciones, hechas por un estadígrafo son válidas y cerca del 5% no lo son.

Una población, en el lenguaje estadístico, es un conjunto de individuos de cualquier especie o un conjunto de objetos de cualquier clase.

En una gran parte de los casos, cuando se estudian muestras y poblaciones, el interés se concentra en una sola característica de los miembros de la población.

Obtener una muestra de una población, de manera que puedan extraerse conclusiones válidas para la población de la que proviene, no es tan sencillo como parece.

Para que la muestra sea realmente representativa, tiene que ser extraída de la población al azar.

Un muestreo es al azar, o aleatorio, si cada uno de los miembros de la población tiene igual posibilidad de ser elegido, o sea que la probabilidad de la selección de cada uno sea igual. Para ello el método elegido para el muestreo tiene que asegurar la independencia y las características de probabilidad constante de la muestra. A tal efecto las tablas de números aleatorios se construyen de manera que arrojen muestras que poseen estas propiedades deseadas, por lo que las muestras obtenidas utilizando tablas de números aleatorios se consideran como muestras al azar.

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MANUAL DE ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

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La razón principal del muestreo al azar es que conduce fácilmente a los modelos probabilísticos de distribución.

Existen muchísimos ejemplos de fracasos ocurridos con el empleo de los métodos probabilísticos, debido a que se han extraído conclusiones basadas en muestras que no han sido tomadas al azar.

Si bien el método para seleccionar una muestra al azar es bastante difícil en situaciones prácticas, el esfuerzo es bien compensado, pues los problemas de inferencia estadística generados por haberle hecho concesiones al azar, son considerablemente más complicados y serios.

2 METODOLOGÍA DEL MUESTREO ALEATORIO

Para efectuar el muestreo aleatorio es indispensable establecer de antemano el alcance de la población a la que se va a extraer la muestra.

En el campo de la Tecnología del Concreto, la población se define por un lote.

Se denomina lote, al volumen de concreto de igual o semejante dosificación y materiales componentes, que es confeccionado y puesto en obra en condiciones sensiblemente iguales y que se somete a juicio de una sola vez.

En la producción de concreto a escala industrial, el lote se puede definir por volumen o por tiempo. Por ejemplo, el lote de concreto producido por una planta preparadora de concreto, con rendimiento de trabajo de 60 m3/h, se puede establecer como la producción de un concreto de determinada calidad (digamos 20 MPa de resistencia a compresión a 28 días), con iguales materiales y condiciones de elaboración sensiblemente iguales, como:

§ Un volumen neto de 600 m3.

§ La producción de un día de trabajo, considerando una jornada de 8 h (de 8:00 am a 5:00 pm) con una hora de almuerzo incluida.

El segundo paso consiste en definir una frecuencia de muestreo, o sea cada qué magnitud de producción de concreto se deberá tomar una muestra. La frecuencia mínima de muestreo se establece con carácter normalizativo en algunos países, pero para evaluar la producción de concreto es conveniente contar con no menos de 30 muestras y sólo en los casos en que esto no sea posible porque los volúmenes producidos sean pequeños, no menos de seis muestras.

Para el ejemplo definido anteriormente, digamos que se tomará una muestra de seis probetas cada 100 m3 de concreto producido.

Como tercer paso, resulta conveniente dividir el lote en sublotes, donde cada sublote indicará el punto donde se deberá tomar una muestra. Por ejemplo en el caso del lote definido por volumen, la cantidad de sublotes quedará definida por el cociente:

NSL = lote

lote

mm

/

/

.100

.6003

3

= 6 sublotes

Una representación esquemática de la división del lote en sublotes como la mostrada en la Figura 1, puede resultar conveniente.

Figura 1. Representación esquemática de la división del lote establecido por volúmenes, en sublotes

3

En el caso del lote definido por tiempo, el número de sublotes se determina por:

NSL = muestra

lotehh

mm

/

/8./

.100.60

3

3

= 4,8 muestras / lote

O sea cinco muestras, pero como se ha dicho anteriormente, el mínimo necesario para un análisis estadístico son seis muestras por lote, o lo que es lo mismo seis sublotes luego cada sublote tendrá un intervalo de tiempo total de:

TSL = lotesublotes

hloteh/.6min/.60./8

= 80 min / sublote

En la Figura 2 se muestra la representación esquemática de esta división del lote en sublotes.

Figura 2. Representación esquemática de la división del lote, establecido por tiempo, en sublotes

El cuarto y último paso consiste ya, en la determinación del Plan de Muestreo con el auxilio de una tabla de números aleatorios. En la Tabla A1 del Anexo A se muestra una lista ordenada de números aleatorios en cuatro fracciones decimales, que hemos considerado adecuada a este fin.

En el caso del lote definido por volumen, se toman por ejemplo los seis primeros números aleatorios de la primera columna de la tabla y se efectúa el producto del número aleatorio por el volumen del sublote, tal como se muestra en la Tabla 1.

Tabla 1. Determinación del Plan de Muestreo. Lote definido por volumen

Sublote Número aleatorio

Volumen del sublote

(m3)

Volumen del lote a muestrear

(m3)

Volumen total a muestrear

(m3)

1 0,4751 100 47 47

2 0,6936 100 69 169

3 0,6112 100 61 261

4 0,7930 100 79 379

5 0,0652 100 6,5 406,5

6 0,4604 100 46 546

En el caso del lote definido por tiempo, se efectúa el producto del número aleatorio por el intervalo de tiempo de cada sublote, tal como se muestra en la Tabla 2.

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Tabla 2. Determinación del Plan de muestreo. Lote definido por tiempo

Sublote Número aleatorio

Magnitud del sublote

(min)

Tiempo del muestreo en el sublote (min)

Momento del muestreo

1 0,4751 80 38 8:38 am

2 0,6936 80 55 10:15 am

3 0,6112 80 49 11:29 am

4 0,7930 80 63 2:03 pm

5 0,0652 80 5 2:25 pm

6 0,4604 80 37 4:17 pm

En el primer caso el momento del muestreo queda determinado por el volumen de concreto que va llegando a la obra, en el segundo caso por la hora del día de trabajo.

En las Figuras 3 y 4 se indican los esquemas del Plan de Muestreo para los lotes definidos por volumen y por tiempo respectivamente.

Figura 3. Representación del Plan de Muestreo para el lote definido por volumen

Figura 4. Representación del plan de muestreo para el lote definido por tiempo

3 CLASIFICACIÓN DE LOS DATOS DE UNA MUESTRA

Cuando se estudia una población, el interés se centra generalmente en una sola característica de los miembros de la población. Tal característica puede ser una variable continua, o una variable discreta.

El término variable continua se aplica a variables capaces de tomar cualquier valor dentro de un intervalo de valores, como por ejemplo: La temperatura, el tiempo, las resistencias mecánicas.

Las variables discretas son aquellas que en general toman valores discretos y enteros. Son más bien contables que mesurables, como por ejemplo el número de accidentes de tránsito que se producen en un día, número de niños en una familia, etc.

La clasificación de los datos de una muestra, es una tarea propia de variables continuas, pues las variables

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discretas, por naturaleza, se clasifican de forma natural.

La experiencia y la teoría indica que para la mayor parte de los datos, resulta adecuado utilizar entre 10 y 20 clases, tomando por supuesto el valor de 10 para las cantidades más pequeñas de datos.

Un número de clases inferior a 10 provoca que se pierdan muchos detalles (que pueden ser importantes) en la muestra, en tanto que más de 20 complican innecesariamente los cálculos.

Para determinar las fronteras entre los intervalos de clase se deberá partir de los valores máximo y mínimo del grupo. Veamos por ejemplo los valores de las medias muestreales de los ensayos de resistencia a compresión a 28 días de un lote de concreto. Nos referimos a las medias muestreales, pues cada uno de estos valores es la media del ensayo de tres probetas cilíndricas de (15 x 30) cm (todas las medidas son en MPa):

18; 19,2; 18,4; 20; 17,6; 18,5; 19; 17,7; 18,7; 18,2; 17,8; 18,4; 18,5; 18,6; 18;6; 18,9; 18,8; 18,8; 18,9; 18,9; 18,9; 19,1; 19; 19,2; 19,3; 19,4; 20; 20,3; 19,6; 19,8; (30 valores).

Valores máximo y mínimo: 20,3 y 17,6 Diferencia: 2,7 MPa

Como esta gama de valores debe dividirse en partes iguales y esas partes deben ser de 10 a 20, si se toman 10, el intervalo es de 0,27 y si se toman 20 es de 0,135 por lo que se tomará 0,2 que corresponde a ese intervalo y está pegado a 10, pues 30 valores no es un gran número de datos.

El primer intervalo de clase debe contener siempre a la medida más pequeña del conjunto de datos, por lo que en nuestro caso debe comenzar por lo menos en 17,6. Paro para evitar que alguna medida quede en la frontera de dos intervalos de clase adyacente, se acostumbra a escoger las fronteras con media unidad más de la aproximación con que se hayan obtenido las medidas. En este caso las medidas de resistencia se han tomado con una aproximación de 0,1 MPa, por lo que tomaremos 0,05 MPa y el primer intervalo de clase se extenderá de 17,55 a 17,75. Para determinar los siguientes intervalos de clase basta ir sumando reiteradamente 0,2 MPa, hasta que la medida máxima, que es de 20,3 MPa quede incluida en el último intervalo, tal como se muestra en la Tabla 3.

Cuando se han establecido las fronteras de clase, se coloca cada medida del grupo en el intervalo de clase adecuado. La forma más sencilla de hacerlo es como se muestra en la Tabla 3, trazando una barra vertical para representarla. El conteo de estas barras por intervalo de clase le indica la frecuencia de aparición de los datos, por lo que a esta tabla se le denomina también Tabla de Frecuencias.

Al hacer esta clasificación ya se supone que todas las medidas incluidas en un mismo intervalo de clase tienen el valor del punto medio de dicho intervalo, que se denomina marca de clase .

Es importante observar que la sumatoria de las frecuencias de todos los intervalos de clase tiene que ser igual al número total de mediciones, o sea en nuestro caso al número total de medias muestreales de resistencia, por lo que:

n = f1 + f2 + f3 + … + fh

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Tabla 3. Tabla de frecuencias de las medias muestreales de la resistencia a compresión del concreto a 28 días

Fronteras de clase (MPa)

Frecuencias Marcas de clase (MPa)

Frecuencias (f)

17,55 – 17,75 √√ 17,65 2

17,75 – 17,95 √ 17,85 1

17,95 – 18,15 √ 18,05 1

18,15 – 18,35 √ 18,25 1

18,35 – 18,55 √√√ 18,45 3

18,55 - º8,75 √√√√√ 18,65 5

18,75 – 18,95 √√√√√√ 18,85 6

18,95 – 19,15 √√√ 19,05 3

19,15 – 19,35 √√ 19,25 2

19,35 – 19,55 √ 19,45 1

19,55 – 19,75 √ 19,65 1

19,75 – 19,95 √ 19,85 1

19,95 – 20,15 √√ 20,05 2

20,15 – 20,35 √ 20,25 1

Una distribución de frecuencia, como la obtenida en la Tabla 3, se puede visualizar más fácilmente si se presenta de forma gráfica. Para representar variables discretas por lo general se utilizan gráficos lineales. En el caso de las variables continuas resultan de mayor aplicación práctica los histogramas.

En la Figura 5 se muestra le histograma de la distribución de frecuencias de la Tabla 3. En este caso las fronteras de clase aparecen indicadas en el eje de las abscisas, en tanto que en las ordenadas aparece la frecuencia.

Así la frecuencia correspondiente a cualquier intervalo de clase se representa por la altura del rectángulo cuya base es el intervalo en cuestión.

El histograma permite determinar la naturaleza de la Distribución de Frecuencias, sin embargo para obtener informaciones más precisas, es indispensable efectuar su descripción matemática.

4 DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

La naturaleza de un problema estadístico es lo que determina en gran medida, si con unas cuantas propiedades matemáticas simples se puede describir o no satisfactoriamente.

Los momentos de la distribución son ciertas cantidades numéricas calculadas a partir de la distribución, cuya utilidad ha sido ampliamente probada por los estadígrafos. Mientras más momentos de distribución se conocen, mayor información se tiene sobre la distribución.

Los más utilizados son los momentos de órdenes inferiores (primero y segundo). En ciertos problemas se usan

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los primeros cuatro momentos, pero muy rara vez se usan más de cuatro, ya que los momentos de órdenes superiores no son muy precisos, a menos que se cuente con una muestra muy numerosa, y no aportan información adicional de importancia en la mayor parte de los problemas.

El primer momento de una distribución de frecuencias (m1) es la media aritmética o promedio.

Dada una muestra de “n” valores de cierta población, identificados por X1, X2, X3, … , Xn, la media aritmética será:

nXXXX

X n++++=

..........321 , o lo que es lo mismo,

n

X

X

n

lii∑

==

Figura 5. Histograma de las medias muestreales de las resistencias a compresión de los hormigones a 28 días

Cuando se trata de datos clasificados, los valores que se presentan son las marcas de clase, identificadas por X1, X2, X3, ...., Xh, y las frecuencias asociadas a estas clases, identificadas por f1, f2, f3, ..., fh. En este caso la media aritmética se calcula por:

n

fXfXfXfXX hh++++

=..........332211

, o lo que eslo mismo,

∑=

=h

iii fX

nX

1

1

El primer momento, da una idea bastante aproximada del punto donde se encuentra el centro del histograma, por lo que ayuda a describir la distribución de frecuencias al indicar dónde se localiza el histograma de la distribución de frecuencias a lo largo del eje de las abscisas (eje X), por lo que se considera una medida de tendencia central.

El segundo momento de una distribución de frecuencias (m2) está definido por la siguiente expresión:

8

∑=

=h

liii fX

nm 2

2

1

Empleando algunos artificios matemáticos, con el objetivo de independizar el momento de la localización del histograma y además, teniendo en cuenta que se ha demostrado matemáticamente, que el segundo momento de la población es ligeramente mayor que el promedio de los segundos momentos de las muestras, por lo que con el objeto de aproximarlos y que la inferencia sea más exacta, se toma el divisor n – l, se obtiene entonces la varianza de la muestra:

( )∑=

−−

=h

liii fXX

nS

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En muchos problemas resulta deseable que las cantidades que describen una distribución, posean las mismas unidades que el conjunto de mediciones originales. La media aritmética satisface este requisito, pero la varianza no, sin embargo, si se toma la raíz cuadrada de la varianza se puede obtener el efecto deseado. La cantidad resultante se denomina desviación típica de la distribución, que será igual a:

( )∑=

−−

=h

iii fXX

nS

1

2

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Para el caso de datos no clasificados, la desviación típica se determina por:

S = (∑ −=−

n

iXX in 1

2

)1

1

La desviación típica es una medida de la variabilidad de los datos de una distribución de frecuencia. Este aspecto se tratará posteriormente con mayor profundidad.

Además de los dos primeros momentos de la distribución, existen otras medidas descriptivas que pueden resultar apropiadas en casos muy concretos, como son:

§ La moda

§ La mediana

§ El recorrido

§ La desviación media

La moda de un grupo de medidas se define como la medida que se presenta con la máxima frecuencia, si existe.

La mediana se define como la medición central, si existe, después que las medidas se han dispuesto en orden de magnitud.

Si existe un número par de medidas, se toma la mediana como el promedio de dos mediciones centrales. Para datos que han sido clasificados, la mediana se define como el valor de X tal, que si se trazara una recta vertical por el punto del eje de las abscisas correspondiente a ese valor, el histograma quedaría dividido en dos partes cuyas áreas serían iguales.

La moda y la mediana son, como la media, medidas de tendencia central. Las diferencias entre ellas dan idea sobre la simetría de una distribución, pues cuando la misma es perfectamente simétrica, las tres coinciden.

La media es por lo general mucho más útil que la moda y la mediana y se puede confiar más en ella para inferencias estadísticas.

El recorrido es una medida de dispersión, al igual que la desviación típica. Se puede decir que es la medida más simple de dispersión de un grupo de medidas. Se define como la diferencia entre las mediciones máxima y mínima de un grupo. Como propiedad negativa vale destacar que tiende a incrementarse con el tamaño de la muestra.

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La desviación media es otra medida de dispersión y se define por la expresión:

DM = Xn

n

iiX −∑

=1

1

Difiere del segundo momento respecto al promedio, en que emplea valores absolutos en lugar de cuadrados de las desviaciones.

Es posible construir también otras medidas de dispersión de una distribución, empleando un método similar al que se utilizó al definir la mediana. Los cuartiles son tres valores tomados en el eje de las abscisas (la mediana y dos más) que dividen el histograma en cuatro partes con iguales áreas. La diferencia entre el tercer y el primer cuartil es una medida muy sencilla de dispersión y se denomina recorrido intercuartilar. De forma similar se pueden construir otras medidas de dispersión empleando deciles (valores de x que dividen el histograma en 10 partes cuyas áreas son iguales o centiles (que dividen el histograma en 100 partes cuyas áreas son iguales). Los deciles y centiles pueden sustituir satisfactoriamente a los momentos en la descripción de una determinada distribución, proporcionando más detalles, sin embargo por lo general la desviación típica resulta superior cuando se trata de resolver problemas de inferencia estadística.

El tercer momento de la distribución (m3), está dado por la expresión:

m3 = fX i

h

iin ∑

=1

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Lo que representa la simetría de la curva. El valor de m3 es 0 (cero) para curvas perfectamente simétricas.

El cuarto momento de la distribución (m4), cuya expresión es similar al tercer momento, pero con Xj elevada a la cuarta potencia, es la curtosis, que constituye una medida del achatamiento de la curva de distribución. Por ejemplo, la curtosis de la distribución normal es igual a tres.

5 DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DE FRECUENCIAS

Una distribución de frecuencias de una muestra es una estimación de la distribución de frecuencias de la población correspondiente. Si el tamaño de la muestra es grande, cabe esperar que la distribución de frecuencias de la muestra sea una buena aproximación a la distribución de frecuencias de la población.

En la mayoría de los problemas estadísticos la muestra no es lo suficientemente grande como para determinar con precisión la distribución de frecuencias de la población, pero combinando la experiencia, junto con la información obtenida de la muestra y de otras fuentes, es posible sugerir la naturaleza general de la distribución de frecuencias de la población. Esto conduce a lo que se conoce como distribuciones teóricas de frecuencias, que son modelos matemáticos para las distribuciones de frecuencias reales.

Cuando se trata de variables discretas, la distribución teórica de frecuencias más utilizada es la distribución binomial.

En el caso de variables continuas, la distribución teórica de frecuencias se considera como la forma límite del histograma bajo muestreo continuo y posee las propiedades de frecuencia esenciales del histograma. Así pues el área bajo la curva de distribución teórica de frecuencia es igual a uno, y de igual forma el área bajo la distribución teórica de frecuencias entre los límites del intervalo de clase correspondiente, indica la frecuencia relativa esperada de X, en dicho intervalo.

Muchas de las distribuciones de frecuencias que se encuentran en la naturaleza y en la industria, son bastante simétricas, mueren con rapidez en las orillas y poseen una forma similar a una campana. Una distribución teórica que ha probado su utilidad para distribuciones como éstas es la distribución normal, que es sin dudas la más utilizada en los casos de variables continuas.

En la Figura 6 se muestra la distribución normal típica. Obsérvese que en este caso el valor teórico de la media está indicado por la letra griega µ y la desviación típica por la letra griega σ, de manera que µ y σ se utilizan para representar la media y la desviación típica de las distribuciones teóricas de frecuencia, que corresponden a X y s para distribuciones de frecuencias de muestras.

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Figura 6. Distribución normal típica

Si suponemos que la forma límite del histograma, para una distribución de frecuencias, es una curva normal, puede demostrarse por métodos matemáticos avanzados, que σ, el valor límite de s, tiene la siguiente interpretación geométrica respecto a la curva normal:

§ El área bajo la curva normal entre µ - σ y µ + σ es el 68% del área total, al 1% más cercano.

§ El área bajo la curva normal entre µ - 2σ y µ + 2σ es el 95% del área total, también al 1% más cercano.

§ El área bajo la curva normal entre µ - 3σ y µ + 3σ es el 99,7% del área total, al 0,1% más cercano.

Una propiedad muy importante de la Curva Normal es que su localización y forma quedan completamente determinadas por los dos primeros momentos de la distribución, o sea por los valores de µ y σ. El primero establece el centro de la curva y el segundo, la dispersión de sus valores. De esta forma, como todas las curvas normales que representan distribuciones teóricas de frecuencias, tienen un área total igual a la unidad, al incrementarse el valor de σ la curva debe achatarse y extenderse a ambos lados y por el contrario, cuando se reduce, la curva se afina y estrecha.

