matemáticas

3

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Diseño de la serie

Coordinación de diagramación

Diagramación

Coordinación de iconografía e imagen

Iconografía

Ilustración

Fotografía

Digitalización y retoque

Producción

Elisa Bonilla Rius

Felipe Ricardo Valdez González

Ernesto Manuel Espinosa Asuar

César Jimenez Espinosa, Abelardo López Trujillo, Verónica Ruiz Molina

Pedro Cervera, Edgar García

Claudio Francisco Nebbia Rubio

Abdel López Cruz

Equipo SM, Angélica Monroy

Quetzatl León Calixto Brenda López Romero

Juan Bernado Rosado, Rafael Tapia Yáñez/Equipo SM

Jesús Arana

Aldo Botello, Ana María Castañeda, María Elena Amaro, Angélica Gutiérrez Rojo

Ricardo Tapia García

Miguel Gerardo Álvarez, Ricardo Tapia, Equipo SM

Carlos León, Sergio Salto

Archivo SM, Raúl Barajas, foto de portada© 2011, Thinkstock

Carlos López, Ernesto Negrete

Carlos Olvera, Teresa Amaya

Matemáticas 3Secundaria, tercer gradoSerie EncuentroPrimera edición, 2009Segunda edición, 2011D.R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011Magdalena 211, Colonia Del Valle,03100, México, D.F.Tel.: (55) 1087 8400www.ediciones-sm.com.mx

ISBN 978-607-471-837-9

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro número 2830

No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio,ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos,sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V.Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México/Printed in Mexico

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Presentación

Para alumnas y alumnos

La obra que tienes en tus manos fue concebida con el propósito de acompañar tu proceso

de aprendizaje en este curso de matemáticas. Hasta este momento, no sólo has adquirido

conocimientos, también has desarrollado una capacidad de razonar y resolver problemas

que, sin duda, ha sido muy importante en tu vida escolar y personal.

Matemáticas 3 será el apoyo que necesitas para continuar tu proceso de aprendizaje

y reforzar las bases matemáticas que te permitirán abordar con seguridad futuros

retos académicos.

Tu libro está organizado en cinco bloques, los cuales a su vez se dividen en lecciones.

Cada lección presenta los conceptos matemáticos básicos de manera sencilla y oportuna.

Los conceptos se trabajan y fortalecen a partir de actividades variadas, interesantes

y relacionadas con situaciones reales, que fueron diseñadas para llevarse a cabo tanto en

forma individual como colectiva.

Al inicio de cada bloque, encontrarás la sección "Antes de empezar", mediante la cual

podrás recuperar y ejercitar tus conocimientos previos, que son la base para abordar

los nuevos contenidos. Al final, hallarás una sección de repaso, así como un estudio

de caso, en el que tendrás la posibilidad de aplicar tus nuevos conocimientos en una

situación concreta.

Matemáticas 3 será tu mejor aliado en el curso que hoy empieza.

Para el profesor

En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los

elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en

la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes

esperados con tres innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.

• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación

de las lecciones considerando la carga horaria del programa vigente;

• para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y

habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y

seguimiento; y

• para la evaluación final, enriquecimos el libro con reactivos de opción múltiple

que le permitirán detectar, por bloque, el nivel de logro de los aprendizajes

esperados en sus alumnos.

Espero que la obra que tiene en sus manos se convierta en el apoyo que necesita para

desempeñar de la mejor manera su trabajo a lo largo del presente ciclo escolar.

El autor

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BLOQUE 4

Aprendizajes esperados:

1 Representar algebraicamente el término general, lineal

o cuadrático, de una sucesión numérica o con figuras.

2 Resolver problemas que implican el uso del teorema

de Pitágoras y razones trigonométricas.

3 Resolver problemas que implican el uso de procedimientos

recursivos, tales como el crecimiento poblacional

o el interés sobre saldos insolutos.

¿Cómo puede calcularse el costo del edificio de la fotografía en los próximos años?

¿Cómo puede determinarse la longitud

de las escaleras?

¿Puede descubrirse alguna regularidad en las figuras de los decorados?

bloque 3

F

C

A B

D

E

Antes de iniciar

Relaciona

140

El teorema de Tales

Tales de Mileto es considerado uno de los filósofos más importantes de su

época, así como astrónomo y padre de las matemáticas. Nació alrededor

del año 640 antes de nuestra era (a.n.e.) en Mileto, Asia Menor (ahora

Turquía) y falleció alrededor del 560 a.n.e. en el mismo sitio. Su fama se

debe a aportaciones como la predicción de un eclipse total de Sol y a la

formulación del teorema que lleva su nombre.

Se dice que en uno de sus viajes a Egipto calculó la altura de la pi-

rámide de Keops valiéndose de las sombras que se proyectaban en el

suelo, tanto de la pirámide como la de su bastón, pero, ¿cómo lo hizo?

Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente en la Tierra, los rayos del

Sol, la altura de la pirámide y su sombra forman un triángulo rectángulo

que es semejante al triángulo rectángulo formado por el bastón y su sombra.

Observa la imagen siguiente. El triángulo formado por lo segmentos AB,

BC y los rayos del Sol es semejante al formado por los segmentos DE,

EF y los rayos del Sol. Entonces, los segmentos AB, BC, DE y EF son

proporcionales, por lo que cumplen la siguiente igualdad:

AB

BC = DE

EF

1. ¿Cuál es la altura de un edificio si a 12 m de distancia se refleja la sombra

de un árbol que mide 5 m y cuya sombra mide 3 m?

2. ¿Qué otros datos podrías calcular a partir del teorema de Tales?

3. Consulta el siguiente video para que continúes familiarizándote con este

importante teorema: www.e-sm.com.mx/ENCMAT3-03-01

Pirámide de Keops

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Conoce tu libro

Te presentamos un panorama de lo que encontrarás en tu libro

Antes de iniciar

Esta página está diseñada para que recuperes y ejercites los conocimientos que has adquirido en grados anteriores, gracias a una serie de ejercicios y preguntas con problemas y situaciones reales.

Entrada de bloque

Las dos páginas de esta sección tienen la finalidad de introducirte a los contenidos programáticos del bloque. Contiene preguntasy ejercicios que despertarán tu interés, así como una lista con los aprendizajes que se espera que logres a través del estudio de cada bloque.

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bloque 1

Lección 1

Explora

En grupo

Individual

21

Estructura

Productos algebraicos

1. Observa la figura y contesta.

a) ¿Cuál es el área del cuadrado rojo? b) ¿Cuál es el área del rectángulo azul? c) ¿Cuál es el área de toda la figura? Compara la respuesta de la última pregunta con la de tus compañeros

y compañeras. ¿Encontraron expresiones escritas en forma distinta?

Existen dos formas de calcular el área de la figura anterior. Una es sumar el

área del cuadrado izquierdo y del rectángulo derecho que la componen, y

otra es sumar a y b para obtener la medida de la base, y luego, multiplicarla

por la altura. Estos dos métodos nos dan expresiones que se escriben de

manera distinta, pero que son equivalentes. Mientras el primero nos da la expresión a2 + ab, el segundo nos da a(a + b).

En segundo grado aprendiste a multiplicar expresiones como a(a + b). Hazlo

en tu cuaderno.Como puedes observar, la primera expresión se obtiene al desarrollar el

producto de la segunda. ¿Puedes obtener la segunda expresión a partir de

la primera con algún método?Hay muchas formas de escribir una misma expresión algebraica, y, según

el problema, unas son más convenientes que otras. Mientras más simple es

una expresión, es más fácil de memorizar, de usar y de evaluar. Identificar

los factores comunes nos permite pasar de una expresión a otra equiva-

lente más compacta.

a

b

a

entras más simple es emorizar, de usar y de evaluar. Identificar

ores comunes nos permite pasar de una expresión a otra equiva-

lente más compacta.

bloque 1

Lección 1Lección 1

Conocimientos y habilidades

En grupo

Individual

En pareja

23

3. En parejas, anoten dos expresiones algebraicas para expresar las áreas

de las figuras. Simplifiquen cuando sea posible.

a)

b)

expresiones

c)

d)

e)

expresiones

4. La última expresión es muy común y merece especial atención. Escribe

expresiones para el área de cada pedazo, puedes ver que hay dos que se

repiten, lo cual te permite simplificar la expresión del total. ¿Cuál es la

expresión más compacta que puedes obtener?

Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras de grupo.

expresiones

1.1. Efectuar o simplificar cálculos

con expresiones algebraicas

tales como:

(x + a)2; (x + a) (x + b);

(x + a) (x – a).

Factorizar expresiones algebraicas

tales como:

x2 + 2ax + a2;

ax2 + bx;

x2 + bx + c;

x2 – a2.

Reafirma y profundiza

Recuerda

Aplica correctamente las reglas de los

signos para la multiplicación.

a

a

a

b

b

b

x

x2

x

x

y

y

a

3

4

4

2

3

2

expresiones

expresiones

Estructura

Aquí se explican y ejemplifican los pasos a seguir para resolver los problemas planteados.

Explora

Cada lección posee el desarrollo de los contenidos programáticos de la asignatura. Éstos están divididos en tres aspectos, el primero corresponde a “Explora”, donde se plantean los contenidos y problemas para su resolución.

Reafirma

y profundiza

En esta sección efectuarás más ejercicios para consolidar tu aprendizaje.

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bloque 1

Lección 1Lección 4

Conocimientos y habilidades

Individual

35

1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

4. Calca los siguientes triángulos en dos hojas de papel que puedas recortar:

a) Recorta los triángulos y contesta: i) ¿Cuántos cuadriláteros distintos puedes formar uniendo dos triángulos iguales del primer tipo? ii) ¿Cuántos uniendo dos triángulos del segundo tipo?

iii) ¿Cuántos uniendo dos triángulos del tercer tipo? iv) ¿Por que son diferentes estas dos cifras? Comenta con tus

compañeros y compañeras. b) Puedes clasificar los cuadriláteros que formaste en categorías, según

si tienen simetría central y/o simetría axial. i) ¿Qué características comunes comparten los triángulos que tienen simetría axial sobre alguna de sus diagonales?

ii) ¿Y los que únicamente tienen simetría central?

iii) ¿Hay alguno que no tenga simetría? iv) ¿Qué características crees que tiene que cumplir un cuadrilátero

para tener simetría central o axial?

v) ¿Y para estar formado por dos triángulos congruentes?

Reafirma y profundiza

RecuerdaRecuerda que la simetría central es cuando, al girar 180° una figura, ésta se ve igual. La simetría axial es cuando, al reflejar una figura, ésta no cambia.

ObservaEn los cuadriláteros cóncavos, una diagonal está fuera del cuadrilátero y otra, dentro.

gruentes?

bloque 3

Para reforzar

Repaso

34

17z

z

2

y

x

196

1. Contesta.

Una alberca con capacidad para 1 millón de litros tiene una bomba que

saca 15 litros por minuto.

a) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciar la alberca (días, horas, minutos

y segundos)?

b) Se coloca otra bomba que en el primer minuto saca 1 litro; en el

segundo minuto saca 2 litros, en el tercer minuto saca 4 litros, y así

sucesivamente.

¿Cuánto tiempo aproximadamente tardará en sacar el agua esta

segunda bomba?

c) Si se encienden ambas bombas, ¿cuánto tiempo tardarán?

d) Propón una relación funcional de la primera bomba, en donde

se indique el número de litros que hay en la alberca por minuto

después de encenderla.

e) Propón una relación funcional de la segunda bomba, en donde se

indique el número de litros que hay en la alberca en cada minuto.

f) Combina las dos relaciones funcionales anteriores para poder decir

la cantidad de litros que hay en la alberca en cada minuto si las dos

bombas están funcionando al mismo tiempo.

g) Haz en tu cuaderno tres gráficas que representen las relaciones

funcionales anteriores.

2. Traza un segmento en tu cuaderno y divídelo en dos partes de tal forma

que la razón entre una parte y la otra sea 11

13.

3. ¿Cuáles son los valores de x, y y z en el siguiente dibujo?

x =

y =

z =

Conocimientos

y habilidades

Siempre acompañando a cada una de las lecciones se encuentra esta pequeña cápsula que te informa sobre los contenidos programáticos de la asignatura.

Recuerda

Es una pequeña cápsula que te apoyará con información conceptual, necesaria para la resolución de los problemas que se plantean en el texto.

Observa

Se te presentan datos curiosos de las matemáticas, cuyo propósito es apoyarte en el desarrollo y aplicación de los contenidos.

Para reforzar:

Esta sección se divide en:

Repaso

Aquí, podrás aplicar y comprobar los conocimientos que adquiriste, resolviendo una serie de problemas y ejercicios relacionados con los contenidos del bloque.

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bloque 3Para reforzar

Estudio de caso

198

Tapando la Torre Eiffel con su copiaUn cambio de escala consiste en crear una representación idéntica del

modelo original, pero de diferente tamaño, ya sea más grande o más chico.

Por ejemplo, muchos hemos visto alguna vez un modelo “a escala” de la

Estatua de la Libertad, o la maqueta del Centro Histórico de la Ciudad de

México que se encuentra en exhibición en la estación Zócalo del metro

capitalino. Quizá alguna vez hayamos visto imágenes de pinturas famosas

como la Mona Lisa o La Última Cena idénticas a las originales, pero más

pequeñas o más grandes.Como ya sabes, la escala es la proporción a la que se encuentra un objeto con

respecto a otro idéntico. Por ejemplo, en los catálogos de joyería, cuando se

lee bajo las fotografías la leyenda “La imagen está a tamaño real” significa

que la joya de la fotografía esta en escala 1:1 con respecto a la joya real. Una

escala 1:2 indica que las medidas reales del objeto o figuras deben dividirse

entre 2, es decir que la copia es una reducción del original. Una escala 2:1,

al contrario de la anterior, indica que hay que multiplicar todas las medidas

por 2, aumentando, de esta forma, al doble el tamaño del objeto o imagen.

El tamaño de las cosas no es arbitrario y muchas veces está determinado

por su forma. Al momento de escalar un objeto plano, si se duplican las

dimensiones lineales, sus longitudes se duplican, pero su área se cuadriplica.

Si además el objeto tiene volumen, éste se multiplica por ocho.

