Métodos con series de Fourier Definición: Función periódica La función �(�), definida para toda �, es periódica si existe un número positivo � tal que �(� + �) = �(�) para toda �. El número � en un periodo de la función �. Si existe un mínimo número positivo tal que �(�) sea periódica con periodo , decimos que es el periodo de �. Por lo general, no tendremos que referirnos al menor periodo de una función �(�) y simplemente diremos que �(�) tiene periodo � si � es cualquier periodo de �(�). Ejemplo: El periodo de las funciones (�) = cos �� y ℎ(�) = ��� �� (donde � es un entero positivo) es 2�/�, pues

��� � �� + ��� � = cos(�� + 2�) = cos �� y

��� � �� + ��� � = ���(�� + 2�) = ��� ��. Además, 2� también es periodo de las funciones (�) y ℎ(�). Definición: Serie de Fourier y coeficientes de Fourier Sea �(�) una función continua por partes de periodo 2� definida para toda �. Entonces la serie de Fourier de �(�) es la serie

��� + ∑ ( � cos nt + #� sin nt)%�&'

donde los coeficientes de Fourier � y #� se definen mediante las fórmulas

� = '� ( �(�) cos �� )��*�

para � = 0, 1, 2, … y

#� = '� ( �(�) sen �� )��*�

para � = 1, 2, … Puede ocurrir (y con frecuencia ocurre) que la serie de Fourier de una función no converja a la función en ciertos puntos del dominio de esta última. Por tanto, escribiremos

�(�)~ ��� + ∑ ( � cos nt + #� sin nt)%�&' ,

sin utilizar el signo de igualdad entre la función y su serie de Fourier hasta analizar la convergencia de series de Fourier.

Ejemplo 1: Determine la serie de Fourier de la función onda cuadrada definida como

�(�) = 1 −1 �3 – � < � < 0+1 �3 0 < � < � 0 �3 � = −� , 0, �6. Solución: Los coeficientes de Fourier son

7 = 1� 8 �(�) )� =�*�

1� 8 (−1) )� +7*�

1� 8 (+1) )� �7

= '� (−�) + '� (�) = 0.

� = 1� 8 �(�) cos �� )��*� = 1� 8 (− cos ��))�7

*� + 1� 8 cos �� )��7

= '� 9− '� ��� ��:*�7 + '� 9'� ��� ��:7

� = 0.

#� = 1� 8 �(�) sen �� )��*� = 1� 8 (− sen ��) )� + 1� 8 sen �� )��

77

*�

= 1� ;1� cos ��<*�7 + 1� ;− 1� cos ��<7

� = 2�� (1 − cos �� ) = 2�� =1 − (−1)�>. Así, � = 0 para toda � ≥ 0, y

#� = @ 4�� � B � 3C� B0 � B � � B. 6 De esta forma obtenemos la serie de Fourier

�(t)~ 4π E sen ntnF GHIJK = 4π Lsen t + 13 sen 3t + 15 sen 5t + ⋯ P. o bien

�(t)~ 4π E sen (2n − 1)t2n − 1%

F&'

La figura muestra las gráficas de la suma parcial

SR(x) = 4π E sen (2n − 1)x2n − 1R

F&'

para n=3 , n=6, n=12 y n=24.

Observe que cuando x

tiende a una

discontinuidad por la

derecha o por la

izquierda, el valor de TU(V) tiende a

sobrepasar el valor de �(�) (+1 o -1 en este

caso). Este

comportamiento de las

series de Fourier cerca

de un punto de

discontinuidad de su

función es típico y se

conoce como fenómeno

de Gibbs.

Las siguientes fórmulas integrales, que pueden deducirse fácilmente integrando por partes, son útiles para calcular series de Fourier de funciones polinomiales.

( W ( W

( W� cos 8 W� sen Ejemplo 2: Determine la serie de Fourier de la función con periodo periodo como

�(�) = La gráfica de � se muestra en la figura Solución: Los valores de �(X�) no son importantes, pues no tienen efecto sobre los valores de las integrales que proporcionan los coeficientes de Fourier. Como �(�) Y 0 en el intervalo (−las ecuaciones que determinan los coeficientes de Fourier, son

as siguientes fórmulas integrales, que pueden deducirse fácilmente integrando por partes, son útiles para calcular series de Fourier de funciones

( W cos W )W = cos W + W sin W + Z ;

( sen W )W = sen W + W cos W + Z ; cos W )W = uFsen W − � ( W�*' sin W )W ;

W )W = −uFcos W + � 8 W�*' cos W )W .

