TRABAJO COLABORATIVO TRES

RAZONAMIENTOS LGICOS, INFERENCIA LGICA Y ARGUMENTOS LGICOS (INDUCTIVOS)

INTEGRANTESHERMES ALFREDO BARROS JIMENEZSENAIDA QUIROZ AVENDAOAROLD STID ORTIZHECTOR EDUARDO CARVAJAL

CODIGO CURSO: 200611A_224CODIGO GRUPO: 200611_ 330

TUTOR: OSCAR EDUARDO VIDAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INGENIERA INDUSTRIAL

PENSAMIENTO LGICO Y MATEMTICO

14/11/15

INTRODUCCINEste trabajo nos ayudara a incrementar nuestros conocimientos en cuanto a tablas de verdad realizando su respectivo simulacro.Tambin se vern los resultados del trabajo en equipo el cual se implement para resolver los problemas.

OBJETIVOS

Fortalecer nuestros conocimientos en cuanto a interpretacin y realizacin de tablas de verdad y lgica matemtica. Dominio de simuladores de tablas de verdad. Incrementar nuestro entendimiento como equipo colaborativo.

FASE GRUPAL:APORTE REALIZADO POR HERMES BARROS.1. El Director del Curso de Pensamiento Lgico y Matemtico de la Universidad UNAD es el encargado de muchas de las labores ms importantes. Si es as, entonces ser Director de Curso es un cargo difcil de manejar. Los estudiantes dicen que, o los Directores de Curso son personas de las que depende el funcionamiento curricular de la Universidad, o que slo se dedican a aprobar y reprobar a los estudiantes. Pero si ellos slo se dedican a aprobar y reprobar a los estudiantes, entonces ser Director de Curso no es un cargo difcil de manejar. Adems, si la Direccin de Curso Acadmico no es un cargo que slo quienes se han preparado para ello lo merecen, entonces sera falso que los estudiantes digan que los Directores de Curso son personas de las que depende la Universidad y que el Director de Curso es el encargado de muchas de las labores ms importantes. Por lo tanto, la Direccin de Curso Acadmico es un cargo que slo quienes se han preparado para ello lo merecen.

Declaracin de PremisasP: El Director del Curso de Pensamiento Lgico y Matemtico de la Universidad UNAD es el encargado de muchas de las labores ms importantes.Q: ser Director de Curso es un cargo difcil de manejar.R: Los estudiantes dicen que, los Directores de Curso son personas de las que depende el funcionamiento curricular de la Universidad.S: Los estudiantes dicen que, los Directores de Curso slo se dedican a aprobar y reprobar a los estudiantes.T: la Direccin de Curso Acadmico es un cargo que slo quienes se han preparado para ello lo merecen Conversin al lenguaje simblico.

REALIZACION DE LA TABLA DE LA VERDAD:

APORTE REALIZADO POR AROLD ORTIZ.

[{(p)(pq)(rVs)(sq)(T(rp))}]T

FASE INDIVIDUAL.

APORTES HERMES BARROS. DEMOSTRACIONES DIRECTAS E INDIRECTAS.