De esta forma, podemos ver que, si la estatua grande es dos veces más

alta que la pequeña, entonces tiene ocho veces más volumen (2 al cubo)

y, por lo tanto, su peso aumenta ocho veces. Por el contrario, su área sólo

aumenta 4 veces (dos al cuadrado).

bloque 4Para reforzar

bloque 4Para reforzar

Museo de las matemáticas Pasatiempo matemático

254 255

A continuación, se te presentan tres formas de ver por qué el teorema de Pitágoras es verdadero. Para realizar este pasatiempo, puedes formar equipos para comentar cada uno de los dibujos, fijándose en qué tienen que ver con el tan famoso teorema.

a2 + b2 = c2

Dibujo 1

Dibujo 2

Dibujo 3

El lado oscuro del

teorema de Pitágoras

Los pitagóricos eran una organización griega de astrónomos, músicos, matemáticos y filósofos, que creían que todas las cosas eran, en esencia, números. Las enseñanzas de los pitagóricos se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado fundador de la escuela. La historia le atribuye a la escuela pitagórica la demostración del teorema de Pitágoras y, como consecuencia, el descubrimiento de los números irracionales que contra-decían la doctrina básica de la escuela: habían descubierto que existían números “inexpresables”, como √2 , que no eran ni enteros ni fraccionarios. Se cuenta que los pitagóricos trataron de guardar el secreto de tan grave

asunto a tal grado de arrojar al mar a Hipasus, uno de los miembros de la escuela, que intentó divulgarlo.

La cultura china también tuvo trabajos relaciona-dos con las matemáticas, y uno de los libros más influyentes fue el Jiu Zhang Suan Shu que significa Nueve capítulos sobre el arte de las matemáticas. La obra es una recopilación de 246 problemas prácticos de agrimensura, ingeniería, tasa de impuestos, etc. También, contiene ecuaciones resueltas con dos o más incógnitas y, en los capítulos finales, pre-senta las propiedades de los triángulos rectángulos incluyendo el teorema “Gou-Gu” conocido en occidente como teorema de Pitágoras.

La versión más conocida de esta obra es del siglo ii a.n.e., pero se piensa que contiene algunos de los resultados de la antigua matemática china, la cual data del siglo xii a.n.e.

En la India, las matemáticas comenzaron a de-sarrollarse en tiempos muy remotos. Ya en los libros religiosos de los siglos vii y viii a.n.e., se proponían construcciones geométricas de templos y altares donde se aplicaba el teorema de Pitágoras y se planteaba la cuestión de la cuadratura del círculo.

Así, podemos ver que el teorema de Pitágoras ha existido desde mucho antes que los griegos pisaran la tierra, aunque a ellos les atribuimos su correcto desarrollo y explicación.

Timbre postal griego con el teorema de Pitágoras.

Estudio

de caso

El estudio de caso está diseñado exclusivamente para que apliques la resolución de diversos problemas matemáticos en la vida real y en el entorno en que vives.

Museo de

las matemáticas

Te presentamos la vida y la obra de un personaje histórico, cuya importancia reside en las inestimables aportaciones hechas al conocimiento matemático.

Pasatiempo

matemático

La resolución de problemas matemáticos no debe resultarte tan seria; en esta sección, aplicarás tus conocimientos, pero de una manera más lúdica y divertida.

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bloque 1 Evaluación

Base 1

Altura

Base 2

x 5

x

5

Resuelve esta autoevaluación y repasa las lecciones donde de-tectes dificultades.

1. Observa el siguiente cuadrado construido a partir de rectángulos y otros cuadrados:

¿Cuál es la representación del área de la figura completa? a) (x + 5)2

b) (x2 + 5x + 25) c) (x + 5) (x – 5) d) (x2 + 52)

2. La expresión x2 + xy representa el área de la siguiente figura compuesta, ¿cuáles son sus medidas? a) Altura = x, Base 1= y, Base 2= x. b) Altura = x, Base 1= x, Base 2= y. c) Altura = y, Base 1= y, Base 2= x. d) Altura = y, Base 1= x, Base 2= x.

3. Al multiplicar dos números el resultado es -10 y al sumarlos es -3. Selecciona la relación correcta:

a) Ambos números son de signo idéntico y el mayor es el doble más uno del menor.

b) Los números tienen signos contrarios y el mayor es el doble más uno del menor.

c) Ambos números son de signo idéntico y el menor es el doble más uno del mayor.

d) Los números tienen signos contrarios y el menor es el doble más uno del mayor.

4. Una de las siguientes afirmaciones es verdadera, ¿cuál es? a) Si un cuadrilátero tiene simetría central entonces sus ángulos son iguales. b) Si un cuadrilátero tiene simetría central entonces sus ángulos

opuestos son complementarios. c) Si un cuadrilátero tiene simetría axial entonces todos sus ángulos opuestos son iguales.

d) Si un cuadrilátero tiene simetría axial entonces sus ángulos opuestos por el eje son iguales.

5. Una de las siguientes afirmaciones es falsa ¿cuál es? a) Los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo son iguales. b) Los ángulos adyacentes de cualquier paralelogramo son suplementarios. c) Todo paralelogramo queda dividido en dos triángulos isósceles al

partirlo por cualquiera de sus diagonales. d) Todo paralelogramo queda dividido en dos triángulos congruentes al partirlo por cualquiera de sus diagonales.

82

ángulos opuestos de cualquier paralelogramo son iguales.b) Los ángulos adyacentes de cualquier paralelogramo son suplementarios.c) Todo paralelogramo queda divididpartirlo por cualquid)

bloque 1

Evaluación

3.5 3.53

610

5

a)b)

c)

6. En el dibujo de la derecha hay una recta AB y una circunferencia.

Basándose en la construcción, ¿cuál de las siguientes oraciones es afirmativa?

a) La recta es tangente al círculo, puede apreciarse a simple vista.

b) La recta puede ser tangente o no al círculo, faltan datos.

c) La recta no es tangente al círculo ya que el ángulo en P no es el

correcto.

d) La recta no es tangente al círculo ya que el ángulo en O tiene que

ser recto.

7. Observa el dibujo. Si cada futbolista tira un cañonazo a ras del piso a una

portería sin portero desde su posición actual, ¿cuál de todos tiene mayor

probabilidad de anotar?

a) Todos tienen la misma probabilidad de anotar.

b) El 1°, por estar más cerca de la portería.

c) El 2°, por estar justo de frente y tener mejor ángulo de tiro.

d) El 3°, por tener mejor ángulo de tiro que el primero y estar más

cerca que el segundo.

8. ¿Cuál de las siguientes coronas tiene mayor área? (Están dibujadas con

escalas diferentes.)

a) La corona a).

b) La corona b).

c) La corona c).

d) Las 3 tienen la misma área.

9. Para enfriar un vidrio moldeado a 992 grados Celsius, se baja la tempe-

ratura del horno durante 8 días hasta 120 grados, si se hiciera más rápido

el vidrio se cuartearía y si se hiciera más lento saldría más caro el proceso.

¿Cuál es la razón de cambio al expresar la temperatura en términos del

tiempo?

a) 109

b) –109

c) 139

d) –139

10. ¿Qué tipo de dato se representa mejor con la siguiente gráfica?

a) Datos cuantitativos de una muestra del 100%.

b) Porcentajes.

c) Datos cuantitativos de una muestra cualquiera.

d) Todos los anteriores.

A

P

O

B

31º

1º

2º

3º

60º

83

Evaluación

En esta sección encontrarás reactivos de opción múltiple, que te permitirán identificar el nivel de logro de los conocimientos que adquiriste durante el bloque.

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Orientaciones didácticas

Para lograr los propósitos del curso, es necesario generar un ambiente de trabajo

adecuado para el estudio grupal, el análisis y el diálogo sobre los razonamientos

generados en cada lección. La forma de trabajo que el profesor establezca en el aula

y el clima de colaboración, responsabilidad y respeto que se propicie en la relación

alumno-alumno y docente-alumno permitirá un mejor desarrollo en las actividades.

A continuación se presentan algunas sugerencias para el desarrollo del curso:

Es conveniente que comente con los alumnos la relación que hay con las demás

asignaturas y, en su caso, con la vida del estudiante.

Deben revisarse las principales conclusiones y conocimientos generados en el curso

anterior para el correcto aprovechamiento del material; de esta forma, se favorecerá que

los alumnos concreten y recuerden dichos conocimientos.

Al exponer cada tema, se recomienda lo siguiente:

Antes de cada lección es indispensable revisar los temas que anteceden

su desarrollo. Algunos de ellos adquieren particular relevancia por favorecer el

análisis de la lección presente y logran así un propósito formativo distinto al que

tuvieron en su momento. Esta práctica contribuye al replanteamiento de las ideas

internas del joven estudiante, fortaleciendo sus conocimientos y mejorando sus

habilidades de abstracción, reflexión y análisis.

Es conveniente generar situaciones hipotéticas que provoquen en los

estudiantes explicaciones y soluciones creativas usando los conocimientos

que ya poseen. En este libro, se proponen actividades para esta labor en la sección

“Explora” que se encuentran al inicio de cada lección.

Durante el estudio de cada tema insistimos en el uso constante del aprendizaje

colaborativo. En cada actividad expuesta aquí, se sugiere un trabajo de tipo individual,

en pareja, en equipo o en grupo, según convenga. Insistimos, el alumno que verbaliza

con sus compañeros lo que va aprendiendo internamente, tendrá una mejor

retención y una comprensión más completa y profunda de su saber.

Vincular lo aprendido con la historia, la cultura, las artes y las ciencias enriquece

sustancialmente el trabajo en clase. La sección “Antes de iniciar” de cada lección,

y las secciones “Museo de las matemáticas” y “Pasatiempo matemático”, al final de

cada bloque, tienen esta función especial, explótelas.

Al finalizar cada etapa se recomienda realizar actividades de cierre que le permitan

al alumno fortalecer sus habilidades adquiridas; al mismo tiempo, permiten evaluar

y estudiar la labor docente y las técnicas didácticas usadas en clase. Un buen

cierre concreta lo aprendido y permite replantear las ideas internas del estudiante.

Además, ayuda a evaluar y replantear las técnicas didácticas empleadas. En este

texto, proponemos actividades de cierre al final de cada lección en la sección

“Reafirma y profundiza”, asimismo se dan pruebas de cierre de bloque con reactivos

de opción múltiple.

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DosificaciónB

loqu

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Tem

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rla

con

la in

clin

ació

n o

pend

ient

e de

la

rect

a qu

e lo

rep

rese

nta.

11 y

12

5

Grá

ficas

1.7.

D

iseñ

ar u

n es

tudi

o o

expe

rim

ento

a p

artir

de

dato

s ob

teni

dos

de

dive

rsas

fue

ntes

y e

legi

r la

for

ma

de o

rgan

izac

ión

y re

pres

enta

ción

tabu

lar

o gr

áfic

a m

ás a

decu

ada

para

pre

sent

ar la

info

rmac

ión.

13 y

14

6

Rep

aso

7Est

udio

de

caso

Mus

eo d

e la

s m

atem

átic

as

Pas

atie

mpo

mat

emát

ico

Eval

uaci

ón8

Blo

que

Eje

Tem

aS

ub

tem

aC

onoc

imie

nto

s y

hab

ilid

ades

Lecc

ión

Sem

ana

2

Sen

tido

num

éric

o

y pe

nsam

ient

o

alge

brai

co

Sig

nific

ado

y us

o de

las

liter

ales

Ecua

cion

es2.1

. U

tiliz

ar e

cuac

ione

s no

line

ales

par

a m

odel

ar s

ituac

ione

s y

reso

lver

las

utili

zand

o pr

oced

imie

ntos

per

sona

les

u op

erac

ione

s in

vers

as.

15 y

16

9

Ecua

cion

es2.2

. U

tiliz

ar e

cuac

ione

s cu

adrá

ticas

par

a m

odel

ar s

ituac

ione

s y

reso

lver

las

usan

do la

fac

toriza

ción

.17

y 1

810

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Form

as g

eom

étrica

sS

emej

anza

2.3

. C

onst

ruir

figur

as s

emej

ante

s y

com

para

r la

s m

edid

as d

e lo

s án

gulo

s

y de

los

lado

s.19

y 2

011

Sem

ejan

za2.4

. D

eter

min

ar lo

s cr

iterios

de

sem

ejan

za d

e tr

iáng

ulos

.

Apl

icar

los

crite

rios

de

sem

ejan

za d

e tr

iáng

ulos

en

el a

nális

is

de d

ifere

ntes

pro

pied

ades

de

los

políg

onos

.

Apl

icar

la s

emej

anza

de

triá

ngul

os e

n el

cál

culo

de

dist

anci

as o

altu

ras

inac

cesi

bles

.

21 a

23

12

00_PRE_MATE3.indd 10 4/25/11 5:28 PM

Blo

qu

eEje

Tem

aS

ub

tem

aC

onoc

imie

nto

s y

hab

ilid

ades

Lecc

ión

Sem

ana

2

Man

ejo

de

la in

form

ació

n

Aná

lisis

de

la in

form

ació

n

Por

cent

ajes

2.5

. In

terp

reta

r y

utili

zar

índi

ces

para

exp

licar

el c

ompo

rtam

ient

o de

div

ersa

s

situ

acio

nes.

24

13N

oció

n de

prob

abili

dad

2.6

. U

tiliz

ar la

sim

ulac

ión

para

res

olve

r si

tuac

ione

s pr

obab

ilíst

icas

.2

5

Rep

aso

14Est

udio

de

caso

Mus

eo d

e la

s m

atem

átic

as

Pas

atie

mpo

mat

emát

ico

Eval

uaci

ón15

Blo

qu

eEje

Tem

aS

ub

tem

aC

onoc

imie

nto

s y

hab

ilid

ades

Lecc

ión

Sem

ana

3

Sen

tido

num

éric

o

y pe

nsam

ient

o

alge

brai

co

Sig

nific

ado

y us

o de

las

liter

ales

Rel

ació

n fu

ncio

nal

3.1

. R

econ

ocer

en

dife

rent

es s

ituac

ione

s y

fenó

men

os d

e la

fís

ica,

la

biol

ogía

, la

eco

nom

ía y

otr

as d

isci

plin

as, la

pre

senc

ia d

e ca

ntid

ades

que

varían

una

en

func

ión

de la

otr

a y

repr

esen

tar

la r

egla

que

mod

ela

esta

var

iaci

ón m

edia

nte

una

tabl

a o

una

expr

esió

n al

gebr

aica

.

26 y

27

16

Ecua

cion

es3

.2.

Util

izar

ecu

acio

nes

cuad

rátic

as p

ara

mod

elar

situ

acio

nes

y re

solv

erla

s

usan

do la

fór

mul

a ge

nera

l.2

8 y

29

17

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Form

as g

eom

étrica

sS

emej

anza

3.3

. D

eter

min

ar e

l teo

rem

a de

Tal

es m

edia

nte

cons

truc

cion

es c

on

segm

ento

s. A

plic

ar e

l teo

rem

a de

Tal

es e

n di

vers

os p

robl

emas

geom

étrico

s.

30 y

31

18

Tran

sfor

mac

ione

sM

ovim

ient

os

en e

l pla

no

3.4

. D

eter

min

ar lo

s re

sulta

dos

de u

na h

omot

ecia

cua

ndo

la r

azón

es

igua

l, m

enor

o m

ayor

que

1 o

que

– 1

. D

eter

min

ar la

s pr

opie

dade

s

que

perm

anec

en in

varian

tes

al a

plic

ar u

na h

omot

ecia

a u

na f

igur

a.

