Tema 2. DINMICA DE SISTEMAS DE PARTCULAS

2.1 Introduccin2.2 Centro de masas2.2.1 Movimiento del centro de masas2.2.2 Masa reducida2.2.3 Conservacin del momento lineal2.2.4 Conservacin del momento angular2.3 Energa de un sistema de partculas2.3.1 Energa cintica2.3.2 Energa potencial2.3.3 Conservacin de la energa mecnica de un sistema2.4 Colisiones elsticas e inelsticas2.5 Colisiones en tres dimensiones2.6 Propulsin de un cohete2.7 Sistemas de muchas partculas

Nota: El contenido de estos apuntes pretende ser un resumen de la materia desarrollada en el curso. Por ello, el alumno debe de completarlo con las explicaciones y discusiones llevadas a cabo en clase y con la bibliografa recomendada.

2.1 Introduccin

Hasta ahora se ha utilizado el modelo de partcula o punto material para el estudio de la dinmica de los cuerpos de dimensiones finitas. En ese caso la partcula material se ha considerado aislada, representando el resto del universo por la accin de fuerzas o por su energa potencial. Pero, qu ocurre cuando hay que considerar las dimensiones del cuerpo en estudio?

La aproximacin de punto material es vlida en los movimientos de traslacin y en aquellos casos en los que la precisin en la localizacin del cuerpo es del orden de las dimensiones de ste. Por tanto, hay de proponer un nuevo modelo que permita estudiar los cuerpos, y su evolucin temporal, en los casos en que la aproximacin anterior no sea vlida. Este modelo es el de sistemas de partculas.

Sistema de partculas: Es un conjunto de partculas cuyas propiedades globales queremos estudiar. Podemos distinguir varios modelos:

1 Sistema discreto, cuando el cuerpo se considera formado por un nmero finito de partculas. Dentro de este modelo podemos considerar:

Sistemas indeformables, en los que la distancia relativa entre las partculas del sistema permanece inalterable en el tiempo.Sistemas deformables, en los que puede cambiar la distancia relativa entre las partculas.

Sistemas continuos, cuando un cuerpo puede considerarse formado por una distribucin continua de materia (llenando todo el espacio que ocupa). Estos sistemas se dividen en deformables e indeformables (slidos rgidos).

Las fuerzas que actan en los sistemas de partculas se clasifican en fuerzas interiores y en fuerzas exteriores, ya que las partculas del sistema no slo estn interaccionando entre s sino con otras partculas externas al sistema.

rFuerzas interiores o internas, Fint , son las que estn aplicadas a las partculas delsistema debidas a las interacciones con otras partculas del mismo sistema.

rFuerzas exteriores o externas,

Fext , son las que estn aplicadas a partculas delsistema debidas a partculas o agentes que no pertenecen al sistema

Por cada fuerza interna que acta sobre una partcula del sistema existe otra igual y opuesta, o sea, las fuerzas internas se presentan en parejas.

r Fint 0

Supongamos un sistema sencillo formado por dos partculas. Sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema..

Sobre la partcula 1 acta la fuerzarexterior

F1 y la fuerza que ejerce larpartcula 2,

F12 .

Sobre la partcula 2 acta la fuerzarexterior

F2 y la fuerza que ejerce larpartcula 1,

F21 .

r rSe cumple que

F12 F21 .

Un ejemplo podra ser un sistema de partculas formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores seran las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores seran la atraccin mutua entre estos dos cuerpos celestes.2.2 Centro de masas

El centro de masas de un sistema de partculas se define como el punto en el que se considera aplicada la resultante de todas las fuerzas exteriores y concentrada toda la masa del sistema.

El centro de masas de un sistema de partculas discreto puede expresarse como:N rr m rr m rr .......

mi rircm

1 1 2m m

2 1

m..... N1 2i1

Si tenemos un sistema sencillo formado por dos partculas de masas m1 y m2, y si m1 es mayor que m2, la posicin del centro de masas del sistema est ms cerca de la masa mayor.