Para los efectos de los cálculos, la curva normal más sencilla es aquella cuya media vale 0 y cuya desviación típica es igual a uno. Cuando es necesario se pueden reducir las demás curvas normales a esta curva que se denomina patrón o estándar y que se muestra en la Figura 7. Así a cualquier punto del eje de las abscisas en una curva normal, le corresponde un punto del eje de las abscisas de la curva normal patrón. En general este valor se determina estableciendo la distancia que hay entre dicho punto y la media de la curva, si se toma como unidad la desviación típica, o sea que si un punto X, que está en el eje de las abscisas de una curva normal con media µ y desviación típica σ, corresponde con un punto z de la curva patrón, entonces el punto X está ubicado a la derecha de µ, a una distancia de z veces la desviación típica. Esto puede expresarse por la fórmula:

X = ì + zó, o también z = σ

µ−X

De esta forma hallar el punto z de la curva normal patrón, que corresponde al punto X en una curva normal cualquiera.

La Tabla A2 del Anexo A permite encontrar el área bajo una parte cualquiera de la curva normal para la variable z, y que corresponde a la curva patrón indicada en la Figura 7.

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Figura 7. Distribución Normal Patrón, para µ = 0 y σσ = 1

Veamos algunas bondades importantes de la distribución normal, que es posible demostrar matemáticamente mediante cálculos avanzados:

1. Si la variable X posee una distribución normal, cuya media es µ y cuya desviación típica es σ, entonces la distribución de las medias de las muestras X , poseerá también una distribución normal cuya media será µ

y cuya desviación típica será: n

σ

2. Si la variable X no posee una distribución normal, si n es mayor de 25, la distribución de las medias de las muestras X , se comportará como la distribución normal aproximada, con media µ y desviación típica:

n

σ

3. Si la distribución de la variable X no difiere demasiado de una distribución normal, la distribución de las medias de las muestras X , frecuentemente aparecerá como normal para un valor de n tan pequeño como

cinco, con media µ y desviación típica: n

σ.

6 ESTIMACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA POBLACIÓN

Al comienzo se indicó que uno de los problemas fundamentales de la estadística es la estimación de las propiedades de la población.

Como ya se explicó, la distribución normal queda completamente determinada por los parámetros µ y σ, por lo tanto, los problemas de estimación para poblaciones normales se pueden reducir generalmente a los problemas de estimación de µ y σ.

Los dos tipos de estimaciones de parámetros de utilización frecuente en la estadística, son la estimación por punto y la estimación por intervalo.

La estimación por punto es un valor numérico que se obtiene por cálculos a partir de los valores de la muestra y que sirva como aproximación al parámetro que es objeto de estudio, así por ejemplo la media de la muestra X , es una estimación por punto de la media de la población µ.

La estimación por intervalo está determinada por dos números, que se obtienen por cálculos de los valores de las muestras, y que se espera que contengan el valor del parámetro estimado en su interior. La estimación por intervalo se construye de manera que es posible especificar la probabilidad de que dicho intervalo contenga el parámetro estimado, de ahí su ventaja, pues indica la exactitud con que se estima el parámetro. Las estimaciones por intervalo se denominan también intervalos de confianza.

Veamos un ejemplo:

Un productor de bloques de concreto, conoce por experiencia que la resistencia a compresión a 28 días de los

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bloques huecos de 20 cm de ancho, producidos en cada amasada se encuentra aproximadamente en forma de distribución normal y sabe también que la resistencia a compresión de los bloques varía de amasada a amasada, sin embargo, la desviación típica permanece aproximadamente constante en un valor de 1,2 MPa. Entonces desea estimar la resistencia a compresión media para una nueva amasada, de manera que ensaya una muestra extraída aleatoriamente, de 30 unidades, con la que obtiene una resistencia media a compresión de 10 MPa.

1. El productor quiere saber si la resistencia media a compresión obtenida de 10 MPa es una buena estimación de la media de la amasada (población). Para resolver esta incógnita hace uso de las bondades ya expuestas de la distribución normal, donde la media de las muestras X se puede suponer distribuida normalmente con media µ y desviación típica dada por:

σ X =

30

2,1 =

30

2,1 = 0,22

Un esquema de esta distribución, aparece en la Figura 8. Anteriormente ya se había expuesto que en el entorno µ - 2σ y µ + 2σ la probabilidad es del 95% de que X tome algún valor dentro de 0,44 MPa de variación de µ. En la Tabla A2 del Anexo A, el 95% de probabilidad corresponde a un valor de z de 1,96.

Como en este caso X = 10 MPa, el productor puede confiar en que este valor se diferenciará de la Media de la población µ en menos de 0,44 MPa, con una probabilidad del 95%.

La magnitud de la diferencia X - µ se denomina error de estimación.

2. Si el productor no está satisfecho con la exactitud de la estimación basada en una muestra de 30 bloques y se cuestiona sobre el tamaño que debe tomar esta muestra de manera que pueda tener la seguridad razonable, digamos con una probabilidad del 95%, de que la estimación de la media de la población no será errónea en más de 0,3 MPa, entonces se deberá satisfacer la ecuación:

1,96 σ X = 0,3

o lo que es lo mismo:

X 1 = 0,3

Figura 8. Esquema de la distribución de las medias de las resistencias a compresión de los bloques a 28 días

Despejando n obtenemos un valor de 62 bloques para la muestra. La fórmula general, despejada, de n en este caso será:

13

n = e

z2

22

.0 σ

donde:

z0 es el valor de la Tabla A2 del Anexo A, que corresponde a la probabilidad deseada;

e es el error de estimación máximo permisible.

Otra opción del productor es obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de la población, basado en la muestra original de 30 bloques. En este caso se deberá cumplir que:

X -1,96n

σ < ì < X + 1,96

n

σ

o sea que:

10 - 1,9630

2,1 < ì < 10 + 1,96

30

2,1

9,57 < ì < 10,43

Estos métodos de estimación son sólo aplicables a muestras grandes. Si la muestra es de tamaño inferior a 25 y el valor de σ no se conoce, el grado de precisión es muy dudoso y hacen falta métodos más refinados.

Para evitar el error de sustituir σ por s, cuando s se basa en una muestra pequeña, se introduce una nueva variable, denominada variable t de Student, que se define por la fórmula:

t = nS

X µ−

La variable t de Student se asemeja a la variable z introducida anteriormente:

Z = nX

σµ−

Pero en este caso se ha incluido la desviación típica de la muestra s, en lugar de la desviación típica de la población σ, ya que t no requiere un conocimiento de σ, como en el caso de z, su valor se puede calcular a partir de los datos de la muestra. Es por ello que t puede utilizarse para resolver problemas estadísticos sin necesidad de introducir aproximaciones a parámetros de la población.

Los métodos matemáticos demuestran que la distribución de t es exacta y depende sólo del valor de n, siempre que la variable X posea una distribución normal. Además la distribución de t se asemeja mucho a la de una variable normal ordinaria z, excepto para valores muy pequeños de n.

En la Tabla A3 del Anexo A, se muestran los valores de t que corresponden a diferentes grados de libertad y a varias probabilidades. El número de grados de libertad está dado por n – 1 esto equivale a utilizar n – 1 como divisor en lugar de n, al calcular la desviación típica de la muestra. El valor de 0,05, por ejemplo, en el encabezado de la columna, indica la probabilidad de que t exceda numéricamente el valor de t que aparece en dicha columna, o sea que cada cola de la curva, cortada en el valor de t (positivo y negativo), contiene 0,025 del área bajo la curva, tal como se muestra en la Figura 9.

La expresión general para encontrar un intervalo de confianza dado para µ, en el caso de muestras pequeñas, será:

n

SX t0

− < ì < X + ton

σ

La teoría en que está basada la distribución t, establece que la variable X posea una distribución normal y sólo

14

es aplicable en estos casos.

Figura 9. Distribución t de Student para un intervalo de confianza del 95%

7 PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Tal como se enunció anteriormente, las pruebas de hipótesis constituyen un segundo problema fundamental de la estadística.

Las pruebas de hipótesis sobre poblaciones normales, se reducen por lo general a probar hipótesis respecto a los parámetros µ y σ.

Pongamos por ejemplo el caso de un productor de concreto que ha utilizado tradicionalmente el aditivo plastificante tipo 1 con buenos resultados, pero recientemente ha recibido una oferta de un aditivo plastificante tipo 2, con un mejor precio y él está lógicamente dispuesto a cambiar de marca si los vendedores del aditivo tipo 2 le demuestran que su producto es tan bueno como el tipo 1.

La experiencia del productor, asentada en varios años de trabajo, muestra que con las materias primas de que dispone y con el aditivo tipo 1 puede lograr concretos con una relación agua/cemento de 0,45 y obtener resistencias medias a compresión a 28 días de 30,5 MPa, con una desviación típica de 2,7 MPa.

Para probar la aseveración hecha por los productores del aditivo tipo 2 se hicieron pruebas industriales y se obtuvieron 30 muestras del concreto, para con las mismas dosis de aditivos, obtener una relación de 0,46 y resistencias medias a compresión de 28,8 MPa y una desviación típica de la muestra de 2,2 MPa.

En este caso podemos formular como prueba de la hipótesis, que llamaremos HO, que la media de la población de la muestra de los concretos con aditivo tipo 2 es de 30,5 MPa, en contraste con la hipótesis alternativa, que se denominará H1, que establece que la media de la población de la muestra de estos concretos es inferior a 30,5 MPa, o sea:

H0: µ = 30,5 MPa

H1: µ < 30,5 MPa

Existen dos posibilidades de tomar una decisión incorrecta en este caso. Si el aditivo tipo 2 es realmente tan bueno como el tipo 1 y sobre la base del valor de X se decide aceptar la hipótesis H1, se hará una decisión incorrecta, que se denomina error del tipo 1, mientras que si por el contrario el aditivo tipo 2 es realmente de calidad inferior y se decide aceptar que son igualmente buenos, o sea se acepta la hipótesis HO, también se tomará una decisión incorrecta, que se denomina error del tipo 2.

Es bien conocido que la resistencia a compresión de los concretos se distribuye de forma aproximadamente normal. Es evidente que mientras más lejos se encuentre la X de la muestra, a la izquierda de la media establecida por el aditivo tipo 1, menos deberá creerse en la veracidad de HO, por lo que resulta claro que la región crítica deberá consistir en valores pequeños de X , y por lo tanto de la parte del eje de las X a la

izquierda de algún punto X 0. El problema radica entonces en encontrar dicho punto X 0

, para un grado de

confianza determinado (en nuestro caso casi siempre se emplea un 95%). Para ello se calcula la desviación típica de la distribución de las medias de la muestra.

15

σ X =

n

σ =

30

2,1 = 0,22

Como se sabe que el 5% (nivel de significación) del área de la cola izquierda de una curva normal ordinaria, se encuentra a la izquierda del punto: z = 1,64, entonces se puede decir que:

- 1,64 = σ

µ

x

X −0

de donde:

X 0 = 30,5- 1,64 (0,4) = 29,8 MPa

En la Figura 10 se ha representado esta región crítica, para la prueba de hipótesis HO.

Figura 10. Región crítica para la prueba de hipótesis H0

Como el valor de la resistencia media de la muestra X = 28,8 MPa, se encuentra dentro de la región crítica, se rechazará la hipótesis HO. Se puso en evidencia que una media de muestra tan baja como 28,8 MPa, no se podía haber obtenido de una muestra aleatoria de tamaño 30, tomada de una población con media µ = 30,5. Esto implica que los vendedores del aditivo tipo 2 no se justifican en su pretensión de igualar la calidad de su producto a la del aditivo tipo 1.

Al resultar cierto que la media de la población de las resistencias de los concretos fabricados con el aditivo tipo 2 es menor de 30,5 MPa, debe considerarse de inmediato la cuestión de cuánto menos es, para ello se puede hacer una estimación por punto de µ, en la que naturalmente X = 28,8 MPa se tomaría como estimación. También se puede encontrar un intervalo de confianza para µ y determinar las diferencias máxima y mínima que existen probablemente entre las dos Medias de población.

Todo esto es necesario antes de poder decidir, con conocimiento de causa, si el precio más bajo para el aditivo tipo 2, compensa su calidad inferior.

En el caso de que la muestra fuera pequeña, la sustitución de σ por s puede introducir un serio error, por lo que en esta situación se puede emplear la distribución t de Student en la misma forma que la z para las muestras grandes. Por ejemplo en el casco anterior, si se tratase de sólo 20 muestras:

t = nS

X µ− = 20

2,25,308,28 −

= - 3,45

Si se busca en la Tabla 3 del Anexo, el valor de la t de Student para 19 grados de libertad y un nivel de significación del 5%, obtenemos t = 2,093 para la cola izquierda de la Media µ, por lo que se pone en evidencia que el valor – 3,45 está más a la izquierda o sea cae dentro de la Región Crítica y por tanto no se acepta HO.

Supongamos ahora que el productor de concreto no tiene experiencias previas con ninguno de los 2 aditivos, sus precios son iguales y se efectúa una prueba industrial con cada uno de ellos, obteniéndose 30 muestras de concreto elaborado con cada uno de ellos, cuyos resultados (resistencias medias a compresión a 28 días y

16

desviación típica) son los siguientes:

Aditivo tipo 1 Aditivo tipo 2

X 1= 29,8 MPa

S1 = 2,7 MPa

X 2 = 28,8 MPa

S2 = 2,2 MPa

El problema se reduce a determinar si esta diferencia en cuanto a las medias de las resistencias a compresión de las muestras, es lo bastante grande para justificar la creencia del productor de que el aditivo tipo 1 es superior al aditivo tipo 2.

Para ello es necesario conocer en que forma varía ( XX 21− ).

Se puede demostrar matemáticamente, que ( XX 21− ) poseerá una distribución normal, si X1 y X2 la tienen,

con una media igual a la diferencia de las medias de la población de X1 y X2, o sea µ1 y µ2, con una varianza

igual a la suma de las varianzas de X 1 y X 2 , o sea que:

= σσ 22

21 xx+ =

nσ

Donde n1 y n2 son los tamaños respectivos de las muestras de X 1 y XY

2

1ˆ

∂

∂.

Es importante destacar que esto es sólo válido si las dos poblaciones muestreales son normales, sin embargo

si n1 y n2 son mayores de 25, entonces X y X pueden suponerse distribuidas normalmente, en cuyo caso

( X 1 � S 2

1) estarán también distribuida normalmente.

También deberá cumplirse que X1 y X2 sean variables independientes.

En el caso planteado podemos formular como hipótesis:

Ho : µ1 - µ2 = 0

Donde estamos suponiendo que no existe diferencia en el comportamiento de los dos tipos de aditivos. Si la muestra rechaza la hipótesis, entonces se puede afirmar con justificación, que existe una diferencia real en las medias de las poblaciones, y en el caso contrario existe una buena probabilidad de que la diferencia de muestra sea causada por variación demuestras, bajo la suposición de que las dos medias de las poblaciones son iguales.

La hipótesis alternativa será entonces:

H1 : µ1 � µ2

El primer paso consiste en calcular la desviación típica de ( X 1 � ) por:

= nn 2

2

2

1

2

1 σσ +

Donde los valores de las poblaciones σ12 y σ2

2 se aproximan por las estimaciones de la muestra, o sea s12 y

s22, por lo que:

σ xx 21−

= ( ) ( )

3030

2,27,22

.

2

. + = 0,6358

17

Entonces la región crítica, ubicada en áreas iguales en las colas de la curva normal, para X 1y X 2

y con un

nivel de significación del 5%, estará dada por:

σ221 xx − = 1,27

O sea 1,27 unidades alejadas del “0”, tal como se muestra en la Figura 11.

Figura 11. Distribución de ( X 1 � X 2) cuando µ1 = µ2

Como ( X 1 � X 2) = 29,8 – 28,8 = 1,0 valor que está fuera de la región crítica, la hipótesis se acepta.

Es importante tener bien claro que la aceptación de la hipótesis no quiere decir que ésta sea cierta, sin embargo sí implica que no existe convencimiento, al menos por la evidencia de la prueba industrial efectuada, de que haya una diferencia apreciable y que, a menos que se presenten otras evidencias, se puede suponer que para los fines prácticos no existe diferencia apreciable en los resultados obtenidos con ambos aditivos.

Cuando la prueba de una hipótesis produce un valor de la muestra que se encuentra en la región crítica de la prueba, se dice que el resultado es significativo y en el caso contrario se dice que no es significativo. En este último caso se comprende que tal valor de la muestra no es compatible con la hipótesis y por tanto es necesario formular alguna otra hipótesis. La probabilidad de cometer un error del tipo 1, se denota por α y señala el nivel de significación de la prueba. En general para los problemas más corrientes, el nivel de significación adoptado es de 0,05 (ó 5%).

Los métodos que hemos empleado hasta el momento en las pruebas de hipótesis son sólo para muestras grandes. En los casos de muestras pequeñas, para poder justificar la sustitución de σ1 y σ2 por sus estimaciones de muestra, se puede utilizar la prueba t de Student apropiada. Aquí es indispensable suponer que las dos variables básicas X1 y X2 tienen distribuciones normales independientes con desviaciones típicas iguales. Como puede observarse estas suposiciones implican restricciones más fuertes que para el caso de las muestras grandes.

Si se satisfacen razonablemente estas restricciones, entonces se puede utilizar la variable.

t = )(

)( )()(

nnnnnn

SnSnXX

21

212.12

22

2

1.1

2121 2.

.1.1 +

−+

−+−

−−− µµ

Como una variable t de Studente convencional, con (n1 + n2) – 2 grados de libertad.

Si el productor de concreto aún se inquietase por la posibilidad de que el aditivo tipo 1 sea en realidad mejor que el tipo 2, debido a que considera muy grande el intervalo de los valores de aceptación indicados en la Figura 11, es posible estudiar el tamaño del error del tipo 2 que se puede cometer.

En un caso como éste el productor debe poder especificar la diferencia mínima de la media de la población que él considera de importancia práctica. Por ejemplo en el caso estudiado el productor establece que una diferencia menor de 1,4 MPa es demasiado pequeña para ser importante, pero que ya cualquier diferencia superior a este valor es económicamente importante. A tal efecto se considerará como hipótesis alternativa la siguiente:

18

H1 : µ1 - µ2 = 1,4

Para H1 es posible calcular el grado de significación, al que se le denominará β, con la característica de que la distribución de (X1 – X2) bajo H1 será la misma que bajo HO, tal como se puede apreciar en la Figura 12, excepto que la media será de 1,4 en lugar de 0 (cero).

Figura 12. ( X 1 � X 2

) bajo H0 y H1

El valor de β está dado por el área bajo la curva H1 de –1,27 a +1,27 debido a que este intervalo se encuentra en la región no crítica de la prueba, sin embargo esta área es prácticamente equivalente al área bajo la curva H1 a la izquierda de 1,27.

Como la desviación típica es de 0,6358 y la media es de 1,4 el valor de z correspondiente a 1,27 será:

Z = 6357,0

4,127,1 −= - 0,204

En la Tabla A2 del Anexo A, se encuentra que la probabilidad que z se encuentre a la izquierda de – 0,204 es de 0,42; o sea que β = 0,42 que quiere decir que el grado de significación será del 42% de que una diferencia de 1,4 en los promedios de población no será detectada por esta prueba (poco menos de la mitad de los casos).

Si la diferencia entre las medias de población es mayor de 1,4, entonces por supuesto el valor de β será inferior a 0,405. Por ejemplo si la diferencia es de 3,0; entonces un cálculo similar al efectuado con la curva H1, centrada ahora sobre 3,0 hará que β tome un valor de 0,003.

En este caso se tiene la certeza casi absoluta de poder detectar una diferencia de 3,0 MPa con esta prueba, o sea con una muestra de tamaño 30.

Si se asignan valores diferentes de µ1 - µ2, comenzando por cero y aumentando a intervalos regulares, y se calcula el valor de β en cada caso, entonces estos valores ploteados contra los valores de µ1 - µ2 mostrarán cuan buena es la prueba para detectar las diferencias reales cuando éstas existan. En la Figura 13 se muestran los valores obtenidos para β para incrementos de 0,5 en 0,5 MPa de los valores de µ1 - µ2. La curva obtenida es simétrica, sin embargo sólo se muestra el eje positivo de la figura. Esta curva se denomina característica de operación de la prueba y permite precisar para que valores de µ1 - µ2 es significativa la diferencia entre los dos aditivos en la producción de los concretos.

