3- resistencia

- 100/260 - FORMACIN COMPLEMENTARIA EN INGENIERA MECNICA

3. - Resistencia de Materiales.


3.1.- Introduccin. Como ya se ha indicado, la resistencia de materiales aplica las hiptesis de elasticidad de forma simplificada a slidos deformables con una geometra caracterstica como barras, placas o lminas.

Se va a analizar el caso de barras a partir del modelo geomtrico de prisma mecnico.

Un prisma mecnico es un slido terico generado por una seccin plana, denominada indicatriz, cuyo centro de gravedad (G) describe una curva (c) llamada directriz siendo el plano que contiene a la seccin normal a la curva (Figura 3.1).

Figura 3.1 Prisma mecnico.

Adems de las ya indicadas se tendrn tambin en cuenta las siguientes hiptesis:

1- Todos los puntos del slido se mantienen dentro de los lmites del comportamiento elstico lineal.

2- Las secciones planas normales a la lnea directriz antes de la deformacin siguen siendo planas despus de la deformacin (hiptesis de Bernoulli)

Los prismas mecnicos se pueden clasificar dependiendo de distintos parmetros. En funcin de la geometra de la lnea directriz se clasifican en

Planos. Cuando la directriz est contenida en un plano.

Rectos. Cuando la directriz es recta.

Alabeados. Cuando la directriz no est contenida en un plano (Figura 3.2).

Figura 3.2 Prisma alabeado.

En funcin de la geometra de la seccin a lo largo de la directriz

Constante. Cuando la seccin del prisma es la misma en toda la longitud de la directriz (Figura 3.3).

Figura 3.3 Prisma recto de seccin constante.

Variable. Cuando la seccin del prisma vara a lo largo de la longitud de la directriz (Figura 3.4).



Figura 3.4 Prisma de seccin variable.

A retallos. Cuando la seccin del prisma vara a lo largo de la longitud de la directriz, pero permanece constante dentro de ciertos dominios (Figura 3.5).

Figura 3.5 Prisma de seccin constante a retallos.

En funcin de las dimensiones

Vigas.

Son elementos resistentes en los que las dimensiones de la seccin transversales a la directriz son pequeas respecto de su longitud (la longitud es al menos diez veces mayor que las dimensiones caractersticas de la seccin, L 10 h). Se utilizan cuando las necesidades resistentes estn dirigidas en una direccin (Figura 3.6).

Figura 3.6 Vigas.

Placas.

Elementos resistentes limitados por dos planos cuya distancia (espesor) es pequeo en comparacin con las dems dimensiones. Se utilizan cuando las necesidades resistentes estn asociadas a una superficie plana. Aparecen en losas y forjados (Figura 3.7).

Figura 3.7 Placas.

Lminas o cscaras.

Elementos resistentes limitados por dos superficies curvas cuya distancia (espesor) es pequea en



comparacin con otras dimensiones. Se utilizan cuando las necesidades resistentes estn asociadas a una superficie alabeada. Aparecen en depsitos, silos, tuberas (Figura 3.8).

Figura 3.8 -Lmina

3.1.1.- Ejes para el estudio del elemento barra.

Se considerar un sistema de referencia ortonormal directo de ejes xyz y unitarios kjirrr

,, respectivamente, con origen en el centro de gravedad de la seccin a analizar en el prisma en estudio. Aunque la seccin se produce al cortar por un plano arbitrario, mientras no se diga lo contrario se considerar el caso de seccin transversal recta perpendicular a la lnea directriz, con ejes y, z preferentemente principales de inercia (Figura 3.9).

Si los ejes y, z no son los principales de inercia o el sistema de referencia no se sita en el centro de gravedad de la seccin (G) las frmulas a utilizar tendrn en general expresiones ms complejas.

O

x

y

z

Figura 3.9 Sistema de referencia de prisma y de seccin.

Para un prisma de directriz alabeada la posicin de la seccin de estudio viene definida por la abscisa curvilnea (s) correspondiente a la longitud del arco de curva directriz (c) respecto del origen del sistema de referencia, mientras que para un prisma recto la seccin de estudio viene definida por la abscisa (x).

3.1.2.- Esfuerzos sobre la seccin.

Se considera un prisma mecnico en equilibrio esttico bajo la accin de un sistema de fuerzas exteriores y de los vnculos al terreno. Si se secciona por un plano normal a su directriz y se elimina uno de los elementos seccionados el equilibrio de las fuerzas exteriores desaparecer, a no ser que se considere la accin de las fuerzas interiores (fuerzas existentes en los puntos de la seccin).

La accin de las fuerzas interiores se puede reducir en el centro de gravedad de la seccin (G) a la resultante de las fuerzas interiores y el momento que generan respecto del centro de gravedad ( R

r, GM

r). Al conjunto de la

resultante y el momento de las fuerzas interiores respecto del centro de gravedad de la seccin se los denomina esfuerzos.

Si se descompone la resultante de fuerzas interiores de la seccin ( Rr

) en sus componentes en las direcciones de los ejes del sistema de referencia Gxyz de unitarios kji

rrr,, , se tiene (Figura 3.10)

kVjViNR zyxrrrr ++=

x

y z

F1

F2

F3

G

Vy

Vz

Nx

R

Figura 3.10 Resultante de las fuerzas interiores.

en la que



Nx - Esfuerzo normal al plano o axil. Tiende a aumentar la longitud del prisma originando tensiones normales ( x ). Vy, Vz - Esfuerzos situados en el plano o cortantes. Tienden a generar deformaciones angulares originando tensiones tangenciales ( xzxy , , respectivamente).

Si se descompone el momento resultante de las fuerzas interiores respecto del centro de gravedad de la seccin ( GM

r) en sus componentes en las direcciones de los ejes del sistema de referencia Gxyz, se tiene (Figura 3.11)

kMjMiMM zyxGrrrr ++=

x

y z

F1

F2

F3

G

My

Mz

Mx

MR

Figura 3.11 Momento resultante de las fuerzas interiores respecto del centro de gravedad.

en la que

Mx - Momento en direccin normal al plano o torsor. Tiende a generar giros respecto del eje longitudinal originando tensiones tangenciales ( xzxy , ), My, Mz - Momentos sobre el plano o flectores. Tienden a generar curvatura en el prisma originando tensiones normales ( x ).

3.1.3.- Criterio de la rebanada.

Se denomina as la representacin grfica de los signos positivos de los esfuerzos que aparecen en una seccin transversal bajo la accin de un sistema de fuerzas interiores. Se basa en seccionar un prisma mecnico de forma ideal por dos planos infinitamente prximos entre s generando dos caras (Figura 3.12) la frontal (izquierda) y la dorsal (derecha).

Los esfuerzos sern positivos cuando las tensiones que generen sean positivas (cuyos sentidos fueron definidos en elasticidad, considerando el entorno infinitesimal de un punto, de forma que las tensiones eran positivas cuando tenan los sentidos de los ejes del sistema de referencia en las caras vistas), por lo que los esfuerzos positivos en cada una de las secciones del prisma aparecen en la figura.

Figura 3.12 Esfuerzos positivos. Criterio de la rebanada.

Las representaciones bidimensionales de los esfuerzos positivos sobre la rebanada en las caras frontal y dorsal aparecen en la Figura 3.13



x Nx

+ Nx

Vy

Vy Mz Mz

y

MxMx

dx

x Nx

+Nx

Vz

Vz MyMy

z

Mx Mx

dx

Figura 3.13 Sentido positivo de los esfuerzos.

Se van a estudiar los efectos que generan los distintos esfuerzos.

3.1.3.1.- Equilibrio de esfuerzos.

Efecto de las cargas repartidas.

En la Figura 3.14 aparecen reflejados los esfuerzos (Nx(x0), Vy(x0), Vz(x0), Mx(x0), My(x0), Mz(x0), Nx(x), Vy(x), Vz(x), Mx(x), My(x), Mz(x),) situados en los centros de gravedad (G, G) de las secciones extremas de cotas x y x0 de un prisma sometido a un estado de cargas, debido a fuerzas ( zyx qqq ,, ) y momentos ( zyx mmm ,, ) exteriores por unidad de longitud que actan en las direcciones de los ejes.

Un procedimiento para la obtencin de los esfuerzos ( zyxzyx MMMVVN ,,,,, ) en la seccin situada en la cota x es plantear el equilibrio elstico del trozo de prisma seccionado entre los dos extremos. De esta forma, para un trozo de barra comprendido entre las secciones x0 y x, con x0 < x (Figura 2.14) las ecuaciones de equilibrio elstico son

y

G

( )xM y

x

z

( )xVy

( )xM x ( )xNx

( )xM z

( )xVz( )0y xM

( )0y xV

( )0x xM( )0x xN

( )0z xM

( )0z xV

G

qz

qy

qxmxmy

mZ

xx0

Figura 3.14 Esfuerzos, fuerzas y momentos por unidad de longitud de una viga seccionada.

( ) ( ) ( ) ( ) ==+= xx

x0xx

x

xx0xxx

00

dxqxNxN0dxqxNxN0F

( ) ( ) ( ) ( ) ==+= xx

y0yy

x

xy0yyy

00

dxqxVxV0dxqxVxV0F

( ) ( ) ( ) ( ) ==+= xx

z0zz

x

xz0zzz

00

dxqxVxV0dxqxVxV0F

( ) ( ) ( ) ( ) ==+= xx

x0xx

x

xx0xxxG

00

dxmxMxM0dxmxMxM0M '

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+=

=++=x

xy

x

x0z00z0yy

x

xy

x

x0z00z0yyyG

00

00

dxmdxxxqxxxVxMxM

0dxmdxxxqxxxVxMxM0M '



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++=

=+++=x

xz

x

x0y00y0zz

x

xz

x

x0y00y0zzzG

00

00

dxmdxxxqxxxVxMxM

0dxmdxxxqxxxVxMxM0M '

Expresiones en las que conocidos los esfuerzos en la seccin situada en la cota x0 e integrando las fuerzas ( zyx qqq ,, ) y momentos ( zyx mmm ,, ) exteriores por unidad de longitud se obtienen los esfuerzos en la seccin situada en la cota x. Sin embargo este mtodo obliga a realizar el estudio de forma individual para cada campo de carga. Cuando se analice la flexin se utilizar el mtodo de Macaulay que sistematiza el estudio para todos los campos de carga existentes en un prisma.