El centro de masas de este sistema de dos partculas es:

xCM

m1 x1 m2 x2m1 m2

En un caso de N partculas, las coordenadas del vector c.d.m. ser:

N mi xi

y 1

xcm

mT

N mi yi

z 1 cm

mT

N mi zi 1 cm

mT

siendo mT la masa total del cuerpo, mT

N mi1

El centro de masas de un sistema de partculas continuo puede expresarse como:

rr rr dm

cmdmo, expresndolo en funcin de la densidad del sistema para una distribucin volumtrica de masa:rr dv

rrcm

mTsiendo mT la masa total del cuerpo continuo: mT

M dm

2.2.1 Movimiento del centro de masas

rCMEn general, la posicin res:

del centro de masas de un sistema discreto de N partculas

N r mi ri

rr 1 CM N mi1

vCMLa velocidad del centro de masas rtiempo:

se obtiene derivando r

CMcon respecto del

N r mi vi

vr 1 CM N

rMPS mi1

donde en el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partculas.

aCMLa aceleracin del centro de masas rtiempo:

CMse obtiene derivando

vr con respecto del

N r N mi ai

ar 1 CM N

Fi ,ext

M 1 mi1

El centro de masas se mueve como una sola partcula de masa M, sometida a la accin de una fuerza resultante de todas las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema.2.2.2 Masa reducida

rSea un sistema aislado ( Fext = 0) formado por dos partculas que interactan entre s.rSobre la partcula de masa m1 acta la fuerzar

F12 , y sobre la partcula de masa m2 actala fuerza

F21 . Ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Las ecuaciones delmovimiento de cada partcula son:

m ar r1 1 F12

m ar r2 2 F21

m am a1 12 2Como el sistema es aislado r r

0 , luego la aceleracin del centro de masases cero, lo que implica que el centro de masas de un sistema aislado se mueve conrvelocidad constante.

vCM

= cte

Este problema de dos cuerpos se puede reducir a un problema de un solo cuerpo, parar rello, calculamos el valor de la aceleracin relativa a1 a2 .

r r r

r 1

1 a12

a1 a2

F12 m1

m2

1 1

1 r rY poniendo

m1

, siendo la masa reducida del sistema:m2

a12 F12

El movimiento relativo de dos partculas sometidas nicamente a fuerzas de interaccin mutua es equivalente al movimiento relativo, respecto a un sistema inercial, de una partcula de masa igual a la masa reducida y bajo una fuerza igual a la de interaccin.

2.2.3 Conservacin del Momento lineal

El momento lineal de un sistema de partculas es la suma de los momentos de cada una de las partculas que integran el sistema.

r N r N r rPS Pi1

mi vi1

MvCM

Si derivamos respecto al tiempo el momento lineal del sistema:dPSdt

N Fi ,ext1

rFext

La resultante de las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema coincide con la variacin temporal del momento lineal del sistema de partculas.

Ley de conservacin del momento lineal:

Si la fuerza neta externa que acta sobre un sistema es nula, la velocidad del c.d.m. es constante y el momento lineal del sistema se conserva.

rFext

= 0

dPSdt

r0 PS

cte

Hay situaciones en las que el momento lineal puede considerarse constante aunque las fuerzas exteriores no son nulas. Esas situaciones se dan cuando las fuerzas que intervienen son fuerzas impulsivas (fuerzas interiores muy grandes y de muy corta duracin).

En esos casos, como por ejemplo explosiones, choques, etc., el intervalo de actuacin es muy pequeo, del orden de centsimas o milsimas de segundo, y el resto de las fuerzas que estn actuando, incluidas las exteriores pueden considerarse nulas. Esta aproximacin es vlida si se considera que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y despus de la colisin, (o de la explosin) respectivamente.

Si consideramos como sistema de referencia el centro de masas (ver figura en clase), observamos que:

m1d1

m2 d 2 0

siendo

d1 y d 2

los vectores de posicin respecto del centro de masas, y que elmomento lineal del sistema de partculas respecto del centro de masas es O:

PS ,CM

r r

m um u01 1 2 2

r rDonde u1 y u2 son las velocidades de las partculas respecto del centro de masas.

2.2.4 Conservacin del momento angular

El momento angular (LO) de un sistema discreto de partculas respecto de un sistema de referencia inercial O se define como la suma de los momentos angulares individuales de cada partcula respecto del observador O (lio).

rLiO

r r r r

rm vrpi i i i i

rNLO 1

rLiO

N N

rm vrprrrr i i i i i1 1

Se ha visto que la cantidad de movimiento de un sistema solamente se modifica debido a las fuerzas exteriores, pero quin modifica el momento angular o cintico del sistema?

Si se calcula la derivada de la expresin anterior:

d r

d N r

d N r

r d N r r

N r r

N r dprdt LO

dt

LiO

dt ri

mi vi

dt ri

pi vi

pi ri dt1 1 1 1 1

N r r r ry como vi pi1

0 , ya que vi y

pi tienen igual direccin, y por tanto su productovectorial es cero y que la suma de los momentos de las fuerzas internas se anula, tenemos que:

d r

N r r

1dt LO ri

Fext , i

iLa variacin respecto al tiempo del momento angular de un sistema de partculas respecto a un punto es igual al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto.

