3. modelado euler-lagrange de sistemas electromecanicos´

MODELOS MATEMATICOS Y SIMULACION

3. Modelado Euler-Lagrange de Sistemas

Electromecanicos

JCMG - 2013 690


Contenido

3.1 Introduccion.3.2 Coordenadas basicas, parametros concentrados, energıa-estado.3.3 Ecuaciones de equilibrio a partir de funciones energıa-estado

(ecuacion restringida de Lagrange).3.4 Grados de libertad y coordenadas generalizadas.3.5 Formulacion completa de la Ecuacion de Lagrange3.6 Redes electricas y funciones energıa-estado3.7 Ecuacion de Lagrange para sistemas electricos

y mecanicos conservativos3.8 Acoplamiento en sistemas electromecanicos.3.9 Inclusion de elementos disipativos.

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3.1 Introduccion

El modelado de sistemas mecanicos, electricos y electromecanicos tiene una lar-ga historia vieja ya de varios siglos.

Como se ha visto precedentemente se han desarrollado metodos de modeladoespecıficos para cada una de estas clases de modelos: leyes de Kirchhoff parasistemas electricos (metodos de mallas y de nodos, metodo basado en Teorıa deGrafos) y metodos basados en la segunda ley de Newton y el Principio d’Alembertpara sistemas mecanicos.

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Las tecnicas clasicas de modelado de los sistemas en cuestion parten de la con-sideracion de los elementos constitutivos idealizados de los sistemas como sis-temas de parametros concentrados, cuyo comportamiento esta dictado por leyesconstitutivas simples.

El objetivo del modelado clasico es la obtencion de ecuaciones de equilibrio quedescriben la dinamica del sistema.

NOTA 152 Los metodos clasicos, aquellos que a partir de las leyes constitu-tivas (relaciones diferenciales), construyen las ecuaciones de equilibrio seenfrentan frecuentemente al problema de que la interconexion de los ele-mentos da lugar a ecuaciones que describen las restricciones (asociadas alas interacciones).

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Las restricciones aparecen en el proceso de modelado como incognitas que de-ben ser eliminadas para llegar a las ecuaciones de equilibrio.

Una alternativa a los metodos clasicos de modelado de sistemas electricos, meca-nicos y electromecanicos, es la ofrecida por el ası denominado Metodo Variacio-nal.

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NOTA 153 El Metodo Variacional se basa en la consideracion de que lossistemas son esencialmente procesadores de energıa y fue desarrolladoen el contexto de la Mecanica Clasica por una gran diversidad de especia-listas, entre los cuales los mas renombrados son sin lugar a dudas Joseph-Louis de Lagrange (Italia 1736–1813) y William Rowan Hamilton (Inglaterra,1805–1865).

En lo que sigue se hara una revision rapida del Metodo Variacional. Inicialmentela exposicion estara restringida a los sistemas conservativos (esto es, aquellosque no poseen elementos que disipan energıa), posteriormente se abordara lainclusion de elementos disipativos.

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3.2 Coordenadas basicas, elementos de parametros concentra-dos y funciones energıa-estado

Elemento Capacitancia Electrica

En la teoria de los circuitos lineales, el sımbolo para la capacitancia mostrada enla figura siguiente es descrito por la relacion diferencial:

i(t) =Cdv(t)

dt

C

i

v

+

que establece que la corriente a traves del capacitor es proporcional a la tasa decambio del voltaje en las terminales del elemento.JCMG - 2013 696


Para un elemento dado esta constante de proporcionalidad tiene unidades defaradios si la corriente esta medida en amperes, la diferencia de potencial v esta envoltios y el tiempo t en segundos. Estas son unidades mks.

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La ecuacion precedente puede ser escrita en terminos intregrales como sigue:

v(t) =1C

Z t

t1i(t)dt + v(t1)

Ahora bien, si t1 = t�• entonces se puede considerar que v(t1) = 0 y en conse-cuencia:

v(t) =1C

Z t

�•i(t)dt

y definiendo a la funcion de corriente como la tasa de cambio (con respecto altiempo) del flujo de carga positiva, o:

i(t) =dq(t)

dt,

donde q(t) es la carga entendida como una funcion del tiempo expresada encoulombs; ası que un coulomb por segundo iguala a un ampere.

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En consecuencia:

q(t)�q(�•) =Z t

�•i(t)dt

y tomando q(�•) = 0 se tiene:

q(t) =Z t

�•i(t)dt =Cv(t)

o bien:

v(t) =1C

q(t) ,

que corresponde al elemento capacitivo lineal.

Si al carga es graficada como una funcion del voltaje, entonces la capacitanciaC (v) es la pendiente de la curva en cada punto, tal y como se muestra en la figurasiguiente:

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q

v

Pendiente = C(v)

Si la grafica fuera una lınea recta, entonces el elemento capacitivo serıa un capa-citor lineal.

La carga aparece entonces como un coordenada fundamental en el capaci-tor.

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Elemento Inductancia Electrica

En la teoria de los circuitos lineales, el sımbolo para la inductancia mostrada en lafigura siguiente es descrito por la relacion diferencial:

v(t) = Ldi(t)

dt

L

i

v

+

que establece que el voltaje en las terminales del inductor es proporcional a latasa de cambio de la corriente a traves del elemento.

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Para un elemento dado esta constante de proporcionalidad tiene unidades dehenrys si la corriente esta medida en amperes, la diferencia de potencial v esta envoltios y el tiempo t en segundos.

Estas son unidades mks. La ecuacion precedente puede ser escrita en terminosintregrales como sigue:

i(t) =1L

Z t

�•v(t)dt

suponiendo que i = 0 en t = �•.

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Para interpretar la ecuacion precedente es necesario revisar la ley de Faradaypara el voltaje inducido en una espira cerrada. En terminos del vector de densidadde flujo magnetico, esta ley puede ser escrita como sigue:

eind =� ddt

ZS

B ·dS.

Con respecto a la figura siguiente, B es el vector de densidad de flujo magnetico,en webers por metro al cuadrado, y dS es el vector incremento del area de lasuperficie dirigida hacia afuera como se muestra en la figura.

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dS

i

veind

Superficie S

Devanado c

B

1

2

Para tener un vector de densidad de flujo magnetico B en la direccion mostradaen la figura se debe de insertar una corriente en el lado 2 del devanado.

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En consecuencia:

v =�eind

para tener el lado positivo del voltaje en las terminales sobre la lınea de entradade corriente.

Ası: ZS

B ·dS�t=t

t=�•=

Z t

�•v(t)dt.

La integral de superficie del vector de densidad de flujo magnetico sobre unasuperficie que encierra al devanado es definida como el flujo magnetico que ligaal devanado.

Si el devanado tiene mas de una espira, entonces la suma de las integrales de su-perficie tomadas para cada espira estara involucrada en la ecuacion precedente.

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La suma total de las integrales de superficie representa al flujo de lıgadura deldevanado multiespiras. En consecuencia, simbolıcamente:Z

SB ·dS

�t=t

t=�•= l (t)�l (�•) ,

donde el flujo de lıgadura l tiene unidades de webers.

Tambien se utiliza la unidad webers-espira, pero es equivalente a webers, ya quelas espiras no tienen unidades.

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Tomando l (�•) = 0 se obtiene:

i(t) =1L

l (t) .

Para parametro de inductancia lineal los flujos de lıgaduras son proporcionales ala corriente aplicada.

Una inductancia tiene la habilidad de acumular flujo de lıgaduras y en el procesouna corriente debe de existir en algun lugar (lo cual no quiere decir que la corrientedebe existir en el mismo elemento).

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Una descripcion de este elemento esta dada al graficar el flujo de lıgaduras comouna funcion de la corriente que actualiza al campo de lıgadura.

La curva caracterıstica para el elemento inductancia de parametros concentradosse muestra a continuacion.

λ

i

Pendiente = L(i)

La pendiente de esta curva en todo punto es la inductancia L(i).

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Como en el caso de la capacitancia, una lınea recta corresponde a una inductan-cia lineal.

El flujo de lıgadura aparece como un coordenada fundamental en el inductor.

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Elemento Electrico Disipativo

Los elementos de parametros concentrados capacitancia e inductancia se consi-deraran como elementos que almacenan energıa en el campo electrico y en elcampo magnetico, respectivamente.

Todos los elementos electricos disipan una cierta cantidad de energıa por unidadde tiempo en forma de calor.

Se utiliza el termino disipar porque la energıa calorıfica se pierde en el medioambiente.

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Para tomar en cuenta esta perdida se requiere un tercer elemento: la admitancia.

En un medio conductivo, el vector de densidad de corriente J esta relacionado conel vector electrico E por medio de una expresion de la forma:

J = sE.

En esta ecuacion s denota la conductividad del medio en mhos por metro.

En un medio lineal s es constante; en general s es funcion de J o de E.

La figura siguiente muestra un cilindro incremental del medio conductivo de areaaxial DS y longitud Dl.

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∆S

∆l

J, E

El cilindro esta seleccionado de manera tal que J es normal a DS y es relativamen-te constante sobre la superficie. Tambien, E no cambia sobre la superficie.

Los extremos del cilindro son equipotenciales y cualquier corriente que entra porun lado sale por el otro. Por otra parte, no hay flujos de corriente en las paredes.

El vector de superficie es colineal con J y con S.

En consecuencia:

JDS =sDSDl

EDl.

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La cantidad JDS es la corriente total en el cilindro incremental y EDl correspondea la diferencia de potencial entre los extremos.

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El cilindro incremental puede ser modelado por medio de una resistencia de parame-tros concentrados, cuyo sımbolo se muestra a continuacion.

G mhos

q

λ

+

.

.

R ohms

Utilizando q como la corriente y l como el voltaje la ecuacion precedente puedeescribirse como sigue:

q = G⇣

l

⌘l ,

donde la admitancia G = sDSDl tiene unidades de mhos y 1/G = R es la resistencia,

en unidades de ohms.

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La curva caracterıstica para la resistencia (o la admitancia) se muestra en la figurasiguiente, expresada en terminos de una grafica de q como funcion de l .

q

λ

Pendiente = G( ) =

.

.

λ. 1

R( )λ .

Si la conductividad del medio, esto es s , es constante, entonces G sera tambienconstante y la caracterıstica q-l es una lınea recta, definiendo ası un elementodisipativo lineal.

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Coordenadas basicas para los elementos mecanicos traslacionales

Existen dos clases basicas de movimiento en elementos mecanicos:

1. Movimiento traslacional.

2. Movimiento rotacional.

Es claro que un sistema mecanico puede presentar ambas clases de movimiento.

Se iniciara con el movimiento traslacional.

Masa lineal de parametros concentrados

El elemento masa lineal de parametros concentrados se representa simbolica-mente por medio de la figura siguiente y puede ser descrito por medio de la rela-cion diferencial siguiente:

f (t) = Mdv(t)

dt.

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f

Mv

La fuerza de f newtons es positiva cuando se dirige hacia abajo. La velocidad ven m/seg es medida con respecto al marco referencial estacionario.

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Ambos lados de la masa se mueven con la misma velocidad. En la figura se indicaque la velocidad se toma como positiva si esta orientada hacia abajo.

La segunda ley de Newton para el caso lineal establece que la fuerza neta apli-cada a la masa es proporcional a la tasa de cambio de su velocidad (esto es a laaceleracion), con la constante de proporcionalidad M expresada en unidades dekilogramos para unidades mks de la fuerza y de la velocidad.

Integrando la ecuacion precedente se tiene entonces:

v(t) =1M

Z t

�•f (t)dt

tomando la velocidad en el tiempo t = �• igual a cero.

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La integralR t�• f (t)dt es definida como el momento p. En consecuencia:

p(t)� p(�•) =Z t

�•f (t)dt.

Y tomando p(�•) = 0 se tiene:

v(t) =1M

p(t) ,

con la velocidad siendo proporcional al momento para el caso lineal.

En general la curva caracterıstica del elemento masa de parametros concentradosgrafica su momento como funcion de su velocidad, como se muestra en la figurasiguiente.

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Pendiente = M(v)

p

v

Si la curva corresponde a una lınea recta, entonces la masa es constante y setiene una elemento masa lineal.

Se elige el momento como una coordenada mecanica basica para un sistemamecanico traslacional.

Como en el caso de los elementos electricos la primera derivada de la coordenadabasica nos proporciona una variable usual en el analisis, en este caso la fuerza f .

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Resorte lineal de parametros concentrados

Para el elemento resorte lineal de parametros concentrados, que se muestrasimbolicamente en la figura siguiente, su descripcion corresponde a la ecuacion:

v(t) = Kd f (t)

dt,

donde f es la fuerza, en newtons, aplicada al resorte, v es la velocidad, en metrospor segundo, de un extremo terminal del resorte con respecto al otro extremo ter-minal, y K es la constante de proporcionalidad del resorte, en metros por newton.

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f

v

La constante K recibe el nombre de complianza del resorte.

Manipulando la ecuacion precedente e integrando se obtiene:

f (t) =1K

Z t

�•v(t)dt,

tomando f (�•) = 0.

La integral en la ecuacion precedente corresponde simplemente a la posicion delextremo terminal alto del resorte, con respecto al extremo terminal bajo. Simboli-camente:

x(t)� x(�•) =Z t

�•v(t)dt

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y tomando x(�•) = 0 se tiene:

f (t) =1K

x(t)

como la ecuacion que describe la dinamica del resorte lineal.

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NOTA 154 Es comun en mecanica utilizar la constante del resorte, que esigual al recıproco de la complianza del resorte. En lo que sigue se utilizara lacomplianza, para mantener la simetrıa con los elementos electricos.

En general la curva caracterıstica del resorte grafica la posicion del resorte enfuncion de la fuerza aplicada, como se muestra en la figura siguiente.

