3°-vectores iii

50

VECTORES EN EL PLANO CARTESIANO

Ren Descartes, filsofo y matemtico francs (1596 - 1650) fundamenta su pensamiento filosfico en la necesidad detomar un punto de partida sobre el que construir todo el conocimiento: Pienso luego existo. En matemticas es el creadorde la geometra analtica, construida tambin tomando un punto de partida y dos rectas perpendiculares que se cortanen ese punto, es el denominado sistema de referencia cartesiano.

Para poder trabajar con comodidad en el sistema de referencia cartesiano, trabajaremos con los vectores unitarios(i, j) que nos permitirn desplazarnos con comodidad en este sistema.

+j+i

-j

-i

+Y

-Y

+X-X

SegundoCuadrante

PrimerCuadrante

TercerCuadrante

CuartoCuadrante

ordenada

abscisa

4VECTORES IIICAPTULO

3RO DESECUNDARIA

FSICA3RO DE SECUNDARIA

51

Ejemplo:

y

xA5cm

y

xB 3cm

y

x

D

6cm

5cmC

A = 5i B

= 3j

_C = -6i

_

D

= -5j_

Graficar:

A = -2j B

= 5i C

= 6j

y

x

y

x

y

x

Observacin:

Un vector tambin puede expresarse como la combinacin de i , j.

a

b

A = ai + bj

A

a

b

A = a + b22

Ejemplo:

1. E

= 2i + 3j

E

3

1 2

1

22 2| E | 2 3

| E | 13


52

2. D

= = -2i + 2j

D

- 1- 2

2

12 2| D | ( 2) 2

| D | 2 2

3. A

= 4i - 5j

A

21 3 4

1

234

5

2 2| A | (4) ( 5)

| A | 41

4. Graficar los siguientes vectores:

* F

= 4i + 3j* G

= -2 + 2j

* M

= -5i - 4j* P

= 3i - 4j

654321

-1-2-3-4-5-6

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1


53

5. Expresar los siguientes vectores en funcin de sus componentes i, j.

F

F = _____________

g C

g = _____________ C = _____________

B

B = _____________

A

A = _____________

Clculo del vector Resultante ( R )

Dados dos vectores: A

= a i + b j y

B

= c i + d j

Siendo R

= A

+ B

se cumple : R

= (a+c) i + (b+d ) j

Ejemplo : Calcular la resultante de:

a) B

= 2 i 3j b) A

= -5 i

+ 4 j

c) E

= -4 i

+ 6 j

C

= 4 i + 5 j B

= 3 i + 2 j A

= -6 i + 3 j

R

= B

+ C

R

= A

+ B

C

= 5 i

- 8 j

R

= ..................... R

= ..................... R

= A

+ E

+ C

R

= .....................


54

Ejemplo 1: Calcular y graficar la resultante de los siguientes vectores.

A

B

Desarrollo

A

= 5i + 4j R = A + B = -i + 6jB

= -6i + 2j

Ejemplo 2: Calcular del grfico la resultante de los siguientes vectores.

F

G

E

y

x

Desarrollo

E =F =G =

R =

R

6

1

y

x

y

x


55

PractiquemosBloque I

1. Hallar la expresin vectorial en cada caso.Ejemplo:

A

y

x2cm

A

= 2j

B

y

x3cm B

=

C

y

x6cm

C

=

D

y

x4cm

D

=

E

y

x2cm E

=

F

y

x5cm

F

=

P

y

x8cm

P

=

2. Graficar en el sistema x - y los siguientes vectores.

A = 5i E

= 2i + 3j

B = - 4j F

= - 4i + 2j

C = -2i P

= 3i - 3j

D = 6j Q

= -5i - 2j

3. Determinar el mdulo de los siguientes vectores.

A = 3i + 4j E

= -6i + 4j

B = 2i + j F

= - 2i - 3j

C = 4i - 3j P

= 3i + 5j

D = i + 3j Q

= -4i + 2j


56

4. Expresar los siguientes vectores en funcin de suscomponentes.

B

A

DC

A

= ..................................

B

= ..................................

C

= ..................................

D

= ..................................

* Determinar la expresin vectorial de los siguientesvectores.

5.

A

3

3

A

= ..........................

6.

B

5

5

B

= ..........................

7.

C

3

2

C

= ..........................

8.

D

4

4D

= ..........................

9.

E

3

3

E

= ..........................

10.

4

3

E

= ..........................

Bloque II

1. Dados los vectores, hallar la resultante.

A

= 2i + 3j B

= 5i - 2j C

= i + 4j

2. Para los siguientes vectores, hallar la resultante.

D

= 3i + 2j E

= -2i + 5j F

= 6i - 3j

3. Dados los siguientes vectores, hallar:

S

= A

+ B

- C

, si:

A

= 6i + 3j B

= 4i - 4j C

= 2i - 3j


S

= D

- E

+ F

, si

D

= 5i + 2j E = -3i + j F

= 2i + 4j


S

= 2A

+ B

- C

, si

A

= 3i + 4j B

= 2i + 6j C

= i + 3j


S

= A

+ 3B

- 2C

, si

A

= 6i - 2j B

= 2i + 3j C

= 5i - 4j


57


S

= 2A

- 4B

+ C

, si

A

= 3i - j B

= 2i + 6j C

= i - 3j

Calcular y graficar la resultante de los siguientes vectores.

8.

9.

A

B

E = ...........................

F = ...........................

R = ...........................

FE


58

10.

Bloque III

* Determinar la expresin vectorial de los vectores que tienen como origen el punto A y de extremo el punto B.

1. A(1;3) B(5;3)

2. A(4;4) B(2;2)

3. A(1;0) B(2;2)

* Segn los vectores mostrados:

4. Hallar la expresin vectorial de:

A

= ..............................

B

= ..............................

5. Calcular y graficar la resultante de los dos vectores.

Rpta.: ................................

2 5

4

-3

A

B

BA

C

A = ...........................

B = ...........................

C = ...........................

R = ...........................


59

* Hallar la expresin vectorial en cada caso.

1.A

3cm 2.B 4cm

3. C5cm

A =...................... B

= ...................... C

= .......................

4.

D

y

x

6cm

5. E2cm

3cmF

D = ....................... E

.......................

F .......................

Tarea domiciliaria

* Graficar en el sistema x - y los siguientes vectores ycalcular el mdulo.6.

A = 3i + 4j 9. M

= -5i + 2j

7. F = 3i - 4j 10.C

= -4i + 7j

8. Q

= 8i - 10j

* Dados los vectores, hallar la resultante.

11. A

= 3i B

= 4j12. A

= 3i + 3j B

= -3i - 3j

13. E

= -3i + 2j F

= 4i + 2j G

= 3i - 3j14. D

= 3i + 2j E

= -2i + 5j F

= 6i - 3j

15.Dado los siguientes vectores, hallar:

M

= D

- E

+ F

D

= 5i + 2i E

= -i + 3j F

= 3j* De los siguientes vectores:

16.Hallar la expresin vectorial para los vectores A By C.

17. Calcular y graficar la resultante de los 3 vectores.

Rpta: .............................

* Calcular la resultante de:

18. A

= 3i - 2j

B

= 2i + 2j

S

= A

- B

19. E

= 2i

F

= 2i + 2j

G

= -3i - 3j

M

= 2E

- F

+ G

20. E

= 4i + 3j

F

= 2j

G

= i + j

N

= E

+ F

- 3G

B

5 4

4

4

2

2 A

C

3°-vectores iii

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