Ley de conservacin del momento angular: Si el momento de las fuerzas exteriores respecto a un punto es nulo, [o el sistema es aislado (Fext = 0)], el momento angular del sistema respecto del mismo punto permanece constante en magnitud y direccin.

Si consideramos que:

rr1 d1

vur r1 1

r r

vrvyydCM 2 r r CM 2

r

rr2 CM

uvr r2 CM

r N r

N r r r

r N r rLO 1

LiO

ri1

pi rCM

MvCM

di1

mi ui

El momento angular del sistema respecto del sistema de referencia O es igual a la suma del momento angular del centro de masas respecto de O y la resultante de los momentos angulares de las partculas respecto del centro de masas.2.3 Energa de un sistema de partculas

2.3.1 Energa cintica

La energa cintica de un sistema de partculas respecto de un sistema de referencia inercial O es igual a la suma de las energas cinticas individuales de cada partcula respecto de dicho sistema.

ECS

N N

m v122 ECi i i1 1

Veamos ahora como se relaciona la energa cintica de un sistema respecto a O con la energa cintica del sistema respecto del c.d.m. y la energa del c.d.m. respecto a O.

vuvr r ri i CM

La energa cintica de un sistema es:

2N 1 N 1 r r 1 N 1

22EC 2 mi vi

2 mi (VCM

ui )

M Vcm

22

2 mi ui1 1 1

O sea, la energa cintica de un sistema respecto a O es igual a la suma de la energa del c.d.m. respecto a O (energa cintica de traslacin del sistema) y de la energa cintica del sistema respecto del c.d.m.( energa cintica interna del sistema).

Consideremos un sistema compuesto por dos partculas de masas m1 y m2, sujetas a las fuerzas externas F1 y F2 y a las fuerzas internas F12 y F21. En un determinado instante (en que las partculas ocupan las posiciones indicadas en la figura), la partcula de masa m1 se desplaza dr1 y la partcula de masa m2 se desplaza dr2 movindose con velocidades v1 y v2 a lo largo de las trayectorias C1 y C2.

La ecuacin del movimiento de cada partcula es:

1dprdt

r rF1 F12 ;

dpr

2dt

r rF2 F21

El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actan sobre la primera

1 F1partcula es: W = ( r

r

1F12 )

drr

El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actan sobre la segunda

2 F2partcula es: W = ( r

r

2F21 )

drrN N r r rWS Wii

(Fi1

Fij )

dri

WS ,ext

WS ,int

El trabajo total de las fuerzas qua actan sobre el sistema de partculas es igual a la suma del trabajo realizado por las fuerzas externas y el trabajo realizado por las fuerzas internas.

Las fuerzas interiores

rF12

ry F21

realizan trabajo siempre que haya un desplazamiento

1212dr12relativo de la partcula 1 respecto de la 2, ya que

drr

drr

d (rr

rr )

r (y nonecesariamente ste es nulo, a no ser que el sistema fuera indeformable).

r

i iConsiderando que Fi

m ar :

N N B r r N 1 1 NWS Wi

mi ai

dri

( 2mi vi (B)

mi vi ( A))2

ECi

ECSi i A 1 1

El trabajo realizado por las fuerzas que actan sobre el sistema de partculas cuando evoluciona entre 2 puntos del campo es igual a la variacin de la energa cintica del sistema.

2.3.2 Energa potencial

La energa potencial es una energa asociada a la configuracin del sistema, y en particular a la posicin de las partculas dentro del campo.

Consideremos que las fuerzas que actan sobre las partculas del sistema son conservativas (el trabajo realizado por la fuerza al desplazar una partcula entre 2 puntos de un campo no depende de la trayectoria que siga la partcula y solo depende de las coordenadas de los puntos inicial y final)

Si las fuerzas que actan sobre el sistema de partculas son conservativas, el trabajo realizado por dichas fuerzas es igual a la diferencia entre la energa potencial inicial y final:

Br r ext

PsintWS FiA

dri WS Ws E

Supongamos que las fuerzas externas son no conservativas:

Ws = Wext + Wint Wext = Ec + Epint =Em

El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energa mecnica del sistema.1.3.4 Conservacin de la energa mecnica de un sistema

Ley de conservacin de la energa mecnica: Si las fuerzas que actan sobre el sistema son conservativas, la energa mecnica del sistema permanece constante.