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Pendiente = K(f)

x

f

La pendiente de la curva en cada instante corresponde entonces a la complianzadel resorte. Si la grafica corresponde a una recta entonces se tiene un resortelineal.

NOTA 155 Las coordenadas mecanicas fundamentales son el momento yla posicion. Sus primeras derivadas son la fuerza y la velocidad, respecti-vamente.

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El amortiguador lineal

Las coordenadas mecanicas fundamentales aparecen en el elemento amortigua-dor, disipativo (o viscoso), de parametros concentrados, representado esquemati-camente como sigue:

p

x

D

.

.

La fuerza aplicada al elemento es mostrada como p y la velocidad, x, correspondea la velocidad del extremo terminal alto con respecto al extremo terminal bajo.

La ecuacion del amortiguador lineal de parametros concentrados esta dada por:

p = Dx,

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donde D esta en unidades de newtons-segundos por metro.

Una grafica de p contra x , como se muestra a continuacion, proporciona la curvacaracterıstica general del amortiguador.

Pendiente = D(x)

p

x

.

.

.

Como antes, una recta corresponde a un amortiguador lineal.

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Coordenadas basicas para los elementos mecanicos rotacionales

Todos los elementos mecanicos traslacionales se definen de manera analoga acomo se hizo con los elementos traslacionales. Sus coordenadas basicas funda-mentales correspondientes son el momento angular y la posicion angular.

Para un elemento inercia lineal de parametros concentrados se tiene la ecuacion:

T (t) = Jdw (t)

dt,

donde: w denota la velocidad angular y es medida en radianes por segundo; Tdenota el par aplicado en newtons-metro y J denota la inercia en kilogramos-metros al cuadrado.

Integrando y considerando w (�•) = 0 se tiene:

w (t) =1J

Z t

�•T (t)dt,

donde la integral es definida como el momento angular l y en consecuencia:

l (t)� l (�•) =Z t

�•T (t)dt.

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Tomando l (�•) = 0 se tiene simplemente:

w (t) =1J

l (t) .

En general la descripcion de un elemento inercia se realiza por medio de la grafi-cacion de su momento angular en funcion de su velocidad angular.

En lo que respecta al resorte rotacional lineal, su curva caracterıstica grafica laposicion angular en funcion del par aplicado. En el caso lineal la funcion carac-terıstica esta dada por:

T (t) =1

Kq

q (t) ,

con la complianza Kq

en unidades de radianes por newton-metro.

Finalmente, para el amortiguador rotacional lineal se tiene:

l (t) = Dq

q (t) ,

con el coeficiente rotacional de viscosidad en unidades de newton-metro-segundopor radianes.JCMG - 2013 729


Resumen de coordenadas basicas para los elementos electricos y mecani-cos de parametros concentrados

Coordenadas Primeras derivadasSımbolo Descripcion Unidades Sımbolo Descripcion Unidades

Electrico q Carga coulomb q = i Corriente amperesl Flujo de lıgadura webers l = v Voltaje voltios

Mecanico p Momento newton-seg p = f Fuerza newtons(traslacional) x Posicion metros x = v Velocidad m/segMecanico l Momento newton-m- l = T Par newton-m(rotacional) angular seg

q Posicion rad q = w Velocidad rad/segangular angular

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Ecuaciones de equilibrio, variables de estado y funciones de estado

Se quiere describir la operacion instantanea de un sistema compuesto por ele-mentos electricos y mecanicos de parametros concentrados.

La descripcion podrıa ser dada adecuadamente expresando ambas coordenadasbasicas para cada elemento como funciones del tiempo.

El procedimiento general para determinar las coordenadas del sistema como fun-ciones del tiempo involucra en general el resolver un conjunto de ecuaciones di-ferenciales simultaneas. Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones deequilibrio.

JCMG - 2013 731


Estas ecuaciones balancean dinamicamente variables terminales especıficas pa-ra los elementos de parametros concentrados de acuerdo con las interconexionesexistentes en el sistema.

En los sistemas electricos las ecuaciones de equilibrio son formuladas por mediode las leyes de Kirchhoff para para corrientes y para potenciales (ecuaciones demallas y ecuaciones de nodos).

En el caso de los sistemas mecanicos la formulacion parte de la aplicacion de lasegunda ley de Newton o del principio D’Alembert, involucrando en este caso su-matorias de fuerzas (movimiento traslacional) o de pares (movimiento rotacional).

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Las variables utilizadas en la formulacion de las ecuaciones de equilibrio son de-nominadas variables de estado.

NOTA 156 Un punto de estado corresponde a los valores de las variablesde estado en un tiempo dado.

El movimiento del punto de estado como una funcion del tiempo tambien des-cribe la operacion del sistema (este movimiento es frecuentemente denominadotrayectoria de estado del sistema).

NOTA 157 La formulacion de ecuaciones de equilibrio en el caso de siste-mas que involucran acoplamientos entre componentes electricos y mecani-cos es frecuentemente complicada, por lo que se prefiere una formulacionbasada en la energıa.

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El metodo basado en energıa requiere la formulacion de las ası denominadasfunciones de energıa-estado.

NOTA 158 En un instante dado las funciones del estado dependen de losvalores de las variables de estado en dicho tiempo, es decir no dependende la historia del estado.

La formulacion energetica da lugar a las mismas ecuaciones de equilibrio queresultan de la aplicacion de las leyes de Kirchhoff y de Newton, pero el procedi-miento de obtencion es mas sencillo, lo cual justifica su aplicacion.

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Sistemas conservativos

Como primer paso se formulara la metodologıa energetica para sistemas conser-vativos (esto es sistemas que solo almacenan energıa, pero que no la disipan).

Por lo cual en el caso electrico solo se abordaran sistemas que no poseen resis-tencias, mientras que en el caso mecanico no seran incluidos los amortiguadores.

Tambien, en un principio solo se consideran sistemas electricos y mecanicos ais-lados (sus componentes no interaccionan).

JCMG - 2013 735


La funcion de estado de la capacitancia

Para un capacitor la potencia instantanea esta dada por:

Pe = l (t) q(t) ,

donde l (t) denota la variable diferencia de potencial y q(t) denota la variablecorriente expresadas como funciones del tiempo. El subescrito e indica almacena-miento electrico.

NOTA 159 La energıa por unidad de tiempo que fluye en el capacitoresta siendo almacenada en un campo electrico.

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Funcion de energıa-estado

El incremento de energıa suministrada en un tiempo dt esta dada por:

dWe (t) = Pe (t)dt = l (t)dq(t)dt

dt.

La energıa total suministrada a partir de un tiempo inicial t0 hasta un tiempo t seobtiene integrando la ecuacion precedente:

We (t)�We (t0) =R tt0 l (t) dq(t)

dt dt

y cambiando de variable:

We (q)�We (q0) =R t

q0l

0�q0�

dq0,

donde q denota la carga en el tiempo t y q0 denota la carga en el tiempo t0.

JCMG - 2013 737


NOTA 160 En la ecuacion precedente los apostrofes son utilizados para in-dicar las variables que intervienen en la integracion. Las variables sin apos-trofes indican los lımites en la integral y en el caso de q se esta represen-tando el estado en el tiempo t.

Tomando We (q0) = 0 (escogiendo t0 de manera tal que q0 = 0) se tiene la energıade campo electrico total acumulada en el capacitor:

We (q) =Z q

0l

0dq0.

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Este termino energetico es una funcion de estado, ya que para un punto de estadodado el area que corresponde al calculo de la integral es unica y visceversa, estoes una area especıfica corresponde a un solo punto de estado.

Ademas la funcion de estado depende unicamente del estado finaldel elemento (lo cual no es cierto si la curva caracterıstica del ele-mento no fuera de valor simple, tal y como es el caso cuando sepresenta el fenomeno de la histeresis).

JCMG - 2013 739


Funcion de co-energıa-estado

Una segunda funcion de energıa-estado es la llamada funcion de co-energıa:

W 0e

⇣l

⌘=

Zl

0q0⇣

l

0⌘

dl

0,

que se relaciona con We (q) como sigue:

We (q)+W 0e

⇣l

⌘= ql .

En el caso especial de un capacitor lineal se tiene que:

We (q) =W 0e

⇣l

⌘=

12

ql .

JCMG - 2013 740


La funcion de estado de sistemas formados por capacitancias aısladas

Generalizando el tratamiento anterior para un conjunto de n capacitancias:

We (q1,q2, . . . ,qn) = Âni=1

R qi0 l

0i�q01,q

02, . . . ,q

0n�

dq0i.

NOTA 161 El apostrofe en las coordenadas es utilizado como antes paraindicar la carga general o el voltaje general en los elementos y las coorde-nadas libres del apostrofe se refieren especıficamente a las coordenas delos puntos de estado.

JCMG - 2013 741


Las coordenadas libres del apostrofe especificaran el estado real de los elementosy por ende el estado del sistema de elementos interconectados.

Dado que solo el estado final es importante se puede computar la ecuacion prece-dente considerando que la carga final en cada capacitor se deposita en secuencia.En consecuencia:

We (q1,q2, . . . ,qn) =R q1

0 l

01�q01,0, . . . ,0

�dq01

+R q2

0 l

02�q1,q02, . . . ,0

�dq02

+ · · ·+R qn

0 l

0n�q1,q2, . . . ,q0n

�dq0n.

JCMG - 2013 742


La funcion de co-energıa puede desarrollarse de manera similar. Por simetrıa:

W 0e

⇣l1, l2, . . . , ln

⌘= Ân

i=1R

li0 q0i

⇣l

01, l

02, . . . , l

0n

⌘dq0i.

=R

l10 q01

⇣l

01,0, . . . ,0

⌘dl

01

+R

l20 q02

⇣l1, l

02, . . . ,0

⌘dl

02

+ · · ·+R

ln0 q0n

⇣l1, l2, . . . , l

0n

⌘dl

0n.

Ademas:

We (q1,q2, . . . ,qn)+W 0e

⇣l1, l2, . . . , ln

⌘=

nÂi=1

qili.

JCMG - 2013 743


Ejemplo 32 Considere tres capacitores no lineales con las siguientes caracterısti-cas:

q1 = 3⇣

l1

⌘1/3, q1 = 4

⇣l2

⌘2/3, q3 = 7

⇣l3

⌘1/5.

Iniciando con la funcion de co-energıa e incrementando los tres voltajes sucesiva-mente desde cero hasta sus valores finales l1, l2 y l3:

W 0e

⇣l1, l2, l3

⌘=

Rl10 q01

⇣l

01,0,0

⌘dl

01+

Rl20 q02

⇣l1, l

02,0

⌘dl

02+

Rl30 q03

⇣l1, l2, l

03

⌘dl

03

=R

l10 3

⇣l

01

⌘1/3dl

01+

Rl20 4

⇣l

02

⌘2/3dl

02+

Rl30 7

⇣l

03

⌘1/5dl

03

= 94l

4/31 + 12

5 l

5/32 + 35

6 l

6/53 .

JCMG - 2013 744


Y en lo que respecta a la funcion de energıa:

We (q1,q2,q3)

=R q1

0 l

01�q01,0,0

�dq01+

R q20 l

02�q1,q02,0

�dq02+

R q30 l

03�q1,q2,q03

�dq03

=R q1

0

⇣13q01

⌘3dq01+

Rl20

⇣14q02

⌘3/2dq02+

Rl30

⇣17q03

⌘5dq03

= 1108q4

1+2

5(4)3/2q5/22 + 1

6(7)5q63.

JCMG - 2013 745


Para evaluar la suma de ambas funciones de energıa y verificar que esta es iguala Â3

i=1 qili se tiene que para el primer termino:

94l

4/31 + 1

108q41 = 9

4l

4/31 + 34

108l

4/31

= 3l

4/31

= q1l1,

dado que q1 = 3⇣

l1

⌘1/3. Se sigue el mismo procedimiento para los terminos

restantes.

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Derivadas parciales de las funciones de estado de campo electrico

Para formar las ecuaciones de equilibrio por medio de las funciones energıa-estado se requiere calcular ciertas derivadas parciales.

Utilizando como ejemplo los elementos de campo electrico de parametros con-centrados se ilustra a continuacion como se obtienen las ecuaciones de equilibrio.

Derivando la energıa de campo electrico almacenada en el sistema de n capaci-tores con respecto a la carga en el k-esimo capacitor de obtiene:

∂We (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn)

∂qk

y al realizar esta derivada parcial todas las q’es se mantienen constantes, conexcepcion de qk.

JCMG - 2013 747


En consecuencia:

∂We (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn)

∂qk=

∂

∂qk

nÂi=1

Z qi

0l

0i�q01,q

02, . . . ,q

0k, . . . ,q

0n�,

que se reduce a:

∂We (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn)

∂qk= lk (q1,q2, . . . ,qk, . . . ,qn) .

NOTA 162 Tomando el cambio en la energıa almacenada en el sistema conrespecto a un cambio incremental en la carga sobre uno de los capacito-res, y manteniendo fija las carga sobre los otros capacitores, se obtiene elvoltaje sobre el capacitor seleccionado.

JCMG - 2013 748


Ecuaciones de mallas

Las ecuaciones de malla de Kirchhoff se obtienen sumando voltajes alrededor deciertos lazos en un cırcuito electrico.

NOTA 163 La ecuacion precedente proporciona un esquema para elcomputo del voltaje entre las terminales de un capacitor especıfico a partirde una funcion energıa-estado particular.

Si se desea la obtencion de ecuaciones de malla se utilizan como variables deinteres (para la realizacion de las derivadas parciales de la funcion de energıa-estado) a cargas q y a corrientes q.

JCMG - 2013 749


Ecuaciones de nodos

Si se desea la obtencion de ecuaciones de nodos se utilizan como variables deinteres (para la realizacion de las derivadas parciales de la funcion de energıa-estado) a flujos de lıgaduras l y a voltajes de nodo l .