La demostracinLa demostracin es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento; es el enlace entre los conocimientos recin adquiridos y los conocimientos anteriores. Los procedimientos de demostracin permiten establecer la conexin lgica entre las proposiciones fundamentales de la teora, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusin o tesis que as se demuestra.Los principales tipos de demostracin son:La demostracin directaLa demostracin directa de una proposicint(teorema) es un conjunto de proposiciones o premisas que son postulados o proposiciones de validez aceptada y de las cuales se infiere t como consecuencia inmediata.Ejemplo 1.Dadas las premisas: 1.p ~q2.r qConcluir:t.p ~r_______________________________________________________________Demostracin: Puesto quer qes equivalente a~q ~r,por MTT se tiene la premisa:3.~q ~r, ahora, de las premisas 1 y 3 se puede concluirt, es decir, comop ~qy~q ~r, entonces,p ~r.Por SHLa demostracin indirectaSe realiza una demostracin indirecta cuando se establece la validez de una tesis t probando que las consecuencias de su contraria son falsas.Ejemplo 1.Construir la demostracin indirecta de:Six2es par, entoncesxes par,(conxentero)Suponga que existe al menos un enteroxtal quex2es par yxes impar.Por el ejemplo 2 analizado en la demostracin directa, se sabe que sixes impar, entoncesx2es impar, luego es imposible quexsea impar y quex2sea par.Esta es la contradiccin buscada.La demostracin por recursinCuando la tesis se prueba por medio de induccin matemtica.Ejemplo 2.Este tipo de demostraciones se utilizan cuando los enunciados tienen una proposicin abierta en una variablen, y es necesario demostrar que tal proposicin se verifica para todos los elementosnque pertenecen a un subconjunto infinito dado sobre los nmeros enteros, el axioma de la induccin matemtica es el siguiente:Dado un conjunto de nmeros enterosA = {n / na}y una proposicin de la formaP(n),se puede demostrar la verdad de esta proposicin estableciendo los siguientes pasos:I.P(a)es verdadera cuando se sustituyenporaenP(n)II. Se supone que la proposicinP(n)es verdad para todokdel conjuntoA, es decir,P (k)es verdadera, a esta proposicin, se le llama Hiptesis de Induccin.III. Se demuestra que para el siguiente trmino alk-simo, o seak+1,P (k+1)es verdadera

SEGUNDO APORTE INDIVIDUAL HERMES BARROS.

Ley de Adicin y Tollendo Ponens.LEY DE ADICION (LA)

Esta ley expresa el hecho que si tiene una proposicin que es cierta , entonces la disyuncin de aquella proposicin y otra cualquiera ha de ser tambin cierta. P Q -------- --------.: P V Q .: P V QEJ: este libro es azulQ: este libro es azulQ Q QR N B________ ______________ _______________.:Q V R .: Q V N .: Q V BPodramos decir queR: es rojoN: es nuevoB: es viejoMODUS TOLLENDO PONENS (TP)Esta regla se aplica para las proposiciones disyuntivas, en la cual un miembro de dicha proposion se niega para lograr la afirmacion del otro .P V Q P V Q (1) (P & M ) V T & Q P Q (2) ( T & Q )---------- --------- _______________________.: Q .: P .: (3) (P & M ) TP 1.2EJ: O hace frio y llueve o el festival se celebrara al aire libre . Ni hace frio ni llueve .F : hace frioE: llueveA: el festival se celebrara al aire libre(F & E ) V A (F & E )____________.: AEsto quiere decir que el festival se celebrara al aire libre

3 APORTE INDIVIDUAL HERMES BARROS.Enunciado 1Hoy es mircoles y se cierra la actividad del trabajo colaborativo del curso Pensamiento Lgico y Matemtico, Daniela se encuentra angustiada porque desarroll el ejercicio en su cuaderno y no lo encuentra y debe digitarlo para subirlo al Foro de Interaccin y Produccin. Daniela se hace la siguiente reflexin mental para poder recordar donde est su cuaderno: Si el cuaderno est en la mesa de la cocina lo habra visto al desayunar. Le el mdulo en la sala o en la cocina. Si le el mdulo en la sala entonces est sobre la mesa de centro. No vi el cuaderno al desayunar. Si utilic el porttil en la cama entonces el cuaderno est en la mesa de noche. Si le el mdulo en la cocina entonces el cuaderno est sobre la mesa de la cocina. Por lo tanto, el cuaderno est en la mesa de nocheDeclaracin de las proposiciones simples,p: el cuaderno est en la mesa de la cocina.q: vi el cuaderno al desayunar.r: le el mdulo en la sala.s: le el mdulo en la cocina.t: el cuaderno est en la mesa de noche.u: utilic el porttil en la cama.Declaracin de las premisas en lenguaje formal,PREMISA 1:pqPREMISA 2:rsPREMISA 3:rtPREMISA 4:~qPREMISA 5:utPREMISA 6:spCONCLUSIN:t

Expresin formal del razonamiento:[(pq)(rs)(rt)(~q)(ut)(sp)]tRealizacion en Truth Table:Truth Tablepqrstu

[(pq)(rVs)(rt)(q)(ut)(sp)]t

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expression is atautology.