Figura 13. Características de operación de la prueba de los aditivos tipo 1 y 2

19

8 DISTRIBUCIÓN DE CHI-CUADRADA

Por medio de la distribución normal o la t de Student, tal como se ha visto anteriormente es posible resolver problemas de estimación y pruebas de hipótesis referidas a la media (µ), pero no brindan una solución satisfactoria a la desviación típica (σ) como parámetro de distribución normal.

Otro problema consiste en probar la compatibilidad de frecuencias observadas y frecuencias esperadas en la realización de una prueba o experimento, o sencillamente demostrar si una determinada distribución real de frecuencias se ajusta a alguna distribución teórica, como la normal.

Existe una distribución denominada chi-cuadrada, que es adecuada para resolver estas dos clases de problemas.

La medida, llamada chi-cuadrada (X 2), que da origen a esta distribución continua queda definida por la fórmula.

X2 = )(

∑−

=

k

i ieeo ii

1

2

Desde oi y ei son las frecuencias observadas y esperadas respectivamente y k indica el número total de celdas, elementos o marcas de clase en que se fundamenta el análisis.

Una característica notable de la distribución X 2, es que su forma depende solamente de k. Normalmente se identifica esta distribución por medio del parámetro Kv = k – 1, denominado número de grados de libertad, en lugar de k. En la Figura 14 se muestran varias curvas X 2 para diferentes grados de libertad.

En la Tabla A4 del Anexo A, se indican los valores de la distribución X2 para diferentes grados de libertad y niveles de significación (probabilidad de que los valores reales de X 2 exceden los de la tabla).

Figura 14. Distribución X2 para varios grados de libertad

La curva X 2 tal como se muestra en la Figura 14, es sólo una aproximación a una distribución discreta real X 2, por lo que la prueba X 2 sólo debe ser utilizada cuando dicha aproximación es buena. Está probado práctica y teóricamente que la aproximación es generalmente satisfactoria si las frecuencias esperadas en todas las celdas, elementos o marcas de clase sean por lo menos del orden de cinco.

Una aplicación muy útil de la prueba X 2 se presenta cuando se comprueba la compatibilidad de frecuencias observadas y esperadas en tablas de dos sentidos, que también se denominan tablas de contingencia, que se construyen generalmente con el objeto de estudiar la relación entre dos variables de clasificación, para saber concretamente si las dos variables se encuentran o no relacionadas.

En este caso el número de grados de libertad se determina por:

v = (f – 1) (c – 1)

Donde f es el número de filas y c el número de columnas de dicha tabla de contingencia.

El resultado es significativo y la hipótesis de independencia de las dos variables se rechaza, sólo si el valor de

20

X 2 obtenido por la aplicación de la fórmula correspondiente es mayor del valor de X 2 obtenido por la Tabla 4 del Anexo, para los grados de libertad indicado y el nivel de significación deseado (que por lo general se toma del 5%).

Ejemplo:

En tres plantas de prefabricados se producen las mismas losas doble T de concreto armado, para cubiertas y entrepisos y los resultados de las inspecciones de control de la calidad de estas losas, por los resultados de los ensayos bajo las cargas de diseño muestran el siguiente comportamiento:

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Totales

Fallaron bajo carga 25 45 40 110

Mostraron fisuración 40 35 35 110

Sin síntomas perceptibles

35 20 25 80

Totales 100 100 100 300

El problema radica en demostrar, a un grado de significación del 5%, si las diferencias obtenidas en las tres plantas evaluadas se deben a la casualidad, o a diferentes regímenes de aseguramiento de la calidad de todo el sistema de fabricación de las losas.

En este caso estamos probando una hipótesis de independencia, o sea si los resultados del control de calidad son o no independientes de las características propias de las plantas de prefabricados. Suponiendo esta independencia, la probabilidad de que la planta 1 se produzcan las losas sin síntomas perceptibles en la realización de ensayos bajo carga, o sea con calidad óptima, es el proceso de las probabilidades individuales, pero como en este caso las probabilidades son desconocidas, se pueden estimar de acuerdo con los datos disponibles. Así la probabilidad de evaluar una losa de la planta 1, se estima como 100 / 300 = 0,333 y de la misma manera, la probabilidad de que las losas no presenten síntomas perceptibles en los ensayos se puede estimar con 80 / 300 = 0,266 entonces se puede decir, que bajo la hipótesis de independencia, se puede esperar que la probabilidad de que en la planta 1 se produzcan losas sin síntomas perceptibles en los ensayos bajo carga será:

300 (0,333) (0,266) = 26,6

De esta forma se puede hacer para cada celda (fila-columna). En síntesis bajo la hipótesis de independencia, la frecuencia esperada para cualquier celda puede ser obtenida como el producto del total de la fila por el total de la columna y dividido por el gran total.

Los resultados se muestran a continuación:

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Totales

Fallaron bajo carga 25 (36,7) 45 (36,7) 40 (36,7) 110

Mostraron fisuración 40 (36,7) 35 (36,7) 35 (36,7) 110

Sin síntomas perceptibles

35 (26,7) 20 (26,7) 25 (26,7) 80

Totales 100 100 100 300

Aplicando la fórmula de la distribución para cada una de las nueve celdas y efectuando la sumatoria, tendremos que:

X2 = )( )( )( )( )(

+++++−−−−−

7,367,367,367,367,36

7,36357,36407,36407,36457,36252222

21

)( )( )( )(7,267,267,267,36

7,26257,26207,26357,36352222

−−−−++++ = 10,73

El valor de X2, en la Tabla A4 del Anexo A, para (c – 1)(f – 1) grados de libertad, o sea (3 – 1) (3 – 1) = 4 grados de libertad y un nivel de significación del 5%, es de 9,4877 por lo que si 10,73 > 9,4877 hay que rechazar la hipótesis de independencia, lo que quiere decir que las discrepancias que se observan entre las frecuencias esperadas y observadas son demasiado grandes como para poder ver atribuidas a la casualidad y por tanto existe una dependencia entre los resultados de los ensayos de las losas doble T y las características de las plantas de producción.

En cuanto a la utilización de la prueba X2 para resolver problemas de estimación y pruebas de hipótesis respecto a la desviación típica de una distribución normal, veamos el mismo ejemplo del acápite anterior sobre la prueba de dos aditivos químicos sobre el concreto.

Aditivo tipo 1 Aditivo tipo 2

X 1= 30,5 MPa X 2

= 28,8 MPa

s1 = 2,7 MPa s2 = 2,2 MPa

Si se supone que no existe diferencia entre los resultados de ambos aditivos, ambos deberán poseer las mismas dispersiones al igual que las mismas resistencias medias, por lo que se considerará que la desviación típica del aditivo tipo 2 es igual a la del tipo 1, que se basa en una larga experiencia de utilización en los concretos por parte del mismo productor.

La hipótesis que va a probarse entonces es que la desviación típica del aditivo tipo 2 es 2,7 MPa. Lo que se enuncia por:

H0 : ó = 2,7

Como el tamaño de la muestra es de 30, existirán 29 grados de libertad para este problema, lo que para un nivel de significación del 2,5% en cada área de cola, da los siguientes valores de X 2 en la Tabla A4 del Anexo A:

X21 = 16 y X2

2 = 46

Luego, la región crítica bilateral para la prueba, se toma como los valores de X2 que se encuentren fuera del

intervalo determinado por estos dos valores.

Ahora es necesario determinar la variable v que se calcula mediante la siguiente expresión:

v = )(

σ2

21 Sn −

La distribución de esta variable v resulta ser la misma distribución X2 con grados de libertad de n – 1.

Entonces:

v = )(

σ2

21 Sn − =

))( 7,2

2,22

229

= 19,25

Que como puede observarse se encuentra dentro del intervalo dado por la distribución X2, o sea, no se encuentra en la región crítica, por lo que se acepta la hipótesis.

22

9 ANÁLISIS DE VARIANZA

Uno de los problemas que se presenta con mayor frecuencia en el trabajo estadístico es el de probar si dos o más muestras difieren significativamente con respecto a cierta propiedad. Un ejemplo de ello es cuando los investigadores proyectan un experimento para comparar una nueva tecnología de proceso con otra que toman de norma o referencia.

Cuando se trata de comparar más de dos muestras, ya no son válidos los métodos expuestos anteriormente para probar la igualdad de dos medias o proporciones de población, o para probar si dos distribuciones eran idénticas. Uno de los métodos concebidos para resolver problemas de este tipo, para variables continuas, es el análisis de varianza , que consiste en analizar la varianza de la muestra con respecto a componentes útiles.

Tenemos como ejemplo el mismo caso de la producción de losas doble T para entrepiso y cubierta en las tres plantas de prefabricados, procedentes de una misma empresa, pero en este caso la Dirección de la empresa desea saber si las diferencias entre las medias de las resistencias a compresión a 28 días de los concretos elaborados con los agregados y el cemento de la misma procedencia, pero con diferentes tecnologías de fabricación (preparación, transporte y vertido de la mezcla), son significativas, o si pueden ser atribuidas razonablemente a la casualidad.

A continuación se muestran los últimos 10 valores de medias muestreales en cada planta.

En todos los casos las resistencias a compresión se indican en MPa.

El problema radica en demostrar si se acepta la hipótesis:

Ho: ì1 = ì2 = ì3

Evidentemente esta hipótesis será rechazada si las diferencias entre las X son muy grandes. Una manera obvia para medir las diferencias entre las X es la de hallar su desviación típica, o sea su varianza. Para ello se calcula en primer lugar la media de las X , o sea:

34,242,277,25 ++

= 25,8

y después calculamos su varianza

( ) )( )(13

8,254,248,252,278,257,25222

−

++ −−− = 1,965

Planta 1 Planta 2 Planta 3

26,5 27,0 23,8

25,2 26,8 25,2

25,0 28,0 24,9

26,7 28,2 23,7

24,8 27,7 25,0

25,7 26,9 25,1

26,0 26,5 24,0

26,2 27,3 23,3

25,8 27,0 24,7

25,6 26,6 24,5

X 1 = 25,7 X 2 = 27,2 X 3 = 24,4

23

Ahora, para poder decidir si la cifra que obtuvimos para la varianza de las X se puede atribuir a la casualidad, o sea que se pueda considerar como una medida de la varianza casual, hay que obtener una indicación del tamaño de las fluctuaciones casuales entre los datos, o sea una medida de las fluctuaciones dentro de las tres muestras, para ello se calculan sus varianzas respectivas, o sea:

S2

1 = )( )( )( ( ) ++++

−

−−−− 7,257,267,250,257,252,257,255,262222

1101

( ) ( ) ( ) ( ) +++++ −−−− 7,252,267,250,267,257,257,258,242222

( ) ( ) ].7,256,257,258,2522 −− ++ = 0,394

S2

2 = )( )( )( ( ) ++++

−

−−−− 2,272,282,270,282,278,262,270,272222

1101

( ) ( ) ( ) ( ) +++++ −−−− 2,273,272,275,262,279,262,277,272222

( ) ( ) ].2,276,262,270,2722 −− ++ = 0,342

S2

3 = )( )( )( ( ) ++++

−

−−−− 4,247,234,249,244,242,254,248,232222

1101

( ) ( ) ( ) ( ) +++++ −−−− 4,243,234,240,244,241,254,240,252222

( ) ( ) ].4,245,244,247,2422 −− ++ = 0,451

Se parte de la suposición de que todas las muestras son de poblaciones que tienen distribuciones normales con la desviación típica idéntica. Al combinar esta suposición con la hipótesis de que dichas poblaciones tienen también medias iguales, se puede considerar que las tres son muestras de la misma población, por lo que la varianza calculada para las 3 X se puede considerar como un estimado σ2/n, por tanto, un estimado de σ2 será 10 x 1,965. Por otra parte las varianzas muestreales y su media son también un estimado de σ2:

3

2

3

2

2

2

1 SSS ++ =

3451,0342,0394,0 ++

= 0,395

Mientras que el primer estimado (19,65) está basado en la variación entre las medias muestreales, el segundo (0,395), está basado en la variación entre las muestras, por lo que se puede considerar como una medida de la variación casual. La variación entre las tres medias es por lo tanto más grande que el estimado de la variación casual, sólo queda por ver si la variación entre las medias es significativamente mayor que la variación casual. Para efectuar este análisis se emplea la distribución F, que consiste en la razón de los dos estimados de ó2, así que en el caso del ejemplo que se está desarrollando:

F = 395,065,19

= 49,747

Ahora es necesario chequear si este valor es lo suficientemente grande como para rechazar la hipótesis de que las tres muestras son de poblaciones con medias iguales. Esta decisión está basada en la distribución de muestreo de la estadística F, o simplemente la distribución F, un ejemplo de la cual se señala en la Figura 15.

24

Figura 15. Distribución F

Para un nivel de significación del 5%, o sea F,05, estos valores, tal como están indicados en la Tabla A5 del Anexo A, con la característica muy peculiar de que sus anotaciones dependen de dos cantidades, el número de grados de libertad para el numerador de F y el número de grados de libertad para el denominador de F.

El numerador de F consiste en la varianza de las X, que son tres en nuestro caso y por tanto tiene 3 – 1 = 2 grados de libertad.

El denominador de F consiste en la media de las cuatro varianzas muestreales, cada una de las cuales se basa (en nuestro caso) en 10 observaciones. Para cada varianza muestreal se tienen por lo tanto 10 – 1 = 9 grados de libertad y para su suma: 9(3) = 27 grados de libertad.

En la Tabla A5 del Anexo A, el valor de F para 2 y 27 grados de libertad y un nivel de significación del 5%, es de 3,35.

En el ejemplo desarrollado se hace evidente que F > F,05 o sea que: 49,747 > 3,35 por lo que se rechaza la hipótesis y por lo tanto las tres muestras no son de poblaciones con medias iguales y existen entre ellas diferencias significativas, que pueden ser debidas a la efectividad inducida por las propias tecnologías de las plantas o a diferencias notables en los regímenes de aseguramiento de la calidad.

Al definir en general la expresión de F, como el cociente entre n veces la varianza de las X, entre la media de las k varianzas muestreales, queda:

F =

( )1

.1

−

∑=

n

n

iii vu

Se rechaza la hipótesis si F > F,05 de lo contrario se acepta la hipótesis o se reserva el juicio y F se calcula por la expresión indicada anteriormente, y el número de grados de libertad para el numerador es k – 1 y para el denominador es k (n-1).

Es importante recalcar que este criterio es sólo aplicable si cabe suponer que las muestras son de poblaciones que tienen distribuciones normales y desviaciones típicas iguales.

10 CORRELACIÓN Y REGRESIÓN

En algunos problemas, las diversas variables se estudian simultáneamente, para ver la forma en que se encuentran interrelacionadas, esto se conoce con el nombre de correlación. En otros casos se tiene una variable de interés particular y las restantes variables se estudian por la posibilidad de que ayuden a arrojar luz sobre ella, esto se conoce con el nombre de regresión.

Un problema de correlación se presenta por ejemplo cuando surge la interrogante sobre si existe o no relación entre dos variables, digamos entre la resistencia a compresión del concreto endurecido y la velocidad de la onda ultrasónica a través de la masa de dicho concreto.

La investigación comienza por lo general tratando de descubrir la forma aproximada de la relación entre las dos o más variables estudiadas. Si se trata de dos variables se trazan los datos en un plano X, Y. Este gráfico recibe el nombre de diagrama de dispersión. Así es posible desentrañar fácilmente, si existe o no una relación acentuada y si por ejemplo puede tratarse como aproximadamente lineal.

25

Para determinar la naturaleza de una tendencia, se busca cualquier propensión de los puntos de agruparse sobre ambos lados de alguna curva simple, quizás con unas cuantas ondulaciones, o bien a ambos lados de una línea recta.

Una medida de la relación tiene que ser realmente independiente de la selección del origen para las variables. Esto se logra utilizando las desviaciones de las variables respecto a su media, en lugar de las variables propiamente dichas, o sea Xi -

)(S

Xx

iX−

y Yi – Y iˆ , en lugar de las variables Xi y Yi para formar la medida de la relación deseada.

Una medida de relación, debe ser también independiente de la escala de medidas adoptada para X y para Y. Esto se logra dividiendo X y Y entre cantidades que posean las mismas unidades de X y Y, para lo que se eligen las desviaciones típicas de las muestras Sx y Sy.

Es posible lograr ambas propiedades, si la medida de relación se construye utilizando las variables Xi y Yi en las formas:

ui = 30

2,1 ; vi =

)(S

Yy

iY−

que reciben el nombre de unidades estándar de muestra .

Una medida simple de la dispersión de los puntos es la sumatoria:

( )1

.1

−

∑=

n

n

iii vu

que se denomina coeficiente de correlación y se denota por la letra r. En función de las medidas originales, el coeficiente de correlación será:

r = .2

)ˆ( ii YY −

y una expresión más cómoda para el cálculo será:

r = [ ( ) ] ( )[ ]∑∑

∑ ∑ ∑

∑−∑−

−

YYXX nn

YXYXn

2222 .

..

El coeficiente de correlación es una medida útil del grado de relación entre dos variables, sólo cuando las mismas están relacionadas linealmente. Así el grado de relación está dado por la magnitud de r, mientras que el signo de r indica, si es positivo, que Y tiende a crecer con X y si es negativo, que Y tiende a decrecer con X.

Es posible demostrar matemáticamente, que el valor de r debe satisfacer la igualdad:

-1 � r � 1

y además, que el valor de r será igual o muy cercano a uno (1), sólo si todos los puntos del diagrama se encuentran sobre una línea recta.

La interpretación del coeficiente de correlación como medida del grado de relación lineal entre dos variables es solo matemática y está desprovista totalmente de implicaciones de causa y efecto, o sea de que el hecho de que dos variables tiendan a aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica necesariamente que una tenga algún efecto directo o indirecto sobre la otra, pues ambas pueden estar sujetas a la influencia de otras variables, de manera que resulten con una estrecha relación matemática, es por ello que los coeficientes de correlación deben manejarse con cuidado si se desea dar una información sensata respecto a la relación entre pares de variables.

26

Cuando un coeficiente de correlación se calcula a partir de una muestra, el valor que se obtiene de r no es más que una estimación de ρ, el verdadero coeficiente de correlación que se obtendría para toda la población, así si se clasificarán los valores de r en una tabla de frecuencias, la distribución límite obtenida se puede derivar por métodos matemáticos, bajo el principio de que X y Y tengan distribuciones normales, entonces si se satisfacen estos requisitos la distribución de r depende sólo de n y de ρ. Así es posible demostrar que la distribución de r es decididamente no normal en apariencia para determinados valores de ρ y n, sin embargo haciendo un cambio simple de variable se puede transformar la distribución complicada de r a una distribución aproximadamente normal, que puede usarse entonces para determinar la exactitud de r como una estimación de ρ. Esta nueva variable se denota como w. En la Tabla A6 del Anexo A, aparece la conversión de r a w y viceversa.

El efecto de emplear como variable aleatoria una función particular de r (en lugar de r propiamente) es que la misma tiene una distribución aproximadamente normal y por tanto se pueden emplear los métodos de la distribución normal. En este caso el valor medio de la distribución de w está dado por:

ìw = pp

−+

11

ln.21

y la desviación típica de w está dada por:

ów = 3

1

−n

Esto permite hacer pruebas de significación para r.

Ejemplo:

Se quiere saber si es significativa una correlación de r = - 0,62 entre la relación de los diámetros (vertical y horizontal) de los huecos de las losas huecas tipo Spiroll de concreto pretensado (medida del achatamiento), que se identificó como variable X y la resistencia del concreto de las losas endurecidas, obtenida por el esclerómetro a 28 días, identificada como variable Y, para un total de 20 losas.

Esto puede ser tratado como un problema de prueba de hipótesis:

H0: ñ = 0

lo que quiere decir que se supone que no existe correlación alguna.

Si ρ = 0, por la Tabla 6 del Anexo le corresponde w = 0, luego esta hipótesis equivale a la siguiente:

H0: ìw = 0

Como n = 20, la desviación típica será:

ów = 17

1 = 0,24

Si se trata a w como una variable normal, con media 0 y desviación típica de 0,24 y se considera un nivel de significación del 5%, es evidente que la región crítica estará dada por los valores de w fuera del intervalo de – 0,47 a + 0,47.

