s540f1efd7cb2c139.jimcontent.coms540f1efd7cb2c139.jimcontent.com/download/version... · 3...
TRANSCRIPT
1
MÓDULO DE GEOMETRIA
Material Didáctico para el Estudio de
Geometría
CARLOS MARIO RESTREPO ORTIZ
OSCAR EDUARDO CLAVIJO
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, SOCIALES Y HUMANAS
POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
MEDELLÍN
2013-01
2
3
INTRODUCCION
Geometría (del griego geo, ―tierra‖ y metrein , ―medir‖), rama de las matemáticas que
se ocupa de las propiedades del espacio.
A la pregunta ¿para qué sirve la Geometría? Podemos dar un gran número de
respuestas, que dependen, principalmente, de las actividades del que la estudia y de los
propósitos de quien la imparte, como ciencia aplicada, podemos decir que la Geometría
es indispensable en el arte, la industria, la topografía, etc. Esto no significa que un
mecánico o un topógrafo aplique los teoremas estudiados en Geometría de una manera
directa, sino que las reglas y métodos que usa en su trabajo se deducen de las
proposiciones geométricas. Si se trata de un estudiante que desea alcanzar un título
profesional, podremos decirle que dicha ciencia desarrolla las competencias básicas en
la interpretación de situaciones problema, la competencia propositiva en la búsqueda de
alternativas de solución y la argumentación de la validez de dichas propuestas.
El primero que investigó sistemáticamente los principios sobre los que se basa la
Geometría, y que aplicó los métodos de la lógica a su desarrollo sistemático, fue
Pitágoras (569-500 a. de J.C. ), vivió durante varios años en Egipto y posteriormente
se estableció en una colonia griega en el sur de Italia dedicándose a la enseñanza de la
Geometría, Filosofía, y Religión, intentando basar estas dos últimas sobre principios
matemáticos. Su escuela llegó a ser una especie de hermandad y, finalmente, tuvo
carácter de sociedad secreta. El emblema de la sociedad era la estrella de cinco puntas
dibujadas sin levantar la pluma del papel. En el estudio de las propiedades de esta
figura, los pitagóricos descubrieron también muchas propiedades de los triángulos y de
los pentágonos. De Euclides se sabe muy poco aparte de los hechos de que nació hacia el
año 330 a. de J.C. y murió hacia 275 a. de J.C., que pasó la mayor parte de su vida en
Alejandría y que durante muchos años enseño matemáticas en aquella Universidad y a
discípulos particulares. Se le atribuye la frase de que "no hay ningún camino real que
conduzca al saber". Aunque se sepa tan poco de la vida de Euclides su obra llena una
gran parte en la Historia de las Matemáticas. Muchos de sus discípulos se hicieron
famosos y han dejado descripciones de sus enseñanzas, de sus descubrimientos y de
sus escritos, habiendo llegado hasta nosotros la mayoría de estos últimos. Escribió
libros sobre muchos temas científicos, pero sus obras más famosas son las de
Aritmética, Álgebra y Geometría, siendo esta última la que sirve principalmente de
fundamento a su celebridad.
4
Euclides escribió los Elementos en los últimos años de su vida y fueron el primer libro
completo de esa materia. Sistematizaba toda la materia meticulosamente, enunciaba
con gran precisión sus fundamentos, simplificaba muchos de los enunciados y
demostraciones de las proposiciones, y clasificaba, ordenaba y numeraba todos los
principios fundamentales, las definiciones y las proporciones. También contienen
muchas proposiciones originales del mismo Euclides. Se adoptó inmediatamente como
libro de texto, y más tarde se extendió por todo el mundo. Ha sido traducido a muchos
idiomas y ha llegado a nosotros tal y como Euclides lo dejó, siendo utilizado durante
mucho tiempo como libro de texto, y también como modelo y base de todos los otros
libros de la llamada Geometría Elemental.
En el presente modulo nos dedicaremos especialmente a la solución de problemas de
geometría, no entraremos a trabajar el aspecto teórico, ya que este se encuentra muy
bien contemplado en las notas de clase de nuestro compañero Carlos Vargas, los
ejercicios aquí resueltos hacen parte de los ejercicios propuestos en dichas notas. Con
este trabajo pretendemos dar a nuestros alumnos una mayor cantidad de ejemplos de la
aplicación de los temas desarrollados en el programa de Geometría.
Agradezco la colaboración de mis compañeros en la realización y revisión de este
trabajo especialmente a los docentes Carlos Ríos y Carlos Vargas.
5
TABLA DE CONTENIDO
PAGINA
1. ELEMENTOS BASICOS………………………………………………………………………………… 7
2. SEGMENTOS Y ANGULOS…………………………………………………………………………. 20
3. TRANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA…………………………………….. 35
4. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD……………………………………………….. 52
5. CUADRILATEROS…………………………………………………………………………………………. 66
6. CIRCUNFERENCIA………………………………………………………………………………………… 81
7. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA…………………………………………………… 100
8. AREAS……………………………………………………………………………………………………………… 115
6
7
CLASE 1: ELEMENTOS BÁSICOS
INTRODUCCIÓN
Geometría es la ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, considerada
bajo sus tres formas: línea, superficie y volumen.
Para su estudio se admite la existencia de algunos objetos primitivos, dotados de
ciertas propiedades, y se aceptan unas reglas de trabajo para manipularlos y obtener
nuevas propiedades de ellos.
Las propiedades admitidas como válidas son los axiomas y las que deben justificarse son
los teoremas. Las reglas de trabajo deben ser universales y se utilizan las de la lógica
matemática.
FUNDAMENTOS CONCEPTUALES
Elementos primitivos
En geometría trataremos con ciertas figuras que están constituidas por unos objetos
primarios, los cuales no es posible definir atrevámonos a formarnos una idea intuitiva
de ellos.
El punto
La propiedad característica del punto geométrico es que éste no tiene ninguna
dimensión. Se representa convencionalmente por medio de un punto ortográfico de la
menor dimensión posible. Cada punto se denomina mediante una letra mayúscula situada
a uno de los lados del punto.
Los puntos serán nombrados o denominados con letras mayúsculas del abecedario.
La recta
La recta geométrica se caracteriza por tener longitud infinita, pero sólo longitud.
Convencionalmente se representa por medio de un fino trazo de la longitud que
convenga y se nombra mediante una letra minúscula, o bien mediante dos letras
mayúsculas situadas en dos puntos cualesquiera de la recta (ya que dos puntos
geométricos determinan siempre una recta).
8
El plano
La propiedad característica del plano geométrico es que posee una superficie ilimitada,
aunque no ocupa ningún volumen (sólo tiene superficie).
Se suele representar convencionalmente por medio de un paralelogramo de lados
menores inclinados. Se nombra mediante una letra del alfabeto griego o bien mediante
una letra mayúscula situada en una de las zonas extremas.El símbolo para pensar en el
será .
Semirecta
Porción de recta comprendida entre un punto cualquiera de la recta (denominado
origen) y el infinito. En la gráfica la semirrecta empieza en A, pasa por B y continúa
hasta el infinito.
Segmento
Porción de recta comprendida entre dos de sus puntos:
Uno de ellos es el origen del segmento
El otro es el extremo del segmento
9
Semiplano: Porción de plano comprendida entre una recta AB contenida en él y el
infinito.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Para establecer consistencia en la construcción de la geometría deben establecerse
unos términos lógicos en el sistema, a estos se les denomina: Axioma, Teorema,
postulado, entre otros.
Axiomas: Los axiomas son verdades matemáticas o geométricas sobre las cuales se
sustenta una teoría. Los axiomas son proposiciones matemáticas cuyo único valor de
verdad es verdad (tautología).
Postulados: Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada,
pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.
Teoremas: Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un
sistema formal es decir una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las
condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre
la hipótesis y la tesis o conclusión.
Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición A es
un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B.
AXIOMAS Y DEFINICIONES
I. axioma de existencia del espacio
Existe un conjunto llamado el espacio que tiene subconjuntos propios llamados planos,
quienes que a su vez tienen subconjuntos propios llamados rectas. Cada uno de estos
conjuntos está formado por infinitos elementos llamados puntos.
Realmente el axioma de existencia no define ni el espacio, ni un plano, ni una recta, ni un
punto. El conjunto de todos los axiomas permitirá que estos objetos alcancen las
propiedades que intuimos de ellos.
Este axioma asegura que existe el punto, la recta, el plano y el espacio.
10
Figura geométrica:
Es cualquier subconjunto propio del
espacio.
Punto interior (exterior):
Si un punto pertenece a una figura entonces es interior a ella, (está sobre la figura, o la
figura pasa por el punto). En caso contrario es exterior a la figura. ¿Piense?
Puntos colineales (alineados): Dos o más puntos son colineales (alineados) si están en la
misma recta. En caso contrario son no colineales o no alineados. ¿Piense?
Puntos coplanares: Dos o más puntos son coplanares si están en el mismo plano. En caso
contrario no son coplanares.
II. axioma de enlace de la recta
Si tenemos dos puntos A y B en el espacio por estos pasa una y solamente una línea
recta. Lo cual matemáticamente se dice: sean A y B dos puntos distintos entonces
existe una y solo una recta a la cual ambos pertenecen llamada ―la recta AB ‖ o
simplemente AB .
Ejemplo:
1) El símbolo se lee recta, y el
símbolo AB se lee recta AB ,
también se puede denominar a la
recta AB por único símbolo como
por ejemplo 1
L .
11
2) Dados los puntos , , ,A B C Drepresentados en el siguiente gráfico.
Podemos decir que C pertenece a la recta AB , lo que simbolizaremos C AB ó C L
, Ósea que ,A B y C son Colinéales. Pero D no pertenece a AB , lo que simbolizaremos
D AB o D L , o sea que , ,A B C y D no son colineales.
III. axioma de enlace del plano
Intuitivamente: si tenemos un plano y una recta L perteneciente a él, si a L la
tómanos como un eje el cual puede girar o rotar, luego al rotar L el plano gira y de esta
manera también podemos formar la noción de Espacio; además vemos que por L pasan infinitos
planos. Ahora bien si deseamos hablar únicamente del plano , Cuántos puntos como mínimo tomaríamos
de él , bueno si tomáramos un punto, por él pasan infinitas rectas y por cada una de ellas pasan infinitos
planos, si tomáramos dos puntos por ellos pasa una y sólo una recta y por ella pasan infinitos planos que se
interceptan o son secantes en ella, luego debemos tomar tres puntos distintos del espacio; pero han de ser
no colineales. Lo cual matemáticamente se dice: sean ,A B y C puntos no colineales, entonces existe uno y
sólo un plano al cual ellos pertenecen, llamado ―el plano ABC , el cual simbolizaremos así: ABC
Ejemplos:
1.