Com

prob

ar q

ue u

na c

ompo

sici

ón d

e ho

mot

ecia

s co

n el

mis

mo

cent

ro

es ig

ual a

l pro

duct

o de

las

razo

nes.

32 a

34

19 y

20

Man

ejo

de

la in

form

ació

n

Rep

rese

ntac

ión

de la

info

rmac

ión

Grá

ficas

3.5

. In

terp

reta

r, c

onst

ruir

y ut

iliza

r gr

áfic

as d

e re

laci

ones

fun

cion

ales

no

linea

les

para

mod

elar

div

ersa

s si

tuac

ione

s o

fenó

men

os.

35

21

Grá

ficas

3.6

. Est

able

cer

la r

elac

ión

que

exis

te e

ntre

la for

ma

y la

pos

ició

n de

la c

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de f

unci

ones

no

linea

les

y lo

s va

lore

s de

las

liter

ales

de

las

expr

esio

nes

alge

brai

cas

que

defin

en a

est

as f

unci

ones

.

36 a

38

21 y

22

Grá

ficas

3.7

. In

terp

reta

r y

elab

orar

grá

ficas

for

mad

as p

or s

ecci

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rec

tas

y cu

rvas

que

mod

elan

situ

acio

nes

de m

ovim

ient

o, ll

enad

o de

rec

ipie

ntes

,

etcé

tera

.

39

23

Rep

aso

23

Est

udio

de

caso

Mus

eo d

e la

s m

atem

átic

as

Pas

atie

mpo

mat

emát

ico

Eval

uaci

ón24

00_PRE_MATE3.indd 11 3/30/11 11:44 AM

Blo

qu

eEje

Tem

aS

ub

tem

aC

onoc

imie

nto

s y

hab

ilid

ades

Lecc

ión

Sem

ana

4

Sen

tido

num

éric

o

y pe

nsam

ient

o

alge

brai

co

Sig

nific

ado

y us

o

de la

s lit

eral

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Pat

rone

s

y fó

rmul

as

4.1

. D

eter

min

ar u

na e

xpre

sión

gen

eral

cua

drát

ica

para

def

inir

el e

nési

mo

térm

ino

en s

uces

ione

s nu

mér

icas

y f

igur

ativ

as u

tiliz

ando

el m

étod

o

de d

ifere

ncia

s.

40 y

41

25

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Med

ida

Est

imar

, m

edir

y ca

lcul

ar4.2

. A

plic

ar e

l teo

rem

a de

Pitá

gora

s en

la r

esol

ució

n de

pro

blem

as.

42 y

43

26

Est

imar

, m

edir

y ca

lcul

ar

4.3

. R

econ

ocer

y d

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min

ar la

s ra

zone

s tr

igon

omét

rica

s en

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ilias

de

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ngul

os r

ectá

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os s

emej

ante

s, c

omo

coci

ente

s en

tre

las

med

idas

de lo

s la

dos.

Cal

cula

r m

edid

as d

e la

dos

y de

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ulos

de

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ngul

os

rect

ángu

los

a pa

rtir

de lo

s va

lore

s de

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trigo

nom

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s. R

esol

ver

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lem

as s

enci

llos,

en

dive

rsos

ám

bito

s, u

tiliz

ando

las

razo

nes

trig

onom

étrica

s.

44 a

46

27

Man

ejo

de

la in

form

ació

n

Rep

rese

ntac

ión

de

la in

form

ació

n

Grá

ficas

4.4

. In

terp

reta

r y

com

para

r la

s re

pres

enta

cion

es g

ráfic

as d

e cr

ecim

ient

o

aritm

étic

o o

linea

l y g

eom

étrico

o e

xpon

enci

al d

e di

vers

as s

ituac

ione

s.47 a

49

28

Grá

ficas

4.5

. A

naliz

ar la

rel

ació

n en

tre

dato

s de

dis

tinta

nat

ural

eza,

per

o re

ferido

s

a un

mis

mo

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men

o o

estu

dio

que

se p

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nta

en r

epre

sent

acio

nes

dife

rent

es, pa

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rodu

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nuev

a in

form

ació

n.

50

29

Rep

aso

30

Est

udio

de

caso

Mus

eo d

e la

s m

atem

átic

as

Pas

atie

mpo

mat

emát

ico

Eval

uaci

ón31

00_PRE_MATE3.indd 12 3/30/11 11:45 AM

Blo

qu

eEje

Tem

aS

ub

tem

aC

onoc

imie

nto

s y

hab

ilid

ades

Lecc

ión

Sem

ana

5

Sen

tido

num

éric

o

y pe

nsam

ient

o

alge

brai

co

Sig

nific

ado

y us

o

de la

s lit

eral

es

Ecua

cion

es5.1

. D

ado

un p

robl

ema,

det

erm

inar

la e

cuac

ión

linea

l, cu

adrá

tica

o si

stem

a

de e

cuac

ione

s co

n qu

e se

pue

de r

esol

ver, y

vic

ever

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prop

oner

una

situ

ació

n qu

e se

mod

ele

con

una

de e

sas

repr

esen

taci

ones

.

51 y

52

32

Form

a, e

spac

io

y m

edid

a

Form

as g

eom

étrica

sC

uerp

os

geom

étrico

s

5.2

. A

ntic

ipar

las

cara

cter

ístic

as d

e lo

s cu

erpo

s qu

e se

gen

eran

al g

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asla

dar

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as. C

onst

ruir

desa

rrol

los

plan

os d

e co

nos

y ci

lindr

os

rect

os. A

ntic

ipar

y r

econ

ocer

las

secc

ione

s qu

e se

obt

iene

n al

rea

lizar

cort

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cilin

dro

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con

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cto.

Det

erm

inar

la v

aria

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que

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s di

vers

os c

írcul

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tiene

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una

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era

o co

no r

ecto

.

53 y

54

33

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ida

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ifica

ción

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mul

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ulas

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5 y

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34

Est

imar

, m

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5.4

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57 y

58

35

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ejo

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form

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n

Rep

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u di

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ción

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artir

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la m

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de

la m

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ones

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59 y

60

36

Rep

aso

37

Est

udio

de

caso

Mus

eo d

e la

s m

atem

átic

as

Pas

atie

mpo

mat

emát

ico

Eval

uaci

ón3

8

00_PRE_MATE3.indd 13 3/30/11 11:45 AM

Índice

Antes de iniciar 20

Lección 1 Productos algebraicos 1.1 Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a)(x + b); (x + a)(x – a). Factorizar expresiones algebraicas tales como: x + 2ax + a2;

ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

21

Lección 2 Factorización I 24

Lección 3 Factorización II 28

Lección 4 Propiedades de los cuadriláteros I1.2 Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la

justificación de propiedades de los cuadriláteros.

32

Lección 5 Propiedades de los cuadriláteros II 36

Lección 6 Rectas y circunferencias I 1.3 Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.

40

Lección 7 Rectas y circunferencias II 44

Lección 8 Ángulos en la circunferencia I1.4 Determinar la relación entre un ángulo inscrito y uno central

de una circunferencia, si ambos abarcan al mismo arco.48

Lección 9 Ángulos en la circunferencia II1.5 Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como

de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

52

Lección 10 Sectores circulares 56

Lección 11 Relaciones lineales I 1.6 Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

60

Lección 12 Relaciones lineales II 64

Lección 13 Organización de datos I 1.7 Diseñar un estudio o experimento a partir de datos obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.

68

Lección 14 Organización de datos II 72

Para reforzar

Repaso 76

Estudio de caso 78

Museo de las matemáticas 80

Pasatiempo matemático 81

Evaluación 82

Antes de iniciar 86

Lección 15 Ecuaciones no lineales I 2.1 Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

87

Lección 16 Ecuaciones no lineales II 90

Bloque 1 18

Bloque 2 84

00_PRE_MATE3.indd 14 3/30/11 11:45 AM

Lección 17 Ecuaciones cuadráticas I 2.2 Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.

94

Lección 18 Ecuaciones cuadráticas II 98

Lección 19 Figuras semejantes I 2.3 Construir figuras semejantes y comparar las medidas de los ángulos y de los lados.

102

Lección 20 Figuras semejantes II 106

Lección 21 Semejanza de triángulos I 2.4 Determinar los criterios de semejanza de triángulos.Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en el análisis de diferentes propiedades de los polígonos.Aplicar la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles.

110

Lección 22 Semejanza de triángulos II 114

Lección 23 Semejanza de triángulos III 118

Lección 24 Índices2.5 Interpretar y utilizar índices para explicar el comportamiento

de diversas situaciones.122

Lección 25 Simulación2.6 Utilizar la simulación para resolver situaciones

probabilísticas.126

Para reforzar

Repaso 130

Estudio de caso 132

Museo de las matemáticas 134

Pasatiempo matemático 135

Evaluación 136

Antes de iniciar 140

Lección 26 Representación de funciones I 3.1 Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar la regla que modela esta variación mediante una tabla o una expresión algebraica.

141

Lección 27 Representación de funciones II 144

Lección 28 Fórmula general I 3.2 Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la fórmula general.

148

Lección 29 Fórmula general II 152

Lección 30 Teorema de Tales I 3.3 Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

156

Lección 31 Teorema de Tales II 160

Lección 32 Homotecias I 3.4 Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o que -1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia a una figura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

164

Lección 33 Homotecias II 168

Lección 34 Homotecias III 172

Lección 35 Gráficas de funciones no lineales I 3.5 Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones

funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

176

Lección 36 Gráficas de funciones no lineales II 3.6 Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.

180

Lección 37 Gráficas de funciones no lineales III 184

Lección 38 Gráficas de funciones no lineales IV 188

Bloque 3 138

00_PRE_MATE3.indd 15 3/30/11 11:45 AM

Lección 39 Interpretación de gráficas 3.7 Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones

rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.

192

Para reforzar

Repaso 196

Estudio de caso 198

Museo de las matemáticas 200

Pasatiempo matemático 201

Evaluación 202

Antes de iniciar 206

Lección 40 Sucesiones y expresiones cuadráticas I 4.1 Determinar una expresión general cuadrática para definir

el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas utilizando el método de diferencias.

207

Lección 41 Sucesiones y expresiones cuadráticas II

210

Lección 42 Teorema de Pitágoras I 4.2 Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas.

214

Lección 43 Teorema de Pitágoras II 218

Lección 44 Razones trigonométricas I 4.3 Reconocer y determinar las razones trigonométricas en familias de triángulos rectángulos semejantes, como cocientes entre las medidas de los lados. Calcular medidas de lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de razones trigonométricas. Resolver problemas sencillos, en diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

222

Lección 45 Razones trigonométricas II 226

Lección 46 Razones trigonométricas III 230

Lección 47 Crecimiento aritmético o lineal 4.4 Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o lineal y geométrico o exponencial de diversas situaciones.

234

Lección 48 Crecimiento geométrico I 238

Lección 49 Crecimiento geométrico II 242

Lección 50 Análisis de datos

4.5 Analizar la relación entre datos de distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva información.

246

Para reforzar

Repaso 250

Estudio de caso 252

Museo de las matemáticas 254

Pasatiempo matemático 255

Evaluación 256

Bloque 4 204

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Antes de iniciar 260

Lección 51 Problemas y ecuaciones I 5.1 Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones.

261

Lección 52 Problemas y ecuaciones II 264

Lección 53 Desarrollos planos 5.2 Anticipar las características de los cuerpos que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en una esfera o cono recto.

268

Lección 54 Sólidos de revolución 272

Lección 55 Cortes en cilindros y conos rectos 5.3 Construir las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos.

276

Lección 56 Volumen de cilindros y conos I 280

Lección 57 Volumen de cilindros y conos II 5.4 Estimar y calcular el volumen de cilindros y conos.Calcular datos desconocidos dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen.

284

Lección 58 Volumen de cilindros y conos III 288

Lección 59 Gráfica de cajabrazos I 5.5 Interpretar, elaborar y utilizar gráficas de cajabrazos de un conjunto de datos para analizar su distribución a partir de la mediana o de la media de dos o más poblaciones.

292

Lección 60 Gráficas de cajabrazos II 296

Para reforzar

Repaso 300

Estudio de caso 302

Museo de las matemáticas 304

Pasatiempo matemático 305

Evaluación 306

Bibliografía 308

Bloque 5 258

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BLOQUE 1

Aprendizajes esperados:

1 Transformar expresiones algebraicas en otras equivalentes

al efectuar cálculos.

2 Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en

la justificación de propiedades de figuras geométricas.

3 Resolver problemas que impliquen relacionar ángulos

inscritos y centrales de una circunferencia.

4 Resolver problemas que impliquen determinar una razón

de cambio, expresarla algebraicamente y representarla

gráficamente.

¿Podré calcular la velocidad de las olas?

Si son complicados mis cálculos, ¿habrá formas de

hacerlos más fáciles?

¿Podrá una gráfica de gastos ayudarme a planear mi viaje?

¿Puedo saber más del paisaje con sólo usar triángulos?

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01_B1_MATE 3.indd 19 3/3/11 5:39 PM

bloque 1

Antes de iniciar

20

Un día hace más de 3 000 años, Tammuz, consejero cercano al rey Nabucodonosor, bajó de su morada en lo alto de la ciudad de Babilonia hasta su taller, donde se iba calentando el horno para cocer las tablillas de arcilla que había escrito con cuidado durante todo el día. Ésta era la forma de conservar el preciado conocimiento, tallando la arcilla suave con cuñas y horneándola para que perdurase lo escrito en ella. Antes de meter la tablilla al horno, revisó que todo estuviera bien escrito, ya que al día siguiente se mandaría a la biblioteca real. En la tablilla se leía algo como lo siguiente:

“El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de tres térmi-

nos: el primero es el cuadrado del primer término, el segundo es el doble

del producto de los dos números y el tercero es el cuadrado del segundo.”

Mil quinientos años después, Poimen, un sacerdote de la orden de los pitagóricos, luego de los acostumbrados ritos religiosos, mostró a la orden un papiro en el que se veía este dibujo:

Hoy, un estudiante de secundaria, observa en su libro la siguiente expresión:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Todas y cada una, dicen lo mismo. La primera, a falta de lenguaje matemático propio, tenía que decir las cosas con mucho cuidado, y su comprensión era solo para los más selectos. La segunda utiliza la geometría, que aunque maravillosa para comprender y explicar lo que vemos, es poco práctica para realizar cuentas y escribir fórmulas. La última expresión es el fruto de varios milenios de pensamiento humano, y nos permite tanto realizar operaciones fácilmente, como explorar la abstracción algebraica que en ella se encuentra.

¿Cómo relacionarías estas tres expresiones?

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bloque 1Lección 1

Explora

En grupo

Individual

21

Estructura

Productos algebraicos

1. Observa la figura y contesta.

a) ¿Cuál es el área del cuadrado rojo?

b) ¿Cuál es el área del rectángulo azul?

c) ¿Cuál es el área de toda la figura?

