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3 Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Sistemas de ecuaciones

3.1 Introducción

La resolución de ecuaciones cuadráticas y de algunos tipos sencillos de

ecuaciones cúbicas a través de fórmulas con radicales tiene sus antecedentes en la matemática árabe. Sin embargo, no fue hasta alrededor de 1500 que Scipione del Ferro y Niccolo Tartaglia, independientemente uno de otro, obtuvieron la fórmula para la resolución de la ecuación general de tercer grado, mérito por cierto que se ha atribuido a Geronimo Cardano, pues publicó este resultado en su “Ars magna” rompiendo la promesa hecha a Tartaglia de no darlo a conocer.

En este período se logró también encontrar una fórmula general para la resolución de la ecuación de cuarto grado, pero todos los intentos que hicieron los matemáticos de los siglos XVI, XVII y XVIII para hallar una fórmula para las ecuaciones de grado igual o superior al quinto fueron infructuosos. Precisamente el nombre de raíces a las soluciones de una ecuación, se debe al hecho de que las fórmulas de resolución conocidas o por conocer se expresaban o se pretendían expresar a través de raíces o radicales. La demostración de la imposibilidad de resolver por radicales las ecuaciones generales de grado superior al cuarto fue primero esbozada por Ruffini y con mayor rigor por Niel Henrik Abel en 1824. En el propio siglo XIX Évariste Galois desarrolló una teoría conocida por su nombre que permitió conocer cuáles ecuaciones particulares de cuáles grados son resolubles mediante radicales.

La resolución de ecuaciones se convirtió en un arte y ayudó a perfeccionar la técnica de cálculo, hasta el punto, por ejemplo, de que fue posible calcular el valor de con un gran número de cifras decimales. Los métodos desarrollados hasta ese momento permitieron también resolver otras clases de ecuaciones, digamos fraccionarias, que se reducían a la resolución de los tipos de ecuaciones ya estudiados. Otro tanto ocurrió con las inecuaciones.

Paralelamente, surge en 1718 la primera definición explícita del concepto función por Juan Bernoulli, precisada después por Euler, como expresión analítica en que intervienen en forma arbitraria una magnitud variable, números y magnitudes constantes. Comenzó entonces una etapa donde surgieron preguntas acerca de cuáles curvas o expresiones analíticas podía admitirse que representaban una función, de modo que en el siglo XVIII cuando se hablaba de una función, generalmente se entendía que esta podía expresarse mediante una ecuación algebraica. Tales preguntas ayudaron a precisar el concepto función como se apuntó en la introducción del capítulo 2.

El conocimiento de métodos para resolver nuevas clases de ecuaciones e inecuaciones y el estudio de propiedades de nuevas clases de funciones nos ayuda a que podamos formular y resolver otros problemas de representación de situaciones mediante modelos analíticos y gráficos y viceversa, de interpretación de sistemas de la realidad a partir de modelos dados.

Se entiende por radicales a expresiones formadas por raíces o por raíces que aparecen

como cantidad subradical de otras raíces, como por ejemplo, 3 32baa .