Determine la serie de Fourier de la función con periodo 2� definida en un

( ) 10 �3 – � < � \ 0� �3 0 \ � < ��� �3 � = X� 6 se muestra en la figura

no son importantes, pues no tienen efecto sobre los valores de las integrales que proporcionan los coeficientes de Fourier. Como (−�, 0), cada integral desde � = −� a � = �las ecuaciones que determinan los coeficientes de Fourier, son

7 = 1� 8 � )��7 = 1� ;12 ��<7

� = �2

as siguientes fórmulas integrales, que pueden deducirse fácilmente integrando por partes, son útiles para calcular series de Fourier de funciones

definida en un

no son importantes, pues no tienen efecto sobre los valores de las integrales que proporcionan los coeficientes de Fourier. Como �. Por tanto,

7 = '� ( � cos �� )��7 = '�]� ( W cos W )W��7 (W = ��, � = �̂) = 1��� =cos W + W ��� W>7�� = 1��� =(−1)� − 1> En consecuencia, � = 0 si � es par y � ≥ 2; � = − ��]� si � es impar.

A continuación, #� = 1� 8 � ��� �� )��7 = 1��� 8 W ��� W )W��

7

= 1��� =��� W − W cos W>7�� = − 1� cos ��

Así, #� = (*')_`a� para toda � ≥ 1

Por lo tanto, la serie de Fourier de �(�) es

�(t)~ π4 − 2� E cos ����� bcd�e + f (−1)Fg'sen ntn%

�&'

Si �(�) es una función con periodo 2�, se puede verificar fácilmente que

8 �(�))� = 8 �(�))��g���

�*�

Para toda . Según esto, es más conveniente a veces, calcular los coeficientes de Fourier, como

� = 1� 8 �(�) cos �� )���7

y

#� = 1� 8 �(�)��� �� )���7

Ejercicios En los problemas 1 al 4 se dan los valores de una función �(�) con periodo 2� en todo el periodo. Bosqueje varios periodos de su gráfica y determine su serie de Fourier.

1. �(�) = 1 , −� \ � \ � 2. �(�) = h3, − � < � \ 0−2, 0 < � \ � 6 3. �(�) = |�|, −� \ � \ �

4. �(�) = h� + �, −� < � \ 0� − �, 0 < � \ � 6 5. Sea �(�) una función continua por partes con periodo . (a) Suponga

que 0 \ < . Sustituya W = � − para mostrar que

8 �(�) )��gjj = 8 �(�) )��

7 . Concluya que

8 �(�) )��gj� = 8 �(�) )�.j

7

(b) Dada k, elija � de modo que k = � + con 0 \ < . Luego sustituya l = � − � para mostrar que

8 �(�) )� = 8 �(�) )� = 8 �(�) )� .j7

�gj�

mgjm

Series de Fourier y convergencia: El caso general

Definición: Serie y coeficientes de Fourier Sea �(�) una función continua por partes con periodo 2n definida para toda �.

Entonces la serie de Fourier de �(�) es la serie

�(�)~ 72 + E L � cos ���n + #� sin ���n P%�&'

donde los coeficientes de Fourier se definen como

� = 1n 8 �(�) cos L��op Pp*p )�

y

#� = 1n 8 �(�) sen ���op � )� p*p

Si � = 0, se tiene una forma más sencilla de

7 = 1n 8 �(�) )� ,p*p

lo que demuestra que el término constante '� 7 de la serie de Fourier de � no

es más que el valor promedio de �(�) en el intervalo q– n , nr. A veces es más conveniente usar

Ejemplo 1: Demuestre que la serie de Fourier de la función mostrada en la figura, es

�(�) Teorema 1: Convergencia de Series de Fourier Suponga que la función periódica Fourier converge

(a) al valor �(�) en cada punto donde (b) al valor

a]=s(o`gsObserve que

a]=s(o`gs(otla izquierda de � en el punto �(�*), así que

Por lo tanto, el teorema 1 se puede formular como sigue: la serie de Fourier de una función suave por partes promedio

� = 1n 8 �(�) cos L��op P�p7 )�

#� = 1n 8 �(�) sen ���op � )� .�p7

Demuestre que la serie de Fourier de la función mostrada en la figura, es

)~ 4� E 12� − 1%

�&' sen u(2� − 1)��2 v .