ABC se lee plano ABC o también se
Utiliza el símbolo de plano cuando no hay
lugar a confusiones.
12
2.
En la figura se tiene que:
ABCD y ABCE , además , ,A B C
y D son coplanares, están en el ABC o
1 y E no es coplanar con ellos.
IV. AXIOMA DE CONTENCIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO:
Si una recta L y un plano tienen dos puntos distintos en común, entonces la recta
L está contenida en el plano.
Dicho de otra manera: si ,A B y
,A B L , entonces todo punto de L es
También punto del plano o sea L .
V. axioma de intersección de planos: si dos planos distintos tienen algún punto en
común, entonces su intersección es una recta.
VI. axioma de la ordenación de la recta: una recta es un conjunto linealmente
ordenado, que no tiene ni primero ni último punto y no tiene puntos consecutivos.
VII. axioma de separación de la recta:
Todo punto de una recta separa a los demás puntos de la recta en dos conjuntos: el
conjunto de los que le preceden y el conjunto de los que le siguen tales que:
1. Todo punto de la recta, distinto de él, pertenece a uno y sólo a uno de dichos
conjuntos.
13
2. El punto dado está entre dos puntos de conjuntos distintos y no está entre dos
puntos del mismo conjunto. ¿piense?
VIII. axioma de separación del plano:
toda recta de un Plano separa a los
demás puntos del plano en dos
regiones tales que:
1. Todo punto del plano, exterior
a la recta, pertenece a una y
solo a una de las regiones.
2. El segmento que une dos puntos
de regiones distintas corta a la
recta y el que une dos puntos
de la misma región no la corta.
Semiplano: Dado un plano y una recta en él, un semiplano es el conjunto formado por la
recta y cada una de las regiones en que ella divide al plano.
IX. Axioma de separación del espacio: Todo plano separa a los demás puntos del
espacio, en dos regiones tales que:
1. Todo punto del espacio, exterior al
plano , pertenece a una y sólo a
una de las regiones.
El segmento que une dos puntos de
distintas regiones corta al plano y el
que une dos de la misma región no lo
corta.
X. axioma de distancia: matemáticamente expresemos este axioma: Dados dos puntos
P y Q existe un único número real llamado “la distancia entre P y Q”, denotado por
―d (P,Q)‖ ó ―P,Q‖, el cual cumple las siguientes propiedades:
14
1. d ( , )P Q O , o sea que la distancia es cero o es positiva
2. d ( , )P Q = O si P coincide con Q
3. d ( , )P Q = d ( , )Q P
4. Si , y P Q Rson puntos del espacio, entonces ( , ) ( , ) ( , )d P R d P Q d Q R
5. Si Q está entre y P R , ( , )d P R = ( , ) ( , )d P Q d Q R
Observaciones:
Los puntos de una recta son coplanares.
Tres puntos siempre son coplanares, pero cuatro no necesariamente lo son.
Por un punto pasa más de una recta.
Entre dos puntos distintos existen infinitos puntos.
Coincidencia de rectas-Teorema: Si dos rectas tienen dos puntos distintos en común,
entonces ellas coinciden.
Coincidencia de planos-Teorema: Si dos planos tienen tres puntos no colineales en
común, entonces los planos coinciden.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS:
Por el axioma de enlace dos rectas distintas máximo pueden tener un punto en común,
es decir tienen solamente un punto en común o ninguno.
Rectas secantes: Son las que tienen solamente un punto en común. Se dice que ellas
concurren en dicho punto.
L1 L2 = P
Rectas paralelas: Son rectas coplanares que no tienen puntos en común. Para decir que
dos rectas son paralelas utilizaremos el símbolo ll.
Ejemplo: Dado L1 ll L2 o sea que L1 L2 = .
L1
L2
RECTAS CRUZADAS: Son rectas no coplanares.
15
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Teorema: (recta y punto exterior): Por una recta y un punto exterior a ella pasa uno
y sólo un plano que les contiene.
Teorema: (rectas secantes): Dos rectas secantes determinan uno y sólo un plano que
les contiene.
Corolario: Dos rectas cruzadas no tienen ningún punto en común.
Dm: En efecto, si tuviesen sólo un punto en común serian secantes y por lo tanto
coplanares; si tuviesen dos o más puntos en común serían la misma recta y también
resultarían coplanares.
Teorema: (rectas paralelas): Dos rectas paralelas determinan uno y solo un plano que
les contiene.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Un plano y una recta no contenida en él, máximo tienen un punto en común, es decir
tienen sólo uno o ningún punto en común.
Recta y plano secantes: Una recta y un plano son secantes si tienen sólo un punto en
común. Se dice que la recta y el plano son secantes en dicho punto.
Recta y plano paralelos: Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto
en común.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS
Planos secantes: Son planos distintos con algún punto en común.
Teorema: La intersección entre dos planos secantes es una recta.
Planos paralelos: Son planos que no tienen ningún punto en común.
16
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. ¿Por qué puede afirmarse la existencia de puntos exteriores a un plano?
GRAFICA 1
Puede afirmarse la existencia de puntos
exteriores a un plano asumiendo la existencia del
espacio o de la existencia de otro plano paralelo
al primero.
2. ¿Qué garantiza la existencia de mínimo cuatro puntos no coplanares?. Explique.
GRAFICA 2
Podemos garantizar la existencia de mínimo
cuatro puntos no coplanares, al garantizar la
existencia de otro plano en el espacio.
3. ¿Por qué dos puntos siempre son colineales?.
GRAFICA 3
Dos puntos A, B siempre serán colineales porque
podemos garantizar la existencia de una línea que
los une.
17
4. ¿Tres puntos siempre son colineales?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 4
No podemos garantizar que tres puntos en
el plano siempre sean colineales, en este caso
a y
5. ¿Cuántos planos pasan por un punto dado? Ilustre.
GRAFICA 5
Por un punto pasan infinitas rectas, una recta
está contenida en infinitos planos; por lo tanto
podemos asegurar que por un punto pasan
infinitos planos.
6. ¿Cuántos planos pasan por tres puntos colineales dados?. Ilustre.
GRAFICA 6
Por dos puntos pasa una sola línea recta; pero
dicha recta está contenida en infinitos.
18
7. Diga una condición necesaria y suficiente para que dos planos coincidan.
GRAFICA 7
Dos planos , serán coincidentes si tienen
tres puntos comunes. En este caso los puntos A,
B, C pertenecen a los dos planos.
8. ¿Si una recta y un plano tienen dos puntos comunes, la recta puede tener algún punto
que no pertenezca al plano? ¿Por qué?
GRAFICA 8
Observemos la gráfica la recta L y el plano
tienen dos puntos comunes A , B por lo tanto
todos los puntos de la recta son comunes al plano
9. ¿Dos rectas coplanares tienen que ser paralelas?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 9
Dos rectas coplanares no necesariamente tienen
que ser paralelas, pueden tener un punto común y
estar en el mismo plano
19
10. ¿Dados cuatro puntos no colineales, cuántas rectas pueden trazarse tales que cada
una contenga mínimo dos de ellos?. Ilustre las posibles alternativas.
GRAFICA 10
Si tenemos cuatro puntos A , B, C, D no
colineales y no necesariamente coplanares
entonces tendremos como caso extremo tres
puntos coplanares A , B, C y D externo al plano ,
desde D podemos trazar tres líneas dirigidas
hacia A, B, C y en el plano podemos construir
otras tres líneas entre A, B, C en total 6 rectas
20
CLASE 2: SEGMENTOS Y ÁNGULOS
SEGMENTOS
Se llama segmento de recta AB ( )AB al conjunto formado por los puntos A, B y todos
los puntos P entre A y B.
Los puntos A y B se llaman extremos. Las semirrectas determinadas por los extremos
de un segmento y que no tienen más puntos comunes con el segmento, se llaman las
prolongaciones del segmento.
MEDIDA DE SEGMENTOS
La medida de un segmento AB, denotada por m ( )AB o AB, es la distancia entre sus
puntos extremos:
( ) ( , )m AB d A B AB
SEGMENTOS CONGRUENTES
Segmentos congruentes son aquellos que tienen igual medida:
( ) ( )AB CD m AB m CD AB CD
El símbolo se lee congruente.
CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar a confusión en lugar de AB usaremos AB y en
lugar de AB CD usaremos AB=CD.
TEOREMA: La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, es decir,
cumple las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: AB AB
2. Simétrica: AB CD CD AB
3. Transitiva: AB CD CD EF AB EF
SEGMENTOS DESIGUALES
Son segmentos no congruentes. Entre dos segmentos desiguales será menor el que
tenga menor medida:
AB < CD ( )m AB < ( )m CD AB < CD
21
AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS:
En toda semirrecta OA , para cada real positivo ―X‖ existe un único punto B sobre OA
, distinto de O, tal que ( )m OB = X
O sea a cada real X le asigna un único segmento OB , esto nos permite construir en
cualquier otra semirrecta un segmento congruente con OB teniendo en cuenta que su
medida será X a partir del origen de dicha semirrecta.
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es el punto entre los extremos del segmento que lo divide en dos segmentos
congruentes.
M es punto medio de 1
MB AB2
AB AM
A continuación veamos algunos tipos de enunciados:
a) Dado el segmento BC , prolongar CB hasta D.
b) Dado BC , prolongar BC hasta D tal que BC = CD En este caso podemos
afirmar que C es punto medio de BD
NOTA: Para agilizar la escritura ―punto medio‖ lo abreviaremos, así: p.m.
SEGMENTOS ADYACENTES:
Son dos segmentos de extremos colineales y que tienen un extremo común situado
entre los extremos no comunes.
Ejemplo:
22
Del gráfico podemos decir que y BCAB Son adyacentes, y ACAB no son
adyacentes y y AB CD tampoco lo son.
“OJO” un error que frecuentemente cometemos, es por ejemplo. Dado el gráfico
anterior suponer que AB = CD. El ojo no puede darnos relaciones entre los elementos;
las únicas relaciones validas; son las dadas en el enunciado (hipótesis) y también
aquellas que se demuestran a partir de ellas.
SUMA DE SEGMENTOS:
Si y BCAB son dos segmentos adyacentes, el segmento AC es la suma de los
segmentos y BCAB : AC = AB + BC.
Recuerde colocamos el igual ya que es una suma de reales o sea sus medidas.
AB AC BC
AB BC ACBC AC AB
EJEMPLO 1
Dados A-B-C tal que M es p.m., de BC .
Demostrar que AM = 2
AB AC
Del enunciado debemos sacar las relaciones dadas entre las partes, en este caso entre
segmentos y a partir de estas, por medio de inferencias lógicas llegar a demostrar lo
pedido o sea la tesis.
En este caso tenemos que M es p.m. de BC , entonces BM = MC = = a 2
BC
Observemos la tesis en ella la medida del segmento AM está relacionada con las
medidas de AB y AC , podemos plantear dos ecuaciones una que relacione a AM
con AB y la otra con AC , procedemos luego algebraicamente para llegar a la tesis.