En efecto, tomando la derivada parcial de la funcion co-energıa-estado de campoelectrico con respecto a un voltaje particular lk se obtiene:

∂W 0e(l1,l2,...,lk,...,ln)

∂ lk= ∂

∂ lkÂn

i=1R

li0 q0i

⇣l

01, l

02, . . . , l

0k, . . . , l

0n

⌘dl

0i

= qk

⇣l1, l2, . . . , lk, . . . , ln

⌘.

JCMG - 2013 750


De esta manera el cambio en la funcion de co-energıa-estado con respecto alvoltaje en el k-esimo capacitor, cuando todos los otros voltajes estan fijos, da lacarga en el k-esimo capacitor.

Derivando ambos lados de la ecuacion precedente se obtiene la corriente quecircula atraves del k-esimo capacitor.

JCMG - 2013 751


Las ecuaciones de nodo se obtienen sumando corrientes en cada nodo.

Seleccionando l ’s y l ’s como coordenadas se interes se obtendran las ecuacio-nes nodales de equilibrio de voltaje al formar derivadas parciales con respecto aestas coordenadas.

En lo que sigue se formulan las ecuaciones de energıa y de co-energıa de loselementos electricos y mecanicos faltantes y posteriormente se formalizara el pro-cedimiento de obtencion de las funciones de estado.

JCMG - 2013 752


Funciones de energıa-estado para un sistema de inductancias

La potencia instantanea suministrada a un sistema de k inductancias esta dadapor:

Pm (t) =nÂi=1

qili,

donde m indica que se esta almacenando energıa de campo magnetico.

Entonces, la energıa de campo magnetico total almacenada en un incremento detiempo dt esta dada por:

dWm =nÂi=1

qi (t)dli (t)

dtdt

e integrando de 0 a t (considerando igual a cero la energıa almacenada en t = 0)se tiene la energıa total almacenada:

Wm (t) =Z t

0

"nÂi=1

qi (t)dli (t)

dt

#dt,

JCMG - 2013 753


que puede reducirse a:

Wm (l1,l2, . . . ,ln) =nÂi=1

Zli

0q0i�l

01,l

02, . . . ,l

0n�

dl

0i .

JCMG - 2013 754


La funcion de co-energıa-estado para el sistema de n inductancias esta dada por:

W 0m (q1, q2, . . . , qn) =

nÂi=1

Z qi

0l

0i�q01, q

02, . . . , q

0n�

dq0i

y tambien:

Wm (l1,l2, . . . ,ln)+W 0m (q1, q2, . . . , qn) =

nÂi=1

liqi.

JCMG - 2013 755


Al realizar la derivada parcial de la funcion de energıa-estado con respecto a lk(manteniendo constantes el resto de los flujos de lıgaduras) se obtiene la corrienteen el k-esimo inductor:

∂Wm (l1,l2, . . . ,lk, . . . ,ln)

∂lk= qk (l1,l2, . . . ,lk, . . . ,ln) ,

requerida para una formulacion nodal.

JCMG - 2013 756


De manera similar se realiza la derivada parcial de la funcion de co-energıa-estadocon respecto a la corriente qk:

∂W 0m (q1, q2, . . . , qk, . . . , qn)

∂ qk= lk (q1, q2, . . . , qk, . . . , qn) ,

que corresponde al voltaje en las terminales del k-esimo inductor, de utilidad en laformulacion en terminos de mallas.

NOTA 164 En lo que respecta a la funcion energıa-estado correspondientea elementos disipativos (admitancias o resistencias) no se produce alma-cenamiento de energıa. En este caso la energıa que fluye se convierte encalor, que se transfiere al sistema electromecanico al cual pertenece el sis-tema electrico.

JCMG - 2013 757


Funciones energıa-estado mecanico-traslacionales

MASA: Los elementos inercia y resorte (tanto en el caso traslacional como en elrotacional) constituyen sistemas mecanicos conservativos.

La energıa cinetica en una masa o en un elemento inercia esta en la formade energıa cinetica, esto es energıa asociada al movimiento. Esto e, en uncuerpo en movimiento la energıa (que se incremeta conforme el cuerpo semueva) almacenada corresponde a la energıa cinetica.

JCMG - 2013 758


La potencia instantanea total suministrada a un sistema de parametros con-centrados de n elementos masa esta dada por:

P =nÂi

xi (t) pi (t) ,

donde xi (t) denota la velocidad de la i-esima masa y pi (t) denota al fuer-za aplicada a la i-esima masa (pi (t) denota el momento asociado al i-esimoelemento).

JCMG - 2013 759


En un incremento de tiempo dt la energıa cinetica T recibida por el sistemaesta dada por:

dT (t) =nÂi=1

xi (t)d pi (t)

dtdt.

Tomando la energıa cinetica en tiempo t = 0 igual a cero, la energıa cineticaalmacenada en algun tiempo t esta dada por:

T (p1, p2, . . . , pn) = Âni=1

R t0 xi (t)

d pi(t)dt dt

= Âni=1

R pi0 xi

�p01, p02, . . . , p0n

�d p0i,

que corresponde al area por encima de la curva caracterıstica correspondien-te.

JCMG - 2013 760


La funcion de co-energıa cinetica asociada esta dada por:

T 0 (x1, x2, . . . , xn) =nÂi=1

Z xi

0p0i�x01, x

02, . . . , x

0n�

dx0i

y finalmente ambas funciones de energıa estan asociadas como sigue:

T (p1, p2, . . . , pn)+T 0 (x1, x2, . . . , xn) =nÂi=1

pixi.

JCMG - 2013 761


La ecuaciones de equilibrio para sistemas mecanicos frecuentemente sonformuladas por medio de la segunda ley de Newton o por medio del principiode D’Alembert, tanto en el caso traslacional como en el caso rotacional, ylas ecuaciones expresadas en tales terminos corresponden a sumatorias defuerzas o de pares, respectivamente.

Dado que es primordial conocer la configuracion del sistema, se prefierenformulaciones en terminos de fuerza (o de pares), ya que esto involucra a lasposiciones como coordenadas. En consecuencia:

∂T 0 (x1, x2, . . . , xk, . . . , xn)

∂ xk= pk (x1, x2, . . . , xk, . . . , xn)

y derivando esta ecuacion por ambos lados se obtiene la fuerza requerida so-bre el k-esimo elemento como una funcion de las n velocidades en el sistema.

RESORTE: En lo que respecta al resorte traslacional, la energıa es almacenadabajo la forma de energıa potencial. Un sistema de n resortes, en un incremen-to dt, puede almacenar la energıa potencial:

dV (t) =nÂi=1

pi (t)dx1 (t)

dtdt

JCMG - 2013 762


y suponiendo que en t = 0 la energıa potencial es igual a cero, la energıapotencial acumulada en algun tiempo t es igual a:

V (t) =nÂi=1

pi (t)dxi (t)

dtdt,

que es equivalente a:

V (x1,x2, . . . ,xn) =nÂi=1

Z xi

0p0i�x01,x

02, . . . ,x

0n�

dx0i.

JCMG - 2013 763


En lo que respecta a la co-energıa potencial:

V 0 ( p1, p2, . . . , pn) =nÂi=1

Z pi

0x0i�

p01, p02, . . . , p0n�

d p0i.

y la relacion entre ambas funciones de energıa esta dada por:

V (x1,x2, . . . ,xn)+V 0 (p1, p2, . . . , pn) =nÂi=1

xi pi.

Derivando la funcion de energıa potencial con respecto a xk se tiene:

∂V (x1,x2, . . . ,xk, . . . ,xn)

∂dk= pk (x1,x2, . . . ,xk, . . . ,xn) ,

que representa la fuerza aplicada al k-esimo resorte en funcion de las coor-denadas de posicion.

JCMG - 2013 764


Funciones energıa-estado mecanico-rotacionales

Para los elementos rotacionales se tiene de manera similar:

INERCIA ROTACIONAL: Funcion de energıa cinetica:

T (l1, l2, . . . , ln) =nÂi=1

Z li

0qi�l01, l

02, . . . , l

0n�

dl0i.

Funcion de co-energıa:

T 0�q1, q2, . . . , qn

�=

nÂi=1

Zqi

0l0i�q

01, q

02, . . . , q

0n�

dq

0i .

JCMG - 2013 765


RESORTE ROTACIONAL: Funcion de energıa potencial:

V (q1,q2, . . . ,qn) =nÂi=1

Zqi

0l0i�q

01,q

02, . . . ,q

0n�

dq

0i .

Funcion de co-energıa potencial:

V 0�l1, l2, . . . , ln�=

nÂi=1

Z li

0q

0i�l01, l

02, . . . , l

0n�

dl0i.

li denota el momento angular del i-esimo elemento de inercia y qi el i-esimodesplazamiento angular.

JCMG - 2013 766


Resumen de funciones energıa y de co-energıa-estado de elementos con-servativos

Elemento Funciones de energıa-estado Tipo de energıaCapacitancia We (q1,q2, . . . ,qn) = Ân

i=1R qi

0 l

0i (q

01,q

02, . . . ,q

0n)dq0i. Campo electrico

W 0e

⇣l1, l2, . . . , ln

⌘= Ân

i=1R

li0 q0i

⇣l

01, l

02, . . . , l

0n

⌘dl

0i

Inductancia Wm (l1,l2, . . . ,ln) = Âni=1

Rli0 q0i (l

01,l

02, . . . ,l

0n)dl

0i Campo magnetico

W 0m (q1, q2, . . . , qn) = Ân

i=1R qi

0 l

0i (q

01, q

02, . . . , q

0n)dq0i

Masa traslacional T (p1, p2, . . . , pn) = Âni=1

R pi0 xi (p01, p02, . . . , p0n)d p0i Cinetica

T 0 (x1, x2, . . . , xn) = Âni=1

R xi0 p0i (x

01, x

02, . . . , x

0n)dx0i

Resorte traslacional V (x1,x2, . . . ,xn) = Âni=1

R xi0 p0i (x

01,x

02, . . . ,x

0n)dx0i Potencial

V 0 ( p1, p2, . . . , pn) = Âni=1

R pi0 x0i (p01, p02, . . . , p0n)d p0i

Inercia rotacional T (l1, l2, . . . , ln) = Âni=1

R li0 qi (l01, l

02, . . . , l

0n)dl0i Cinetica

T 0 �q1, q2, . . . , qn

�= Ân

i=1R

qi0 l0i

�q

01, q

02, . . . , q

0n�

dq

0i

Resorte rotacional V (q1,q2, . . . ,qn) = Âni=1

Rqi0 l0i (q

01,q

02, . . . ,q

0n)dq

0i Potencial

V 0 �l1, l2, . . . , ln�

= Âni=1

R li0 q

0i�l01, l

02, . . . , l

0n�

dl0i

JCMG - 2013 767


NOTA 165 Las funciones de energıa y de co-energıa son interdependien-tes. Para un conjunto de puntos de estado representados por ak y bk siem-pre se tiene:

Energıa(a1,a2, . . . ,an)+Co-energıa⇣

b1, b2, . . . , bn⌘=

nÂi=1

aibi.

En lo que respecta a los elementos conservativos:

NOTA 166 Los elementos conservativos siempre estan definidos como unarelacion entre una coordenada basica y la primera derivada de la otra coor-denada. Por ejemplo, en el caso del elemento inercia (rotacional) se tieneak = lk y bk = qk.

JCMG - 2013 768


NOTA 167 Al evaluar la relacion funcional de la forma:nÂi=1

Zai

0b

0i (a1,a2, . . . ,an)da

0i

se debe recordar que el sistema puede llegar a sus puntos de estado finalde cualquier manera, sin que la cantidad dada por la expresion precedentecambie. Lo anterior significa que con todas las otras a ’s igualadas a cero,a

01 puede ser incrementada desde cero hasta su valor final a1. Entonces

manteniendo constante a

01 en su valor final a1, a

02 podrıa ser incrementada

desde cero a su valor final a2. A su vez, cada una de las otras a

0i podrıa ser

incrementada a su valor final conforme el ındice va de 1 a n. Cualquier otroesquema que lleve a los mismos puntos de estado final a1, a2, . . . , an darıael mismo valor para la expresion.

JCMG - 2013 769


3.3 Ecuaciones de equilibrio a partir de funciones energıa-estado:Ecuacion restringida de Lagrange

Fuerzas generalizadas a partir de funciones energıa-estado

Si estamos interesados en un conjunto de ecuaciones de equilibrio que involu-cren a las coordenadas a y a, entonces todas las derivadas parciales deben sertomadas con respecto a a o a.

En la tabla siguiente se proporcionan todas las derivadas parciales para los seiselementos conservativos de parametros concentrados.

JCMG - 2013 770


Elemento Coordenadas Derivada AnalisisCapacitancia q, q ∂We(q1,...,qn)

∂qk= lk (q1, . . . ,qn) Ecuaciones de mallas

l , l

∂W 0e(l1,...,ln)

∂ lk= qk

⇣l1, . . . , ln

⌘Ecuaciones de nodos

Inductancia l , l

∂Wm(l1,...,ln)∂lk

= qk (l1, . . . ,ln) Ecuaciones de nodosq, q ∂W 0

m(q1,...,qn)∂ qk

= lk (q1, . . . , qn) Ecuaciones de mallasMasa p, p ∂T (p1,...,pn)

∂ pk= xk (p1, . . . , pn) Suma de velocidades

(traslacional) x, x ∂T 0(x1,...,xn)∂ xk

= pk (x1, . . . , xn) Suma de fuerzasResorte x, x ∂V (x1,...,xn)

∂xk= pk (x1, . . . ,xn) Suma de fuerzas

(traslacional) x, x ∂V 0(p1,...,pn)∂ pk

= xk ( p1, . . . , pn) Suma de velocidadesInercia l, l ∂T (l1,...,ln)

∂ lk= qk (l1, . . . , ln) Suma de velocidades

(rotacional) q , q

∂T 0(q1,...,qn)∂ qk

= lk�q1, . . . , qn

�Suma de pares

Resorte q , q

∂V (q1,...,qn)∂qk

= lk (q1, . . . ,qn) Suma de pares

(rotacional) q , q

∂V 0(l1,...,ln)∂ lk

= qk�l1, . . . , ln

�Suma de velocidades

JCMG - 2013 771


Ecuaciones de equilibrio mecanico a partir de funciones de energıa-estado

Las ecuaciones de equilibrio mecanico son generalmente formuladas como fun-ciones de las posiciones y de las velocidades (esto es en funcion de las coorde-nadas x, x, q y q ).