Compara la respuesta de la última pregunta con la de tus compañeros y compañeras. ¿Encontraron expresiones escritas en forma distinta?

Existen dos formas de calcular el área de la figura anterior. Una es sumar el área del cuadrado izquierdo y del rectángulo derecho que la componen, y otra es sumar a y b para obtener la medida de la base, y luego, multiplicarla por la altura. Estos dos métodos nos dan expresiones que se escriben de manera distinta, pero que son equivalentes.

Mientras el primero nos da la expresión a2 + ab, el segundo nos da a(a + b). En segundo grado aprendiste a multiplicar expresiones como a(a + b). Hazlo en tu cuaderno.

Como puedes observar, la primera expresión se obtiene al desarrollar el producto de la segunda. ¿Puedes obtener la segunda expresión a partir de la primera con algún método?

Hay muchas formas de escribir una misma expresión algebraica, y, según el problema, unas son más convenientes que otras. Mientras más simple es una expresión, es más fácil de memorizar, de usar y de evaluar. Identificar los factores comunes nos permite pasar de una expresión a otra equiva-lente más compacta.

a b

a

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bloque 1Lección 1

Individual

En grupo

En pareja

22

2. Observa esta otra figura:

a) Escribe la expresión algebraica para calcular el área de este rectángulo sumando las áreas de los rectángulos que lo forman.

b) Ahora, escríbela calculando primero el largo de la base y multiplicando éste por la altura. Trata de reducir los términos semejantes para que la expresión quede lo más compacta posible.

c) Comparen las expresiones que escribieron con las del resto del grupo y, con ayuda de su profesor o profesora, revisen que estén correctas.

d) En parejas, calculen el área del rectángulo, usando las dos expresiones anteriores. Asignen a las variables estos valores:

a = 5, b = 2 y c = 5.

Área del rectángulo =

e) Comenta lo siguiente con tu compañera o compañero.

i) ¿Con cuál de las expresiones fue más fácil efectuar los cálculos?

¿Por qué?

ii) Observa que la expresión que anotaste en el inciso a) está formada por varios términos. En estos términos hay un factor que se repite. ¿Cuál es?

Recuerda

Recuerda

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los términos que tiene las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

Un factor es una cantidad que mul-tiplica a otra.

a

b bc c + 5

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bloque 1Lección 1Lección 1

Conocimientos y habilidades

En grupo

Individual

En pareja

23

3. En parejas, anoten dos expresiones algebraicas para expresar las áreas de las figuras. Simplifiquen cuando sea posible.

a) b)

expresiones

c)

d) e)

expresiones

4. La última expresión es muy común y merece especial atención. Escribe expresiones para el área de cada pedazo, puedes ver que hay dos que se repiten, lo cual te permite simplificar la expresión del total. ¿Cuál es la expresión más compacta que puedes obtener?

• Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras de grupo.

expresiones

1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como:(x + a)2; (x + a) (x + b);(x + a) (x – a).

Factorizar expresiones algebraicas tales como:x2 + 2ax + a2;ax2 + bx;x2 + bx + c;x2 – a2.

Reafirma y profundiza

Recuerda

Aplica correctamente las reglas de los signos para la multiplicación.

a

a

a

b

b

b

x

x2

x

x

y

y

a

34

4

2

3

2

expresiones

expresiones

01_B1_MATE 3.indd 23 3/3/11 5:39 PM

bloque 1Lección 2

a

24

Explora

Estructura

Individual

Factorización I

1. Observa la siguiente figura.

En la lección anterior vimos que podemos expresar su área de varias formas. Por ejemplo:

a) Multiplicando la medida de los lados: (a + b)(a + b). b) Sumando el área del rectángulo superior y el área del rectángulo

inferior: a(a + b) + b(a + b) c) Sumando el área de cada figura: a2 + ab + ab + b2. d) Simplificando la expresión anterior: a2 + 2ab + b2. e) Elevando al cuadrado la medida de cada lado: (a + b)2.

¿Se te ocurren otras expresiones que puedan obtenerse desarrollando alguna de las anteriores? Por ejemplo, la del inciso b) puede obtenerse de-sarrollando la de a).

En esta lección, aprenderemos varios métodos para ahorrarnos esfuerzo al realizar algunas operaciones. Para ello, primero veremos cómo transformar cualquier expresión de las anteriores en otra de ellas.

2. Anota en los cuadros blancos las medidas que faltan. El área de la figura completa es x2 + xy.

¿De qué otra manera puedes expresar el área de la figura?

Individual

ab

b

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bloque 1Lección 2 25

En la expresión a2 + ab, tanto a2 como ab comparten la literal a como ele-mento multiplicativo. Cuando sucede esto, decimos que ambos sumandos tienen a a como factor común. Esta observación nos permitirá hacer el proceso inverso de desarrollar el producto, es decir, factorizar.

a2 + ab = a(a + b)

Observa que, efectuando el producto a(a + b), se obtiene la expresión original.

a(a + b) = aa + ab = a2 + ab

3. Completa la tabla.

Expresión Factor común Factorización

ax + ay a a(x + y)

2ax + 3bx x

3ab + 4bc + bd

4ax + 2xy + 6xz 2x 2x(2a + y + 3z)

x + x 2 + x 3 x

2xy + x 2y + x

6a 2b + 2ab + 4ab 2 2ab(3a + 1 + 2b)

10ab + 5bc + 15bd

(a + b)x + 2(a + b)y (a + b)

i) Verifica que al efectuar el producto indicado en cada factorización de la tabla obtienes la expresión original.

Observa esta expresión algebraica: ac + bc + ad + bd

Cada incógnita aparece en exactamente dos sumandos. Si factorizamos c de los primeros dos, nos queda la expresión:

c(a + b) + ad + bd

Ahora, si factorizamos la d de los otros dos nos queda: c(a + b) + d(a + b)

Nota que, igual que en el último ejercicio de la tabla, ahora (a + b) es un nuevo factor común. Si factorizamos nuevamente nos queda:

(a + b)(c + d)

Este último paso puede ser un poco especial, pero es importante que lo comprendas bien para seguir adelante (si no te queda claro, sustituye (a + b) por la letra x, saca el factor común como lo has hecho y, al final, escribe de nuevo (a + b) en vez de x).

Recuerda

a3 = a ∙ a ∙ a

Individual

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bloque 1Lección 2

En pareja

26

Recuerda

Observa

Un binomio es una expresión con dos términos.

4a2 = (2a)2

y quez4 = ((z2)2)

a

b

c d

4. En equipos de dos personas comenten cómo usarían este resultado para calcular el área de la siguiente figura.

i) Escriban sus conclusiones aquí.

Observa la expresión anterior. En el caso de que a sea igual a c y b sea igual a d, obtenemos la siguiente expresión conocida como binomio al

cuadrado.(a + b)(a + b) = (a + b)2

Si se desarrolla el producto (a + b)(a + b), se obtiene la siguiente expresión:

a2 + 2ab + b2

Esta expresión se llama trinomio cuadrado perfecto. El resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio cuadrado perfecto. Entonces, un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado.

5. Verifica en tu cuaderno que el producto (a + b)(a + b) es a2 + 2ab + b2. También, calcula el trinomio cuadrado perfecto que resulta de elevar(a – b)2.

6. Completa la tabla. No olvides verificar tu resultado desarrollando la fac-torización para obtener la expresión original.

Expresión Factorización

a 2 + 2ab + b 2 (a + b)2

x 2 – 2xb + b 2

4a 2 + 4ab + b 2

z 4 + 2z 2x + x 2

4a 2 + 4b 2 + 8ab

Individual

Individual

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bloque 1Lección 2

Conocimientos y habilidades

27

Reafirma y profundiza

Observa el siguiente desarrollo:

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b 2 = a 2 – b 2

Los binomios de la forma (a + b) y (a – b) se llaman binomios conjugados.

7. Completa la siguiente tabla:

Expresión Factorización

a2 – b 2

4a2 – b 2

z4 – x 2

4a2 – 4x 4

8. Completa la siguiente tabla usando todo lo anterior; en algunos casos, hay que factorizar varias veces:

Expresión Factorización

ax + ay

a 2 + 2ab + b 2

a 2 – b 2

xa 2 + 2xab + xb 2

(ax + ay)(ax – ay)

a 2 – 2ab + b 2

(a 2 + 2ab + b 2) – (c 2 + 2cd + d 2)

(4a 2 – 16b 2)

(a 2 – b 2)/(a + b)

(a 2 – b 2)/(a – b)

Individual

Individual

1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como:(x + a)2; (x + a) (x + b);(x + a) (x – a).

Factorizar expresiones algebraicas tales como:x2 + 2ax + a2;ax2 + bx;x2 + bx + c;x2 – a2.

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bloque 1Lección 328

Explora

Estructura

Factorización II

1. Observa la siguiente figura y contesta.

a) Anota dos expresiones algebraicas que representen el área de la figura.

b) Si a = 1 y b = 1, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el área de la figura? Anótala de la forma más simple que puedas.

c) Ahora, vamos a hacer el proceso inverso. Si el área de la figura es x2 + 4x + 4, ¿cuál es el valor de a y de b?

a = b =

d) ¿Qué valores deben tener a y b para que el área de la figura sea x2?

a = b =

e) Si el área de la figura se representa con la expresión x2 + 5x + 6 y el valor de a es 3, ¿cuál es el valor de b?

b =

2. Efectúa los siguientes productos y anota las expresiones en la forma x2 + Bx + C.

a) (x + 1)(x – 2) = d) (x + 2)(x + 2) =

b) (x – 7)(x – 4) = e) (y + 7)(y + 4) =

c) (y – 5)(y – 2) = f ) (a + 3)(a – 4) =

3. Observa las expresiones de la forma (x + a)(x + b) = x2 + Bx + C que anotaste en la actividad anterior y contesta.

a) ¿Qué relación hay entre B, C y a, b?

b) Si conoces a y b, ¿cómo obtendrías B y C?

Individual

Individual

Individual

x

a

x b

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bloque 1Lección 3 29

Al multiplicar las medidas de los lados del rectángulo de la derecha conse-guimos (x + a)(x + b). Si desarrollamos el producto obtenemos lo siguiente:

(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab

Para factorizar una expresión de la forma x2 + Bx + C, debemos encontrar a y b que cumplan que B = a + b y C = ab. Entonces:

x2 + Bx + C = (x + a)(x + b)

4. Formen equipos de dos personas para realizar el siguiente juego.

a) Cada integrante debe escoger dos números, a y b, entre el cero y el diez, sin que el otro se entere cuáles son.

b) Después, cada uno debe escribir la expresión x2 + Bx + C donde B = a + b y C = ab en una hoja (no apunten los valores de a y b en ella).

c) Por último, se intercambiarán las hojas y el primero en descubrir los valores de a y b del otro, gana. Repitan el juego cinco veces para ver quién es el vencedor.

Jugador 1: Puntos:

Jugador 2: Puntos:

5. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

a) x2 + 6x + 9 =

b) x2 + 7x + 10 =

c) x2 + 9x + 20 =

d) x2 + 10x + 25 =

e) x2 + 12x + 36 =

• Comprueba tus resultados efectuando el producto indicado en tu factorización y verificando que obtienes la expresión original.

6. Contesta.

a) Halla dos números a y b cuyo producto sea –10 y cuya suma sea 3.

a = b =

b) Si el producto de los números a y b es negativo, ¿cómo son los signos

que tienen ambos números?

x

b

x a

Individual

Individual

En pareja

Reafirma y profundiza

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bloque 1Lección 330

c) Si el producto de los números a y b es negativo y su suma es positiva,

¿cuál es el signo del mayor de los dos? Argumenta tu respuesta.

d) Si el producto y la suma de los números a y b son negativos, ¿cuál es

el signo del mayor de los dos? Argumenta tu respuesta.

e) Si el producto de los números a y b es positivo y su suma es negativa,

¿cómo son sus signos? Argumenta tu respuesta.

7. Observa la siguiente operación aritmética:

12 × 13 = 12 × (12+1) = 122 + 12 = 144 + 12 = 156

a) Como puedes ver, las factorizaciones nos permiten hacer cálculos aritméticos simples. Viendo el ejemplo anterior, describe un método para multiplicar dos números consecutivos a y b = a + 1:

b) Ahora, observa la siguiente operación:

31 × 35 = (30+1) × (30+5) = 302 + (5+1) × 30 + 5×1 = 900 + 180 + 5 = 1 085

Describe un método simple para multiplicar números menores que 100 que tengan las mismas decenas:

8. Calcula mentalmente las siguientes operaciones aritméticas:

a) 51 × 52 = d) 33 × 35 = g) 24 × 26 =

b) 25 × 25 = e) 15 × 16 = h) 49 × 50 =

c) 12 × 13 = f) 99 × 99 = i) 43 + 52 =

Individual

Individual

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bloque 1Lección 3

Conocimientos y habilidades

31

9. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

a) x2 – 9 =

b) x2 + 3x – 10 =

c) x2 – x – 6 =

d) x2 – 10x + 25 =

e) x2 – 16x + 63 =

• Comprueba tus resultados efectuando el producto indicado en tu factorización y verificando que obtienes la expresión original.

10. Reúnete con un compañero o compañera y contesten lo siguiente.

a) ¿Existen dos números que al multiplicarse den 10 y al sumarse den 2?

Argumenta tu respuesta.

b) Encuentren otra pareja de números que tengan la misma

característica que los anteriores.

11. Factoriza las siguientes expresiones. Pon en práctica lo que has aprendido a través de las últimas tres lecciones.

Expresión Factorización

18mxy2 – 54m2 x2 y2 + 36my2

x2 + 5x + 6

16x3y2 – 8x2 y – 24x4y4 – 40x2 y3

49x2y 6z10 – a12

–4m(n – m) + 4m2 + (n – m)2

n2 + 28n – 29

x2 – 5x – 36

3a2b + 6ab – 5a3b 2 + 8a2bx + 4ab2m

4x2 – (x + y)2

m2 + 13m – 30

(a + x)2 – (x + 2)2

1 – x + 2a(1 – x)

25x2y4 – 121

En pareja

Individual

Individual 1.1. Efectuar o simplificar cálculos con expresiones algebraicas tales como:(x + a)2; (x + a) (x + b);(x + a) (x – a).Factorizar expresiones algebraicas tales como:x2 + 2ax + a2;ax2 + bx;x2 + bx + c;x2 – a2.

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bloque 1Lección 4

Explora

32

Propiedades de los cuadriláteros I

1. Observa el siguiente paralelogramo dividido en triángulos y contesta las preguntas.

a) ¿Cuántos tipos de triángulos pequeños ves en esta figura?

b) ¿Cuántos triángulos hay de cada tipo?

c) Ahora, toma en cuenta que hay triángulos medianos y grandes que están formados por dos y cuatro triángulos pequeños como los que se muestran abajo.

d) Busca parejas de triángulos congruentes. ¿Cuáles son los de mayor área? Haz un dibujo para mostrarlo:

Recuerda

Dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos respectivos son de la misma medida.

