30 de abril de 2015 resoluciÓn de modelos de programaciÓn entera entera/clases... ·...
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Programación Entera José Luis Quintero 1
RESOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN
ENTERAMÉTODOS HEURÍSTICOS
Y RELAJACIONESPostgrado de Investigación de Operaciones
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
30 de Abril de 2015
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Programación Entera José Luis Quintero 2
1. Técnica del redondeo
2. Método heurístico sencillo
3. Relajaciones en PLE
Puntos a tratar
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Programación Entera José Luis Quintero 3
Redondear la solución delproblema de PL a la soluciónentera más cercana puedeproducir soluciones óptimas, noóptimas o no factibles
Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 4
Ejemplo 1. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 5
Ejemplo 1. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 6
Ejemplo 2. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 7
Ejemplo 2. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 8
Ejemplo 3. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 9
Ejemplo 3. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 10
Ejemplo 4. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 11
Ejemplo 4. Técnica de redondeo
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Programación Entera José Luis Quintero 12
1. Técnica del redondeo
2. Método heurístico sencillo
3. Relajaciones en PLE
Puntos a tratar
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Programación Entera José Luis Quintero 13
• Resolver el problema lineal para hallar (si existe)una solución óptima lineal x.
CASO 1. Si la solución es entera, FIN.
CASO 2. Si el problema lineal es infactible, FIN.
• Para cada componente no entera, generarsoluciones al azar como sigue:
• Seleccionar como solución aproximada la mejor delas soluciones factibles generadas.
ix
ii
i
1 con probabilidad xx =
0 con probabilidad 1-x
Una heurística para Programación Lineal Entera 0-1
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Programación Entera José Luis Quintero 14
1. Técnica del redondeo
2. Método heurístico sencillo
3. Relajaciones en PLE
Puntos a tratar
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Programación Entera José Luis Quintero 15
Notación a usar:
F(Q) Conjunto de soluciones factibles
del problema Q
Función objetivo de Q
Valor que toma en x
J Conjunto de variables enteras
QZ
QZ (x)QZ
Relajaciones en Programación Lineal Entera
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Programación Entera José Luis Quintero 16
DEFINICIÓN. Sea P un problema demaximización de PLE, se dice que PR es unarelajación de P si:
a.
b. PR P
F(P) F(PR)
Z (x) Z (x) x F(P)
⊆≥ ∀ ∈
Ejemplos:Relajación LinealRelajación LagrangeanaRelajación por reemplazoDescomposición Lagrangeana
Relajaciones en Programación Lineal Entera
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Programación Entera José Luis Quintero 17
Relajación Lagrangeana
tjP: max c x s.a. Ax b, Bx d, x 0, x entero si j J≤ ≤ ≥ ∈
0λ ≥λ: vector de la dimensión de b. real fijo
t tjPR: max c x (b Ax) s.a. Bx d, x 0, x entero si j J+ λ − ≤ ≥ ∈
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Programación Entera José Luis Quintero 18
{ }
PR
1 2 3
1 1 2 3
2 1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2
max 2x 3x 5x
(8 2x x 5x )
(9 3x x 6x ) s.a.
x 2x 3x 4
x , x , x 0,1 , , 0 fijos
+ + +λ − − − +λ − − −
+ + ≤
∈ λ λ ≥
Ejemplo 5. Relajación Lagrangeana
{ }
P
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
max 2x 3x 5x s.a.
x 2x 3x 4
2x x 5x 8
3x x 6x 9
x ,x ,x 0,1
+ ++ + ≤
+ + ≤+ + ≤
∈
PR es un problema tipo mochila (knapsack problem)
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Programación Entera José Luis Quintero 19
Relajación Lagrangeana
TEOREMA. Sean P un problema de PLE,
un problema de relajación lagrangeana ytal que:
a. es óptimo deb.c.
Entonces es óptimo de P.
