3 inversiones y presupuesto de capital · se van a clasificar las alternativas de inversión en...

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INVERSIONES Y PRESUPUESTO DE CAPITAL

30 de abrilViendo que había disminuido mucho

mi provisión de pan decidí poner más cuidado en su consumo reduciéndolo a una galleta

por día, lo cual me entristeció mucho.Daniel Defoe, Robinson Crusoe

Cada uno se estira hastadonde le alcance su cobija.

Pinzón, C. E. y G. FandiñoDichos y refranes oídos en Colombia

En este capítulo se estudia el problema de la toma de decisiones deinversión o, lo que es lo mismo, comprometer recursos hoy con la espe-ranza de recibir beneficios en el futuro y en un plazo, por lo general,largo. Aunque el contexto del capítulo se refiere siempre a alternativasde inversión con resultados cuantificables en dinero, no siempre esposible. Más aún, los resultados asociados a un determinado curso deacción pueden ser muy difíciles de evaluar en términos monetarios. Esnecesario tener en cuenta aspectos éticos, morales, sociales, económi-cos, políticos, técnicos, legales, estéticos, etcétera, que por el hecho deno ser cuantificables no deben ser despreciados. Se va a trabajar sobreel supuesto de certidumbre total; más tarde se eliminará este supuestoy se analizará el problema de decisión suponiendo incertidumbre haciael futuro.

3.1 INVERSIONES

En este aparte se estudiará el problema relacionado con las alterna-tivas de inversión. En particular se tratará el concepto de inversión yalgunas clasificaciones de estas alternativas.

DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 107

Uno de los problemas más importantes que el gerente enfrenta esque hoy debe tomar decisiones que tienen consecuencias en términosde beneficios y costos futuros. Esto hace inevitable cierto grado deincertidumbre. Por lo general, lo que se hace es mirar qué ha ocurridoen el pasado e inferir sobre el futuro basándose en la información obte-nida. En cuanto a la cuantificación de los beneficios y costos futuros,se recurre ya sea a estudios de mercado o a la contabilidad, para obte-ner datos del pasado; también combinan las dos.

El análisis de alternativas de inversión o análisis de decisiones deinversión, como se ha denominado aquí, tienen las siguientes caracte-rísticas:

1. Implica alternativas.2. Se relaciona con las diferencias entre las alternativas en el futuro.3. Se interesa en la diferencia entre costos, no en la asignación de

costos.4. Se interesa en la ocurrencia de los ingresos y gastos, no en su

causación.5. Considera la diferencia entre sumas iguales de dinero en distintos

puntos en el tiempo.

Se debe hacer énfasis en que siempre son las diferencias entre lasalternativas lo que se considera importante. En el análisis de rentabi-lidad, el interés se concentra en los costos futuros, no en los pasados oactuales. Los costos que registra la contabilidad, pueden ser muy úti-les para proveer la información necesaria que permita hacer cálculosde los costos futuros. El hecho de que en el proceso de toma de decisio-nes se tenga que usar la información incompleta no debe llevar al ad-ministrador a la conclusión de que no se pueden tomar decisiones.Precisamente, el proceso de toma de decisiones se desarrolla siguiendocursos de acción de carácter irrevocable, y se basa en información in-completa y muchas veces inadecuada.

3.2 CONCEPTO DE INVERSIÓN

Las alternativas o cursos de acción mencionados pueden definirsecomo inversiones. Una inversión es cualquier sacrificio de recursoshoy, con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Así, sepuede concebir como inversión no sólo el hecho de desembolsar unadeterminada suma de dinero, sino también el tiempo que alguien dedi-ca a formarse en una universidad. Asimismo, se debe considerar unainversión el pago anticipado de un préstamo: se sacrifica hoy lo que sedebe (al pagarlo en forma anticipada) y se obtiene como beneficio lo quese deja de pagar en el futuro. En todo caso, se trata de cuantificar entérminos económicos los recursos que se están sacrificando hoy, asícomo los beneficios que se esperan recibir en el futuro.

IGNACIO VÉLEZ PAREJA108

3.3 JUSTIFICACIÓN Y SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS

Un individuo que no viole los supuestos básicos mencionados en elcapítulo 1 que permiten a un decisor escoger, ordenar y establecertransitividad podrá determinar si los cursos de acción o alternativasson o no justificables; si se acepta o se rechaza una alternativa. Unaalternativa justificable o aceptable es aquella que deja al decisor enuna situación mejor que la que tenía antes de llevar a cabo dicha alter-nativa. Una alternativa es buena cuando los beneficios superan loscostos. Aquí se está considerando beneficio todo aquello que le propor-cione bienestar al decisor, sea esto una satisfacción intangible, dineroo cosas materiales. Esto es un principio de racionalidad que se encuen-tra hasta en los animales. Nadie apuesta en su contra, en contra de símismo. Todos trabajamos para estar mejor después de nuestra actua-ción; ese estar mejor puede asociarse a la satisfacción íntima de haberhecho el bien al prójimo, al placer de haber ganado un negocio, al dis-frute de una mayor riqueza o a la esperanza de alcanzar el cielo. En elmismo sentido, costos son todos los recursos, materiales o no (dinero,esfuerzo emocional, místico, etcétera), que se sacrifican en aras de unosbeneficios posteriores.

Por otro lado, ante un conjunto de alternativas justificables, el decisorpuede encontrarse en la necesidad de seleccionar la mejor de ese grupoo, lo que es lo mismo, en algún momento tendrá que ordenar las dife-rentes alternativas. Debe observarse que no tiene sentido ordenar aque-llas que no sean justificables, pues ésas deben ser rechazadas en elproceso de justificación o aceptación. Esto significa que el decisor orde-nará aquellas alternativas que conforman un conjunto de alternativasjustificables, y de allí escogerá la mejor.

3.4 CLASES DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

Se van a clasificar las alternativas de inversión en dependientes,independientes y mutuamente excluyentes.

Cuando una alternativa no se puede llevar a cabo sin que otra serealice, se dice que dicha alternativa es dependiente.

Cuando varias alternativas se pueden realizar sin que los resulta-dos de las otras o las decisiones con respecto a ellas se alteren, se diceque son independientes.

Cuando dentro de un grupo de alternativas se lleva a cabo una deellas y este hecho hace que las otras alternativas no puedan realizarse,entonces se dice que son mutuamente excluyentes.

De lo anterior se puede deducir que esta clasificación de las alterna-tivas de inversión está relacionada con el grado en que el flujo de cajalibre de una alternativa se afecte al emprender otra. En el caso de lasdependientes, una de ellas no se realiza sin la otra (por ejemplo, cuan-do el flujo de caja libre de una está condicionado al de la otra); en elcaso de las alternativas independientes no existe relación alguna entrelos flujos de caja libre de las alternativas. Por último, cuando son mu-tuamente excluyentes, la realización de una de ellas reduce a cero el


flujo de caja libre de las otras. La clasificación anterior es demasiadosimplificada, puesto que en realidad lo que existe es una gama conti-nua de grados de dependencia. En un extremo se encuentran las alter-nativas dependientes y en el otro las mutuamente excluyentes; y entreestos dos extremos, las alternativas independientes.

La construcción de un sistema de refrigeración de un edificio de-pende totalmente de que el edificio se construya o no; en este caso sepuede hablar de alternativas dependientes. La aceptación de propues-tas de investigación por una entidad como Colciencias puede conside-rarse como una situación de alternativas independientes, siempre quela entidad cuente con los recursos suficientes para financiarlas todas.Las diferentes propuestas para la construcción de un puente en unmismo sitio son alternativas mutuamente excluyentes.

Con frecuencia, ante alternativas mutuamente excluyentes, el decisorselecciona la mejor. Aunque lo deseable es seleccionar la alternativaóptima, no debe olvidarse que realmente lo que se logra es alcanzarresultados satisfactorios. Por lo tanto, dado un conjunto de alternati-vas justificables y mutuamente excluyentes, lo máximo que se puedelograr es seleccionar la mejor entre ellas, lo cual no garantiza haberidentificado la alternativa óptima.

También pueden considerarse otro tipo de clases de alternativasque pueden tener algún grado de dependencia; por ejemplo, las alter-nativas complementarias, cuyo resultado, cuando se realizan simultá-neamente, es sinérgico en el sentido en que sus beneficios combinadosson mayores que la suma de los beneficios individuales.

Por otro lado, se pueden considerar las alternativas sustitutas, locual significa que cuando se hacen de manera simultánea se genera unefecto de entropía, en el sentido en que los beneficios totales son meno-res que la suma de los beneficios individuales.

Para realizar todo lo anterior, el decisor debe contar con medidas deefectividad y métodos que le permitan tomar las decisiones adecuadasen cada caso. Existen varios métodos de decisión; unos utilizan el con-cepto de cambio del valor del dinero a través del tiempo, y otros no. Losque se estudiarán aquí hacen uso de este concepto o, lo que es lo mis-mo, del principio o concepto de equivalencia.

Los criterios adecuados para decidir entre alternativas de inversiónrequieren que previamente se determine una tasa de interés con lacual calcular o comparar las diversas medidas de efectividad. Aquí sepresentan los diferentes métodos que tienen en cuenta el cambio delvalor del dinero a través del tiempo y que, por lo tanto, deberán haceruso de una tasa de descuento. La tasa de descuento es aquella tasa deinterés que establece las relaciones de equivalencia de un decisor cuandose enfrenta a varias alternativas para su evaluación, o sea, la tasa deinterés, i, que hace al decisor indiferente entre $1 hoy y $(1+i) al finalde un período. Tal vez una de las mayores dificultades del decisor esidentificar la tasa de descuento adecuada. Esto se complica cuandohay que tomar decisiones para una entidad y hay riesgo involucrado;mucho más, cuando se trata de una inversión social en la cual losbeneficios son, por lo general, intangibles o muy difíciles de medir.


3.5 COSTO MUERTO Y COSTO DE OPORTUNIDAD

Cuando se hace el análisis de inversiones de capital, se deben tener encuenta ciertos conceptos de costos para facilitar la comprensión de losmétodos de evaluación de alternativas. En particular, se deben compren-der muy bien los conceptos de costo muerto y de costo de oportunidad.

El costo muerto es aquel costo común a todas las alternativas. Loscostos muertos no son pertinentes y son irrecuperables. Por otro lado,hay costos muertos pertinentes que sí deben considerarse en la alter-nativa, porque forman parte intrínseca de ella, pero que al ser comu-nes no hacen diferencia. Los costos muertos no se toman en cuenta nise deben asignar a ninguna de las alternativas, puesto que no estable-cen diferencias al compararlas y han ocurrido antes de tomar la deci-sión. Se dedica un aparte especial para saber identificarlos y no incluirlosen el análisis. Sin embargo, debe aclararse que aquí se trata de ladeterminación del valor asociado a un recurso adquirido con anteriori-dad; puede suceder que si se decide conservar ese recurso, aunque sucosto de oportunidad sea cero, es posible que genere consecuenciasque sí deben tenerse en cuenta. Por ejemplo, un activo que se adquirióhace algunos años: su costo histórico es un costo muerto en el sentidode no ser pertinente para la determinación de su valor hoy, pero esecosto histórico puede seguir generando una depreciación, lo cual tieneincidencia en los impuestos, aunque el valor comercial del activo fueracero (véase el ejemplo de autocorrección del capítulo 6).

Para aclarar estas ideas se pueden considerar varias situaciones1:

• Proyecto de inversión para analizar la creación de una nueva empresa.• Proyecto de ampliación de una empresa existente.• Proyecto de inversión de una empresa en marcha, que implique

remplazo de equipos, etcétera.

En cada caso deben considerarse los costos pertinentes. La mejorforma de no incurrir en el error de considerar costos muertos en elanálisis (sobre todo considerarlos en una alternativa y en otra no) eselaborar el flujo de caja de la firma con proyecto y sin proyecto. Ladiferencia entre las dos proyecciones resultará en el flujo de caja delproyecto en estudio.

El costo de oportunidad se precisa calculando lo máximo que se po-dría obtener si los recursos se invirtieran en aquella alternativa escogidacomo patrón de comparación, que es diferente de las evaluadas. En otraspalabras, es el costo de la mejor alternativa que se desecha. Este tipo decosto es de mucha importancia en el análisis económico, y muchas ve-ces no se le da una consideración adecuada. Este concepto es funda-mental en todos los métodos para evaluar alternativas de inversión.

El costo de oportunidad de un recurso depende del decisor y de suentorno. Esto se halla muy ligado a la información que el decisor tengadisponible sobre su entorno económico.

1 Agradezco esta observación del profesor Édgar Portilla, de la UniversidadJaveriana, sede Cali.


EJEMPLO 1

Una vez que se reconoce que la magnitud de la diferencia entre lasdistintas alternativas es lo importante, se confía en que las únicas dife-rencias que se deben tener en cuenta son las que se presentarán en elfuturo. Las consecuencias de una decisión con respecto a un curso deacción no pueden comenzar antes de tomar la decisión.

Desde el punto de vista de un estudio económico, un costo incurridoen el pasado es un costo muerto, y no es pertinente para efectos delestudio. Considérese el siguiente caso:

Hace 4 años el señor Pérez compró un auto por $7.500.000. Hoy seentera de que un auto del mismo año y de igual modelo, usado pero quefunciona bien (usado, casi nuevo) vale $12.500.000; asimismo, encuen-tra que su auto tiene un desperfecto. En un centro de reparaciones deautomóviles le ofrecen una reparación garantizada por $1.700.000. Sesupone que la reparación deja al aparato como nuevo. El auto podríavenderlo hoy, como está, por $9.000.000.

¿Debe reparar el auto?¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por una reparación?Después de haber reparado el auto, descubre que el arreglo quedó

mal hecho y debe enviarlo a otro centro de servicio. Allí le explican quela reparación vale $2.000.000. Se supone que la reparación deja alauto en perfectas condiciones.

¿Debe repararlo?¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por la reparación?En este punto deténgase y analice la situación. Compare su análisis

con el que se presenta a continuación.Para que usted compare sus conclusiones, se puede analizar la si-

tuación así:

Primera ocasión. ¿Debe reparar el auto? Sí.¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por una reparación?

Hasta $3.500.000.Se supone que el individuo desea tener un auto en perfectas condi-

ciones.En el primer caso se tiene:

No repara

Obtiene su auto como nuevo por $1.700.000más los $9.000.000 de la venta que no realizóde su auto viejo antes de repararlo. Al novenderlo lo que hace es invertir ese valor en laalternativa: repara.

No repara y vende el auto por $9’000.000 ycompra el otro auto usado, casi nuevo, por$12.500.000.

Repara

Se ve claramente que obtener un auto usado, como nuevo por$10.700.000 es preferible a obtenerlo usado, casi nuevo por$12.500.000. Mientras el valor de la reparación sea menor que la dife-


rencia entre el precio del auto nuevo y el valor del auto usado, casinuevo, se debe reparar.

En el segundo caso: ¿Debe repararlo? Sí.¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por la reparación?

$3.500.000.

No repara

Obtiene su auto como nuevo por $2.000.000

más los $9.000.000 de la venta que no realizó de su auto viejo antes de repararlo. Al no

venderlo lo que hace es invertir ese valor en la alternativa: repara.

No repara y vende el auto por $9’000.000 y compra el otro auto usado, casi nuevo, por

$12.500.000.

Repara

Aquí se ve otra vez, que es más conveniente reparar que comprar, yque mientras el valor de la reparación sea menor que la diferencia en-tre el precio del auto usado, casi nuevo y el valor del auto usado, sedebe reparar.

