DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.

Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.

Un ejemplo de ambas representaciones puede

observarse en la figura:

Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio

UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ES UN CONJUNTO DE ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.Los números reales aij se denominan coeficientes y los x ise denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes.En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente.Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

(a11 a12 a13a21 a22 a23

⋯a1na2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

)∗(x1x2⋮xn

)=(b1b2⋮bm

)lamatriz A=(

a11 a12 a13a21 a22 a23

⋯a1na2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

)se llamamatriz de coeficientes, lamatriz X=(

x1x2⋮xn

) se llamamatriz de incongnitas ,y lamatriz B=(

b1b2⋮bm

) se llamalamatriz de terminos independientes .La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

( A|B )(a11 a12 a13a21 a22 a23

⋯a1na2n

⋮ ⋱ ⋮am1 am2 am3 ⋯ amn

|b1b2⋮bm

)se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B)

SISTEMAS EQUIVALENTES

=

Los sistemas equivalentes, se aplican a sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones y que resultan de aplicar sobre la matriz original operaciones elementales de fila

1 1 -12 -1 1 1 -3 -1-1 -3 1

XYZ

2100

CLSIFICACION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Sistemas homogéneos (2 tipos de soluciones)

La solución trivial , es decir, cuando las incógnitas valen cero cada una.

Infinitas soluciones , cuando algunas de las incógnitas quedan en función de otras y valen cero.

Sistemas no homogéneos (3 tipos de soluciones)

Única solución, cuando para todas las incógnitas del sistema existe con un solo valor real.

Infinitas soluciones , cuando algunas de las incógnitas están en función de otras y tienen un valor real.

No existe solución , cuando los valores de las incógnitas no existen.

En sistema No homogéneo Homogéneo

a) ∃! soluc Si Si (Trivial)

b) ∃∞soluc Si Si

c) ∃ soluc Si No

1 1 -1 22 -1 1 1 1 -3 -1 0-1 -3 1 0