APORTES HECTOR EDUARDO CARVAJAL.

1 Aporte individual En lgica, especialmente en sus aplicaciones a matemticas y filosofa, un contraejemplo es una excepcin a una regla general propuesta, es decir, un caso especfico de la falsedad de una cuantificacin universal (un "para todo").Por ejemplo, consideremos la proposicin "todos los escritores son inteligentes". Como esta proposicin dice que una cierta propiedad (inteligencia) es vlida para todos los escritores, incluso un solo escritor tonto probar su falsedad. En este caso, un escritor tonto es un contraejemplo a "todos los escritores son inteligentes".El nmero 2 es el nico contraejemplo de la proposicin "todos los nmeros primos son impares". Algunas proposiciones pueden ser negadas con un nmero mayor, incluso infinito de contraejemplos ("todos los nmeros impares son primos" tiene infinitos contraejemplos: todos los mltiplos impares de 3, 5, 7, etc).

2 aporte individual

DILEMA CONSTRUCTIVO (D.C), ABSORCIN (A.B.S.) SIMPLIFICACION (SIMP.), CONJUCION (CONJ), ADICION (AD) DILEMA CONSTRUCTIVO:

Si estudio aprendo y si duermoDescanso.Estudi o dorm.Luego Aprend o descans.

( pq)(rs )pr\qs

Ejemplo:Si gano un milln de pesos, lo voy a donar a un orfanato.Si mi amigo gana un milln de euros, lo va a donar a un hogar de ancianos.O voy a ganar un milln de pesos, o mi amigo ganar un milln de euros.Por lo tanto, o un orfanato ganar un milln de pesos, o un asilo ganar un milln de euros. El dilema se llama as debido a la transferencia de operados disyuntivos.

ABSORCION: Si estudio aprendo

Estudio, luego aprendo y estudio

p q\p(q p)

3 Aporte individual

4. Si Rosa participa en el E-Portafolio despus de la fecha mxima de la entrega de aportes entonces los compaeros de grupo se enojan con ella. Y si no participa en el E-Portafolio, el tutor le asigna la ms baja nota. Pero, Rosa participa en el E-Portafolio o no participa. Por lo tanto, los compaeros de grupo colaborativo se enojan con ella o el tutor le asigna una mala nota.

P = rosa participa en el e-portafolioR = pasada la fecha mxima de entregaQ = los compaeros de grupo se enojan con Rosa.S = tutor asigna la ms baja nota.T = tutor asigna una mala nota

{ [(P R)Q ] ( PS)(P V P)} (Q V T)

PRQSTP(P R)[(P R)Q ]( PS)(P V P){[(P R)Q ] ( PS)(P V P)}(Q V T){[(P R)Q ] ( PS)(P V P)}(Q V T)TTTTTFTTTTTTTTTTTFFTTTTTTTTTTFTFTTTTTTTTTTFFFTTTTTTTTTFTTFTFTTFTTTTFTFFTFTTFFTTTFFTFTFTTFTTTTFFFFTFTTFFTTFTTTFFTTTTTTTFTTFFFTTTTTTTFTFTFFTTTTTTTFTFFFFTTTTTTTFFTTFFTTTTTTTFFTFFFTTTTFFTFFFTFFTTTTTTTFFFFFFTTTTFFFTTTTTFTTTTTTFTTTFTFTTTTTTFTTFTTFTFTFTTFTTFFTFTFTFTTFTFTTTFTTTTTTFTFTFTFTTTTFFFTFFTTFTFTFTTFTFFFTFTFTFFTFFTTTTFTTTTTTFFTTFTFTTTTTTFFTFTTFTFTFTTFFTFFTFTFTFTTFFFTTTFTTTTTTFFFTFTFTTTTFFFFFFTTFTFTFTTFFFFFTFTFTFFT

APORTES AROLD ORTIZ.