En la Tabla A6 del Anexo A, se puede obtener que el valor de la muestra de r = - 0,62 corresponde a w = - 0,725 y como este valor cae dentro de la región crítica, no se acepta la hipótesis asumida, por lo que r = 0,62 es significativo, o sea tiene significación estadística.

Ya anteriormente se había mencionado que la regresión estudia la relación entre las variables, con el objetivo de que cualquier relación que se encuentre puede utilizarse como auxiliar para hacer estimaciones o predicciones de una variable particular.

En un problema de correlación, tanto X como Y son variables estadísticas cuyos valores quedan determinados solamente después de obtenida la muestra. En un problema de regresión, sin embargo, los valores de X se eligen de antemano, de manera que solamente los valores de Y se han determinado por muestra.

27

El problema de la predicción lineal por ejemplo se reduce al problema de ajustar una línea recta a un grupo de puntos.

La ecuación de la línea recta se puede escribir de la forma general:

Y = a + bX

El problema entonces radica en determinar los valores de los parámetros a y b, de manera que la recta coincida satisfactoriamente con un juego de puntos obtenidos experimentalmente. Este problema es esencialmente la estimación de los parámetros a y b de alguna forma eficiente. El método más conocido para problemas de regresión es el de los mínimos cuadrados, que se reduce a hallar los valores de los parámetros que reducen al mínimo la suma de los cuadrados de los errores.

Mediante el empleo de matemáticas superiores se obtiene que, en el caso de la línea recta de regresión:

b = ( ) ( )( )

( ) ( )∑−

−

∑∑∑∑

XXYXYX

in

n

i

iiii22

. a =

( )n

b XY ii∑ ∑−

Donde n es el número de pares de observaciones. En todos los casos las sumatorias van desde i = 1, hasta n.

Además de ser flexibles, los métodos de regresión son los métodos naturales a usar en muchas situaciones experimentales. El investigador desea, con frecuencia cambiar X por incrementos uniformes a lo largo de la región de interés para esa variable, en lugar de tomar al azar una muestra de valores de X.

Aún cuando un coeficiente de correlación es útil para establecer que dos variables se encuentran estrechamente relacionadas linealmente, no se presta nunca a enunciados cuantitativos, a menos que se asocie con la regresión, así pues la correlación es sólo la primera parte en el estudio de la relación de dos variables, mientras que la regresión es la técnica básica en este tipo de estudios.

Después que se ha ajustado una línea de regresión a un grupo de puntos, se puede inspeccionar su gráfico y observar cuan exactamente predice los valores de Y. Existe un procedimiento matemático para efectuar esta observación que consiste en calcular las magnitudes de todos los errores:

Yi – Yi’, el error típico de estimación, se determina por:

Se =

( )2

1

2

.−

−∑ ′=

n

n

iii YY

Si se parte de que existe una línea de regresión teórica, de la que la recta de mínimos cuadrados es una estimación, y se supone que los valores: Yi – Yi’ (donde Yi’ es el valor de la línea teórica), son independientes y normalmente distribuidos con media 0 y la misma desviación típica σ, entonces se es una estimación de σ. Además la hipótesis de distribución normal permite enunciar probabilidades aproximadas con respecto a los errores de predicción, por ejemplo se puede decir que aproximadamente el 95% de los errores de predicción serán inferiores a 2se en aproximadamente el 95% de los errores de predicción serán inferiores a 2se en magnitud. En este caso la aproximación se hace sustituyendo 2σ por su estimación de muestra 2se, por lo que lo anteriormente dicho es sólo válido para muestras grandes.

Cuando se trata de `redecir una variable por medio de otras variables, en lugar de hacerlo por medio de sólo una variable más, se emplean métodos similares al caso de una variable, el problema se convierte en el de encontrar el plano de mejor ajuste por mínimos cuadrados, o sea como la ecuación de un plano cualquiera se puede escribir por:

Y’ = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + …

El problema consiste en estimar los parámetros b0, b1, b2, b3, … por el método de mínimos cuadrados. Esto se hace resolviendo un grupo de ecuaciones lineales y es generalizable para cualquier cantidad de variables adicionales.

En el caso de regresiones no lineales entre X y Y, como por ejemplo en el caso de ajustar a una parábola:

Y’ = b0 + b1x + b2x2

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El problema de adaptar una curva mediante el método de mínimos cuadrados es similar al de ajustar una ecuación de regresión múltiple a un conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones. Estos métodos pueden generalizarse para curvas polinomiales de mayor grado. En estos casos si es indispensable tener en cuenta al calcular el error típico de estimación, que en el denominador debe ir n – s, en lugar de n – 2, donde s indica el número de parámetros que hay que estimar.

11 ESTADÍSTICA APLICADA AL CONTROL DE LA CALIDAD DE LA PRODUCCIÓN DE CONCRETO

La base de la seguridad estructural de las obras de concreto masivo, armado y pretensado, está dada por la determinación correcta de la resistencia característica del concreto, pues los proyectistas basan sus criterios de diseño en métodos probabilísticos, que requieren de un análisis estadístico previo del comportamiento del concreto en las estructuras.

La resistencia característica a la compresión del concreto, se define en general como aquel valor de la resistencia a compresión por debajo del cual es esperable que se obtenga no más de un determinado porcentaje de la población de todas las posibles mediciones de resistencia del concreto especificado. Se denota normalmente por R’bk, adjuntándole en ocasiones en términos numéricos la edad a la que se mide dicha resistencia.

Si por ejemplo se estable que el porcentaje de fracción defectuosa de la población no exceda del 16%, aunque cabe indicar que en el mundo actual son contados los países que no hayan establecido ya un porcentaje máximo del 10% para las estructuras calculadas por estados límites y algunos países más desarrollados han adoptado un valor máximo del 5%.

El concreto es un material heterogéneo, sujeto a la influencia de numerosas variables, como por ejemplo: las características y variabilidad de cada uno de sus componentes (el cemento, los agregados, el agua, las adiciones y los aditivos químicos), las tecnologías de dosificación, mezclado, transporte, vertido y curado y finalmente las variaciones propias de la fabricación y tratamiento de las probetas y de los métodos de ensayo. En la Tabla 4 se ha reproducido la Tabla 2.1 del ACI 214-83 donde se indican claramente las fuentes principales de variación de la resistencia de los concretos.

De esta forma, al producirse un concreto bajo semejantes condiciones de empleo de materiales, tecnología y métodos de aseguramiento de la calidad, para una misma dosificación y una misma edad, la serie de resultados obtenidos de resistencia a compresión ofrece una data de valores de ensayo agrupados alrededor de un valor central, que sigue una distribución normal de frecuencias.

De hecho, el establecimiento de una resistencia característica, puede implicar que exista una cierta probabilidad, dada por la distribución normal de frecuencias, de que una cantidad de valores de la data analizada, sea inferior a este valor de resistencia. No obstante que las variaciones en las resistencias mecánica y otras propiedades de los concretos, e incluso la existencia de una cierta fracción defectuosa, deben ser aceptadas por todo lo antes expuesto, es importante recalcar que un concreto de una determinada calidad puede ser producido con elevado nivel de confiabilidad, si se mantiene un apropiado control de los niveles de variaciones ya mencionados y si los resultados de los ensayos son adecuadamente interpretados y sus limitaciones son consideradas.

Una excesiva variación de la resistencia a compresión del concreto, significa un nivel inadecuado de control y es indispensable tener en cuenta que el mejoramiento del grado de control se materializa en una reducción notable del costo del concreto y de los consumos de cemento, ya que el valor central de la resistencia a compresión en la distribución de frecuencias, puede ser llevado mucho más cerca de los requisitos especificados por el proyectista mediante la resistencia característica.

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Tabla 4. Fuentes principales de variación de la resistencia de los concretos, según ACI 214-77

Variaciones en las propiedades del concreto

Discrepancias en los métodos de ensayos

1 Cambios en la relación A/C

− Pobre control del agua − Variación excesiva de la humedad del

agregado − Reajustes

2. Variaciones en los requerimientos de agua

− Granulometría del agregado, absorción, forma de las partículas

− Propiedades del cemento y de los aditivos

− Contenido de aire de la mezcla − Tiempo de entrega y temperatura de la

mezcla

3 Variaciones en las características y la proporción de los ingredientes

− Agregados − Cemento − Puzolanas − Aditivos

4 Variaciones en el transporte, vertido y compactación de la mezcla de concreto

5 Variaciones en la temperatura y curado del concreto

1 Procedimientos inadecuados de muestreo

2 Variaciones debido a las técnicas de fabricación de las probetas

− Manipulación y curado de las probetas hechas recientemente

− Pobre calidad de los moldes de las probetas

3 Cambios en el curado de las probetas − Variaciones de la temperatura − Humedad variable − Demoras en la entrega de las probetas

al laboratorio

4 Pobres procedimientos de ensayo de las probetas

− Colocación del Capping de las probetas

− Realización de los ensayos a compresión

Es importante destacar que aunque en lo adelante nos referiremos a las resistencias mecánicas y muy especialmente a la resistencia a compresión del concreto, por ser el parámetro de control más universalmente empleado, las resistencias mecánicas no constituyen necesariamente el factor más crítico en el proporcionamiento de las mezclas de concreto, ni en la evaluación de su calidad, pues otros factores como la durabilidad pueden imponer relaciones agua/cemento más bajas que las requeridas por las resistencias mecánicas y en estos casos lógicamente las resistencias obtenidas estarán en exceso con respecto a la demanda estructural.

A continuación se verán algunas definiciones importantes para efectuar la evaluación estadística de la producción de concreto:

Probeta:

En casi todos los países de Hispanoamérica, la probeta normalizada para los ensayos de resistencia a compresión, es la probeta cilíndrica de altura nominal igual al doble del diámetro. La más generalizada es la de 150 mm de diámetro y 300 mm de altura, válida para concretos con agregado de 38,1 mm de tamaño máximo. En ocasiones se extraen testigos cilíndricos de dimensiones menores y en muy contados casos se ha utilizado la probeta cúbica (de [150 x 150 x 150] mm para agregado de hasta 38,1 mm de tamaño máximo). Es muy importante tener en cuenta que la data para efectuar los análisis estadísticos de la resistencia a compresión del concreto debe siempre estar constituida por valores provenientes de un solo tipo de probeta.

De igual forma, los métodos de preparación y tratamiento posterior de las probetas hasta la realización de los ensayos a rotura, deben ser los mismos para una misma data, al efectuar los análisis estadísticos. Por

30

ejemplo, aunque se trate de la misma data, al efectuar los análisis estadísticos. Por ejemplo, aunque se trate de la misma dosificación y los mismos materiales componentes, las probetas elaboradas por picado de barra en tres capas, serán de una data diferente que las elaboradas compactándolas por vibración, así como también las probetas curadas por inmersión en agua a partir de las 24 horas de su preparación hasta el ensayo a rotura, serán de una data diferente a las curadas en cámara húmeda a 95% de humedad relativa.

Serie de probetas:

Es el grupo de probetas que se extrae de una misma muestra, representativa de una amasada de concreto, que se preparan y conservan en iguales condiciones y que se ensayan a una misma edad.

La amasada es la porción de mezcla de concreto que se confecciona de una sola vez, por tanto, el volumen de una amasada está directamente vinculado al volumen de concreto que es capaz de preparar la hormigonera de una sola vez.

Para una amasada es suficiente en general obtener tantas series de probetas como edades se desee ensayar y cada serie de probetas debe tener tres unidades y, como mínimo dos en el caso de investigaciones de laboratorio. A pie de obra es suficiente por lo general obtener de cada amasada dos o tres series de probetas, para ensayar a 3, 7 y 28 días. Como criterio de economía es necesario extraer de cada amasada sólo las series de probetas que va a ofrecer alguna información de interés, que vaya a ser utilizada con un fin específico.

Lote de concreto:

Es el volumen de concreto de igual o semejante dosificación y materiales componentes, que es confeccionado y puesto en obra en condiciones sensiblemente iguales y que se somete a juicio de una sola vez.

El establecimiento del lote de concreto lleva implícito un período de tiempo o un volumen de concreto que no puede normarse, pues depende de las características propias de la producción, de la demanda e incluso de los elementos que dicho lote va a representar. No obstante es conveniente siempre que el lote, para ser evaluado estadísticamente, cuente con no menos de 30 series de probetas, lo que hará los resultados mucho más confiables. Lógicamente esto es posible en grandes plantas preparadoras de concreto premezclado o prefabricado, pero a pie de obra no sucede así a menudo. En cualquier caso, el mínimo de series para un análisis estadístico no debe ser inferior a seis.

Con el objetivo de lograr que la frecuencia de muestreo del lote de concreto sea la suficiente para poder efectuar un análisis estadístico, cuya solidez sea incuestionable a los efectos de la aceptación o rechazo del mismo, el muestreo aleatorio del lote debe obedecer a un plan general cuya metodología fue expuesta ya en el acápite 2.

Pasos para efectuar la evaluación estadística de un lote de concreto:

1. Se parte de los ensayos individuales de rotura a compresión de las probetas de cada una de las series. La resistencia a compresión de cada probeta se calcula por

R’bi = AF

. 10 (MPa)

donde:

F es la carga aplicada de rotura (kN);

A es el área de la sección transversal de la probeta (cm2).

Es conveniente que los valores individuales de resistencia a compresión de la serie de probetas se anote en orden consecutivo, de mayor a menor, o sea: R’bl > R’b2 > R’b3.

No se pueden rechazar de forma arbitraria (a consideración personal de los técnicos o laboratoristas que efectúan los ensayos), los resultados de resistencia individual de las probetas que parecen estar muy dispersos. Es necesario recordar que un patrón normal de probabilidad establece la posibilidad de tales resultados. El rechazo indiscriminado de resultados de ensayo puede distorsionar seriamente la distribución de frecuencias haciendo poco o nada confiable el análisis de los resultados. Si las probetas se observan defectuosas o se produjo algún accidente o error durante el ensayo, el laboratorista se limitará a tomar nota de estas irregularidades en el propio récord de ensayos.

31

2. Se calcula la resistencia a compresión de la serie de probetas por:

R’bs = n

n

ibiR∑

=1'

(MPa)

Además se calcula el recorrido de la serie de probetas por:

Ri = R’b1 – R’b3 (MPa)

O sea, la diferencia entre los valores mayor y menor de la serie.

3. Se calcula la resistencia media a compresión del concreto del lote por:

R’bm = m

m

sbsR∑

=1'

(MPa)

y el recorrido medio del lote de concreto por:

R = m

m

iiR∑

=1 (MPa)

4. Se calcula la desviación típica interna del ensayo (Within Test) por:

S1 = Rd

•2

1

donde:

1/d2 es la constante que depende del número de probetas promediadas de la serie, tal como se indica en la Tabla 5.

Tabla 5. Valores de d2 en función del número de probetas de la serie

Número de probetas de la serie

d2 1/d2

2 1,128 0,8865

3 1,693 0,5907

4 2,059 0,4857

5 2,326 0,4299

6 2,534 0,3946

7 2,704 0,3698

8 2,847 0,3512

9 2,970 0,3367

10 3,078 0,3249

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5. Se calcula el coeficiente de variación interno del ensayo (Within Test) por:

V1 = 100'1 ⋅

RS

bm

(%)

Por el valor del coeficiente de variación interno del ensayo se puede juzgar la calidad de los ensayos y el nivel de control en la fabricación y tratamiento de las probetas, tanto para el trabajo de campo, como para las investigaciones a escala del laboratorio.

En la Tabla 6 se muestran los valores límites de V1 para diferentes grados de control.

Tabla 6. Valores de V1 para diferentes grados de control

Tipo de operación Grados de control

Excelente Muy bueno Bueno Aceptable Deficiente

Control de campo (a pie de obra o planta)

< 3,0 3,0 – 4,0 4,0 – 5,0 5,0 – 6,0 > 6,0

Mezclas de prueba en el laboratorio < 2,0 2,0 – 3,0 3,0 – 4,0 4,0 – 5,0 > 5,0

Es evidente que los resultados evaluados como aceptables o deficientes, hacen desconfiar del Sistema de Aseguramiento de la Calidad y por tanto requieren la toma de medidas inmediatas para la revisión de todos los procedimientos y métodos de preparación de las probetas, su tratamiento y cuado, así como de los ensayos, pues de lo contrario los resultados obtenidos del análisis estadístico pueden ser cuestionados.

6. Se calcula la desviación típica del lote por:

SL =

)(1

1

2

''−

∑ −=

m

bs bm

m

sRR

(MPa)

La desviación típica del lote refleja las variaciones entre amasadas de concreto, o sea entre las series de probetas. Estas variaciones se deben fundamentalmente a las propias variaciones en las características y propiedades de las materias primas (cemento, agregados, aditivos, adiciones y agua), a las variaciones propias del proceso de dosificación, el mezclado, muestreo y todo el sistema de preparación, tratamiento, curado y ensayo de las probetas, o sea incluye también la desviación típica del ensayo, de manera que:

SL2 = S1

2 + S22 (MPa)

donde:

S2 es la desviación típica de amasada a amasada, sin incluir las variaciones propias del muestreo, preparación, tratamiento, curado y ensayo de las probetas.

7. Se evalúa la anormalidad, tanto de valores individuales de resistencia a la compresión de las probetas, como de las series de probetas.

La anormalidad de ciertos valores individuales de resistencia a la compresión de las probetas, se evalúa comparando el valor individual R’bi que resulta sospechoso, con la media de la Serie R’bs. Si el valor absoluto de la diferencia entre ambos valores es mayor de 3SL, entonces es recomendable rechazar dicho valor individual.

La anormalidad de los valores de resistencia a la compresión de las series, se analiza si el valor sospechoso coincide con las anotaciones del laboratorista que efectuó los ensayos, indicando condiciones anormales en las probetas o errores de ensayo, en fin factores ajenos. En este caso, se halla el valor del estadígrafo tn por:

33

tn = S

RRL

bmbs '' −

donde:

R’bs1 es el valor de serie que se considera sospechoso, en MPa.

El valor de tn se compara con el valor límite de h dado en la Tabla 7, para un nivel de significación del 5%,

de manera que si tn > h, el valor de la serie que se sospecha anormal, es anormal y debe ser excluido.

Es importante recalcar que la comprobación de la anormalidad se hace para valores extremos, o sea tanto los muy bajos, como los muy altos.

8. En el caso en que hayan sido depurados ciertos valores de ensayos individuales de probetas, o del conjunto de series, se recalcula la resistencia media a compresión y la desviación típica del lote, por las expresiones ya indicadas.

9. Se calcula la resistencia característica obtenida del lote por:

R’bk = R’bm – Z . SL (MPa)

donde:

Z es el parámetro que depende de la fracción defectuosa permisible, y cuyos valores han sido indicados en la Tabla 8.

Tabla 7. Valores de h en función de la población de series de muestras

Población de las series

h

Población de las series

h

Población de las series

h

3 1,15 12 2,29 25 2,87

4 1,48 13 2,33 30 2,93

5 1,67 14 2,37 40 3,02

6 1,82 15 2,41 50 3,08

7 1,94 16 2,44 100 3,20

8 2,03 17 2,48 250 3,53

9 2,11 18 2,50 500 3,80

10 2,18 19 2,53 - -

11 2,23 20 2,56 - -

Cuando sólo se dispone de una muestra pequeña, o sea que se está evaluando una muestra con menos

de 30 valores de medias muestreales, entonces la expresión para el cálculo de la resistencia característica será:

R’bk = R’bm – t . SL (MPa)

donde:

t: es el percentil de Student para un nivel de confianza determinado, que por supuesto también corresponde con la fracción defectuosa admisible. En la Tabla 3A del Anexo A, se muestran los valores del percentil de Student para niveles de significación del 10, 20, 32 y 40%, que corresponden respectivamente a

34

fracciones defectuosas del 5, 10, 16 y 20% (las más usuales actualmente en el mundo) y para diferentes grados de libertad v = n – 1.

Tabla 8. Valores de la fracción defectuosa (%) en función de Z

Z

Fracción defectuosa

(%)

Z

Fracción defectuosa

(%)

Z

Fracción defectuosa

(%)

0,1 46,0 1,10 13,6 2,10 1,8

0,2 42,1 1,20 11,5 2,10 1,4

0,3 38,2 1,30 9,7 2,30 1,1

0,4 34,5 1,40 8,1 2,40 0,8

0,5 30,9 1,50 6,7 2,50 0,6

0,6 27,4 1,60 5,5 2,60 0,45

0,7 24,2 1,70 4,5 2,70 0,35

0,8 21,2 1,80 3,6 2,80 0,25

0,9 18,4 1,90 2,9 2,90 0,19

1,0 15,9 2,00 2,3 3,00 0,13

Es siempre recomendable trabajar con una población no menor de 30 series muestreales, pero en ningún

caso deben ser menores de seis.