Se puede utilizar la rebanada para obtener las relaciones entre los esfuerzos (Figura 3.15). Las ecuaciones de equilibrio esttico, despreciando infinitsimos de segundo orden, son

y

G

dxdx

dMM yy +

x

z

dxdx

dVV yy +

dxdx

dMM xx +dx

dxdNN xx +

dxdx

dMM zz +

dxdx

dVV zz +yM

yV

xMxN

zM

zV

dxG

y

G x

z

dxG

qz

qy

qx

y

G x

z

dxG

gx

y

G x

z

dxG

gy

y

G x

z

dxG

gz

Figura 3.15 Esfuerzos, fuerzas y momentos por unidad de longitud de una rebana.

xx

xxx

xx qdxdN0dxqNdx

dxdNN0F ==+

+=

yy

yyyy qdxdV

0dxqVdxdx

dVyV0F ==+

+=

zz

zzz

zz qdxdV0dxqVdx

dxdVV0F ==++=

xx

xxx

xxG mdxdM0dxmMdx

dxdMM0M ==+

+= '

yzy

y

2

zzyy

yyG mVdxdM

0dxm2

dxqdxVMdxdx

dMM0M ==++

+= '

zyz

z

2

yyzz

zzG mVdxdM0dxm

2dxqdxVMdx

dxdMM0M ==+++

+= '

Las tres primeras ecuaciones indican que la variacin de los esfuerzos correspondientes ( zyx dVdVdN ,, ) a lo largo de la direccin longitudinal de la barra (x) se deben exclusivamente a la existencia de fuerzas distribuidas en las direcciones de dichos esfuerzos ( zyx qqq ,, , respectivamente). Por tanto, si las fuerzas distribuidas son

nulas ( 0q0q0q zyx === ,, ) los esfuerzos correspondientes sern constantes.



Las tres ecuaciones siguientes indican que la variacin de los momentos correspondientes ( zyx dMdMdM ,, ) a lo largo de la direccin longitudinal de la barra (x) dependen de los momentos distribuidos en las direcciones de dichos esfuerzos ( zyx mmm ,, ) y de los esfuerzos cortantes ( zy VV , ).

Efecto de cargas puntuales.

Las cargas puntuales generan variaciones bruscas de los esfuerzos en las secciones frontales respecto de las dorsales (Figura 3.16) de forma que en este casos los esfuerzos en la seccin x+dx se denominan Nx, Vy, Vz, Mx, My, Mz, y a los de la seccin x Nx, Vy, Vz, Mx, My, Mz y sus relaciones son

G

yM '

x

yV '

xM 'xN '

zM '

zV '

yM

yV

xMxN

zM

zV

dxGG x dx

G

Pz

Py

Px

G xdx

G

Mx

G xdx

G

My

G x dx

G

Mz

y

z

y

z

y

z

y

z

y

z

Figura 3.16 Esfuerzos, fuerzas y momentos puntuales de una rebana.

xxxxxxx PNN0NPN0F ==++= '' yyyyyyy PVV0VPV0F ==++= ''

zzzzzzz PVV0VPV0F ==++= '' xxxxxxxG MMM0MMM0M ''''''' ==++= yyyyyyyG MMM0MMM0M ''''''' ==++= zzzzzzzG MMM0MMM0M ''''''' ==++=

Por lo que las cargas puntuales generan cambios bruscos en los esfuerzos correspondientes.

3.1.4.- Relacin entre esfuerzos y tensiones.

Los esfuerzos (axil, cortantes, torsor y flectores) son la reduccin de las fuerzas interiores en el centro de gravedad de la seccin (G) estticamente equivalentes a la distribucin de tensiones ( xzxyx ,, ) que aparecen en los entornos infinitesimales de los puntos de la seccin, por lo que las relaciones que existentes entre los esfuerzos y las tensiones son (Figura 3.17)

=A

xx dAN =A

xyy dAV =A

xzz dAV

=A

xyA

xzx dAzdAyM =A

xy dAzM =A

xz dAyM



z

y

x xz

xy x

z

y

O

A

dA

x

z

y

O Vz

Vy

Nx Mx

My

Mz

Figura 3.17 Tensiones en el entorno del punto y esfuerzos en la seccin.

A continuacin se van a estudiar los efectos que producen distintos esfuerzos en las secciones.



3.2.- Traccin y compresin.

3.2.1.- Introduccin.

Se denomina traccin el efecto que aparece en una barra cuando para todas las secciones transversales la resultante momentos interiores en el centro de gravedad (G) es nula ( 0MG

rr = ) y la resultante de fuerzas interiores queda reducida al esfuerzo axil ( iNR x

rr = ) (Figura 3.18).

x

y z

F1

F2

F3

G

Nx

Figura 3.18 Barra sometida a traccin.

Criterio de esfuerzos positivos.

Se considera esfuerzo axil positivo o traccin ( 0N x > ) cuando su sentido es exterior a la seccin transversal, siendo negativo en sentido contrario. Los esfuerzos axiles positivos aparecen en la Figura 3.19.

x Nx

+Nx

y

dx

Figura 3.19 Criterio positivo de traccin.

Las hiptesis que se consideran para su estudio son las siguientes:

Las barras son de eje recto y las fuerzas estn aplicadas axialmente. Las barras son robustas (con lo que se evita el efecto de flexin lateral o pandeo en compresin). Durante la deformacin las secciones se mantienen planas y perpendiculares al eje longitudinal. La deformacin entre dos secciones rectas se reduce a una translacin.

3.2.2.- Tipos de cargas.

Se van a considerar dos tipos de cargas de superficie:

Cargas puntuales. Actan de forma localizada () Cargas repartidas por unidad de longitud. Actan en un dominio de la barra (Figura 3.20).

P

x

q

x Figura 3.20 Cargas puntual y repartida.



3.2.3.- Sistema isosttico.

Se va a realizar el anlisis de sistemas isostticos en los que las reacciones vinculares se pueden obtener a partir de las ecuaciones de equilibrio esttico.

Aunque no es estrictamente necesario en todos los casos, se comienza el proceso calculando las reacciones vinculares. Por ejemplo, para la viga de la Figura 3.21 se elimina el vnculo izquierdo y se introduce el efecto vincular (R0) aplicando la ecuacin de equilibrio esttico para obtener su magnitud

a

O B C

P1

A

P3

b

l

x

R0

O B C

P1

A

P2

x

q

q

Figura 3.21 Condiciones de contorno de barra isosttica y clculo de la reaccin.

( ) ( )blqPPR0blqPPR0F 210210x ++==+++= El estudio se realiza teniendo en cuenta los campos de carga y de seccin. Se denominan campos de carga y de seccin los dominios en los que el rea de la seccin y el esfuerzo se pueden definir mediante una nica expresin matemtica.

El proceso se basa en seccionar de forma imaginaria por cada campo de carga y seccin, eliminando una de las partes e introduciendo el esfuerzo correspondiente a la parte eliminada ( xiN ). El esfuerzo puede ser funcin de la cota de estudio ( ( )xN xi )

( )xNN xixi = Para que el elemento no eliminado siga cumpliendo la condicin de equilibrio, la resultante de fuerzas interiores que aparece en la seccin ( xiN ) ha de ser equilibrante de las fuerzas exteriores que actan en el elemento, o bien equivalente a las fuerzas exteriores de la parte eliminada.

Como a priori puede ser complicado acertar con el sentido correcto del esfuerzo de cada campo de carga, una tcnica es considerar siempre los esfuerzos positivos (a traccin) y posteriormente, a partir de plantear el equilibrio elstico de cada campo de carga, obtener el signo correcto del esfuerzo.

La magnitud del esfuerzo axil se define respecto de un origen de cotas que en principio puede ser cualquiera (se tomar el extremo izquierdo de la barra, Fig. 3.16), utilizando una funcin matemtica para cada campo de carga. Por ejemplo, en la Figura 3.22 se ha obtenido el esfuerzo axil en cada campo de carga.

( )( )

( ) ( )xlqPbxqPRN0PPRN0FlxbblqPPRN0PRN0Fbxa

blqPPRN0RN0Fax0

2103x2103xx

2102x102xx

2101x01xx

+===++=+===+=

++====



a

O B C

P1

A

P2

b

l

x

q

x

O x

Nx1

a

O B

P1

A

b

x

x

q

a

O

P1

A x

x

Nx2R0

Nx3

R0

R0

Figura 3.22 - Barra isosttica sometida a traccin. Esfuerzo axil en los campos de cargas.

A la representacin grfica de los esfuerzos axiles de todas las secciones de la viga se la denomina diagrama o grfico de esfuerzos axiles. Esta figura es importante porque permite la visualizacin los esfuerzos en todas las secciones de la barra y por tanto determinar la seccin crtica sometida al esfuerzo mximo (Figura 3.23)

x

a

O B C

P1

A

P2

b

l

x

Nx

+N3

N2

N1

Nx

P2

q(l-b)

P1

R0

q

Figura 3.23 - Barra isosttica sometida a traccin. Grfica de esfuerzos axiles.

3.2.4.- Tensiones.

En el caso en que en la seccin de estudio solo exista esfuerzo axil, de las distintas componentes del tensor de tensiones xzxyx ,, que actuaran en el entrono del punto solo se considerar x distinta de cero. El esfuerzo axil que aparece en cada seccin recta perpendicular a la lnea media ( xiN ) se considera uniformemente distribuido en el rea de la seccin ( iA ), independientemente de la forma geomtrica que tenga la seccin, por lo que las tensiones normales en todos los puntos de la seccin son iguales, de magnitud

i

xixi A

N=

Las discontinuidades debidas a efectos como taladros, proximidad al contorno o variacin brusca de seccin



generan concentraciones de tensiones que no se van a considerar (Figura 3.24).

a

O B

P1

A

b

x

E, A1 E, A2P2

Figura 3.24 Concentracin de tensiones.