En ambos casos se debe observar que el señor Pérez debe decidir enel instante en que se le presentan las alternativas y analizar las conse-cuencias futuras de cada una. Lo que pagó por el auto y lo que pagó porla primera reparación es el pasado, y no cuenta, son costos muertos.Los $9.000.000 del valor comercial del auto usado, son un costo deoportunidad.

EJEMPLO 2

Suponga que se quiere utilizar un área de bodega disponible paramontar una nueva línea de productos. Sin embargo, se sabe que estaárea de bodega se podría arrendar por $50.000 mensuales. Si se consi-dera la alternativa de montar la nueva línea de productos, se debencargar a esta alternativa $50.000 mensuales y éste será el costo deoportunidad de utilizar la bodega. Obsérvese que no necesariamente seincurre en un desembolso de dinero.

3.6 COSTO DEL DINERO

Debido a que hay oportunidades de inversión o, por otro lado, oportu-nidades de préstamo, en general, el dinero tiene un costo para el inver-sionista. Este costo es el sacrificio en dinero en que se incurre al retirarde una opción de ahorro o dejar de invertir en ella (el máximo posible), locual se llama costo de oportunidad del dinero o sacrificio o costo directoque el inversionista debe pagar cuando no cuenta con ese dinero y debepedirlo prestado a terceros; este último se conoce como costo de capital.A cualquiera de estos sacrificios se le llama costo del dinero.

Se pueden distinguir, entonces, dos tipos de costo: el de capital, quemide lo que el decisor (la firma) paga por los recursos que utiliza en sus


proyectos de inversión, y el de oportunidad del dinero. Ambos seránestudiados en detalle en el capítulo 5.

Si se recuerda el concepto de costo de oportunidad definido arriba,éste se puede aplicar al recurso dinero. Como todo recurso apreciable,el dinero tiene un costo de oportunidad. Éste es la máxima rentabili-dad o la máxima tasa de interés que puede ser obtenida por el inversio-nista, dentro del mercado donde se encuentre. Por ahora, se trabajarácon la idea de costo del dinero o tasa de descuento, sin entrar en deta-lles acerca del modo de determinarlo.

EJEMPLO 3

Una persona tiene dinero depositado en una cuenta de ahorros quele produce 35% al año (suponga que esto es lo máximo que percibe estapersona), y alguien le propone un negocio (que se lo preste, que loinvierta en una actividad productiva, etcétera); cuando la persona de-cide retirar su dinero de la cuenta de ahorros para invertirlo en lapropuesta que le han hecho está incurriendo en un costo de oportuni-dad. Esto es, deja de percibir un rendimiento o tasa de interés de 35%anual de la cuenta de ahorros con la esperanza de recibir unos benefi-cios mayores, o por lo menos iguales, a los que ya recibía. Se dice,entonces, que el costo de oportunidad del dinero de esa persona es de35% anual.

3.7 MÉTODOS DE DECISIÓN

Como la situación que se le presenta al decisor es la de analizarflujos de caja libre hacia el futuro que no siempre presentan domina-ción, esto es, que los ingresos de una alternativa sean siempre superio-res o iguales a los de otra y los egresos de ésta sean mayores o igualesque los de la primera, se hace necesario buscar mecanismos que per-mitan comparar las cifras de cada una de ellas. Una forma de hacerloes utilizar el concepto de equivalencia para llevar los flujos de caja librea un período determinado y allí sí comparar las cifras. Los métodos queaquí se estudiarán tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo.Los más conocidos son el valor presente neto (VPN), la tasa interna derentabilidad (TIR) y la relación beneficio/costo (RB/C).

Todos estos planteamientos responden a una pregunta que puede (ydebe) hacerse en todas las circunstancias: ¿cuándo es buena una deci-sión? No importa si se trata de una decisión personal, íntima, de unadecisión con consecuencias que afecten a los demás o de una decisiónde tipo financiero. La respuesta siempre será la misma: cuando losbeneficios superen a los costos. Y aquí hay que entender por beneficiosy por costos no sólo lo que se puede cuantificar. Un ejemplo de estopuede ser la decisión de no seguir prolongando la vida de manera arti-ficial a un paciente que no puede cumplir con sus funciones intelectua-les y vitales sin la ayuda de una máquina. Aquí no sólo intervienenconsideraciones de tipo ético y moral, sino también otras de tipo econó-mico y emocional. En todo caso, siempre habrá que sopesar no sólo losbeneficios que produce la decisión, sino sus costos.


3.7.1 VALOR PRESENTE NETO (VPN)

Cuando el decisor se enfrenta a una disyuntiva, debe considerar losbeneficios y los costos que le implica cada alternativa. Como se estudióen el capítulo 2, se trata de tomar decisiones que requieren sacrificiode recursos –una inversión– hoy, con consecuencias de costos y bene-ficios futuros. Hay que comparar, como ya se dijo, beneficios y costos.Ya se estudió (en el capítulo 2) cómo hacer la comparación de flujos dedinero en diferentes períodos.

El valor presente de un ingreso de dinero en el futuro es aquellacantidad equivalente que se debe entregar o invertir hoy para aseguraresa misma suma de dinero en el futuro. Esta suma presente es equiva-le al flujo de dinero que se espera recibir en el futuro.

El significado del valor presente neto (VPN) se puede ilustrar de lasiguiente manera: cuando una persona hace una inversión espera reci-bir un valor igual a la suma invertida y una suma adicional; esas sumasque recibe, las entrega el proyecto o inversión a lo largo de su vida. El VPN

indica el valor resultante de descontar la inversión y la suma que yarecibía el inversionista por su inversión. En otras palabras, es el rema-nente neto que obtiene el inversionista, en pesos de hoy, después dedescontar los ingresos a la tasa de descuento y restarle la inversióninicial. Se puede considerar que el inversionista le presta al proyecto undinero que debe ser devuelto con intereses a la tasa de descuento, y algoadicional, que es el beneficio que recibe por haber realizado la inversión.

El valor presente neto mide el remanente en pesos de hoy, despuésde descontar la inversión (o el préstamo que le hace el inversionista alproyecto) y el ‘interés’ (calculado a la tasa de descuento) que debe de-volver el proyecto al inversionista. En otras palabras, es el monto por elcual aumenta el valor de la firma después de haber llevado a cabo laalternativa que se estudia. El VPN, por lo tanto, permite establecer me-canismos que aumenten o maximicen el valor de la firma. Todo estoimplica que a mayor tasa de descuento, menor será el VPN.

Puede parecer extraño que a mayor tasa de interés, el VPN sea me-nor. Desde el punto de vista matemático esto es claro por el papel quedesempeña i en la fórmula (divide). Sin embargo, conviene pensar unpoco más en este comportamiento.

La tasa de interés o tasa de descuento que se utiliza en el cálculo delVPN es el costo del dinero para el decisor la tasa de interés de oportuni-dad o costo del capital, lo que paga por ese dinero. Esto es que se puedepensar que el decisor está ante una invitación de un proyecto parainvertir en él. Como ese decisor ya se ganaba un interés o pagaba uninterés tasa de interés de oportunidad o costo que pagaba por el dinero,el proyecto debe retornarle, por lo menos, lo que se ganaba en la alter-nativa que está desechando y que es aquella en la que en la actualidadtiene invertido su dinero (costo de oportunidad), o lo que paga por losfondos necesarios para la inversión.

Ahora bien, según la definición intuitiva del VPN, mientras mayorsea la tasa de interés de oportunidad o el costo del dinero que ya seganaba el decisor, antes de cambiarle el destino a su dinero o el interésque tuvo que pagar por obtener los fondos, menor será lo que quede


después de que el proyecto haya devuelto la inversión y los interesesque ya se ganaba (o pagaba) el decisor (tasa de descuento); por lo tanto,a medida que la tasa de descuento del decisor aumenta, mayores seránlos intereses que tiene que devolver el proyecto, y menor, por lo tanto,el VPN, que es lo que le queda de más como remanente, como valoragregado, al decisor y que es lo que lo hace atractivo.

Si se tiene un proyecto a un año que requiere una inversión de$1.000 y produce al final del año $1.500, el excedente dependerá de latasa de descuento; si se supone que el dinero lo tiene el inversionistaen una cuenta de ahorros y la tasa que le pagan es su costo de oportu-nidad y, por lo tanto, su tasa de descuento, entonces, como se puedeobservar en la tabla, cuanto más le paguen, mayor costo de oportuni-dad y mayor tasa de descuento, menor será el remanente por encimade lo que ya ganaba y, por lo tanto, menor el vpn, así:

Año Proyecto $ Ahorros $ Proyecto $ Ahorros $ Proyecto $ Ahorros $20% 30% 40%

0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.0001 1.500 1.200 1.500 1.300 1.500 1.400

VPN 250 153,85 71,43Diferencia 300 200 100

VPN 250 153,85 71,43

De igual manera, se podría analizar si el dinero fuera prestado y sise pagaran los intereses y el capital al final del año.

Esto se puede ilustrar con una gráfica. Suponga que los ingresos obeneficios netos de un proyecto se pueden descomponer en tres partes:

1. El valor de la inversión que debe devolver el proyecto.2. El valor que ya ganaba en su alternativa –el cual le permitió definir

el costo de oportunidad– o lo que paga la firma por haber prestadoel dinero.

3. El remanente.

FIGURA 3.1 Flujo de caja (en relación con el VPN)

Remanente

Costo del dinero

(tasa de descuento:

costo de oportunidad

o costo de capital)

Inversión

Cuando se lleva alperíodo cero, es elVPN o la generaciónde valor

Es el interés quereconoce el proyectopor haber recibido elpréstamo de lainversión

Es la devoluciónque hace elproyecto deldinero recibidopara hacerla inversión

Fluj

o de

caj

a de

pro

yect

o


Se pueden presentar, entonces, las siguientes posibilidades:

1. Cuando el remanente es positivo y se lleva al instante cero, enton-ces el VPN es positivo. Hay creación de valor.

2. Cuando el remanente es cero, el VPN es cero, al llevar todo al instan-te cero. No hay creación de valor.

3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero más el remanente las dosáreas superiores de la figura es menor que lo correspondiente a la tasade descuento, entonces el VPN es negativo. Hay destrucción de valor.

En la gráfica se puede observar que para un proyecto dado si la tasade descuento aumenta, el área correspondiente aumentará y el área deremanente disminuirá; por lo tanto, el VPN será menor.

Para visualizar con cifras este planteamiento, se debe construir unatabla de amortización de la inversión, como se hizo para un préstamoen el capítulo 2.

T(1)

Inversión porrecuperar al

inicio delperíodo (2)

Costo del capitalinvertido

(3)=(2) x (7)

Amortización dela inversión y

valor agregado(4)=(5)+(3)

Flujo de cajalibre (5)

Inversión porrecuperar al

final delperíodo

(6)=(2)+(4)

Tasas dedescuento

(7)

0 -40.110,01 -40.110,0 -15.631,4 -2.358,4 13.273,0 -42.468,4 38,97%2 -42.468,4 -16.458,8 -7.594,7 8.864,1 -50.063,1 38,76%3 -50.063,1 -17.111,2 -16.036,7 1.074,5 -66.099,8 34,18%4 -66.099,8 -21.665,3 130.973,5 152.638,8 64.873,7 32,78%

La columna (3) corresponde a la caja del costo del dinero y la colum-na (4) corresponde a la suma de la caja de la inversión más la caja delremanente (valor agregado) en la figura 1 de la página anterior. Lacolumna (5) equivale a la suma de las tres cajas. Observe en la tablaque todas las cifras asociadas a las tres cajas se van generando a lolargo del tiempo.

En forma matemática, el valor presente se define así:

( )∑+

=j

j

j

i

IVP

1(3.1)

Donde:

Ij

= Suma en el período ji = Tasa de descuentoj = Período

En Excel:

=VA(i;n;C;F;tipo) cuando se trata de convertir una serie uniforme Co una suma futura F o la combinación de ambas, a valor presente.

=VNA(i;rango) cuando se trata de un flujo de caja libre no unifor-me. En este caso hay que tener en cuenta que el rango debe ini-ciarse con la celda correspondiente al período 1 y terminar con el


flujo del período n; el valor calculado estará expresado en pesosdel instante 0.

Una forma de entender este concepto es preguntarse qué suma quese espera recibir dentro de un año es equivalente a un peso poseídohoy. Suponiendo que existe el interés, se puede invertir o dar en prés-tamo ese peso y recibir (1+i) al cabo de un año, donde i es la tasa deinterés vigente para ese año y se liquida como interés compuesto; enotras palabras, se puede cambiar (1+i) recibido al final de un año porun peso de hoy.

Se puede calcular el valor presente de los ingresos y de los egresos deuna alternativa según lo expuesto anteriormente. El valor presente netoes la diferencia entre el valor presente de los ingresos o beneficios (VPB) yel valor presente de los egresos o costos (VPC); esto es: VPB - VPC.

En forma matemática compacta, se puede expresar el valor presen-te neto como:

( ) ( )∑∑+

−+

=j

j

j

jj

j

i

E

i

IiVPN

11)( (3.2)

Donde:

Ij = Ingreso en el período jEj = Egreso en el período ji = Tasa de descuentoj = Período

En Excel:

=VA(i;n;C;F;tipo)-P cuando se trata de calcular el VPN de una serieuniforme C o una suma futura F o la combinación de ambas conuna inversión P en el instante 0.

=VNA(i;rango)-P cuando se trata de un flujo de caja libre no unifor-me, que es el producto de una inversión P en el instante 0. En estecaso hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse con lacelda correspondiente al período 1 y el valor calculado estará ex-presado en pesos del instante 0; por lo tanto, se puede restar elvalor de P, para obtener el VPN.

También se puede utilizar la función SUMA.SERIES de las funcionesmatemáticas de Excel. Con esta función se puede obtener en formadirecta el VPN indicando todo el rango de los flujos de caja. La sintaxisde la función es =SUMA.SERIES(x;n;m;coeficientes). Donde x es la variablepara usar como base en la serie exponencial; en este caso, será 1/(1+i).n es el exponente inicial al cual desea elevar la base x; en este caso n esigual a 0. m es el paso que incrementa el valor de n para cada términode la serie; en este caso m es 1. Coeficientes es un grupo de coeficientespor el que se multiplica cada exponente sucesivo de x; en este caso, loscoeficientes son los flujos de caja.

Obsérvese que no tiene sentido hablar del valor presente neto o delvalor presente sin haber especificado una tasa de descuento. Aunque


en esta expresión se indica el VPN en función de una tasa de descuentoúnica, esta tasa puede variar con el tiempo; esto es, que para cadaperíodo puede existir una tasa de descuento diferente. El cálculo delVPN es muy fácil con hojas electrónicas como Excel. Recordando el con-cepto de equivalencia del capítulo 2, es fácil concluir que el cálculo delVPN (en el instante cero) es una mera convención: se puede pensar, en elvalor medio neto o VMN (calculado a la mitad de la vida del proyecto) oen el valor futuro neto o VFN (calculado al final de la vida del proyecto),y es obvio que los resultados, en valores, serán proporcionales a (1+i)

n,

donde n será el valor de la mitad de la vida del proyecto o el valor de lavida del proyecto respectivamente. Esos cálculos indicarán el valor delremanente a la mitad del proyecto o al final de su vida.