10. La fracción defectuosa obtenida del lote, o sea el porcentaje de valores de resistencia a compresión de las series, que son inferiores a la resistencia característica a compresión, especificada por el proyecto (R’bkp), se puede determinar ya sea por examen directo de la población de series, o si se cuenta con más de 40 valores de series haga un muestreo, mediante la expresión de Z.

Z = S

RRL

bkpbm '' −

En la Tabla 8 se muestra el valor de la fracción defectuosa en función del valor de Z obtenido.

11. Se evalúa la uniformidad del concreto del lote, a partir de su desviación típica, comparándola con los valores indicados en la Tabla 9.

Tabla 9. Valores de SL (MPa) para diferentes grados de control

Tipo de Grados de control operación Excelente Muy bueno Bueno Aceptable Deficiente

Control de campo (a pie de obra o

de planta

< 2,81

2,81 – 3,52

3,52 – 4,22

4,22 – 4,92

> 4,92

Mezclas de prueba en el laboratorio

< 1,41

1,41 – 1,76

1,76 – 2,11

2,11 – 2,46

> 2,46

Para el control de campo, un grado de uniformidad excelente , debe caracterizar la producción de concreto en las plantas de prefabricados y en las plantas centralizadas gravimétricas de concreto premezclado que posean sistemas de dosificación automáticos.

35

Un grado de uniformidad muy bueno, debe caracterizar la producción de concreto en plantas gravimétricas de concreto premezclado, con sistemas de dosificación de control manual.

Un grado de uniformidad bueno, debe caracterizar a la producción de concreto a pie de obra en concreteras estacionarias (remolcables), con sistemas de dosificación volumétricos.

En cualquier caso, un grado de uniformidad aceptable o deficiente , requiere tomar medidas de inmediato para mejorar el mismo, pues en tales casos no tendrá sentido una evaluación mediante la estadística, cuando la data resulta “no confiable”.

Los criterios establecidos en la Tabla 9, permiten también asumir un valor de desviación típica que permita calcular la resistencia media para el diseño de las mezclas de concreto, a partir de la resistencia característica especificada por el proyecto, de modo que:

R’bm = R’bk + SL (MPa)

12. La aceptación del concreto del lote, queda entonces establecida por la condición:

R’bk � R’bkp

Si no se cumple este criterio básico de aceptación, no necesariamente tienen que ser demolidas las estructuras elaboradas con dicho lote, en este caso las acciones a tomar son múltiples y pueden desembocar en la aceptación definitiva del lote con o sin penalización, la declaración de las estructuras, su refuerzo, o su demolición cuando no quede otra alternativa posible.

El método expuesto, en su orden lógico, permite caracterizar totalmente un lote de concreto, definir su aceptación o no, pero aún siendo aceptado, puede ser necesario tomar medidas para mejorar el grado de control en su producción como un criterio elemental de economía.

Se ha puesto en evidencia que la caracterización completa de un lote de concreto, requiere la evaluación de los siguientes parámetros:

1. La resistencia característica obtenida (R’bk) y la determinación de su fracción defectuosa.

2. La desviación típica del lote (SL).

3. El coeficiente de variación interno del ensayo (V1).

El primero establece de facto la aceptación o no del lote y la toma de medidas posteriores en el caso de una no-aceptación.

El segundo permite evaluar la uniformidad del concreto, su grado de control y en función de ello la economía de su producción.

El tercero evalúa la confiabilidad de todo el sistema de control de la calidad efectuado y con ello la propia confiabilidad de la caracterización del lote.

A continuación se da un ejemplo práctico de la aplicación de la evaluación estadística de lotes de concreto.

Ejemplo:

Es necesario evaluar un lote de concreto, diseñado para una resistencia característica de 10 MPa, mediante 10 series haga un muestreo obtenidas aleatoriamente, cuyos resultados de ensayos de resistencia a compresión obtenidos en el laboratorio son los siguientes:

36

Número de muestra

R’bl R’b2 R’b3

1 22,0 21,0 18,7

2 20,8 20,0 16,3*

3 21,0 19,5 19,0

4 22,5 22,0 20,5

5 23,0 22,0 21,8

6 19,0 19,0 18,5

7 22,3 21,8 21,0

8 23,5 22,5 18,9*

9 24,0 22,5 22,0

10 26,0** 22,0 22,0

Con un asterisco (*) el laboratorista indicó las probetas que presentaban fisuras y oquedades por una deficiente elaboración y con dos asteriscos (**) un posible error de medición durante el ensayo. Todos los valores de resistencia están dados en MPa.

El consumo de cemento de la dosificación empleada fue de 350 kg/m3.

La fracción defectuosa admisible es del 16%.

Los primeros pasos consisten en determinar la resistencia media a compresión y el recorrido de cada serie, o sea:

Número de muestra

R’b1 R’b2 R’b3 R’bs Ir

1 22,0 21,0 18,7 20,8 3,3

2 20,8 20,0 16,3* 19,0 4,5

3 21,0 19,5 18,0 19,8 2,0

4 22,5 22,0 20,5 21,7 2,0

5 23,0 22,0 21,8 22,3 1,2

6 19,0 19,0 18,5 18,8 0,5

7 22,3 21,8 21,0 21,7 1,4

8 23,5 22,5 18,9* 21,6 4,6

9 24,0 22,5 22,0 22,8 2,0

10 26,0** 22,0 22,0 23,3 4,0

� = 211,6 25,4

Entonces la resistencia media del lote, será: R’bm = 21,16 MPa y el recorrido medio: R = 2,54 MPa.

Se calcula la desviación típica interna del ensayo:

S1 = 0,5907 S

2

2 = 1,5 MPa

y el coeficiente de variación interno del ensayo:

37

V1 = 100.2,21

5,1 = 7

Este valor está evaluado como deficiente para las condiciones de campo, por lo que el sistema de control de calidad de la producción de este concreto no resulta confiable y resulta imprescindible tomar medidas inmediatas para corregirlo. Aún así continuaremos el análisis del lote.

Se procede al cálculo de la desviación típica del lote:

Número de

muestra R’bs R`bs - R’bm (R’bs – R’bm)2

1 20,6 - 0,6 0,36

2 19,0 - 2,2 4,84

3 19,8 - 1,4 1,96

4 21,7 0,5 0,25

5 22,3 1,1 1,21

6 18,8 - 2,4 5,76

7 21,7 0,5 0,25

8 21,6 0,4 0,16

9 22,8 1,6 2,56

10 23,3 2,1 4,41

∑ = 21,76

SL = 976,21

= 1,55 MPa

Este valor de desviación típica resulta excelente para las condiciones de campo.

En este momento existen condiciones para evaluar la anormalidad o no de los valores indicados.

En la muestra 2 se indicó el valor individual de 16,3 cuya diferencia con la media de la serie es de: 19,0 – 16,3 = 2,7 MPa.

Como el valor 3SL = 4,68 MPa, que es mucho mayor que 2,7 MPa, el valor individual sospechoso no se rechaza.

Otro valor individual sospechoso y también extremo, es el de 23,3 MPa, pero la diferencia con la mezcla de la serie: 26,0 – 23,3 = 2,7 MPa y por tanto tampoco puede ser rechazado.

Con respecto a los valores de las medias de las series, el valor más bajo corresponde a 18,8 entonces;

tn = 55,1

16,218,18 −= 1,52

El valor de h para una población de muestras de 10, corresponde a 2,18 y como resulta mayor que 1,52 el valor extremo no se puede eliminar.

El valor más alto de las medias de las series es de 23,3 entonces:

38

tn = 55,1

16,213,23 − = 1,38

que también resulta inferior a 2,18 por lo que tampoco se puede eliminar.

Ya es posible efectuar el cálculo de la resistencia característica obtenida. Como se trata de una muestra pequeña, donde n = 10, entonces: v = 9 y el valor del percentil de Student por la Tabla 3A del Anexo A, es igual a 1,053.

R’bk = R’bm - tSL

R’bk = 21,16 – 1,053 . 1,55 = 19,53 MPa

La resistencia característica obtenida es inferior a la especificada, que es de 20 MPa, por lo que el lote de concreto no puede ser aceptado.

El chequeo de la fracción defectuosa también lo afirma, pues hay 3 valores de medias muestreales (190; 198 y 188) que son inferiores a la resistencia característica especificada, por lo que la fracción defectuosa es del 30%, o sea muy superior al límite máximo del 16% establecido.

A tenor con todo lo antes expuesto se puede extraer las siguientes conclusiones:

1. El lote no se acepta sin la realización de estudios complementarios.

2. El sistema de control de calidad no es confiable y tiene que ser corregido de inmediato.

3. Es imprescindible incrementar el consumo de cemento para garantizar el requisito de aceptación de lotes posteriores, hasta tanto no se corrijan aspectos tecnológicos y de aseguramiento de la calidad.

En una primera aproximación, el consumo de cemento de la mezcla se puede reajustar empleando el concepto de rendimiento del cemento, para lo cual es necesario en primer lugar establecer el ajuste mínimo de resistencia a compresión que hay que lograr, o sea:

20,0 – 19,53 = 0,47 MPa

El rendimiento del cemento es de:

MPa

kg m53,19

/350 3

= 17,92 kg / m3 / MPa

Por lo que el consumo adicional de cemento para lograr el incremento de resistencia deseado, estará en el orden de:

17,92 . 0,47= 8,42 kg / m3

Que se pueden redondear a 10, por lo que el nuevo consumo de cemento de la mezcla se ajustará preliminarmente a 360 kg / m3.

12 MODELACIÓN MATEMÁTICA DE UN EXPERIMENTO. RECOMENDACIONES PARAMODELACIÓN MATEMÁTICA DE UN EXPERIMENTO EN EL CAMPO DE LA TECNOLOGÍA DEL CONCRETO

La modelación matemática de un experimento no es más que la organización del experimento mediante un esquema previamente establecido, que tiene las propiedades óptimas desde el punto de vista del trabajo experimental y a su vez las exigencias estadísticas.

La teoría de la modelación matemática de los experimentos incluye los métodos probabilístico-estadísticos que permiten establecer de forma fundamentada la cantidad mínima indispensable de experimentos, su composición y el orden en que deben de ser ejecutados, para obtener las dependencias cualitativas entre el parámetro estudiado y los factores que sobre él influyen.

39

La utilización exitosa de los métodos de modelación matemática de un experimento, depende en primer lugar de un correcto planteamiento de la tarea .

El planteamiento de la tarea consiste en que el investigador tiene que poder precisar con suficiente exactitud el volumen y el contenido de la información que es necesario extraer del experimento, así como la posibilidad de utilización de los métodos de modelación matemática para las condiciones concretas planteadas.

Para ello es imprescindible elegir las variables independientes más importantes y el diapasón de sus variaciones, para la determinación de los parámetros de salida , y además realizar los experimentos mediante un plan estadístico, óptimo, bien determinado (planteamiento matricial), en función del carácter de las variables dependientes estudiadas (parámetros de salida).

Los métodos de la modelación matemática del experimento permiten ir variando de forma simultánea algunos de los valores de las variables independientes, empleando para ello tablas existentes en forma matricial, en las cuales se dan los valores codificados de dichas variables, y en base a los resultados de los experimentos permiten obtener el modelo matemático de las variables dependientes (parámetros de salida) estudiadas.

Es importante tener claro que el verdadero carácter de una variable dependiente no siempre puede ser conocido, pero para la solución de determinadas tareas prácticas puede ser suficiente descubrir una fórmula aproximada.

La forma más cómoda de obtener dicha fórmula es mediante la ecuación en forma de polinomio.

Para comenzar, o sea en una primera etapa de la investigación se toman ecuaciones de primer grado o ecuaciones cuadráticas incompletas. Cuando se trata de tareas de optimización se emplean por lo general polinomios de segundo orden. En el campo de la tecnología del concreto no aportan información adicional por lo general las ecuaciones de tercer orden y superiores y por lo tanto no se utilizan.

En el campo de la tecnología del concreto, los modelos matemáticos pueden ser utilizados para estudiar y dirigir determinadas propiedades del concreto (resistencias mecánicas, impermeabilidad, consumo de cemento, costos, etc.) y también para dar solución a determinadas tareas de optimización del proceso tecnológico, como por ejemplo selección de los valores óptimos de las variables dependientes (parámetros de salida) en el campo de variación de las variables independientes, o simplemente asegurar que los valores de dichas variables dependientes no sean menores que ciertos valores determinados.

El primer paso importante (que decide sobre todo el experimento), es la elección de las variables independientes (determinadas por X), que van a influir sobre el parámetro de salida estudiado (determinado por Y). Estas variables tienen que ser realmente independientes o por lo menos si existe alguna relación entre ellas, no puede ser fundamental. Por ejemplo no puede modelarse simultáneamente el asentamiento de una mezcla fresca de concreto por el cono de Abrams, con el contenido de agua de la mezcla, pues estas variables son independientes entre sí de forma fundamental.

El resto de los factores que no entran en el experimento como variables independientes se toman siempre constantes.

Al seleccionar las variables independientes es importante también tener en cuenta que sea realmente posible obtener su variación en determinado entorno en el proceso del experimento. Por ejemplo el módulo de finura de un agregado podría ser una variable independiente interesante al modelar las resistencias mecánicas o la durabilidad de los concretos, pero hay que tener en cuenta que variar el módulo de finura de un agregado en determinado entorno, a nuestro antojo, es extremadamente difícil y por otra parte puede no tener ningún sentido práctico, pues dichos módulos pueden llegar a ser obtenibles a escala de laboratorio pero nunca a escala industrial.

Es preferible siempre que los parámetros de salida investigados tengan una valoración cuantitativa, aunque es posible modelarlos por sus índices cualitativos. Por ejemplo la consistencia de los morteros puede ser medida por la mesa de sacudidas, pero es siempre conveniente establecer cualitativamente la “correa” del mortero de albañilería, o sea su facilidad de colocación con la cuchara, cosa que sólo puede hacerlo un albañil de experiencia.

Para cualquier combinación de los valores de las variables independientes en los niveles de variación asumidos, tiene que ser posible obtener el parámetro de salida, de lo contrario será necesario estrechar dichos intervalos de variación o resolver la tarea por partes. Por ejemplo, si el parámetro de salida es el asentamiento de la mezcla por el cono de Abrams, y las variables independientes son la fracción de arena en la mezcla de agregados, el contenido de agua y la cantidad de aditivo plastificante, cualquier combinación de estas variables

40

(dentro de los intervalos de variación elegidos) debe permitir obtener una mezcla de concreto homogénea, con asentamiento medidle por el cono de Abrams.

El segundo paso es por lo tanto, establecer claramente los intervalos de variación de las variables independientes. Al conjunto de todos los valores que puede tomar una variable independiente se le denomina campo de variación. Es conveniente siempre trabajar con los valores de la variable de forma codificada, pues en las matrices de planificación, los valores se dan siempre de esta forma codificada. Para codificar los valores de las variables independientes, se toma como nivel fundamental de variación el valor central, que se denomina punto nulo y se le designa como Xio. El intervalo de variación se denomina ∆Xi y entonces, por medio de la suma o resta del valor del intervalo de variación al valor de la variable independiente, se obtiene el nivel superior de la variable (+1) o el inferior (-1) respectivamente, empleando la expresión:

Xi = xxx

i

IOi∆−

Por ejemplo, si una de las variables independientes de un experimento es la fracción de arena con respecto al total de agregado en peso, en porcentaje y se decide variar esta fracción entre el 30 y el 50%, con el punto nulo en el 40%, entonces:

Xi = 30; X io = 40; �Xi = 10

X1 = 10

4030 − = -1

Xi = 50; Xio = 40; �Xi = 10

X1 = 10

4050 − = +1

Por lo tanto podemos resumir los niveles de variación de esta variable por:

Variable independiente

Código

Nivel de variación Intervalo de variación

-1 0 +1 Fracción en peso de la arena del total de agregados en la mezcla del concreto.

X1

30

40

50

10

La elección de los intervalos de variación de las variables independientes depende del objetivo de la investigación, de las posibilidades de efectuarla con éxito, e incluso de las condiciones concretas de la producción, por lo que requiere de mucho cuidado e ingenio.

Los intervalos de variación para los modelos lineales y cuadráticos incompletos se toman como regla inferiores, que para los modelos cuadráticos completos, pues mientras más ancho es el campo de variación de la variable independiente, será menos probable el carácter lineal del modelo respecto al parámetro de salida.

Para evitar errores sistemáticos en la realización de los experimentos, así como una distribución uniforme de los factores aleatorios que siempre influyen en su realización (como por ejemplo las oscilaciones de la humedad y la temperatura ambiente, el cansancio del investigador, variaciones no significativas en la granulometría de los agregados, etc.), los experimentos no se ejecutan por el orden indicado en la matriz, sino por cualquier sucesión fortuita, que puede determinarse previamente con el auxilio de una tabla de números aleatorios. Así por ejemplo puede ser que se comience primero por el experimento No. 4, después el No.1, después el No.3, etc.

Anteriormente se había expresado, que siempre al comenzar un experimento se deben tomar ecuaciones o modelos lineales y cuadráticos incompletos. En estos casos se utiliza más comúnmente el experimento

41

factorial completo con réplicas.

Al ejecutar un experimento factorial completo, la modelación se efectúa sólo en dos niveles, el inferior (-1) y el superior (+1). De esta forma la cantidad total de experimentos a efectuar depende de la cantidad de variables independientes k y se determina como: 2k, o sea que si se trabaja con dos variables independientes harán 22 = 4 experimentos, si se trabaja con 3, se harán 23 = 8, y así sucesivamente.

Por ejemplo, supongamos que se quiere determinar la influencia que ejercen las variables independientes X1 y X2 en alguna propiedad del concreto. La matriz de planificación en este caso tendrá el siguiente aspecto:

Puntos

del modelo

Variables independientes

Interacciones Parámetro de salida

X1 X2 X1X2 Y 1 2 3 4

+1 +1 -1 -1

+1 -1 +1 - 1

+1 -1 -1 +1

Y1 Y2 Y3 Y4

Por supuesto que en la matriz de planificación, los valores de las variables independientes aparecen en forma codificada. Se puede observar como el número total de experimentos corresponde a 2k, donde k = 2, o sea un total de cuatro experimentos-

En la Tabla 10 se muestra la matriz típica de planificación de los experimentos factoriales completos desde k = 2, hasta k = 5.

42

Tabla 10. Matriz de planificación de los experimentos factoriales completos para k=2 hasta k=5

Puntos del

modelo

Variables independientes

X1 X2 X3 X4 X5

1 2 3 4

+1 +1 -1 -1

+1 -1 +1 -1

+1 +1 +1 +1

+1 +1 +1 +1

+1 +1 +1 +1

5 6 7 8

+1 +1 -1 -1

+1 -1 +1 -1

-1 -1 -1 -1

+1 +1 +1 +1

+1 +1 +1 +1

9 10 11 12 13 14 15 16

+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1

+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1

+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1

+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1

+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Los resultados de los experimentos se procesan mediante métodos estadístico-matemáticos que permitan obtener la dependencia entre los parámetros de salida y las variables independientes seleccionadas. Estas dependencias son ecuaciones de regresión lineales o cuadráticas incompletas, dadas por la siguiente fórmula general:

Y iˆ = XXbXbb jiji

iji

k

ii

...1

0 ∑∑==

++

Así por ejemplo, cuando se han seleccionado dos variables independientes:

Y iˆ = XXbXbXbb 211222110.... +++

Con tres variables independientes:

100.2,215,1 = XXbXXbXXbXbXbXbb 3223311321123322110

......... ++++++

Con cuatro variables independientes:

43

Y iˆ = +++++++ XXbXXbXbXbXbXbb 31132112443322110........

XXbXXbXXbXXb 4334422432234114........ ++++

Y así sucesivamente. Véase como con el incremento del número de variables independientes crece bruscamente el número de experimentos a efectuar, a lo que se suma que cada experimento debe realizarse no menos de tres veces, a esto se le denomina hacer réplicas del experimento.

En una primera etapa de la investigación es posible reducir significativamente el número de experimentos, eliminando ante todo las interacciones de orden superior, que al menos en el campo de la tecnología del concreto son las menos significativas.