1- La demostracin por contraposicin La demostracin por contraposicin podra ser llamada demostracin supongamos que no y procede de la siguiente manera. Queremos demostrar que A B, es decir que si se verifica A, entonces se verifica B. Como hemos visto en el captulo anterior, y por otra parte es bastante evidente, esto es equivalente a demostrar que no B no A, es decir que si no se verifica B entonces no se verifica A. En ocasiones puede resultar ms fcil de realizar la demostracin de esta segunda proposicin. Ms adelante veremos cmo se pueden sealar algunas circunstancias generales en las que este procedimiento sea aconsejable. Un ejemplo sencillo de demostracin por contraposicin Tratamos de demostrar que, de acuerdo con las reglas del ajedrez, cada pen se mueve a lo sumo 6 veces. Consideramos un pen cualquiera. Supongamos que se mueve 7 veces o ms. Tratamos de llegar a deducir que no hemos cumplido las reglas del ajedrez. Tras el primer movimiento el pen se encuentra al menos en la fila tercera. Tras el segundo movimiento se encuentra al menos en la cuarta... Tras el sptimo movimiento se encuentra al menos en la novena,...fuera del tablero.Sea n un nmero entero. Demuestra que si n2 es par, entonces n es par. Aqu queremos demostrar A B, siendo A n2 es par y B n es impar Para demostrarlo por contraposicin convertimos nuestra tarea en: no B no A, es decir Demostrar que si n es impar, entonces n2 es impar. Pero esto ya lo has hecho entre los ejercicios de la demostracin marcha adelante. Demuestra que si c es un nmero impar la ecuacin n2 n c 0 no tiene ninguna solucin entera. Supongamos que n fuera solucin. No puede ser par porque entonces c sera par. Si es impar es de la forma n 2k 1. Substituimos arriba para ver si es posible que se pueda tener 2k 12 2k 1 c 0 Haciendo cuentas resulta c 2k 12 2k 1 4k2 6k 2 Y c sera entonces par, lo que est excluido. Ejercicios de demostracin por contraposicin Si S es un subconjunto del conjunto T de nmeros reales y S no est acotado, T tampoco. (Recuerda que un conjunto M de nmeros reales se dice acotado con cota C cuando existe un nmero real y positivo C tal que para cada a M se verifica |a| C)

Si p y q son nmeros reales positivos tales que Entonces p f q.Si n es un entero mayor que 2, no hay ningn entero m con n m nm. Si en un cuadriltero no hay ningn ngulo obtuso, es decir de ms de 90, entonces dicho cuadriltero es un rectngulo.

2- MODUS PONENDO PONENS Y MODUS TOLLENDO TOLLENS MODUS PONENDO PONENS

El modus ponendo ponens (en latn significa "la forma en que se afirma afirmando", generalmente abreviado MP o modus ponens) o eliminacin del implica es una forma simple de argumento vlido y regla de inferencia. Se puede resumir como "P entonces Q; P se afirma siendo verdad, por lo que, por tanto, Q debe ser verdad." La historia del modus ponens se remonta a la antigedad.

Si bien el modus ponens es uno de los conceptos ms utilizados en la lgica no debe confundirse con una ley lgica; ms bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construccin de pruebas deductivas que incluye la "regla de definicin" y la "regla de sustitucin". Modus ponens permite eliminar una sentencia condicional de una prueba lgica o argumento (los antecedentes) y por lo tanto no llevan estos antecedentes adelante en una cadena alargada y constante de smbolos; por esta razn el modus ponens a veces se denomina la regla de la separacin.