23
AM = AB + BM Simbólicamente más ágil:
+ AM = AC – MC w = x + a
2AM = AB +AC +BM – MC + w= z - a
Pero BM – MC = O 2w = x + z
Luego AM = 2
AB AC
W = 2
x z
EJEMPLO 2
Dados O-A-B-C tal que. = 3 4
AB BC Demuestre que
4 3 =
7
OA OCOB
Dado que = 3 4
AB BC luego toda Transformación algebraica que realicemos en esta
ecuación también es válida y la podemos usar en la cadena lógica en la demostración.
Si = 3 4
AB BC 4 3 4 3 0AB BC AB BC , además:
1) OB OA AB Si sumamos estas dos ecuaciones:
2) OB OC BC
2OB OA OC AB BC
Observemos:
Los términos AB y BC no aparecen en la tesis, sabemos que 4 3AB BC O ;
multiplicamos la ecuación 1) por cuatro y la ecuación 2) por tres y luego sumémoslas
4 4 4
3 3 3
7 4 3 4 3
OB OA AB
OB OC BC
OB OA OC AB BC
Nótese: Usamos la barra de segmentos, Luego; 4 3
7
OA OCOB
para no confundir la
letra O con el real cero; recuerde estamos sumando reales.
En una forma más ágil:
1) r = x + y Pero 4y – 3z = 0
2) r = w - z
24
1) x 4 4r = 4x + 4y
2) x 3 3r = 3w -3z
7r = 4x + 3w 4 3
7
x wr
ÁNGULOS
ÁNGULO: es la figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Si ellas
son OA y OB , se denota por AOB . El origen O es el vértice del ángulo y las
semirrectas OA y OB son los Lados del ángulo.
Ejemplos:
Los ángulos AOB y BOC tienen el mismo vértice y él spy no tiene el mismo
vértice que ellos. El símbolo se lee ángulo, también se puede escribir así: AOB y el
símbolo se lee ángulo.
INTERIOR DE UN ÁNGULO
Es el conjunto formado por los puntos que están en la intersección de dos semiplanos,
(cada uno de ellos con un lado sobre su borde y conteniendo al lado restante), excepto
los que están sobre el lado del ángulo.
EXTERIOR DE UN ÁNGULO
Es el subconjunto del plano del ángulo formado por los puntos que no están sobre los
lados del ángulo ni en el interior del ángulo.
ÁNGULO NULO: Es ángulo que forma toda semirrecta consigo misma.
Ejemplo: AOA
25
ÁNGULO LLANO: es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas:
Ejemplo: AOB
AXIOMA DE MEDIDA DE ÁNGULOS
Dado un semiplano con una semirrectaOA , fija en su borde, entonces a cada
Semirrecta OB de dicho semiplano, se le asigna un único número real ―a‖ en el
intervalo de 0 a 180 . Para la semirrecta OA se asigna o0 y para su semirrecta
opuesta el o180 , o sea o = 0AOA Y o = 180AOC , así a cada ángulo le corresponde un
único real que es su medida.
MEDIDA SEXAGESIMAL DE UN ÁNGULO:
La ―medida‖ (sexagesimal) de un AOB es igual a ―a‖ grados sexagesimales, tomando el
número real ―a‖ en el intervalo [0, 180], que le asigna el axioma anterior y lo
denotaremos por: mAOB = a0 o simplemente AOB = a0
NOTA: También podemos usar las letras del alfabeto griego para simbolizar el real que
tiene por medida un ángulo, ejemplo: = AOB donde es el real (medida en
grados) del AOB
AXIOMA DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS
Dado un semiplano y fijada una semirrecta OA sobre su borde, entonces para cada
real ―a‖ en el intervalo [0, 180], existe solamente una semirrecta OB en dicho
semiplano, tal que m AOB = a0
26
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es la semirrecta interior que lo divide en dos ángulos congruentes si BX es una
semirrecta interior al ABC , entonces:
BX es la bisectriz del ABX = XBC = 2
ABCABC
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
Según su medida los ángulos se clasifican así: 0
0 0
0
0 0
0
El es NULO si = 0
El es AGUDO si 0 < < 90
El es RECTO si = 90
El es OBTUSO si 90 < < 180
El es LLANO si = 180
ÁNGULOS CONGRUENTES: son ángulos que tienen igual medida.
= DEF m ABC = m DEFABC
CONVENCIÓN: Cuando no haya lugar confusión en lugar DEFABC usaremos
DEFABC , recuerde porque estamos hablando es de reales (sus medidas) y no
estamos hablando de la colección de puntos que son cada uno de ellos.
TEOREMA: La congruencia de ángulos es una relación de equivalencia, es decir, cumple
con las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: ABCABC
2. Simétrica: ABCDEFDEFABC
3. Transitiva: PQRABCPQRDEFDEFABC
ÁNGULOS DESIGUALES: Son dos ángulos no congruentes. Entre dos ángulos
desiguales será menor aquel que tenga menor medida.
Ejemplo: Dados BOCyAOB sí es menor que , entonces
BOCAOB .
27
ÁNGULOS ADYACENTES: Son dos ángulos coplanares que tienen el mismo vértice, un
lado común y cada uno de los lados no comunes está en el exterior del otro. Ejemplo:
Dado el siguiente gráfico
Podemos decir que: AOB y BOC son adyacentes, AOB y AOC no son
adyacentes, tampoco lo son spy y AOB
SUMA DE ÁNGULOS
Si ABC y CBD son adyacentes, entonces ABD es la suma de los ángulos ABC y
CBD :
ABCABDCBD
CBDABDABCCBDABCABD
En forma más ágil: si ABDyCBDABC , , entonces:
= -
+
= -
Tendremos tipos de enunciados como el siguiente; sean , OB, OC y ODOA
consecutivas, la palabra consecutivas nos dice que están en el orden enunciado, en un
determinado sentido de giro, así: vea el gráfico, tendremos cuatro
28
Ángulos adyacentes DOACODBOCAOB ,,, entonces: 0 = 360 + + + .
EJEMPLO:
Las semirrectas y OBOA forman con OX los ángulos y respectivamente. Con
< y OX exterior al AOB , además OC es la bisectriz del AOB .
Demostrar que: 2
XOBXOAXOC
Si OC es bisectriz del AOB , entonces:
0
2
COBAOC
AOBCOBAOC
Observemos: la tesis, en ella la medida del XOC está relacionada con las medidas
de los ángulos XOA y XOB , debemos establecer ecuaciones que los relacionen y
proceder algebraicamente con ellas para llegar a la tesis.
Pasos Razón Justificación
1. OC es bisectriz del AOB Hipótesis
2.
2
AOBCOBAOC
Por 1
3. AOCXOAXOC Suma de ángulos
4. COBXOBXOC Resta de ángulos
29
5. COBAOCXOBXOAXOC 2 Suma de 3 y 4
6 0 COBAOC Por 1
7 2
XOBXOAXOC
Sustitución de 6 en 5
y propiedad uniforme
Para sumar dos ángulos no adyacentes se construyen dos ángulos adyacentes
respectivamente congruentes a ellos.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son dos ángulos cuyas medidas suman 090 ,
De cada uno de ellos se dice que es el Complemento del otro.
EJEMPLO
si 0 + = 90 , entonces se dice que es el complemento de o que es el
complemento de .
Si 0 + = 90 , 0 = 90 - o 0 = 90 -
El símbolo θc significa que nos referimos al complemento de o sea a , pero 0 = 90 - θc 0= 90 - , así también podemos decir que:
+ θc 0= 90 ó θc 0= 90 -
30
EJEMPLO
Hallar la medida de un ángulo, si su medida es un cuarto de su complemento.
Sea el ángulo pedido, luego 0 + 90 c = o sea que:
0 90 - c = ,
Además el enunciado nos dice que es un cuarto de su complemento o sea que 0(90 - )
= 4
; luego
00 0 090
4 = 90 - 5 = 90 = = 185
0 0= 90 - 18 c
0 = 72 c , vemos pues que la cuarta parte de
072 es 018 , o sea que la respuesta
0 = 18 si es válida.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son dos ángulos cuyas medidas suman 1800 . Cada uno de ellos es el suplemento del otro.
EJEMPLO
Si 0 + = 180 , entonces se dice que es el suplemento de o que es el
suplemento de .
El símbolo s significa que nos referimos al suplemento de o sea a , pero 0 = 180 - , así también podemos decir que: 0 0 + = 180 ó = 180 - s s
EJEMPLO
Encontrar la medida de un ángulo sabiendo que cuatro veces su medida es igual a cinco
veces la medida de su suplemento, sea dicho ángulo, sabemos que 0 + = 180s o
sea que: 0 = 180 - s ; además el enunciado nos dice que 4 veces la medida de es
igual a cinco veces la medida de su suplemento o sea que
0 04 = 5(180 - ) 4 = 900 - 5 0
0 0 09009 = 900 = 100
9 prueba
0 0 04(400 ) = 5(180 - 100 ) 0 0 400 = 400
31
PAR LINEAL
Son dos ángulos adyacentes cuyos lados no comunes son semirrectas opuestas.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE O PAR VERTICAL
Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos son las semirrectas opuestas de los
lados del otro.
TEOREMA
Dos ángulos son congruentes sí y sólo si sus complementos son congruentes.
Demostrémoslo directamente: si = 0 090 - = 90 - = c c
demostrémoslo recíprocamente: si = c c 0 090 - = 90 - =
TEOREMA
Dos ángulos son congruentes sí y sólo si sus suplementos son congruentes. Realice usted
la demostración.
TEOREMA
Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.
Dado que 1801 LlanoXBCABX , luego XBCyABX son
suplementarios.
TEOREMA
Si dos ángulos adyacentes, ABC y CBD son suplementarios, entonces forman un par
lineal y por lo tanto A, B, D son colineales.
TEOREMA
Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
32
En efecto es el suplemento de y de , entonces = por tener igual
suplemento " "
Matemáticamente podemos llegar a lo mismo, pero es un camino más largo:
0
0
+ = 180
+ = 180
=
Al restar estas ecuaciones y
transponiendo términos
TEOREMA
Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.
Demostración
Pasos Razón Justificación
1. 2 CODAOB Por O.V
2. BOC Por construcción
3. 2BOCAOBAOC Suma de 1 y 2
4. 1802BOCAOB Por 1
5 OX y OY bisectrices de CODyAOB Por hipótesis
6. YODCOYyXOBAOX Por 5
7. 1802XOY Por suma de ángulos en 2
y 6
8 XOY es un ángulo llano Por 7
9. y OYOX son semirrectas opuestas Por 8
10 , , y XY O Por 9
33
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas L y M son perpendiculares. L M , si forman por lo menos un ángulo
recto (900). En caso contrario son oblicuas, además piensen en el ángulo opuesto por el
vértice a este de 900 y en los suplementos de estos ángulos.