A partir del conocimiento del reparto de tensiones existente en una viga se pueden resolver diversos problemas.

Dimensionamiento.

Conocido el esfuerzo axil en cada campo de carga de la viga ( xiN ) y la tensin admisible del material (se suele simbolizar entre corchetes [ ] ), determinar el rea mnima de la seccin necesaria

[ ] [ ] .mnixiixi A

NA

N =

en la que

[ ] - Tensin normal admisible del material. .mn

iA - rea mnima de la seccin.

Comprobacin.

Conocido el esfuerzo axil en cada campo de carga ( xiN ) y el rea mnima necesaria en cada campo de carga

( .mniA ) comprobar que no se supera la tensin admisible del material [ ] [ ]

.mni

xi

AN

Limitacin de cargas.

Conocida la tensin admisible del material [ ] y el rea mnima necesaria en cada campo de carga ( .mniA ), comprobar que el esfuerzo axil en cada campo ( xiN ) no supera el valor mximo.

[ ] .mni.mxxixi ANN = Como ejemplo de clculo, se determinan las tensiones en cada campo de cargas para la viga de la Figura 3.25 son

a

O B C

P1

A

P2

b

l

x

E, A1 E, A2 E, A3q

Figura 3.25 - Barra isosttica sometida a traccin. Material y seccin en cada campo de cargas.



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

==

+==+==+=

+==+=

++==++=

3

23x

3

23x

3

2

3

3x3x23x

2

2

2

2x2x22x

1

21

1

1x1x211x

APlx

AblqPbx

AxlqP

ANxlqPNlxb

AblqP

ANblqPNbxa

AblqPP

ANblqPPNax0

3.2.5.- Deformaciones.

Como solo existen tensiones en la direccin longitudinal de la viga ( x ), aplicando las leyes de Hooke generalizadas

( )[ ]zyxx E1 += ( )[ ]yzyy E1 += ( )[ ]yxzz E1 += Gxy

xy =

Gxz

xz =

Gyz

yz =

se obtienen las deformaciones

Ex

x =

Ex

zy == 0yzxzxy ===

Relacionando las componentes del tensor de deformaciones ( yzxzxyzyx ,,,,, ) con las del movimiento (u, v, w) del punto del slido

[ ]

=

+

+

+

+

+

+

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

21

21

21

21

21

21

zw

zv

yw

21

zu

xw

21

yw

zv

21

yv

yu

xv

21

xw

zu

21

xv

yu

21

xu

D

se obtiene

Exu x

x =

= Ey

v xy

==

Ezw x

z =

= 0yzxzxy ===

de stas, la ms importante es el movimiento en la direccin del eje x, que se puede obtener mediante

dxEANdu

AN

dxE

du

E

dxduxu

x

xx

x

xx

xx

=

=

=

=

==

Para un campo de carga de longitud x con esfuerzo axil xiN , rea iA y material iE , el alargamiento de sus fibras ( )xui viene expresado mediante

( ) = xx ii

xii

0

dxAE

Nxu

por lo que el alargamiento total de una barra con distintos campos de carga ( nu ) se obtiene sumando los alargamientos de cada campo de carga.



( ) =

=

=

=== n

1i

Lx

x ii

xii

n

1iin

i

0

dxAE

NLxuu

Las expresiones de la deformacin en cada campo de carga y la grfica de movimientos correspondiente a la viga a traccin analizada seran (Figura 3.26)

x

a

O B C

P1

A

P2

b

l

x

l

l

L1 +

L2 13

E, A1 E, A2 E, A3q

Figura 3.26 Movimientos de la viga a traccin.

La deformacin de cada uno de los campos de carga de la barra ( ( )xui ) es ( )

1

1xx

0x1

1xx

0x 1

1x1 EA

xNEA

xNdx

EAN

xu00

=====

( ) ( )2

2x

2

2x2xx

ax2

2xx

ax 2

2x2 EA

axNEA

aNxNEA

xNdx

EAN

xu00

======

( ) ( )( )

( ) ( )3

2

2

3

2

2

x

bx

3

2

2x

bx 3

2x

bx 3

3x3

EA2blqbP

EA2xlqxP

EA2xlqxP

dxEA

xlqPdx

EAN

xu

0

00

=

=

=+==

===

Lo que aplicado a cada campo es

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

3

2

2

3

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2x2

1

21

1

1x1

EA2blqblP

EA2blqbP

EA2llqlP

lxulxb

EAabblqP

EAabN

bxubxa

EAablqPP

EAaN

axuax0

+=

==

+===

++===

y la variacin de longitud del extremo de cada campo de carga ( iu ) es



( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

3

2

2

2

2

1

21323

2

2

1

21212

1

2111

EA2blqblP

EAabblqP

EAablqPPlxuuulx

EAabblqP

EAablqPPbxuuubx

EAablqPPaxuuax

++++++==+==

++++==+==

++====

Por lo que la variacin de longitud en el extremo de la barra ( 3u ) es

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )3

2

2

2

2

1

213 EA

2blqblP

EAabblqP

EAablqPPu

++++++=

3.2.6.- Energa de deformacin.

La energa de deformacin por unidad de volumen viene expresada mediante

( ) ( )yzyzxzxzxyxyzzyyxx2i1i 21UUd +++++= que en el caso de traccin queda reducida a

( ) xx2i1i 21UUd =

y la energa de un volumen infinitesimal sometido a traccin es

( ) dV21UUd xx2i1i =

Si se consideran dos secciones de rea constante infinitamente prximas entre s, la expresin es

( ) ( ) Adx21UUd

AdxdV

dV21UUd

xx2i1ixx2i1i =

==

en la que sustituyendo la tensin y la deformacin unitaria por sus expresiones se obtiene

( )( ) dx

EAN

21UUd

E

AN

Adx21UUd

2x

2i1i

xx

xx

xx2i1i

=

=

=

=

correspondiente a la energa para un elemento de longitud infinitesimal (dx). Si se integra respecto de la longitud de un campo de carga, se tiene la energa interna correspondiente

( ) == = ii0

ii

Lx

x ii

2xi

Lx2i1i dxAEN

21UU

y si se suma para todos los campos de carga de la viga se obtiene la energa interna total

( ) =

=

= =

== n

1i

Lx

x ii

2xi

n

1iLx2i1i2i1i

ii

0ii

dxAE

N21UUUU

En el caso en que el sistema sea una estructura formada por varias barras, la energa total del sistema es suma de la energa de cada una de las barras.

Las expresiones de la energa potencial de deformacin ( ( )ii Lx2i1i

UU = ) en cada campo de carga de la barra



del ejemplo anterior son (Figura 3.27)

a

O B C

P1

A

P2

b

l

x

E, A1 E, A2 E, A3q

Figura 3.27 Condiciones de contorno de barra isosttica sometida a traccin.

( )1

21x

x

0x1

21x

x

0x 1

21x

x2i1i EA2xN

EA2xN

dxEAN

21UUax0

00

=====

( ) ( )2

22x

x

ax2

22x

x

ax 2

22x

x2i1i EA2axN

EA2xN

dxEAN

21UUbxa

00

=====

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3

22

322

2

3

22

322

2

x

bx

3

22

322

2x

bx 3

2222

2

x

bx

x

bx 3

22

3

23x

x2i1i

EA2

blqP3blqbP

EA2

xlqP3xlqxP

EA2

xlqP3xlqxP

dxEA

xlqP2xlqP21

dxEA

xlqP21dx

EAN

21UUlxb

0

0

0 0

=

=

=++=

=+==

==

= =

luego sustituyendo el rea ( iA ) y el esfuerzo ( 1xN ) de cada de cada campo de carga, su energa de deformacin es

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

3

22

322

2

lx2i1i23x

2

22

bx2i1i22x

1

221

ax2i1i211x

EA2

blqP3blqblP

UUxlqPNlxb

EA2abblqPUUblqPNbxa

EA2ablqPPUUblqPPNax0

++=+=

+=+=

++=++=

=

=

=

y la energa de deformacin de la barra es

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

3

22

322

2

2

22

1

221

n

1iLx2i1i2i1i EA2

blqP3blqblP

EA2abblqP

EA2ablqPPUUUU

ii

+++++++==

= =

A partir de esta expresin se puede obtener la deformacin de la barra con el primer teorema de Castigliano

( )2

2i1i3 P

UUu =

luego



( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )3

2

2

2

2

1

21

3

22

322

2

2

22

1

221

22

2i1i3

EA2blqb2lP

EAabblqP

EAablqPP

EA2

blqP3blqblP

EA2abblqP

EA2ablqPP

PPUUu

++++++=

=

+++++++

==

que coincide con la expresin anteriormente obtenida.

3.2.7.- Sistemas hiperestticos.

Cuando un sistema tiene ms incgnitas que ecuaciones de equilibrio esttico, el sistema se denomina hiperesttico. En este caso hay que obtener primero las incgnitas desconocidas para posteriormente determinar las magnitudes de los esfuerzos ( xiN ), tensiones ( xi ) y deformaciones ( iu ) de los campos de carga de las barras.

Para la obtencin de las incgnitas hiperestticas se utilizan, adems de las ecuaciones de equilibrio esttico, las de comportamiento o de relacin entre esfuerzos y deformacin, y las de compatibilidad de los movimientos con los vnculos del sistema.

Conocidas las incgnitas hiperestticas y sustituidas en las expresiones correspondientes los clculos de tensiones, deformaciones y movimientos se realizan del mismo modo que en sistemas isostticos.

Existen dos procedimientos caractersticos para la obtencin de las incgnitas hiperestticas: el mtodo geomtrico y el energtico. Se van a desarrollar tanto para el caso de hiperestaticidad interna (asociado a un exceso de barras) como de hiperestaticidad externa (asociada a un exceso de vnculos).