Una justificacin para la "la confianza en la inferencia es la creencia de que si los dos ex afirmaciones [los antecedentes] no estn en un error, la afirmacin final de [el consecuente] no es un error". En otras palabras: si un enunciado o proposicin implica una segunda, y la primera afirmacin o proposicin es verdadera, entonces la segunda, tambin es verdadera. Si P implica Q y P es verdadera, entonces Q es verdadera. Un ejemplo es:

Si est lloviendo, te esperar en el teatro.Est lloviendo.Por lo tanto, voy a cumplir en el teatro.

El modus ponens puede establecerse formalmente como:P Q, P Q Donde la regla es que cada vez que una instancia de "PQ" y "P" aparece por s mismos en lneas de una prueba lgica,Qpuede ser colocado vlidamente en una lnea posterior; adems, la premisa dePy la implicacin "disuelve", su nico rastro siendo el smboloQque se mantiene para su uso posterior.

MODUS TOLLENDO TOLLENS

El 'modus tollens' (o modus tollendo tollens o tambin negacin del consecuente) (en latn significa "el camino que niega al negar") es una forma de argumento vlida y una regla de inferencia. Los primeros en declarar explcitamente la forma de argumento modus tollens fueron los estoicos.

La regla de inferencia modus tollens, tambin conocida como la ley de la contraposicin, valida la forma de inferencia P implica Q y la contradictoria de Q, a la contradictoria de P.

La regla modus tollens se puede afirmar formalmente como:P Q, Q P Dondesignifica "P implica Q",significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, cada vez "" y "" cada una parece por s mismas como una lnea de unaprueba, "" se puede colocar vlidamente en una lnea posterior. La historia de la reglamodus tollensse remonta a la antigedad.8Elmodus tollensest estrechamente relacionado con elmodus ponens. Hay dos formas similares, perono vlidas, de argumento:afirmacin del consecuentey negacin del antecedente.Ejemplo:Si est soleado, entonces es de da.No es de da.Por lo tanto, no est soleado.

Es importante evitar caer en el razonamiento incorrecto Ejemplo: Slo si es mayor de edad entonces tiene permiso de conducir No tiene permiso de conducir Por lo tanto, no es mayor de edad

5. Johanna est planteando una situacin problmica para su ensayo del curso de Matemticas financiera, para lo cual hace la siguiente cita bibliogrfica: Si hay una situacin de crisis econmica, el ndice de natalidad disminuye. Si avanza la medicina, las expectativas de vida sern mayores. Si el ndice de natalidad disminuye y las expectativas de vida se hacen mayores, entonces la sociedad ir envejeciendo rpidamente. La crisis econmica es un hecho y los avances en la medicina son constantes. Luego, la sociedad envejecer con rapidez.

P: situacin de crisis econmicaQ: el ndice de natalidad disminuyeR: avanza la medicinaS: las expectativas de vida sern mayoresT: la sociedad ir envejeciendo rpidamente

Premisa 1: (P Q)Premisa 2: (R S)Premisa 4: (Q ^ S) TConclusin: T

PQRST(P Q)(R S)(Q ^ S)(Q ^ S)T

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APORTES SENAIDA QUIROZAporte Individual 1

DEMOSTRACIN POR CONTRADICCIN (REDUCCIN AL ABSURDO).La demostracin de un teorema se dice que es por la contra reciproca cuando suponiendo que la conclusin, Q, es falsa y utilizando la hiptesis P y otros teoremas y equivalencias lgicas establecidas previamente, se concluye que P es falsa.Est basada en la equivalencia lgica entre una proposicin condicional y su contra reciprocaP Q Q PPor lo tanto, si probamos que Q P es una tautologa, habremos probado que P Q tambin lo es, luego P = Q.Ejemplo Demostrar, para cada entero n, que si 5n + 3 es par, entonces n es impar.Demostracin Utilizaremos el mtodo de demostracin por la contra recproca. Sip(n): n es par q(n): n es imparEl esquema del teorema propuesto sern [p (5n + 3) q(n)]En el universo de los nmeros enteros. El esquema de la contra recproca serian [q(n) p(5n + 3)]Para cada entero n, si n no es impar, entonces 5n + 3 no es parPues bien, sea n cualquier nmero enteroSi n no es impar, entonces por la nota 3.3,n 6= 2k + 1

5n + 3 6= 5(2k + 1) + 3, k ZDe aqu que5n + 3 6= 2(5k + 4), k ZY como si k es entero, 5k + 4 tambin lo es (lo llamaremos m), tendremos que5n + 3 6= 2m, m Z

Aporte individual 2

SILOGISMO HIPOTTICO Y SILOGISMO DISYUNTIVO.