En la realidad, cada período tiene una tasa de descuento diferente, y enese caso la expresión más general sería:

( ) ( ) ( ) ( )n

n

jj iiii +++=+∏

=

1...111 211

(3.3)

∏=

n

j 1 significa multiplicación, por ejemplo:

( ) ( ) ( )21

2

1

111 iiij

j ++=+∏=

(3.4)

Este tema se estudia en detalle en el siguiente capítulo. Para ilus-trar lo anterior, se presentan los siguientes ejemplos:

EJEMPLO 4

Suponga que se tiene proyectado montar una empresa en un centrocomercial muy importante de la ciudad. Los cálculos sobre inversión ybeneficios netos durante 10 años, al final de los cuales se venden todoslos bienes, son los siguientes:

Año Flujo de caja $0 -3.000.0001 1.000.0002 1.150.0003 1.200.0004 1.300.0005 1.450.0006 1.600.0007 1.850.0008 2.000.0009 2.100.00010 4.500.000

Estas cifras las obtiene el decisor por medio de proyecciones y cál-culos de ingresos y costos futuros. El procedimiento para llegar a estascifras rebasa el alcance de este capítulo.

Cuando usted hizo los estudios de este proyecto determinó que sutasa de descuento era la tasa de oportunidad del dinero y que valía


36% anual. Su cálculo consideraba, además, que esta tasa no variaríadurante los siguientes diez años.

El competidor, quien ya tiene instalada una firma similar en el mis-mo centro comercial, no desea que se le haga competencia; por lo tan-to, prefiere pagarle algo para que desista de la idea.

¿Cuánto es lo mínimo que le deben pagar para desistir de la idea?Esta pregunta la responde el VPN, porque mide los beneficios que obten-dría si emprendiera el negocio y que desecha al desistir de él.

A su competidor le pareció excesiva la cifra y no le pagó nada, demodo que usted instaló su firma. Cuando ya estaba todo listo para lainauguración, volvió su competidor, que había quedado muy impresio-nado por el montaje, imagen y decoración que usted presentaba al pú-blico, y le ofreció comprarle todas las instalaciones para una de sussucursales.

¿Cuánto es lo mínimo que usted debe pedirle? Esta respuesta la dael valor presente de los beneficios netos durante los próximos diez años,ya que no sólo debe desechar el valor de sus beneficios netos en valorpresente, sino que debe entregar la inversión realizada. Por lo tanto,usted le pide, por lo menos, $3.504.319.

A continuación se presentan los cálculos que usted debió realizarpara responder a esa pregunta con una tasa de descuento de 36% anual.

VPN al 36% = VNA(i;rango de año 1 a 10)-P

=VNA(36%; rango de año 1 a 10) - 3000000 =$504.319

=SUMA.SERIES (1/(1+36%);0;1;rango de año 0 a 10)= $504.319

Cuando se está calculando el VPN, se deben tener en cuenta las su-posiciones implícitas que tiene. Estas suposiciones son:

1. Los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvier-ten a la tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN aun másallá de la vida del proyecto, si el caso incluye alternativas con vidasdiferentes. Esto supone que la tasa de descuento es la de oportunidad.Esta suposición no es otra cosa que el reconocimiento de la actividadcotidiana de tesorería en las empresas; ésta consiste en velar por quelos fondos disponibles se mantengan productivos, ya sea en nuevosproyectos o en actividades rentables (bonos, cuentas de ahorros, etcé-tera). Con un ejemplo se puede entender mejor lo que esto significa.

EJEMPLO 5

Si se tiene una inversión así:

Año Flujo $0 -1.0001 3002 1.300

El VPN de esta inversión será, suponiendo una tasa de descuentoúnica i:


( ) ( ) ( )21

300.1

1

300000.1

iiiVPN

++

++−=

Ahora bien, si se supone que los fondos liberados por el proyecto sereinvierten a la tasa r%, entonces el VPN será:

( ) ( )( ) ( )2

1

300,1

21

1300000,1,

ii

rirVPN

++

+

++−=

Para que VPN(i) sea igual a VPN(r,i), r debe ser igual a i; por lo tanto, elsupuesto implícito es que la reinversión de los fondos liberados porla inversión se hace a la misma tasa de descuento. Esto puede queno ocurra en la práctica, ya que depende de las condiciones pun-tuales bajo las cuales el tesorero de la firma debe decidir sobre quéhacer con los excedentes de efectivo. Véase el capítulo 5 acerca delo que sucede con la tasa de descuento respecto del costo de capitaly el costo de oportunidad del dinero (véase también la hoja REINVERSIÓN

del archivo VPNTIR.XLS).Sin embargo, se debe hacer notar que los fondos que realmente sereinvierten son los excedentes del flujo de caja de efectivo2, no losque aparecen en el flujo de caja libre del proyecto.

2. La diferencia entre la suma invertida en una alternativa y el valor dela alternativa más costosa o de la cifra límite de la cual se disponga,según el caso, se invierte a la tasa de descuento utilizada para calcu-lar el VPN. Esto supone, además, que la tasa de descuento es la deoportunidad. También conviene explicar esto con un ejemplo.

EJEMPLO 6

Se tienen dos alternativas A y B así:

Año Flujo A $ Flujo B $0 -1.000 -2.0001 300 7502 1.300 3.000

Si se está considerando la alternativa B, es porque se cuenta, por lomenos, con $2.000; por lo tanto, si se eligiera la alternativa A, los $1.000sobrantes se invertirían a la tasa de oportunidad, ya que un buen admi-nistrador financiero no dejaría esos fondos inmovilizados, sino que losinvertiría como excedente de efectivo. Bien, el VPN de unos fondos inverti-dos a una tasa de interés y descontados a la misma tasa de interés es cero.

2 En los temas administrativos y, en particular, los relacionados con contabili-dad y finanzas, es muy común la polisemia, esto es, el uso de un nombrepara varios conceptos. Para hacer claridad, prefiero usar el término flujo decaja de efectivo, aunque suene redundante, en aras de la claridad (véasecapítulo 6).


Año Flujo $0 -1.000n 1.000(1+i)n

VPN(i) = -1.000 + 1.000(1+i)n / (1+i)n = -1.000 + 1.000 = 0

Por lo tanto, cuando se calcula el VPN de A, en realidad se está ha-ciendo la siguiente operación:

VPNA(i) = -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i)2 -1.000 + 1.000(1+i)n/(1+i)n

= -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i)2 + 0

EJEMPLO 7

Sea la siguiente inversión: I0 = -1.000.000; I

1 = 900.000; I

2 = 800.000.

El VPN al 30% es:

VPN (30%) = -1.000.000 + 900.000/1,3 + 800.000/(1,3)2 = 165.680,5

El cálculo del VPN es muy fácil con calculadoras financieras o conhojas electrónicas como Excel, como se estudió en el capítulo 2.

Sugerencia: para mejorar la comprensión del concepto del VPN, es-tudie el ejercicio 2 de este capítulo.

3.7.1.1 REGLA DE DECISIÓN PARA EL VPN

En el ejemplo 1 y hasta el momento no se conoce de qué modo,usted, después de haber realizado los estudios, tomó la decisión deinstalar su firma. Si al calcular el VPN al 36% el resultado hubiera sidocero según lo visto arriba, ello significaría que sólo estaría recibiendo loque invirtió más lo que se ganaba al costo de oportunidad o lo que pagapor el dinero (el costo del dinero). Si el resultado hubiera sido negativo,significaría que el proyecto ni siquiera le devolvería el valor invertido enél más los intereses de la tasa de descuento (costo del dinero). Si elresultado fuera positivo, como en efecto lo fue, ello significa que elproyecto le devolverá su inversión sus intereses y una suma adicional.En este último caso, usted quedará en una situación económica mejorque la que tenía antes de emprender el proyecto.

De lo anterior se puede deducir fácilmente la regla de decisión parael método del valor presente neto, que es un modelo matemático y nor-mativo y, por lo tanto, indica qué decisión se debe tomar:

1. Si el VPN es mayor que cero, se debe aceptar2. Si el VPN es igual a cero, se debe ser indiferente3. Si el VPN es menor que cero, se debe rechazar

Las reglas anteriores se aplican cuando se trata de rechazar o acep-tar una alternativa. Si se desea ordenar alternativas o, entre un grupo


de ellas, escoger la mejor, la regla de decisión dice que se debe escogeraquella alternativa cuyo valor presente neto sea el mayor.

Como se puede observar, estas reglas de decisión, tanto de acepta-ción de alternativas como de selección y escogencia, son consistentescon los supuestos estudiados en el principio del capítulo 1.

3.7.1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL VPN

El VPN es una función de la tasa de interés. En el caso particulardonde las tasas de interés sean todas iguales a i durante la vida delproyecto o inversión, se tiene la gráfica que aparece en la gráfica 3.1.En ella se puede observar que una alternativa tiene VPN positivo paratodas las tasas de interés menores que i

r, igual a cero para la tasa de

interés igual a ir y valor negativo para tasas de interés mayores que i

r.

La tasa ir es la que hace el VPN = 0

GRÁFICA 3.1 Valor presente neto (VPN)

- 10.000

-5.000

0.000

5.000

10.000

15.000

0 20 40 60 80

Tasa de descuento i%

VPN

$

Si se presentan dos alternativas en forma gráfica, como en la grá-fica 3.2 se puede observar que el ordenamiento o preferencia entre lasalternativas depende de la tasa de interés utilizada para calcular elVPN. Obsérvese en esa gráfica que para i

l la alternativa A, se prefiere a

la alternativa B y para i2 la alternativa B, se prefiere a la alternativa A.

Para i* ambas alternativas tienen igual valor presente neto; por lotanto, la persona que toma la decisión debe ser indiferente entre lasdos. De aquí se concluye que no es necesario determinar con preci-sión el valor de la tasa de descuento, pues sólo debe saberse si ésta esmenor o mayor que i*.


GRÁFICA 3.2 VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes

-6.000

-4.000

-2.000 0.000

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 10 20 30 40 50 60 70


VPN

VPN A

VPN B

i*

i1 i2

Es posible encontrar casos en los cuales i* no exista y siempre seprefiera una alternativa a otra, independientemente de la tasa de inte-rés. A esta situación se la conoce como dominación.

GRÁFICA 3.3 Alternativas C y A, donde C domina a A.

-10.000

-5.000

0.000

5.000

10.000

15.000

20.000

0 20 40 60 80


VP

N

VPN A

VPN C

3.7.1.3 PARA RECORDAR

El VPN se puede explicar así: cuando se hace una inversión, se recibea lo largo de la vida de ésta, un flujo neto igual a la suma invertida yuna suma adicional. El VPN mide el remanente después de restar alflujo neto en valor actual, la inversión (o el préstamo que le hace lafirma al proyecto) y el interés (calculado a la tasa de descuento, la cuales el costo del dinero: el de la deuda y el de los accionistas) que debepagar el proyecto a la firma. Es decir, el VPN es el aumento de valor de lafirma después de haber realizado la alternativa escogida. Por lo tanto, amayor tasa de descuento, menor VPN.


Se pueden presentar, entonces, las siguientes situaciones:

1. Si el remanente es positivo, el VPN es positivo. Aquí se está añadiendovalor, y el proyecto debe aceptarse.

2. Si el remanente es negativo, el VPN es negativo. Aquí se está destru-yendo valor, y el proyecto debe rechazarse.

3. Cuando se tienen proyectos con VPN positivo, se debe escoger el quetenga mayor VPN. Este proyecto es el que crea más valor para lafirma. La mejor forma de garantizar que un gerente produzca valorpara la firma es escoger alternativas con VPN positivo.

3.7.2 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD (TIR)

Otro método que tiene en cuenta el cambio de valor del dinero en eltiempo es la tasa interna de rentabilidad. Este método es muy utiliza-do, y para el común de la gente es más fácil de visualizar de maneraintuitiva. La tasa interna de rentabilidad es una medida porcentual dela magnitud de los beneficios que le reporta un proyecto a un inversio-nista. Para entender este concepto conviene regresar al concepto deVPN. Se dijo arriba que el valor presente neto representa el valor rema-nente que recibía un inversionista sobre su inversión, después de quese ha descontado el interés de la tasa de descuento. Este cálculo serealiza fijando una tasa de interés, de modo que un VPN positivo a unadeterminada tasa de interés, indica que el inversionista recibe del pro-yecto su inversión un interés sobre su dinero y una cantidad adicional.Ese interés y la cantidad adicional que recibe el inversionista son latotalidad de los beneficios que le reporta el proyecto. De modo quecuando el VPN es igual a cero, la tasa de interés a la cual esto ocurre esuna medida de la totalidad de los beneficios que produce la inversiónmientras esos recursos se encuentran invertidos en ese proyecto. Aesta tasa de interés se le denomina tasa interna de rentabilidad (TIR).Esto se puede visualizar como la tasa de descuento de un decisor quehace que el VPN a esa tasa sea cero. En las gráficas 3.1 y 3.2 la TIR es latasa de interés donde la curva del VPN corta el eje de las abscisas.

Los ingresos de un proyecto se pueden descomponer en tres partes:

1. El valor de la inversión que debe devolver el proyecto.2. El valor de lo que ya se ganaba en su alternativa –el cual le permitió

definir el costo de oportunidad– o lo que paga la firma por habertenido que prestar el dinero.

3. El remanente.En este caso, la suma del remanente y del valor que ya se ganaba en

su alternativa, que le permitió definir el costo de oportunidad o lo quepaga la firma por haber tenido que prestar el dinero, es lo que produceel proyecto por encima de la suma invertida. Ese valor, calculado pormedio de una tasa de interés como un porcentaje –que hace que el VPN

sea igual a cero– es la TIR.


FIGURA 3.2 Flujo de caja (en relación con la TIR)

Se pueden presentar, entonces, las siguientes posibilidades:

1. Cuando el remanente es positivo, la TIR es mayor que la tasa dedescuento.

2. Cuando el remanente es cero, la TIR es igual a la tasa de descuento.3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero (el área de la mitad

de la figura) más el remanente es menor que los intereses de la tasade descuento, la TIR es menor que la tasa de descuento.La TIR se puede calcular, entonces, resolviendo la siguiente ecua-

ción:

( ) ( )0

11=

+−

+∑ ∑

j jj

j

j

j

i

E

i

I(3.5)

Esta ecuación se resuelve por prueba y error y con el uso de lastablas, si se desea trabajar a mano; pero en la práctica se usan calcu-ladoras financieras de bolsillo y hojas electrónicas que tienen progra-mas para resolver este tipo de ecuaciones y que instantáneamente hallanel valor de la TIR.

En Excel:

=TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) cuando se trata de calcular la tasa deinterés, a partir de una serie uniforme C o una suma futura F o lacombinación de ambas y una suma P.

=TIR(rango;i semilla) cuando se trata de un flujo no uniforme. Eneste caso hay que tener en cuenta, que el rango debe iniciarse conla celda correspondiente al instante 0 y terminar con la celda co-rrespondiente al período n. Esto es, debe incluir todos los flujos.

Remanente

Costo del dinero

(tasa de descuento:

costo de oportunidad

o costo de capital)

Inversión

Cuando se lleva alperíodo cero, es elVPN o la generaciónde valor

Es el interés quereconoce el proyectopor haber recibido elpréstamo de lainversión

Es la devoluciónque hace elproyecto deldinero recibidopara hacerla inversión

Expresadocomo unporcentajees la TIR

Fluj

o de

caj

a de

pro

yect

o


Para calcularla por prueba y error y a mano, se define el VPN a unatasa de interés determinada; si el VPN resulta ser positivo, se utiliza unatasa de interés mayor, hasta que el VPN sea igual a cero.