3.2.7.1.- Mtodo geomtrico. Para la obtencin de las incgnitas hiperestticas se utiliza el siguiente procedimiento:

1- Determinar el grado de hiperestaticidad del sistema.

2- Considerar como incgnitas los esfuerzos de las barras y/o vnculos redundantes.

3- Plantear la o las ecuaciones de equilibrio esttico.

4- Considerar los movimientos del sistema en funcin de las deformaciones de las barras, de forma que sean compatibles con los vnculos reales existentes.

5- Determinar las deformaciones de las barras en funcin de los esfuerzos (desconocidos).

6- Resolver las incgnitas hiperestticas del sistema de ecuaciones.

Para el anlisis de la deformacin del sistema se utilizan los siguientes criterios:

Como en muchos casos es difcil determinar si las barras estn sometidas a traccin o compresin, en principio se consideran sometidas a traccin.

Una vez obtenidos los esfuerzos existentes en los campos de carga de las barras, en aquellas en las que el signo del esfuerzo sea positivo, la hiptesis de traccin inicial es correcta. Para aquellas en las que el signo del esfuerzo sea negativo, la hiptesis inicial es errnea, pero los valores obtenidos son correctos al haber utilizado un planteamiento coherente.

Si los vnculos de los extremos lo permiten, considerando hiptesis de pequeas deformaciones, las barras articuladas pueden girar respecto de sus extremos pudiendo girar dichos extremos en direccin perpendicular a la configuracin indeformada inicial sin generar esfuerzos.

Se tiene en cuenta el principio de rigidez relativa, por el que al considera las pequeas deformaciones producidas de pequea magnitud, la configuracin deformada e inicial no varan sustancialmente, por lo que los ngulos y las longitudes de las barras en la configuracin deformada se consideran los mismos que en la configuracin inicial.



Hiperesttico interno.

Como ejemplo de hiperesttico interno se va a analizar el sistema de la Figura 3.28

A

O

L1L2

L1

B C

F

Figura 3.28 Sistema hiperesttico.


El sistema es hiperesttico interno ya que tiene tres incgnitas (los esfuerzos de cada barra) y dos ecuaciones, una para cada componente del equilibrio de fuerzas que actan en el punto de concurrencia. Para simplificar el problema las barras se consideran del mismo rea y material, y los ngulos que forman las barras respecto de la vertical son iguales.

En el sistema se pueden plantear dos ecuaciones de equilibrio esttico existiendo tres incgnitas (los esfuerzos de las barras N1, N2, N3) por lo que es hiperesttico de grado 1.


Seccionando las barras concurrentes en el punto O se introducen los esfuerzos axiles correspondientes (Figura 3.29).

A

O

L1L2

L1

B C

N1 N3

N2

x

y

F

Figura 3.29 Esfuerzos en las barras.


Aislando el nudo O las ecuaciones de equilibrio esttico son (Figura 3.29)

0FNNN0F0senNsenN0F

312y

13x

=++===

coscos

4- Considerar los movimientos del sistema en funcin de las deformaciones de las barras, de forma que sean compatibles con los vnculos reales existentes.

La deformacin de la barra OA se considera de una magnitud 2u y las deformaciones de las barras OB y OC son de la misma magnitud 1u , por lo que a partir de la compatibilidad de movimientos con los vnculos existentes (las barras OB y OC se deforman y giran sobre la direccin perpendicular a la indeformada hasta alcanzar el punto O correspondiente a la posicin deformada del punto O de la barra OA) el sistema adopta una configuracin deformada tal como la mostrada en la Fig. 3.30.



A CB

O

O

u2

L1L2

L1

u1

Figura 3.30 Compatibilidad deformaciones.

5- Determinar las deformaciones de las barras en funcin de los esfuerzos (desconocidos).

Al considera el criterio de pequeas deformaciones, los ngulos que forman las barras inclinadas () y las longitudes de las barras (Li) no varan sustancialmente despus de la deformacin, por lo que la ecuacin de compatibilidad de deformaciones es

cos21 uu = A partir de las ecuaciones de comportamiento se obtienen las variaciones de longitud de las barras ( 21 uu , )

EALNdx

EANu 11

Lx

0x

11

1

0

== =

=

EALNdx

EANu 22

Lx

0x

22

2

0

== =

=

y teniendo en cuenta la relacin existente entre las longitudes de las barras cos12 LL = se pueden obtener la ecuacin de compatibilidad en funcin de los esfuerzos

221

21211

12

2211

222

111

21

NNEA

LNEA

LN

LL

EALN

EALN

EALNu

EALNu

uu

coscos

cos

cos

cos

==

=

=

=

==

6- Resolver las incgnitas hiperestticas del sistema de ecuaciones.

A partir de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad-comportamiento se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, con las que se determinan los esfuerzos en las barras

+=+==

==++=

32

3

2

31

221

312

13

21FN

21FNN

NN

0FNNN0senNsenN

cos

coscos

cos

coscos

Hiperesttico externo.

Como ejemplo de sistema hiperesttico externo se va a analizar el de la Figura 3.31 formado por una nica barra de seccin constante empotrada en ambos extremos.

a

B C

P

A x

b

Figura 3.31 Sistema hiperesttico externo.




El sistema es hiperesttico externo de grado 1 ya que tiene dos vnculos y solo se puede plantear una ecuacin de equilibrio esttico linealmente independiente.


Se tomarn como sentido de las reacciones los que aparecen en la Figura 2.32

a

B C

P

A x

b

RA RB

Figura 3.32 Sentidos de las reacciones.

por lo que los esfuerzos en cada uno de los campos de carga de la barra sern

PRNbaxaRNax0

A2x

A1x

=+=


Esta ecuacin es

0RPR0F BAx =++= 4- Considerar los movimientos del sistema en funcin de las deformaciones de las barras, de forma que

sean compatibles con los vnculos reales que existen en el sistema.

La deformacin total de la barra es 2u de magnitud

( )( )EA

bNEA

aNuuuEA

bNEA

abaNEA

xNdxEANu

EAaNuu

EAaN

EAxNdx

EANu

2x1x212

2x2xbax

ax

2xbax

ax

2x2

1x11

1xax

0x

1xax

0x

1x1

00

00

+=+==+===

=====+=

=

+=

=

=

=

=

=

Teniendo en cuenta la compatibilidad de deformaciones de la barra se tiene

0EA

bNEA

aNuuu 2x1x212 =+=+= 5- Determinar las deformaciones de las barras en funcin de los esfuerzos (desconocidos).

Sustituyendo en la ecuacin de compatibilidad las expresiones en funcin de los esfuerzos

( ) 0EA

bPREA

aRuPRN

RN

0EA

bNEA

aNu

AA2

A2x

A1x

2x1x2

=+=

+===+=

por lo que se tiene

( ) ( ) 0PbbaR0EA

bPREA

aRA

AA =+=+ 6- Resolver las incgnitas hiperestticas del sistema de ecuaciones.

Luego a partir del sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, se obtiene



( )

+=+=

=+=++

baPaR

baPbR

0PbbaR0RPR

B

A

A

BA

3.2.7.2.- Mtodo energtico.

Para la obtencin de las incgnitas hiperestticas se utiliza el siguiente procedimiento:


2- Considerar como incgnitas los esfuerzos de las barras y/o vnculos redundantes. Eliminar las barras o vnculos redundantes del sistema y sustituirlos por fuerzas incgnitas para llevar el sistema hiperesttico inicial hasta un sistema isosttico denominado sistema base.

El estudio se realizar considerando el sistema isosttico base (introduciendo como fuerzas incgnitas los esfuerzos y vnculos redundantes) con las condiciones de compatibilidad del sistema inicial.

3- Plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema isosttico base considerando las fuerzas exteriores y los esfuerzos incgnitas.

4- Obtener los esfuerzos de las barras del sistema isosttico en funcin de las fuerzas incgnita.

5- Obtener la energa potencial interna del sistema en funcin de las fuerzas incgnita.

6- Aplicar el teorema de Menabrea, igualando la variacin de la energa con el movimiento prescrito de la barra o vnculo incgnita correspondiente.

7- Resolver el sistema de ecuaciones.

Hiperesttico interno.

Como ejemplo se va a analizar el mismo sistema de la Figura 3.33.

A

O

L1L2

L1

B C

F

Figura 3.33 Sistema hiperesttico.


El sistema es hiperesttico de grado uno por tener tres incgnitas (los esfuerzos de las barras) y dos ecuaciones.

2- Considerar como incgnitas los esfuerzos de las barras y/o vnculos redundantes. Eliminar las barras o vnculos redundantes del sistema y sustituirlos por fuerzas incgnitas para llevar el sistema hiperesttico inicial hasta un sistema isosttico denominado sistema base

Se va a eliminar una de las barras (la OA) y se va a sustituir por la fuerza incgnita X (Figura 3.34) por lo que el sistema isosttico base est formado por las barras OB y OC.



A

O

L1 L1

B C

N1 N3X

x

y

X

F

Figura 3.34 Sistema isosttico base.


Las ecuaciones de equilibrio esttico en este caso son

0FNNX0F0senNsenN0F

31y

13x

=++===

coscos

4- Obtener los esfuerzos de las barras del sistema isosttico en funcin de las fuerzas incgnita.

Utilizando las ecuaciones de equilibrio esttico se obtienen los esfuerzos de las barras del sistema isosttico (N1, N3) en funcin de la fuerza incgnita (X)

coscoscos

2XFNN0FNNX0F

NN0senNsenN0F

3131y

3113x

===++====


La energa potencial interna del sistema en funcin de los esfuerzos de las barras del sistema isosttico base (N1, N3) no eliminadas es

( )( )

32

22

2

1231

21

2n

1i ii

i2xi

n

1i

L

0 ii

2xi

n

1i2i1i2i1i

EA4LXF

EAL

2XF

22

EALN

21

EALN

21

AELN

21dx

AEN

21UUUU

i

coscoscos=

=

=+==== ====


Aplicando el primer teorema de Castigliano

( ) ( ) 32

XX3

2

XX

iX EA2

LXFEA2

LXFXU

coscos==

===

en el que el movimiento prescrito de la barra eliminada ( X ) se obtiene aplicando la fuerza X nicamente sobre esa barra (Figura 3.35)



A

O

L1 L1

B C

Xx

y

Figura 3.35 Movimiento prescrito de la barra eliminada.

y su valor es

EAXl

X = 7- Resolver el sistema de ecuaciones.

