Mg. Carlos De Souza FerreyraLLaque

Definición de Algunos tipos de matrices Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su

utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1Xn.

Ejemplo

11 12 13 11 12 132 3 5 = a a a ; a =2, a =3, a =5 A

Matriz columna:

Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x1.

Ejemplo

11

21 11 21 31

31

a 4

6 = a ; a =4, a =6, a =-1

-1 a

A

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos

casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, ó n x n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz

cuadrada, y los elementos aijcon j=i+1la diagonal secundaria.

Ejemplo

3 6 7

5 8 5

-1 0 4

B

, los elementos de la diagonal principal son 3, 8 y 4, los elementos de la

diagonal secundaria son 6 y 5

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se

obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la

segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nx m.

Ejemplo

Matriz simétrica:

Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji ,i j .

Ejemplos

Matriz antisimétrica:

Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji ,i j .

Esta implica que aii =0 i

Ejemplos

Atendiendo a los elementos

Matriz nula Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplos

La matriz

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

es la matriz nula de orden 3.

La matriz0 0 0 0

00 0 0 0

es la matriz nula de orden 2x4

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal

principal son nulos.

Ejemplos

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplos

Matriz unidad o identidad:

Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Ejemplos

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de

la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij

Ejemplo

matriz triangular superior

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir,

aij

Ejemplos

matriz triangular inferior.

Propiedades de la trasposición de matrices 1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2. (At)t = A.

3. (AB)t=Bt At

4. (AB…C)t = Ct…Bt At

Propiedades del producto de matrices

1.A·(B·C) = (A·B)·C

2.El producto de matrices en general no es conmutativo.

Ejemplo

1 1 1 2 4 6

5 3 3 4 14 22

y

1 2 1 1 11 7

3 4 5 3 23 15

Los resultados son diferentes, aunque puede haber casos en donde si sean

iguales.

3.Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.

In es la matriz identidad de orden n.

4.El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es

decir: A·(B + C) = A·B + A·C

1. (AB)t=Bt At

2.(AB…C)t = Ct…Bt At

Consecuencias de las propiedades

1.Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0.

Ejemplo

2.Si A·B=A·C no implica que B = C.

Ejemplo

El resultado de ambos productos es la matriz 0

3.En general (A+B)2 A2 + B2 +2AB, ya que A·B B·A.

4.En general (A+B)·(A–B) A2–B2, ya que A·B B·A.

Matriz periódica

Sea Anxn se dirá que A es una matriz periódica de periodo p, si p es el menor entero positivo

talque Ap+1 = A

Ejemplo

1 0 0

1 0 0

1 0 0

A

es periódica de periodo 2, porque 2 3, A A pero A A ,

3 = p+1 , entonces p=2

Observación: La secuencia de las matrices 2 3 4 5 6, , , , , ,...... A A A A A A

Será 2 2 2, , , , , ,...... A A A A A A

Matriz Idempotente

Sea Anxn se dirá que A es una matriz Idempotente Si 2A A , esto es si A es una matriz

periódica de periodo 1.

Ejemplo

1 0 0

1 0 0

1 0 0

A

, 2A A , esto hace que 3A A , 4A A

Observación: La secuencia de las matrices 2 3 4 5 6, , , , , ,...... A A A A A A

Será , , , , , ,...... A A A A A A

Matriz nilpotente Sea Anxn se dirá que A es una matriz nilpotente de índice p, si p es el menor entero

positivo talque Ap=0, nota Ap-1 0

Ejemplo

1 5 -2

1 2 -1

3 6 -3

A

Es nilpotente de índice 3,

2 3

0 3 -1 0 0 0

0 3 -1 0, 0 0 0 0

0 9 -3 0 0 0

A A

Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada A es ortogonal si A At = I ó si At A= I

Nota: A At = I AtA= I

Ejemplo2 -11

1 25A

,

Matrices conmutables

Dos matrices cuadradas del mismo orden A y B son conmutables si AB=BA

Ejemplo

1 1 2 1/ 3

3 4 1 3A B

1 1 2 1/ 3 3 10 / 3

3 4 1 3 10 13

2 1/ 3 1 1 3 10 / 3

1 3 3 4 10 13

Entonces

1 1 2 1/ 3 2 1/ 3 1 1

3 4 1 3 1 3 3 4

AB BA

Matrices anticonmutables

Dos matrices cuadradas del mismo orden A y B son anticonmutables si

AB = - BA