Si el primer cálculo indica que el VPN es negativo se utiliza una tasade interés menor, hasta encontrar un VPN igual a cero. Se puede aproxi-mar el valor interpolando linealmente entre dos tasas de interés que seencuentren suficientemente cercanas entre sí y que produzcan VPN designo contrario.

EJEMPLO 8

Se tiene una inversión con las siguientes características:

Co = -$1.000.000 I1 = $900.000 I

2 = $800.000

Como se dijo arriba, la TIR estará determinada por la tasa de interésque cumpla lo siguiente:

900.000/(1+i) + 800.000/(1+i)2 - 1.000.000 = 0

En el caso de Excel se utiliza la función TIR ya conocida; el programavalora esta expresión para diferentes valores de i y se detiene cuando elvalor de esa ecuación (el VPN en realidad) es muy pequeño.

Lo que hace la hoja de cálculo es lo siguiente, suponiendo que losdatos están ordenados así:

A B

1 Año Flujo $

2 0 -1.000.000

3 1 900.000

4 2 800.000

En este ejemplo =TIR (A2... B4, 30)=45,1249% el programa calcula elVPN a 30% y verifica si es mayor o menor que cero. Si es mayor que cero,lo recalcula utilizando una tasa de interés mayor y así sucesivamentehasta cuando el VPN sea negativo. En este caso lo vuelve a calcular conuna tasa de interés menor hasta cuando el VPN sea positivo otra vez.

Este proceso se repite hasta cuando el VPN encontrado en valor ab-soluto sea menor que un valor muy pequeño del orden de unacienmilésima o se hayan realizado unas treinta iteraciones; si en lastreinta iteraciones no encuentra el valor de i que determine el VPN sufi-cientemente pequeño, declara error.


La TIR del ejemplo 1, calculada con la hoja de cálculo, es 41,5425%.Conviene, además, hacer énfasis en dos hechos: primero, que la TIR

indica la rentabilidad del dinero mientras éste se encuentra invertidoen el proyecto, y segundo, que este método supone implícitamente quelos fondos liberados a lo largo de la vida del proyecto son reinvertidos ala TIR (obsérvese la diferencia de suposiciones con relación al VPN).

Esta suposición también puede ilustrarse con un ejemplo.

EJEMPLO 9

Si se tiene una inversión así:

Año Flujo $

0 -1.000

1 300

2 1.300

Para i = TIR el VPN de esta inversión será cero. Ahora bien, si sesupone que los fondos liberados por el proyecto se reinvierten a la tasar%, entonces el VPN será:

VPN(r,TIR) = -1.000 + 300(1+r) / (1+TIR)2 + 1.300 / (1+TIR)2.

Si r es mayor que la TIR, entonces el VPN(r, TIR) será mayor que cero, ysi r es menor la que TIR, el VPN(r, TIR) será negativo; por lo tanto, para queVPN(r, TIR)=0, r debe ser igual a TIR.

3.7.2.1 REGLA DE DECISIÓN PARA LA TIR

Igual que el VPN, la TIR es un modelo matemático y normativo quedice lo siguiente:

1. Si la TIR es mayor que la tasa de descuento, se debe aceptar.2. Si la TIR es igual a la tasa de descuento, se debe ser indiferente.3. Si la TIR es menor que la tasa de descuento, se debe rechazar.

Debe observarse que esta regla de decisión coincide con la del VPN

para aceptar o rechazar alternativas. Esto se puede ver con claridad enlas gráficas 3.1, 3.2 y 3.3.

Para el caso de la inversión en el negocio del centro comercial, comola TIR es 41,67% –lo cual es mayor que 36%–, se acepta la inversión. Enel segundo ejemplo la TIR es de 45,13% –lo cual es mayor que 30%–, porlo tanto, también se acepta la inversión. La TIR puede usarse para acep-tar o rechazar alternativas, pero no para seleccionarlas. Esto quieredecir que una alternativa con mayor TIR que otra no necesariamente esla mejor.


3.7.3 LA RELACIÓN BENEFICIO/COSTO (RB/C)

Existe otro método muy utilizado para analizar proyectos de inver-sión: la relación beneficio/costo. Este método también tiene en cuentael cambio del valor del dinero a través del tiempo. Este índice se definecomo la relación entre los beneficios y los costos o egresos de un pro-yecto.

Los beneficios se definen como el valor presente de los flujos netosde caja, cuando éstos son positivos. Así:

( )B

i

I

jj

jBVP =

+=∑

1 (3.6)

Los costos se definen como el valor presente de los flujos netos decaja, cuando éstos son negativos. Así:

( )C

i

E

jj

jCVP =

+=∑

1 (3.7)

Aquí conviene hacer la misma observación hecha anteriormente: seestá suponiendo el caso particular donde todas las tasas de descuentoson iguales y constantes a lo largo del proyecto.

EJEMPLO 10

Para el proyecto siguiente:

Año Flujo de caja libre $

0 -2.000

1 1.200

2 -1.800

3 2.900

4 1.700

Los beneficios al 10% son:

B = 1.200/(1,1) + 2.900/(1.1)3 + 1.700/(1,1)4 = 4.430,84

Los costos al 10% son:

C = 2.000 + 1.800 / (1,1)2= 3.487,60

La relación beneficio/costo, por lo tanto, es:

B/C = 4.430,84/3.487.60 = 1,27


3.7.3.1 REGLA DE DECISIÓN PARA LA RB/C

Un proyecto de inversión se justifica si la RB/C al i% es mayor que 1.Si se recuerdan los métodos anteriores, se tiene: con el VPN se aceptauna inversión cuando el VPN es mayor que cero, lo cual implica que losbeneficios son mayores que los costos; por lo tanto, la RB/C será mayorque uno; con la TIR se acepta un proyecto si ésta es mayor que la tasa dedescuento, lo cual implica que el VPN es mayor que cero y, a su vez, larelación beneficio/costo será mayor que uno. Esto significa que el pro-yecto del ejemplo se justifica al 10% porque la RB/C es mayor que uno.

Cuando la RB/C es igual a uno, el decisor debe ser indiferente ante elproyecto; si es menor que uno, el decisor deberá rechazar el proyecto.En resumen:

1. Si la relación beneficio/costo es mayor que 1, se debe aceptar.2. Si la RB/C es igual a 1, se debe ser indiferente.3. Si la relación beneficio/costo es menor que 1, se debe rechazar.

Éste también es un modelo matemático y normativo. Para evaluarla justificación de alternativas, ya sea para rechazarlas o aceptarlas, laRB/C coincide con los métodos anteriores.

3.7.4 CONTRADICCIONES ENTRE LOS MÉTODOS

A diferencia del VPN, la TIR es adecuada únicamente para determinarsi una alternativa es o no justificable; sólo sirve para aceptar o recha-zar alternativas. Al utilizar este método para ordenar alternativas demayor a menor TIR, se pueden presentar resultados que sean económi-camente inadecuados. O, lo que es lo mismo, llevarían al decisor aseleccionar una alternativa con VPN menor que el de otra.

En otras palabras, puede decirse que si la alternativa B tiene una TIR

mayor que la alternativa A, no se puede concluir que la alternativa B esmejor que la alternativa A. Todo depende de la tasa de interés que se fijeel decisor. Esta situación se puede ver claramente en la gráfica 3.2.

Como ya se ha sugerido, los métodos del VPN y de la TIR no son con-sistentes; en efecto, cuando se evalúan alternativas mutuamenteexcluyentes se pueden presentar contradicciones al pretender utilizarla máxima TIR para seleccionar la mejor alternativa. La contradicciónconsiste en que cuando se utiliza de manera incorrecta la TIR para se-leccionar alternativas, puede ocurrir que la seleccionada no presenteel máximo VPN y, por lo tanto, no sería la mejor. Estas contradiccionesocurren debido a las suposiciones diferentes de uno y otro método.Como esta utilización incorrecta del método de la TIR es factible y muycomún, se hace necesario llamar la atención sobre la posibilidad decontradicción y entender por qué ocurre.

En la gráfica 3.2, si se considera i1 como la tasa de descuento acepta-

ble, los dos métodos se contradicen, ya que la TIR de B es mayor que la deA, pero el VPN de la A, a la tasa de descuento i

1 es mayor que el de la B.

Esta situación se puede resumir así: si la tasa de interés aceptable seencuentra entre 0 e i*, los dos métodos producen resultados contradic-


torios; si la tasa de interés se encuentra entre i* e infinito producenresultados consistentes. Esto se presenta cuando se trata de escogerentre alternativas mutuamente excluyentes. Recuérdese que de todasmaneras se está haciendo uso inadecuado del método de la TIR, pues éstees adecuado para evaluar la justificación de alternativas.

Dado que aquí se está defendiendo el uso del método VPN, es necesa-rio explicar por qué se sugiere su uso. Por un lado, el método del VPN esconsistente con el supuesto de que una persona racional desea obtenermás de un bien deseable que menos de éste bien. Por el otro, si seexamina la razonabilidad de las diferentes suposiciones, se encuentralo siguiente: si el decisor ha seleccionado adecuadamente la tasa deinterés para cada período, es razonable suponer que cualquier dinerogenerado por el proyecto lo reinvierta, por lo menos, a la tasa de opor-tunidad del período en que se liberan los fondos; en el caso de la TIR, nose puede garantizar que existan oportunidades para que el inversionis-ta pueda invertir los fondos liberados del proyecto a la misma TIR. Re-cuérdese que la TIR es inherente al proyecto y depende exclusivamentede la forma y cantidad como se generan los beneficios. Otra restricciónnotable que tiene el método de la TIR es el hecho de que se puedenpresentar para un solo proyecto varias TIR.

Así como se ha propuesto el uso de la TIR para ordenar alternativas,también se ha sugerido el uso de la relación beneficio/costo para esepropósito. El uso es ordenar los proyectos en forma decreciente segúnla RB/C y seleccionar aquéllas con mayor valor de este índice.

Si se ha aceptado que el VPN es un método más adecuado para laselección de las alternativas, se puede presumir que si la relación be-neficio/costo no coincide en ciertos casos, con el VPN, entonces el méto-do no es adecuado para escoger entre alternativas.

Esta contradicción puede explicarse en términos de las suposicionesimplícitas en el índice RB/C. Esta relación supone implícitamente que losfondos liberados se reinvierten a la tasa de descuento, lo mismo que elVPN; sin embargo, no tiene en cuenta las diferencias entre las inversio-nes. De modo que sólo contiene una de las dos suposiciones del VPN.

A pesar de todo, se han desarrollado formas de eliminar las discre-pancias que ocurren cuando se trabaja con el caso particular de unatasa de interés constante durante toda la vida del proyecto. Una formade hacerlo es considerar los beneficios producidos por la inversiónincremental.

3.8 ALTERNATIVAS CON VIDAS DIFERENTES

La mayoría de los autores proponen que cuando se tengan proyec-tos con vidas diferentes se deben analizar con el método del costo anualequivalente, que consiste simplemente en convertir el VPN de cada alter-nativa en cuotas uniformes durante la vida de cada proyecto a la tasade descuento utilizada para calcular el VPN. Este método supone que losproyectos pueden repetirse en forma indefinida y que, además, se repi-ten los mismos beneficios y costos a lo largo de la alternativa que seestudia; esto también implica que las repeticiones futuras de las alter-nativas producen la misma rentabilidad. Por supuesto, no es conve-


niente hacer esta suposición, ya que no es razonable, pues nada garan-tiza que ello ocurra.

Ante situaciones de alternativas con vidas diferentes se debe proce-der así:

1. Verifique si las alternativas se pueden repetir en el futuro.2. Si se pueden repetir, verifique si al repetirlas se replican exacta-

mente los mismos costos y beneficios.3. Si se replican los mismos costos y beneficios en el futuro, tome la

decisión calculando el costo anual equivalente (CAE o también CAUE:costo anual uniforme equivalente) o la anualidad equivalente al VPN.Se calcula convirtiendo el VPN en un pago o cuota uniforme a lamisma tasa a la cual se calculó el VPN.

4. Si no se replican los mismos costos y beneficios y las alternativas sepueden repetir en el futuro, calcule los beneficios y costos futurosdurante un período igual al mínimo común múltiplo de todas lasalternativas que se analizan y calcule el VPN de cada una de ellas.

5. Si no se pueden repetir las alternativas en el futuro, calcule el VPN

para cada alternativa, aunque las vidas de cada una de ellas seandiferentes. La suposición implícita es que los fondos se reinviertenmás allá de la vida del proyecto a la tasa de descuento.

Otra forma de tratar este problema es calcular un valor de salvamentoo valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil para las alterna-tivas con vida más larga, al final del período de la alternativa de vida máscorta se aplica una reducción a la vida más larga. El caso alterno es exten-der la vida de las alternativas más cortas hasta el final de la vida de laalternativa más larga. El valor de salvamento (o valor de mercado) es elvalor comercial de la alternativa en determinado momento.

Para ilustrar lo expresado se presenta el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 11

Alternativa Inversión $ BeneficiosAnuales $

VidaEsperada

Valor final delproyecto $

A 10.000 13.500 1 año 0B 20.000 3.116 10 años 0

Capital disponible: $20.000La tasa interna de rentabilidad es:

TIRA = 35%

TIRB = 9%

Si la tasa de oportunidad es de 5%, ambas alternativas se justifican.El VPN de las dos alternativas al 5% es:

VPN (5%) = $2.857,14 para la alternativa AVPN (5%) = $4.060,93 para la alternativa B


Si se supone que no hay repetición, en este ejemplo el VPN indicaríaque la mejor alternativa es la B. Si se supone repetición sucesiva eidéntica de la inversión A durante 10 años, los VPN y los CAE de las dosalternativas serán:

VPN (5%) = $23.165,20 para la alternativa AVPN (5%) = $4.060,93 para la alternativa BCAE (5%) = $3.000,00 para la alternativa ACAE (5%) = $525,91 para la alternativa B

El CAE, que supone repetición idéntica, indicaría que la mejor es laA. El VPN de las sucesivas repeticiones de la alternativa A es mayor queel de B y, por lo tanto, se escogería la alternativa A.

Esto quiere decir que es fundamental definir con claridad si la in-versión es o no susceptible de repetirse en el futuro, pues los resulta-dos son totalmente diferentes.

3.9 EL PERÍODO DE REPAGO (PR)

Los métodos estudiados hasta aquí son aquellos que tienen en cuentael valor del dinero a través del tiempo. Estos métodos determinan lamejor alternativa dentro de un grupo. En la práctica se encuentra confrecuencia el uso de técnicas que no tienen en cuenta el valor del dine-ro a través del tiempo. Estas técnicas son muy criticadas en la literatu-ra, lo cual está justificado porque pueden conducir a decisionesequivocadas. Uno de estos métodos es el llamado período de repago(Payback Period o Payout Period, en inglés).