Individual

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bloque 1Lección 4

Estructura

33

2. A continuación aparecen cinco cuadriláteros diferentes: un cuadrado, un romboide, un trapecio, un trapezoide y un rombo.

a) Consigue hojas que puedas recortar y, usando tu juego de geometría, copia dos veces todas las figuras siguientes:

Individual

02_B1_MATE 3.indd 33 3/3/11 5:40 PM

bloque 1Lección 434

b) Una vez que hayas terminado:

i) Recorta cada figura, debes tener dos copias de cada una.

ii) En cada copia, dibuja una diagonal diferente.

iii) Dobla cada figura sobre la diagonal.

c) Anota cuáles de las figuras son simétricas con respecto a alguna

diagonal.

d) Escribe cuáles figuras tuvieron mitades triangulares congruentes.

e) Anota cuáles no tuvieron mitades triangulares congruentes.

f) ¿Hubo algunas figuras que se dividieran en mitades congruentes con una diagonal, pero con la otra no? Si las hubo, anota cuáles.

3. Formen equipos de dos o tres integrantes, comparen sus respuestas y contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Qué características comunes tienen las figuras que tuvieron mitades triangulares congruentes con ambas diagonales?

b) ¿Qué características comunes tienen las que no tuvieron mitades congruentes?

c) ¿Qué características creen que deba tener un cuadrilátero para estar formado por dos triángulos congruentes?

En equipo

02_B1_MATE 3.indd 34 3/3/11 5:40 PM

bloque 1Lección 1Lección 4

Conocimientos y habilidades

Individual

35

1.2. Aplicar los criterios

de congruencia de triángulos en

la justificación de propiedades

de los cuadriláteros.

4. Calca los siguientes triángulos en dos hojas de papel que puedas recortar:

a) Recorta los triángulos y contesta:

i) ¿Cuántos cuadriláteros distintos puedes formar uniendo dos

triángulos iguales del primer tipo?

ii) ¿Cuántos uniendo dos triángulos del segundo tipo?

iii) ¿Cuántos uniendo dos triángulos del tercer tipo?

iv) ¿Por que son diferentes estas dos cifras? Comenta con tus

compañeros y compañeras.

b) Puedes clasificar los cuadriláteros que formaste en categorías, según

si tienen simetría central y/o simetría axial.

i) ¿Qué características comunes comparten los cuadriláteros que

tienen simetría axial sobre alguna de sus diagonales?

ii) ¿Y los que únicamente tienen simetría central?

iii) ¿Hay alguno que no tenga simetría?

iv) ¿Qué características crees que tiene que cumplir un cuadrilátero

para tener simetría central o axial?

v) ¿Y para estar formado por dos triángulos congruentes?

Reafirma y profundiza

Recuerda

Recuerda que la simetría central es

cuando, al girar 180° una figura, ésta

se ve igual. La simetría axial es cuando,

al reflejar una figura, ésta no cambia.

Observa

En los cuadriláteros cóncavos, una

diagonal está fuera del cuadrilátero

y otra, dentro.

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bloque 1Lección 5

Explora

36

En grupo

En equipo

Propiedades de los cuadriláteros II

1. Dedica unos momentos a repasar con tu maestro o maestra los siguientes criterios de congruencia de triángulos:

a) Lado, lado, lado (LLL)

b) Lado, ángulo, lado (LAL)

c) Ángulo, lado, ángulo (ALA)

Es importante recalcar que en el criterio del inciso b) el ángulo a considerar es el que forman ambos lados, y en el criterio del inciso c) los ángulos son adyacentes al lado indicado.

2. Formen equipos de cuatro o cinco integrantes, observen las figuras y contesten.

a) El cuadrilátero está dividido en dos triángulos por una de sus diagonales.

i) ¿Qué características debe reunir el cuadrilátero para que los dos triángulos sean congruentes? Argumenten su respuesta.

b) El cuadrilátero está dividido en cuatro triángulos por sus dos diagonales.

i) ¿Qué características debe reunir el cuadrilátero para que los cuatro triángulos sean congruentes? Argumenten su respuesta.

02_B1_MATE 3.indd 36 3/3/11 5:40 PM

bloque 1Lección 5

Estructura

37

En equipo

3. En equipos de cuatro o cinco personas, contesten las preguntas.

El siguiente es un paralelogramo al que se le ha trazado una de sus diagonales.

a) ¿Los ángulos ∡ABD y ∡BDC son congruentes? ¿Por qué?

b) ¿Los ángulos ∡ADB y ∡CBD son congruentes? ¿Por qué?

c) ¿Los triángulos ∆ABD y ∆BCD son congruentes? ¿Por qué?

d) Argumenten por qué los ángulos ∡A y ∡C son congruentes.

e) Argumenten por qué los ángulos ∡ABC y ∡ADC son congruentes.

f) Argumenten por qué los lados AD y BC son congruentes.

g) Argumenten por qué los lados AB y DC son congruentes.

Recuerda

Recuerda

Los lados opuestos de un paralelo-gramo son paralelos.

En segundo grado estudiaste cómo son los ángulos generados por dos paralelas cortadas por una transversal.

A

B C

D

02_B1_MATE 3.indd 37 3/3/11 5:40 PM

bloque 1Lección 538

h) ¿Pueden repetir los mismos argumentos en cualquier paralelogramo o sólo en éste en particular? Comenten en clase su respuesta y anoten sus conclusiones.

Todo paralelogramo queda dividido en dos triángulos congruentes por cualquiera de sus diagonales.

∆ADC ≅ ∆ABC

Los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo son congruentes.

Los lados opuestos de cualquier paralelogramo son congruentes.

∡A ≅ ∡C ∡B ≅ ∡D

AB ≅ DC AD ≅ BC

i) Recuerden que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180º. ¿Cuánto suman los ángulos del paralelogramo?

∡A + ∡B + ∡C + ∡D =

j) Ahora, observen la siguiente igualdad y digan por qué es verdadera.

∡A + ∡B = ∡C + ∡D

k) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos adyacentes ∡A y ∡B?

∡A + ∡B =

l) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos adyacentes ∡B y ∡C?

∡A + ∡B =

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales y los adyacentes son suplementarios.

Recuerda

∡A significa medida del ángulo A.

A

A

D

D

B

B

C

C

02_B1_MATE 3.indd 38 3/3/11 5:40 PM

bloque 1Lección 1Lección 5

Conocimientos y habilidadesReafirma y profundiza

39

Individual

Individual

1.2. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de los cuadriláteros.

4. Contesta.

a) ¿Por qué si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces todos los demás ángulos también son rectos?

5. Observa las figuras y responde. Justifica tus respuestas utilizando los criterios de congruencia de triángulos y las propiedades que has visto en esta lección.

a) ¿Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio? ¿Por

qué?

b) En el cuadrilátero verde, AD ≅ DC y AB ≅ BC, ¿una de las

diagonales queda cortada en su punto medio por la otra?

¿Por qué?

D

D

O

O

A

A

B

B

C

C

02_B1_MATE 3.indd 39 3/3/11 5:40 PM

bloque 1Lección 6

Explora

40

Rectas y circunferencias I

1. Efectúa lo siguiente.

a) Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de 10 cm de lado.

b) Usando tu compás, dibuja un círculo que toque en un solo punto

a cada lado del cuadrado. (Para ello, primero idea un método para

obtener el centro y otro para obtener el radio). No lo hagas al tanteo.

Tu dibujo tiene que quedar con la precisión del siguiente:

c) Contesta las siguientes preguntas:

i) ¿Cómo obtuviste el centro del círculo?

ii) ¿Cómo obtuviste el radio?

d) En tu mismo dibujo, localiza los puntos medios de cada lado del

cuadrado y márcalos con puntos.

e) Une los puntos opuestos que pintaste mediante segmentos. Observa

que estos segmentos pasan por el centro del círculo. Es decir, se trata

de dos diámetros.

i) ¿Qué ángulo forman estos diámetros con los lados del cuadrado?

Individual

03_B1_MATE 3.indd 40 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 6

Estructura

41

2. Haz las siguientes construcciones.

a) Traza tres circunferencias de diferentes radios en tu cuaderno. Usa tu

compás.

b) Para cada circunferencia, traza una recta que la toque en un solo

punto.

c) En cada circunferencia, traza un segmento que una el centro con el

punto de intersección de la recta que trazaste.

d) Mide el ángulo que forman el segmento y la recta que trazaste.

Anota sus medidas:

Circunferencia 1:

Circunferencia 2:

Circunferencia 3:

e) Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros

de grupo. ¿Qué observas?

3. Realiza lo que a continuación se pide:

a) Con tu compás, traza tres nuevas circunferencias de distintos radios

en tu cuaderno.

b) Para cada circunferencia, traza una recta que la toque en dos puntos.

c) Localiza el punto medio del segmento que une los dos puntos donde

se interseca cada segmento con la circunferencia.

d) Por último, traza una perpendicular al segmento en su punto medio,

como se muestra en las figuras.

e) Verifica que las perpendiculares que trazaste pasen por los centros

de las circunferencias.

4. Usando los resultados de la actividad anterior, encuentra el centro

del siguiente círculo.

Individual

Individual

Individual

En grupo

03_B1_MATE 3.indd 41 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 6

Reafirma y profundiza

42

a) Describe el método que usaste:

b) Discute en clase los métodos que usaron tus compañeros.

La recta tangente a una circunferencia es la que la toca sólo en un punto.

El punto donde se tocan la circunferencia y la recta se llama punto de

tangencia.

La recta secante a una circunferencia es la que la toca en dos puntos. Los

dos puntos determinan un segmento dentro de la circunferencia.

Las rectas tangentes a las circunfe-

rencias siempre son perpendiculares

al radio que pasa por el punto de

tangencia.

Los diámetros que pasan por los

puntos medios del segmento deter-

minado por una secante, siempre

son perpendiculares a éste.

5. Sobre el círculo de la izquierda, traza una tangente sobre el punto dado a

ojo (sólo usa regla).

a) Una vez que lo hayas hecho, traza una recta del centro al punto

marcado.

b) Usando tu escuadra, dibuja una perpendicular al radio que acabas

de pintar, que pase por el punto de tangencia.

c) Comenta tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.

d) ¿Crees que es conveniente trazar tangentes dibujadas a ojo?

¿Por qué?

En grupo

Individual

03_B1_MATE 3.indd 42 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 1Lección 6

Conocimientos y habilidades

43

1.3. Determinar mediante

construcciones las posiciones relativas

entre rectas y una circunferencia

y entre circunferencias. Caracterizar

la recta secante y la tangente a una

circunferencia.

6. Describe a continuación un procedimiento para encontrar una tangente

con sólo regla y compás, sin usar las escuadras.

a) Utiliza el método que anotaste para trazar una tangente que pase por

el punto marcado en la siguiente circunferencia.

7. Utilizando regla, transportador y compás, dibuja un pentágono cuyos lados

sean tangentes a la siguiente circunferencia.

• Compara el método que utilizaste con el de tus compañeros

y compañeras. En grupo

Individual

Individual

03_B1_MATE 3.indd 43 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 7

Explora

44

Individual

Rectas y circunferencias II

1. Observa los siguientes círculos con sus respectivas rectas.

Cada recta roja toca la circunferencia en al menos un punto. El problema

es que las rectas están tan pegadas a la orilla que, si llegan a cortar a la cir-

cunferencia en dos puntos, éstos están demasiado pegados para distinguirse.

a) Indica en cada caso si la línea roja es secante o tangente usando la

información que se te da.

¿Secante o tangente?

¿Secante o tangente?

¿Secante o tangente?

Recuerda

En segundo grado estudiaste cuánto

suman las medidas de los ángulos

internos de cualquier triángulo.

330

450

450

730

150

580

03_B1_MATE 3.indd 44 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 7

Estructura

45

Individual

Individual

2. Anota el valor del ángulo A. Toma en cuenta que cada recta roja es tangente

a la circunferencia.

A = A =

3. Usando lo que sabes sobre secantes, encuentra el centro del círculo que

pasa por los siguientes tres puntos; luego, obtén el radio y dibújalo:

a) Describe el método que utilizaste para encontrar el centro:

b) Describe el método que utilizaste para encontrar el radio:

150

740A

A

03_B1_MATE 3.indd 45 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 7

Reafirma y profundiza

46

Individual

P

La circunferencia inscrita en un polígono es la mayor que cabe dentro

del polígono. En el caso de los triángulos y de los polígonos regulares, esta

circunferencia es tangente a cada lado de la figura.

4. Traza todas las tangentes a la circunferencia que pasen por el punto P.

a) Con tu regla o compás, compara la distancia del punto P a cada uno

de los puntos de intersección de las tangentes con la circunferencia.

¿Qué observas?

b) Ahora, trazando perpendiculares en los puntos de intersección,

encuentra el centro del círculo. Traza una recta larga que pase por P

y por el centro del círculo.

¿Es simétrico, con respecto a esta recta, todo el dibujo?

¿Cuántos ángulos iguales encuentras rodeando a P?

Una bisectriz es aquella recta que divide un ángulo en dos ángulos

de la misma medida.

c) Encuentra la bisectriz en el dibujo que pasa por el centro del círculo.

Pinta con un color al ángulo partido por esta recta.

03_B1_MATE 3.indd 46 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 1Lección 7

Conocimientos y habilidades

47

Individual

Individual

1.3. Determinar mediante

construcciones las posiciones relativas

entre rectas y una circunferencia

y entre circunferencias. Caracterizar

la recta secante y la tangente a una

circunferencia.

5. Efectúa lo que se pide en el siguiente ángulo.

a) Señala un punto sobre cada lado del ángulo que se encuentre cuatro

centímetros del punto A. Llama a estos puntos P y Q.

b) Traza rectas perpendiculares en P y en Q. Al punto de intersección

de estas rectas llámalo O.

c) Usando tu compás, dibuja un círculo con centro en O y radio OP.

¿Es este círculo tangente a las rectas?

d) Traza una recta que pase por A y O.

e) Verifica que la recta trazada es bisectriz del ángulo inicial.

6. Describe un método para trazar bisectrices a ángulos dados, escríbelo

y aplícalo en el siguiente ángulo.

P

A

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bloque 1Lección 8

Explora

48

En grupo

Individual

Ángulos en la circunferencia I

1. En un concurso, cinco arqueros se colocan como se muestra en la siguiente

figura:

Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué arquero o arqueros tienen más ventaja para atinar al blanco?

b) Si el ángulo de tiro del arquero central es de 15º, ¿los ángulos de tiro

de los otros arqueros son menores o mayores?

c) Comenta con tus compañeros cuáles son los factores que hacen

que un arquero tenga más ventaja para acertar al blanco. Tomen en

cuenta la distancia al blanco. ¿Será relevante tomar en cuenta la altura

del blanco?

