3.2. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en espacios mtricosHabr un paralelismo bastante obvio entre los conceptos definidos en esta seccin y aquellos definidos para la lnea y el plano en el captulo 2.Definicin: sea (X,d) un espacio mtrico, a un miembro de X, y r un nmero positivo. La bola abierta con centro a y radio r es el conjunto

La correspondiente bola cerrada es definida por: Cuando slo hay una sola mtrica bajo consideracin, los smbolos para bolas abiertas y bolas cerradas se simplifican a veces a El siguiente ejemplo es para aquellos que no hicieron el problema 5 de los problemas anteriores.Ejemplo 3.2.1(a) Para el Plano R2 con la mtrica usual d, es la regin dentro del crculo con centro en el origen y radio l. La bola cerrada es la unin de con la circunferencia frontera(b) Para R2 con la mtrica del taxista d,

Es el interior del diamante mostrado en la figura 3.3. La bola cerrada es la unin de con los cuatro segmentos rectos de frontera

(c) Para R2 con la mtrica del mximo d

Es el interior del cuadrado de lado 2 centrado en , es la unin de con los cuatro segmentos rectos de frontera

(d) Para cualquier X con la mtrica discreta,

Definicin: Un subconjunto O de un espacio mtrico (X,d) es un conjunto abierto con respecto a la mtrica d siempre y cuando O sea la unin de bolas abiertas. La familia de conjuntos abiertos definidos de este modo es llamado la topologa para X generada por d. Un subconjunto C de X es un conjunto cerrado con respecto a d siempre y cuando su complemento X\C es un conjunto abierto con respecto a d. Como es usual, cuando slo hay una mtrica bajo consideracin, las referencias repetidas sern omitidas.Teorema 3.3. Las siguientes afirmaciones son equivalente para un subconjunto de O de un espacio mtrico (X,d)(a) O es un conjunto abierto(b) Para cada existe una bola abierta para algn radio positivo que est contenido en O. Para OX, (a) y (b) son equivalentes a:(c) Para cada Prueba: Como se hizo para el resultado correspondiente en el captulo 2 (Teorema 2.6), la prueba ser lograda mostrando que (a) es equivalente a (b) y (b) es equivalente a (c). En la condicin (c) nuevamente asumimos OX dado que la distancia entre un punto al conjunto vaco no est definida.Para ver que (a) implica (b), suponga que O es abierto y Dado que O es una unin de bolas abiertas, entonces x pertenece a alguna bola abierta contenida en O. Entonces Sea un nmero positivo menor o igual a Entonces por la siguiente razn: Si

Por tanto es una bola abierta de radio positivo centrada en x y contenida en O.La prueba que (b) implica (a) es inmediata: Asumiendo (b), O debe ser la unin de las bolas Para ver que (b) implica (c), considere una bola abierta centrada en x y contenida en O. Entonces cualquier punto dentro de una distancia de x est en O, as que la distancia desde x a X\O debe ser al menos . Por tanto para cada Asumiendo que (c) es verdadera, es un nmero positivo que depende de x. Esto significa que la distancia desde x a un punto fuera de O debe ser al menos as que cualquier punto dentro de una distancia de x debe estar en O. En otras palabras, Teorema 3.4. Los subconjuntos abiertos de un espacio mtrico (X,d) tienen las siguientes propiedadesa) X y son conjuntos abiertosb) La unin de cualquier familia de conjuntos abiertos es abiertac) La interseccin de cualquier familia finita de conjuntos abiertos es abiertaPrueba:(a) El espacio entero X es abierto dado que es la unin de todas las bolas abiertas de todos los centros y radios posibles. El conjunto vaco es abierto dado que es la unin de la coleccin vaca de bolas abiertas.(b) Si es una coleccin de conjuntos abiertos en X, entonces para cada en el conjunto ndice A, O es la unin de bolas abiertas. Entonces es la unin de todas las bolas abiertas de la cual los conjuntos abiertos O estn compuestos y es, por tanto, un conjunto abierto.(c) Sea una coleccin finita de conjuntos abiertos y sea Entonces por el teorema 3.3 (b) existe para cada un nmero positivo tal que Entonces:

Pero la interseccin de las bolas es simplemente la bola donde mnimo as que es una bola abierta centrada en x y contenida en Por tanto es abierto.