El período de repago es el tiempo necesario para que el inversionistarecupere la cantidad invertida. En el caso particular de una inversióncon unos beneficios constantes a lo largo de la vida del proyecto, elperíodo de repago se calcula así:

BeneficiosInversión

PR = (3.8)

EJEMPLO 12

Si se tienen tres alternativas A, B y C

t A $ B $ C $

0 -1.000 -2.500 -1.000

1 400 200 1.000

2 400 700 0

3 400 1.200 0

4 400 2.000 0

PR 2,5 3,2 1


El uso de este método establece que entre dos alternativas se prefiereaquella que tenga menor PR. Según esto, la alternativa C debe escogerse portener un PR menor; se puede ver claramente lo inadecuado de este método,ya que cualquiera de las otras alternativas es mejor que la seleccionada. Apesar de las fallas que pueda presentar este método, su uso generalizado noobedece a una irracionalidad por parte del decisor. En situaciones en lasque la economía es impredecible e inestable, y, por lo tanto, con altos nive-les de riesgo y de incertidumbre, el uso del PR es una forma de protegersecontra cambios inesperados en el comportamiento de la economía de unpaís. Obviamente, su uso implica aversión al riesgo. Así mismo, el PR corrigedistorsiones que el VPN presenta: por ejemplo, no es lo mismo un VPN de $50obtenido en un año que un VPN de $50 obtenido después de 15 años. Aun-que el VPN es igual en ambos casos, no son igualmente deseables. Si seacepta lo anterior, es conveniente complementar el uso del PR con métodosque no conduzcan a decisiones equivocadas. Para este fin se proponen lassiguientes formas heurísticas (véase capítulo 1) de utilizar el PR:

1. Un índice que tenga en cuenta el VPN y el período de repago. Esteíndice debe favorecer las alternativas con mayor VPN y menor PR:

VPN PR (3.9)

2. Calcular un PR que tenga en cuenta el cambio del valor del dinero através del tiempo (PRT). Con esto se garantizaría que el inversionistarecuperará la suma invertida más intereses. El cálculo de este índicese hace encontrando el número de períodos que se necesitan parahacer el VPN de la inversión igual a cero dada una tasa de interés. Aquíse llamará período de repago descontado y se ampliara en el capitulo 8.

( ) ( )0

11 00

=+

−+

= ∑∑==

N

tt

tN

tt

t

i

E

i

IquetalPRT (3.10)

3. Calcular un índice similar al punto 1, pero con PRT en lugar de PR.

PRTVPN

(3.11)

EJEMPLO 13

Para ilustrar lo anterior, considérese el grupo de alternativas A, B yC ya mencionadas. Si se utiliza una tasa de interés del 12%, se tienenlos siguientes valores:

AlternativaMétodoA B C

VPN(12%) $ 214,94 361,78 -107,14VPN/PR 86,00 113,06 -107,14PRT 3,15 3,72 N.C.VPN/PRT 68,23 97,25 N.C.


En este ejemplo todos los índices recomiendan la alternativa B, menosel PRT, que recomienda la A. Aquí se ve con claridad que los índices asímodificados garantizan que alternativas con VPN menores que cero que-darán descartadas. Estos índices no siempre conducen a la alternativaóptima del grupo considerado, aunque en el ejemplo mostrado dos deellos sí coinciden con la escogencia de la mejor alternativa.

Estos métodos que pueden conducir a alternativas no óptimas, aun-que satisfactorias, se justifican en los casos en que precisamente aldecisor sólo le interesa encontrar alternativas que no lo conduzcan asituaciones de pérdida, a la vez que asegura la recuperación de sucapital a muy corto plazo y evita así los riesgos inherentes a una econo-mía inestable e impredecible. Ochoa, (1987) al hacer 10.000 simulacio-nes de tres flujos utilizando diversas tasas de descuento, encontró losiguiente:

TABLA 3.1 Porcentaje de veces que se produce el mismo ordenamientoque el VPN.

Tasa de descuento utilizada

Método 10% 20% 30% 40%

PR 45,8 52,4 57,9 62,3

PRT 47,0 55,0 63,5 71,4

VPN/PR 61,8 69,4 76,9 81,6

VPN/PRT 62,4 70,5 78,9 84,4

TABLA 3.2 Porcentaje de veces que se escoge el mejor proyecto de acuer-do con el VPN

Tasa de descuento utilizada

Método 10% 20% 30% 40%

PR 65,5 70,2 73,9 77,0

PRT 66,3 72,1 77,7 82,1

VPN/PR 77,1 81,6 86,3 88,5

VPN/PRT 77,5 82,1 87,4 90,3

En estas tablas se puede observar que en la medida en que seinvolucra el proceso de descuento (cambio de valor del dinero en eltiempo), la frecuencia del ordenamiento tiende a mejorar con respectoal producido por el VPN. Asimismo, a medida que la tasa de descuentoaumenta, la frecuencia de este ordenamiento tiende a parecerse al delVPN, debido a que los flujos más lejanos pierden importancia y al intro-ducir métodos (PR y VPN/PRT) que en alguna forma desconocen lo quesucede más allá del valor obtenido por PR y PRT, los flujos más lejanos seconsideran, en cierta forma, inexistentes. A continuación se presentaun cuadro donde se indica la utilización correcta de cada uno de losmétodos.


CUADRO 3.1 Utilización correcta de cada método

Método Justificaciónde alternativas

Ordenamientode alternativas

Observaciones

1. VPN Adecuado Adecuado Analizar si los proyectos tienen vidas iguales ono. Verificar si se cumple el supuesto dereinversión a la tasa de descuento.

2. TIR Adecuado Inadecuado Sin sentido cuando se tienen varias tasas dedescuento en el proyecto. Se pueden presentarmúltiples tasas internas de rentabilidad. No tieneen cuenta la diferencia en la magnitud de lainversión.

3. Relación(B/C)

Adecuado Inadecuado No indica la rentabilidad del proyecto.

4. PR Inadecuado Inadecuado Puede conducir a escoger alternativas con VPNnegativo.

5. Período derepagomodificadoVPN/PR,PRT,VPN/PRT

Adecuado Inadecuado Se garantiza que no se eligen alternativas conVPN negativo. Pueden ser útiles en condicioneseconómicas impredecibles e inestables. Permiteromper empates entre VPN iguales o muy parecidos.No siempre se elige la mejor alternativa.

3.10 RACIONAMIENTO DE CAPITAL

El problema de asignación de recursos que se resuelve en este capí-tulo trata de asignar recursos insuficientes a proyectos que sonindivisibles; esto significa que se emprenden en su totalidad o no sellevan a cabo. Para estos casos, los métodos utilizados son la enumera-ción exhaustiva y la programación lineal entera binaria. Los algoritmospara resolver este tipo de problemas se encuentran en hojas de cálculocomo Excel.

3.10.1 SELECCIÓN DE PROYECTOS INDIVISIBLES

Diversos autores presentan el problema de indivisibilidad en la asig-nación de recursos con restricciones de capital como un problema deprogramación lineal entera. Aunque no es insoluble y existen progra-mas de computador para resolver este problema, esta técnica no esmuy conocida, y en la mayoría de las universidades no se consideracomo curso regular dentro de los programas; tal vez por ello la mayoríade los textos sobre evaluación de proyectos presentan el análisis deeste tipo de problemas en términos de enumeración exhaustiva, lo cuales sumamente dispendioso.

En el caso de proyectos indivisibles con escogencias excluyentesentre grupos de proyectos y con restricción de capital, antes de efec-tuar una enumeración exhaustiva o elaborar un programa matemáti-co, para su solución se debe hacer lo siguiente:

1. Determinar en cada grupo de proyectos excluyentes la mejor alter-nativa (máximo VPN).


2. Combinar los mejores proyectos del punto 1 más los proyectos inde-pendientes; si esta combinación es factible, entonces es la óptima;si no lo es, se debe realizar una enumeración exhaustiva o diseñarun programa para solución por programación entera.

EJEMPLO 14

El rector de una universidad ha recibido las siguientes propuestasde inversión de las diversas facultades y departamentos para ser aten-didas con el presupuesto del próximo año. Una condición impuesta porpolíticas trazadas por el Consejo Directivo indica que en este caso cadauna de las facultades o departamentos debe contar con un proyectorealizado. Las propuestas son las siguientes:

Facultad A: tres propuestas mutuamente excluyentes para mejorarun laboratorio:

Propuesta Inversión

(millones $)

Ahorro anual durante

cinco años (millones $)

A1 3,2 1,00

A2 4,0 2,00

A3 5,0 2,25

Facultad B: dos propuestas mutuamente excluyentes para remplazarinstalaciones en salones de clase:

Propuesta Inversión

(millones $)

Ahorro anual

durante cinco

años (millones $)

B1 4,5 1,8

B2 5,0 2,3

Departamento de Bienestar Estudiantil: dos propuestas mutuamenteexcluyentes para mejorar instalaciones deportivas con inversión y aho-rros durante 5 años así:

Propuesta Inversión (Millones$) Ahorro anual (Millones$)

C1 0,5 1,5C2 1,0 0,8

Suponiendo que la tasa de descuento es del 20% anual y que secuenta con un presupuesto de $11 millones, ¿cuál es el plan óptimo?

Lo primero que se debe hacer es calcular el valor presente neto decada grupo de alternativas y eliminar del análisis aquéllas que presen-ten un VPN negativo.


Alternativa VPN(20%) $ Alternativa VPN(20%) $ Alternativa VPN(20%) $A1 -0,2094 B1 0,8831 C1 3,9859A2 1,9812 B2 1,8784 C2 1,3925

A3 1,7289

En este caso se elimina la alternativa A1 por tener un VNP negativo.

Obsérvese que no se hace una selección previa dentro de cada grupo.Se examina la combinación de la mejor de cada grupo y se verifica sufactibilidad.

Esta combinación es A2, B

2 y C

1, la cual requiere una inversión de

$9,5 millones; por lo tanto, es factible y ésa sería la mejor solución. Siel presupuesto fuera de $9 millones, no sería factible y se debe proce-der a encontrar por enumeración exhaustiva la mejor combinación.Las combinaciones posibles son:

Combinación Monto $ Combinación Monto $A2B1C1 9 A2B1C2 9,5

A2B2C1 9,5 A2B2C2 10,0A3B1C1 10,0 A3B1C2 10,5A3B2C1 10,5 A3B2C2 11,0

La combinación factible con el presupuesto de $9 millones es A2B

1C

1con un VPN de $6,8502 millones. Obsérvese que cuando hay raciona-miento de capital no siempre quedan en la solución las mejores alter-nativas de los grupos mutuamente excluyentes.

3.10.2 UN MÉTODO SIMPLE PARA ESCOGER

PROYECTOS EN RACIONAMIENTO

Retomando los planteamientos del comienzo se puede ofrecer al lec-tor un método heurístico, otra vez, para seleccionar proyectos indepen-dientes e indivisibles, cuando sólo se invierte en el período inicial. Demanera intuitiva se puede pensar que ante una escasez de recursos, sedebe tratar de sacarle el jugo a los pocos recursos con que se cuenta;esto es, que se trataría de obtener la mayor cantidad de beneficio porunidad invertida. La decisión sobre el presupuesto de capital se puedehacer utilizando el siguiente método, que es un caso particular delmétodo de Senju y Toyoda (1968).

Este procedimiento indica que se deben ordenar las alternativas demenor a mayor y según el siguiente índice:

INVERSIÓNLADEVALORVPN

Al establecer el ordenamiento, elimine los proyectos, de menor amayor índice hasta encontrar un grupo de proyectos factible, esto es,que se pueda hacer. Si existe un sobrante, verifique si algún proyectorechazado se puede reinsertar.


EJEMPLO 15

Suponga que un inversionista tiene una restricción de capital de$90 millones y estudia la posibilidad de emprender cinco proyectos así:

Proyecto Millones $Inversión

Millones $VPN

1 51 27

2 8 17

3 35 40

4 18 15

5 36 10

Si se ordenaran por el VPN, el resultado sería:

Orden Proyecto VPN $ Capital $

I 3 40 35

II 1 27 51

III 2 17 8

IV 4 15 18

V 5 10 36

Si se ordenara por la relación propuesta, se tendría:

Orden Proyecto Índice VPN $ Capital $

I 5 0,28 10 36

II 1 0,53 27 51

III 4 0,83 15 18

IV 3 1,14 40 35

V 2 2,13 17 8

Con la disponibilidad de capital que se tiene, con el primer procedi-miento se seleccionarán los proyectos 3 y 1 con un VPN total de $67millones y quedarán $4 millones disponibles; con el método propuesto(correcto) se seleccionarán los proyectos 2, 3 y 4 para un VPN total de$72 millones y quedarán $29 millones disponibles. Con estos $29 mi-llones no se puede emprender ningún proyecto rechazado.

3.10.3 PROGRAMACIÓN LINEAL

Los algoritmos de programación lineal tratan de resolver problemasde optimización (maximización, minimización o lograr un determinadovalor), sujeto a ciertas restricciones. Como su nombre lo indica, lasrelaciones entre las variables son lineales. Como se trata de problemascon variables asociadas a actividades, servicios o bienes, una de las


restricciones que se imponen es la de que los valores deben ser nonegativos. Cuando se restringen las variables a valores enteros (0,1,2...),entonces se dice que se trata de un problema de programación linealentera. Si la restricción indica que, además de ser enteros, los valoresposibles deberán ser menores o iguales a 1, -esto es, que la actividad,bienes o servicios no pueden emprenderse más de una vez- entonces sedice que es un problema de programación lineal entera binaria; estosignifica que las variables no pueden tomar valores diferentes a 0 ó 1.En términos de un paquete de proyectos, significa que con valor 0 no sehace el proyecto, y con valor 1 sí se hace.

Asociado a cada una de las variables hay unos resultados beneficioso costos y unas utilizaciones de recursos. Los recursos son escasos ylimitados. La suma de los beneficios o costos combinados para todaslas variables es lo que se conoce como función objetivo; la suma de losconsumos de recursos combinados para todas las variables deberá serinferior a los recursos disponibles, y se constituyen, entonces, las res-tricciones. El problema radica en optimizar la función objetivo cum-pliendo, a la vez, ciertas restricciones.

∑=

=

=ni

iii xCOF

1

.. FUNCIÓN BJETIVO (3.12)

sujeto a

ilastodasparaxi 0≥ (RESTRICCIÓN) (3.13)

jlastodasparaBxb j

ni

iiij ≤∑

=

=1(RESTRICCIONES) (3.14)

donde las xi son las variables (bienes, actividades o servicios), las B

json los valores de los recursos que están limitados y las b

ij son los

consumos de cada variable xi de cada recurso B

j y la C

i son las ganan-

cias de cada actividad xi.

Si se trata de programación lineal entera, entonces se añade la restric-ción siguiente:

xi entero (3.15)

Si se trata de programación lineal entera binaria, se añade la res-tricción:

xi ≤ 1 (3.16)Algunas sugerencias adicionales para plantear este tipo de proble-

mas son las siguientes:


• Si se desea escoger entre dos alternativas mutuamente excluyentes,por ejemplo x

1 y x

2, entonces se debe escribir la siguiente restricción:

121 =+ xx (3.17)

• Si de esas alternativas puede hacerse una u otra o ninguna de ellas,se escribiría:

121 ≤+ xx (3.18)

• Si hay una alternativa que no se puede hacer si no se hace otra(contingentes o condicionales), por ejemplo x

1 se hace sólo si x

2 se

hace (x1 puede no hacerse, sólo que para poderse emprender, x

2debe emprenderse), se escribe:

21 xx ≤ (3.19)

• Si hay una alternativa que debe hacerse si se hace otra y ningunase puede hacer aislada; por ejemplo, x

1 debe hacerse si y sólo si se

hace x2, entonces:

21 xx = (3.20)

Para resolver estos problemas se puede utilizar la opción Herramien-tas del menú de Excel, y en ese menú desplegado se debe escoger Solver.