150

1

2

3

4

5

03_B1_MATE 3.indd 48 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 8 49

Individual

Individual

2. En un partido de futbol se realizó la jugada que se diagrama en el siguiente

dibujo. Los tres puntos blancos son jugadores del equipo 1, cada uno tenía

despejado su ángulo de tiro. Aun así, el primer jugador decidió hacer un

pase al segundo, y el segundo al tercero, pensando que éste, por estar más

cerca, tenía más oportunidades de anotar.

a) Traza un círculo con centro en el punto rojo con negro que pase por

los tres jugadores y por los postes de la portería.

b) ¿Cómo son los ángulos de tiro de cada jugador?

c) Si los tres jugadores siempre hacen tiros al ras del pasto, ¿cuál tiene

más oportunidad de anotar? Argumenta tu respuesta.

3. Lee la situación y contesta.

Un relojero necesita mandar a hacer unas piezas para la maquinaria de

un reloj cucú que está fabricando. A continuación se muestra un dibujo

de la pieza y un diagrama que ilustra la geometría de la misma:

En la pieza en forma de engrane, se aprecia un tornillo que se mueve

sobre el riel de color gris. Soldados al tornillo se ven dos alambres que

pasan entre dos topes (puntos negros), los cuales sirven como ejes cuando

se desliza el tornillo sobre el riel. El ángulo ∡B es el que se forma entre

los dos alambres, mientras que el ∡A es el ángulo central del engrane.

B A AB

03_B1_MATE 3.indd 49 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 8

Estructura

50

Individual

Q

O

P

a) Mide estos ángulos con tu transportador.

∡A: ∡B:

b) ¿Qué crees que pase con el ángulo B cuando el tornillo se deslice

sobre el riel desde el centro hasta alguno de los extremos?

c) ¿Qué crees que pase con el ángulo B cuando el tornillo se mueva

de uno de los extremos al centro del riel?

d) Si los alambres formaran un ángulo rígido, ¿el tornillo podría

moverse a través del riel? ¿Por qué?

4. Observa la siguiente circunferencia:

En ella se aprecian dos puntos, P y Q, que la dividen en dos partes,

una de ellas está remarcada. El punto O indica el centro del círculo.

a) Pinta un tercer punto en cualquier lugar de la parte remarcada

y únelo con líneas rectas al punto P y al punto Q. Llama S a este

nuevo punto.

Existen dos tipos de ángulos que nos interesan en esta lección, los ángulos

inscritos y los ángulos centrales.

Los ángulos inscritos son

aquellos que tienen el vértice

sobre la circunferencia, y los

lados son rectas interiores a la

circunferencia.

Los ángulos centrales son

aquellos que tienen el vértice

en el centro de la circunferencia.

Ángulos inscritos Ángulo central

03_B1_MATE 3.indd 50 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 1Lección 8

Conocimientos y habilidades

Reafirma y profundiza

51

Individual

Individual

En grupo

1.4. Determinar la relación entre

un ángulo inscrito y un ángulo

central de una circunferencia, si

ambos abarcan al mismo arco.

b) ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que trazaste?

c) Compara tu resultado con tus compañeros. ¿Qué concluyes?

d) Mueve S a otro punto de la zona remarcada. ¿Cuánto mide ahora el

ángulo ∡OSP?

e) Traza el ángulo central cuyos lados pasan por P y Q. ¿Cuánto mide

el ángulo ∡POQ?

Todo ángulo inscrito intercepta un ángulo central del círculo.

f) Observa que el ángulo ∡POQ es el ángulo central interceptado

del ángulo ∡OSP. ¿Cuál es la relación entre las medidas de estos

ángulos?

g) Ahora, coloca el punto S en algún lugar de la parte sin remarcar.

¿Cuál es su medida?

h) Compara los resultados que obtuvieron tus compañeros

y compañeras del grupo. ¿Qué observas?

‘

5. Con tu transportador, confirma que todos los jugadores de la actividad 1

y de la actividad 2 tienen el mismo ángulo de tiro.

6. Traza en una hoja de papel, con ayuda de tu compás, tres círculos de

3 cm de radio. Coloca dos puntos cualesquiera sobre la orilla de cada uno

y repite toda la actividad anterior. Escribe a continuación las reglas que

observaste sobre las comparaciones de los ángulos medidos:

O

A

B

C

TIC

Existen varios programas en los que

puedes realizar experimentos de geo-

metría dinámica. Uno de ellos se lla-

ma GeoGebra, es software libre y se

puede descargar de la página www.

geogebra.org.

03_B1_MATE 3.indd 51 3/3/11 5:41 PM

bloque 1Lección 9

Explora

Estructura

Individual

Individual

52

Ángulos en la circunferencia II

1. Observa la figura y contesta utilizando las observaciones que realizaste en la actividad anterior. No realices ninguna medición.

a) ¿Cuál es la medida del ∡b?

b) ¿Cuánto mide el ∡c?

c) ¿Cuánto suman las medidas de ∡d y ∡e?

Las siguientes actividades nos permitirán entender por qué el ángulo central siempre mide el doble que el ángulo inscrito.

2. Examina el siguiente diagrama.

El punto O señala el centro del círculo, mientras que A y B son puntos sobre la circunferencia.

Observa

El centro de la circunferencia está sobre uno de los lados del ángulo inscrito ∡BAC.

56º

d

c b

e

B

OA C

b

a c

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bloque 1Lección 9

Individual

En grupo

53

a) Observa que los segmentos AO y BO son radios del círculo. ¿Qué tipo de triángulo es ∆ABO de acuerdo con la longitud de sus lados?

b) ¿Cómo son los ángulos ∡a y ∡b?

c) Usando la respuesta anterior y el hecho de que el tercer ángulo del triángulo mide 180º – a – b, ¿cuánto mide el ángulo c?

3. Ahora, observa el siguiente diagrama.

Realiza lo siguiente sin medir ningún ángulo:

a) Traza el diámetro que pasa por el punto A. Llama C al otro punto donde este diámetro toca la circunferencia.

b) Usando el resultado de la actividad 2, indica cuál ángulo inscrito es la mitad de qué ángulo central ∡COB.

c) Indica cuál ángulo inscrito es la mitad del ángulo ∡COB’. d) Comenta los resultados en clase y explica por qué el ángulo ∡BAB’

mide la mitad del ángulo ∡BOB’.

Recuerda

Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales.

Observa

El centro de la circunferencia está dentro del ángulo inscrito ∡BAB’.A

O

B

B’

04_B1_MATE 3.indd 53 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 9

Reafirma y profundiza

Individual

En grupo

54

4. Observa el siguiente diagrama.

a) Traza el diámetro que pasa por el punto A. Llama C al otro punto donde este diámetro toca la circunferencia.

b) Usando el resultado de la actividad anterior, indica cuál ángulo inscrito es la mitad de qué ángulo central ∡COB.

c) Indica cuál ángulo inscrito es la mitad del ángulo ∡COB’. d) Comenta los resultados en clase y explica por qué el ángulo ∡BAB’

mide la mitad del ángulo ∡BOB’.

5. Con ayuda de tu escuadra, dibuja en una hoja de papel un punto rojo y dos negros. Los tres puntos deben estar sobre un ángulo recto y el punto rojo en el vértice, como se muestra a continuación.

Observa

El centro de la circunferencia está fuera del ángulo inscrito ∡ABB’.

Individual

O

B

A B’

04_B1_MATE 3.indd 54 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 1Lección 9

Conocimientos y habilidades

En grupo

En grupo

55

1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

Como podrás ver, hay muchas formas de colocar la escuadra para obtener otros puntos rojos que, junto con los negros, formen un ángulo recto donde el punto rojo sea vértice. Pinta 30 puntos rojos con este método, separa unos de otros. Gira tu escuadra para que los puntos estén en lugares distintos.

a) ¿Qué figura se esboza con estos puntos?

b) Usando lo aprendido en las últimas dos lecciones, comenta con tus compañeros de clase y argumenta por qué sucede esto:

Comenta con tus compañeros y compañeras este resultado.

6. Realiza lo siguiente en tu cuaderno. Usa tu juego de geometría.

a) Traza con el compás un círculo de 6 cm de radio.

b) Con tu regla, dibuja un diámetro en el círculo. Nombra A y B a sus extremos.

c) Traza un punto cualquiera sobre la circunferencia que no coincida con los extremos del diámetro marcado. Llámalo C.

d) Traza un triángulo de manera que uno de sus lados sea el diámetro AB y que uno de sus vértices el punto C.

e) Mide el ángulo interno del triángulo en el vértice C.

f) Compara la medida con las de tus compañeros.

g) Si se considera el diámetro como un ángulo de 180º con vértice en el centro de la circunferencia.

i) ¿Cuál es el ángulo inscrito que corresponde a este ángulo

central?

ii) ¿Cuál debe ser la medida de este ángulo inscrito?

iii) ¿Por qué?

Individual

TIC

En GeoGebra dibuja un círculo y coloca, usando la herramienta Nuevo punto (New Point) cuatro puntos sobre su contorno.

Forma un cuadrilátero y mide sus ángulos.

¿Cómo son? ¿Qué pasa con ellos si mueves los puntos?

AB

C

D

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bloque 1Lección 10

Explora

Individual

Individual

56

Sectores circulares

1. Calcula el área de las siguientes figuras. Todos los radios necesarios miden una o dos unidades (por ejemplo, en la figura 4, el radio del hueco es de una unidad y el del círculo grande es de dos unidades).

a) Expresa tus resultados en términos de π. Observa el ejemplo.

Figura Área Figura Área

1 4π 4

2 5

3 6

2. Dentro de un corral cuadrado hay una cabra amarrada en una esquina. La cabra sólo puede moverse tan lejos como la cuerda de 5 metros le permite. El corral tiene 36 metros cuadrados.

a) ¿Cuánto mide un lado del corral?

b) Haz un dibujo en tu cuaderno del corral y dentro dibuja con tu compás el área en la que puede moverse la cabra.

c) ¿Cuanto mide el área en la que la cabra puede pastar?

d) ¿Cuánto mide el área del corral que la cabra no alcanza?

1

2

3

4

5

6

04_B1_MATE 3.indd 56 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 10

Estructura

Individual

Individual

57

3. Observa el sector circular y luego expresa qué fracción del círculo repre-sentan los sectores con los ángulos señalados.

Ángulo central del sector

Fracción del círculo

Ángulo central del sector

Fracción del círculo

180º 12 72º

90º 14 60º

120º 144º

270º 240º

30º 15º

Para calcular el área de un sector circular con ángulo A, hay que hacer lo siguiente:

• Calcular qué proporción de los 360º es ∡A.

• Calcular el área del círculo completo y multiplicarlo por la proporción obtenida anteriormente.

4. Calcula las áreas de las secciones circulares.

a = e =

b = f =

g =

90°

a

b

e

f

g

90° 120°

r = 2

r = 3

= 14 de círculo

04_B1_MATE 3.indd 57 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 10

Individual

58

c = j =

d = k =

Para calcular el área de una rebanada o sección de corona hay que hacer lo siguiente:

• Primero hay que calcular el área del círculo más grande y restarle el área del agujero interior.

• Una vez hecho esto, procedemos igual que con las seccionesde círculo, multiplicando por la proporción adecuada.

5. Calcula el área de las siguientes coronas:

a) b)

c)

r = 1.

5

r = 572°

Área = 25π – 9π = 16π

3

5

6

3.5 3.5

1.5 2.5

10

Área = 34 16π

= 12π

45°

jc

kd

Reafirma y profundiza

04_B1_MATE 3.indd 58 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 10

Conocimientos y habilidades

Individual

Individual

59

1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

6. Calcula el área de las siguientes secciones de coronas:

a) b) c)

7. Este es el esquema del diamante en un campo de beisbol profesional. Se requiere saber el área del campo para calcular la cantidad de agua de riego necesaria para el cuidado del pasto.

Usando los datos del esquema, calcula el área total del campo.

Área =

8. Se necesita comprar fertilizante para el mantenimiento del campo, pero el pasto de color claro requiere de un tipo y el de color oscuro de otro. Si el montículo del lanzador mide 5.5 metros de radio, ¿cuánta área abarca el pasto de color oscuro? ¿y el de color claro? (ignora los cojines blancos del home)

Claro = Oscuro = Montículo =

9. Una cabra está atada a la mitad de una cerca que mide 4 metros. Si la cuerda con la que está atada mide 5 metros, ¿cómo es la forma del espacio donde puede pastar y cuál es su área? Contesta en tu cuaderno.

Individual

Individual

5 3 31.5 135°

100°

4

142°31.9828m

13.7m

27.4m

28.9m

r = 8m

10

04_B1_MATE 3.indd 59 4/25/11 5:33 PM

bloque 1Lección 11

Explora

Estructura

Individual

Individual

60

Relaciones lineales I

1. Examina la situación y después contesta.

Un tanque de agua se llenó usando una bomba hidráulica. En seguida se presenta una tabla y una gráfica que muestran el nivel del agua en el tanque con respecto al tiempo transcurrido. Las mediciones se tomaron durante los primeros 10 minutos en intervalos de dos.

Minutos Litros

0 20

2 30

4 40

6 50

8 60

10 70

a) ¿Cuánta agua entra al tanque cada dos minutos?

b) ¿Cuántos litros entran por minuto?

c) ¿Cuánta agua había en el tanque antes de comenzar a llenarlo?

d) ¿Cuánta agua había en el tanque a los 4 minutos?

e) ¿Y a los 10?

f) En el minuto 7 no se tomó lectura alguna, obtén la cantidad de litros

que había en el tanque observando la gráfica:

2. El tanque se terminó de llenar a los 15 minutos, calcula su capacidad si….

a) Si después de los 10 minutos el agua siguió entrando de la misma

forma:

b) Si a los 10 minutos el flujo de agua aumentó al doble:

c) Si a los 10 minutos el flujo de agua se redujo a la mitad:

70

60

50

40

30

20

10

02 4 6 8 10

04_B1_MATE 3.indd 60 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 11 61

120

100

80

60

40

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

La gráfica siguiente muestra el caso en el que a partir del minuto 10 el flujo de agua aumenta al doble (es decir a 10 litros por minuto). En este caso, el tanque sigue llenándose hasta llegar a su capacidad total de 120 litros.

Observa la inclinación que tiene la gráfica antes del minuto 10 y después de éste.

d) Completa la siguiente tabla, considera los resultados y los razonamientos que realizaste en los incisos anteriores.