En el captulo 4 definiremos una topologa para un conjunto arbitrario X tomando como propiedades de definicin las afirmaciones (a),(b) y (c) del Teorema 3.4.La prueba del siguiente teorema, el anlogo del teorema 2.8, se deja como un ejercicio.

Teorema 3.5. Los subconjuntos cerrados de un espacio mtrico (X,d) tienen las siguientes propiedades:a) X y son conjuntos cerradosb) La interseccin de cualquier familia de conjuntos cerrados es cerradac) La unin de cualquier familia finita de conjuntos cerrados es cerrada

Ejemplo 3.2.2

El que un conjunto sea abierto o no abierto depende del espacio en el cual es considerado. Por ejemplo, es una prctica comn identificar la recta real R con el eje horizontal Donde R no contiene bolas abiertas en R2, entonces R no es abierto cuando lo consideramos como un subconjunto de R2. Similarmente, el que un conjunto sea cerrado tambin depende del espacio en el que est siendo considerado

Ejemplo 3.2.3

En el plano con la mtrica usual, el conjunto mostrado en la figura 3.5 no es ni abierto ni cerrado

Definicin: Sea (X,d) un espacio mtrico y A un subconjunto de X. Un punto es un punto lmite o punto acumulacin de A siempre y cuando cada conjunto abierto que contiene a x contiene un punto de A distinto de x. El conjunto de puntos lmite de A es llamado su conjunto derivado

Teorema 3.6: Sea (X,d) un espacio mtrico y A un subconjunto de X. Un punto es un punto lmite de A si y slo si

La prueba del Teorema 3.6. es completamente anloga a aquella del Teorema 2.9 y se deja al lector.

Ejemplo 3.2.4

Para R2 con la mtrica usual d:(a) El origen es el nico punto lmite de la secuencia (b) El conjunto derivado del cuadrado unitario cerrado es precisamente el mismo conjunto S (c) El conjunto derivado del cuadrado unitario abierto es el cuadrado unitario cerrado. Note en este caso que el conjunto U es un subconjunto propio de su conjunto derivado(d) Un conjunto finito no tiene puntos lmites(e) El conjunto derivado del conjunto R de todos los puntos que tienen coordenadas racionales es todo el plano

La prueba del siguiente teorema es idntica a la del teorema 2.10, con R reemplazado por X

Teorema 3.7. Un subconjunto A de un espacio mtrico (X,d) es cerrado si y slo si A contiene todos sus puntos lmites

Definicin: Sea (X,d) un espacio mtrico y una secuencia de puntos de X. Entonces converge al punto o x es el lmite de la secuencia, siempre y cuando dado existe un entero positivo N tal que si , entonces Una secuencia que converde es llamada una secuencia convergente.Dado que es equivalente a la definicin de convergencia puede reescribirse como sigue: Una secuencia en un espacio mtrico X converge a si y slo si para cada la bola abierta contienene a para todos excepto un nmero finito de enteros positivos n

Teorema 3.8: Una secuencia en un espacio mtrico no puede converger a ms de un lmitePrueba: Suponga por el contrario que converge a dos lmites distintos a y b en el espacio mtrico (X,d). Sea Por definicin, deben existir enteros Na y Nb tales que si entonces entonces Esto significa que tanto como son menores a cuando n es mayor o igual al mayor entre Na y Nb. Entonces

As que una obvia contradiccin. As que el supuesto que converge a ms de un lmite debe ser falso.