Esta estrategia se puede aplicar para resolver problemas de selec-ción de proyectos independientes e indivisibles cuando hay raciona-miento de capital. Antes de utilizar este procedimiento se recomiendaexaminar el problema para eliminar proyectos que claramente no seanfactibles. Lo mejor es presentar algunos ejemplos.

Aplicando el procedimiento explicado arriba, a un ejemplo presentadopor Lorie y Savage (1955), se tiene lo siguiente.

EJEMPLO 16

Se tiene un grupo de 9 proyectos que implican inversiones en dosperíodos y a cada proyecto, además, se le ha calculado el VPN. Por otrolado, se cuenta con un presupuesto de $50 para el primer año y de $20para el segundo. La pregunta es qué proyectos deben escogerse demanera que se maximice el VPN combinado.


Capital requerido

Proyecto Período I $ Período II $ VPN $

P1 12 3 14

P2 54 7 17

P3 6 6 17

P4 6 2 15

P5 30 35 40

P6 6 6 12

P7 48 4 14

P8 36 3 10

P9 18 3 12

Total 216 69

Presupuesto 50 20

Faltante 166 49

En este problema se pueden eliminar, por inspección, los proyectos5 y 2, puesto que no son factibles. También el 7 y el 8, al analizar lo quesobraría si se emprendiera alguno de ellos. Por lo tanto, el total y faltantese modifican así:

Período I II

Total $ 48 20

Faltante $ -2 0

Al eliminar los proyectos 5, 2, 7 y 8, queda un grupo factible; así, noes necesario trabajar el algoritmo de programación lineal entera binaria.El paquete óptimo es P

1, P

3, P

4, P

6 y P

9, para un total de $70.

Si se modifica el ejemplo de Lorie y Savage, se puede ilustrar mejor elplanteamiento del problema. Obsérvese el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 17

Se tiene un grupo de 9 proyectos que implican inversiones en dosperíodos y a cada proyecto, además, se le ha calculado el VPN. Por otrolado, se cuenta con un presupuesto de $50 para el primer año y de $20para el segundo. La pregunta es qué proyectos deben escogerse demanera que se maximice el VPN combinado.

Proyecto

Capital

Requerido $

I II

VPN $

P1 12 3 14

P2 42 7 17

P3 6 6 17

P4 6 2 15

P5 11 13 34

P6 6 6 12

P7 40 4 14

P8 36 3 10

P9 18 3 12

Total 177 47

Presupuesto 50 20

Faltante 127 27


Por inspección se pueden eliminar los proyectos 2, 7 y 8. Esto modi-fica las cifras así:

Proyecto

Capital

Requerido $

I II

VPN $

P1 12 3 14

P3 6 6 17

P4 6 2 15

P5 11 13 34

P6 6 6 12

P9 18 3 12

Total 177 47

Presupuesto 50 20

Faltante 127 27

Función objetivo maximizar: 14P1+17P

3+15P

4+34P

5+12P

6+12P

9Las restricciones son:

Pi ≤ 1

Pi ≥ 0

Pi entero para todos los proyectos.

12P1+6P

3+6P

4+11P

5+6P

6+18P

9 ≤ 50

3P1+6P

3+2P

4+13P

5+6P

6+3P

9 ≥ 20

La solución incluye los proyectos P1, P

3, P

4, P

6 y P

9 con un VPN de $70.

A través de estos ejemplos se puede observar que seleccionar aque-llos proyectos que más contribuyen a las ganancias por unidad invertidaes el método adecuado cuando existe racionamiento de capital. Obsérve-se que no se maximiza el VPN ordenando los proyectos por el VPN.

3.11 RESUMEN

Se han presentado diversos métodos para la evaluación y ordena-miento de alternativas: el valor presente neto (VPN), la tasa interna derentabilidad (TIR) y la relación beneficio costo (RB/C); se ha visto quealgunos, la TIR y la RB/C, pueden ser utilizados para la justificación dealternativas, pero no para su ordenamiento. También se estudió el pe-ríodo de repago (PR) y se propusieron modificaciones que permiten me-jorar el desempeño de este indicador.

Se analizó también el caso de alternativas con vidas diferentes y sepropuso una metodología de análisis.

Se ha analizado el problema de racionamiento de capital y se hanexaminado dos métodos de solución: enumeración exhaustiva y pro-gramación lineal. Lo más importante fue la presentación de los proce-dimientos que permiten resolver problemas bajo condiciones de escasezde recursos y con características de indivisibilidad. También se propo-ne una regla sencilla para la selección de proyectos con un solo períodode inversión, que consiste en dividir el VPN por la inversión requerida yhacer la relación basándose en ese índice.


3.12 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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BEIDLEMAN, C. R., “Discounted Cash Flow Reinvestment RateAssumptions”, The Engineering Economist, Vol. 29, No. 2, p.127-137, 1984.

CANADA, J. R. y WHITE, JR., J. A. Capital Investment Decision Analysis forManagement and Engineering, Prentice Hall, Englewood Cliffs,N. J., 1980.

FLEISCHER, G. A. “Two Major Issues Asociated with the Rate Return Methodfor Capital Allocation: The Ranking Error and PreliminarySelection”, The Journal of Industrial Engineering, Vol. XVII, No.4, abril, p. 202-208, 1966.

GRANT, E. L. y IRESON, W. G, Principles of Engineering Economy. 4 ed.,The Ronald Press, Nueva York, 1960.

OAKFORD, R. V., BAIMJEE, S. A. y JUCKER, J. V., “The Internal Rate ofReturn the Pseudo-Internal Rate of Return and NPV and theirUse in Financial Decision Making”, The Engineering Economist.Vol. 22, No. 3, p. 187-202, 1977.

OCHOA, L. F., Dos casos sobre Evaluación de Proyectos, Monografía deInvestigación, Magister en Administración, Universidad de losAndes, julio, 38 p., 1987.

SENJU, S. y TOYODA, Y., “An approach to lineal programming eith 0-1variables”, Management Science, Vol. 15, No. 4, p. 196-207,1968.

SHULL, DAVID M., “Efficient Capital Project Selection Through a Yield-Based Capital Budgeting Technique”, The EngineeringEconomist, Vol. 38, No. 1, Fall, p. 1-18, 1992.

VAN HORNE, JAMES C., Financial Management and Policy, 11 ed., PrenticeHall, Englewood Cliffs, 1995.

VÉLEZ, IGNACIO, Evaluación financiera de proyectos de inversión,Superintendencia de Subsidio Familiar, Bogotá, 1994.


3.13 EJERCICIOS DE AUTOCORRECCIÓN

1. Considérense las siguientes alternativas mutuamente excluyentes:

Período Alternativas $

1 2 3 4

0 - 1.000 - 3.000 - 2.500 - 1.000

1 400 0 200 0

2 400 400 700 0

3 400 1.600 1.200 0

4 400 2.900 2.000 1.800

Calcule el VPN, la relación B/C, el VPN/PR, VPN/PRT a la tasa de 12% porperíodo. También calcule la TIR. Ordene las alternativas según cadauno de los criterios.

2. Se han recibido las siguientes propuestas de inversión para ser aten-didas con el presupuesto del próximo año. Una condición impuesta indicaque en este caso cada una de las unidades debe realizar un proyecto. Laspropuestas son las siguientes:

Facultad A: dos propuestas mutuamente excluyentes para mejorarun laboratorio.

Propuesta Inversión (millones $) Ahorro anual por

cinco años (millones $)

A1 3,68 1,15

A2 4,60 2,30

Facultad B: dos propuestas mutuamente excluyentes para reem-plazar instalaciones en salones de clase.

Propuesta Inversión (millones $) Ahorro anual por cinco años

(millones $)

B1 5,18 2,07

B2 5,75 2,65

Departamento de Bienestar Estudiantil: una propuesta para mejo-rar instalaciones de cafetería:

Propuesta Inversión (millones $) Ahorro anual

Por cinco años

(millones $)

C1 0,58 1,73

Suponiendo que la tasa de descuento es del 20% anual y que secuenta con un presupuesto de $15 millones, las directivas le han pedi-do su asesoría y le preguntan cuál es el plan óptimo de inversión.


3.14 SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE AUTOCORRECCIÓN

Nota: aquí se utiliza un método manual sólo para ilustrar el procesode solución. Se supone que el lector utiliza el computador o una calcu-ladora financiera.

Período Alternativas $

1 2 3 4

0 - 1.000 - 3.000 - 2.500 - 1.000

1 400 0 200 0

2 400 400 700 0

3 400 1.600 1.200 0

4 400 2.900 2.000 1.800

En la solución de este ejercicio se utilizará la siguiente notaciónpara representar cada factor:

factor(C-> P,n,i%) convierte una cuota uniforme de un peso desde 1hasta n en una suma presente P en 0, a la tasa i%.

factor(F->P,n,i%) convierte una suma futura de un peso en n en unasuma presente P en 0, a la tasa i%.

CÁLCULO DEL VPN

VPN1(12%)= -1.000 + 400 x factor (C àP,4,12%) = 214,94

VPN2(12%)=-3.000+400 x factor (FàP,2,12% )+1,600 x factor(F à P,3,12%) + 2.900 x factor (F àP,4,12%) = 300,73

VPN3(12% )= -2.500 + 200 factor (FàP,1,12% ) + 700 x factor(FàP,2,12% )+ 1.200 x factor (FàP,3,12% ) + 2.000 x factor(F à P,4,12%) = 361,78

VPN4(12%) = -1.000 + 1.800 x factor (Fà P,4,12% ) = 143,93= VNA(0,12;RANGO (t=1 a t=4), para cada alternativa

CÁLCULO DE LA TIR

VPN1(20%) = -1.000 + 400 x factor (C à P,4,20%) = 35,49

VPN1(22%) = -1.000 + 400 x factor (C à P,4,22%) = -2,54

Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 21,86%.

VPN2 (15%)= -3.000 + 400 x factor (FàP,2,15%)+1.600 x factor(F à P,3,15%) + 2.900 x factor (F à P,4,15%) = 12,57

VPN2 (16%)= -3.000+400 x factor (FàP,2,16%)+ 1.600 x factor(F à P,3,16%) + 2.900 x factor (F à P,4,16%) = -76.04

Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 15,14%.

VPN3(16% )=-2.500 + 200 x factor (FàP,1,16%)+700 x factor(F à P,2,16%) + 1.200 x factor (F à P,3,16%)+ 2.000 x factor(F à P,4,16%) = 66


VPN3(17%)= -2.500 + 200 x factor (FàP,1.17%)+700 x factor (F àP,2,17%) + 1.200 x factor(F à P,3,17%)+ 2.000 x factor(F à P,4,17%)=-1,16

Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente16,98%.

VPN4(15%) = -1.000 + 1.800 x factor(F à P,4,15%) = 29,16

VPN4 (16%) = -1.000 + 1.800 x factor(F à P,4,16%) = -5,8888

Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente15,83%.

=TIR(RANGO(t=1 a t=4), para cada alternativa.

CÁLCULO DE LA RELACIÓN BENEFICIO/COSTO

De los cálculos del VPN se puede deducir lo siguiente:

VPB1(12%) $ 1.214,94

VPC1(12%) $ 1.000

RB/C1(12%) 1.215

VPB2(12%) $ 3.300,73

VPC2(12%) $ 3.000

RB/C2(12%) 1,10

VPB3(12%) $ 2.861,78

VPC3(12%) $ 2.500

RB/C3(12%) 1,145

VPB4(12%) $ 1.143,93

VPC4(12%) $ 1.000

RB/C4(12%) 1.144

CÁLCULO DEL PERÍODO DE REPAGO (PR)

PR1 = 1.000/400= 2,5

PR2 = 3 + 1.000/2.900 = 3,34

PR3 = 3 + 400/2.000 = 3,2

PR4= 3 + 1.000/1.800 = 3,56

CÁLCULO DE VPN/PR

VPN1/PR

1 = 214,94/2,5 = 86

VPN2/PR

2 = 300,73/3,34 = 89,91

VPN3/PR

3 = 361,78/3,2 = 113,05

VPN4/PR

4 = 143,93/3.56 = 40,43

CÁLCULO DEL PRT

Se indicará el VPN a una tasa de descuento y por n períodos así:


VPNj(i%,n)

VPN1 (12%,3) = -39,27

VPN1 (12%,4) = 214,94

PRT1= 3+39,27/400 x factor (FàP,4,12%)=3+39,27/254,21 = 3,15

VPN2(12%,3) = -1.542,27

VPN2 (12%,4) = 300,73

PRT2 = 3 + 1.542,27/2.900 x factor(F à P,4,12%) = 3 + 1.542,27/1.843 = 3,84

VPN3 (12%,3) = -909,26

VPN3 (12%,4) = 361,78

PRT3 = 3+909,26/2.000 x factor(FàP,4,12%) = 3+ 909,26/1.271,04 = 3,72

VPN4 (12%,3) = -1.000

VPN4 (12%,4) = 143,93

PRT4 =3+1.000/800 x factor (FàP,4,12%) = 3 + 1.000/1.143,93 = 3,87

CÁLCULO DEL VPN/PRT

VPN1/PRT1 = 214,94/3,15 = 68,14VPN2/PRT2 = 300,73/3,84 = 78,38VPN3/PRT3 = 361,78/3,72 = 97,25

VPN4/PRT4 = 143,93/3,87 = 37,19

1 2 3 4

VPN al 12% $ 214,94 300,73 361,78 143,93

Rentabilidad Interna TIR 21,86% 15,14% 16,98% 15,83%

Relación B/C al 12% 1,22 1,1 1,15 1,14

Período de repago (PR) 2,50 3,34 3,20 3,56

VPN/PR 86,00 89,91 113,05 40,43

PRT 3,15 3,84 3,72 3,87

VPN/PRT 68,14 78,38 97,25 37,19

Todas son justificables si la tasa de descuento es 12%:

Orden VPN B/C TIR PR VPN/PR PRT VPN/PRT

I 3 1 1 1 3 1 3

II 2 3 3 3 2 3 2

III 1 4 4 2 1 2 1

IV 4 2 2 4 4 4 4

2. Lo primero que se debe hacer es calcular el VPN de cada grupo dealternativas y eliminar del análisis aquéllas que presenten un VPN ne-gativo.


Alternativa VPN(20%)(en millones

de pesos)

A1 -0,24A2 2,28B1 1,01B2 2,18C1 4,59

En este caso se elimina la alternativa A1 por tener un VPN negativo.

Se examina la combinación de la mejor de cada grupo y se verifica sufactibilidad. Esta combinación es A

2, B

2 y C

1, la cual requiere una in-

versión de $10,93 millones con un VPN de 9,05; por lo tanto, es factibley ésa sería la mejor solución. Si el presupuesto fuera de $10,75 millo-nes, no sería factible y se debe proceder a encontrar por enumeraciónexhaustiva la mejor combinación.

Las combinaciones posibles son:

Combinación Monto $A2B1C1 10,36A2B2C1 10,93

La combinación factible con el presupuesto de $10,75 millones esA

2B

1C

1 con un VPN de $7,88 millones. Obsérvese que cuando hay racio-

namiento de capital no siempre quedan en la solución las mejores al-ternativas de los grupos mutuamente excluyentes.