SILOGISMOS HIPOTTICOS.Es unaforma de argumentovlidoque es un silogismo que tiene unasentencia condicionalpara una o ambas de suspremisas.Ejemplo:Analicemos el siguiente razonamiento con estas proposiciones condicionales como premisas:- Si se satisfacen las necesidades bsicas, entonces el estado recauda como corresponde.

- Si el estado recauda como corresponde, entonces el ciudadano est consciente del pago de sus tributos.

Podemos concluir:- Si se satisfacen las necesidades bsicas, entonces el ciudadano es consciente del pago de sus tributos.

* La ley aplicada a estas condicionales como premisas se denomina Ley del silogismo hipottico (S.H.)

Silogismo hipottico:se compone de dos premisas condicionales.

La primera es una condicional y la segunda tiene como antecedente al consecuente de la primera premisa y la conclusin se forma con el antecedente de la segunda premisa.

1 premisa: P -----> Q2 premisa: Q ----> RConclusin: P---> R.

Claramente se percibe que la conclusin es una proposicin condicional y que las dos premisas tambin son condicionales.

SILOGISMO DISYUNTIVO.La Ley Del Silogismo Disyuntivo (SD): esta ley es simple; se compone de tres (3) premisas (P), la cual, en general, empieza con una (1) disyuncin y dos (2) condicionales. Considrese el siguiente ejemplo 1:(1)Ollueveoelcampoestseco(P)(2)Sillueve,entoncesjugaremosbsquetbol(P)(3)Sielcampoestseco,entoncesjugaremosbeisbol(P)Qu o cul conclusin se puede obtener de las proposiciones anteriores? La conclusin es que o jugamos bsquetbol o jugamos beisbol. Como se puede observar, la conclusin es otra disyuncin. Para simbolizar el ejemplo 1A = llueveB = el campo est secoC = jugaremos bsquetbolD = jugaremos beisbol

Este razonamiento se simboliza:(1) AB (P)(2) A C (P)(3) B D (P)(4) CD SD(1,2,3)

Empleando la simbologa, la Ley Del Silogismo Disyuntivo (SD DS), se puede expresar:

De PQY P RYQ SSe puede deducirRS

O se puede deducirSR

Aporte individual 3Los integrantes del grupo de trabajo colaborativo nmero 789 del curso Pensamiento Lgico y Matemtico han creado un grupo por whatsApp, de lo cual se ha extrado la siguiente conversacin: Vamos a chatear por Skype si est encendido el wi-fi. Si no chateamos por Skype, entonces vamos a hacer una videollamada. Si vamos a hacer una videollamada, entonces vamos a subir los aportes al Foro. Por lo tanto subiremos nuestros aportes al Foro.

SolucionP= Vamos a chatear por Skype si est encendido el wi-fiS=est conectado el wi-fiR= vamos a subir nuestros aportes al foroPremisasPremisa 1 (p s)Premisa 2 (p q)Premisa 3 (qr)

CONCLUSION Como resultado de la solucin de los problemas planeados logramos ver que en al resolver la frase del problema tenemos una tautologa ya que el resultado es totalmente verdadero.

BIBLIOGRAFIA Tomado de https://es.wikipedia.org/wiki/Modus_tollendo_tollens Tomado de https://es.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_ponens

Tomado de http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic6.html

Tomado de http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/05edumat/inicquehacermat/cap2ver.pdf