Igualando el movimiento prescrito de la barra eliminada con el segundo teorema de Castigliano

( )EAXL

EA2LXF 23

2 = cos de donde despejando el esfuerzo incgnita X se obtiene

321FXcos+=

que coincide con el resultado obtenido por el mtodo geomtrico. Los dems esfuerzos se obtienen sustituyendo en la expresin

3

2

31

3

31

21FNN

21FX

2XFNN

coscos

cos

cos+==

+=

==

Hiperesttico externo.

Como ejemplo se va a analizar el mismo sistema de la Figura 3.36.

a

B C

P

A x

b

Figura 3.36 Sistema hiperesttico externo.


El sistema es hiperesttico de grado uno.

2- Considerar como incgnitas los esfuerzos de las barras y/o vnculos redundantes. Eliminar las barras o vnculos redundantes del sistema y sustituirlos por fuerzas incgnitas para llevar el sistema hiperesttico inicial hasta un sistema isosttico denominado sistema base.

Se elimina uno de los vnculos sustituyndolo por la fuerza incgnita correspondiente obteniendo el



sistema base de la Figura 3.37.

a

B C

P

A x

b

X

Figura 3.37 Sistema isosttico base.


La ecuacin de equilibrio esttico es

0XPR0F Ax =++= 4- Obtener los esfuerzos de las barras del sistema isosttico en funcin de las fuerzas incgnita.

Los esfuerzos de los campos de carga del sistema isosttico en funcin de la fuerza incgnita son

XNbaxaXPNax0

2x

1x

=++=


La energa potencial interna del sistema en funcin de los esfuerzos de la barra eliminada es

( ) ( )EA

bX21

EAaXP

21

EALN

21

EALN

21

AELN

21dx

AEN

21UUUU

222

22x1

21x

n

1i ii

i2xi

n

1i

L

0 ii

2xi

n

1i2i1i2i1i

i ++=+=

=

==

===


Aplicando el teorema de Menabrea

( ) ( )EAXb

EAaXP

EAXb

EAaXP

XU0

XXXX

iX ++=++=

====

7- Resolver el sistema de ecuaciones.

De la ecuacin anterior se obtiene

baPaX +=

que coincide con el esfuerzo obtenido por el mtodo geomtrico. El otro vnculo (RA) se determina sustituyendo en la expresin de equilibrio esttico

baPbR0XPR AA +==++



3.3.- Torsin.


Es la solicitacin que aparece en una barra cuando para todas las secciones transversales la resultante de fuerzas es nula ( 0R

rr = ) y la resultante de momentos interiores ( GMr

) en el centro de gravedad (G) queda reducida al momento torsor (Mx, Figura 3.38).

x

y z

F1

F2

F3

G

Mx

Figura 3.38 Barra sometida a torsin.

El estudio de la torsin se caracteriza por dos fenmenos:

La aparicin de tensiones tangenciales (y en algunos casos tambin normales) en las secciones transversales.

En secciones sin simetra axial aparecen efectos de alabeos que hacen que no se cumpla la hiptesis de Navier-Bernoulli, de forma que las secciones transversales planas antes de la deformacin dejan de ser planas despus de la deformacin.

En funcin de lo anterior existen dos tipos distintos de torsin:

Torsin uniforme.

Se produce en secciones circulares y anulares cuando se cumplen las condiciones siguientes:

El nico esfuerzo existente en las secciones transversales de la barra es un momento torsor (Mx) constante a lo largo de su longitud.

Los extremos de las barras pueden alabear libremente. Genera la aparicin nicamente de tensiones tangenciales.

Torsin no uniforme.

Aparece en secciones no circulares o anulares, y en secciones circulares o anulares cuando no se cumpla algunas de las dos condiciones anteriores. Genera la aparicin de tensiones normales y tangenciales.

En la Figura 3.39 se muestra el efecto de alabeo de una barra con seccin IPE sometida a torsin. Debido al alabeo las alas adquieren movimientos en direccin longitudinal de barra producidas por tensiones normales.

Figura 3.39 Alabeo.



Criterio de esfuerzos positivos.

Se considera momento torsor ( xM ) positivo cuando su sentido es exterior a la seccin transversal de corte y negativo en sentido contrario. Los momentos torsores positivos aparecen en la Figura 3.40.

x Mx Mx

+

y

dx

Figura 3.40 Criterio positivo de torsin.

Se va a desarrollar nicamente el caso de torsin uniforme, que es aquella que aparece sobre una barra cilndrica de seccin circular o anular constante permitindose el libre alabeo de los extremos de la barra.

Las hiptesis que se consideran para su estudio son las siguientes:

Barras de eje recto y momentos aplicados longitudinalmente. Durante la deformacin las secciones se mantienen planas y perpendiculares al eje longitudinal. La deformacin entre dos secciones rectas infinitamente prximas entre s se reduce a una rotacin

relativa de un ngulo d respecto del eje perpendicular a las mismas (x) que pasa por el centro de gravedad de las secciones.

Con estas hiptesis los resultados obtenidos en este tipo de barras son exactos.

3.3.2.- Tipos de cargas.

Se van a considerar solo momentos puntuales (M) en los extremos de la barra (Figura 3.41).

M

x

M

Figura 3.41 Momentos puntuales.

3.3.3.- Anlisis de deformaciones.

Se considera una viga recta de seccin circular o anular constante sometida a momentos exteriores de igual mdulo y direccin con sentidos opuestos (MT, -MT) actuando en los centros de gravedad (G1, G2) de sus secciones extremas (Figura 3.41). Para el anlisis se tomar una rebanada generada mediante dos secciones muy prximas entre s ( y ) distantes dx. En el anlisis se van a considerar las configuraciones inicial y deformada. El segmento recto BC corresponde a la configuracin inicial de una fibra longitudinal de la barra cuya deformada se representa con BC1. Analizando la deformacin en una rebanada limitada por las secciones y distantes dx, el segmento AA paralelo a la fibra BC en configuracin inicial pasar a la configuracin AA1 despus de la deformacin, siendo las longitudes de ambos segmentos prcticamente iguales.



Figura 3.42 Prisma circular sometido a torsin

Al ngulo infinitesimal sobre la seccin transversal AGA1 se le denomina ngulo de torsin y se simboliza mediante d. Esta ngulo corresponde al giro relativo de una fibra longitudinal entre las dos secciones de la rebanada ( y ) siendo el giro relativo total entre las secciones de los extremos de la barra. Se define como ngulo de torsin por unidad de longitud () a la variacin del giro relativo transversal d respecto del parmetro longitudinal (dx)

dxd =

Si la torsin es uniforme el giro relativo entre secciones infinitamente prximas d es constante respecto de la longitud de la rebanada (dx), por lo que tanto el ngulo de torsin , como el ngulo de torsin por unidad de longitud son constantes. En este caso la deformada de cualquier fibra es un arco de hlice cilndrica. En el anlisis se tiene en cuenta tanto el movimiento transversal como el longitudinal. Si se considera (Figura 3.42) una rebanada entre dos secciones ( y ) el punto A antes de la deformacin pasa al A1 despus de la deformacin, con lo que la fibra AA gira un ngulo transversal d respecto del centro de gravedad G y un ngulo longitudinal denominado deformacin angular respecto del punto A. Si en el plano la distancia del centro de la seccin circular (G) al punto de estudio (A) es el radio de curvatura , el arco AA1 vale d y la deformacin angular es

dxd

AAAA 1 ==

'''

3.3.4.- Tensin tangencial.

Utilizando las leyes de Hooke la tensin tangencial es

G

dxd

dxdG

dxd

G=

=

=

==

en la que

- distancia del punto de estudio al centro de gravedad de la seccin. G mdulo de torsin.

- ngulo de torsin por unidad de longitud. Para el caso de una viga de seccin circular o anular sometida a momentos puntuales en los extremos, el ngulo de torsin por unidad de longitud () es constante para todas las secciones de la barra, y la tensin tangencial () tiene direccin perpendicular al radio vector que une el punto de estudio con el centro geomtrico de la seccin, variando linealmente con la distancia entre dichos puntos (). El reparto de tensiones tangenciales es el que aparece en la Figura 3.43.



G

mx.mx.

(c) Figura 3.43 Deformacin angular y tensiones tangenciales en puntos secciones circular y anular.

siendo la tensin tangencial mxima ( .max ) la de los puntos del contorno de la seccin de radio R, cuyo valor es

GR=.max

3.3.5.- Relacin tensin tangencial-momento torsor.

El reparto de tensiones tangenciales que acta en los puntos de la seccin genera un sistema equivalente en su centro geomtrico G de resultante nula y momento el torsor Mx. La relacin entre el momento torsor y las tensiones tangenciales se obtiene a partir de considerar un anillo infinitesimal de espesor d situado a una cierta distancia del centro de la seccin (Figura 3.44) e integrar la expresin

dA

Figura 3.44 Tensiones tangenciales en un anillo infinitesimal.

ox

A

2o

A

2

A

2

AxA

x

IGM

dAI

dAGdAGdAGMG

dAM

=

=

===

==

siendo Io el momento de inercia polar respecto del centro geomtrico de la seccin circular o anular y G Io la rigidez a torsin.

A partir de las expresiones de tensin tangencial y momento torsor, se obtiene la tensin tangencial en funcin del momento torsor

o

x

o

xox I

M

IMGIGM

G=

===

La tensin tangencial mxima de la seccin ( .max ) se determina al sustituir la distancia del punto de estudio por el radio de la seccin circular y el momento torsor por el mximo ( .mxxM ) que aparece en la viga

RI

M

MM

RI

M

o

mxx

mxxx

o

x.