3.15 EJERCICIOS

1. Explique por qué el VPN positivo de una inversión indica que ella esaconsejable.

2. Llene los espacios en blanco en el texto presentado a continuación,indicando y ejecutando las operaciones necesarias.Para ilustrar el significado del cálculo del VPN de una inversión cuandoésta se financia pidiendo prestado, considere un proyecto de inver-sión que requiere un desembolso inicial de $10.000 y ofrece retor-nos (beneficios netos) de $5.000 al año por tres años.El valor presente de los retornos, ingresos o beneficios netos al 6%de interés anual es:

De modo que el valor presente neto del proyecto de inversión es:


El valor de los retornos esperados de la inversión de $10.000 es sufi-ciente para pagar la amortización y el interés de un préstamo hasta de:

Este préstamo es pactado a una tasa de interés del 6% pagadero entres cuotas anuales de $5.000 cada una. Un modo de interpretar elsignificado del valor presente neto del proyecto consiste en ver queuna firma podría obtener un préstamo de

al 6%, gastar $10.000 de ese préstamo en la inversión, e inmediata-mente distribuir el resto como ingreso para los dueños.Los beneficios netos de $5.000/año, por tres años, de la inversión delos $10.000 exactamente repagarían el préstamo al fin del tercer año.

3. ¿Qué es la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) de una inversión? ¿Enqué tipo de decisiones es adecuado usar el criterio de TIR y por qué?

4. ¿Cuándo coinciden los criterios de ordenamiento por TIR y VPN?5. La Compañía Minera S.A. invirtió $200 millones hace tres años en

un equipo para explotar un filón en la selva, el cual se agotó ya sinproducir casi nada. El equipo se deprecia linealmente en veinte años,por lo cual vale hoy en libros $170 millones, los cuales se cargaráncomo pérdidas a los ingresos de los próximos años, a razón de $10millones por año. Ese equipo se puede vender hoy como chatarraen $20 millones.Los geólogos han descubierto un nuevo filón más profundo en elmismo sitio, el cual requerirá una inversión adicional de $50 millo-nes para explotarlo, pero produciría beneficios por $140 millones envalor presente (actualizado) y neto de los gastos de explotación ydistribución. Usted es uno de los miembros de la junta directiva antela cual se presenta el tesorero de la firma a pelear contra la estupidezde explotar el nuevo filón. ‘‘Ya se han perdido $170 millones allá yvamos a invertir $50 millones más, para lograr beneficios por $140millones que no compensan los $220 millones que hay que repagar,más bien vendamos la chatarra y rescatemos $20 millones de lo per-dido’’. A la intervención del tesorero sigue la del gerente, quien re-nuncia a su cargo para retirarse de la firma y ofrecer $50 millonespor los derechos de explotación y el equipo actual de la mina.


¿Qué piensa usted de las dos intervenciones, y qué haría en tal si-tuación?

6. Homero Cerquillo vende enciclopedias de la Editora Amazona y re-cibe una comisión por cada enciclopedia que vende. La comisión esde $6.000 por enciclopedia. Cerquillo ha estado tratando de vendera Olaf Tartán una enciclopedia y ha gastado $5.000 en atenciones aTartán, sin que hasta el momento se haya realizado la venta. Tartán,quien no tiene influencia ni contacto con otros clientes de Cerqui-llo, le dice que le comprará la enciclopedia si él le compra un relojpor $2.500.6.1 ¿Debe Homero aceptar la propuesta? Justifique la respuesta.6.2 ¿Cuál sería el máximo precio que Homero podría pagar a Olaf

por el reloj?7. Una universidad tiene un fondo de inversiones para aumentar su

patrimonio, y está considerando las dos propuestas de inversióndescritas a continuación:7.1 Comprar un equipo de reproducción en $5.000.000 ahora,

operarlo por cinco años y venderlo al final en $4.000.000. Elingreso anual producido por la operación se supone constan-te e igual a $750.000/año una vez deducidos los costos deoperación.

7.2 Comprar un lote en $5.000.000 y venderlo al cabo de cincoaños en $9.500.000.

Determine una regla de decisión dependiente de la tasa de des-cuento i% para encontrar en cuál de las posibles oportunidades deinversión la universidad debe colocar los $5.000.000 de que dispo-ne ahora. Describa cómo cambia esa decisión a medida que aumen-ta la tasa de descuento. ¿Cuál sería su decisión?

8. Un campesino compró un equipo de recolección de papas en$190.000 hace dos años. Debido a que ese era un equipo descono-cido para él, siguió las recomendaciones del vendedor: los costos deoperación le subieron a $70.000/año. Estos costos serían menoressi hubiera comprado un equipo más adecuado. Al comenzar la nue-va cosecha, un vendedor le ofreció un nuevo equipo que le costaba$165.000 y, además, le garantizaba que los costos de operaciónserían de $30.000/año. El campesino podría vender la cosechadoravieja por $37.500, ya que ése era su valor real.Suponga que para efectos de este estudio el valor de salvamento –ovalor de mercado de la alternativa al final de la vida útil– es despre-ciable para ambas cosechadoras de papa y que el período de estu-dio es de 10 años. El costo de oportunidad (tasa de descuento) es de30% anual.¿Qué le recomendaría usted al campesino?

9. Hace dos años una universidad compró un automóvil en $1.000.000.De acuerdo con la última declaración de renta, el carro aparece conun valor de $700.000 pero se sabe que no puede venderse en másde $1.200.000.


Se quiere considerar la posibilidad de continuar usando ese vehícu-lo durante 3 años más, o de comprar un automóvil nuevo y tenerlopor 3 años. Si continúa utilizando el vehículo actual tendrá quehacerle inmediatamente reparaciones por $260.000 y podrá ven-derlo al final de 3 años en $1.300.000. El carro nuevo vale ahora$1.700.000 y al cabo de 3 años se podría vender en $1.900.000. Loscostos anuales de operación y mantenimiento son de $120.000 parael carro actual y de $100.000 para el nuevo modelo. Si se consideraque las inversiones de capital de la universidad deben producir porlo menos un 20% anual, sin contar impuestos, ¿cuál será su deci-sión? ¿cuál sería el costo de oportunidad del capital para el cualdaría lo mismo un automóvil que el otro? ¿qué otras consideracio-nes cree usted que serían pertinentes para tomar esta decisión?

10. Los bonos son promesas de pago de una cierta suma de dinero enuna fecha en el futuro y del pago de intereses cada cierto período.Considere el caso de un bono de $1.000 emitido el 1 de enero de1987 para ser pagado el 1 de enero del 2002 con intereses de $125semestrales. Si a usted le ofrecen ese bono el 1 de enero de 1989.¿Hasta cuánto estaría dispuesto a pagar sabiendo que tiene alter-nativas de inversión de igual riesgo que le producen el 30% anual?

11. Este problema se presentó en un país en vía de desarrollo donde sehabían comenzado varios proyectos hidráulicos de dudosos méritoseconómicos y donde la obtención de crédito era, para entonces, muydifícil.Se había solicitado, sin embargo, un préstamo al Banco Mundialpara terminar un proyecto específico de irrigación. Los aspectosfinancieros del proyecto eran los siguientes: entre 1960 y 1965 sehabían construido dos grandes represas, tres represas pequeñas y100 kilómetros de canales para riego con un costo total para 1965de $50 millones.Para poder terminar las estructuras del sistema de riego, incluyen-do los canales secundarios, acueductos, vertederos, presas de con-trol, compuertas de salida y acequias de abastecimiento para cadafinca, se requería un desembolso adicional de $20 millones entre1965 y 1970, calculado en pesos de 1970.Se solicitó al Banco Mundial un préstamo por esa suma. Un equipode expertos estudió este proyecto y calculó que el costo de opera-ción y mantenimiento, comenzando en 1970, sería de un millón poraño, y los beneficios directos del proyecto –mayores ingresos de lasfincas menos costos– llegarían a sumar $3 millones por año duran-te los primeros cinco años y $5 millones por año de ahí en adelante.Si se supone una tasa de descuento del 8% y una vida útil delproyecto de 50 años, el problema consiste en decidir si se justifica-ba económicamente, basándose en los beneficios directos, concederel préstamo solicitado por $20 millones.

12.Dibuje una gráfica del VPN de cada uno de los siguientes flujos decaja libre como función de la tasa de descuento que varía entre 0%y 30%, en pasos de 5%.


12.1 Un desembolso inmediato de $6.000 seguido de un ingreso de$10.000 dentro de 5 años.

12.2 Un desembolso inmediato de $6.000 seguido de una serie deingresos de 1.000/año durante diez años.

12.3 Un desembolso inmediato de $5.000, seguido por una serie deingresos de 1.000/año durante quince años, luego una seriede egresos de $1.000/año por otros quince años. Base sudibujo en valores calculados para 0%, 4%, 8%, 12%, 16%,20%, 24%, 28% y 30%.

13.Calcule la tasa interna de rentabilidad de las siguientes alternativas.13.1 Un desembolso de $1.000 ahora y otro de $1.000 dentro de

seis años con ingresos anuales de $200 durante los ocho añossiguientes.

13.2 Un desembolso de $1.000 por cuatro años a partir de hoy,seguido de una serie de ingresos que comienza dentro de seisaños con $2.000 y crece cada año en $200, hasta el final delaño doce.

14.Una revista mensual ofrece tres tipos de suscripción pagadas poradelantado:

Plan Valor $1 año 45.0002 años 75.000

De por vida 50.000

14.1 Al comparar la suscripción por un año con la de dos años,¿cuál es la rentabilidad de la inversión adicional en esta últi-ma?

14.2 Alguien cree que se debe suscribir de por vida y quiere compa-rar esta alternativa con la posibilidad de suscribirse cada dosaños. Según una tabla estándar de mortalidad, él espera vivirotros treinta años. Si toma la suscripción vitalicia y vive exac-tamente treinta años más; ¿cuál sería la rentabilidad de lainversión extra en tal suscripción? Suponga que no hay au-mento de precios.

15.Un proyecto cuesta $10.000 y promete los siguientes beneficios netosal final de cada período: $5.000, $4.000, $3.000 y $2.000. Si la tasade descuento es de 10%, ¿se debe aceptar este proyecto? ¿Cuál esla tasa interna de rentabilidad? ¿Cuál es el VPN al 10%? ¿Coincidenambos criterios?, ¿por qué?

16. Un equipo cuesta $6.000 y tiene una vida esperada de 6 años convalor de mercado o de salvamento (o valor de mercado de la alterna-tiva al final de la vida útil) nulo. Los gastos de impuestos, seguros,mantenimiento, combustible y lubricantes se calculan en $1.500 elprimer año, $1.700 el segundo, $1.900 el tercero y continúan cre-ciendo $200 cada año. ¿Cuál es el costo anual equivalente (CAE) si latasa de descuento es del 30% anual? ¿Qué supuestos se hacencuando se calcula el CAE?

17. Acepte o rechace las siguientes propuestas de inversión utilizando losmétodos de TIR y de VPN. Suponga una tasa de descuento del 10%.


Período

Alternativa 0 1 2

A $ -10.000 2.000 15.000

B $ -10.000 10.500

C $ -10.000 18.000

18. Hay dos proyectos A y B; la función del VPN de cada uno de losproyectos está dada en la gráfica que aparece al final del ejercicio.18.1 Indique en la figura: a) La tasa interna rentabilidad de A. b)

La tasa interna rentabilidad de B.18.2 Si la tasa de descuento es i

1%, ¿cuál proyecto es mejor? si la

tasa de descuento es i2 %, ¿cuál proyecto es mejor?

18.3 ¿Entre qué valores de i los ordenamientos por rentabilidadinterna coinciden con el ordenamiento por valor presente neto?

18.4 ¿Qué se supone, inplícitamente, respecto a la reinversión delos fondos, cuando se toman las decisiones basándose en elcriterio del VPN?

i1VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes

-6.000

-4.000

-2.000

0.000

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 10 20 30 40 50 60 70


VPN VPN A

VPN B

i*

i1i2

19. Considere los proyectos descritos a continuación.

Flujo de caja libre $Período

Proyecto C Proyecto D Proyecto E

0 -1.000 +1.000 -1.600

1 +1.100 -500 +10.000

2 -180 +660 -10.000

3 +840 -1.800 0

¿Cuál es el VPN al 0%? ¿Cuál es el VPN para una tasa infinita dedescuento? ¿Cuál es la TIR de cada proyecto? ¿Cuál es el mejor pro-yecto a la tasa de descuento de 30%? ¿Podría usted ordenar esosproyectos por su TIR?


20. ¿Cuál es el VPN al 10% de los siguientes flujos de caja libre. Ordéne-los según el resultado obtenido.

PeríodoAlternativa0 1 2 3 4 5

A $ -1.000 100 100 100 100 100B $ -1.000 264 264 264 264 264C $ -1.000 1.762

Calcule la TIR de cada flujo.21. Un inversionista es socio en diferentes negocios pequeños. Su prác-

tica es suministrar un 50% del capital para nuevos negocios, po-tencialmente promisorios, a cambio de un 50% de las utilidades.Uno de sus socios le ha propuesto que invierta capital adicional enla planta para reducir los gastos, según 5 proyectos, mutuamenteexcluyentes y con una vida calculada en 10 años. Todas las inver-siones tienen un valor de salvamento –o valor de mercado de laalternativa al final de la vida útil– de cero al cabo de los 10 años.

Propuesta A Propuesta B Propuesta C Propuesta D Propuesta EInversiónrequerida $

30.000 50.000 70.000 100.000 140.000

Economíasanuales $

12.000 14.000 20.000 34.000 58.000

Si el inversionista requiere de su participación una rentabilidadmínima del 30% sobre su inversión, ¿cuál de las propuestas debeescoger?

22.Las propuestas de inversión A, B y C son excluyentes. Suponiendouna tasa de descuento de 30% anual, ¿Qué decisión se debe tomarpara cada una de ellas?

Alternativa Período0 1 2

A $ -10.000 2.000 12.000B $ -10.000 13.500C $ -10.000 14.000

23.Suponga que existen tres inversiones mutuamente excluyentes A,B y C. La tasa de descuento es de 18% anual.

PeríodoAlternativa0 1 2 3 TIR

A $ -1.000 505 505 505 24%B $ -10.000 2.000 2.000 12.000 20%C $ -11.000 5.304 5.304 5.304 21%

¿Cuál de las tres se debe elegir?24. Desarrolle los siguientes puntos:

24.1 Calcule la TIR de los siguientes proyectos:


A BCosto inicial $ 10.000 10.000Beneficios netos $Año 1 2.000 7.000Año 2 4.000 5.000Año 3 6.000 4.000Año 4 8.000 2.000

24.2 Dibuje una gráfica esquemática de la curva del VPN para estosproyectos.

24.3 ¿Para qué rango de tasas de interés se prefiere el proyecto A alproyecto B?

24.4 Calcule la relación beneficio-costo para cada proyecto: supon-ga una tasa de descuento de 10%.

25.La Compañía Mapple está considerando la elección entre dos má-quinas diferentes, que esencialmente hacen el mismo trabajo –lasmáquinas son mutuamente excluyentes–. Una comparación de losmovimientos de caja de las dos máquinas muestra que si se elige lamenos cara de las dos, se tendrá un ahorro en el momento de lacompra de $1.000, pero un gasto adicional de $333 anuales a lolargo de los cinco años de duración previstos para la máquina. Latasa de descuento de la Compañía Mapple es del 10 %.Calcule la TIR de cada alternativa y determine cuál de las dos má-quinas, la barata o la más cara, debe comprarse. ¿Es este métodocorrecto?, ¿por qué? Obtenga la misma decisión utilizando el méto-do de VPN.