Los coeficientes de las ecuaciones de regresión se calculan por las siguientes expresiones:

bo = ; b1 = S2

3 ; b ij = I

YXXI

iiiJiI

1

1

1

..∑=

donde:

Y i es la media de las réplicas de los parámetros de salida;

I 1 es el número de experimentos o puntos del modelo.

El próximo paso consiste en hacer el análisis estadístico de las ecuaciones de regresión. Esto es indispensable, pues la realización del experimento siempre está asociada a errores debidos a las propias variables independientes que son estudiadas, y como los procesos llevan un carácter probabilístico, las ecuaciones obtenidas no constituyen (ni mucho menos) sus copias exactas y sólo las reflejan con determinado nivel de probabilidad, de ahí que el análisis estadístico sea una etapa obligatoria en la realización de la investigación y su objetivo es establecer la importancia de los coeficientes de la ecuación y comprobar cómo se adecua la ecuación obtenida a los datos reales del experimento.

El análisis estadístico de la ecuación de regresión se realiza a partir de los resultados de las réplicas de los experimentos.

El análisis estadístico incluye los siguientes pasos:

- Se halla la media del parámetro de salida Yi o sea:

Y i =

r

r

jijY∑

=1

donde:

r es el número de réplicas obtenidas del parámetro de salida.

− Se halla la varianza de las réplicas obtenidas del parámetro de salida, por:

}{S Y i

2 =

()1(

)1 1

2

.−

−∑∑= =

rI

I

i

r

iiij YY

− Se calcula la desviación típica del parámetro de salida:

44

{ }S Y i

= { }S y i

2

− Se halla entonces el error medio cuadrático de la determinación de los coeficientes de la ecuación de regresión, por:

( )S b0

= ( )S bi

= ( )S b ij

= { }I

S y i

1

− Se calcula el criterio de Student (tp) para cada uno de los coeficientes de la ecuación de regresión, por:

AF = ( )b

bS

0

0 ; ( )bt ip = ( );

bb

i

i

S ( )bt ijp

= ( )bb

ij

ij

S

El cálculo de tp se comienza siempre por los coeficientes de valor absoluto más pequeños.

Los coeficientes se consideran significativos si el valor del criterio de Student resulta mayor que el valor dado en la Tabla 3A del Anexo A, en dependencia del nivel de significación (o el grado de confianza) y del número de grados de libertad. En las investigaciones efectuadas en la Tecnología del Concreto el nivel de significación se toma por lo general del 5% (0,05) y el número de grados de libertad se determina por:

( )Yf = I1 (r-1)

donde:

r es el número de réplicas efectuadas a los experimentos.

Si el coeficiente no resulta significativo, puede ser omitido, sin necesidad de efectuar el recálculo de los restantes. Cuando se trabaja con ecuaciones cuadráticas completas, los coeficientes de los miembros cuadráticos se mantienen en la ecuación, aún cuando no resulten significativos.

El signo del coeficiente indica prácticamente el carácter de la influencia del factor correspondiente de la ecuación de regresión sobre el parámetro de salida, así por ejemplo un signo positivo quiere decir que con el incremento del factor e la ecuación, se incrementa el valor del parámetro de salida y con el signo negativo lo contrario. Mientras mayor es el valor del coeficiente, más fuerte será su influencia sobre el parámetro de salida. Entonces resulta evidente que cuando sea necesario obtener el valor máximo del parámetro de salid, es necesario tomar los valores más altos de los factores que tienen coeficientes con signo positivo y simultáneamente tomar los valores más bajos de los factores que tienen coeficientes con signo negativo.

Es también importante tener presente que los valores absolutos de los coeficientes de la ecuación de regresión se incrementan, en la medida en que son mayores los intervalos de variación de las variables independientes.

A continuación se verifica la adecuación de la ecuación de regresión obtenida, o lo que es lo mismo, demostrar si las diferencias que se observan entre los valores reales de los parámetros de salida de los experimentos y los obtenidos mediante la ecuación de regresión, se deben o no a la casualidad. A tal efecto se utiliza la distribución F (Fisher), que permite establecer la homogeneidad de la dispersión. Para ello es necesario calcular la dispersión de la adecuación S2

ad por:

Sad

2 = ( .ˆ 2

11

)1

YYI ii

i

I

mr

−− ∑

=

donde:

m es el número de coeficientes significativos de la ecuación de regresión;

Y 1 es el valor calculado del parámetro de salida en la ecuación.

45

Entonces se determina la homogeneidad de la dispersión mediante el criterio F, teniendo en cuenta que:

Si Sad

2 > }{S Y i

2, entonces Fp =

{ }SS

yi

ad2

2

;

Si Sad

2 < }{S Y i

2, entonces Fp =

{ }

{ }SS

ad

y i

2

2

;

Se halla el valor correspondiente del criterio F por la Tabla 5A del Anexo A, que está dada para un nivel de significación del 5% (o sea un grado de confianza del 95%) y el número de grados de libertad, que para las columnas es de:

I1 – m; y para las filas es de: I1(r- 1)

La ecuación de regresión resulta adecuada si (para el nivel de significación asumido (5%), FP < F.

Si esta condición no se cumple, esto quiere decir, que al ejecutar el experimento se han cometido errores burdos, o simplemente que el polinomio elegido no refleja de forma suficientemente completa, la dependencia investigada. En estos casos caben tres opciones principales, o repetir los experimentos, o cambiar los intervalos de variación de las variables independientes, o utilizar otro modelo.

Si la ecuación de regresión resulta adecuada , entonces con ella es posible resolver diferentes tareas analíticas y de optimización, de interpolación e incluso en algunos casos de extrapolación de los parámetros de salida, que son el objeto de la investigación.

Las tareas de interpolación permiten descubrir el valor que adquiere el parámetro de salida dentro de los límites del campo de variación de las variables independientes. Así colocando en la ecuación de regresión los valores codificados de cada variable independiente (de +1 a –1), obtenemos el valor del parámetro de salida para cualquier combinación intermedia de dichos valores.

Las tareas de extrapolación permiten pronosticar los valores de los parámetros de salida fuera de los límites del campo de variación de las variables independientes, pero esto sólo es posible dentro de un margen adecuado de error, cuando el investigador no tiene dudas de que en los nuevos límites utilizados como campo de variación de las variables independientes, se mantiene el carácter de la función.

Con las ecuaciones de regresión es posible construir gráficos y nomogramas para los parámetros de salida, siempre dentro de los límites del campo de variación de las variables independientes.

Las tareas de optimización consisten en establecer una combinación tal de las variables independientes, de manera que se aseguren valores máximos o mínimos de los parámetros de salida. Los extremos se encuentran por la vía de la diferenciación sucesiva de las variables independientes así por ejemplo, un valor extremo de la ecuación de regresión siguiente:

Y iˆ = XXbXXbXXbXbXbXbb 3223311321123322110......... ++++++

Se obtendrá derivando sucesivamente la ecuación por cada variable independiente e igualando a cero, hasta obtener el siguiente sistema de ecuaciones:

XY

1

1ˆ∂

∂= b1 + b12 . X2 + b13 . X3 = 0

XY

2

1ˆ∂

∂= b2 + b12 . X1 + b23 . X3 = 0

XY

3

1ˆ∂

∂= b3 + b13 . X1 + b23 . X2 = 0

46

Haciendo las transformaciones correspondientes de estas ecuaciones, se obtiene un sistema de tres ecuaciones lineales que es posible resolver por los métodos convencionales.

A continuación se desarrollará un ejemplo concreto de diseño y desarrollo de un experimento, empleando los métodos antes expuestos.

Si desea establecer el modelo matemático de la resistencia a compresión del concreto a la edad de 28 días, en función de su relación A/C, de la resistencia a compresión del cemento a los 28 días (Rc), del módulo de finura de la arena y de la humedad superficial de la arena. El objetivo final es tener la posibilidad de corregir la relación A/C del concreto con resistencia a compresión a 28 días entre 20 y 40 MPa, con asentamiento por el cono de 6 – 8 cm, en dependencia de la resistencia del cemento a los 28 días, del módulo de finura y de la humedad superficial de la arena.

1. Planeamiento de la Tarea. Rango de variación de las variables independientes.

Variables

Código

Nivel de variación Intervalo de

Independientes +1 0 -1 Variación

Relación A/C X1 0,7 0,5 0,3 0,2

Resistencia del concreto Rc

(MPa)

X2

38,8

45,3

51,8

6,5

Módulo de finura de la arena

(Mf )

X3

1,4

2,2

3

0,8

Humedad superficial de la arena

(%)

X4

1

3

5

2

Se empleará el experimento factorial completo, donde la cantidad de experimentos a efectuar queda definido por:

2k = 24 = 16

Para la ecuación de regresión se empleará un modelo cuadrático incompleto, o sea:

433442243223

41143113211244332211

......

..........ˆ

XXbXXbXXb

XXbXXbXXbXbXbXbXbbY oi

+++

++++++++=

En la Tabla 11 se muestra la matriz de planificación de los experimentos, con los resultados de dichos experimentos en tres réplicas, efectuados con un orden de ejecución aleatorio. En la Tabla 12 se indican además los parámetros de cálculo de los coeficientes de la ecuación de regresión.

Ya existen condiciones para efectuar el cálculo de los coeficientes de la ecuación de regresión:

47

111

1

..

;

.

;I

YXX

bI

YX

bI

Y

b

ttt I

li

iiJiI

IJ

I

li

iil

I

I

i

i

o

∑∑∑=== ===

luego:

13,016207

24,016

87,3;18,0

1693,2

;63,016

07,10;35,0

1653,5

;71,016

33,11

98,016

67,15;1,1

1653,17

;31,516

93,84;17,11

1673,178

;27,2716

33,436

34

2423141312

4321

−=−

=

−=−

−===−=−

=====

=−

=========

b

bbbbb

bbbbbo

Tabla 11. Matriz de planificación de los experimentos k = 4

Puntos del

Variables independientes

R´bh (MPa)

Media de las plano

X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 Y3 réplicas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1

+1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1

+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1

45,2 49 42 45

31,3 35

29,6 32

20,6 22,5 20,8 21,2 12,9 13,7 11 12

43 49,6 39,6 44 32 34 31 33 22 21

19,6 19 11 13

10,4 11

43,3 47,5 41,1 44,2 33,3 35,4 30,6 31,9 20,7 21,9 18,4 20,7 11,8 11,1 9,8 10,3

43,83 48,7 40,9 44,4 32,2 34,8 30,4 32,3 21,1 21,8 19,6 20,3 11,9 12,6 10,4 11,1

∑ = 33,436

Los términos más pequeños aparecen subrayados.

La ecuación de regresión queda entonces:

4342

32431214321

.1,0.3,0

.2,0.6,0.3,0.7,01,13,52,113,27ˆ

XXXX

XXXXXXXXXXXXY ii

−−

−+−++−+++=

Corresponde ahora efectuar el análisis estadístico de la ecuación de regresión. Para ello se parte de la Media Aritmética de las réplicas del parámetro de salida Yi (Véase Tabla 11) y se calcula la Varianza de las réplicas

48

del parámetro de salida. En la Tabla 13 se muestra el cálculo de la dispersión de las réplicas del parámetro de salida para cada punto del plano.

Entonces:

{ } 9090,0)13(16

09,29)1(

)(1 1

2

2 =−

=−

−=

∑∑= =

rI

YYS

I

i

r

i

iij

yi

Tabla 12. Parámetros de cálculo de los coeficientes de la ecuación de regresión

Puntos del

Parámetros de cálculo de los coeficientes de la ecuación

plano Y X1 Y X2 Y X3 Y X4 Y X1X2 Y X1X3 Y X1X4 Y X2 X3 Y X2X4 Y X3X4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

43,83

48,7

40,9

44,4

32,2

34,8

30,4

32,3

-21,1

-21,8

-19,6

-20,3

-11,9

-12,6

-10,4

-11,1

43,83

48,7

40,9

44,4

-32,2

-34,8

-30,4

-32,3

21,1

21,8

19,6

20,3

-11,9

-12,6

-10,4

-11,1

43,83

48,7

-40,9

-44,4

32,2

34,8

-30,4

-32,3

21,1

21,8

-19,6

-20,3

11,9

12,6

-10,4

-11,1

43,83

-48,7

40,9

-44,4

32,2

-34,8

30,4

-32,3

21,1

-21,8

19,6

-20,3

11,9

12,6

10,4

11,1

43,83

48,7

40,9

44,4

-32,2

-34,8

-30,4

-32,3

-21,1

-21,8

-19,6

-20,3

11,9

12,6

10,4

11,1

43,83

48,7

-40,9

-44,4

32,2

34,8

-30,4

-32,3

-21,1

-21,8

19,6

20,3

-11,9

-12,6

10,4

11,1

43,83

-48,7

40,9

-44,4

32,2

-34,8

30,4

-32,3

-21,1

21,8

-19,6

20,3

-11,9

12,6

-10,4

11,1

43,83

48,7

-40,9

-44,4

-32,2

-34,8

30,4

32,3

21,1

21,8

-19,6

-20,3

-11,9

-12,6

10,4

11,1

43,83

-48,7

40,9

-44,4

-32,2

34,8

-30,4

32,3

21,1

-21,8

19,6

-20,3

-11,9

12,6

-10,4

11,1

43,83

-48,7

-40,9

44,4

32,2

-34,8

-30,4

32,3

21,1

21,8

-19,6

20,3

11,9

-12,6

-10,4

11,1

Suma 178,73 84,93 17,53 -15,53 11,33 5,53 -10,07 2,93 -3,87 -2,07

O sea:

{ }S yi

= 9090,0 = 0,9534

Ya existen condiciones para determinar el error medio cuadrático de la determinación de los coeficientes, o sea:

49

{ } 24,016

9534,0)()()(

1

=====I

SbSbSbS yi

ijio

Se calcula la tp (criterio de Student) para cada coeficiente, comenzando por los más pequeños, que fueron previamente subrayados, y si tp < t para un nivel de significación del 5%, según 16 (3-1) = 32 grados de libertad, entonces se puede desechar el término de la ecuación de regresión, veamos:

Tabla 13. Cálculo de la dispersión de las réplicas del parámetro de salida

Puntos del

plano

21 )( iYY − 2

2 )( iYY − 23 )( iYY − ∑

=

r

i 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

(45,2 - 43,8)2 = 1,87

(49,0 - 48,7)2 = 0,09

(42,0 - 40,9)2 = 1,21

(45,0 - 44,4)2 = 0,36

(31,3 - 32,2)2 = 0,81

(35,0 - 32,8)2 = 0,04

(29,6 - 30,4)2 = 0,64

(32,0 - 32,3)2 = 0,09

(20,6 - 21,1)2 = 0,25

(22,5 - 21,8)2 = 0.49

(19,6 - 20,8)2 = 1,44

(21,2 - 20,3)2 = 0,81

(12,9 - 11,9)2 = 1,00

(13,7 - 12,6)2 = 1,21

(11,1 - 10,4)2 = 0,36

(12,0 - 11,1)2 = 0,81

(43,0 - 43,8)2 = 0,69

(49,6 - 48,7)2 = 0,81

(39,6 - 40,9)2 = 1,69

(44,0 - 44,4)2 = 0,16

(32,0 - 32,2)2 = 0,04

(34,0 - 34,8)2 = 0,64

(31,0 - 30,4)2 = 0,36

(33,0 - 32,3)2 = 0,49

(22,0 - 21,1)2 = 0,81

(21,0 - 21,8)2 = 0,64

(19,6 - 19,6)2 = 0,00

(19,0 - 20,3)2 = 1,69

(11,0 - 11,9)2 = 0,81

(13,0 - 12,6)2 = 0,16

(10,4 - 10,4)2 = 0,00

(11,0 - 11,1)2 = 0,01

(43,3 - 43,8)2 = 0,28

(47,5 - 48,7)2 = 1,44

(41,1 - 48,7)2 = 0,04

(44,2 - 44,4)2 = 0,04

(33,3 - 32,2)2 = 1,21

(35,4 - 34,8)2 = 0,36

(30,6 - 30,4)2 = 0,04

(31,9 - 32,3)2 = 0,16

(20,7 - 21,1)2 = 0,16

(21,9 - 21,8)2 = 0,01

(18,4 - 19,6)2 = 1,44

(20,7 - 20,3)2 = 0,16

(11,8 - 11,9)2 = 0,01

(11,1 - 12,6)2 = 2,25

(9,80 - 10,4)2 = 0,36

(10,3 - 11,1)2 = 0,64

2,85

2,34

2,94

0,56

2,06

1,04

1,04

0,74

1,22

1,14

2,88

2,66

1,82

3,62

0,72

1,46

∑=

=I

i 1

09,29

En la Tabla 3A del Anexo A, interpolando para 32 grados de libertad, t = 2,036, en tanto que:

64,224,063,0

)(;45,124,035,0

)(

;0,124,024,0

)(;77,024,018,0

)(;54,024,013,0

)(;)(

)(

1413

242334

==⋅==

======⋅=

btbt

btbtbtluegobS

bbt

PP

PPPij

ij

ijp

Se hace evidente que se pueden eliminar los términos: b34; b23; b24 y b13, que no resultan significativos, luego la

50

ecuación de regresión quedará:

41214321 .6,0.7,01,13,52,113,27ˆ XXXXXXXXYi −+++++=

Ahora es necesario comprobar la ecuación de regresión ajustada, calculando la dispersión de la adecuación, para lo cual se comienza determinando el valor del parámetro de salida por cada línea de la matriz de planificación (Véase Tabla 11):

8,106,07,011,13,52,113,27ˆ106,07,011,13,52,113,27ˆ

136,07,011,13,52,113,27ˆ2,126,07,011,13,52,113,27ˆ

206,07,011,13,52,113,27ˆ2,196,07,01,13,52,113,27ˆ

2,226,07,011,13,52,113,27ˆ4,216,07,011,13,52,113,27ˆ

336,07,011,13,52,113,27ˆ

8,296,07,011,13,52,113,27ˆ2,356,07,011,13,52,113,27ˆ

326,07,011,13,52,113,27ˆ456,07,011,13,52,113,27ˆ

8,416,07,011,13,52,113,27ˆ

2,476,07,011,13,52,113,27ˆ44)1)(1(6,0)1)(1(7,0)1()1(1,1)1(3,5)1(2,113,27ˆ

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=−++−−−=

=++−−−−=

=−+++−−=

=++−+−−=

=−−+−+−=

=+−−+−=

=−−+++−=

=+−−++−=

=+−+−−+=

=−−−−−+=

=+−++−+=

=−−−+−+=

=+++−++=

=−+−−++=

=−+++++=

=++−++++−++++++=

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Se calcula entonces la adecuación de la dispersión S2ad, por la expresión:

∑=

−−

=1

1

2

1

2 )ˆ(I

iiiad YY

mIr

S

Proceso que se ha desarrollado en la Tabla 14, entonces:

∑=

=−

=−−

=iI

iiiad YY

mr

S1

2

1

2 83,150,5.716

3)ˆ(

1

Ya existen condiciones para determinar la homogeneidad de la dispersión por el criterio F (Fisher) pues como:

{ } { }{ }

02,29090,083,1

,:9090,083,12

22222 ===>==

i

iiy

adPyadyad S

SFluegoSSqueseaoSyS

51

Se halla entonces el valor correspondiente de F por la Tabla 5 del Anexo, para un grado de significación del 5%, 32 grados de libertad por las filas y 9 grados de libertad por las columnas. El valor de F interpolado resultó ser de 2,24.

Tabla 14. Cálculo de la dispersión de la adecuación

Puntos del

plano

iY

30

2,1

ii YY −ˆ

.2

)ˆ( ii YY −

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

44

47,2

41,8

45

32

35,2

29,8

33

21,4

22,2

19,2

20

12,2

13

10

10,8

43,8

48,7

40,9

44,4

32,2

34,8

30,4

32,3

21,1

21,8

19,6

20,3

11,9

12,6

10,4

11,2

0,17

-1,5

0,9

0,6

-0,2

0,4

-0,6

0,7

0,3

0,4

-0,4

-0,3

0,3

0,4

-0,4

-0,3

0,03

2,25

0,81

0,36

0,04

0,16

0,36

0,49

0,09

0,16

0,16

0,09

0,09

0,16

0,16

0,09

∑= 50,5

Entonces FP < F, por lo que la ecuación de regresión es adecuada.

La ecuación de regresión quedó entonces:

41214321 .6,0.7,01,13,52,113,27ˆ XXXXXXXXY −+−+++=

Digamos ahora que se desea saber la relación agua/cemento (A/C) que es necesario utilizar para el diseño de un hormigón de 30 MPa, con los mismos materiales, si la Rc = 40 MPa, el módulo de finura de la arena Mf = 2,5 y la humedad superficial de la arena Hs = 2%.