Considerando que para fuerzas conservativas se cumple que WS = Ec y WS = - Ep :

Ec = - Ep Emf = Emi Em = 0

Si sobre el sistema actan fuerzas no conservativas, el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variacin de la energa mecnica total del sistema.

Em = Wno cons.

1.4 Colisiones elsticas e inelsticas.

Colisin: Es una interaccin entre dos o ms cuerpos que tiene lugar en un intervalo muy corto de tiempo y en una regin delimitada del espacio. Cuando esto ocurre se produce un intercambio de momento lineal y de energa.

Si el impulso debido a las fuerzas exteriores es despreciable ello implica que la cantidad de movimiento (o momento lineal) se conserva y tambin que la energa total se conserva.

Cuando tenemos un choque, adems de una conservacin de la masa, tanto el momento lineal como la energa total se conserva.

Sean dos masas m1 y m2, cuyas velocidades antes del choque son u1 y u2 y despus del choque son v1 y v2 ,, la conservacin de la energa total implica:

Ecinicial + Epinicial = Ec final + Ep final

Si llamamos Q a:

Q = Ec final - Ec inicial = Ep final - Epinicial

Segn los valores de Q podemos hacer una clasificacin de los choques en:

Choque elstico: Cuando Q = 0

1Se cumple el principio de conservacin de la energa. La energa cintica inicial es igual a la final:

1 m u 2

1 m u 2

1 m v 2

1 m v 22 1 1

2 2 2

2 1 1

2 2 2

Choque inelstico: Cuando Q 0

Choque inelstico de primera clase o endorgico: Q < 0. Disminuye la energa cintica y aumenta la energa potencial interna. Choque inelstico de segunda clase o exorgico: Q > 0. Aumenta la energa cintica a expensas de la energa potencial interna.

Cuando hay un choque siempre hay un intercambio de momento lineal entre los dos cuerpos pero no necesariamente un intercambio de energa cintica entre ellos.

Colisiones elsticas:

Se cumple la conservacin del momento lineal y de la energa cintica.

1. Principio de conservacin del momento lineal:

m1 u1 + m2 u2 = m1 v1 + m2 v2

2. Principio de conservacin de la energa cintica (Q = 0).

1 m u 2

1 m u 2

1 m v 2

1 m v 22 1 1

2 2 2

2 1 1

2 2 2

Dadas u1 y u2 (velocidades de las partculas m1 y m2 antes del choque), podemos calcular las velocidades de las partculas v1 y v2 despus del choque:

2m2u2 (m1 m2 )u1

v1m1 m2

2m1u1 (m2 m1 )u2

v2m1 m2

Colisiones inelsticas.

Son aquellas en las que Q 0.

Un caso particular es el de choque perfectamente inelstico, que es cuando los dos objetos tienen la misma velocidad tras el choque.

Un ejemplo es el de un sistema aislado formado por una bala y un bloque contra el que choca, de modo que la bala penetra en el bloque hasta que ambos adquieren la mismavelocidad. En estos choques se conserva el momento lineal (lo que no nos explica el mecanismo por el cual la bala disminuye su velocidad y aumenta la del bloque y tampoco la diferencia de energa cintica inicial y final) (la Ec no se conserva).

Sea m la masa de la bala y M la masa del bloque inicialmente en reposo, la velocidad vf del conjunto bala-bloque despus del choque en funcin de la velocidad v0 de la bala antes del choque se obtiene aplicando el principio de conservacin del momento lineal:

m v0 = (m+M ) vf = (m+M ) vcm

La variacin de energa cintica, de acuerdo al el balance energtico de la colisin, es:

E E E

1 (m

M )v 2

1 mv 2c cf

ci 2

f 2 0

lo que significa que la Ec final es menor que la Ec inicial.

En el caso de un choque inelstico entre una bala y un bloque, si el choque es instantneo, se puede aplicar el principio de conservacin del momento lineal, ya que las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema se anulan.

En el caso de que el choque sea de duracin finita, las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema de partculas no se anulan durante el intervalo de tiempo que dura el choque, por lo que no se puede aplicar el principio de conservacin del momento lineal.

En las colisiones inelsticas no se conserva la energa.

Para medir el grado de elasticidad de una colisin, se recurre al concepto de coeficiente de restitucin, K, que en el caso unidimensional se define como:

K v1 v2u1 u2

y cuyo valor vara entre K = 1 (choque elstico) y K = 0 (perfectamente inelstico).