NOTA 168 Las ecuaciones de equilibrio en esta forma involucran sumasde fuerzas para sistemas traslacionales y sumas de pares para sistemasrotacionales.

JCMG - 2013 772


Ademas:

Es poco frecuente utilizar descripciones en terminos de momentos, por lo que:

En el caso de la masa y de la inercia (rotacional) se utilizan como soportelas funciones de co-energıa cinetica.

Mientras que:

En el caso de los resortes traslacional y rotacional se utilizan las funcio-nes de energıa potencial.

JCMG - 2013 773


En lo que sigue se ilustrara la obtencion de las ecuaciones de equilibrio mecanicopor medio de un ejemplo.

Ejemplo 33 Considere el sistema mecanico siguiente:

MASA

RESORTE

pa.

pb.

xa.

xb.

La velocidad del extremo terminal inferior del resorte con respecto al marco refe-rencial fijo se indica por medio de xa (en m/seg) y es positiva cuando el resorte semueve en la direccion indicada por la flecha.

JCMG - 2013 774


Similarmente para la masa, xb (en m/seg) corresponde a la velocidad de la masacon respecto al marco referencial fijo y es positiva cuando la masa se mueve enla direccion indicada por la flecha.

Las fuerzas pa y pb tienen sus direcciones escogidas de manera que la energıafluya en el elemento cuando ambas variables terminales tengan el mismo signo.

JCMG - 2013 775


De esta manera, si xa y pa son positivas, la energıa potencial esta siendo almace-nada en el resorte. En concordancia, si xb y pb son positivas, la energıa cineticaesta siendo almacenada en la masa.

El resorte es descrito por una curva caracterıstica del desplazamiento xa en fun-cion de la fuerza aplicada pa. Por simplicidad se supone que el resorte esta en sulongitud libre (esto es pa = 0) cuando xa = 0.

La masa es decrita por medio de una curva caracterıstica de su momento pb enfuncion de su velocidad xb.

JCMG - 2013 776


De la curva caracterıstica la funcion de energıa-potencial-estado para el resorteesta dada por:

V (xa) =Z xa

0p0a

�x0a�

dx0a

y la funcion de co-energıa-cinetica-estado para el resorte esta dada por:

T 0 (xb) =Z xb

0p0b

�x0b�

dx0b.

Tomando la derivada parcial de ambos lados de la funcion de energıa potencialdel resorte con respecto a xa:

∂V (xa)

∂xa=

∂

∂xa

Z xa

0p0a

�x0a�

dx0a = pa (xa) ,

que corresponde a la fuerza externa aplicada al resorte.

Similarmente, la fuerza externa aplicada a la masa puede ser recuperada a partirde la funcion de co-energıa cinetica de la masa.

JCMG - 2013 777


Derivando totalmente entonces con respecto a xb:

ddt

∂T 0 (xb)

∂ xb

�=

ddt

∂

∂ xb

Z xb

0p0b

�x0b�

dx0b

�= pb (xb) ,

que corresponde a la fuerza externa aplicada al resorte.

JCMG - 2013 778


Se acopla ahora la masa a la terminal inferior del resorte, como se muestra en lafigura siguiente:

MASA

RESORTE

x.

f(t)

Al conectar los dos elementos se tiene que xa = xb = x, donde x es la coordenadade velocidad del sistema.

JCMG - 2013 779


Si xa, xb y x son tales que el resorte se encuentra en su longitud libre cuando ellasson iguales a cero, entonces integrando la ultima expresion se tiene:

xa = xb = x,

que es formalmente conocida como una restriccion holonomica.

El termino restriccion es utilizado porque la interconexion de los elementos res-tringe a las coordenadas y las obliga a comportarse de cierta manera.

JCMG - 2013 780


Una vez que la masa es acoplada al resorte, el movimiento del resorte se restringea seguir el movimiento de la masa.

La ecuacion original (esto es xa = xb = x) es una relacion diferencial entre lascoordenadas de posicion.

Ha sido posible integrarla para obtener xa = xb = x, por lo que la ecuacion origi-nal (xa = xb = x) es una ecuacion integrable de restriccion y recibe el nombre deecuacion de restriccion holonomica.

JCMG - 2013 781


El termino holonomica simplemente significa que la relacion diferencial entre lascoordenadas de posicion puede ser integrada para dar lugar a una ecuacion alge-braica entre las coordenadas.

Substituyendo la restriccion xa = xb = x en V (xa) y T 0 (xb), la fuerza externa apli-cada al resorte es ∂V (x)

∂x y la fuerza externa aplicada a la masa es entoncesd[∂T 0(x)/∂ x]

dt .

JCMG - 2013 782


Si la fuerza f (t) es aplicada a la masa, el principio de D’Alembert requiere que lasfuerzas externas aplicadas al resorte y a la masa balanceen a f (t), esto es:

ddt

∂T 0 (x)

∂ x

�+

∂V (x)∂x

= f (t)

y como:

T 0 (x) =12

Mx2

y:

V (x) =x2

2K,

donde K es la complianza del resorte y M es la masa, se tiene como ecuacion deequilibrio del sistema:

Mx+xK

= f (t) .

JCMG - 2013 783


Forma restringida de la Ecuacion de Lagrange (sistemas mecanicos)

En lo que sigue se generalizan las ideas presentadas en la seccion anterior, es-to es se consideran sistemas compuestos de una gran cantidad de masas y deresortes, aunque antes se asignaran fuerzas y velocidades individuales.

Para las masas la funcion de co-energıa cinetica puede ser escrita como sigue:

T 0 (xa, xb, . . .) = Âk

Z xk

0p0k

�x0a, x

0b, . . .

�dx0k.

JCMG - 2013 784


La funcion de energıa potencial correspondiente a los resortes esta dada por:

V⇣

xa

,xb

, . . .⌘= Â

k

Z xk

0p0k

⇣x0

a

,x0b

, . . .⌘

dx0k,

donde las letras latinas y griegas minusculas subescritas se utilizan para las ma-sas y los resortes, respectivamente.

Se supone ahora que las masas y los resortes estan interconectadas y se deno-minan nodos mecanicos a los puntos de interconexion.

Se supone que los elementos estan interconectados de alguna manera a travesde n nodos mecanicos.

JCMG - 2013 785


Se puede entonces escribir un conjunto de ecuaciones de restriccion entre lasvelocidades definidas en cada uno de los n nodos y las velocidades orginales delos elementos:

xa = fa (x1, x2, . . . , xn)xb = fb (x1, x2, . . . , xn)

...x

a

= fa

(x1, x2, . . . , xn)x

b

= fb

(x1, x2, . . . , xn)...

y si las ecuaciones de restriccion son holonomicas pueden ser integradas paraobtener relaciones entre las coordenadas originales de los elementos y las nuevascoordenadas de nodos.

JCMG - 2013 786


Substituyendo entonces las ecuaciones integradas en las funciones de estado setiene:

T 0 (xa, xb, . . .)! T 0 (x1, x2, . . . , xn)

y:

V⇣

xa

,xb

, . . .⌘!V (x1x2, . . . ,xn)

JCMG - 2013 787


Tomando ahora las derivada total de ∂T 0/∂ xk se obtiene:

ddt

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

�= pmasa

k (x1, x2, . . . , xn) ,

que corresponde a la fuerza externa total aplicada a todos las masas conectadasal k-esimo nodo mecanico.

Similarmente:∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk= presorte

k (x1,x2, . . . ,xn)

corresponde a la fuerza externa total aplicada a todos los resortes conectados alk-esimo nodo mecanico.

JCMG - 2013 788


Denominando Qk al total de todas las fuerzas aplicadas externamente al k-esimonodo mecanico de sistema, del principio de D’Alembert (Qk debe ser balanceadapor las fuerzas en masas y resortes en el k-esimo nodo) se tiene que:

ddt

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

�+

∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n,

que recibe el nombre de forma restringida de la Ecuacion de Lagrange.

JCMG - 2013 789


NOTA 169 La solucion de las n ecuaciones precedentes provee el movi-miento (trayectoria) del sistema. Se debe de agregar un termino adicional ala ecuacion restringida de Lagrange para incluir las restricciones holonomi-cas donde las velocidades originales son funcion de las nuevas coordena-das de velocidad y de posicion.

JCMG - 2013 790


Ejemplo 34 Considere el sistema mecanico mostrado en la figura siguiente:

M1

M2

K1

K2

K3

f1(t)

f2(t)

xa

.

xb

.

Se supone que los resortes K1, K2 y K3 estan extendidos a distancias a, b y c,respectivamente, cuando xa y xb son iguales a cero.

JCMG - 2013 791


Separando los elementos como se muestra en la figura siguiente se definen va-riables terminales para cada elemento.

M1

M2

K1

K2

K3

x1

.

x2

.

x3

. p1

.

p2

.

p3

.

p4

.

x4

.

x5

.

p5

.

La k-esima complianza Ki tiene indicada la velocidad xi de su terminal inferior conrespecto a su terminal superior.

La flecha correspondiente a xi indica que la velocidad se toma como positiva cuan-do el terminal inferior se aleja del terminal superior.

JCMG - 2013 792


La fuerza p1 sobre la complianza K1 se toma como positiva si da lugar a unavelocidad positiva, o cuando tambien esta dirigida hacia abajo.

Las variables terminales correspondientes a las masas tienen definidas sus ve-locidades con respecto al soporte estacionario. Ambas velocidades x4 y x5 sonpositivas cuando se dirigen hacia abajo.

Las fuerzas aplicadas a estas masas, esto es p4 y p5, son positivas cuando sedirigen hacia abajo y son aplicadas presionando a partir del soporte estacionario.

JCMG - 2013 793


Se formula entonces la funcion de co-energıa cinetica, esto es:

T 0 (x4, x5) =5Âi=4

Z xi

0p0i�x04, x

05�

dx0i

y como:

p4 = M1x4

y

p5 = M5x5

se tiene:

T 0 (x4, x5) =12

M1x24+

12

M2x25.

JCMG - 2013 794


En lo que respecta a la funcion de energıa potencial:

V (x1,x2,x3) =3Âi=1

Z xi

0p0i�x01,x

02,x

03�

y como:

p1 =x1K1

,

p2 =x2K2

y

p3 =x3K3

.

JCMG - 2013 795


Se tiene entonces:

V (x1,x2,x3) =x2

12K1

+x2

22K2

+x2

32K3

.

Al conectar los elementos se establecen las relaciones entre las coordenadas xay xb y las coordenadas originales, esto es:

x1 = xa,x2 = �xa+ xb,x3 = xb,x4 = xa,x5 = xb.

JCMG - 2013 796


Integrando las primeras tres ecuaciones se obtiene:

x1 = xa+a,x2 = �xa+ xb+b,x3 = xb+ c,

con a, b y c siendo las longitudes extendidas de los resortes cuando xa y xb soniguales a cero.

JCMG - 2013 797


Substituyendo las nuevas coordenadas se obtienen las nuevas expresiones paralas funciones de co-energıa cinetica y energıa potencial:

T 0 (xa, xb) =12

M1x2a+

12

M2x2b.

y:

V (xa,xb) =(xa+a)2

2K1+(�xa+ xb+b)2

2K2+(xb+ c)2

2K3.

Las fuerzas externas que actuan sobre los nodos mecanicos son:

Qa (t) =� f1 (t)

y:

Qb (t) = f2 (t) .

Entonces para la primera coordenada se tiene:

ddt

∂T 0 (xa, xb)

∂ xa

�+

∂V (xa,xb)

∂xa= Qa,

JCMG - 2013 798


esto es:ddt

(M1xa)+xa+a

K1+

xa� xb�bK2

=� f1 (t) .

Y para la segunda coordenada:

ddt

∂T 0 (xa, xb)

∂ xb

�+

∂V (xa,xb)

∂xb= Qb,

esto es:

ddt

(M2xb)+�xa+ xb+b

K2+

xb+ cK3

= f2 (t) .

JCMG - 2013 799


Ejemplo 35 La figura siguiente representa un motor moviendo a una carga rota-toria.

J1 J2

KθT1(t) T2(t)

θa θb

. .

El motor es representado por medio de la inercia J1. El par desarrollado por elmotor es una funcion explıcita del tiempo T1 (t). La carga, representada por lainercia J2, esta acoplada al motor, lo cual significa a un embrague con complianzaK

q

. Tambien, la carga presenta un par reactivo T2 (t).

En lo que sigue se obtendran las ecuaciones de equilibrio utilizando la formulacionenergetica. Para ello se separan todos los componentes del sistema tal y como semuestra en la figura siguiente:

JCMG - 2013 800


J1

J2

Kθl1

θ1

θ2

. .

θ3

.

.

l3

.

l3

.

JCMG - 2013 801


Para la inercia del motor J1, se denota la velocidad angular con respecto al re-ferencial estacionario como q1 y el par aplicado a esta inercia se denota comol1.

Similarmente, la velocidad angular del lado izquierdo del embrague con respectoal lado derecho se denota como q3 y el par correspondiente como l3.

