Unidad 3. Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales

MÉTODOS EXACTOS

Método de Gauss

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3.3 Métodos Exactos.

Los métodos exactos son llamados así debido a que después de realizar el procedimiento se obtiene la solución exacta de problema. Dentro de los métodos exactos tenemos lo siguiente:

3.3.1 Método de Gauss14

Introducción

Este método nos ayuda a encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineal transformando la matriz de coeficientes en un sistema triangular inferior, mediante la matriz amentada, realizándole operaciones elementales y obteniendo sistemas equivalentes, para después realizar una sustitución hacia atrás y encontrar los valores de la solución. Esto es:

'bTXbAX =→=

Donde:

T es la matriz de triangular del sistema de ecuaciones

=

nn

n

n

t

tt

ttt

tttt

T

0000

00

0

3433

22322

1131211

MMMMM

K

K

K

Y b’ es el vector de términos independientes del nuevo sistema equivalente

=

nb

b

b

b

b

'

'

'

'

'3

2

1

M

Modelo

bAX =

(Burden, 1998; Chapra, 1999; Sheid, 1995)

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MÉTODOS EXACTOS

Método de Gauss

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Supuestos de aplicación

• El sistema debe de tener solución única, esto es, que el determinante de la matriz

debe de ser diferente de cero 0≠A .

• La matriz de coeficientes no debe tener ceros en la diagonal.

• El sistema tiene n variable y n incógnitas.

Valores Iniciales

• El número de variables que contiene el sistema.

• La matriz de coeficientes.

• El vector de términos independientes.

Ecuación Recursiva

1. Fórmulas para la Triangularización del sistema de ecuaciones de la matriz aumentada.

Para 11 −≤≤ ni

Para nji ≤≤+1

iiijijj baabb )/(−=

Para ikn ≤≤

Si k=i

0=jka

Si j≠i

ii

jiik

jkjka

aaaa

*−=

Siguiente k

Siguiente j

Siguiente i

Fórmulas para la sustitución regresiva y encontrar los valores de las variables nn

n

na

bx =

Para ni ≤≤1

0=suma

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Método de Gauss

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Para nj ≤≤1

jij xasumasuma *+=

Siguiente j

ii

ii

a

sumabx

−=

Siguiente i

Convergencia

La triangulación se detiene cuando todos los elementos por debajo de la diagonal son igual a cero.

La sustitución regresiva se detiene cuando se hayan obtenido todos los valores de las variables.

Algoritmo General

PASO PROCEDIMIENTO OBSERVACIONES

1. Leer el número de variables Se denota como n

2. Leer la matriz de coeficientes

=

nnnnnn

n

n

aaaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

4321

34333231

2232221

1131211

MMMMM

K

K

K

3. Leer el vector de términos independientes b .

=

nb

b

b

b

b

M

3

2

1

4. Obtener el determinante (A). Si determinante (A)=0

El sistema no tiene solución � FIN del algoritmo.

5. Verificar que los elementos de la diagonal de la matriz de coeficientes sean diferentes de cero.

Para 1=i hasta n

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PASO PROCEDIMIENTO OBSERVACIONES

Si ⇒= 0iia Intercambiar con otro renglón

Siguiente i

6. Realizar la triangularización del sistema.

Nota: Se utilizaran las ecuaciones recursivas vistas con anterioridad.

7. Realizar la sustitución regresiva hacia atrás. FIN

Nota: Se utilizaran las ecuaciones recursivas vistas con anterioridad.

Se obtiene la solución.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

4.0000 5.0000 3.0000 4.0000 1.0000

9.0000 4.0000 8.0000 3.0000 2.0000

-6.0000 8.0000 7.0000 2.0000 5.0000

-4.0000 9.0000 6.0000 5.0000 4.0000

Matriz de Coeficientes

Vector de términos

independientes

Vamos a analizar si el sistema tiene solución, sacando el determinante de la matriz de coeficientes:

=-537 por lo tanto el sistema tiene solución.

Después de la primera iteración nos queda el siguiente sistema equivalente:

4.0000 5.0000 3.0000 4.0000 1.0000

0.0000 -7.2500 1.2500 -6.0000 -0.2500

0.0000 15.5000 11.5000 8.0000 6.5000

0.0000 14.0000 9.0000 9.0000 5.0000

Después de la segunda iteración nos queda el siguiente sistema equivalente:

4.0000 5.0000 3.0000 4.0000 1.0000

0.0000 -7.2500 1.2500 -6.0000 -0.2500

0.0000 0.0000 14.1724 -4.8276 5.9655

0.0000 0.0000 11.4138 -2.5862 4.5172

Después de la tercera iteración nos queda el siguiente sistema equivalente:

4.0000 5.0000 3.0000 4.0000

9.0000 4.0000 8.0000 3.0000

-6.0000 8.0000 7.0000 2.0000

-4.0000 9.0000 6.0000 5.0000

Matriz de Coeficientes

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MÉTODOS EXACTOS

Método de Gauss

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4.0000 5.0000 3.0000 4.0000 1.0000

0.0000 -7.2500 1.2500 -6.0000 -0.2500

0.0000 0.0000 14.1724 -4.8276 5.9655

0.0000 0.0000 0.0000 1.3017 -0.2871

En este momento ya se tiene la matriz de coeficientes en forma triangular y el siguiente paso es realizar la sustitución hacia atrás. Se obtiene la siguiente solución para el sistema de ecuaciones:

Solución: x1= -0.1346

x2= 0.2766

x3= 0.3458

x4= -0.2206

Para comprobar si la solución del sistema es correcta se debe cumplir lo siguiente:

Prueba:

4.0000 5.0000 3.0000 4.0000 -0.1346 1

9.0000 4.0000 8.0000 3.0000 0.2766 = 2

-6.0000 8.0000 7.0000 2.0000 0.3458 5

-4.0000 9.0000 6.0000 5.0000 -0.2206 4