Convergencia de Series de Fourier

Suponga que la función periódica � es suave por partes. Entonces su serie de en cada punto donde � es continua, y s(ot)> en cada punto donde � es discontinua.)> es el promedio de los límites por la derecha y p

en el punto �. Si � es continua en �, entonces �(�(�) = �(�g) + �(�*)2 .

Por lo tanto, el teorema 1 se puede formular como sigue: la serie de Fourier de una función suave por partes � converge para cada valor de

Demuestre que la serie de Fourier de la función mostrada en la figura, es

es suave por partes. Entonces su serie de

es discontinua.

es el promedio de los límites por la derecha y por (�) = �(�g) =

Por lo tanto, el teorema 1 se puede formular como sigue: la serie de Fourier de valor de � al valor

�(�) = �(�g) + �(�*)2 . Por esta razón es costumbre escribir

�(�) = 72 + E L � cos ���n + #� sin ���n P%�&' ,

en el entendido de que debemos modificar la definición de � (en caso necesario) en cada uno de sus puntos de discontinuidad para que satisfaga la condición del valor promedio, mencionada anteriormente. Ejemplo 1 La gráfica de la función del ejemplo anterior, muestra que si �7 es un entero par, entonces limo→o�̀ �(�) = +1 y limo→o�t �(�) = −1

Por lo tanto, �(�7g) + �(�7*)2 = 0. Observe que la serie de Fourier

�(�) = 4� E 12� − 1%

�&' sen u(2� − 1)��2 v Converge a cero si � es un entero par (pues sen �� = 0) y se justifica el uso del signo igual. Ejemplo 2 Sea �(�) una función con periodo 2 tal que �(�) = �� si 0 < � < 2. Definimos �(�) para � entero par, mediante la condición del valor promedio; en

consecuencia, �(�) = 2 si � es un entero par. La gráfica de la función � aparece en la figura siguiente Demuestre que su serie de Fourier es

�(t) = 43 + 4�� f cos ���n� − 4π E sin ���n%

F&'%

�&'

válida para toda �.

A partir de la serie de Fourier dada, demuestre que

(a) ∑ '�] = �]z%�&'

(b) ∑ (*')_`a�]%�&' = �]

'�

(c) ∑ '(��*')] = �]{%�&' .

Ejercicios

1. En los siguientes problemaperiodo completo; en cada discontinuidad, el valor de f(t) es el dado por la condición de valor promediode � y determine su serie de Fourier.

a) �(�) = @0 , 0 < � < 11 , 1 < � < 2 0 , 2 < � < 3b) �(�) = h 0, −2� < � <sen � , 0 < � <

2. (a) Suponga que � 0 < � < 2. Muestre que

(b) Sustituya un valor adecuado de

Series de senos y cosenos de Fourier Se dice que la función � definida para toda

para toda �; � es impar si

A partir de la serie de Fourier dada, demuestre que

.

problemas se define la función periódica periodo completo; en cada discontinuidad, el valor de f(t) es el dado por la condición de valor promedio dada anteriormente. Bosqueje la gráfica

y determine su serie de Fourier.

123 6 < 0< 2�6 es una función con periodo 2 tal que �(�)

. Muestre que

�(�) = 1 − 2� E sen ����%

�&'

Sustituya un valor adecuado de � para deducir la serie de Leibniz1 − 13 + 15 − 17 + ⋯ = �4

Series de senos y cosenos de Fourier

definida para toda � es par si �(−�) = �(�)

si �(−�) = −�(�)

se define la función periódica �(�) en un periodo completo; en cada discontinuidad, el valor de f(t) es el dado por

Bosqueje la gráfica

( ) = � si

e Leibniz

para toda �.

Propiedades:

(a) Si � es par: ( ��*�(b) Si � es impar: (�*(c) Si � y son pares, entonces (d) Si � y son impares, entonces

De estas propiedades se deduce:

� = 1n 8p*

Extensiones pares e impares Sea � una función definida en el intervalo Se define la extensión par con periodo

Se define la extensión impar con periodo

La serie de Fourier de la extensión par y se llama serie de cosenos de Fourier de la función

�(�) )� = 2 ( �(�) )��7 . ( �(�) )��*� = 0. son pares, entonces � es par. son impares, entonces � es impar.

De estas propiedades se deduce:

8 �(�) cos L��op Pp*p )� = 2n 8 �(�) cos L��op Pp

7 )� #� = 'p ( �(�) sen}_~�� � )� p*p = 0.