Si 0 90 , entonces L1 es oblicua, además
A es el pie de la oblicua y B es el pie de la
perpendicular.
Dos segmentos (semirrectas son perpendiculares si están contenidas en rectas
perpendiculares, ejemplo:
Dadas L y M perpendiculares si
L M CD FA y CD FA , abreviado si L M CD FA (segmentos
contenidos en rectas perpendiculares, son perpendiculares)
TEOREMA
Dos rectas perpendiculares forman cuatro ángulos rectos demuéstrelo.
TEOREMA
Las bisectrices de un par lineal son perpendiculares.
TEOREMA
Por cada punto de una recta pasa una y solamente una perpendicular a ella.
En efecto por el axioma de construcción de ángulos para a =90° existe una y sólo una
semirrecta que determina la recta pedida. Piense que el punto O es un punto cualquiera
de L.
34
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
Es la recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular al segmento.
Pensemos: Por un punto en el plano pasan infinitas rectas, por el punto medio de un
segmento también; pero que sea perpendicular al segmento sólo pasa una y solo una.
Si M es el p.m. de AB , entonces: L mediatriz de
AB L pasa por M y L AB
35
CLASE 3. TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS
Un triángulo es un polígono de tres vértices, denominados por letras mayúsculas ejemplo: A, B,
y C. Símbolo ▲ABC que se lee triángulo ABC
CLASIFICACION SEGÚN SUS LADOS
Escaleno: Si tiene sus tres lados desiguales y esto es:
Isósceles: Si tiene por lo menos un par de lados congruentes, SI , entonces decimos
se dice que el triangulo es isósceles de base .
Podemos encontrar enunciados como:
Dado el ▲ABC isósceles de base , donde implícitamente tenemos que la cual
es una relación hipotética es decir constituye nuestra hipótesis.
Dado el ▲ABC de vértice C, donde C es el vértice, donde concurren los lados
congruentes, luego hipotéticamente tendremos que y la base es .
Equilátero: si tiene sus 3 lados congruentes, es decir , otra forma de escribirlo
es a=b=c.
a
b c
C B
A
β
ρ
ϕ α
θ
γ
Lados: BC=a, AC=b, y AB=c donde los reales
positivos a, b y c son sus respectivas medidas,
además si recorremos el triángulo de B a C, de C
a A y de A a B obtendremos el perímetro Luego
perímetro 𝕡 𝑎 + 𝑏 + 𝑐; y el semiperimetro es
𝑝 𝑎+𝑏+𝑐
2;
Ángulos interiores: 𝐴𝐵 𝐶 𝛼 𝐵𝐶 𝐴 𝛾 𝐶𝐴𝐵 𝜃
donde ∝ 𝛾 𝑦 𝜃 son sus respectivas medidas en
grados.
Ángulos exteriores: que son los respectivos pares
lineales de los ángulos interiores, donde
𝛿 𝜑 𝛽son las respectivas medidas en grados.
Tiene tres
36
Luego perímetro
CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS
Acutángulo: Si tiene los tres ángulos interiores agudos.
Rectángulo: Si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados
que los forman son los catetos, así:
Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso.
Equiángulo: si tiene sus tres ángulos congruentes.
TEOREMA
Todo equilátero es Isósceles.
Demostración: dado el ABC equilátero, entonces AB=BC=AC, luego por tener sus tres lados
congruentes, tiene al menos dos lados congruentes, entonces el ABC es isósceles.
LINEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
MEDIANA: es el segmento que une un vértice
con el punto medio de su lado opuesto, por
ejemplo , también podemos trazar otra
mediana desde el vértice B al punto medio de
y otra desde el punto C al punto medio de
.
OJO. La única relación que la mediana establece es: no establece relación
angular en el lado que corta ni en el vértice del ángulo .
ALTURA: Es la perpendicular trazada
desde un vértice a su lado opuesto o a su
prolongación, por ejemplo . El lado
es la base relativa a dicha altura,
también se dice que es la altura
37
B F
relativa a , así también podemos trazar
desde los vértices B y C las alturas a sus
respectivos lados opuestos o a sus
prolongaciones.
OJO. La única relación que establece la altura es que , no establece que H es el
punto medio de .
BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz
de un ángulo interior, por ejemplo es
la bisectriz del ángulo , si ,
entonces .
BISECTRIZ EXTERIOR: Es la bisectriz
de un ángulo exterior, por ejemplo es la
bisectriz de un ángulo exterior si , si
entonces,
MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa
por el punto medio de un lado, por ejemplo
también por el punto medio de cada
uno de los otros dos lados pasa una ar, la
cual es su mediatriz.
38
LA RELACION DE CONGRUENCIA
DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente
congruentes y sus tres ángulos respectivamente congruentes:
{
} {
}
TEOREMA
La congruencia de los triángulos es una relación de equivalencia.
1. Reflexiva: .
2. Simétrica:
3. Transitiva: (( ) ( ))
CRITERIOS DE LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
AXIOMA (Criterio L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados
respectivamente congruentes.
TEOREMA (Criterio A.L.A.)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado
común a ellos.
Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que ∡B ∡E, BC=EF Y ∡C ∡F.
En la semirrecta tomemos el puto G tal que BG=ED y tracemos por el axioma LAL se
obtiene ∆GBC ∆DEF, luego ∡BCG ∡EFD (∡s.Hs) y como ∡EFD ∡BCA entonces por
transitividad ∡BCG ∡BCA. Por lo tanto G esta sobre la semirrecta y debe coincidir con A y
resulta BG=BA. Por transitividad BA=ED y por el axioma LAL se obtiene ∆ABC ∆DEF.
39
TEOREMA (Criterio L.L.L)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.
Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos
∡FEG ∡CBA con G en el semiplano opuesto de D y EG = BA y tracemos . Por el axioma LAL
se obtiene ∆ABC ∆GEF, luego AC=GF (Ls.Hs) y ∡BAC ∡EGF (∡s.Hs).
En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se forman los triángulos isósceles EDG y FDG, entonces
∡EDG ∡EGD y ∡FDG ∡FGD. Sumando ∡EDF ∡EGF y por transitividad ∡BAC ∡EDF. En
definitiva, por el axioma LAL se obtiene ∆ABC ∆DEF.
TEOREMA (Criterio A1 A2 L1)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado
opuesto a uno de ellos congruente.
Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que ∡B ∡E, ∡C ∡F y AB=DE tomemos sobre
la semirrecta el punto G con BG=EF y tracemos . Por el axioma LAL se obtiene
∆ABG ∆DEF, luego ∡AGB ∡DFE (∡s.Hs), pero ∡DFE ∡ACB entonces ∡AGB ∡ACB (*).
Debemos probar que G coincide con C si no coinciden entonces G precede a C ó C precede a G.
si G precede a C entonces en el ∆AGC se tiene ∡AGB>∡ACB (∡ exterior), lo que
contradice a (*). En forma similar se obtiene una contradicción cuando C precede a G. en
definitiva G y C tienen que coincidir, luego BC=EF y por el axioma LAL se obtiene ∆ABC ∆DEF.
40
Veamos a continuación algunos corolarios del Axioma (LAL). Usaremos únicamente este axioma
para establecerlos.
1. En todo ∆ Isósceles. Los ∡s opuestos a los lados congruentes son congruentes.
2. Todo ∆ equilátero es equiángulo, comparemos nuestras respuestas.
3. En todo ∆ Isósceles la bisectriz del ∡ opuesto A la base también es mediana, altura y
mediatriz con respecto a la base.
4. Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una perpendicular a ella.
Debemos probar tanto la existencia como la unicidad de esa perpendicular
Existencia:
Sea A un punto exterior a la recta L. Tomemos dos
puntos B y C sobre L y tracemos .
Construyamos el ∡CBD tal que BD=BA y ∡CBD=∡CBA,
con D en el semiplano opuesto de A con respecto a L.
Tracemos que corta a L en el punto E. por construcción el ∆ABD es isósceles y es
bisectriz del ∡ABD, luego es altura sobre y en definitiva
Unicidad:
Supongamos que existe otro punto F sobre la
recta L tal que L, luego ∡AFB=900.
Tracemos . Por LAL, ∆ABF ∆DBF, luego
∡AFB ∡DFB, (∡s.Hs) y entonces también
∡DFB=900.
41
Sumando resulta ∡AFD=1800 y por lo tanto A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden porque
las rectas y L solo tienen un punto en común.
5. En todo ∆, cada ∡ext. Es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes a
él.
TEOREMA (Criterio A.L.A.)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado
común a ellos.
Demostración: consideremos ∆ABC y ∆DEF tales que ∡B ∡E, BC=EF Y ∡C ∡F.
En la semirrecta tomemos el puto G tal que BG=ED y tracemos por el axioma LAL se
obtiene ∆GBC ∆DEF, luego ∡BCG ∡EFD (∡s.Hs) y como ∡EFD ∡BCA entonces por
transitividad ∡BCG ∡BCA. Por lo tanto G esta sobre la semirrecta y debe coincidir con A y
resulta BG=BA. Por transitividad BA=ED y por el axioma LAL se obtiene ∆ABC ∆DEF.
COROLARIOS
1. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles.
2. Todo triángulo equiángulo es equilátero.
DEMOSTRACIÓN COROLARIO 1
consideremos el ∆ABC tal que ∡B ∡C, tracemos las bisectrices , tales que A-D-C y A-
42
E-B. Por el teorema ALA resulta ∆BDC ∆CBE luego BD=CE (Ls.Hs). ∡BDC ∡CEB (∡s.Hs). y por
suplementos ∡BDA ∡CEA por el teorema ALA se obtiene ∆BDA ∆CEA luego AB=AC (Ls.Hs).
TEOREMA (Criterio L.L.L)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.
TEOREMA (Criterio A1 A2 L1)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado
opuesto a uno de ellos congruente.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS
TEOREMA
Dos triángulos rectángulos son es si satisfacen alguna de las siguientes condiciones.
Abreviaremos: R recto (90o) C cateto H hipotenusa
A ángulo ady adyacente Op opuesto
1) RCC: si tienen respectivamente congruentes los 2 catetos
2) RCA ady: si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ∡ adyacente a dicho cateto.
∡L∡
3) RCAop: si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ∡ opuesto a dicho cateto. ∡∡L
43
4) RHA: si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo. ∡∡L
5) RHC: si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto.
CONGRUENCIA DE LAS LINEAS NOTABLES HOMOLOGAS
TEOREMA
Si dos triángulos son es entonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente
homologas son es.
TEOREMA- PROPIEDADES DEL TRIANGULO ISÓSCELES
1. Un triángulo es isósceles si tiene 2 ∡s congruentes.
2. En todo ∆ Isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la
bisectriz del ángulo opuesto coinciden.