, x∗ ∗λ
x∗ P ∗λx F(P)∗ ∈
t(b Ax ) 0∗ ∗λ − =
x∗
Pλ
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Programación Entera José Luis Quintero 20
{ }
P
1 2
1 2
1 2
max 2x x s.a.
x x 1
x ,x 0,1
++ ≤
∈
{ }PR1
1 2 1 2
1 2
max 2x x 2(1 x x ) s.a.
x ,x 0,1
+ + − −
∈
Ejemplo 6. Relajación Lagrangeana
{ }PR2
1 2 1 2
1 2
max 2x x 3(1 x x ) s.a.
x ,x 0,1
+ + − −
∈factibles:
(0,0)
(0,1)
(1,0) óptimo
óptimos: (0,0) , (1,0)
óptimo: (0,0)
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Programación Entera José Luis Quintero 21
{ }
P
1 2
1 2
1 2
max 2x x s.a.
x x 3 /2
x ,x 0,1
++ ≤
∈{ }
PR
1 2 1 2
1 2
max 2x x 2(3 /2 x x ) s.a.
x ,x 0,1
+ + − −
∈
Ejemplo 7. Relajación Lagrangeana
factibles:
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1) óptimo
óptimos: (0,0) , (1,0)
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Programación Entera José Luis Quintero 22
Relajación por reemplazo (Surrogate relaxation)
tjP: max c x s.a. Ax b, Bx d, x 0, x entero si j J≤ ≤ ≥ ∈
0µ ≥μ: vector de la dimensión de b. real fijo
t tjPR : max c x s.a. (Ax b) 0, Bx d, x 0, x entero si j Jµ − ≤ ≤ ≥ ∈
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Programación Entera José Luis Quintero 23
{ }
PR
1 2
1 2
t
1 21 2
1 2
1 2
max 2x 3x s.a.
x 2x 4
2x x 31 06x x 8
4x 2x 51 0
x ,x 0,1
++ ≤
+ − ≤ ⇒ − ≤ − −
∈
Ejemplo 8. Relajación por reemplazo
{ }
P
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
max 2x 3x s.a.
x 2x 4
2x x 3
4x 2x 5
x ,x 0,1
++ ≤
+ ≤− ≤
∈
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Programación Entera José Luis Quintero 24
Descomposición Lagrangeana
tjP: max c x s.a. Ax b, Bx d, x 0, x entero si j J≤ ≤ ≥ ∈
t t
j k
P̂ : max c x c y s.a. Ax b, By d, x y, 1
x 0, x entero si j J, y entero si k J , reales fijos
α + β ≤ ≤ = α + β =≥ ∈ ∈ α β
P y son problemas equivalentes P̂
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Programación Entera José Luis Quintero 25
Descomposición Lagrangeana
t t t
j k
PR: max c x c y (y x) s.a. Ax b, By d, 1
x 0, x entero si j J, y entero si k J , reales fijos
α + β + λ − ≤ ≤ α + β =≥ ∈ ∈ α β
t t t t
j k
PR : max c x x max (1 )c y y s.a.
Ax b, By d,
x 0, x entero si j J, y entero si k J
real fijo
α − λ + − α + λ≤ ≤
≥ ∈ ∈
α
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Programación Entera José Luis Quintero 26
Relajaciones en Programación Lineal Entera
TEOREMA. Sean P un problema de PLE (casomax) y PR una relajación:
a. Si entonces .b. Si y acotado, entonces existe
una solución óptima para PR y.
c. Suponga . Si es óptimoen PR y entonces es óptimoen P.
F(PR) = ∅ F(P) = ∅F(PR) ≠ ∅
v(PR) v(P)≥
Z(PR) Z(P)≡ x∗
x F(P)∗ ∈ x∗
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Programación Entera José Luis Quintero 27
Pensamiento de hoy
“Todo el mundo desea saber, peropocos están dispuestos a pagar elprecio”.
Juvenal