.max

..max

=

=

=

=

Se denomina momento resistente a torsin (Wx) a la relacin geomtrica entre el momento de inercia polar respecto del centro de gravedad de la seccin Io y el radio del crculo R



RIW ox =

Esta magnitud est tabulada para secciones circulares y anulares, por lo que si se conoce la tensin tangencial admisible del material ( [ ] ) se puede determinar el momento resistente necesario ( .necesxW ) a partir del cual obtener la seccin circular o anular mnima necesaria para que la tensin tangencial mxima sea menor que la admisible

[ ][ ] [ ] [ ] .

..

.

.max

..max

necesx

mxx

x

mxx

ox

o

mxx

o

mxx

WMW

M

RIW

RI

MRIM

=

=

Luego, para que la seccin sea resistente se ha de cumplir que la tensin tangencial admisible del material ( [ ] ) sea superior a la producida por el estado de cargas ( .max ).

3.3.6.- ngulo de torsin.

Para determinar el ngulo de torsin ( ) que se produce entre dos secciones se utiliza la expresin ya deducida del momento torsor, poniendo el ngulo de torsin por unidad de longitud () en funcin el ngulo de torsin buscado ( )

===

== x

x o

x

o

xox

ox

00

dxGIMd

GIdxMdI

dxdGM

dxdIGM

expresin que integrada en el caso de torsin uniforme en que el momento torsor (Mx), el mdulo de torsin (G) y el momento de inercia polar (Io) son constantes es

o

xl

0 o

x0 GI

lMdxGIM ==



3.4.- Flexin.


Es la solicitacin que aparece en una viga cuando para todas las secciones transversales la resultante de fuerzas ( Rr

) y momentos ( GMr

) interiores en el centro de gravedad (G) quedan reducidas a una fuerza y momento situados sobre las secciones. La flexin se puede clasificar en (Figura 3.45)

Flexin pura.

Cuando la reduccin de fuerzas interiores en el centro de gravedad (G) de la seccin transversal es solo un momento contenido en el plano, denominado flector, siendo nulos los esfuerzos axil y cortantes (Nx, Vy, Vz) y el momento torsor (Mx). La flexin pura se puede dividir en simtrica y asimtrica.

Flexin pura simtrica.

Cuando el momento tiene una nica componente (My o Mz) en la direccin de uno de los ejes principales de inercia de la seccin.

Flexin pura asimtrica.

Cuando el momento tiene las dos componentes (My, Mz) en las direcciones de los ejes principales de inercia de la seccin.

Flexin simple.

Cuando la reduccin de fuerzas interiores en el centro de gravedad (G) de la seccin transversal est formada por un momento flector y un esfuerzo cortante (My, Vz o Mz, Vy).

Flexin desviada.

Cuando el momento flector y el esfuerzo cortante tienen componentes respecto de los ejes principales de inercia (My, Vz, Mz, Vy) que pasan por el centro de gravedad (G) de la seccin.

Flexin compuesta.

Cuando adems de esfuerzo cortante y momento flector, existe esfuerzo axil (My, Vz, Mz, Vy, Nx). y

x

z

G

My Mz

Flexin pura asimtrica

y

x

z

G

My

Flexin pura simtrica

y

x

z

G

My

Vz

Flexin simple

y

x

z

G

My Mz

Flexin esviada

Vy

Vz

y

x

z

G

My Mz

Flexin compuesta

Vy

Vz

Nx

Figura 3.45 Tipos de flexin.



Criterio de esfuerzos positivos en flexin pura.

Los momentos flectores son positivos ( 0M0M zy >> , ) cuando en el primer cuadrante tanto de las caras frontal como dorsal se generan tensiones normales de traccin positivas ( 0x > ) (Figura 3.46).

y

x

z

G

Mz y

x

z

G

My

x +

Mz Mz

y

dx

x +

MyMy

z

dx

Figura 3.46 Criterio de signos.

En flexin pura simtrica se tiene en cuenta la hiptesis de Bernoulli con lo que las secciones planas antes de la deformacin siguen siendo planas despus de la deformacin, por lo que al someter una rebanada de un prisma a esta solicitacin en los planos xy o xz todas sus fibras adquieren una cierta curvatura, de forma que se pueden diferenciar dos dominios en funcin del alargamiento o acortamiento de las fibras (Figura 3.47).

Mz

E

A

D

dx

F

B

CMz

x

y

E

A

D

dx

F

B

C

x

y

My

D

A

I

dx

C

B

H My

x

z

D

A

I

dx

C

B

H

x

z Figura 3.47 Flexin en planos xy y xz.

Las fibras que se encuentran en el dominio de alargamiento (ABFE en el plano xy, ABCD en el plano xz) estn sometidas a una tensin normal de traccin ( 0x > ) mientras que las que se encuentran en el dominio de acortamiento (ABCD en el plano xy, ABHI en el plano xz) estn sometidas a una tensin normal de compresin ( 0x



Los movimientos se pueden descomponer en una traslacin ( ( )xu0 ) en la direccin longitudinal de la barra ms un par de rotaciones ( ( ) ( )xx yz , ) respecto de los ejes z e y principales de inercia que pasan por el centro de gravedad (G) de la seccin (Figura 3.48), de forma que aunque se produzca una curvatura debido a la flexin, se cumpla la hiptesis de Bernoulli (las secciones permanecen planas despus de la deformacin).

Para ello los movimientos producidos por las rotaciones tienen que ser proporcionales a las distancias de los puntos de la seccin al eje de giro correspondiente (y, z) por lo que los movimientos de los puntos de la seccin en la direccin longitudinal de la barra vienen definidos por

( ) ( ) ( ) ( ) zxyxxuzyxu yz0 ++= ,,

G x

z

G

y

G

x

z

G

u0(x)

y y

x

z

G G

y(x)z(x)

Figura 3.48 Traslacin y giros de una seccin solicitada a flexin pura.

3.4.3.- Flexin pura. Tensiones normales.

A partir de esta expresin se puede obtener la deformacin unitaria en la direccin del eje x ( x )

( ) ( ) ( ) zxyxxu

zxyxxuuxu

yz0x

yz0

x +

+=

++==

y aplicando las leyes de Hooke, considerando que las tensiones zy , son despreciables frente a la tensin x se tiene

( )[ ]E

E1

xx

xzy

zyxx

=



dAzx

EdAyx

EdAxuEN

zx

yxx

uE

dAN

A

y

A

z

A

0xyz0

x

Axx

+

+=

+

+=

=

expresiones en las que recordando las definiciones de los momentos estticos respecto del os ejes z e y (mez, mey)

eyy

ezz0

x

eyA

ezA

A

A

y

A

z

A

0x

mx

Emx

EAx

uEN

mdAz

mdAy

AdA

dAzx

EdAyx

EdAx

uEN

+

+=

==

=

++

=

Si los ejes z e y pasan por el centro de gravedad de la seccin (G) los momentos estticos (mez, mey) son nulos y el esfuerzo axil (Nx) queda

Ax

uEN0m0m

mx

Emx

EAx

uEN

0x

ey

ez

yy

zz0

x

=

==

+

+=

Momento flector en la direccin del eje y (My).

Sustituyendo la tensin ( x ) en la expresin del momento flector ( yM ), integrando cada sumando y sacando de las integrales los trminos constantes se tiene

+

+=

+

+=

=

A

2y

A

z

A

0yyz0

x

Axy

dAzx

EdAzyx

EdAzx

uEMz

xy

xxuE

dAzM

expresiones en las que recordando las definiciones de las caractersticas geomtricas de momento esttico respecto del eje y (mey), momento de inercia centrfugo (Iyz) y momento de inercia respecto del eje y (Iy)

yy

yzz

ey0

y

yA

2

yzA

eyA

A

2y

A

z

A

0y

Ix

EIx

Emx

uEM

IdAz

IdAzy

mdAz

dAzx

EdAzyx

EdAzx

uEM

+

+=

=

==

+

+=

Si el eje z pasa por el centro de gravedad de la seccin (G) el momento esttico (mey) es nulo, y si los ejes son principales de inercia el momento de inercia centrfugo (Iyz) es nulo, con lo que el momento flector en la direccin del eje y (My) queda



yy

y

yz

ey

yy

yzz

y0

y

Ix

EM

0I

0m

Ix

EIx

Emx

uEM

=

==

+

+=

Momento flector en la direccin del eje z (Mz).

Sustituyendo la tensin ( x ) en la expresin del momento flector ( zM ), integrando cada sumando y sacando de las integrales los trminos constantes se tiene

+

+=

+

+=

=

A

y

A

2z

A

0zyz0

x

Axz

dAzyx

EdAyx

EdAyx

uEMz

xy

xxuE

dAyM

expresiones en las que recordando las definiciones de las caractersticas geomtricas de momento esttico respecto del eje z (mez), momento de inercia centrfugo (Iyz) y momento de inercia respecto del eje z (Iz)

yzy

zz

ez0

z

yzA

zA

2

ezA

A

y

A

2z

A

0z

Ix

EIx

Emx

uEM

IdAzy

IdAy

mdAy

dAzyx

EdAyx

EdAyx

uEM

+

+=

==

=

++

=

Si el eje y pasa por el centro de gravedad de la seccin (G) el momento esttico (mez) es nulo, y si los ejes son principales de inercia el momento de inercia centrfugo (Iyz) es nulo con lo que el momento flector en la direccin del eje y (My) queda

zz

z

yz

ey

yzy

zz

z0

z

Ix

EM

0I

0m

Ix

EIx

Emx

uEM

=

==

+

+=

Luego las expresiones obtenidas son

zz

zyy

y0

x IxEMI

xEMA

xuEN

==

= en las que se pueden determinar las variaciones de la traslacin y giros respecto del parmetro longitudinal (x)

z

zzz

zz

y

yyy

yy

x00x

EIM

xI

xEM

EIM

xI

xEM

EAN

xuA

xuEN

=

=

=

=

=

=

y sustituirlas en la expresin de la tensin normal ( x ), con lo que se obtiene



zI

My

IM

AN

EIM

x

EIM

x

EAN

xu

zx

yxx

uE

y

y

z

zxx

y

yy

z

zz

x0

yz0x

++=

=

=

=

+

+=

y la expresin de la tensin normal buscada finalmente es

zI

My

IM

AN

y

y

z

zxx ++=

definida por los trminos:

ANx - De magnitud comn para todos los puntos de la seccin, debida a la existencia de esfuerzo axil

( xN ).

yI

M

z

z - De magnitud especfica para cada punto que depende de la componente y de la seccin, debida a la existencia de momento flector en el eje z ( zM ) que produce flexin.

zI

M

y

y - De magnitud especfica para cada punto que depende de la componente z de la seccin, debida a la existencia de momento flector en el eje y ( yM ) que produce flexin.