K es el cociente entre la velocidad relativa de alejamiento y la velocidad relativa de acercamiento de las partculas.

El coeficiente K se ha encontrado experimentalmente en colisiones frontales de dos esferas slidas (como las de las bolas de billar). Esta relacin fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada.(m1 Km2 )u1 m2 (1 K )u2

v1m1 m2

m1 (1 K )u1 (m2 Km1 )u2

v2m1 m2

1.5 Colisiones en tres dimensiones

En el caso tridimensional es importante la naturaleza vectorial de la conservacin del momento lineal. En los casos de choques totalmente inelsticos no presentan problema pero s en los elsticos.

Veamos ahora un choque elstico de esferas (de masas m1 y m2 y radios r1 y r2), en el que se tiene en cuenta las dimensiones, segn se ve en la figura:

Si se denomina parmetro de impacto b a la distancia entre la direccin de la velocidad de la primera esfera u1 y el centro de la segunda esfera (que suponemos inicialmente en reposo, u2 = 0):

1

La conservacin de la cantidad de movimiento del sistema aislado formado por el cohete (de masa m y velocidad v) y los gases expulsados hasta el instante t, (masa m0 - m y velocidad u0) es:

m v - (m0 - m) u0 = 0

Si D es la masa de combustible quemado en la unidad de tiempo, la ecuacin del movimiento del cohete es:

1Luego la variacin del momento lineal del sistema ser:

dp = (m-dm) . (v+dv) + (v-u). dm m . v

que si se desprecian los infinitsimos de orden superior:

dp = m . dv u . dm

Como la definicin general de fuerza dice:

Si el cohete est en el espacio exterior, F es cero, el momento lineal p permanece constante. (F = 0, p = cte , dp = 0).

La variacin del momento lineal con el tiempo es:

Y como la derivada del momento lineal con el tiempo es igual a la fuerza que actasobre el cohete F = - m. g, y que:

Si nos olvidamos por un momento de la estructura interna del sistema y simplemente usamos los valores medidos experimentalmente de U y W, estamos empleando otra rama de la Fsica, la Termodinmica.

As se puede relacionar la temperatura T del sistema con la energa cintica promedio de las partculas en el sistema. Por tanto la temperatura es definida independientemente del movimiento del sistema relativo al observador. La energa cintica promedio de una partcula es:

1 1 2

2NEc ( mi vi )i

donde N es el nmero total de partculas y vi es la velocidad de la partcula en el sistema.

No se necesita indicar aqu la relacin precisa entre la temperatura y la energa cintica promedio. Es suficiente por el momento suponer que, dada la energa cintica promedio en un sistema, se puede calcular la temperatura del sistema, y recprocamente. En este sentido hablamos de la temperatura de un slido, de un gas, etc.

Un sistema que tiene la misma temperatura en todas sus partes, de modo que la energa cintica promedio de las partculas en cualquier regin del sistema es la misma, se dice que est en equilibrio trmico.

En un sistema aislado, cuya energa interna es constante, la temperatura puede cambiar si la energa cintica interna cambia, debido a un cambio en la energa potencial interna. Pero si la energa potencial interna de un sistema aislado permanece constante, que es el caso de un gas contenido en una caja rgida, entonces la energa cintica promedio del sistema permanecera constante, o sea, su temperatura no cambiar.

Cuando el sistema no est aislado, puede intercambiar energa con el resto del universo, lo que puede resultar en un cambio de su energa cintica interna y, por tanto, de su temperatura.

De igual modo se pueden ver nuevos conceptos de trabajo, calor, etc y se puede aplicar a sistemas de muchas partculas como p.e. fluidos (gases, lquidos, etc.)

Trabajo: El intercambio de energa de un sistema con el mundo exterior es representado por el trabajo externo Wext como: U - U0 = Wext

Si el trabajo es hecho hacia el sistema (Wext positivo), su energa interna aumenta, si el trabajo es hecho por el sistema (Wext negativo), su energa interna disminuye. Este trabajo externo es la suma de los trabajos externos individuales hechos en cada una de las partculas del sistema, que a veces puede ser fcilmente calculado estadsticamente.

Un ejemplo es la presin ejercida por un gas dentro de un cilindro en una de cuyas paredes es un pistn movible, explicado como intercambio de energa y de momento lineal con las paredes a travs de los choques e interacciones de sus molculas con las molculas de las paredes.