Minutos Flujo constante Flujo aumentado Flujo disminuido

0

2

4

6

7

10

11

13

15

Varias de las relaciones que aquí has visto pueden expresarse con funciones lineales. Por ejemplo, si llamamos x al número de minutos transcurridos y y a la cantidad de litros dentro del tanque, entonces:

y = 20 + 5x

Litro

s

Minutos

04_B1_MATE 3.indd 61 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 11

En grupo

62

e) Ahora, elabora, sobre el mismo plano cartesiano, las tres gráficas correspondientes con diferentes colores:

Siempre que dos variables están relacionadas, puede estudiarse el cambio de una respecto de la otra. En el ejemplo anterior, podemos ver que, du-rante los primeros 10 minutos, el agua aumentaba 5 litros por unidad de tiempo (minutos). A esto le llamamos razón de cambio; así, en este ejemplo, decimos que la razón de cambio es 5 litros por minuto.

f) ¿Cuál es la razón de cambio entre los minutos 10 y 15 si se aumenta

al doble el flujo de agua?

g) ¿Y si el flujo se reduce a la mitad?

Esta ecuación describe cómo se lleno el tanque en los primeros 10 minutos, puede verse que en el tiempo inicial (cuadro x = 0) había ya 20 litros dentro del tanque.

h) ¿Cómo se alteró la razón de cambio en cada uno de los casos?

i) ¿Cómo se interpretaría el hecho de que la razón de cambio fuera

cero?

j) ¿Cómo sería la razón de cambio si en lugar de llenar el tanque le

quitáramos agua?

• Con ayuda de tu profesor comenta tus respuestas con tus compañeros de clase.

120

100

80

60

40

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

Litro

s

Minutos

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bloque 1Lección 1Lección 11

Conocimientos y habilidadesReafirma y profundiza

Individual

Individual

63

1.6. Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo representa.

3. En los espacios, elabora tablas y gráficas de las situaciones y contesta.

a) Una persona aborda un taxi privado en la ciudad de Nueva York. Al comienzo del recorrido, el taxímetro marca 2 dólares y aumenta una cierta cantidad cada minuto. Tras recorrer 20 minutos, el taxímetro marca 12 dólares.

i) ¿Cuál es la razón de cambio del precio contra el tiempo?

ii) ¿Cuánto tendrá que pagar esta persona al bajarse del taxi si su

viaje dura 35 minutos?

4. Elabora las tablas y gráficas que se piden en tu cuaderno y contesta.

a) En un laboratorio que fabrica cristales es necesario cuidar la temperatura de los distintos procesos. Uno de éstos comienza con una temperatura de 990 ºC y tiene que enfriarse a razón de 120 ºC por día durante 8 días.

i) ¿Qué ecuación modela este fenómeno?

b) Para preparar un kilogramo de flan napolitano es necesario, entre otros ingredientes, 190 gramos de queso crema y 360 mililitros de leche evaporada. Haz una tabla de las cantidades necesarias de queso crema y leche evaporada para hacer flanes desde medio kilogramo, 1 kilogramo, kilogramo y medio y así hasta 5 kilogramos. Elabora una gráfica donde se muestre la dependencia de la cantidad de queso crema con respecto al peso del flan, y otra para la cantidad de leche evaporada.

i) ¿Qué gráfica es más vertical?

ii) ¿Cuánto se requiere de cada ingrediente para hacer un flan

de 3.33 kilogramos?

04_B1_MATE 3.indd 63 3/30/11 11:45 AM

bloque 1Lección 12

Explora

Individual

64

Relaciones lineales II

1. Lee la situación y contesta.

Un avión comercial sale de la ciudad de Tokio con destino a París. Su

vuelo dura 12 horas, y recorre 9 771 millas.

a) Suponiendo que el avión conservó una velocidad constante, ¿cuál es

la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo?

b) Un avión militar, sale dos horas más tarde, del mismo aeropuerto con

el mismo destino, pero al doble de velocidad. Completa la tabla:

Horas Avión comercial Distancia (millas) Avión militar Distancia (millas)

0 0 0

2 0

4

6

8

10

12 9 771

c) ¿Cuántas horas tarda el segundo avión en llegar a París?

d) Usa la variable x para el tiempo, y para las millas y escribe la

ecuación que modela el viaje del primer avión.

e) En el plano cartesiano de la izquierda, realiza las gráficas de cada

avión (recuerda que ambos aviones se frenan al terminar su

recorrido).

f) Midiendo la gráfica, da una aproximación de las coordenadas

del punto en el que los aviones se cruzan:

g) ¿Cuál es la razón de cambio del segundo avión?

9 771

millas

horas

06 h 12 h

05_B1_MATE 3.indd 64 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 12

Estructura

Individual

En grupo

65

h) ¿Observando la gráfica únicamente, puedes decir qué avión va más

rápido? Comenta con tus compañeros y concluye:

2. Calcula las razones de cambio de cada ecuación (de y con respecto a x)

y completa la siguiente tabla.

EcuaciónRazón

de cambioEcuación

Razón de cambio

y = 0 0 y = 2 0

y = 12 x

12 y = 1 + x 2

y = x y = x – 1

y = 2x y = 2x + 12

y = 3x y = 3x – 1

a) En el siguiente plano cartesiano dibuja las rectas correspondientes a

las ecuaciones, usa un color diferente por cada renglón de las tablas.

(Por ejemplo, del primer renglón, pinta las gráficas de y = 0 y y = 2

con un color azul).

y

x

05_B1_MATE 3.indd 65 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 12

Reafirma y profundiza

Individual

66

La razón de cambio de una relación está ligada con la pendiente de la

gráfica correspondiente. Por esto mismo, a la pendiente de una recta se le

asocia el mismo valor.

Por ejemplo, la siguiente gráfica corresponde a la ecuación y = x

2. Por

lo tanto, la razón de cambio es 12, y decimos que la pendiente de la recta

es también 12.

3. Dibuja en el siguiente plano cartesiano rectas con pendientes –2, –1, 0, 12,

1, 2 que no pasen por el origen. Posteriormente, escribe sus respectivas

ecuaciones en las tablas de la siguiente página.

y

x

y

x

05_B1_MATE 3.indd 66 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 1Lección 12

Conocimientos y habilidades

Individual

En grupo

67

Pendiente Ecuación Pendiente Ecuación

0 – 12

1 –1

2 –2

4. A continuación se muestran las temperaturas promedio que hubo en el

D. F. durante los meses de 2007.

Mes Temperatura Mes Temperatura

1. Enero 13 ºC 7. Julio 16.4 ºC

2. Febrero 15.3 ºC 8. Agosto 17 ºC

3. Marzo 17.2 ºC 9. Septiembre 16.4 ºC

4. Abril 18.3 ºC 10. Octubre 15.9 ºC

5. Mayo 19 ºC 11. Noviembre 15.1 ºC

6. Junio 17.7 ºC 12. Diciembre 13.1 ºC

a) Realiza en tu cuaderno una gráfica formada por segmentos de recta

(tomando a enero como el tiempo cero). Representa la temperatura

en el eje y y el tiempo en el eje x.

b) Llena la tabla con las pendientes correspondientes a los intervalos

señalados.

Intervalo Pendiente Intervalo Pendiente

0-1 (Ene-Feb) 5-6

1-2 (Feb-Mar) 6-7

2-3 7-8

3-4 8-9

4-5 10-11(Nov-Dic)

c) ¿Entre qué meses varió más rápido la temperatura?

d) ¿Entre qué meses aumentó más rápido?

e) ¿Entre qué meses disminuyó más rápido?

f) ¿En qué mes se alcanzó la temperatura más alta?

g) ¿En qué meses disminuyó la temperatura?

h) ¿En cuáles aumentó?

¿Con qué medio es más rápido contestar las preguntas anteriores?, ¿viendo

la tabla o viendo la gráfica (observando las pendientes de las rectas)?

• Qué situaciones de la vida cotidiana pueden describirse mediante

la razón de cambio? Comenta con tus compañeros y compañeras.

Anota tus conclusiones en tu cuaderno.

1.6. Analizar la razón de cambio

de un proceso o fenómeno que

se modela con una función lineal

y relacionarla con la inclinación

o pendiente de la recta que

lo representa.

05_B1_MATE 3.indd 67 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 13

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

41,323

131,299289.883

Accidentes en condiciones de aliento alcohólico

39,828

120,029292.376

40,219

200,578202,810

178,428205,144

40,918

117,915184,756

62,198150,865

201,70746,430

90,071175,637

46,230

173,28872,953

39,253

79,835148,575

34,277

Sí

No

Se ignora

Explora

Individual

Individual

68

Organización de datos I

1. Analiza la tabla y contesta lo que se te pide.

Un estudio del inegi sobre los accidentes de tránsito terrestre en la

República Mexicana ocurridos entre 1998 y 2006, arrojó los siguientes

datos sobre las condiciones de aliento alcohólico:

* Bajo condiciones de aliento alcohólico **Se ignora Tabla 1

a) ¿Durante qué año hubo mayor cantidad de accidentes bajo

condiciones de aliento alcohólico?

b) ¿En qué año hubo menor incidencia de accidentes bajo condiciones

de aliento alcohólico?

c) Obtén el promedio de accidentes que hubo bajo condiciones de

aliento alcohólico entre el 1998 y el 2006.

2. Observa la siguiente gráfica que corresponde a la tabla anterior y contesta

lo que se te pide:

Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Total 262 687 285 494 311 938 364 869 399 002 424 490 443 607 452 233 462 505

Sí* 34 277 39 253 46 230 62 198 46 430 40 918 40 219 39 828 41 323

No* 148 575 173 288 175 637 184 756 201 707 205 144 202 810 292 376 289 883

S.i.** 79 835 72 953 90 071 117 915 150 865 178 428 200 578 120 029 131 299

05_B1_MATE 3.indd 68 4/25/11 6:04 PM

bloque 1Lección 13

75

87

Hombre Mujer Se ignora (se fugó)

Porcentaje de accidentes por género

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

84 84 84 84 8383

8 96 6

107 7 8 8 8 98 810 10

7

17 19

72

Estructura

En pareja

69

a) ¿En qué año observas una diferencia significativa entre los accidentes

causados bajo condiciones de aliento alcohólico y los que no estaban

bajo esas condiciones?

b) Observando la gráfica, ¿cuáles fueron los tres años en los que hubo

menor cantidad de accidentes causados bajo condiciones de aliento

alcohólico?

c) ¿Con cuál de los dos modelos de información pudiste contestar más

rápido las preguntas: con la tabla o con la gráfica? Argumenta tu respuesta.

3. Formen equipos de dos personas y realicen los siguientes ejercicios.

a) En el mismo estudio del inegi acerca de los accidentes de tránsito

terrestre se obtuvieron los siguientes datos con respecto al género de

los conductores:

b) Utilicen la tabla de “condiciones de aliento alcohólico” de la sección

anterior y la gráfica de porcentajes de accidentes por género para

llenar la siguiente tabla (si obtienen decimales redondeen):

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Total de accidentes 424 490

Conductores hombres 352 327

Conductores mujeres 21015 29 714 41 625

Se ignora 18 716 42 449

Tabla 2

05_B1_MATE 3.indd 69 4/25/11 5:38 PM

bloque 1Lección 13

Porcentaje del uso del cinturón en accidentes

1998

0% 0%0%

8% 10%13%

25%

79%

65%

0%

100%

Sí No Se ignora

99%

1999 2000 2001

Individual

En grupo

En grupo

70

i) Al observar la gráfica, ¿en qué año hubo mayor número

de accidentes causados por conductores hombres?

ii) Al observar la gráfica, ¿en qué año hubo menor número

de accidentes causados por mujeres?

iii) Contesten la pregunta anterior usando esta vez la tabla que

obtuvieron.

iv) ¿Coinciden sus respuestas? Comenten con sus compañeros

y compañeras, escriban sus conclusiones.

v) ¿Cuándo conviene usar la tabla y cuándo la gráfica? ¿Qué detalles

hay que cuidar en el uso de cada una?

4. Observa la siguiente gráfica que corresponde al uso del cinturón de se-

guridad en los accidentes registrados durante 1998 al 2001.

a) Construye en tu cuaderno una tabla que represente los datos de la

gráfica de la mejor forma, utiliza también el total de accidentes que

corresponde a cada año (tabla 1 o 2). Al terminar, compárala con la

de los tus compañeros y compañeras.

05_B1_MATE 3.indd 70 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 1Lección 13

Conocimientos y habilidades

En grupo

71

1.7. Diseñar un estudio o

experimento a partir de datos

obtenidos de diversas fuentes y

elegir la forma de organización

y representación tabular o gráfica

más adecuada para presentar la

información.

5. Junto con todo el grupo, realiza una encuesta para recabar información

acerca de los deportes que son más populares entre tus compañeros de clase.

Con la información que se recabe de todo el grupo, contesta lo que se te

pide, realiza una tabla y una gráfica que representen los datos obtenidos.

a) ¿Cuántos deportes hubo en total?

b) ¿Cuál es el deporte más popular en tu grupo?

c) ¿Cuál es el deporte más popular por género?

d) ¿Qué cantidad de compañeros prefieren cada deporte?

e) ¿Cuántos son mujeres y cuántos son hombres?

f) ¿Cuántas horas a la semana lo practican?

g) Formula tres preguntas más en tu cuaderno y contéstalas.

Reafirma y profundiza

05_B1_MATE 3.indd 71 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 14

Explora

Individual

72

Organización de datos II

1. Lee el texto, observa la gráfica y contesta.

El inegi efectuó un estudio nacional sobre el empleo de la población eco-

nómicamente activa. La información se recopiló entre el 1er trimestre de

2005 y el 1er trimestre de 2008. Se obtuvieron datos sobre variables como

el nivel de estudios, el género y la cantidad de personas económicamente

activas que hay entre ciertos rangos de edad.

Dicho estudio indicó que en el 1er trimestre de 2008 había 43 320 677

personas económicamente activas en todo el país.

a) ¿A qué se refiere el texto con el término variables?

b) ¿Cuál variable corresponde a la gráfica?

c) ¿A qué rango de edades pertenece el mayor grupo de personas

económicamente activas? y ¿a qué rango de edades

el menor grupo? .

d) Encuentra dos rangos de edades en los que se ubique aproximadamente

la mitad de las personas.

14-19 años 20-29 años 30-39 años 40-49 años 50-59 años 60- en adelante

05_B1_MATE 3.indd 72 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 14

Estructura

En equipo

73

e) ¿Es posible hacer una tabla que represente la información presentada

en la gráfica anterior? Argumenta tu respuesta.

f) Investiga qué significa población económicamente activa y anótalo

en seguida.

2. Formen equipos de tres integrantes, lean la información, observen la tabla

y respondan.

La unam cuenta con 52 carreras en su campus universitario, algunas tienen

gran demanda, mientras otras son muy poco solicitadas. En 2007, había

inscritos 78 866 alumnos en los 52 planes. La tabla 1a muestra las 10 carre-

ras con menor demanda y la tabla 1b las 10 carreras con mayor demanda.