JCMG - 2013 802


De manera similar se definen las variables terminales para la inercia de la cargaJ2.

Se tiene entonces como co-energıa cinetica del sistema:

T 0�q1, q2

�=

2Âi=1

Zqi

0l0i�q

01, q

02�

dqi =12

J1q

21 +

12

J2q

22 .

En lo que respecta a la energıa potencial:

V (q3) =Z

q3

0l3�q

03�

dq

03 =

q

23

2Kq

.

JCMG - 2013 803


Al conectar los elementos se tienen las siguientes restricciones:

q1 = qa,q2 = qb,q3 = qa� qb.

En terminos de las nuevas coordenadas se tiene (suponiendo que cuando qa =

qb la complianza del embrague esta libre):

T 0�qa, qb

�=

12

J1q

2a +

12

J2q

2b y V (q3) =

(qa�qb)2

2Kq

.

JCMG - 2013 804


En cuanto a los pares aplicados a los nodos se tiene:

Qa = T1 (t) y Qb =�T2 (t) .

El signo se elige en funcion de las direcciones de los pares externos, esto es si elpar tiene la misma direccion que la de la coordenada supuesta se toma el signopositivo y en el caso contrario se toma el signo negativo.

Para la primera coordenada se tiene entonces:

ddt

"∂T 0�

qa, qb�

∂ qa

#+

∂V (qa,qb)

∂qa= Qa,

esto es:ddt

�J1qa

�+

qa�qbK

q

= T1 (t) .

JCMG - 2013 805


Para la segunda coordenada:

ddt

"∂T 0�

qa, qb�

∂ qb

#+

∂V (qa,qb)

∂qb= Qb,

esto es:ddt

�J2qb

�+

qa�qbK

q

=�T2 (t) .

En resumen, las ecuaciones de equilibrio de sistema corresponden a:

ddt

�J1qa

�+

qa�qbK

q

= T1 (t) yddt

�J2qb

�+

qa�qbK

q

=�T2 (t) .

JCMG - 2013 806


3.4 Grados de libertad y coordenadas generalizadas

Antes de generalizar la forma restringida de la ecuacion de Lagrange, convienedecir algunas palabras en torno a la relacion que existe entre los grados de libertady las restricciones.

Como se ha visto:

Para un sistema mecanico compuesto de n masas y resortes, no acoplados,se requieren n coordenadas para especificar por completo la configuraciondel sistema.

Si los n elementos estan interconectados en alguna configuracion particular,las n coordenadas originales ya no pueden variar libremente.

JCMG - 2013 807


NOTA 170 La interconexion da lugar a restricciones entre las coordenadas.

Si las ecuaciones de restriccion involucran unicamente relaciones integrables en-tre las coordenadas diferenciales, recibiran el nombre de restricciones holonomi-cas.

Si las ecuaciones de restriccion involucran relaciones no integrables entre coor-denadas diferenciales, recibiran el nombre de restricciones no holonomicas.

NOTA 171 El numero de grados de libertad de un sistema esta definido co-mo el numero de coordenadas (n) menos el numero de restricciones entrecoordenadas (m) (esto es n-m).

JCMG - 2013 808


Repitiendo la forma restringida de la ecuacion de Lagrange:

ddt

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

�+

∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n.

Si de la interconexion de los elementos resultan m ecuaciones adicionales derestriccion, entonces se tendran n+m ecuaciones con solo n incognitas, por loque no todas las n+m ecuaciones pueden ser independientes.

NOTA 172 Para que la ecuacion de Lagrange proporcione un conjunto deecuaciones de equilibrio que definan completamente la dinamica del siste-ma mecanico, se requiere que las coordenadas involucradas sean mutua-mente independientes, por lo que las coordenadas deben ser selecciona-das de tal manera que las ecuaciones de restriccion no las involucren.

JCMG - 2013 809


Ası:

NOTA 173 El numero de coordenadas generalizadas requeridas para des-cribir la dinamica del sistema iguala al numero de grados de libertad delsistema.

Si se tienen n coordenadas generalizadas, entonces el sistema posee n grados delibertad, dado que el numero de ecuaciones de restriccion entre las coordenadasgeneralizadas debe ser igual a cero.

JCMG - 2013 810


Las funciones de estado pueden ser formuladas en cualquier sistema de coorde-nadas conveniente. Sin embargo, antes de utilizar estas funciones de estado parala obtencion de la ecuacion de Lagrange, un conjunto de coordenadas generali-zadas debe ser sustituido por el conjunto original de coordenadas.

Suponga entonces que:

a. Se tiene un sistema con 5 grados de libertad, pero que el sistema particularde coordenadas que se ha elegido para representar al sistema comprendeun total de 6 coordenadas. En consecuencia, debe existir una ecuacion derestriccion entre las seis coordenadas.

JCMG - 2013 811


b. Si la restriccion fuera holonomica, la ecuacion de restriccion podrıa ser resueltapara una de las coordenadas en terminos de las otras cinco.

c. Utilizando la relacion obtenida se podrıa eliminar la coordenada en todas lasfunciones de estado, que podrıan entonces ser utilizadas en la ecuacion deLagrange, dado que las cinco coordenadas restantes constituyen un conjuntogeneralizado.

d. Si las ecuaciones de restriccion fueran no holonomicas, no podrıan obtenerserelaciones entre las coordenadas, ya que las restricciones no podrıan inte-grarse. Las funciones de estado continuarıan siendo funciones de las seiscoordenadas generalizadas y en consecuencia no podrıa utilizarse la ecua-cion de Lagrange para obtener las ecuaciones de equilibrio del sistema.

JCMG - 2013 812


3.5 Formulacion completa de la Ecuacion de Lagrange para sis-temas mecanicos conservativos

Frecuentemente es mas conveniente la formulacion de las funciones de energıa-estado requeridas para la Ecuacion de Lagrange en terminos de un conjunto decoordenadas no generalizadas, o coordenadas para las cuales las ecuaciones derestriccion pueden ser escritas.

Sin embargo se ha visto que las coordenadas utilizadas en las funciones de ener-giıa-estado deben ser transformadas a un conjunto de coordenadas generalizadasantes de ser utilizadas en la Ecuacion de Lagrange.

JCMG - 2013 813


La transformacion de un conjunto de coordenadas no generalizadas a un conjuntode coordenadas generalizadas solo puede realizarse cuando las restricciones sonholonomicas.

En lo que sigue se propondra una transformacion de coordenadas muy general yse analizara su efecto sobre la formulacion de la forma restringida de la Ecuacionde Lagrange.

JCMG - 2013 814


La forma completa de la Ecuacion de Lagrange

Suponga que se desea cambiar del conjunto de coordenadas x1, x2, . . ., xn utiliza-das en la forma restringida de la Ecuacion de Lagrange, esto es:

ddt

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

�+

∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n,

a un nuevo conjunto de coordenadas denotado por:

x1 = x1 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,x2 = x2 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,. . .xn = xn (x1,x2, . . . ,xm, t) ,

donde x es el sımbolo utilizado para estas nuevas m coordenadas y se indica laposibilidad de una dependencia explıcita del tiempo t.

JCMG - 2013 815


La derivada total con respecto al tiempo de cada una de las viejas coordenadas xesta dada, en general, por:

xk =∂xk∂x1

x1+∂xk∂x2

x2+ · · ·+ ∂xk∂xm

xm+∂xk∂ t

.

Esta ecuacion muestra que las viejas velocidades xk no solo son funciones de lasnuevas velocidades x , sino tambien de las nuevas posiciones xi, donde i = 1, 2,. . . , m.

Tomando las derivadas parciales de las viejas velocidades xk con respecto a lasnuevas velocidades xi se tiene:

∂ xk∂ xi

=∂

∂ xi

✓∂xk∂x1

x1+∂xk∂x2

x2+ · · ·+ ∂xk∂xm

xm+∂xk∂ t

◆=

∂xk∂xi

.

JCMG - 2013 816


Tomando la forma restringida de la Ecuacion de Lagrange, esto es:

ddt

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

�+

∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk= Qk, 8k = 1,2, . . . ,n,

y multiplicandola por ∂ xk∂ xi

, lo cual es equivalente a ∂xk∂xi

, se tiene:

∂ xk∂ xi

ddt

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

�+

∂xk∂xi

∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk=

∂ xk∂ xi

Qk,

8k = 1,2, . . . ,n.

JCMG - 2013 817


La derivada total del producto de dos funciones puede ser expandida como sigue:

ddt

∂ xk∂ xi

∂T 0(x1,x2,...,xn)∂ xk

�= ∂ xk

∂ xi

ddt

h∂T 0(x1,x2,...,xn)

∂ xk

i

+∂T 0(x1,x2,...,xn)∂ xk

ddt

✓∂ xk∂ xi

◆y:

ddt

✓∂ xk∂ xi

◆= d

dt

⇣∂xk∂xi

⌘= Âm

j=1∂

2xk∂xi∂x j

x j +∂

2xk∂xi∂ t

= ∂

∂xi

✓Âm

j=1∂

2xk∂x j

x j +∂

2xk∂ t

◆

= ∂ xk∂xi

.

En consecuencia, si las viejas velocidades xk no estan en funcion de las nuevas

JCMG - 2013 818


coordenadas de posicion xi el ultimo termino en la ecuacion:

ddt

∂ xk∂ xi

∂T 0(x1,x2,...,xn)∂ xk

�= ∂ xk

∂ xi

ddt

h∂T 0(x1,x2,...,xn)

∂ xk

i

+∂T 0(x1,x2,...,xn)∂ xk

ddt

✓∂ xk∂ xi

◆sera igual a cero.

Como puede observarse, el primer termino del lado derecho de la ecuacion pre-cedente es identico al primer termino de la ecuacion de equilibrio:

∂ xk∂ xi

ddt

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

�+

∂xk∂xi

∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk=

∂ xk∂ xi

Qk,

8k = 1,2, . . . ,n.

JCMG - 2013 819


Tomando lo anterior en cuenta, y tambien el hecho de que ddt

✓∂ xk∂ xi

◆= ∂ xk

∂xi, se

tiene:

ddt

∂T 0(x1,...,xn)

∂ xk

∂ xk∂ xi

�� ∂T 0(x1,...,xn)

∂ xk

∂ xk∂xi

+ ∂V (x1,x2,...,xn)∂xk

∂xk∂xi

= Qk∂xk∂xi

8k = 1,2, . . . ,n.

Se puede escribir una ecuacion similar a la anterior para cada valor de k. Sumandotodas estas ecuaciones se tiene:

Ânk=1

ddt

∂T 0(x1,...,xn)

∂ xk

∂ xk∂ xi

��Ân

k=1∂T 0(x1,...,xn)

∂ xk

∂ xk∂xi

+Ânk=1

∂V (x1,x2,...,xn)∂xk

∂xk∂xi

= Ânk=1 Qk

∂xk∂xi

.

Utilizando entonces las ecuaciones:

x1 = x1 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,x2 = x2 (x1,x2, . . . ,xm, t) ,. . .xn = xn (x1,x2, . . . ,xm, t) ,

JCMG - 2013 820


y:

xk =∂xk∂x1

x1+∂xk∂x2

x2+ · · ·+ ∂xk∂xm

xm+∂xk∂ t

.

las funciones de estado T 0 y V pueden ser expresadas en terminos de las m nue-vas coordenadas y del tiempo.

JCMG - 2013 821


Haciendo las substituciones de coordenadas se obtienen las siguientes identida-des:

∂T 0⇣

x1, x2, . . . , xm,x1,x2, . . . ,xm, t⌘

∂ xi=

nÂ

k=1

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

∂ xk∂ xi

,

∂T 0⇣

x1, x2, . . . , xm,x1,x2, . . . ,xm, t⌘

∂xi=

nÂ

k=1

∂T 0 (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk

∂ xk∂xi

,

∂V (x1,x2, . . . ,xm, t)∂xi

=nÂ

k=1

∂V (x1,x2, . . . ,xn)

∂xk

∂xk∂xi

.

Tambien se define:

Qi =nÂ

k=1Qk

∂xk∂xi

.

Como las operaciones ddt y la sumatoria son mutuamente exclusivas y por lo tanto

JCMG - 2013 822


pueden ser intercambiadas en:

Ânk=1

ddt

∂T 0(x1,...,xn)

∂ xk

∂ xk∂ xi

��Ân

k=1∂T 0(x1,...,xn)

∂ xk

∂ xk∂xi

+Ânk=1

∂V (x1,x2,...,xn)∂xk

∂xk∂xi

= Ânk=1 Qk

∂xk∂xi

y sustituyendo las ultimas identidades en esta ecuacion se tiene:

ddt

"∂T 0

⇣x1,x2,...,xm,x1,x2,...,xm,t

⌘∂ xi

#�

∂T 0⇣

x1,x2,...,xm,x1,x2,...,xm,t⌘

∂xi

+∂V (x1,x2,...,xm,t)∂xi

= Qi,

para i = 1, 2, . . ., m, que da un total de m ecuaciones de equilibrio en terminos dem nuevas coordenadas.

JCMG - 2013 823


Si estas m coordenadas se seleccionan de manera que representen un conjuntogeneralizado, la ecuacion precedente representa una forma completa de la Ecua-cion de Lagrange.

NOTA 174 En la forma completa de la Ecuacion de Lagrange la co-energıacinetica se ha convertido en una funcion no solo de las velocidades sinotambien de las posiciones e incluso del tiempo. Por otra parte, la funcionde energıa potencial nunca es funcion de las velocidades, ya que solo esfuncion de las posiciones y del tiempo. Si la co-energıa cinetica no fuera enrealidad dependiente de las coordenadas de posicion, la ecuacion prece-dente se reducirıa a la ecuacion correspondiente a la forma restringida dela ecuacion de Lagrange, aunque tanto T 0 como V serıan dependientes demanera explıcita del tiempo.