Teorema 3.9: Sea (X,d) un espacio mtrico y A un subconjunto de X(a) Un punto x en X es un punto lmite de A si y slo si existe una secuencia de puntos distintos de A que converge a x(b) El conjunto A es cerrado si y slo si cada secuencia convergente de puntos de A converge a un punto de A.Prueba:(a) Suponga primero que x es un punto lmite de A. Entonces existe un miembro x1 de A distinto de x en la bola abierta Procediendo de manera inductiva, suponga que los primeros n-1 trminos han sido elegidos, distintos entre ellos y distintos de x. Se deja como un sencillo ejercicio demostrar que el conjunto finito no tiene puntos lmites y es por tanto un conjunto cerrado. Entonces el complemento es abierto, as que es un conjunto abierto que contiene a x y debe contener un punto xn de A distinto de x. El hecho que asegura que la secuencia resultante converja a x. Dado que xn siempre se elige en el complemento de se sigue que los trminos de la secuencia son todos distintos. Por tanto existe una secuencia de puntos distintos de A que converge a xPara la implicacin recproca, suponga que existe una secuencia de puntos distintos de A que converge a x. Sea O un conjunto abierto que contiene a x y sea un nmero positivo para el cual Por la definicin de secuencia convergente, existe un nmero positivo N para el cual para todo Dado que concluimos que O contiene puntos de A distintos de x y que x es un punto lmite de A(b) Para probar (b), suponga primero que A es cerrado y considere una secuencia convergente de puntos de A que converge a un punto y en X. Debe mostrarse que y est en ASi el rango de la secuencia es infinito, se sigue fcilmente que y es un punto lmite de este conjunto. Dado que A es cerrado, entonces y pertenece a A. Si por el contrario, el rango de es finito, entonces de la convergencia de la secuencia requiere que sea constante a partir de cierto punto, y este valor constante es el lmite de la secuencia. Dado que cada trmino de la secuencia pertenece a A, entonces y pertenece a A tambin en este caso.Para completar la prueba, suponga que cada secuencia convergente de puntos de A converge a un punto de A. Debemos mostrar que A es cerrado mostrando que contiene todos sus puntos lmites e invocando el teorema 3.7.

Sea x un punto lmite de A. Por la parte (a), existe una secuencia de puntos distintos de A que converge a x. Por hiptesis, tal secuencia convergente de puntos de A debe converger a un punto de A. Dado que la secuencia no puede converger a dos lmites diferentes, al nico punto x al que converge debe estar en A. Concluimos que A contiene todos sus puntos lmites, as que el Teorema 3.7 garantiza que A es un conjunto cerrado. El completa la prueba. Corolario: Sea x un punto lmite del subconjunto A de un espacio mtrico X. Entonces cada conjunto abierto a x contiene infinitos miembros de AEjercicio 3.2.1. Para un espacio mtrico (X,d), pruebe que la bola bierta es un conjunto abierto y la bola cerrada es un conjunto cerrado2. Muestre que un subconjunto finito de un espacio mtrico no tiene puntos lmites y es portanto un conjunto cerrado3. Pruebe el teorema 3.5.4. Pruebe el teorema 3.6.5. Muestre el lmite de un secuencia convergente de puntos distintos en un espacio mtrico es un punto lmite de l rango de la secuencia. De un ejemplo para mostrar que esto no es decierta cuando la palabra distintos es omitida.6. Determine si el conjunto A del ejemplo 3.2.3 es abierto, cerrado o ninguno para la mtrica del taxista y la mtrica del mximo7. Pruebe que un subconjunto no vaco C de un espacio mtrico (X,d) es un conjunto cerrado si y slo si para cada 8. Pruebe que es el menor entre para un punto a y subconjuntos B,C de un espacio mtrico9. Sea (X,d) un espacio mtrico con la mtrica discreta. Pruebe(a) Cada subconjunto de X es abierto(b) Cada subconjunto de X es cerrado(c) Ningn subconjunto de X tiene un punto lmite10. Sea (X,d) un espacio mtrico y puntos distintos de X. Pruebe que existen conjuntos abiertos disjuntos que contienen a respectivamente11. Muestre que el resultado del problema 10 sigue siendo verdadero cuando es reemplazado por un conjunto cerrado que no contiene a 12. Muestre que el resultado del problema 10 sigue siendo verdadero cuando son reemplazadas por conjuntos cerrados disjuntos 13. Muestre que cada bola abierta en R2 contiene un punto cuyas dos coordenadas son racionales. 14. Denote R el subconjunto de que consiste de los puntos cuyas todas sus coordenadas son racionales.(a) Pruebe que cada conjunto no vaco en contiene un miembro de R(b) Pruebe que cada conjunto no vaco en contiene un nmero infinito de miembros de R(c) Pruebe que cada punto de es un punto lmite de R