26.Existen dos inversiones mutuamente excluyentes. Suponga una tasade descuento del 12%. Elija la mejor de las dos inversiones.

Período $Alternativa0 1 2

TIR %

A -16.050 10.000 10.000 16B -100.000 60.000 60.000 13

27.Una empresa manufacturera tiene como política aceptar las inver-siones que produzcan 30% o más, ya que considera que ése es sucosto de oportunidad. El gerente de la empresa presentó a la JuntaDirectiva la siguiente información sobre seis máquinas que tienenuna vida económica de 10 años y valor de salvamento –o valor demercado de la alternativa al final de la vida útil– nulo. Los directi-vos deben escoger una, ya que sólo se necesita una de ellas, esdecir, son mutuamente excluyentes:

Máquina Inversión $ Ahorro anual $ TIR %

Onondaga 30.000 11.000 34,82

Oneida 50.000 17.000 31,86

Cayuga 55.000 19.000 32,47

Tuscarora 60.000 20.000 31,11

Séneca 70.000 25.000 33,77

Tisquesusa 75.000 27.000 34,08


Un directivo dijo: ‘‘Obviamente, la mejor es la de Onondaga’’. Otrodijo: ‘‘No, es la Séneca’’.Usted, que es el gerente, tiene varias formas de analizar este pro-blema y debe elaborar, entonces, un informe en el cual se muestre:27.1 Su análisis por medio del VPN.27.2 ¿Son las recomendaciones de los directivos adecuadas?27.3 Calcule el período de repago de cada alternativa. ¿Es este

criterio adecuado? Si no es así, utilice otro criterio de repagoque sea apropiado.

28. Aviso aparecido en El Espectador, 14 de julio de 1981:

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¿Qué TIR ofrece esta propuesta?29. ¿Cuál de las dos alternativas que se describen a continuación es la

mejor si la tasa de descuento es del 25%? ¿Para qué tasa de des-cuento se cambia el ordenamiento?

Flujo $AñoAlternativa A Alternativa B

0 -1.000 -1.0001 500 5502 400 7003 550 6004 680 760

30. Seleccione la mejor alternativa y explique en forma concisa su res-puesta.


AlternativaMétodo

A B C

VPN(30%) $ 15 45 22

TIR 42% 37% 35%

B/C(30%) 1,12 1,06 1,03

31.Se cuenta con 100 vehículos livianos, con más de 5 años de uso ycuyo costo de operación actual es de US$12.000 al año y ofrecenuna disponibilidad mecánica menor del 60%, lo cual obliga a alqui-lar vehículos a un costo de US$25 por día, para lograr el 85% dedisponibilidad requerido. La empresa trabaja con una tasa de des-cuento de 20%. Se tienen tres opciones:

31.1 Alquilar toda la flota con disponibilidad garantizada de 90%.31.2 Seguir como ahora (el valor de salvamento –o valor de merca-

do de la alternativa al final de la vida útil– de cada vehículo esde US$2.000).

31.3 Reconstruir los equipos a un costo de US$9.000 por unidad yse obtienen 3 años adicionales de vida útil con los siguientescomportamientos de costos y disponibilidad:

Año1 2 3

Costo de operación (US$) 8.000 10.000 14.000Disponibilidad 85% 83% 80%Valor de salvamento (o valor de mercado de laalternativa al final de la vida útil) (US$) 2.000

31.4 Comprar vehículos nuevos a un costo de US$20.000 con unavida útil de 6 años, con los siguientes comportamientos decostos y disponibilidad:

Año1 2 3 4 5 6

Costo de operación (US$ miles) 4 5 7 9 12 16Disponibilidad 90% 90% 87% 85% 83% 80%Valor de salvamento (o valor de mercadode la alternativa al final de la vida útil)(US$ miles)

4

¿Cuál será la mejor decisión? Suponga siempre que la basede referencia para el análisis es que debe trabajarse 24 horasdiarias.

32. El plan de minería requiere mantener una disponibilidad mecánica delos tractores de oruga del 65% como mínimo. Actualmente se encuen-tra en 62%; la mina trabaja 24 horas diarias y se tienen dos opciones:32.1 Alquilar las horas faltantes de máquina a US$150 por hora de

operación.32.2 Comprar un paquete de repuestos capitalizables a US$50.000.

El costo de operación de la máquina es de US$60 por hora de


operación. La inversión en la máquina nueva fue deUS$450.000 hace cinco años y se deprecia linealmente endiez años. Su valor comercial hoy es de US$9.000. La tasa dedescuento es de 20%.Suponga siempre que la base de referencia para el análisis esque debe trabajarse 24 horas diarias.

33. Acaba de salir al mercado un nuevo tipo de computador que vale,con programas, US$30.000. Se cree que el equipo aumentará laproductividad del Departamento de Ingeniería Industrial en un 30%.Este grupo consta de 30 personas y vale US$180.000 al año, inclui-das las prestaciones sociales. Si la tasa de descuento es de 22%,¿se justifica comprar el computador?

34. Se han sugerido 10 propuestas para reducir costos en una universidad.Todas estas propuestas tienen una vida útil calculada en 10 años yvalor de salvamento –o valor de mercado de la alternativa al final de lavida útil– igual a cero. En la tabla se presentan las inversiones necesa-rias y los ahorros netos después de impuestos. Cada grupo de proyectosrepresenta alternativas para hacer un determinado proyecto y, por lotanto, son mutuamente excluyentes. Se debe emprender un proyectode cada grupo. Analice esta situación en los siguientes dos casos:

34.1 Se sabe que la tasa mínima de interés es del 10% anual y que,además, no hay limitación de fondos disponibles. Utilizandoun criterio válido de comparación, muestre cuáles alternati-vas se deben emprender. Indique cualquier cálculo que seanecesario para tomar la decisión.

34.2 Cuáles alternativas se deben seleccionar si los fondos disponi-bles son:

a. $150 millonesb. $90 millonesc. $70 millones

Explique la respuesta.

Proyecto Inversión (millones de pesos) Reducción neta después de impuestos

(millones de pesos)

A1 20 5,60

A2 30 6,90

A3 50 10,07

A4 40 8,18

B 20 3,54

C1 20 5,44

C2 40 8,70

D1 10 1,36

D2 20 3,84

D3 30 5,20

35. Las restricciones presupuestales limitan las inversiones. El proble-ma no resulta ser, en general, el de escoger entre proyectos compe-


titivos, sino el de escoger la secuencia en la cual estos proyectosdeben ser emprendidos. Cuando la fecha del calendario influye enla tasa de rendimiento de los beneficios de los proyectos, la planeacióntradicional orientada hacia escoger ahora entre los proyectos, pue-de llevar a decisiones incorrectas. Suponga que el Instituto de Fo-mento Industrial está considerando la posibilidad de emprender dosgrandes proyectos:35.1 Una explotación de un complejo de extracción y tratamiento de

uranio que produciría beneficios netos anuales de $1.000 millo-nes a partir del año siguiente de su construcción y hasta 2021. Apartir de 2022 y por aumento de la demanda de materiales radio-activos, tales beneficios ascenderían a $10.000 millones al añopara el mismo nivel de desarrollo de la planta. La inversión nece-saria en cualquier momento en que se emprenda el proyecto esde 15.000 millones.

35.2 Una gran fábrica textil que producirá $2.500 millones al añoen beneficios netos a partir del año siguiente al de su cons-trucción. Esta planta también cuesta $15.000 millones.El Instituto sólo dispone actualmente (2000) de $15.000 parainvertir en estos proyectos, y no volverá a contar con estedinero sino hasta 1992. El costo de capital es del 12% anualy las vidas útiles de los proyectos, por ser muy largas, sesuponen infinitas para los cálculos. ¿Qué debe hacer el IFI?

36.Considere las cuatro alternativas que se presentan a continuación:

Alternativas $ (miles de pesos)Período

A B C D

0 -1.000 -3.000 -2.500 -1.000

1 400 0 200 0

2 400 400 700 0

3 400 1.600 1.200 0

4 400 2.900 2.000 1.800

36.1 Si se cuenta con un presupuesto de $7 millones y si se consi-dera que las alternativas son independientes. ¿Cuáles se de-ben escoger, si la tasa de descuento es de 12% anual?

36.2 Para estas alternativas independientes, realice un estudio dela sensibilidad de la decisión de inversión con respecto a va-riaciones del presupuesto inicial (fecha cero) entre 4 y 10 mi-llones, cuando la tasa de descuento es del 12% anual.

36.3 Si las alternativas B y C son mutuamente excluyentes y laalternativa C sólo puede emplearse cuando la alternativa Dse ha emprendido también –aunque la alternativa D puedeemprenderse sola–, realice un estudio de la sensibilidad de ladecisión de inversión con respecto de las variaciones del pre-supuesto inicial entre 1 y 8 millones, cuando la tasa de des-cuento es del 12% anual.

37.La Rectoría de la Universidad Independiente ha concluido que nopodrá disponer de más de $40.000.000 para inversiones durante el


año próximo. Actualmente se han recibido propuestas para 5 pro-yectos de inversión: A, B, C, D y E, que requieren en total$60.000.000.Realice los cálculos necesarios para determinar cuáles propuestasdeben seleccionarse, si se deben escoger de manera que se maximiceel VPN total antes de impuestos.La tasa de descuento es de 12% anual.Los proyectos presentados son los siguientes:A Un proyecto para reducción de costos de ciertas actividades

administrativas que requiere una inversión de $10.000.000.La vida del equipo es de 12 años y tiene un valor de salva-mento –o valor de mercado de la alternativa al final de la vidaútil– de cero. La reducción neta esperada en gastos de opera-ción es de $2.800.000 anuales durante los próximos 12 años.

B Un proyecto para reducción de costos en actividades docen-tes que requiere una inversión de $10.000.000. Se calculaque esta inversión tiene un valor de salvamento –o valor demercado de la alternativa al final de la vida útil– de 100%. Lareducción neta esperada en gastos de docencia es de$1.800.000 anuales durante 12 años.

C La construcción de instalaciones para producir ciertos ele-mentos (papel cortado, material impreso, etcétera) que en laactualidad se compran, requerirá una inversión de$10.000.000. Se calcula que estas instalaciones tendrán unvalor de salvamento –o valor de mercado de la alternativa alfinal de la vida útil– del 125% de su valor inicial al final de 12años. Si se continúan comprando, se requerirán $4.000.000anuales; si se fabrican en la universidad, los gastos serán de$2.400.000 anuales.

D La expansión de la planta física para aumentar el cupo de estu-diantes requiere una inversión de $10.000.000. Se calcula quela expansión tendrá un valor de salvamento –o valor de mercadode la alternativa al final de la vida útil– de $12.000.000 al finalde 12 años. Se calcula que los ingresos anuales provenientes delincremento en matrícula se aumentarán en $3.700.000 y otrosgastos anuales se aumentarán en $2.360.000.

E La propuesta para un nuevo programa de educación conti-nuada requiere una inversión inmediata de $20.000.000. Seestima que los ingresos excederán a los gastos en $2.000.000el primer año en $3.000.000 el segundo año y aumenta en$1.000.000 por año hasta el año 12. Se estima que el valor desalvamento –o valor de mercado de la alternativa al final de lavida útil– al final de los 12 años es de $25.000.000.

38. Senju y Toyoda (1968) presentan el siguiente problema (se hanmodificando algunos enunciados para ilustrar su método):

Se tienen ocho proyectos que exigen una inversión de capital durantedos períodos; en ésos se tiene una restricción de capital de 24 millonesde pesos en el primer período y 30 millones de pesos para el segundo.


Las necesidades de recursos y el VPN de cada proyecto, en millones,se indican a continuación:

Proyecto Necesidades VPN $

Período I $ Período II $

P1 6 2 100

P2 2 8 400

P3 3 2 200

P4 4 6 800

P5 9 3 300

P6 6 5 600

P7 5 6 400

P8 1 7 500

Utilizando el Solver de Excel, resuelva este ejercicio.39. Otro problema que se encuentra en el mismo artículo de Senju y

Toyoda es el siguiente: se tienen seis proyectos que requieren inver-sión durante cuatro períodos. Las restricciones de capital duranteesos cuatro períodos son de 16 millones de pesos durante cada unode ellos. Las necesidades de capital y VPN de cada proyecto, en millo-nes, son las siguientes:

Necesidades $ProyectoI II III IV

VPN $

P1 1 5 4 6 500P2 4 3 3 5 900P3 5 2 4 3 300P4 7 8 4 7 600P5 5 4 2 2 100P6 6 9 5 5 300

Utilizando el Solver de Excel, resuelva este ejercicio.40. Considere las siguientes situaciones:

40.1 Actualmente una operación de manejo de documentos en la bi-blioteca de una universidad se hace manualmente. Los gastosanuales de esta operación (incluyendo prestaciones sociales) sonde $820.000. A esta operación anual se la llamará plan A.Existe una propuesta, el plan B, que consiste en comprar unmicrocomputador para sistematizar el proceso que reduciríael costo de personal. El precio de este equipo es de $1.500.000.Se calcula que esta inversión reduciría los gastos anuales depersonal, incluyendo prestaciones sociales, a $330.000 anua-les. Y se incurriría en gastos por mantenimiento energía yseguros en $180.000 anuales.


La vida útil de esta inversión es 10 años y al final de ellos elequipo no tendrá ningún valor de salvamento o valor de mer-cado de la alternativa en ese momento. Se supone que losgastos anuales en personal, mantenimiento y seguros seránuniformes durante los 10 años. Pregunta: ¿Cuál de los dosplanes es mejor? Use una tasa de descuento del 30%.

40.2 Existe otra propuesta, el Plan C, que consiste en la compra deun equipo de uso múltiple (además se puede utilizar en pro-cesos administrativos). El precio de este equipo es de$2.500.000. Se estima que este equipo, tendrá un valor desalvamento neto (o valor de mercado de la alternativa en esemomento) de $ 500.000 al cabo de su vida de servicio de 10años. (El valor de salvamento neto (o valor de mercado de laalternativa en ese momento) se toma aquí como los ingresosbrutos de la venta del equipo menos los gastos requeridospara su retiro y venta). Este equipo más automatizado que eldel Plan B, reducirá los gastos de personal, incluyendo pres-taciones sociales, a $170.000. Los gastos anuales, energía,mantenimiento y seguros se aumentan a $260.000.Compare los planes B y C utilizando una tasa de descuentodel 30%. Las características del plan B aparecen descritas enla parte 1. de este ejercicio.

41. Para la construcción de ciertas instalaciones deportivas se disponede dos propuestas, los planes D y E. Los ingresos de la instituciónno se afectarán por la selección de uno u otro plan. Los cálculospara los dos planes son como sigue:

PLAN D PLAN EInversión $ 5.000.000 12.000.000

Vida de servicio 20 años 40 añosValor salvamento (o valor demercado de la alternativa al

final de la vida útil) $

1.000.000 2.000.000

Gastos anuales $ 900.000 600.000

Los gastos anuales incluyen gastos de operación y de mante-nimiento, impuesto predial y seguros de incendio.Compárense estas dos alternativas utilizando una tasa de des-cuento del 20% anual. Suponga que en la inversión, en lasegunda construcción de las instalaciones del Plan D, el pre-cio de la estructura ha aumentado a 20 millones y los gastosanuales en todos los casos aumentan un 5% anual.

3 inversiones y presupuesto de capital · se van a clasificar las alternativas de inversión en...

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