3. Si en un triángulo dos líneas notables coinciden entonces el triangulo es Isó
TEOREMA- DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO
Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados, se opone un
ángulo mayor, y recíprocamente.
COROLARIOS
1. En todo triangulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. Dado
∆ABC recto en A, sabemos que ∝ y θ agudos es decir que.
∝ luego BC>AC
, luego BC>AB
44
2. En todo triangulo obtusángulo el lado mayor es el que se opone al ∡ obtuso. Dado ∆ABC con
obtuso, luego como∝ y θ son ángulos agudos, entonces:
∝ Luego BC>AC
, luego BC>AB
TERCERA DESIGUALDAD EN EL ∆
En un ∆ cada lado es menor que la sumo de los otros dos lados y es mayor que la diferencia
ordenada de ellos
TEOREMA
En todo triangulo cada lado es menor que la suma de los otros y mayor que el valor absoluto de
la diferencia entre ellos.
Dado el ∆ABC con ab=c, BC=a y AC=b
a< b+c 1) ⇒ de 2) a>b-c y de 3) a>c-b ⇒ a>| |
b< a+c 2) ⇒ de 3) b>c-a y de 1) b>a-c ⇒b>| |
c< a+b 3) ⇒ de 1) c>a-b y de 2) c>b-a ⇒c>| |
TEOREMA
En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto
la diferencia entre ellos.
Dm:
En el ∆ABC tomemos D sobre la prolongación de tal que AD=AC y tracemos y obtenemos
el ∆ADC isósceles con ∡ADC=∡ACD y como es interior al
45
∡BCD resulta ∡ACD < ∡BCD luego ∡ADC < ∡BCD y en el ∆DBC se obtiene ∡D < ∡C, luego BC < BD
= BA + AD, es decir BC < AB +AC. De un modo similar se prueba que
AC < AB + BC y que AB < AC + BC.
De las dos últimos desigualdades se obtiene BC>AC-AB y BC > AB -AC .entonces BC>|AB-AC|.
COROLARIOS:
1. El camino más "corto" entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos.
(Ejercicio)
2. Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente
que tenga sus mismos extremos. (Ejercicio)
3. Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor
que la suma de los otros dos. (Ejercicio)
TEOREMA DE LA BISAGRA
Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido
desigual, entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado, y
recíprocamente.
PERPENDICULARES Y OBLICUAS
Intuitivamente: si estamos en un punto A exterior a la recta L y deseamos llegar a L
recorriendo la menor distancia, caminaríamos ó , vemos que es la menor distancia,
donde L, la medida de será la distancia de A a L, al punto H se le llama pie de la
perpendicular; a y se les llama oblícuas y a los puntos C y B se les denomina pie de la
oblícua, además si A∈L entonces AH=0.
46
TEOREMA
Si desde un punto exterior a una recta se trazan, el segmento perpendicular a la recta, y
segmentos oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces:
1. El segmento perpendicular es menor que cualquiera de los segmentos oblicuos.
2. Dos segmentos oblicuos son congruentes si sus pies equidistan del pie de la
perpendicular.
3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie mas cercano del pie de la
perpendicular es menor, y recíprocamente.
TEOREMA
En un plano, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano
que equidistan de los extremos del segmento.
COROLARIO: en un plano si dos puntos equidistan de los extremos de un segmento entonces la
recta que ellos determinan es la mediatriz del segmento (ejercicio)
TEOREMA
En un plano, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del interior del
ángulo que equidistan de los lados del ángulo.
47
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. En un ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se
toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el A'B'C' es equilátero.
GRÁFICA 17
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ´ ( ) ( )
4
5
6 ( ) ( ) ( )
2. En un ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos B y C, las
cuales se cortan en I. Probar que el BIC es isósceles.
GRAFICA 18
=* +
48
AFIRMACION RAZON
1
2 = = = =
2
2
; ( )
3 = = = ( )
4 ( )
3. En un ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y
CA los puntos E y D con AE=AD:
Probar que DAB=EAC.
GRAFICA 19
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
4. En un ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y
se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que BOB'=COC'.
* +
49
GRAFICA 20
AFIRMACION RAZON
1
2
3 = ( ) ( )
4
5 =
6 =
7
8 ( ) ( ) ( )
9 ( )
10 ( ) ( ) ( )
5. Sobre los lados AB y AC de un ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F
tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que
EHA=FHA y EFH=FEH.
GRAFICA 21
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( ) ( )
50
5
6
7 ( )
8 ( ) ( ) , ( )
9 ( )
10
11 ( ), ( ) ( )
12 ( )
13 ( )
14 ( )
15 ( )
6. Sea OM la bisectriz del XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen
A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que OAC=OBC y AC=BC.
GRAFICA 27
:
AFIRMACION RAZON
1
2 =
3
4
5 ( )
6 ( )
51
7. En un ABC se traza la mediana AM y se prolonga hasta D con AM=MD.
a. Probar que BD=CA.
b. Deducir que la mediana es menor AM que la semisuma de los lados que parten desde el
mismo vértice que ella.
Grafica 25
H: AM mediana
AM=MD
T: BD=CA
+
AFIRMACION RAZON
01 CM=MB
02 AM=MD
03
04 Δ Δ
05
06
07 AB+
08 AB+BD 2AM
09 +
52
CLASE 4 - PARALELISMO
RECTAS PARALELAS Definición: Sean l y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y lo denotamos como l || r, si: i) l es la misma recta r o ii)l es diferente á r y l n r
AXIOMA: EXISTENCIA DE LA PARALELA Por un punto P exterior a una recta L pasa una paralela
AXIOMA DE PARALELISMO: V Postulado De Euclides (V.P.E.)
Si dos rectas distintas l y r, coplanares cortadas por una secante t en puntos distintos, forman con ella en el semiplano πt dos ángulos interiores, de tal manera que la suma de sus medidas sea menor que 180o, entonces las dos rectas se cortan en algún punto del semiplano πt. Es decir si 180QAB ABQ entonces l y r se cortan en πt. El quinto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene un enunciado equivalente, llamado el postulado de la paralela única de Playfair, el cual dice asá: "por un punto exterior a una recta pasa una paralela a la recta y solo una".
53
TEOREMA
El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela única de Playfair.
Demostración. Asumamos que se cumple el postulado de la paralela única de Playfair, es decir, que para toda recta L y todo P L existe una única recta r tal que P r y r || l. Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que: 1 2 180
Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano πt, Es claro que
1 3 180 , de donde, 1 3180 Como 1 2 180 , entonces 180o — 3 + 2 <180o, de donde 2 < 3 . Es decir que las rectas l y m son secantes.
TEOREMA Si dos rectas son perpendiculares a una tercera ellas son paralelas entre si.
Sea t la perpendicular a l y r que pasa por P y Q respectivamente. Supongamos que
APQ y BQP son agudos es decir que 180APQ BQP entonces l y r son secantes. Luego l y r son paralelas
54
TEOREMA
Si dos rectas distintas y coplanares son paralelas, toda secante que
corta a una de ellas corta a la otra.
Demostración Supongamos / || r y que s corta a la recta l en un punto B. Por tanto la recta s es distinta a la recta l. Veamos que s corta a r.
En efecto, si s no cortara a r se tendría s || r, con s pasando por B. En conclusión tendríamos dos rectas pasando por B (s y l) ambas paralelas a r. Luego, por el postulado de Playfair se tendrá que s l . Contradicción, ya que s es distinta a l. TEOREMA
El paralelismo de rectas es una relación de equivalencia, o sea que es:
reflexiva, simétrica y transitiva. 1. Reflexiva: es claro que / || /. 2. Simétrica: también es claro que si l || r, entonces r || l. 3. Transitiva: supongamos que l || r y r || s con l, r y s todas distintas.
55
ANGULOS ENTRE PARALELAS
Si se tienen dos rectas l y m paralelas cortadas por una secante s se forman
los siguientes ángulos congruentes:
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS ENTRE PARALELAS
Los ángulos alternos internos, son aquellos ángulos ubicados en lados distintos
con respecto a la secante y al interior de las paralelas. Teorema: Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos alternos internos que forman con cualquier secante son congruentes.
Demostración. Sean l paralela a r y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A. Sea O punto medio de AB. Tracemos desde O, OH l Como OH l y l paralela a r, entonces OH r . Así que si llamamos Q al punto de encuentro de OH con r se tendrá que OQA es recto. Ahora OBH OQA (hipotenusa - ángulo agudo). Luego OAQ HBO por s sH , lo que demuestra el teorema. Lo mismo sucede con
s sOAQ HBO .
Es decir que para la situación inicial 1 5 y 2 7 .
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS ENTRE PARALELAS Los ángulos alternos externos son aquellos ubicados en lados distintos respecto a la secante y al exterior de las paralelas
I
56
TEOREMA: Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos alternos externos que forman con cualquier secante son congruentes. Demostración: Como 1 5 por el teorema anterior, 1 4 180 y 5 6 180 por ser ángulos suplementarios entonces 1 5
s s , es decir que 4 6 .
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES ENTRE PARALELAS Son aquellos ángulos ubicados del mismo lado de la secante y se encuentran uno al interior de las paralelas y el otro fuera de ellas. TEOREMA: Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos correspondientes que se forman con cualquier secante son congruentes.
Demostración:
Como 1 5 y ˆ ˆ1 3 por ser opuestos por el vértice y ˆ5 8 por la misma
razón. Por sustitución resulta que 3 8 y por suplemento 6 4 .
ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS
Son aquellos ángulos ubicados al interior de las paralelas y del mismo lado de la
secante.
TEOREMA: los ángulos colaterales internos son suplementarios
Demostración:
Si 1 2 180 por ser suplementarios y 1 5 por ser alternos internos,
por sustitución 5 2 180 . De la misma manera se prueba que
1 7 180
ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS
Son aquellos ángulos ubicados al exterior de las paralelas y del mismo lado de
la secante.
TEOREMA: los ángulos colaterales externos son suplementarios
Su demostración se deja como ejercicio.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL TRIANGULO
TEOREMA (Suma de los ángulos interiores de un triángulo).
La suma de las medidas de los ángulos interiores de todo triangulo es
180°.
57
Demostración:
Sea l AB trazada por C . Como l AB y BC secante, entonces: 2 Y Como
l AB y AC secante, entonces: 1 . Además es claro 1 2 180 . Luego:
180 .
COROLARIO: En todo triangulo rectángulo, la suma de las medidas de los ángulos agudos es 90°.
Como demostramos anterior mente 180A B C , pero como B es
recto entonces 90A C . Además 90C A pero ,
90cA A es decir que ángu los agudos serán
complementar ios .