Manejo Sustentable de Zonas Costeras 10 Psicología 2 691

Investigación Biomédica Básica 62 Medicina, Veterinaria y Zootecnia 2 757

Arquitectura de Paisaje 78 Cirujano Dentista 2 850

Lengua y Literaturas Modernas (Letras

Francesas)110 Ciencias de la Comunicación 2 944

Lengua y Literaturas Modernas (Letras

Alemanas)134 Economía 3 125

Lengua y Literaturas Modernas (Letras

Italianas)176 Arquitectura 5 003

Ingeniería e n Telecomunicaciones 183 Administración 5 042

Urbanismo 199 Médico Cirujano 5 746

Ingeniería G eomática 200 Contaduría 6 709

Ingeniería de Minas y Metalurgia 202 Derecho 8 636

Tabla 1a Tabla 1b

a) ¿Qué porcentaje corresponde a la cantidad de alumnos de Derecho

con respecto a la población total? ¿que porcentaje

corresponde a los alumnos de la carrera de Psicología?

b) ¿Qué porcentaje corresponde a la cantidad de alumnos que hubo en

las 10 carreras de baja demanda con respecto a la población total?

05_B1_MATE 3.indd 73 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 14

En grupo

74

c) Elabora en una nueva tabla con los datos de la tabla 1a, pero con

porcentajes en lugar de cantidades. Haz lo mismo para la tabla 1b.

Tabla 1c Tabla 1d

d) ¿Qué tipo de gráfica representa más adecuadamente los datos de la

tabla 1a (líneas, polígono de frecuencia, barras, pastel, etcétera)?

¿Y de la tabla 1c?

e) Comenta con tus compañeros las ventajas y desventajas de cada tipo

de gráfica. Al terminar, dibuja la gráfica que consideres más adecuada

para la tabla 1d.

f) Anota tus conclusiones:

05_B1_MATE 3.indd 74 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Lección 1Lección 14

Conocimientos y habilidadesReafirma y profundiza

En grupo

En pareja

Individual

75

3. En parejas, realicen una encuesta acerca del tiempo que tardan en llegar

de la casa a la escuela.

a) Elaboren en su cuaderno una tabla tomando intervalos de tiempo

de 10 minutos en 10 minutos.

b) Elaboren una gráfica de polígono de frecuencia con los datos de su

tabla.

c) Con la ayuda de la gráfica, obtengan el promedio aproximado que

tardan en llegar a la escuela.

d) Calculen la media, la mediana y la moda.

e) ¿Qué otras preguntas podrían hacer en este estudio para conocer más

acerca del trayecto de sus compañeros de la casa a la escuela?

4. Relaciona, mediante líneas, los siguientes tipos de gráficas con los datos

que mejor se representen en ellas.

• Datos cuantitativos de una

muestra del 100%

• Porcentajes

• Datos cuantitativos de una

muestra cualquiera

• Comenta tu respuesta con tus compañeros y compañeras.

1.7. Diseñar un estudio o

experimento a partir de datos

obtenidos de diversas fuentes y

elegir la forma de organización

y representación tabular o gráfica

más adecuada para presentar la

información.

05_B1_MATE 3.indd 75 3/3/11 5:42 PM

bloque 1Para reforzar

y

3

x

2

x

x y

y

x

z y

Repaso

76

1. Escribe tres expresiones algebraicas para indicar las áreas de las figuras (simplifica cuando se pueda):

a) expresiones:

b) expresiones:

2. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

Expresión Factorización

3a4b + 6a2b – 5a6b2 + 8a4b + 4a2b2

x2 – 5x – 36

a2 + 4a(a + b) + 4(a + b)2

a2 + 24am2x2 + 144m4x4

(y + x)2 – (x + z)2

64x2y4z8 – a6

x2y4 – 121

4x2 – (x + y)2

15c3d2 + 60c2d3

a3 + 7a – 9a – 63

w2 – 6w – 40

–4m(n – m) + 4m2 + (n – m)2

n 2 + 28n – 29

16x3y2 – 24x4y4 – 40x2y3

1 – x + 2a(1 – x)

a2 + 2a(a + b) + (a + b)2

06_B1_MATE 3.indd 76 3/2/11 4:08 PM

bloque 1Para reforzar 77

3. ¿Cuánto suman dos ángulos adyacentes del paralelogramo?

4. ¿Cuánto suman los ángulos internos de cualquier paralelogramo?

5. En un paralelogramo, los ángulos opuestos son y los

adyacentes son

6. Encuentra el centro del círculo de la derecha y traza dos tangentes a un punto que tú escojas fuera de éste.

7. Dibuja el círculo que pasa por los siguientes tres puntos:

8. ¿Cuál es la relación entre un ángulo inscrito y uno central que abarcan el

mismo arco?

06_B1_MATE 3.indd 77 3/2/11 4:08 PM

bloque 1Para reforzar

Estudio de caso

78

Población mundial

Un continente es una gran extensión de tierra que se diferencia de otras menores o sumergidas por conceptos geográficos y culturales, como océanos y etnografía. Típicamente, estas grandes masas son subdivididas geográficamente o culturalmente (la división Asia/Europa).

• África. Limita con Asia por el Canal de Suez (Egipto) y separado de Europa por el Estrecho de Gibraltar (España, Marruecos), extendiéndose hacia el suroeste hasta el Cabo de Buena Esperanza (Sudáfrica).

• Antártida. Rodea al Polo Sur. Separada de América por el Pasaje de Drake, de Oceanía por el límite entre los océanos Pacífico e Índico, y de África por el límite entre este último y el Atlántico.

• América. Separada de Asia por el noroeste en el Estrecho de Bering y dividida tradicionalmente en dos subcontinentes: Norteamérica y Sudamérica en las inmediaciones de la frontera entre Panamá y Colombia.

• Norteamérica. Ubicada en el semihemisferio noroccidental. Incluye también a Centroamérica desde el Istmo de Panamá.

• Sudamérica. Se extiende desde el sur del canal hasta el Cabo de Hornos.

• Eurasia. Separada de África por el Canal de Suez y el Estrecho de Gibraltar. Se le divide tradicionalmente, a través de los Montes Urales en dos subcontinentes:

• Asia. Se extiende hacia el este y noreste hasta el Estrecho de Bering y el Océano Índico.

• Europa. Se extiende hacia el poniente hasta la Península Ibérica (España, Portugal).

• Oceanía. Al sureste de Asia, entre los océanos Índico y Pacífico.

La siguiente tabla muestra la población de estos continentes entre 1970 y 2004.

Año África Asia Europa Sudamérica Norteamérica Oceanía

1970 357 283 000 2 143 118 000 655 855 000 284 856 000 231 937 00 19 443 000

1975 408 160 000 2 397 512 000 675 542 000 321 906 000 243 425 000 21 564 000

1980 469 618 000 2 632 335 000 692 431 000 361 401 000 256 068 000 22 828 000

1985 541 814 000 2 887 552 000 706 009 000 401 469 000 269 456 000 24 678 000

1990 622 443 000 3 167 807 000 721 582 000 441 525 000 283 549 000 26 687 000

1995 707 462 000 3 052 000 000 727 405 000 481 099 000 299 438 000 28 924 000

2000 795 671 000 3 679 737 000 727 986 000 520 229 000 315 915 000 31 043 000

2004 890 000 000 3 800 000 000 710 000 000 371 000 000 515 000 000 33 552 994

06_B1_MATE 3.indd 78 3/2/11 4:08 PM

bloque 1

África

Asia

Europa

Sudamérica

Norteamérica

Oceanía

Para reforzar 79

En 2004, la población mundial era aproximadamente de 6 453 628 000 personas y se espera que en 2027 seamos en total 8 mil millones.

a) ¿En cuál de los continentes de la tabla creció más drásticamente

el número de personas?

b) ¿Cuál es el porcentaje que representaba la población de Europa en

1985? ¿Qué porcentaje Asia?

c) ¿Cuál ha sido la media de crecimiento de Norteamérica entre 1970

y 2004?

d) Observa la siguiente gráfica y contesta.

i) Observando la gráfica, ¿cuál era el continente más poblado

en 2004? ¿Y el menos poblado?

ii) De acuerdo con las estadísticas de 2004, ¿en qué parte del

mundo habitaba más del 50% del total de la población humana?

06_B1_MATE 3.indd 79 3/2/11 4:08 PM

bloque 1Para reforzar

Museo de las matemáticas

80

En el uso diario de los números hay uno muy especial que aparece repe-tidamente en las conversaciones de los matemáticos. Es el número áureo también llamado razón áurea, razón dorada, proporción áurea y divina proporción representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número:

φ = 1 + √ 5 111

≈ 1.618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638…

Este maravilloso número aparece repetidamente en el estudio del cre-cimiento de las plantas, de las piñas de los pinos, en la formación de los caracoles, en la arquitectura antigua, en la pintura y ¡hasta en la forma del cuerpo humano!

Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes de tamaños distintos. Existe una forma de dividir el segmento, de modo que la razón que guarden el segmento completo y la mayor de las partes sea igual a la relación que guardan la mayor de las partes y la menor; es decir:

Segmento mayor Segmento menor = Segmento total

Segmento mayor

Segmento total = segmento mayor + segmento menor

Algunos ejemplos en donde aparece la proporción áurea son:

a

a + b

b

El Partenón

Nautilus

Catedral de Notre Dame

06_B1_MATE 3.indd 80 3/2/11 4:08 PM

bloque 1Para reforzar

34 cm

21 cm

13 cm

A B

Pasatiempo matemático

81

“El hombre es la medida

de todas las cosas”

Protágoras, siglo V a.n.e.

Como vimos en el "Museo de las matemáticas", el número áureo es un número muy particular que aparece en diversos lugares de la naturaleza y arquitectura.

Con esta actividad, podrás comprobar que ¡las partes del cuerpo humano guardan esta proporción! Para hacerlo, vamos a construir un instrumento llamado compás áureo. Se trata de un compás cuyos segmentos se cortan en esta proporción. A diferencia de los compases normales, éste tiene tres puntas. Las dos distancias que generan están en proporción áurea.

Necesitamos

• 4 palitos perforados como los de la figura.• Estambre resistente o tachuelas y corcho.

Instrucciones

• Une los palitos usando el estambre como se muestra en la figura. En caso de unirlos con tachuelas y corcho, usa éstos como prensa en los agujeros.

¡A divertirse!

Usa tu compás áureo para medir diferentes partes del cuerpo, muchas están en proporción áurea. Intenta abriendo el compás de tal forma que la abertura A mida el diámetro de tu boca, entonces la abertura B medirá el diámetro de tu nariz. Usando una foto cuando el compás no sea lo suficientemente grande, prueba con las siguientes partes.

• La distancia de tu barbilla a la punta de tu nariz, y de la punta de tu nariz a donde comienza el cabello en la frente.

• La distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.

• La distancia de tu cabeza a tu ombligo y la distancia de tu ombligo a tus pies.

• La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange.

Como veras, el cuerpo humano guarda en varias de sus partes una pro-porción áurea. ¿Alguna vez has escuchado hablar del hombre de Vitruvio de Leonardo Da Vinci? Investiga acerca de este boceto y relaciona lo que acabamos de ver. Si consigues una imagen, mídela con el compás y verás cómo en el arte lo estético y la proporción áurea van de la mano.

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bloque 1Evaluación

Base 1

Altu

ra

Base 2

x 5

x

5

Resuelve los reactivos y repasa las lecciones donde detectes dificultades.

1. Observa el siguiente cuadrado construido a partir de rectángulos y otros cuadrados:

¿Cuál es la representación del área de la figura completa?

a) (x + 5)2

b) (x2 + 5x + 25) c) (x + 5) (x – 5) d) (x2 + 52)

2. La expresión x2 + xy representa el área de la siguiente figura compuesta, ¿cuáles son sus medidas?

a) Altura = x, Base 1= y, Base 2= x. b) Altura = x, Base 1= x, Base 2= y. c) Altura = y, Base 1= y, Base 2= x. d) Altura = y, Base 1= x, Base 2= x.

3. Al multiplicar dos números el resultado es -10 y al sumarlos es -3. Selecciona la relación correcta:

a) Ambos números son de signo idéntico y el mayor es el doble más uno del menor.

b) Los números tienen signos contrarios y el mayor es el doble más uno del menor.

c) Ambos números son de signo idéntico y el menor es el doble más uno del mayor.

d) Los números tienen signos contrarios y el menor es el doble más uno del mayor.

4. Una de las siguientes afirmaciones es verdadera, ¿cuál es?

a) Si un cuadrilátero tiene simetría central entonces sus ángulos son iguales. b) Si un cuadrilátero tiene simetría central entonces sus ángulos

opuestos son complementarios. c) Si un cuadrilátero tiene simetría axial entonces todos sus ángulos

opuestos son iguales. d) Si un cuadrilátero tiene simetría axial entonces sus ángulos opuestos

por el eje son iguales.

5. Una de las siguientes afirmaciones es falsa ¿cuál es?

a) Los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo son iguales. b) Los ángulos adyacentes de cualquier paralelogramo son

suplementarios. c) Todo paralelogramo queda dividido en dos triángulos isósceles al

partirlo por cualquiera de sus diagonales. d) Todo paralelogramo queda dividido en dos triángulos congruentes al

partirlo por cualquiera de sus diagonales.

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bloque 1Evaluación

3.5 3.5 3

6 10 5

a) b) c)

6. En el dibujo de la derecha hay una recta AB y una circunferencia.

Basándose en la construcción, ¿cuál de las siguientes oraciones es afirmativa?

a) La recta es tangente al círculo, puede apreciarse a simple vista. b) La recta puede ser tangente o no al círculo, faltan datos. c) La recta no es tangente al círculo ya que el ángulo en P no es el

correcto. d) La recta no es tangente al círculo ya que el ángulo en O tiene que

ser recto.

7. Observa el dibujo. Si cada futbolista tira un cañonazo a ras del piso a una portería sin portero desde su posición actual, ¿cuál de todos tiene mayor probabilidad de anotar?

a) Todos tienen la misma probabilidad de anotar. b) El 1°, por estar más cerca de la portería. c) El 2°, por estar justo de frente y tener mejor ángulo de tiro. d) El 3°, por tener mejor ángulo de tiro que el primero y estar más

cerca que el segundo.

8. ¿Cuál de las siguientes coronas tiene mayor área? (Están dibujadas con escalas diferentes.)

a) La corona a). b) La corona b). c) La corona c). d) Las 3 tienen la misma área.

9. Para enfriar un vidrio moldeado a 992 grados Celsius, se baja la tempe-ratura del horno durante 8 días hasta 120 grados, si se hiciera más rápido el vidrio se cuartearía y si se hiciera más lento saldría más caro el proceso. ¿Cuál es la razón de cambio al expresar la temperatura en términos del tiempo?

a) 109 b) –109 c) 139 d) –139

10. ¿Qué tipo de dato se representa mejor con la siguiente gráfica?

a) Datos cuantitativos de una muestra del 100%. b) Porcentajes. c) Datos cuantitativos de una muestra cualquiera. d) Todos los anteriores.

A

P

O

B

31º

1º

2º

3º

60º

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