Los sentidos positivos de los esfuerzos ( zyx MMN ,, ) se definen con el criterio de la rebana, mientras que los de las componentes del punto (y, z) con el criterio de ejes.

A partir de esta expresin se pueden obtener distintos repartos de tensiones normales dependiendo de los esfuerzos que existan en la seccin:

1- Traccin pura. Cuando los momentos flectores de los centros de gravedad de las secciones de un prisma sean nulos ( 0MM yz == )

AN

0M0M

zI

My

IM

AN

xx

y

z

y

y

z

zxx

=

==++=

En este caso solo existe traccin (su efecto ha sido estudiado anteriormente).

2- Flexin pura simtrica. Cuando el esfuerzo axil y uno de los momentos flectores de los centros de gravedad de las secciones de un prisma sean nulos ( 0MN yx == o 0MN zx == )

yI

M

0M0N

zI

My

IM

AN

z

zx

y

x

y

y

z

zxx

=

==++=

zI

M

0M0N

zI

My

IM

AN

y

yx

z

x

y

y

z

zxx

=

==++=



En cada caso el estudio se realiza en un nico plano y la tensin normal depende de la coordenada y o z del punto de estudio.

3- Flexin pura asimtrica. Cuando el esfuerzo axil es nulo ( 0N x = )

zI

My

IM

0N

zI

My

IM

AN

y

y

z

zx

x

y

y

z

zxx +=

=++=

En este caso el estudio se realiza sobre dos planos y la tensin normal depende de las coordenadas y,z del punto de estudio.

4- Flexin pura compuesta. Cuando no se anula ningn esfuerzo

zI

My

IM

AN

y

y

z

zxx ++=

En cada caso existe una composicin de traccin y flexin actuando sobre dos planos, y la tensin normal depende de las coordenadas y,z del punto de estudio.

3.4.3.1.- Lnea neutra. La lnea neutra (LN) es el lugar geomtrico de los puntos de la seccin transversal en los que la tensin normal ( x ) es nula, por lo que se obtiene igualando la expresin anterior a cero. Su localizacin depende del tipo de flexin estudiada:

1- Flexin pura simtrica (Figura 3.49). En este caso la lnea neutra corresponde a uno de los ejes principales de inercia que pasa por el centro de gravedad (G) de la seccin. En cada uno de los casos los puntos de la seccin que tienen la misma componente (y o z, respectivamente) tienen la misma tensin normal.

0y0yI

MLN

z

zx === 0z0zI

MLN

y

yx ===

y

z G

b

h

x(x,y)

y0

LN

x(x,y0)mx.

y

z G

b

h

x(x,z)

z0LN

x(x,z0)

mx.

Figura 3.49 Lnea neutra en flexin pura simtrica.

2- Flexin pura asimtrica (Figura 3.50). En este caso la lnea neutra pasa por el centro de gravedad (G) de la seccin pero no corresponde a ninguno de los ejes principales de inercia.

zMIMI

y0zI

My

IM

zy

yzLN

y

y

z

zx ==+=



y

z G

b

h

x(x,d0)LN

d0 x(x,y,z)

Figura 3.50 Lnea neutra en flexin pura asimtrica.

3- Flexin pura compuesta (Figura 3.51). En este caso la lnea neutra no pasa por el centro de gravedad (G) de la seccin ni corresponde a ninguno de los ejes principales de inercia.

zI

MMI

AN

MIy0z

IM

yI

MA

Ny

y

z

zx

z

zLN

y

y

z

zxx ==++=

y

z G

b

h

LN

x(x,d0)

d0x(x,y,z)

Figura 3.51 Lnea neutra en flexin pura compuesta.

3.4.3.2.- Tensin normal mxima en una seccin.

Como el esfuerzo axil, los momentos flectores y las caractersticas geomtricas son valores determinados en cada seccin y la tensin normal vara linealmente con la distancia a la lnea neutra, los puntos en los que aparece la tensin normal mxima ( ..smxx ) son los ms alejados de la lnea neutra. Igual que en el caso anterior, su posicin depende del tipo de flexin estudiada:

1- Flexin pura simtrica (Figura 3.49). Los puntos en los que la tensin normal es mxima se encuentran a una distancia ymx. o zmx. respectivamente.

... mx

z

zsmxx yI

M = ... mxy

ysmxx zI

M =

2- Flexin pura asimtrica (Figura 3.50). Los puntos en los que la tensin normal es mxima dependen de la geometra de la seccin y suelen coincidir con uno de sus vrtices. Su posicin es fcil de obtener situando la lnea neutra sobre la seccin y utilizando en la expresin de la tensin normal ( x ) las coordenadas del punto (yP, zP normalmente pertenecientes a un vrtice) ms alejado.

p

y

yp

z

zsmxx zI

My

IM +=..

3- Flexin pura compuesta (Figura 3.51). Los puntos en los que la tensin normal es mxima dependen de la geometra de la seccin y suelen coincidir con uno de sus vrtices. Nuevamente su posicin es fcil de obtener situando la lnea neutra sobre la seccin y utilizando en la expresin de la tensin normal ( x ) las coordenadas del punto (yP, zP normalmente pertenecientes a un vrtice) ms alejado.

p

y

yp

z

zxsmxx zI

My

IM

AN ++=..



3.4.3.3.- Tensin normal mxima en un prisma.

La tensin normal mxima existente en un prisma ( .mxx ) depende de las magnitudes del esfuerzo axil y los momentos flectores ( yzx MMN ,, ), de las caractersticas geomtricas de la seccin ( yz IIA ,, ) y de las coordenadas del punto ms alejado de la lnea neutra (yP, zP).

Aparece en las secciones con mayores esfuerzos ( ... ,, mxzmxy

mxx MMN ), menores momentos de inercia y rea,

y en los puntos ms alejados de la lnea neutra (yP, zP).

Igual que en los casos anteriores, su determinacin depende del tipo de flexin estudiada:

1- Flexin pura simtrica. La tensin normal es mxima en la seccin donde el momento flector correspondiente es mximo ( .. mxy

mxz MoM ) y en los puntos ms alejados de la lnea neutra (y

mx o zmx.).

..

. mx

z

mxzmx

x yIM = .

.. mx

y

mxymx

x zIM =

En el caso de que el prisma tenga distintos campos de inercia (prisma de inercia variable) habr que aplicar el criterio anterior en cada campo para determinar la seccin de tensin normal mxima y seleccionar entre ellas la seccin de tensin mxima del prisma.

2- Flexin pura asimtrica. La tensin normal es mxima en la seccin donde los momentos flectores sean mximos ( .., mxy

mxz MM ) y en el punto ms alejado de la lnea neutra (y

P, zP).

P

y

mxyP

z

mxzmx

x zIM

yI

M +=..

.

En el caso de que el prisma tenga distintos campos de inercia o que ambos momentos flectores no tengan su mximo en la misma seccin (hecho muy comn) habr que determinar las secciones en las que la tensin normal pueda ser mxima, asociada al valor mximo de cada momento flector, denominadas secciones peligrosas, y aplicar en cada una de ellas la expresin correspondiente para determinar la tensin normal mxima del prisma.

P

y

yP

z

zmxx zI

My

IM +=.

3- Flexin pura compuesta. La tensin normal es mxima en la seccin donde el esfuerzo axil y los momentos flectores sean mximos ( ... ,, mxy

mxz

mxx MMN ), y en el punto ms alejado de la lnea neutra

(yP, zP).

P

y

mxyP

z

mxz

mxxmx

x zIM

yI

MA

N ++=...

.

En el caso de que el prisma tenga distintos campos de inercia o que el esfuerzo axil y los momentos flectores no tengan su mximo en la misma seccin (hecho muy comn) habr que determinar aquellas secciones en las que la tensin normal pueda ser mxima asociada al valor mximo de cada esfuerzo, denominadas secciones peligrosas, y aplicar en cada una de ellas la expresin correspondiente para determinar la tensin normal mxima del prisma.

P

y

yP

z

zxmxx zI

My

IM

AN ++=.

3.4.3.4.- Momento resistente.

El concepto de momento resistente se utiliza para dimensionar con la seccin mnima necesaria en el caso de que se tenga que seleccionar el perfil de entre los existentes en una tabla. El criterio utilizado es que la tensin normal mxima que aparezca en el prisma mecnico ( .mxx ) sea inferior a la tensin normal admisible del material [ ] .



En el caso de flexin pura simtrica en la que el momento flector aparece en uno de los ejes de inercia principal de la seccin, como los momentos principales de inercia no tienen por qu ser de la misma magnitud ( zy II ), para que la seccin seleccionada sea la mnima necesaria se ha de orientar el perfil respecto de la carga de forma que la lnea neutra (LN) coincida con el eje de momento de inercia mximo (Figura 3.52).

y

z G LN

P

y

zG

LN

P

Figura 3.52 Orientacin del perfil respecto d e la carga.

Para la seleccin de la seccin mnima necesaria se van a utilizar los conceptos de momentos resistentes geomtricos ( zy WW , ) y de proyecto (

.. , proyzproy

y WW ).