ANGULO EXTERIOR
Un ángulo exterior en un triángulo, es el ángulo menor que se forma entre un lado la prolongación del lado adyacente.
58
TEOREMA: La medida de todo ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. Demostración: Se pro longa AC, por lo cua l 180 , de l T .F .T 180 ,
i gua lando resu lta que , de lo cua l se der iva que que
.
DISTANCIA ENTRE PARALELAS TEOREMA: si dos rectas son paralelas entonces la distancia entre ellas es
constante.
Demostración:
Sea l m , se construye BC AB y AD DC , luego 90B D , se traza
AC secante y lado común, y como l m entonces DAC ACB por alternos
internos, luego DAC ACB por (A-A-L). De ahí que DA CB por s sL H
TEOREMA: PARALELA MEDIA DE UN TRIÁNGULO
En un triángulo se cumple que: i. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo
es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de la medida del tercer lado.
ii. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una
paralela a un lado, dicha paralela biseca al otro lado.
59
Demostración. Sean M y N puntos medios de AC y CB, respectivamente. Demostremos que:
MN AB Prolonguemos MN tal que: MN = NT. Los triángulos MNC y TNB son congruentes por L-A-L. (1)Luego los ángulos: 1 y MC = BT. Luego de (1), las rectas TB y CA son paralelas por hacer ángulos alternos congruentes con la secante MT. Como MC = MA, entonces MA = BT y MAT = ATB (ángulos alternos internos entre paralelas) y además, AT = AT. Luego, MAT = ATB (L-A-L). Así, MTA = TAB (por definición de congruencia de triángulos); luego, MT || AB (Teorema de los alternos internos) y MT = AB. Si N es el punto medio de MT, entonces: MN || AB ii ) Sea ABC, M punto medio de AC. MN || AB, por N tracemos una paralela a AC, que corta a AB en T.
Tenemos: MNC = TBN, ya que
CMN = ATB, ACB = TNB (por correspondientes) y MC=AM=TN.
Entonces CN = NB.
TEOREMA. MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA En todo triangulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa.
60
Demostración.. Sea AM mediana del triángulo rectángulo BAC. Sea D el punto
medio de AB, entonces por teorema anterior MD || CA y por lo tanto MDB es
recto. Luego el triángulo AMB es isósceles. De aquí concluimos que: AM = MB y como M es punto medio de BC se tiene que: AM = BM = MC
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. En un XOY se traza su bisectriz . Por un punto A sobre el lado se traza la paralela a
, que corta a en B. Probar que el AOB es isósceles.
GRAFICA 32
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( ) ( )
4 ( )
2. En un ABC se trazan las bisectrices del B y del C que se cortan en un punto I. Por I se
traza , D sobre y E sobre . Probar que:
a. DBI y ECI son isósceles.
b. Perímetro ADE = AB + AC.
GRAFICA 33
D-I-E
( )
( ) +
AFIRMACION RAZON
OZ OX
OY OZ
DE ll BC AB AC
61
1
2
3
4 ∡
5 ( ) ( )
6 ( ) ( )
7 ( )
8 ( )
9 ( )
10 ( )
11 + +
12 + ( + ) +
13 + ⏟ + + ⏟ ( ) ( )
14 +
3. En un ABC se prolongan los lados y , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar que
.
GRAFICA 34
B'C'
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
BA CA
B'C'll BC
62
4. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos,
entonces sus bisectrices son perpendiculares.
GRAFICA 35
AFIRMACION RAZON
1
2 AOP
3
4
5
6
7 ( )
8 +
9 + ( ) ( ) ( )
10 + ( )
11 + +
12 ( ) ( )
13
14
5. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares,
entonces sus bisectrices son paralelas.
GRAFICA 36
AFIRMACION RAZON
63
1
2
3
2
4 Tracemos
5 + +
6 + +
7 ( + ) + ( + )
+ + ( ) ( )
8 + + +
9 90 + + + ( ) ( ) ( ) en ( )
10 2 + ⇒ + ( )
11 ∝ + +
12 ∝ + ( )
13 + ∝ + ( ) ( )
14 ∝ ( )
15
16
6. Probar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a
la base.
GRAFICA 37
AFIRMACION RAZON
1
2 =90
3
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
8
9 ( )
64
10 ( )
11 + +
12 + de ( ) ( )
13 + + =180
14 + ( ) ( )
15 + + ( ) ( )
16 ( )
17
7. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos son rectos, entonces las bisectrices de los
otros dos ángulos son paralelas.
GRAFICA 38
Podemos observar fácilmente que el ejercicio planteado es similar al ejercicio 5 de dicha
unidad, veamos que la gráfica 36 cobija los mismos elementos (realízalo)
8. En ABC, isósceles de base , se toma un punto cualquiera P sobre , y por los puntos
medios M y N de los segmentos y se trazan y , E sobre y F sobre
. Demostrar que EPF = A.
GRAFICA 39
AFIRMACION RAZON
1
2
3
BC BC
BP PC ME BC NF BC AB
AC
65
4 ( )
5 ( )
6 6. ( )
7 ( )
8 + +
9 + + ( ) ( ) ( )
10 + +
11 + + + + ( ) ( )
12
66
CLASE 5 - CUADRILÁTEROS
CUADRILÁTEROS
Es un polígono cerrado que tiene cuatro
lados y cuatro ángulos
Lados: , , ,AB BC CD AD
Ángulos: , , ,A B C D
, , ,DAB ABC BCD ADC
Diagonal: es la línea que une dos vértices
no consecutivos de un polígono.
Diagonales: ,AC BD
Cuadrilátero convexo: un cuadrilátero es
convexo, cuando al unir dos puntos
distintos de lados consecutivos, el
segmento que une los puntos dados esta al
interior del polígono.
Cuadrilátero no convexo: un cuadrilátero es no convexo, cuando al unir dos
puntos distintos de lados consecutivos, el segmento que une los puntos dados
esta fuera del polígono. Se puede decir que este cuadrilátero tiene al menos
un ángulo interior mayor que un ángulo llano.
67
Ejercicio:
Se tiene un cuadrilátero no convexo ABCD, demostrar que D A B Cext Demostración:
Sea el cuadrilátero no convexo ABCD, se
prolonga AD hasta R, con R sobre BC. Se tiene
que D A B RC por ser Angulo
Exterior del triángulo ABR. luego D A B Cext , por ser ángulo
exterior del triángulo DRC.
Teorema: la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°
Demostración:
Sea el cuadrilátero convexo ABCD, se traza la
diagonal AC la cual determina los triángulos
ABC y ACD. Luego A B C 180 para el
triángulo ABC y A D C 180 para el
triángulo ADC. Luego la suma de los ángulos
interiores es 360°.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
Trapezoide: es un cuadrilátero que no tiene lados paralelos
68
Propiedades
1. 4 LADOS: AB,BC, CD, AD
2. 4 ANGULOS : A , B , C , D
3. A B C D 360 4. 2 DIAGONALES :AC , BD
Trapecio: es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos
El trapecio tiene 2Ls. os y 2Ls. no os .
Teorema: en todo trapecio los lados paralelos son desiguales.
Estos lados se llaman BASE MAYOR, ejemplo AB y BASE MENOR CD ,
Ejemplo DC , el segmento que tiene por extremos los p.ms. de los Ls. noos
se
llama BASE MEDIA, ejemplo MN ; la distancia entre las bases es la altura,
Ejemplo EF y CH , recuerde que ellas son es , Por que la distancia entre as
es
constante.
Teorema: en todo trapecio, los s
adyacentes a cada uno de los Ls. no
asson suplementarios.
Demostración: como AB CD ,
entonces por col. Int supl
B + C = 180 , y A + D = 180 .
69
Resumen
1. 2 LADOS PARALELOS : AD , BC 2. ANGULOS COLATERALES INTERNOS
A B =180°
C D 180
3. BASE MAYOR: AD
4. BASE MENOR: BC
Teorema: Base Media
La base media del trapecio es
equivalente a la semisuma delas bases
Demostración: Sea ABCD un trapecio con AB DCy AD BC
Tracemos DB, MP y PN con M, P y N los punto P medios de DA, DB y CB
respectivamente.
En el DAB , MP AB y MP = AB 2 (base media) y en el BCD ,
PN DC y PN = DC 2(base media), luego por el postulado de Euclides las
rectas MP y PN coinciden y resulta. AB MN DC y MN =(AB + DC) 2 .
Tarea: Demostremos el reciproco y esto es: en un trapecio si por el p.m. de uno
de sus lados no os .se traza una a a una de las bases, entonces dicha
a
cortará al otro lado no o . en su p.m. luego se establece la B.M. la cual tendrá
por medida la semisuma de las bases.
Teorema: el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un
trapecio está contenido en base media y es congruente con la semidiferencia
entre las bases mayor y menor.
Dado: ABCD trapecio
AC y BD Diagonales con P y Q
Sus puntos medios.
70
Demostración:(recuerde el teorema: si por el punto medio de un ∆ tazo una
paralela a un tercer lado el segmento así determinado cortará el segundo lado
en su punto medio y será congruente en la mitad del lado a que es paralelo)
en ∆ ABD si por Q punto medio de BD trazo QM AB M será punto medio de
ABAD y MQ =
2 también MQ DC .Transitividad entre paralelas por M
punto medio de AD en el ∆ ADC pasa una paralela a DC esta cortará al lado
AC en su punto medio el cual coincide con P M,P y Q son colineales; Además
DCMP
2 ,así también como MQ DC en ∆ DCB por Q pasa una paralela a
DC esta cortará al lado CB en su punto medio que coincide con
N M,P,Q y N son colíneales además DC
QN = ;2
así tenemos que M y N son los
puntos medios de AD y BC y esto es MN es la base media del trapecio.
MN=MP + PQ + QN , pero MN es base media del trapecio
AB DCMN= + = MP + PQ + QN
2 2
AB DC AB DCPQ = + - MP - QN PQ = +
2 2 2 2
DC -
2
DC -
2
AB DC AB -DC
PQ = - PQ = 2 2 2
Clasificación de los trapecios
Trapecio escaleno:
Tiene dos lados paralelos y dos
desiguales. AD BC
y
sABno CD
71
Trapecio rectángulo:
Tiene dos lados paralelos y dos
ángulos rectos.
Trapecio isósceles:
Tiene dos lados paralelos, y
los lados no paralelos
congruentes.
Teorema: Los ángulos adyacentes a la base mayor son congruentes.
Demostración
Como BC AD entonces BH CR y 090H R por distancia entre lls, así
que El ABH CRD por relación Recto -Hipotenusa-Cateto, luego A D
Por ser ángulos homólogos.
Teorema:
En un trapecio isósceles los ángulos adyacentes a la base menor son
congruentes.
Demostración
Si A D luego 180 180A D es decir s sA D pero B C
por ángulos colaterales internos.