JCMG - 2013 824


El Lagrangiano del sistema

Para sistematizar este formulacion energetica se define la siguiente funcion:

L⇣

x1, x2, . . . , xm,x1,x2, . . . ,xm, t⌘

= T 0⇣

x1, x2, . . . , xm,x1,x2, . . . ,xm, t⌘�V (x1,x2, . . . ,xm, t) .

Esta funcion, la diferencia entre la co-energıa cinetica y la energıa potencial, es elLangrangiano del sistema y en general es funcion de las x ’s, x ’s y de t.

JCMG - 2013 825


En terminos del Lagrangiano la ecuacion:

ddt

"∂T 0

⇣x1,x2,...,xm,x1,x2,...,xm,t

⌘∂ xi

#�

∂T 0⇣

x1,x2,...,xm,x1,x2,...,xm,t⌘

∂xi

+∂V (x1,x2,...,xm,t)∂xi

= Qi,

para i = 1, 2, . . ., m, puede escribirse como:

ddt

264∂L⇣

x ,x , t⌘

∂ xi

375�∂

⇣x ,x , t

⌘∂xi

= Qi,

para i = 1, 2, . . ., m.

JCMG - 2013 826


Esta ecuacion es equivalente a:

∂L⇣

x ,x , t⌘

∂ xi=

∂T 0⇣

x ,x , t⌘

∂ xi�0

y:

�∂L

⇣x ,x , t

⌘∂xi

=�∂T 0

⇣x ,x , t

⌘∂xi

+∂V (x , t)

∂ xi.

NOTA 175 El conjunto de ecuaciones dadas por la ecuacion precedente re-presenta m ecuaciones diferenciales simultaneas, que constituyen las ecua-ciones de equilibrio del sistema. El problema de modelar el sistema fısicoy resolver las ecuaciones de equilibrio no se ha simplificado, lo que se halogrado es sistematizar la formulacion del problema de modelado.

JCMG - 2013 827


Ejemplo 36 Considere el doble pendulo invertido mostrado en la siguiente figura:

y

x

r1

r2M1

M2

(x1, y1)

(x2, y2)M1g

M2g

θ1

θ2

O

Una masa M1 pende de un soporte rıgido por medio de un eslabon sin masa delongitud r1. Una segunda masa M2 pende de la primera masa por medio de unsegundo eslabon sin masa r2. Se desea hallar las ecuaciones de equilibrio delsistema suponiendo que los puntos de pivoteo no estan afectados por la friccion.

JCMG - 2013 828


Se fija un marco referencial cartesiano xy con origen en el punto O. La posicion decada masa en un instante dado esta dada por (x1, y1) para M1 y (x2, y2) para M2.

El Lagrangiano del sistema esta dado por:

L (x1, x2, y1, y2,x1,x2,y1,y2) = T 0 (x1, x2, y1, y2)�V (x1,x2,y1,y2) .

Como no hay resortes involucrados se tiene que:

V (x1,x2,y1,y2) = 0.

JCMG - 2013 829


Como las dos masas involucradas son lineales, al funcion de co-energıa cineticaesta dada por:

T 0 (x1, x2, y1, y2) =12

M1x21+

12

M1y21+

12

M2x22+

12

M2y22.

En consecuencia:

L (x1, x2, y1, y2,x1,x2,y1,y2) =12

M1

⇣x2

1+ y21

⌘+

12

M2

⇣x2

2+ y22

⌘.

JCMG - 2013 830


Las fuerzas externas que actuan sobre el sistema se deben a la accion de lagravedad en las direcciones y. Ası:

Qy1 = M1g, Qx1 = 0,Qy2 = M2g, Qx2 = 0.

Se utilizan signos positivos para las fuerzas externas, ya que dichas fuerzas tien-den a incrementar las coordenadas asociadas.

NOTA 176 El conjunto de coordenadas cartesianas no representa un con-junto adecuado de coordenadas generalizadas.

JCMG - 2013 831


Los eslabones inducen las siguientes restricciones holonomicas:

x21+ y2

1 = r21

y:

(x2� x1)2+(y2� y1)

2 = r22.

Los angulos q1 y q2 constituyen un conjunto de coordenadas generalizadas. Cadauna de las coordenadas puede variar independientemente de la otra.

El sistema tiene unicamente dos grados de libertad y las dos coordenadas gene-ralizadas especifican la configuracion completa.

Las coordenadas cartesianas originales se transforman a las nuevas coordenadasgeneralizadas por medio de las siguientes relaciones:

x1 = r1sen(q1) , x2 = r1sen(q1)+ r2sen(q2) ,y1 = r1cos(q1) , y2 = r1cos(q1)+ r2cos(q2) .

Estas transformaciones satisfacen automaticamente las ecuaciones de restric-cion.JCMG - 2013 832


Obteniendo las primeras derivadas de las transformaciones precedentes se tiene:

x1 = r1q1cos(q1) ,x2 = r1q1cos(q1)+ r2q2cos(q2) ,y1 = �r1q1sen(q1) ,y2 = �r1q1sen(q1)� r2q2sen(q2) .

Substituyendo en la expresion del Lagrangiano se tiene:

L�q1, q2,q1,q2

�= 1

2M1r21q

21 + 1

2M2

hr21q

21 + r2

2q

22 +2r1r2q

21 q

22 cos(q1�q2) .

iComo puede verse, el Lagrangiano es funcion de las posiciones y de las velocida-des angulares.

Ahora bien:

Qq1 = Qy1

∂y1∂q1

+Qx1∂x1∂q1

+Qy2∂y2∂q1

+Qx2∂x2∂q1

JCMG - 2013 833


y:

Qq2 = Qy1

∂y1∂q2

+Qx1∂x1∂q2

+Qy2∂y2∂q2

+Qx2∂x2∂q2

.

JCMG - 2013 834


Transformando a las nuevas coordenadas se tiene:

Qq1 = M1g(�r1sen(q1))+M2g(�r1sen(q1))

y:

Qq2 = M2g(�r2sen(q2)) .

Como puede verse las fuerzas generalizadas son ahora pares, lo cual correspon-de a la naturaleza del sistema.

El signo negativo en los pares que aparecen en las ecuaciones precedentes indi-can que dichos pares tienden a decrecer las coordenadas q1 y q2.

JCMG - 2013 835


Se puede ahora utilizar la ecuacion de Lagrange, esto es:

ddt

264∂L⇣

x ,x , t⌘

∂ xi

375�∂

⇣x ,x , t

⌘∂xi

= Qi.

para obtener las ecuaciones de equilibrio del sistema, teniendose para el ejemploen curso que xi = qi.

JCMG - 2013 836


Ası, las ecuaciones de equilibrio estan dadas por:

(M1+M2)r21q1+M2r1r2q2cos(q1�q2)+M2r1r2q

22 sen(q1�q2)

=�(M1+M2)gr1sen(q1)

y:

M2r22q2+M2r1r2q1cos(q1�q2)�M2r1r2q

21 sen(q1�q2)

=�M2gr2sen(q2) .

JCMG - 2013 837


3.6 Redes electricas y funciones energıa-estado

Mallas, nodos y leyes de Kirchhoff

En los cırcuitos electricos la formacion de ecuaciones de equilibrio tiene lugar alutilizar las dos leyes de Kirchhoff que involucran sumas de potenciales alrededorde mallas cerradas y de corrientes en nodos.

Estas dos leyes dan lugar a:

las ecuaciones de malla (suma de potenciales)

y a las ecuaciones de nodos (sumas de corrientes en nodos).

JCMG - 2013 838


Ası:

En la formulacion de mallas se iguala a cero la suma de todos los voltajesinstantaneos alrededor de todos los lazos cerrados, utilizando la carga q o suprimera derivada q, la corriente, como la coordenada de interes.

En el caso de la formulacion nodal, se iguala a cero la suma de las corrientesque entran o que dejan cada nodo en la red. En este caso la coordenada deinteres, que expresa las corrientes, es la coordenada flujo de ligadura l , o suprimera derivada l , esto es el voltaje.

JCMG - 2013 839


Ecuaciones de mallas a partir de las funciones energıa-estado

Como se ha visto precedentemente, la formulacion de ecuaciones de equilibrio abase de mallas requiere de las funciones de co-energıa magnetica y de energıaelectrica. Estas funciones de estado pueden ser formuladas en terminos de va-riables de voltaje y de corriente definidas en las terminales de cada elementoelectrico.

Dado que en la formulacion a base de mallas se utilizan las funciones de co-energıa magnetica y de energıa electrica, las variables de corriente o de carga enlos elementos estan involucradas en las funciones de estado.

JCMG - 2013 840


Las restricciones debidas a las interconexiones de elementos de la red asociarancoordenadas de corriente en los elementos.

Estas restricciones corresponden a la ley de Kichhoff para corrientes aplicada acada punto de interconexion o nodo de la red.

Entonces, un conjunto de coordenadas generalizadas satisfacera siempre la leyde corrientes en cada nodo de la red.

JCMG - 2013 841


Ası, utilizando las funciones de co-energıa magnetica y de energıa electrica, ex-presadas en terminos de un conjunto de variables generalizdas de mallas, setienen las ecuaciones de equilibrio de la red:

ddt

∂W 0

m (q1, q2, . . . , qn)

∂ qk

�+

∂We (q1,q2, . . . ,qn)

∂qk= Qk

para k = 1, 2, . . ., n, donde q1, q2, . . ., qn corresponden a un conjunto independientede lazos de corriente en el sistema.

NOTA 177 El primer termino de la izquierda corresponde a los voltajesen los inductores que forman la k-esima malla, mientras que el segundotermino de la izquierda corresponde a las caıdas de potencial en los capa-citores de k-esima malla. El termino de la derecha corresponde a la sumaalgebraica de de las fuentes de voltaje en la k-esima malla.

Ejemplo 37 Considere el siguiente cırcuito electrico:

JCMG - 2013 842


+

_

v1

L1

v2

+

_

C2

C1

L2

M

q1 q2

. .

Se desea hallar las ecuaciones de equilibrio utilizando el metodos de mallas.

JCMG - 2013 843


Se definen variables de voltaje y de corriente terminales para cada uno de loselementos:

+

_

v1

L1

v2

+

_

C2

C1

L2

M

+λa

qa.

.

+λb

qb.

.

qc.

+

λc

.

qd.

λd

.

+

En cada caso las direcciones de referencia para el voltaje y la corriente son talesque si coinciden la energıa fluye en el elemento.

JCMG - 2013 844


La energıa de almacenamiento electrico esta dada por:

We (qa,qd) =Z qa

0l

0a�q0a,0

�dq0a+

Z qd

0l

0d�qa,q0d

�dq0d,

que solo esta asociada a los capacitores.

Como:

la (qa,qd) =qaC1

y:

ld (qa,qd) =qdC2

.

Se tiene:

We (qa,qd) =q2

a2C1

+q2

d2C2

.

En lo que respecta a la funcion de co-energıa de campo magnetico de la red:

W 0m (qb, qc) =

Z qb

0l

0b�q0b,0

�dq0b+

Z qc

0l

0d�qb, q

0c�

dq0c,

JCMG - 2013 845


unicamente asociada a los inductores.

Se tiene entonces que:

lb (qb, qc) = L1qb�Mqc

y:

lc (qb, qc) =�Mqb+L2qc,

donde el signo menos en el termino mutuo indica que la contribucion del campomutuo a los flujos de lıgaduras es opuesta a los flujos de lıgaduras auto-inducidos.

En consecuencia:

W 0m (qb, qc) =

R qb0 L1q0bdq0b+

R qc0

�Mqb+L2q0c

�dq0c,

= 12L1q2

b�Mqbqc+12L2q2

c.

JCMG - 2013 846


En lo que respecta a las restricciones se tiene:

qa (t) = q1 (t) ,qb (t) = q1 (t) ,qc (t) = q1 (t)� q2 (t) ,qd (t) = q2 (t) ,

que corresponde a un conjunto de restricciones holonomicas.

JCMG - 2013 847


Integrando la primera y la ultima ecuaciones de restriccion se tiene:

qa (t) = q1 (t) y qd (t) = q2 (t) .

En consecuencia:

We (q1,q2) =q2

12C1

+q2

22C2

.

y:

W 0m (q1, q2) =

12

L1q21�Mq1 (q1� q2)+

12

L2 (q1� q2)2 .

Por otra lado:

Q1 = v1 (t)� v2 (t) y Q2 = v2 (t) .

JCMG - 2013 848


Se pueden entonces obtener las ecuaciones de equilibrio de la red.

Para k = 1: ddt

h∂W 0

m(q1,q2)∂ q1

i+ ∂We(q1,q2)

∂q1= Q1, esto es:

(L1�2M+L2) q1+1

C1q1+(�L2+M) q2 = v1 (t)� v2 (t) .

Para k = 2: ddt

h∂W 0

m(q1,q2)∂ q2

i+ ∂We(q1,q2)

∂q2= Q2, esto es:

(�L2+M) q1+(L2) q2+1

C2q2 = v2 (t) .

JCMG - 2013 849


Ecuaciones de nodos a partir de las funciones energıa-estado

Las ecuaciones de equilibrio en terminos de nodos son formuladas por medio dela ley de Kirchhoff para corrientes.

En este caso se requieren las funciones de estado de co-energıa electrica y deenergıa magnetica.

En consecuencia se pueden utilizar las variables de voltaje y de corriente definidasen las terminales de cada elemento para la formulacion de las ecuaciones deequilibrio.

JCMG - 2013 850


Dado que se utilizan las funciones de estado de co-energıa electrica y de energıamagnetica, las coordenadas involucradas son los flujos de lıgaduras y o los volta-jes. Las restricciones debidas a interconexiones estaran expresadas en terminosde los voltajes.