Extensiones pares e impares

una función definida en el intervalo 0 < � < n. Se define la extensión par con periodo 2n de �, a la función

�j(�) = � �(�) �3 0 < � < n�(−�) �3 – n < � < 06. mpar con periodo 2n de �, a la función

��(�) = � �(�) �3 0 < � < n�(−�) �3 – n < � < 06. La serie de Fourier de la extensión par �j contendrá sólo términos con cosenos y se llama serie de cosenos de Fourier de la función �. contendrá sólo términos con cosenos

La serie de Fourier de la extensión impar �� contendrá sólo términos con senos y se llama serie de senos de Fourier de la función �. Definición: Series de senos y cosenos Supóngase que la función �(�) es continua por partes en el intervalo =0, n>. Entonces la serie de cosenos de Fourier de � es la serie

�(t) = 72 + E � cos ���n%

�&'

con

� = 2n 8 �(�) cos ���n dtp7 .

La serie de senos de Fourier de � es la serie

�(t) = E #� sen ���n%

�&'

con

#� = 2n 8 �(�) sen ���n dtp7 .

Ejemplo 1 Determine la serie de cosenos de Fourier y la serie de senos de Fourier para � , que está definida como �(�) = � para 0 < � < n.

Solución:

7 = 2n 8 � )�p7 = 2n ;12 ��<7

p = n y

� = 2n 8 � cos ���n dt = 2Ln�π� 8 u cos u duF�7

p7

= 2Ln�π� =u sen u + cos u>7F� = @− 4Ln�π� para n impar0 para n par. 6 Así, la serie de cosenos de Fourier de � es � = n2 − 4n�� Lcos ��n + 13� cos 3��n + 15� cos 5��n + ⋯ P para 0 < � < n.

#� = 2n 8 � sen ���n dtp7 = 2n���� 8 W sen W )W ��

7

= 2n��� Así, la serie de senos de Fourier de � = 2n�para 0 < � < n.

Teorema 1: Derivación término a término de una serie de Fourier Supóngase que la función y que su derivada �� es suave por partes para toda Fourier de �� es la serie

��(�) = obtenida al derivar término a término de la serie de Fourier

�(�)Observación: La serie de Fourier � = 2n� con −n < � < n, cumple casi todas las hipótesis del teoremcontinuidad de f y sólo tienen discontinuidades de salto aisladas. Pero 2

n�� =−W cos W + sen W>7�� = 2n�� (−1)�g'. Así, la serie de senos de Fourier de � es

n� Lsen ��n − 12 sen 2��n + 13 sen 3��n + ⋯ P

Teorema 1: Derivación término a término de una serie de Fourier

Supóngase que la función � es continua para toda �, periódica con periodo 2L, es suave por partes para toda �. Entonces la serie de

= E L− ��n � sen ���n + ��n #� cos ���n P%�&'

obtenida al derivar término a término de la serie de Fourier

( ) = 72 + E L � cos ���n + #� sen ���n P%�&' .

n� Lsen ��n − 12 sen 2��n + 13 sen 3��n + ⋯ P , cumple casi todas las hipótesis del teorema 1 excepto la

continuidad de f y sólo tienen discontinuidades de salto aisladas. Pero

2 Lcos ��n − cos 2��n + cos 3��n − ⋯P

Teorema 1: Derivación término a término de una serie de Fourier

, periódica con periodo 2L, . Entonces la serie de

a 1 excepto la continuidad de f y sólo tienen discontinuidades de salto aisladas. Pero la serie

obtenida al derivar la serie dada término a término diverge (por ejemplo, cuando � = 0 y cuando � = n) y por lo tanto la derivación término a término de la serie dada, no es válida. En contraste, la serie de Fourier |�| = n2 − 4n�� Lcos ��n + 13� cos 3��n + 15� cos 5��n + ⋯ P con −n < � < n, satisface todas las hipótesis del teorema 1, de modo que su serie de Fourier puede derivarse término a término. El resultado es ��(�) = 4� Lsen ��n + 13 sen 3��n + 15 sen 5��n + ⋯ P. Que es la serie de Fourier de la función onda cuadrada con periodo 2L que

asume el valor −1 para – n < � < 0 y +1 para 0 < � < n. Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series de Fourier Para resolver la ecuación diferencial V�� + #V� + �V = �(�) , (0 < � < n) ; V(0) = V(n) = 0, primero extendemos la definición de la función �(�) al intervalo – n < � < 0 de manera adecuada, y luego a toda recta real mediante las