X1 es la relación A/C, por lo que hay que despejar X1 en la ecuación de regresión o sea:

52

YXXXXXXXX ˆ1,13,53,272,11.7,0.6,0 43212141 −−++=−−

de donde:

2,117,06,0

ˆ1,13,53,27

24

4321 −−

−−++=

XXYXXX

X

Los valores codificados de las variables independientes son los siguientes:

38,08,0

2,25,28,0

2,2;82,0

5,63,4540

5,63,45

32 =−

=−

=−=−

=−

= fcM

XR

X

25,02

35,22

34 −=

−=

−= sH

X

Entonces, para el hormigón de calidad 30 MPa,

59,02,11)82,0(7,0)25,0(6,0

30)25,0()38,0(1,1)82,0(3,53,271 =

−−−−−−−+−+

=X

El valor natural de la relación A/C se halla por la relación:

62,05,0)59,0(2,0/

5,02,0/,2,0

5,0/11

=+=

+=−

=

CA

XCAqueseaoCA

X

De igual forma es posible hallar la relación A/C para otros valores de Rc, Mf , Hs y la resistencia del hormigón y con ello se puede construir un nomograma o un gráfico de trabajo.

BIBLIOGRAFÍA

Howland Albear, Dr. Ing. Juan José Elementos de Estadística y Diseño de Experimentos en la Tecnología del Hormigón, Ministerio de la Construcción, Cuba.

53

Anexo A (Informativo)

Tabla A1. Lista ordenada de números aleatorios en cuatro fracciones decimales

0,4751 0,2091 0,6985 0,8636 0,3027 0,3454 0,4609 0,4000 0,5102 0,2364

0,6936 0,3182 0,3410 0,5636 0,9831 0,3364 0,0893 0,9726 0,2471 0,3182

0,6112 0,2909 0,5937 0,3727 0,7159 0,6181 0,4542 0,1545 0,5693 0,5636

0,7930 0,8908 0,6912 0,4545 0,3609 0,6454 0,9363 0,1000 0,8583 0,4545

0,0652 0,4818 0,0318 0,7272 0,8915 0,2636 0,8183 0,5636 0,3093 0,1818

0,4604 0,2091 0,1303 0,8090 0,6442 0,3182 0,9401 0,5091 0,9144 0,9181

0,0167 0,3727 0,6893 1,0000 0,1904 0,1818 0,5967 0,9726 0,7944 0,5909

0,0077 0,6181 0,3886 0,7817 0,6074 0,8908 0,7547 0,2636 0,8725 0,2636

0,6777 0,8636 0,0312 0,8090 0,7522 0,9181 0,0101 0,2909 0,0135 0,8908

0,8010 0,8362 0,0166 0,5909 0,7041 0,8362 0,2896 0,8362 0,2044 0,7272

0,8011 0,6454 0,2517 0,2909 0,7399 0,8080 0,3115 0,4000 0,4797 0,9454

0,6718 0,6454 0,2763 0,8090 0,9328 0,5009 0,3377 0,8362 0,0866 0,4272

0,5567 0,1818 0,0314 0,4818 0,1507 0,4000 0,5661 0,1545 0,2889 0,1273

0,0481 0,2636 0,9560 1,0000 0,3087 0,3181 0,4742 0,6727 0,4783 0,7000

0,4266 0,9454 0,4622 0,4000 0,7513 0,1818 0,9483 0,4000 0,0304 0,9181

0,3941 0,5636 0,1327 0,7817 0,6469 0,4818 0,2951 0,6451 0,8945 0,4515

0,9876 0,7545 0,6922 0,5636 0,2536 0,7545 0,0441 0,1273 0,4499 0,2081

0,6313 0,7272 0,0010 0,1273 0,1488 0,1818 0,9143 0,1273 0,9209 0,9454

0,6803 0,3182 0,7609 0,2091 0,9411 0,5636 0,5723 0,8362 0,5827 0,5636

0,7955 0,9726 0,5957 0,1000 0,0571 1,0000 0,6069 0,4000 0,4560 0,8908

54

Tabla A2. Áreas de una distribución normal ordinaria. Cada valor de la tabla es la proporción bajo la curva que se encuentra entre z = 0

y un valor positivo de z. Las áreas para valores negativos de z se obtienen por simetría

Z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

,0000

,0398

,0793

,1179

,1554

,1915

,2257

,2580

,2881

,3159

,3413

,3643

,3849

,4032

,4192

,4332

,4452

,4554

,4641

,4713

,4772

,4821

,4861

,4893

,4918

,0040

,0438

,0832

,1217

,1591

,1950

,2291

,2611

,2910

,3186

,3438

,3665

,3869

,4049

,4207

,4345

,4463

,4564

,4649

,4719

,4778

,4826

,4864

,4896

,4920

,0080

,0478

,0871

,1255

,1628

,1985

,2324

,2642

,2939

,3212

,3461

,3686

,3888

,4066

,4222

,4357

,4474

,4573

,4656

,4726

,4783

,4830

,4868

,4898

,4922

,0120

,0517

,0910

,1293

,1664

,2019

,2357

,2673

,2967

,3238

,3485

,3708

,3907

,4082

,4236

,4370

,4484

,4582

,4664

,4732

,4788

,4834

,4871

,4901

,4925

,0160

,0557

,0948

,1331

,1700

,2054

,2389

,2703

,2995

,3264

,3508

,3729

,3925

,4099

,4251

,4382

,4495

,4591

,4671

,4738

,4793

,4838

,4875

,4904

,4927

,0199

,0596

,0987

,1368

,1736

,2088

,2422

,2734

,3023

,3289

,3531

,3749

,3944

,4115

,4265

,4394

,4505

,4599

,4678

,4744

,4798

,4842

,4878

,4906

,4929

,0239

,0636

,1026

,1406

,1772

,2123

,2454

,2764

,3051

,3315

,3554

,3770

,3962

,4131

,4279

,4406

,4515

,4608

,4686

,4750

,4803

,4846

,4881

,4909

,4931

,0279

,0675

,1064

,1443

,1808

,2157

,2486

,2794

,3078

,3340

,3577

,3790

,3980

,4147

,4292

,4418

,4525

,4616

,4693

,4756

,4808

,4850

,4884

,4911

,4932

,0319

,0714

,1103

,1480

,1844

,2190

,2517

,2823

,3106

,3365

,3599

,3810

,3997

,4162

,4306

,4429

,4535

,4625

,4699

,4761

,4812

,4854

,4887

,4913

,4934

,0359

,0753

,1141

,1517

,1879

,2224

,2549

,2852

,3133

,3389

,3621

,3830

,4015

,4177

,4319

,4441

,4545

,4633

,4706

,4767

,4817

,4857

,4890

,4916

,4936

55

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

,4938

,4953

,4965

,4974

,4981

,4987

,4940

,4955

,4966

,4975

,4982

,4987

,4941

,4956

,4967

,4976

,4932

,4937

,4943

,4957

,4968

,4977

,4983

,4988

,4945

,4959

,4969

,4977

,4984

,4988

,4946

,4960

,4970

,4978

,4984

,4989

,4948

,4961

,4971

,4979

,4985

,4989

,4949

,4962

,4972

,4979

,4985

,4989

,4951

,4963

,4973

,4980

,4986

,4990

,4952

,4964

,4974

,4981

,4986

,4990

56

Tabla A3. Distribución t de Student. La primera columna señala el número de grados de libertad v. El encabezamiento de las restantes

columnas indica la probabilidad P de que t exceda numéricamente al valor de la tabla

P V

0,40 0,32 0,20 0,10 0,05 0,025 0,01

1 2 3 4

1,376 1,061 0,978 0,941

1,819 1,312 1,189 1,134

3,078 1,886 1,638 1,533

6,314 2,920 2,353 2,132

12,706 4,303 3,182 3,495

25,452 6,205 4,176 3,496

63,657 9,925 5,841 4,604

5 6 7 8 9

0,920 0,906 0,896 0,889 0,883

1,104 1,084 1,070 1,060 1,053

1,476 1,440 1,415 1,397 1,383

2,015 1,943 1,895 1,860 1,833

2,571 2,447 2,365 2,306 2,262

3,163 2,969 2,841 2,751 2,685

4,032 3,707 3,499 3,355 3,249

10 11 12 13 14

0,879 0,876 0,873 0,870 0,868

1,046 1,041 1,037 1,034 1,031

1,372 1,363 1,356 1,350 1,345

1,812 1,796 1,782 1,771 1,761

2,228 2,201 2,179 2,160 2,145

2,634 2,593 2,560 2,533 2,509

3,169 3,106 3,054 3,012 2,977

15 16 17 18 19

0,866 0,865 0,863 0,862 0,861

1,029 1,026 1,024 1,023 1,021

1,341 1,337 1,333 1,330 1,328

1,753 1,746 1,740 1,734 1,729

2,131 2,119 2,109 2,101 2,093

2,489 2,473 2,458 2,445 2,433

2,947 2,921 2,898 2,878 2,861

20 21 22 23 24

0,860 0,859 0,858 0,858 0,857

1,020 1,019 1,017 1,016 1,015

1,325 1,323 1,321 1,319 1,318

1,725 1,721 1,717 1,714 1,711

2,086 2,079 2,074 2,069 2,064

2,243 2,079 2,074 2,060 2,064

1,845 2,831 2,819 2,807 2,797

25 26 27 28 29

0,856 0,856 0,855 0,855 0,854

1,015 1,014 1,013 1,012 1,012

1,316 1,315 1,314 1,312 1,311

1,708 1,706 1,703 1,701 1,699

2,059 2,056 2,052 2,048 2,045

2,385 2,379 2,373 2,369 2,364

2,787 2,779 2,771 2,763 2,756

30 40 60

120

0,854 0,851 0,848 0,845

1,011 1,007 1,003 0,999

1,310 1,303 1,296 1,289

1,697 1,684 1,671 1,658

2,042 2,021 2,000 1,979

2,359 2,329 2,299 2,269

2,750 2,704 2,660 2,617

57

Tabla A4. Distribución t x2. La primera columna señala el número de grados de libertad v. El encabezamiento de las restantes

columnas indica la probabilidad de P de que x2 exceda al valor de la tabla

P V

0,995 0,975 0,050 0,025 0,010 0,005

1 2 3 4

0,043927 0,010025 0,071721 0,206990

0,039821 0,050636 0,215795 0,484419

3,84146 5,99147 7,81473 9,48773

5,023889 7,37776 9,34840 11,1433

6,63490 9,21034 11,3449 13,2767

7,87944 10,5966 12,8361 14,8602

5 6 7 8 9

0,411740 0,675727 0,989265 1,344419 1,734926

0,831211 1,237347 1,68987 2,17973 2,70039

11,0705 12,5916 14,0671 15,5073 16,9190

12,8325 14,4494 16,0128 17,5346 19,0228

15,0863 16,8119 18,4753 20,0902 21,6660

16,7496 18,5476 20,2777 21,9550 23,5893

10 11 12 13 14

2,15585 2,60321 3,07382 3,56503 4,07468

3,24697 3,81575 4,40379 5,00874 5,62872

18,3070 19,6751 21,0291 22,3621 23,6848

20,4831 21,9200 23,3367 24,7356 26,1190

23,2093 24,7250 26,2170 27,6883 29,1413

25,1882 26,7569 28,2995 29,8194 31,3193

15 16 17 18 19

4,60094 5,14224 5,69724 6,26481 6,84398

6,26214 6,90766 7,56418 8,23075 8,90655

24,9958 26,2962 27,5871 28,8693 30,1435

27,4884 28,8454 30,1910 31,5264 32,8523

30,5779 31,9999 33,4087 34,8053 36,1908

32,8013 34,2672 35,7185 37,1564 38,5822

20 21 22 23 24

7,43386 8,03366 8,64272 9,26042 9,88623

9,59083 10,28923 10,9823 11,6885 12,4001

31,4104 32,6705 33,9244 35,1725 36,4151

34,1696 35,4789 36,7807 38,0757 39,3641

37,5662 38,9321 40,2894 41,6384 42,9798

39,9968 41,4010 42,7956 44,1813 45,5585

25 26 27 28 29

10,5197 11,1603 11,8076 12,4613 13,1211

13,1197 13,8439 14,5733 15,3079 16,0471

37,6525 38,8852 40,1133 41,3372 42,5569

40,6465 41,9232 43,1944 44,4607 45,7222

44,3141 45,6417 46,9630 48,2782 49,5879

46,9278 48,2899 49,6449 50,9933 52,3356

30 40 50 60

13,7867 20,7065 27,9907 35,5346

16,7908 24,4331 32,3574 40,4817

43,7729 55,7585 67,5048 79,0819

46,9792 59,3417 71,4202 83,2976

50,8922 63,6907 76,1539 88,3794

53,6720 66,7659 79,4900 91,9517

70 80 90

100

43,2752 51,1720 59,1963 67,3276

48,7576 57,1532 65,6466 74,2219

90,5312 101,879 113,145 124,342

95,0231 106,629 118,136 129,561

100,425 112,329 124,116 135,807

104,215 116,321 128,299 140,169

58

Tabla A5. Distribución F (Fisher). Letra sencilla para un grado resignificación del 5% y negritas para un grado de significación 1%.

Grados de libertad para el numerador (12) Grados de libertad del

denominador (r1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 20 30 40 50 100 500 ∞

1 161

4052

200

4999

216

5403

225

5625

230

5764

234

5859

237

5928

239

5981

241

6022

242

6056

243

6082

244

6106

245

6142

246

6169

248

6208

250

6258

251

6206

252

6302

253

6334

254

6361

254

6366

2 18.51

98.49

19.00

99.11

19.16

99.17

19.25

99.25

19.30

99.30

19.33

99.23

19.36

99.34

19.37

99.36

19.38

99.38

19.39

99.40

19.40

99.41

19.41

99.42

19.42

99.43

19.43

99.44

19.44

99.45

19.46

99.47

19.47

99.48

19.47

99.48

19.49

99.49

19.50

99.50

19.50

99.50

3 10.13

34.13

9.55

30.81

9.28

29.46

9.12

28.71

9.01

28.34

8.94

27.91

8.88

2767

8.84

27.49

8.81

27.34

8.78

27.23

8.76

27.13

8.74

27.05

8.71

26.92

8.69

26.03

8.65

26.69

8.62

26.50

8.60

26.41

8.58

26.30

8.56

26.23

8.54

26.14

8.53

26.12

4 7.71

21.20

6.94

18.00

6.59

16.69

6.39

15.98

6.26

15.52

6.16

15.21

6.09

14.98

6.04

14.80

6.00

14.66

5.96

14.54

5.93

14.45

5.91

14.37

5.87

14.24

5.84

4.15

5.80

14.02

5.74

13.03

5.71

13.74

5.70

13.69

5.66

13.57

5.64

13.48

5.63

13.46

5 6.61

16.26

5.79

13.27

5.41

12.06

5.19

11.39

5.05

10.97

4.95

10.67

4.88

10.45

4.82

10.27

4.78

10.15

4.74

10.05

4.71

9.96

4.68

9.89

4.64

9.77

4.60

9.68

4.56

9.55

4.50

9.38

4.46

9.29

4.44

9.24

4.40

9.13

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3.05

2.14

2.92

2.09

2.82

2.04

2.73

2.00

2.66

1.97

2.60

1.91

2.50

1.87

2.42

1.80

2.30

1.71

2.13

1.66

2.04

1.62

1.98

1.54

1.86

1.48

1.76

1.46

1.72

50 4.03

7.17

3.18

5.06

2.79

4.20

2.50

3.72

2.40

3.41

2.29

3.16

2.20

3.02

2.13

2.88

2.07

2.78

2.02

2.70

1.98

2.62

1.95

2.56

1.90

2.46

1.85

2.39

1.78

2.26

1.69

2.10

1.63

2.00

1.60

1.94

1.52

1.82

1.46

1.71

1.44

1.68

55 4.02

7.12

3.17

5.01

2.78

4.16

2.54

3.68

2.38

3.37

2.27

3.15

2.18

2.98

2.11

2.85

2.05

2.75

2.00

2.66

1.97

2.59

1.93

2.53

1.88

2.43

1.83

2.35

1.76

2.23

1.67

2.06

1.61

1.96

1.58

1.90

1.50

1.70

1.43

1.66

1.41

1.64

60 4.00

7.08

3.15

4.98

2.76

4.132

2.52

3.65

2.37

3.34

2.25

3.12

2.17

2.95

2.10

2.82

2.04

2.72

1.99

2.63

1.95

2.56

1.92

2.50

1.86

2.40

1.81

2.3

1.75

2.22

1.65

2.03

1.59

1.93

1.56

1.87

1.48

1.74

1.41

1.63

1.39

1.60

65 3.99

7.04

3.14

4.95

2.75

4.10

2.51

3.62

2.36

3.31

2.24

3.09

2.15

2.93

2.08

2.79

2.02

2.70

1.98

2.61

1.94

2.54

1.90

2.47

1.85

2.37

1.80

2.30

1.73

2.18

1.63

2.00

1.57

1.90

1.54

1.84

1.46

1.71

1.39

1.60

1.37

1.56

70 3.89

7.01

3.13

4.92

2.74

4.08

2.50

3.60

2.35

3.29

2.32

3.07

2.14

2.91

2.07

2.77

2.01

2.67

1.97

2.59

1.93

2.51

1.89

2.45

1.84

2.35

1.79

2.28

1.72

2.15

1.62

1.98

1.56

1.88

1.53

1.82

1.45

1.69

1.37

1.56

1.35

1.53

80 3.90

6.95

3.11

4.88

2.72

4.04

2.48

3.56

2.33

3.25

2.21

3.04

2.12

2.87

2.05

2.74

1.99

2.64

1.95

2.55

1.91

2.48

1.88

2.41

1.82

2.32

1.77

2.24

1.70

2.11

1.60

1.94

1.54

1.84

1.51

1.78

1.42

1.65

1.35

1.52

1.32

1.49

100 3.94

6.90

3.09

4.82

2.70

3.98

2.46

3.51

2.30

3.20

2.19

2.99

2.10

2.82

2.03

2.69

1.97

2.59

1.92

2.51

1.88

2.43

1.85

2.36

1.79

2.26

1.75

2.19

1.68

2.06

1.57

1.89

1.51

1.79

1.48

1.73

1.39

1.59

1.30

1.46

1.28

1.43

125 3.92

6.84

3.07

4.78

2.68

3.94

2.44

3.47

2.29

3.17

2.14

2.95

2.08

2.79

2.01

2.65

1.95

2.56

1.90

2.47

1.86

2.40

1.83

2.33

1.77

2.23

1.72

2.15

1.65

2.03

1.55

1.85

1.49

1.75

1.45

1.68

1.36

1.54

1.27

1.40

1.25

1.37

150 3.91

6.68

3.06

4.62

2.67

3.80

2.43

3.34

2.27

3.04

2.16

2.82

2.02

2.66

2.00

2.53

1.94

2.43

1.89

2.34

1.85

2.26

1.82

2.20

1.76

2.09

1.71

2.01

1.64

1.89

1.54

1.71

1.47

1.61

1.44

1.54

1.34

1.38

1.25

1.19

1.22

1.11

62

200 3.89

6.76

3.04

4.71

2.65

3.88

2.41

3.41

2.26

3.11

2.14

2.90

2.05

2.73

1.98

2.60

1.92

2.50

1.87

2.41

1.83

2.34

1.80

2.28

1.74

1.17

1.69

2.09

1.62

1.97

1.52

1.79

1.45

1.69

1.42

1.62

1.32

1.48

1.22

1.33

1.19

1.28

400 3.86

6.70

3.02

4.66

2.62

3.83

2.39

3.36

2.23

3.06

2.12

2.85

2.03

2.69

1.96

2.55

1.90

2.46

1.85

2.37

1.81

2.29

1.78

2.23

1.72

2.12

1.67

2.04

1.60

1.92

1.49

1.74

1.42

1.64

1.38

1.57

1.28

1.42

1.16

1.24

1.13

1.19

1000 3.85

6.68

3.00

4.62

2.61

3.80

2.38

3.34

2.22

3.04

2.10

2.82

2.02

2.66

1.95

2.53

1.89

2.43

1.84

2.34

1.80

2.25

1.76

2.20

1.70

2.09

1.65

2.01

1.58

1.89

1.47

1.71

1.41

1.61

1.36

1.54

1.26

1.38

1.13

1.19

1.08

1.11

63

Tabla A6. Valores de w en función de r, donde:

rr

w−+

=11

log21

r w r w r w r w

,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09 ,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 ,19 ,20 ,21 ,22 ,23 ,24

,000 ,010 ,020 ,030 ,040 ,050 ,060 ,070 ,080 ,090 ,100 ,110 ,121 ,131 ,141 ,151 ,161 ,172 ,182 ,192 ,203 ,213 ,224 ,234 ,245

,25 ,26 ,27 ,28 ,29 ,30 ,31 ,32 ,33 ,34 ,35 ,36 ,37 ,38 ,39 ,40 ,41 ,42 ,43 ,44 ,45 ,46 ,47 ,48 ,49

,255 ,266 ,277 ,288 ,299 ,310 ,321 ,332 ,343 ,354 ,365 ,377 ,388 ,400 ,412 ,424 ,436 ,448 ,460 ,472 ,485 ,497 ,510 ,523 ,536

,50 ,51 ,52 ,53 ,54 ,55 ,56 ,57 358 ,59 ,60 ,61 ,62 ,63 ,64 ,65 ,66 ,67 ,68 ,69 ,70 ,71 ,72 ,73 ,74

,549 ,563 ,576 ,590 ,604 ,618 ,633 ,648 ,662 ,678 ,693 ,709 ,725 ,741 ,758 ,775 ,793 ,811 ,829 ,848 ,867 ,887 ,908 ,819 ,950

,75 ,76 ,77 ,78 ,79 ,80 ,81 ,82 ,83 ,84 ,85 ,86 ,87 ,88 ,89 ,90 ,91 ,92 ,93 ,94 ,95 ,96 ,97 ,98 ,99

,973 ,996 1,020 1,045 1,071 1,099 1,127 1,157 1,188 1,221 1,256 1,293 1,333 1,376 1,422 1,472 1,528 1,589 1,658 1,738 1,832 1,946 2,092 2,298 2,647

Anexo B (Informativo)

Por: Mario Acosta B.1 Forma de analizar datos con Excel

Microsoft Excel proporciona un conjunto de herramientas para el análisis de los datos (denominado Herramientas para análisis) que podrá utilizar para ahorrar pasos en el desarr ollo de análisis estadísticos. Cuando utilice una de estas herramientas, deberá proporcionar los datos y

parámetros para cada análisis; la herramienta utilizará las funciones de macros estadísticas o técnicas correspondientes y, a continuación, mostrará los resultados en una tabla de resultados. Algunas herramientas generan gráficos además de tablas de resultados.