Los momentos resistentes geomtricos ( zy WW , ) son valores que dependen nicamente de la geometra y dimensiones de la seccin, por lo que en perfiles normalizados los valores correspondientes se pueden encontrar tabulados para cada dimensin del perfil.

Estos valores se pueden comparar con los momentos resistentes de proyecto ( .. , proyzproy

y WW ) obtenidos a partir del estado de cargas del prisma, de forma que se pueda determinar la dimensin del perfil mnimo necesario para que la tensin normal mxima que aparezca en el prisma ( .mxx ) sea inferior a la tensin normal admisible del material [ ] , orientando convenientemente el perfil respecto de la carga. Los momentos resistentes geomtricos ( zy WW , ) permiten la obtencin directa del perfil mnimo necesario nicamente para los casos de flexin pura simtrica.

Si el prisma en estudio es de inercia constante la tensin normal mxima ( .mxx ) aparece en la seccin donde el momento flector correspondiente es mximo ( .mxy

.mxz MoM ) y en los puntos ms alejados de la lnea

neutra, de componente ymx. o zmx., por lo que se tiene

..

. mx

z

mxzmx

x yIM = .

.. mx

y

mxymx

x zIM =

expresiones a partir de las cuales se puede obtener

.

.

. mxx

mxz

mxz M

yI

= ..

. mxx

mxy

mxy M

zI

=

Las relaciones entre el momento principal de inercia ( yz IoI ) y la componente correspondiente a los puntos ms alejados de la seccin respecto de la lnea neutra (ymx. o zmx. en cada caso) se denominan momentos resistentes geomtricos en las direcciones z e y ( yz WW , )

.mxz

z yIW = .mxyy z

IW =

Las relaciones entre el momento flector mximo debido al estado de carga y la vinculacin ( .., mxzmxy MM ) y

la tensin normal admisible del material [ ] se denominan momentos resistentes de proyecto en las direcciones z e y ( .. , proyy

proyz WW )

[ ].

.mxzproy

zMW = [ ]

..

mxyproy

yM

W =



Teniendo en cuenta que la tensin normal mxima debida al estado de carga ( .mxx ) ha de ser inferior a la tensin normal admisible del material [ ] el momento resistente geomtrico respecto del eje de estudio ha de ser igual o mayor al momento resistentes de proyecto ( .., proyyy

proyzz WWWW )

[ ] [ ][ ]

.

..

.

..

.

.

..

.

.

.

.

.

..

..

proyzz

proyzmx

x

mxz

mxzproy

z

mxz

mxx

mxzmx

x

mxx

mxz

z

mxz

z

mxx

mxz

mxzmx

z

mxzmx

x

WW

WM

MW

MM

MW

yIW

My

IyI

M

=

=

=

==

[ ] [ ][ ]

.

..

.

..

.

.

..

.

.

.

.

.

..

..

proyyy

proyymx

x

mxy

mxyproy

y

mxy

mxx

mxymx

x

mxx

mxy

y

mxz

z

mxx

mxy

mxzmx

y

mxymx

x

WW

WM

MW

MM

MW

yIW

Mz

IzI

M

=

=

=

==

Los momentos resistentes geomtricos ( yz WW , ) aparecen en las tablas de perfiles laminados normalizados, de forma que se pueda seleccionar el perfil cuyo momento resistente geomtrico sea el inmediatamente superior al momento resistente necesario de proyecto ( .. proyy

proyz WoW en cada caso).

Con esto se asegura que las tensiones normales mximas ( .mxx ) debidas al estado de carga son inferiores a las tensiones admisibles del material [ ] en la seccin ms peligrosa del perfil seleccionado y que la dimensin del perfil corresponde a la mnima necesaria de las existentes en la tabla.

En el caso de seccin rectangular (Figura 3.53) los momentos resistentes geomtricos ( yz WW , ) son

y

z G

b

h

ymax.

zmax.

Figura 3.53 Seccin rectangular.

6bh

2h

bh121

yIW

23

mxz

z === . 6hb

2b

hb121

zI

W2

3

mxy

y === .

Si la flexin pura es asimtrica o compuesta, en la que el momento flector no se encuentra en direccin principal de inercia de la seccin o existe esfuerzo axil, respectivamente, la tensin normal mxima ( .mxx )



depende al mismo tiempo de distintos esfuerzos ( yzx MMN ,, ), caractersticas geomtricas ( yz IIA ,, ) y de ambas componentes del punto ms alejado (yP, zP) de la lnea neutra

P

y

mxyP

z

mxzmx

x zIM

yI

M +=..

. zI

My

IM

AN

y

y

z

zxmxx ++=.

por lo que el concepto de momento resistente no se puede aplicar directamente para la seleccin de la dimensin del perfil mnimo necesario, aunque el proceso anterior es vlido para la determinacin de la dimensin del perfil de partida a utilizar en un proceso de clculo iterativo.

Para determinar la dimensin de la seccin mnima necesaria el proceso iterativo se basa en lo siguiente:

1- Considerar inicialmente como nico esfuerzo el momento flector mximo, seleccionando la dimensin del perfil mnimo necesario siguiendo el proceso anterior (orientando el perfil de la forma ms adecuada respecto de ese momento flector mximo).

Tomar las caractersticas geomtricas del perfil considerado para realizar el segundo paso.

2- Sin modificar la orientacin del perfil respecto de las cargas, comprobar la validez de la dimensin del perfil seleccionado en el paso anterior, introduciendo los dems esfuerzos y caractersticas geomtricas en la expresin correspondiente a la tensin mxima segn el tipo de flexin.

3- En el caso de que la tensin mxima ( .mxx ) obtenida en este segundo paso supere a la tensin admisible del material [ ] desechar la dimensin del perfil seleccionado y considerar el inmediatamente superior, volviendo a repetir el paso 2.

Este proceso se repetir hasta que las tensiones mximas existentes las secciones peligrosas del prisma sean inferiores a la tensin admisible del material.

3.4.4.- Flexin simple. Relaciones entre esfuerzos axil, cortantes, momentos flectores y cargas repartidas.

Como ya se vio anteriormente, la flexin es simple cuando adems de existir momentos flectores y esfuerzo axil sobre el centro de gravedad de la seccin transversal aparecen tambin esfuerzos cortantes.

Las cargas repartidas (qy, qz), los esfuerzos cortantes y momentos flectores (Vy, Mz o Vz, My) existentes en una seccin sometida a flexin simple no son independientes entre s. Su dependencia se obtuvo considerando una rebanada tal como muestra la Figura 3.54.

Mz+dMz Mz Vy

Vy+dVy dx

G

x

qy

y

mz Nx+dNx Nx

qx

My+dMy My Vz

Vz+dVz dx

qz

z

Gmy

x

Nx+dNx Nx

qx

Figura 3.54 Cargas repartidas y esfuerzos en flexin simple.

Planteando el equilibrio de fuerzas y momentos en los ejes x, y, z respecto del centro de gravedad de la seccin derecha (G) se obtienen las expresiones ya conocidas

( ) xyxxx qdxdN

0dxqNxdNxN0F ==++=( ) yyyyyy qdxdV0dxqVdVyV0F ==++=

zz

zzzzz qdxdV0dxqVdVV0F ==++=



( ) yzyy2zzyyyyG mVdxdM0dxm2dxqdxVMdMM0M +==++= ' ( ) zyzz2yyzzzzG mVdx

dM0dxm2

dxqdxVMdMM0M +==++++= ' En el caso en que las cargas debidas a momentos por unidad de longitud (my, mz) sean nulas

zy

y

yzy

Vdx

dM

0m

mVdx

dM=

=+= yz

z

zyz

Vdx

dM

0m

mVdx

dM=

=+=

y las expresiones anteriores se pueden relacionar entre s mediante

2x

2y

yz

y

yy

dxMd

dxdV

q

dxdM

V

qdx

dV

==

=

= 2

y2

zz

yz

zz

dxMd

dxdVq

dxdM

V

qdx

dV

==

=

=

Segn esto, si las cargas repartidas (qz, qy) varan segn funciones algbricas dependientes del parmetro longitudinal (qz(x), qy(x)), las funciones correspondientes a los esfuerzos (Vy(x), Vz(x)) y momentos flectores (Mz(x), My(x)) son tambin funciones algbricas del mismo parmetro de rdenes uno y dos grados superiores, respectivamente (Figura 3.55)

Figura 3.55 Grficas de carga, esfuerzo cortante y momento flector.

3.4.5.- Flexin simple. Momento flector mximo de un prisma.

En flexin simple el momento flector mximo ( .mxyM o .mx

zM ) de un prisma puede aparecer o bien en alguno de los extremos de los campos de carga o en alguna seccin dentro del dominio de dichos campos.

Para la obtencin de la seccin en la que el momento flector es mximo en el dominio dentro de los campos de carga se ha de cumplir la condicin de esfuerzo cortante sea nulo ( ( ) 0xVy = o ( ) 0xVz = ). La determinacin de la magnitud del momento flector mximo dentro de los campos de carga se basa en obtener la cota x (

.mxyMx o

.mxzMx ) que define la posicin en la que se anula el esfuerzo cortante, y sustituirla en la ecuacin del momento

flector (My(x) o Mz(x))

( ) ==.mx

y.mx

y My

.mxy

Mz

.mxy xMMx0xVM

( ) ==.mx

z.mx

z Mz

.mxz

My

.mxz xMMx0xVM



3.4.6.- Tipos de carga.

Se van a considerar los siguientes tipos de cargas de superficie:

Cargas puntuales (Figura 3.56). Actan de forma localizada. Se consideran cargas longitudinales, transversales y momentos en cada uno de los planos.

Px

x

Py Mz

y

Px

x

Pz My

z Figura 3.56 Cargas puntuales en traccin-flexin.

Cargas repartidas por unidad de longitud (Figura 3.57). Se consideran cargas longitudinales, transversales y momentos en cada uno de los planos.

qx

x

qy

mz

y

qx

x

qz

My

z Figura 3.57 Cargas repartidas en traccin-flexin.

Para la determinacin de los momentos flect

3- resistencia

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