Estas ecuaciones de restriccion corresponden a la aplicacion de la ley de Kirchhoffpara potenciales aplicada alrededor de cada lazo cerrado de la red.

Un conjunto de coordenadas generalizadas que automaticamente satisface lasrestricciones (esto es la ley de potenciales apliacada alrededor de los nodos ce-rrados de la red) esta constituido por las variables nodales mostradas en la figurasiguiente.

JCMG - 2013 851


e1

λ1

.

λ2

.

λ3

.

λ4

.λ5

.

λ6

.

λ7

.

λ8

.

+

e2

e3

e4

+

+

+

JCMG - 2013 852


En cada nodo los potenciales l1, l2, . . ., l8 estan definidos con respecto a la tierra.

Considerando el nodo indicado en la figura precedente, los voltajes entre nodosestan definidos como sigue:

e1 = l1� l2, e2 = l2� l5,e3 = l5� l4, e4 = l4� l1.

Como puede verse, la suma de potenciales en el nodo indicado esta dada pore1+ e2+ e3+ e4 = 0, esto es las coordenadas nodales corresponden a un conjun-to de coordenadas generalizadas, ya que no se pueden escribir ecuaciones derestriccion que las involucren.

JCMG - 2013 853


Con las funciones de co-energıa electrica y de energıa magnetica expresadas enterminos de un conjunto de variables nodales generalizadas las ecuaciones deequilibrio de la red estan dadas por:

ddt

264∂W 0e

⇣l1, l2, . . . , ln

⌘∂ lk

375+∂Wm (l1,l2, . . . ,ln)

∂lk= Qk,

para k = 1, 2, . . ., n.

Las l ’s son los voltajes respectivos de nodos en la red.

La derivada parcial de la co-energıa de campo electrico con respecto al k-esimovoltaje de nodo da la carga total de todos los capacitores que tocan el k-esimonodo.

El primer termino del lado izquierdo de la ecuacion precedente representa enton-ces a las corrientes que dejan el k-esimo nodo hacia los capacitores. El segundotermino del lado izquierdo de la ecuacion precedente representa a las corrientesque dejan el k-esimo nodo hacia los inductores.JCMG - 2013 854


La fuerza generalizada Qk incluye todas las fuentes de corriente que tocan al k-esimo nodo. En esta sumatoria de fuentes de corrientes se toma como positiva ala contribucion de la fuente si esta dirigida al nodo, tratando de hacer positiva lavariables lk.

En caso contrario su contribucion sera negativa.

NOTA 178 La ecuacion precedente es de hecho la ley de Kirchhoff paracorrientes aplicada a cada nodo.

JCMG - 2013 855


Ejemplo 38 Determine las ecuaciones nodales de equilibrio de la red electricaque se muestra a continuacion.

i1(t)

qa.

L1

λa.+

C1

L2

C2

λb.

+

qb.

+qc.

qd.

λd.+

λc.

i2(t)

i3(t)

λ1.

λ2.

Se definen las variables terminales bajo la regla de que la energıa fluya en elelemento si ambas variables l y q son positivas.

JCMG - 2013 856


Se tienen entonces las funciones de co-energıa electrica y de almacenamiento deenergıa de campo magnetico:

W 0e

⇣lb, ld

⌘= 1

2C1l

2b + 1

2C2l

2d

Wm (la,lc) = l

2a

2L1+ l

2c

2L2.

Como se indica en la figura precedente las coordenadas generalizadas para estared son l1 y l2. Entonces se tienen las restricciones holonomicas:

la (t) = l1 (t) ,lb (t) = �l1 (t) ,lc (t) = l1 (t)� l2 (t) ,ld (t) = l2 (t) .

Integrando se tiene entonces:

la (t) = l1 (t) ,lc (t) = l1 (t)�l2 (t)

JCMG - 2013 857


y en consecuencia:

W 0e

⇣l1, l2

⌘= 1

2C1l

21 + 1

2C2l

22

Wm (l1,l2) =l

21

2L1+ (l1�l2)

2

2L2.

Las fuerzas externas para esta red estan dadas como sigue:

Q1 = i1 (t)� i2 (t) ,

Q2 = i2 (t)+ i3 (t) .

JCMG - 2013 858


Resultan entonces las siguientes ecuaciones de equilibrio:

Para k = 1: ddt

"∂W 0

e

⇣l1,l2

⌘∂ l1

#+ ∂Wm(l1,l2)

∂l1= Q1, esto es:

C1l1+l1L1

+l1L2

� l2L2

= i1 (t)� i2 (t) .

Para k = 2: ddt

"∂W 0

e

⇣l1,l2

⌘∂ l2

#+ ∂Wm(l1,l2)

∂l2= Q2, esto es:

C2l2+l2L2

� l1L2

= i2 (t)+ i3 (t) .

JCMG - 2013 859


3.7 Ecuacion de Lagrange para sistemas electricos y mecanicosconservativos

A continuacion se agregan los sistemas electricos conservativos al procedimientopropuesto para los sistemas mecanicos conservativos.

Dado que en los sistemas electricos se pueden elegir dos opciones diferentes(mallas o nodos), se requieren formulaciones especıficas para el Lagrangiano.

JCMG - 2013 860


Para la formulacion a base de mallas:

L (q1, . . . , qn,q1, . . . ,qn) =W 0m (q1, . . . , qn)�We (q1, . . . ,qn) ,

donde las q’s corresponden a las corrientes de malla.

Para la formulacion nodal:

L⇣

l1, . . . , ln,l1, . . . ,ln⌘=W 0

e

⇣l1, . . . , ln

⌘�Wm (l1, . . . ,ln) ,

donde las l ’s corresponden a los voltajes de nodo.

JCMG - 2013 861


NOTA 179 En el caso de los sistemas electromecanicos el Lagrangianocontendra funciones de co-energıa-electrica y mecanica, menos funcionesde energıa mecanica y electrica.

La porcion de co-energıa del Lagrangiano general se denomina funcion de co-energıa total.

La porcion de energıa del Lagrangiano general se denomina funcion de energıatotal.

JCMG - 2013 862


En resumen, la funcion de co-energıa total esta dada por:

J 0✓

x,x,q,l ,

t◆= T 0 (x,x, t)+

W 0m (q) mallas

W 0e

⇣l

⌘nodos .

y en cuanto a la funcion de energıa total:

V

✓x, q,

l ,t◆=V (x, t)+ We (q) mallas

Wm (l ) nodos .

JCMG - 2013 863


Y en cuanto al Lagrangiano total del sistema:

L

✓x,x,

q, q,l , l ,

t◆= J 0

✓x,x,

q,l ,

t◆�V

✓x, q,

l ,t◆

mallasnodos .

Las ecuaciones de equilibrio del sistema obtenidas por medio de la ecuacion deLagrange toman la forma general:

ddt

264L⇣

x ,x , t⌘

∂ xk

375�∂L

⇣x ,x , t

⌘∂xk

= Qk,

para k = 1, 2, . . ., n. En esta ecuacion x representa las coordenadas de la posiciony de la carga, o de la posicion y del flujo de lıgaduras.

JCMG - 2013 864


3.8 Acoplamiento en sistemas electromecanicos

Como puede verse, la funcion J 0, esto es:

J 0✓

x,x,q,l ,

t◆= T 0 (x,x, t)+

W 0m (q) mallas

W 0e

⇣l

⌘nodos ,

esta compuesta de la co-energıa cinetica mecanica T 0 (x,x, t), y de ya sea la co-energıa de campo magnetico W 0

m (q) o la co-energıa de campo electrico W 0e

⇣l

⌘.

En este caso T 0 (x,x, t) depende no solo de velocidades (como se especifico origi-nalmente), sino tambien de posiciones y del tiempo, en general debido a transfor-maciones a un conjunto de coordenadas mecanicas generalizadas.

En lo que respecta a las funciones W 0m (q) y W 0

e

⇣l

⌘se pude presentar para ciertas

transformaciones de coordenadas la dependencia de no solo q (o de l ), sinotambien otras coordenadas.

JCMG - 2013 865


Considerese, por ejemplo, que W 0 es funcion de todas las corrientes de malla,esto es las variables q, y de ciertas coordenadas mecanicas. Esto es:

W 0m =W 0

m (q,x) .

JCMG - 2013 866


Tomando una formulacion de mallas para la porcion electrica del sistema se tieneque la funcion de co-energıa esta dada por:

J 0 (x,x,q, t) = T 0 (x,q, t)+W 0m (q,x) .

Similarmente:

V (x,q, t) =V (x, t)+We (q) .

Entonces:

L (x,x, q,q, t) = T 0 (x,q, t)+W 0m (q,x)�V (x, t)�We (q) .

JCMG - 2013 867


En consecuencia se tiene que para la k-esima coordenada mecanica:

ddt

∂T 0 (x,q, t)

∂ xk

�� ∂T 0 (x,q, t)

∂xk� ∂W 0

m (q,x)∂xk

+∂V (x, t)

∂xk= Qk.

Como puede verse:

Los primeros dos terminos de la izquierda de la ecuacion precedente correspon-den a fuerzas inerciales.

El cuarto termino representa a las fuerzas de los asociadas a los resortes.

El termino de la derecha corresponde a las fuerzas externas aplicadas al k-esimonodo mecanico.

JCMG - 2013 868


El termino:

�∂W 0m (q,x)∂xk

corresponde a una fuerza mecanica de origen electrico.

Esta fuerza mecanica debida a la porcion electrica existe debido a que para cier-tas configuraciones las funciones de estado electricas son dependientes de lascoordenadas mecanicas.

Esta es la base para el estudio de los sistemas electromecanicos.

JCMG - 2013 869


3.9 inclusion de elementos disipativos

La forma general de Lagrange para sistemas electromecanicos conservativos to-ma la forma siguiente:

ddt

264L⇣

x ,x , t⌘

∂ xk

375�∂L

⇣x ,x , t

⌘∂xk

= Qk,

para k = 1, 2, . . ., n.

Cada uno de los terminos de la ecuacion representa ciertas fuerzas mecanicas ovoltajes o corrientes electricas.

El primer termino del lado izquierdo incluye todas las fuerzas inerciales y los vol-tajes inductivos para una formulacion de mallas o corrientes capacitivas para unaformulacion de nodos.

El segundo termino del lado izquierdo incluye todas las fuerzas en los resortes, ası como voltajes capacitivos o corrientes inductivas para una formulaion demallas o de nodos, respectivamente.JCMG - 2013 870


Ademas, ciertos terminos asociados a interacciones electromecanicas seran ge-nerados por estos dos terminos.

De esta manera los terminos generados por L⇣

x ,x , t⌘

incluyen todos los efectosde los seis elementos conservativos de parametros concentrados.

Las fuerzas externas, explıcitamente dependientes del tiempo t estan agrupadasen Qk.

JCMG - 2013 871


¿Como incluir los efectos disipativos?

Dos maneras equivalentes:

1. Las fuerzas debidas a los componentes disipativos pueden ser incorporadasa las fuerzas externas Qk.

2. Tomando en cuenta las funciones de disipacion de Rayleigh

En lo que sigue se tratara el segundo enfoque.

JCMG - 2013 872


Ası:

ddt

264L⇣

x ,x , t⌘

∂ xk

375�∂L

⇣x ,x , t

⌘∂xk

+∂F

⇣x

⌘∂ xk

= Qk,

para k = 1, 2, . . ., n, donde F⇣

x

⌘es la funcion de disipacion de Rayleigh.

En lo que sigue se analizara el significado de lo que la funcion de disipacion deRayleigh significa para los elementos electricos y mecanicos, iniciando con losprimeros.

JCMG - 2013 873


La siguiente grafica muestra la curva caracterıstica de un elemento electrico disi-pativo (resistencia):

q’

λ

.

.

Fe(q)

F’e(λ)

.

.

q.

λ’.

P

La funcion de disipacion de Rayleigh se define como el area sombreada por enci-ma de la curva caracterıstica.

En consecuencia, la funcion de disipacion electrica de Rayleigh esta dada por:

Fe (q) =Z q

0l

0�q0�

dq0.

JCMG - 2013 874


Similarmente, la funcion de co-disipacion electrica de Rayleigh esta dada por:

F 0e

⇣l

⌘=

Zl

0q0⇣

l

0⌘

dl

0.

Para un sistema de n elementos electricos disipativos:

Fe (q1, q2, . . . , qn) = Âni=1

R qi0 l

0i�q01, q

02, . . . , q

0n,�

dq0i,

F 0e

⇣l1, l2, . . . , ln

⌘= Ân

i=1R

li0 q0i

⇣l

01, l

02, . . . , l

0n

⌘dl

0i .

De manera similar se pueden formular las funciones de disipacion y de co-disipacionde Rayleigh para sistemas mecanicos en movimiento traslacional y rotacional.

Para un sistema de n elementos viscosos disipativos se tiene:

Fm (p1, p2, . . . , pn) = Âni=1

R pi0 x0i

�p01, p02, . . . , p0n,

�d p0i,

F 0m (x1, x2, . . . , xn) = Ân

i=1R xi

0 p0i�x01, x

02, . . . , x

0n�

dx0i.

JCMG - 2013 875


La utilidad de las funciones de Rayleigh se observa al considerar ciertas derivadasparciales, por ejemplo:

∂Fe (q1, q2, . . . , qn)

∂ qk= lk (q1, q2, . . . , qn)

y:

∂F 0e

⇣l1, l2, . . . , ln

⌘∂ lk

= qk

⇣l1, l2, . . . , ln

⌘.

Como puede verse, la derivada parcial de la funcion de disipacion electrica deRayleigh con respecto a la corriente en el k-esimo elemento proporciona el voltajeen las terminales de la k-esima resistencia. Por otra parte, la derivada parcial de lafuncion de co-disipacion electrica de Rayleigh con respecto al voltaje en el k-esimoelemento proporciona la corriente que circula por la k-esima resistencia.