Para ver una lista de las herramientas de análisis disponibles, elija Análisis de datos en el menú Herramientas. Si este comando Análisis de datos no está en el menú Herramientas, ejecute el programa de instalación para instalar Herramientas para análisis. Una vez instalado Herramientas para análisis, deberá seleccionarlo y activarlo en el Administrador de complementos o macros automáticas.

Para usar estas herramientas, es necesario estar familiarizado con el área de estadísticas o el área técnica en que desee desarrollar análisis.

B.1.1 Instalar y usar herramientas para análisis

Para utilizar una herramienta de análisis, deberá organizar los datos que desee analizar en columnas o filas en la hoja de cálculo. Este es el rango de entrada.

Si el comando Análisis de datos no está en el menú Herramientas, será necesario instalar Herramientas para análisis en Microsoft Excel.

B.1.2 Instalar herramientas para análisis

B.1.2.1 En el menú Herramientas, elija Complementos.

Si Herramientas para análisis no aparece en la lista del cuadro de diálogo Complementos, haga clic en Examinar y localice la unidad, la carpeta y el nombre de archivo de Herramientas para análisis que normalmente estará ubicado en la carpeta Library\Analysis; o bien, ejecute el programa de instalación si no estuviera instalado.

B.1.2.2 Active la casilla de verificación Herramientas para análisis.

B.1.3 Para poner en práctica la herramienta

B.1.3.1 En el menú Herramientas, elija Análisis de datos.

B.1.3.2 En el cuadro Herramientas para análisis, haga clic en la herramienta que desee utilizar.

B.1.3.3 Introduzca el rango de entrada, el rango de salida y, a continuación, seleccione las opciones que desee.

Nota B.1. Los complementos o macros automáticas que seleccione en el cuadro de diálogo Complementos, permanecerán activas hasta que las desactive.

B.1.4 Ejemplo para el análisis de la Estadística Descriptiva En el menú Herramientas, elegir la opción Análisis de datos...

Se muestra la ventana donde se encuentran las Funciones para análisis

Elegimos Estadística Descriptiva Y aparece la siguiente ventana, donde seleccionamos el rango de entrada de datos y salida donde queremos los datos, además de otros parámetros para el análisis.

Mostrando de esta manera los resultados

ANEXO C (Informativo)

C.1 Normas Venezolanas COVENIN referentes a concreto COVENIN 338:1994 Concreto. Método para la elaboración, curado y ensayo a compresión de cilindros de

concreto COVENIN 339:1994 Concreto. Método para la medición del asentamiento con el cono de Abrams COVENIN 340:1979 Método para la elaboración y curado en el laboratorio de probetas de concreto para

ensayos de flexión COVENIN 341:1979 Método de ensayo para determinar la resistencia a la tracción por flexión del concreto

usando probetas cilíndricas COVENIN 342:1979 Método de ensayo para determinar la resistencia a la tracción por flexión del concreto en

vigas simplemente apoyadas, con cargas a los tercios del tramo COVENIN 343:1979 Método de ensayo para determinar la resistencia a la tracción por flexión del concreto en

las vigas simplemente apoyadas, con carga en el centro del tramo COVENIN 344:1992 Concreto fresco. Toma de muestras COVENIN 346:1979 Método de ensayo para determinar el cambio de longitud en morteros de cemento y en

concreto COVENIN 347:1979 Método de ensayo para determinar el contenido de aire en el concreto fresco por el

método volumétrico COVENIN 348:1983 Método de ensayo para determinar el contenido de aire en el concreto fresco por medio

del método de presión COVENIN 349:1979 Método de ensayo gravimétrico para determinar el peso por metro cúbico, rendimiento y

contenido de aire en el concreto COVENIN 350:1979 Método de ensayo gravimétrico para determinar la resistencia a la compresión de

concreto usando porciones de vigas rotas por flexión COVENIN 351:1994 Aditivos químicos utilizados en el concreto. Mét odos de ensayo COVENIN 352:1979 Método de ensayo para determinar el tiempo de fraguado de mezclas de concreto por

resistencia a la penetración COVENIN 353:1979 Método de ensayo para determinar la exudación del concreto COVENIN 354:2001 Concreto. Método para mezclado en el laboratorio COVENIN 355:1994 Aditivos incorporadores de aire para concreto. Métodos de ensayo COVENIN 356:1994 Aditivos utilizados en el concreto. Especificaciones COVENIN 633:2001 Concreto premezclado. Requisitos COVENIN 1468:1979 Método de ensayo para determinar el módulo de elasticidad (secante) en probetas

cilíndricas de concreto

COVENIN 1601:1980 Método de ensayo para determinar la resistencia de probetas de concreto a la acción de congelación y deshielo en agua

COVENIN 1609:1980 Método de ensayo para la determinación de la dureza esclerométrica en superficies de concreto endurecido

COVENIN 1610:1980 Método de ensayo para determinar el flujo de concreto por medio de la mesa de caídas COVENIN 1661:1980 Método de ensayo para determinar la relación de Poisson en probetas prismáticas de

concreto COVENIN 1667:1980 Método de ensayo para la determinación de valores comparativos de la adherencia

desarrollada entre el concreto y el acero usado como refuerzo (método de extracción) COVENIN 1681:1980 Método de ensayo para determinar la velocidad de propagación de ondas en el concreto COVENIN 1688:1980 Método de ensayo para determinar las frecuencias fundamentales transversales,

longitudinales y torsionales de probetas de concreto COVENIN 1895:1982 Método de ensayo para determinar la presencia de materiales que producen manchas en

agregados para concretos livianos COVENIN 1896:1982 Método de ensayo para determinar la resistencia a la compresión de concreto y mortero

liviano aislante

COVENIN 1897:1982 Método de ensayo para la obtención, preparación y ensayo de resistencia a la compresión de concreto y mortero endurecido liviano aislante

COVENIN 1975:1983 Método de ensayo para determinar el peso unitario de concreto estructural liviano COVENIN 1976:1999 Concreto. Evaluación y métodos de ensayo COVENIN 3549:1999 Tecnología del concreto. Manual de elementos de estadística y diseño de experimentos. C.2 Normas Venezolanas COVENIN referentes a cemento y yeso COVENIN 28:1993 Cemento Portland. Especificaciones COVENIN 109:1990 Cemento hidráulicos. Métodos de ensayo para análisis químicos COVENIN 276:1994 Método de ensayo para determinar la reactividad potencial alcalina de combinaciones

cemento-agregados (método de la barra de mortero) COVENIN 365:1994 Cemento Portland. Determinación del falso fraguado. Método de la pasta COVENIN 484:1993 Cemento Portland. Determinación de la resistencia a la compresión de morteros en

probetas cúbicas de 50,8 mm de lado COVENIN 485:1993 Cemento Portland. Descripción de la mesa de caídas COVENIN 486:1992 Cemento Portland. Obtención de pasta y morteros de consistencia plástica por mezclado

mecánico COVENIN 487:1993 Cemento Portland. Determinación de la finura por medio del aparato Blaine de

permeabilidad COVENIN 488:1987 Cemento Portland. Determinación de la finura por medio del turbidímetro COVENIN 489:1993 Cemento Portland. Determinación de la finura por medio del cedazo COVENIN 325 (45

micras) COVENIN 490:1994 Cementos hidráulicos. Métodos para muestreos y cantidades de prueba COVENIN 491:1994 Cemento Portland. Determinación de la expansión en autoclave COVENIN 492:1994 Cemento Portland. Determinación de la densidad real COVENIN 493:1992 Cemento Portland. Determinación del tiempo de fraguado por la aguja de Vicat COVENIN 494:1994 Cemento Portland. Determinación de la consistencia normal COVENIN 495:1992 Cemento Portland. Determinación del calor de hidratación COVENIN 496:1987 Cemento Portland. Determinación del contenido de aire en morteros COVENIN 497:1994 Cemento Portland. Determinación de la resistencia a la tracción por flexión de morteros

COVENIN 498:1994 Cemento Portland. Determinación de la resistencia a la compresión de morteros usando las porciones de prismas rotos por flexión

COVENIN 935:1976 Cementos. Especificaciones para cemento portland-escoria COVENIN 2503:1990 Arena normalizada para ensayos de cemento. Requisitos COVENIN 2824:1991 Mortero de cemento hidráulico sin retracción (grout). Determinación del tiempo de

fraguado por resistencia a la penetración COVENIN 2825:1991 Mortero de cemento hidráulico sin retracción (grout). Determinación de la resistencia a la

compresión COVENIN 2826:1991 Mortero de cemento hidráulico sin retracción (grout). Determinación del cambio de altura

en muestras cilíndricas COVENIN 2827:1991 Mortero de cemento hidráulico sin retracción (grout). Determinación del cambio de altura a

edad temprana (estado fresco) COVENIN 2828:1991 Mortero de cemento hidráulico sin retracción (grout). Determinación del tiempo de

fraguado de mezclas por la aguja de Vicat COVENIN 2829:1991 Mortero de cemento hidráulico sin retracción (grout). Determinación del tiempo de flujo COVENIN 2830:1991 Mortero de cemento hidráulico sin retracción (grout). Especificaciones COVENIN 3090:1994 Cemento Portland. Determinación del tiempo de fraguado, mediante las agujas Gillmore

COVENIN 3134:1994 Cemento Portland con adiciones. Especificaciones

COVENIN 3374:2000 Cemento de albañilería

COVENIN 3638:2000 Yeso. Construcción y moldeo. Requisitos

COVENIN 3639:2000 Yeso. Construcción y moldeo. Análisis físico

COVENIN 3640:2000 Yeso. Construcción y moldeo. Análisis químico.

C.3 Normas Venezolanas COVENIN referentes a agregados

COVENIN 254:1998 Cedazos de ensayo COVENIN 255:1998 Agregados. Determinación de la composición granulométrica

COVENIN 256:1977 Método de ensayo para la determinación cualitativa de impurezas orgánicas en arenas para concreto (ensayo colorimétrico)

COVENIN 257:1978 Método de ensayo para determinar el contenido de terrones de arcilla y de partículas desmenuzables en agregados

COVENIN 258:1977 Método de ensayo para la determinación por lavado del contenido de materiales más finos que el cedazo COVENIN 74 micras en agregados minerales

COVENIN 259:1977 Método de ensayo para la determinación por suspensión de partículas de 20 micras en agregados finos

COVENIN 260:1978 Método de ensayo para determinar el contenido de partículas livianas en agregados COVENIN 261:1977 Método de ensayo para determinar cuantitativamente el contenido de cloruros y sulfatos

solubles en las arenas COVENIN 262:1977 Método de ensayo para determinar la reactividad potencial de agregados (método

químico) COVENIN 263:1978 Método de ensayo para determinar el peso unitario del agregado COVENIN 264:1977 Método de ensayo para determinar el cociente entre la dimensión máxima y la dimensión

mínima en agregados gruesos para concreto COVENIN 265:1998 Agregado grueso. Determinación de la dureza al rayado COVENIN 266:1977 Método de ensayo para determinar la resistencia al desgaste de agregados gruesos

menores de 38,1 mm (1 y p pulg.) por medio de la máquina de Los Angeles COVENIN 267:1978 Método de ensayo para determinar la resistencia al desgaste en agregados gruesos

mayores de 190 mm por medio de la máquina de Los Angeles COVENIN 268:1998 Agregado fino. Determinación de la densidad y la absorción COVENIN 269:1998 Agregado grueso. Determinación de la densidad y la absorción COVENIN 270:1998 Agregados. Extracción de muestras para morteros y concretos COVENIN 271:1978 Método de ensayo para determinar la disgregabilidad de agregados por medio del sulfato

de sodio o sulfato de magnesio COVENIN 272:1978 Método de ensayo para determinar la humedad superficial en el agregado fino COVENIN 274:1978 Método para determinar los vacíos en agregados para concretos COVENIN 277:2000 Concreto. Agregados. Requisitos COVENIN 1124:1998 Agregado grueso. Determinación del porcentaje de caras producidas por fractura COVENIN 1303:1981 Método de ensayo para determinar la reactividad potencial alcalina de rocas

carbonatadas para ser usadas como agregados para concreto (Método del cilindro de la roca)

COVENIN 1465:1979 Método de ensayo para determinar la resistencia a la compresión de la piedra natural para la construcción

COVENIN 2232:1985 Ensayo de tamizado COVENIN 2503:1988 Arena normalizada para ensayos de cemento. Requisitos COVENIN 3548:1999 Concreto. Agregado fino. Determinación de las características geométricas. Prueba del

azul de metileno. C.4 Normas Venezolanas COVENIN referentes a agua para mezclado COVENIN 2385:2000 Concreto y mortero. Agua de mezclado. Requisitos. C.5 Normas Venezolanas COVENIN referentes a encofrados COVENIN 2244:1991 Encofrados. Requisitos de seguridad. C.6 Normas Venezolanas COVENIN referentes a terminología COVENIN 221:2001 Materiales de construcción. Terminología y definiciones COVENIN 273:1998 Concreto, mortero y componentes. Terminología COVENIN 337:1978 Definiciones y terminología relativa al concreto COVENIN 483:1992 Cemento y sus constituyentes. Definiciones COVENIN 2004:1998 Terminología de las Normas COVENIN-MINDUR de edificaciones

COVENIN 2702:1990 Métodos de ensayo mecánicos. Definiciones y clasificación COVENIN 3049:1993 Mantenimiento. Definiciones. C.7 Normas Venezolanas COVENIN referentes a edificaciones COVENIN 1618:1998 Estructuras de acero para edificaciones. Método de los estados límites COVENIN 1750:1987 Especificaciones generales para edificios

COVENIN 1755:1987 Código de prácticas normalizadas para la fabricación y construcción de estructuras de acero

COVENIN 1756-1:2001 Edificaciones sismorresistentes. Requisitos COVENIN 1756-2:2001 Edificaciones sismorresistentes. Comentarios COVENIN 2000/II:1992 Sector construcción. Mediciones y codificación de partidas para estudios, proyectos y construcción. Parte IIA. Edificaciones COVENIN 2000-2:1999 Sector construcción. Mediciones y codificación de partidas para estudios, proyectos y

construcción. Parte 2: Edificaciones. Suplemento. COVENIN 2002:1988 Criterios y acciones mínimas para el proyecto de edificaciones COVENIN 2003:1989 Acciones del viento sobre las construcciones COVENIN 2733:1990 Proyecto, construcción y adaptación de edificaciones de uso público accesibles a

personas con impedimentos físicos COVENIN 3400:1998 Impermeabilización de edificaciones. C.8 Normas Venezolanas COVENIN referentes a métodos estadísticos COVENIN-ISO 3534-1:1995 Estadística. Vocabulario y símbolos. Parte 1: Términos relativos a probabilidades

y estadística general COVENIN-ISO 3534-1:1995 Estadística. Vocabulario y símbolos. Parte 1: Términos relativos a probabilidades

y estadística general COVENIN-ISO 2972-1:1996 Exactitud (veracidad y precisión) de métodos de medición y resultados. Parte 1:

Principios y definiciones generales COVENIN-ISO 2972-2:1996 Exactitud (veracidad y precisión) de métodos de medición y resultados. Parte 2:

Método básico para la determinación de la repetibilidad y reproducibilidad de un método estándar de medición

COVENIN-ISO 2972-4:2000 Exactitud (veracidad y precisión) de resultados y métodos de medición. Parte 4: Método básico para la determinación de la veracidad de un método de medición normalizado

COVENIN-ISO 2972-5:2000 Exactitud (veracidad y precisión) de resultados y métodos de medición. Parte 5: Métodos alternativos para la determinación de la presición de un método de medición normalizado

COVENIN-ISO 3133-0:1997 Procedimiento de muestreo para inspección por atributos. Parte 0: Introducción al sistema de muestreo por atributos

COVENIN-ISO 3140:1995 Gráficos de control de Shewhart COVENIN-ISO 3208:1996 Gráficos de control. Guía general e introducción COVENIN-ISO 3269:1996 Procedimientos de muestreo y gráficos de inspección por variables para

porcentajes de no conformes COVENIN-ISO 3317:1997 Interpretación de datos estadísticos. Estimación de una mediana COVENIN-ISO 3372:1998 Interpretación estadística de datos. Comparación de dos medías en el caso de

observaciones pareadas COVENIN-ISO 3534-1:1995 Estadística. Vocabulario y símbolos. Parte 1: Términos relativos a probabilidades

y estadística general COVENIN-ISO 3534-2:1995 Estadística. Vocabulario y símbolos. Parte 2: Control estadístico de la calidad COVENIN-ISO 3534-3:1996 Estadística. Vocabulario y símbolos. Parte 3: Diseño de experimentos COVENIN-ISO 10017:2000 Guía para la aplicación de técnicas estadísticas en la familia de normas ISO 9000 C.9 Normas Venezolanas COVENIN referentes a calidad COVENIN-ISO 2679-1:1998 Ensayos de aptitud por comparaciones interlaboratorios. Parte 1: Desarrollo y

funcionamiento de programas de ensayos de aptitud

COVENIN-ISO 2679-2:1998 Ensayos de aptitud por comparaciones interlaboratorios. Parte 2: Desarrollo y funcionamiento de programas de ensayos de aptitud

COVENIN-ISO 2793:1998 Reglas generales para establecer un sistema de certificación de productos por terceras partes

COVENIN-ISO 2973:1998 Directrices para la presentación de resultados de inspección COVENIN-ISO 3413:1998 Guía para la selección de métodos estadísticos en normalización y

especificaciones COVENIN-ISO 9000:2000 Sistemas de gestión de la calidad. Fundamentos y vocabulario COVENIN-ISO 9001:2000 Sistemas de gestión de la calidad. Requisitos COVENIN-ISO 9004:2000 Sistemas de gestión de la calidad. Directrices para la mejora del desempeño COVENIN-ISO 10014:1999 Directrices para la gestión de los aspectos económicos de la calidad.

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I.C.S: 03.120.30; 91.100.30

ISBN: 980-06-2483-X Descriptores: Concreto, tecnología del concreto, estadística.

COVENIN 3549:1999

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