Teorema:
En un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
72
Demostración
Si ABCD es un trapecio iso entonces AB CD y A D , además AD AD por
lado común, luego ABD ACD Por el criterio L-A-L. Así que BD AD
Por lados Homólogos.
Ejemplo 1.
En un triángulo ABC se prolonga AB y AC hasta M y N tal que BM = AB y CN =
AC , se traza MN . Probar que M, B y N = C
Demostración.
ABC Por hipótesis.
1. Se prolonga AB y AC hasta M y N Por hipótesis.
2. BM AB y CN AC Por hipótesis.
3. B es punto medio de AM Por hipótesis.
4. C es punto medio de AN Por hipótesis.
5. BC MN Paralela media AMN de 4 y 5.
6. B M Por <’s correspondientes en 6.
7. C N Por <’s correspondientes en 6.
Ejemplo 2.
En un triángulo ABC, se toman los puntos medios M, N y P de los lados AB , AC ,
y BC , se traza la altura AH y los segmentos MN , NP y MH . Demostrar que
MNPH es un trapecio isósceles.
73
Demostración:
1. ABC Por hipótesis.
2. M, N, y P son puntos medios Por hipótesis.
de AB , AC , y BC
3. AH es altura Por hipótesis.
4. MN , NP y MH segmentos Por hipótesis.
5. HPMN Paralela media ABC en 2 y 4.
6. HP está en BC Por 3 y 2.
7. MN HP Por 6 en 5.
8. MNHP es un trapecio Por 7.
9. BAH es rectángulo Por 3.
10. HM es mediana relativa Por 9 y 2
a la hipotenusa
11. BM MA MH2
AB Por 10
12. 2
ABNP Paralela media ABC en 2.
13. MHNP Por transitividad en 11 y 12.
14. MNPH es trapecio isósceles Por 8 y 13.
PARALELOGRAMO.
Es un cuadrilátero que tiene sus lados
opuestos congruentes.
;
Teorema:
En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.
Demostración:
1. ABCD es paralelogramo Por hipótesis.
2. AB DC AD BC Por 1.
3. AC diagonal Por 1.
4. BAC ACD Por <’s alternos internos en 2 y 3
5. BCA ACD Por <’s alternos internos en 2 y 3
6. AC AC Por lado común.
7. ABC ADC Por criterio (A-L-A) EN 4, 6 Y 3.
8. B D Por <’s homólogos en 7.
9. A C Por <’s homólogos en 7.
74
Teorema:
En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes.
10. AB DC Por lados homólogos en 7.
11. AD BC Por lados homólogos en 7.
Teorema:
En un paralelogramo dos ángulos consecutivos son suplementarios.
12. A =180°D Por 2
13. + C =180°B Por 2
14. A =180°B Por 2
15. C D 180 Por 2
Teorema:
En un paralelogramo las diagonales se
bisecan (se cortan en su punto medio)
Ejemplo 3:
En un paralelogramo ABCD se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en
O. Demostrar que el triángulo AOB es congruente con el triángulo OCD.
Demostración:
1. AOB DOC Por criterio (A-L-A).
2. AO OC Por lados homólogos.
3. OB OD Por lados homólogos.
4. O punto medio de AC
5. O punto medio de BD
Ejemplo 4:
En un paralelogramo ABCD se prolongan AB en BE congruente con BC y AD
en DF congruente con DC .
Probar:
a. Que el ángulo DCF es congruente con el ángulo BCE.
b. Que los puntos F, C, y E están alineados.
75
a). 2 2
2 2
b). 2 180
180
Demostración:
Punto a.
1. ABCD gramo Por hipótesis.
2. BE BC DF DC Por hipótesis.
3. DCF isósceles Por 2.
4. F C Por 3.
5. BCE isósceles Por 2
6. E C B Por 5.
7. D 2 .Ext DCF 8. =2B .Ext BCE
9. D B Por 1.
10. 2 2 Sustitución de 7 y 8 en 9.
11. Propiedad uniforme en 10.
12. DCF BCE Sustitución de 4 y 6 en 11.
Punto b.
13. 180D C Por 1.
14. 2 180 Por 7.
15. 180 Por suma de ángulos.
16. 180DCF BCE DCB Sustitución de 4 y 13 en 15
17. 180FCE Suma de ángulos en 16.
18. FCE es llano Definición de ángulo llano.
19. F C E Definición de ángulo llano.
76
RECTANGULO:
Es un cuadrilátero que tiene 4 ángulos
congruentes
A B C D
Teorema:
En un rectángulo, sus ángulos son rectos.
Demostración
Sea ABCD un cuadrilátero rectángulo es decir que A B C D y
360A B C D , así que 360A A A A , por sustitución
4 A = 360°, luego A= 90 por tanto 90A B C D
Corolario:
Si un cuadrilátero tiene tres ángulos
rectos es rectángulo
Demostración
Como ABCD es cuadrilátero entonces 360A B C D , pero si tiene 90A B C al sustituir resulta que 90 90 90 360D , de donde
0 0360 270D , lo cual implica que 090D . Es decir que
90A B C D .
Teorema:
Un rectángulo es un paralelogramo.
Demostración:
Sea ABCD rectángulo. Como 90A B por ser rectángulo implica que AD BC , de la misma manera como 90C B resulta que AB DC . Luego
como los lados opuestos son paralelos ABCD es gramo .
Consecuencias
Como ABCD es rectángulo se deriva que:
i. Los lados opuestos son paralelos
ii. Los lados opuestos son congruentes
77
iii. Las diagonales se bisecan
iv. Los ángulos opuestos son congruentes
Teorema:
Un rectángulo tiene sus diagonales congruentes.
Demostración
Como ABCD es rectángulo AD BC por ser gramo , C D=90 por que sus
ángulos son rectos y DC lado común, es decir que ADC BCD por (L-A-L),
luego s sAC BD por L H .
ROMBO:
Es un cuadrilátero que tiene sus lados
congruentes.
AB BC CD AD
Teorema:
Un rombo es un paralelogramo.
Demostración
Como un rombo cumple que AB BC CD AD por definición, es decir que los lados opuestos son congruentes dos a dos, luego es un paralelogramo.
Consecuencias
Si un rombo es gramo entonces :
Lados opuestos son paralelos.
Lados opuestos congruentes
Ángulos opuestos son congruentes.
Las diagonales se bisecan
Los ángulos consecutivos son suplementarios.
78
Teorema:
En un rombo las diagonales son bisectrices.
Este teorema se deja como ejercicio para el lector
Teorema:
Las diagonales son perpendiculares.
Demostración:
Si ABCD es rombo, entonces es gramo por lo que A =180°B , por ser ángulos consecutivos y como
2 2 180 , aplicando la propiedad uniforme
+ . Luego para el triangulo ARB se cumple que 180A R B , es decir que 180R ,
sustituyendo lo anterior resulta que 90 180R y
por propiedad uniforme 90R , es decir que AC DB .
CUADRADO
En un cuadrilátero que es rombo y rectángulo
Consecuencias
Rombo: las diagonales son perpendiculares, y las
diagonales bisecan.
Rectángulo: las diagonales son congruentes, los
ángulos son congruentes y los ángulos son rectos.
Ejemplo 5:
En un cuadrado ABCD se prolongan sus lados opuestos en su longitud, y en
sentidos opuestos: BM AB, DN CD, CP BC, AQ DA . Se trazan MN y PQ
Demostrar que PQ MN .
79
Demostración:
1. Por hipótesis.
2. BM AB, DN CD, CP BC Por hipótesis.
3. MN y PQ Por hipótesis.
4. AB BC CD AD Por 1.
5. 90A B C D Por 1.
6. BM CP ND AQ Por 2 y 4.
7. AM BP CN DQ Suma de segmentos de 4 y 6.
8. 90s s s sA B C D ángulos suplementarios en 5
9. QAM BMP PCN NDQ (L-A-L) de 7, 8 Y 6.
10. AMQ MPB PCN NDQ Por ángulos homólogos de 9.
11. MQA BMP CPN DNQ Por ángulos homólogos de 9.
12. + Ángulos suplementarios de 8
En 10 y 11
13. 90QMP MNP PNQ NQM Suma de 10 y 11, sustitución 12
14. Por 13.
15. PQ MN Def .diagonales en rectángulo.
Ejemplo 6:
En un rombo ABCD se traza BM perpendicular a AD y DN perpendicular a
BC Demostrar que BMND es un rectángulo.
80
Demostración:
1. Por hipótesis.
2. BM AD Por hipótesis.
3. DN BC Por hipótesis.
4. ABCD gramo Por 1.
5. CD AD Por 4.
6. BN MD Por 5.
7. 90M N Por 1 y 2.
8. =90°B Criterio //lismo en 2 y 6.
9. Por 7 y 8.
81
CLASE 6 - CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan
de un punto fijo llamado centro.
Dado un plano y un punto O en dicho plano un número real positivo ( ),
se llama ―circunferencia de centro O y radio r ‖, C,(O, )r ‖al conjunto formado
por los puntos P del punto , tales que, OP = r El símbolo C O, r , C indica circunferencia, O indica el centro y r indica el
radio. Se lee ―circunferencia de centro O y radio r ‖.
Radio:
Es la distancia que hay desde el centro hasta cualquier punto sobre la
circunferencia.
Teorema:
En una circunferencia todos los radios son congruentes.
Teorema:
Una circunferencia tiene infinitos radios.
Cuerda:
Una cuerda es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro:
Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
82
Teorema:
Una circunferencia tiene infinitos diámetros.
Teorema:
Un diámetro equivale a dos veces el radio.
Demostración
El diametro AC = OC+OA, entonces AC= r+r = 2r = d.
Teorema:
Todos los diámetros de una circunferencia son congruentes.
Teorema: en una circunferencia el diámetro es la lmayor de las cuerdas
Dado: El diámetro EF y la cuerda AB que pertenecen a la C O, r , debemos
demostrar que: EF AB (observe que la conclusión a que hemos de llegar es a
una desigualdad entre dos segmentos y sabemos que EF 2r .
Cuál de los teoremas de desigualdad en el triángulo emplearemos? al unir los
extremos de una cuerda con el centro de la circunferencia siempre se genera
un triángulo isósceles, por tener dos lados congruentes cuya medida es igual al
radio, excepto si la cuerda es un diámetro.
Demostración: Tracemos AO OB r , entonces AB AO + OB (¿porque?)
AB r r AB 2r o sea que AB EF o EF AB , entonces el diámetro si
es la mayor cuerda.
Arco:
Un arco es la región de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
Axioma:
A cada arco puede hacerse corresponder un número real en grados que equivale
a la medida de este.
, , ,
83
Medida angular de un arco: es la medida del ángulo central que subtiende.
Nota: la palabra subtiende puede interpretarse como intercepta.