JCMG - 2013 876


Para las funciones de disipacion mecanicas de Rayleigh:

∂Fm (p1, p2, . . . , pn)

∂ pk= xk ( p1, p2, . . . , pn)

y:

∂F 0m (x1, x2, . . . , xn)

∂ xk= pk (x1, x2, . . . , xn) .

Como puede verse, la derivada parcial de la funcion de disipacion mecanica deRayleigh con respecto a la fuerza aplicada al k-esimo elemento proporciona lavelocidad entre los extremos del k-esimo amortiguador. Por otra parte, la deriva-da parcial de la funcion de co-disipacion mecanica de Rayleigh con respecto a lavelocidad k-esimo elemento proporciona la fuerza transmitida al k-esimo amorti-guador.

JCMG - 2013 877


Es obvio que pueden formularse las funciones de Rayleigh para sistemas electro-mecanicos.

En este caso las ecuaciones de equilibrio mecanico suelen formularse como unasumatoria de fuerzas expresadas en terminos de coordenadas de posicion o develocidad.

En general:

F

✓x,

ql

◆= F 0

m (t)+Fe (q) mallas

F 0e

⇣l

⌘nodos .

JCMG - 2013 878


Incorporando entonces la funcion de disipacion de Rayleigh en la ecuacion deLagrange se obtiene:

ddt

264L⇣

x ,x , t⌘

∂ xk

375�∂L

⇣x ,x , t

⌘∂xk

+∂F

⇣x

⌘∂ xk

= Qk,

para k = 1, 2, . . ., n.

NOTA 180 Observe que la funcion de disipcion de Rayleigh es unicamen-te funcion de x , que podrıa representar velocidad traslacional o angular,voltaje o corriente.

En lo que sigue se ilustraran los conceptos anteriores por medio de un ejemplo.

JCMG - 2013 879


Ejemplo 39 Se desea hallar las ecuaciones de equilibrio del siguiente sistemamecanico amortiguado.

M1

M2

K1

K2

K3x1

x2

D3

D1

D2

.

.

Gravedadf(t)

En este sistema x1 y x2 son tales que cuando x1 = x2, el resorte K1 esta extendidouna distancia a, el resorte K2 esta comprimido una distancia b y e resorte K3esta extendido a una distancia c. Solo hay movimiento en la direccion vertical.

JCMG - 2013 880


En lo que sigue se determinaran las funciones de estado directamente en terminosdel conjunto de coordenadas generalizadas x1, x1, x2 y x2.

Se tiene entonces la funcion de co-energıa:

J 0 (x,x, t) =12

M1x21+

12

M2x22,

que de hecho solo depende de las x’s.

En lo que respecta a la funcion de energıa total:

V (x, t) =1

2K1(x1+a)2+

12K2

(x2� x1�b)2+1

2K3(x2+ c)2 ,

que solo depende de x. Cada uno de los terminos entre parentesis representa eldesplazamiento de un extremo terminal de un resorte con respecto al otro extremoterminal.

JCMG - 2013 881


En consecuencia el Lagrangiano esta dado por:

L (x,x, t) = 12M1x2

1+12M2x2

2�1

2K1(x1+a)2

� 12K2

(x2� x1�b)2� 12K3

(x2+ c)2

En cuento a la funcion de disipacion de Rayleigh:

F (x) =12

D1x21+

12

D2 (x2� x1)2+

12

D3x22.

Y las fuerzas externas estan dadas por:

Q1 = M1g y Q2 = M2g� f (t) ,

donde g denota la aceleracion gravitacional.

JCMG - 2013 882


Para la obtencion de las ecuaciones de equilibrio se tiene entonces:

Para k = 1:

∂L∂ x1

= M1x1

∂L∂x1

= � 1K1

(x1+a)+ 1K2

(x2� x1�b)

∂F∂ x1

= D1x1�D2 (x2� x1) .

JCMG - 2013 883


Substituyendo entonces en:

ddt

∂L

∂ x1

�� ∂L

∂x1+

∂F

∂ x1= Q1

se tiene la primera ecuacion de equilibrio:

M1x1+1

K1(x1+a)+

1K2

(x1+b� x2)+D1x1+D2 (x1� x2) = M1g.

JCMG - 2013 884


Para k = 2:

∂L∂ x2

= M2x2

∂L∂x2

= � 1K2

(x2� x1�b)� 1K3

(x2+ c)

∂F∂ x2

= D2 (x2� x1)+D3x2.

JCMG - 2013 885


Substituyendo entonces en:

ddt

∂L

∂ x2

�� ∂L

∂x2+

∂F

∂ x2= Q2

se tiene la segunda ecuacion de equilibrio:

M2x2+1

K2(x2� x1�b)+

1K3

(x2+ c)+D2 (x2� x1)+D3x2 = M2g� f (t) .

JCMG - 2013 886


Ejemplo 40 Sistema pendulo-resorte. Considere el sistema mecanico que semuestra en la siguiente figura, consistente en un pendulo ligado a un resorte yrestringido a moverse en el plano:

JCMG - 2013 887


Se desea modelar este sistema en terminos lagrangianos.

Como puede verse este sistema posee dos grados de libertad y se tienen comocoordenadas generalizas a r (el desplazamiento de la masa con respecto al pivotedel pendulo) y a q (la posicion angular del pendulo).

En lo que sigue se obvia la dependencia temporal de las coordenadas generaliza-das.

Note que la posicion cartesiana del extremo terminal del pendulo esta dada por:

x = r cosq y y = r sinq .

JCMG - 2013 888


Se procede a la determinacion de las fuciones de energıa del sistema (note queel sistema es conservativo):

Funcion de co-energıa total

J 0 = T 0 =12

mv2 =12

m⇣

x2+ y2⌘

Dado que:

x = r cosq � rq sinq y y = r sinq + rq cosq .

En terminos de las coordenadas generalizadas:

J 0 =12

m⇣

r2+ r2q

2⌘

JCMG - 2013 889


Funcion de energıa total

V =12

k (r� r0)2�mgr cosq .

Lagrangiano

L = J 0 �V =12

m⇣

r2+ r2q

2⌘� 1

2k (r� r0)

2+mgr cosq .

JCMG - 2013 890


Computando entonces las derivadas parciales:

∂L∂ r = mr

ddt

⇣∂L∂ r

⌘= mr,

∂L∂ r = mrq

2� k (r� r0)+mgcosq

∂L∂ q

= mr2q ,

ddt

⇣∂L∂ q

⌘= mr2

q +2mrrq ,

∂L∂q

=�mgr sinq .

JCMG - 2013 891


Substituyendo en la Ecuacion de Lagrange (para cada coordenada generalizada)se tienen entonces las ecuaciones de equilibro dadas por:

mr�mrq

2+ k (r� r0) = mgcosq

mr2q +2mrrq �mgr sinq = 0.

NOTA 181 Recuerde que cada grado de libertad se traduce en una ecua-cion de equilibrio.

JCMG - 2013 892


Ejemplo 41 Masa moviendose a lo largo de un sendero sin friccion. Consi-dere el sistema siguiente:

JCMG - 2013 893


Esa figura muestra esquematicamente el comportamiento de una masa que reco-rre un sendero (sin friccion). La geometrıa del sendero esta definida por:

r = az y f =�bz.

Se desea obtener un modelo en terminos lagrangianos de este sistema dinamico.

Dadas las retrcciones precedentes, se tiene que el sistema posee un grado delibertad y se toma z como coordenada generalizada.

JCMG - 2013 894


Se procede entonces a determinar T 0 = 12mv2. Para esto se define un marco de

coordenadas en rotacion de manera tal que la masa se mantenga en el planox� z, como se muestra en la siguiente figura:

JCMG - 2013 895


En terminos del nuevo marco referencial (rotacional), el vector de posicon de lamasa esta dado por:

r = r x+ zz = azx+ zz.

En cuanto a la velocidad de rotacion de la particular en z:

w = f z =�bzz.

Ası:

r = azx+ zz+(�bzz)⇥azx+ zz = azx�abzzy+ zz.

lo cual ımplica:

v2 = hr, ri= (az)2+(abzz)2+ z2 =⇣

1+a2+a2b2z2⌘

z2.

JCMG - 2013 896


En consecuencia:

T 0 =m2

⇣1+a2+a2b2z2

⌘z2

y:∂T∂ z

= m⇣

1+a2+a2b2z2⌘

z2z.

ddt

✓∂T 0

∂ z

◆= m

⇣1+a2+a2b2z2

⌘z+2m

⇣a2b2z

⌘z2

∂T 0

∂ z= m

⇣a2b2z

⌘z2

JCMG - 2013 897


En este caso la fuerza externa es la gravedad:

Qqr =

✓Fx

∂x∂qr

+Fy∂y∂qr

+Fz∂ z∂qr

◆y:

Qqx = Qqy = 0, Qqz = Fz∂ z∂ z

=�mg.

Resultando entonces la ecuacion de equilibrio dada por:⇣1+a2+a2b2z2

⌘z+a2b2zz2 =�g.

NOTA 182 El ejemplo precedente muestra una de las ventajas principalesdel metodo lagrangiano sobre el metodo de Newton, esto es la posibilidadde utilizar marcos referenciales no inerciales.

JCMG - 2013 898


Ejemplo 42 Bola levitada. Considere el sistema que se muestra en la figura si-guiente, que consiste de una bola de hierro en un campo magnetico vertical crea-do por un electromagneto:

JCMG - 2013 899


Se denotan por medio de qm la posicion de la bola medida con respecto a laposicion nominal y de qe la corriente que circula por la inductancia. Se definenestas como coordenadas generalizadas a qm y a qe.

Si se supone linealidad del circuito magnetico y se desprecian los campos magneti-cos en los bordes se obtiene la co-energıa de campo magnetico y la energıacinetica mecanica como sigue:

T 0e (qm, qe) =

12

L(qm) q2e y Tm (qm) =

12

mq2m,

donde L(qm) es la inductancia y m > 0 es la masa de la bola.

JCMG - 2013 900


Una aproximacion conveniente de la inductancia , en el dominio abierto qm 2(•,c2), donde c2 es la brecha de aire nominal, esta dada por:

L(qm) =c1

c2�qm,

donde c1 es alguna constante positiva que depende del numero de vueltas en eldevanado, de la permeabilidad del aire y del area seccional del electromagneto.

Para simplificar lo que sigue se supone que c1 = c2 = 1.

JCMG - 2013 901


En lo que respecta a la funcion de energıa potencial:

V (qm) = mg(1�qm)

y en cuanto a la fucnion de disipacion de Rayleigh:

F (qe) =12

Req2e,

donde Re > 0 es la resistencia electrica.

El funcion de control sobre el sistema corresponde al voltaje u.

JCMG - 2013 902


Se tiene entonces el Lagrangiano siguiente:

L (qm, qe, qm) = T 0e (qm, qe)+Tm (qm)�V (qm)

y aplicando la ecuacion de Lagrange a cada coordenada se tienen las siguientesecaciones de equilibrio:8>><>>:

1(1�qm)

qe+1

(1�qm)2 qmqe+Reqe = u.

mqm� 12

1(1�qm)

2 q2e �mg = 0.

JCMG - 2013 903


Definiendo las matrices siguientes:

C (qe,qm, qm) :=1/2

(1�qm)2

qm qe�qe 0

�,R :=

Re 00 0

�,G :=

0

�mg

�y:

D(qm) :=

L(qm) 00 m

�,M :=

10

�se puede escribir el modelo como:

D(qm) q+C (qe,qm, qm) q+Rq+G = M u,

donde:

q =

qeqm

�,

que se prefiere desde la perspectiva del control.

JCMG - 2013 904


Algunos comentarios sobre los sistemas sometidos a restricciones no-holonomi-cas

Para completar en lo que sigue se revisara rapidamente un par de restriccionesno holonomicas. No existe una teorıa general para resolver sistemas de este ti-po, aunque los dos ejemplos que se muestran a continuacion pueden de hechoresolverse facilmente utilizando diferentes metodos.

DESIGUALDADES: considere una partıcula que se mueve bajo la accion de la gra-vedad sobre el exterior de una esfera de radio R. El movimiento de la partıculadebe satisfacer x2 + y2 + z2 � R2. Cuando la partıcula esta cerca del extremosuperior de la esfera sabemos que se mantendra en contacto con la superficiey la restriccion se puede interpretar como holonomica. Pero en algun punto lapartıcula caera.

RESTRICCIONES DEPENDIENTES DE LA VELOCIDAD: Las restricciones de la formag(xA, xA, t) = 0 que no pueden ser integradas para obtener f (xA, t) = 0 son no

JCMG - 2013 905


holonomicas. Por ejemplo, considere una moneda de radio R que esta rodan-do por una pendiente como se muestra en la siguiente figura:

Las coordenadas (x,y) fijan la posicion de la moneda sobre la pendiente. Sinembargo la moneda tiene otros grados de libertad: el angulo q que la monedatiene en la trayectoria de descenso y el angulo f que un punto marcado sobreel canto de la moneda tiene con respecto a la vertical.

Si la moneda rueda sin resbalarse, entonces se tienen restricciones sobre laJCMG - 2013 906


evolucion de estas coordenadas.

JCMG - 2013 907


La velocidad del canto esta dada como:

vcanto = Rf .

Por lo tanto en terminos de las cuatro coordenadas se tienen las restricciones:

x = Rf sinq , y y = Rf cosq .

Pero estas escuaciones no pueden integrarse para dar restricciones de laforma f (x,y,q ,f) = 0.

Las restricciones son no holonomicas.

JCMG - 2013 908

3. modelado euler-lagrange de sistemas electromecanicos´

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