Ejemplos: AO B 30 AB 30
COD 30 CD 30
SI EOF 2 EF 2
Teorema: El arco 'AA = 0°. El arco 'AA = 360°.
Corolario: la semicircunferencia tiene por medida del arco 180°. Es decir que
AC = 180° Tangente:
Es la línea que toca a la circunferencia en solo un punto.
a Es tangente de la circunferencia (O,r) en el punto T.
Secante:
Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.
b Es secante de la circunferencia (O,r) en los puntos E y F.
POSICIONES RELATIVAS
I. Posición relativa de un punto con respecto a una circunferencia:
84
Un punto con respecto a una circunferencia puede ser:
a) Exterior: fuera dela circunferencia. P es un punto exterior a la
circunferencia.
b) Sobre: si el punto pertenece a la circunferencia M pertenece a la
circunferencia.
c) Interior: si el punto está dentro de la circunferencia A esta dentro de
la circunferencia.
II. Posición relativa de una recta con respecto a una circunferencia:
Una recta con respecto a una circunferencia puede ser:
a) Exterior: no tiene puntos en común.
a es exterior a la circunferencia.
b) Tangente: tiene un solo punto en común con la circunferencia.
n es tangente con la circunferencia en el punto C.
c) Secante: tiene dos puntos en común.
b es secante a la circunferencia en A y B.
III. Posición relativa entre dos circunferencias:
La posición relativa entre dos circunferencias esta dada por la distancia entre
los centros de ellos.
a) Exteriores: no tienen puntos en común.
d = 1 2O O > R + r
85
b) Tangente exterior: es un punto exterior.
c) Tangente interior:
d) Secantes: tienen dos puntos en común.
e) Interiores: una circunferencia contiene a la otra.
f) Concéntricas: tienen el mismo centro.
d = R + r
d = R - r
d < R + r
d < R - r
86
ÁNGULOS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo central: es un ángulo en el cual el vértice esta en el centro de la
circunferencia.
Teorema:
La medida del ángulo central equivale al arco subtendido por él.
Ángulo inscrito: El vértice del ángulo esta sobre la circunferencia y sus lados
son cuerdas de ella.
Teorema:
La medida de un ángulo inscrito equivale a la mitad del arco subtendido.
2
ABm
d = 0
87
Demostración
Se tiene la C(O, r) en ella OA = OD por ser radios, es decir que AODesiso Por lo que A D , luego 2AOB , por ser ángulo exterior al triangulo.
Pero 2AOB AB , de donde 2
ABADB .
Ángulo semi-inscrito: es el ángulo menor que tiene el vértice sobre la
circunferencia, y los lados del ángulo son una tangente a la circunferencia, y
una cuerda de ella.
Teorema:
La medida de un ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del arco subtendido.
Su demostración se deja como ejercicio al lector
Teorema:
Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su pinto
de tangencia.
Demostración
Como un radio hace parte del diámetro, él esta en la cuerda que subtiende
media circunferencia ( diámetro), es decir que el ángulo central es 180° , pero
como el otr lado de la cuerda es una tangente , el ángulo oes semiincrito, luego
88
la medida del ángulo es 180°/2 = 90 °. Por lo cual se deriva que son
perpendiculares.
Ángulo interior: tiene el vértice al interior de la circunferencia, y sus lados
son cuerdas secantes.
2 2
2
AB CD
AB CD
Teorema:
La medida de un ángulo interior equivale a la semi-suma de los arcos arcos
subtendidos.
Demostración
Se tiene una C(O,r) y en ella 2
BCCDB por ser ángulo inscrito,
2
ADABD por ser un ángulo inscrito, pero APD por ser i un
ángulo exterior. Luego resulta que
, ,2 2 2
AB CD AB CDAPD APD APD
Ángulo exterior: es aquel ángulo que tiene el vértice fuera de la
circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Teorema: en una circunferencia un ángulo exterior equivale a la semidiferencia
de los arcos subtendidos
89
2
DA BC
*La demostración se deja como ejercicio al lector, (utilice el bosquejo de la
demostración que aparece al lado dela grafica).
ARCOS Y CUERDAS
Arcos congruentes: Dos arcos de una circunferencia o de circunferencias
congruentes son congruentes si subtienden s centrales es
Dadas C O,r y C O', 'r tal que = 'r r y AB = CD = EF
Observemos: son iguales a en grados y son congruentes.
ARCOS DESIGUALES: dos arcos de una misma circunferencia o de
circunferencias es son desiguales y será mayor el que subtienda mayor
central.
Dadas C ,O r y ', 'C O r
tal que = 'r r , y
Teoremas: en una misma circunferencia o en circunferencias es se cumple:
1. Dos s centrales son es sii subtienden cueras es .
Dado la C ,O r
con AB CD, demostremos que los s .centrales que estas
cuerdas subtienden son es .
90
En efecto BOA COA LLL
y por .s Hs AOB = COD = .Además
podemos afirmar que AB CD ya que s centrales es subtienden arcos
congruentes.
2. Dos cuerdas son es , sii subtienden arcos es .
Dado C O,r con AB CD , demostremos que AB CD en efecto como
AB CD , entonces AOB = COD = (arcos es subtienden s centrales es )
y s centrales es subtienden cuerdas es AB CD
3. La menor de dos cuerdas desiguales subtiende un arco menor y ángulo
central menor y recíprocamente.
Dado C O,r con AB CD .
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Ejemplo 1: Hallar los ángulos y arcos pedidos.
2 3 360y y y
Arco de circunferencia
6 360
60
y
y
.
60Z AC Por ser ángulo central
91
2
ACX
Por ser ángulo inscrito.
60
302
X X
Ejemplo 2:
100CA Por ser ángulo inscrito.
260AC Arco de circunferencia = 360°.
260 10080
2 2
AC CAZ
Ángulo exterior.
Ejemplo 3:
92
ABCD es cuadrado 90A B C D
AB BC CD AD
90DA AB BC CD Por ser ángulos centrales
9045
2 2
ADZ
Por ser ángulos semi-inscritos
45
2 2
MCY
Por ser ángulos inscritos.
Teorema:
En una circunferencia, a arcos congruentes le corresponden cuerdas
congruentes.
Teorema:
En una circunferencia, a ángulos centrales congruentes le corresponden
cuerdas congruentes.
Teorema:
Si los arcos comprendidos entre 2 cuerdas son congruentes, entonces las
cuerdas son paralelas.
Teorema: arco capaz
En un arco de circunferencia, los ángulos subtendidos por el mismo arco son
congruentes.
93
Teorema:
Todo ángulo inscrito en una semi-circunferencia es recto.
PROPIEDADES DE UN DIAMETRO PERPENDICULAR A UNA CUERDA
Teorema: Dada una cuerda fija, por ejemplo AB si otra secante a ella, por
ejemplo NP cumple dos de las primeras cinco propiedades siguientes, entonces
las cumple todas y si cumple la sexta las cumple todas.
Nota: abreviaremos diámetro con el símbolo .
1. NP es diámetro NP es
2. NP
3. NP biseca a AB
4. NP pasa por el medio del arco menor AB
5. NP pasa por el punto medio del arco mayor AB
6. NP es bisectriz del central que subtiende AB o sea del AOB .
94
Teorema:
Si se inscribe un cuadrilátero en una circunferencia entonces ángulos opuestos
son suplementarios.
180
180
2 2 180
180
C A
B D
ARCOS Y PARALELAS
Teorema: Dos arcos o dos cuerdas comprendidas entre paralelas son
congruentes.
DEMOSTRACIÓN: Dada la C O,r con AB y CD dos cuerdas en esta. Tal que
AB CD ; tracemos el diámetro HH' tal que HH' CD y por ende será
perpendicular a AB .
Se cumple que
1. CH HD ¿Por qué?
2. AH HB ¿por que?
(1)-(2): CH - AH HD - HB
AC BD , luego AC BD . ¿por que?
Podemos afirmar que: arcos entre as son es y las cuerdas entre as son
congruentes.
95
Tomemos L tangente a la C O,r
en H' , entonces OH' L , además con
CD ' , luego L CD perpendiculares a tercera , entonces CH' = DH' y
CH' DH' ¿piense?
Teorema (Criterio de paralelismo): Si en una circunferencia dos cuerdas o dos
arcos son congruentes, entonces sus extremos determinan un par de rectas
paralelas.
DEMOSTRACIÓN: Dada la C O,r
con AB y CD dos cuerdas de esta /
AB CD , entonces AB CD . Demostremos que CB AD .
En efecto AB AC + CB y CD = CB + BD restando 0 = AC - BD , luego
AC BD AC = BD ACD DBA LLL CAD = BDA = ,
Así, también CBD = BAC LLL ACB = CBD = , en el cuadrilátero
ABCD 2 + 2 = 360° + = 180° , Así, que si y son colaterales y
suplementarios, entonces CB es paralela a AD .
Ejemplo 4:
En una circunferencia (O, r) en un diámetro AB y una cuerda AC forman un
ángulo de 30°, se traza la tangente en el punto C qUe corta al diámetro
prolongado en D. Demostrar que el triángulo ACD es isósceles.
96
1) C(O,r) Por hipótesis.
2) AB Diámetro Por hipótesis.
3) AC Cuerda Por hipótesis.
4) 30CAD Por hipótesis.
5) 60BC Ángulo inscrito.
6) 180BA Por 2.
7) 120CA Por resta de 5 y 6
8) 2
CA BCD
Ángulo exterior.
9) 120 60
302
D
Sustitución de 7 y 5 en 9.
Ejemplo 5:
En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se trazan las alturas AD y
BF que se cortan en H, se prolonga AD hasta que corte la circunferencia en
M, y BF hasta que corte a la circunferencia en P. Demostrar que HD DM .
1) C(O, r ) Por hipótesis.
2) ABC Inscrito Por hipótesis.
3) AD BF Por hipótesis.
4) H AD BF Por hipótesis.
5) DM FP Prolongaciones Por hipótesis.
6) AD BC Por 3.
7) BF AC Por 3.
8) 90D F Por 6 y 7.
9) BM Construcción auxiliar.
10) 2
AB MCD
Ángulos interiores.
11) 2
AB CPF
Ángulos interiores.
12) AB
2
MC AB
2
CP Sustitución de 10 y 11 en 8.
13) 2MC CP Propiedad uniforme en 12.
14) HBD Ángulo inscrito.
97
15) DBM Ángulo inscrito.
16) , secDB bi triz HBM Por 14 y 15
17) ,BD altura Por 8.
18) ..HBM isosceles Por 16 y 17.
19) ,BD mediana Por 18,16, y 17.
20) HD DM Por 19.
Ejemplo 6:
Dado el vértice A de un triángulo ABC equilátero, se traza el arco menor de la
circunferencia que pasa por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se
trazan DB y DC . Demostrar que la recta que une el punto medio del radio AB
con el punto medio de DC es perpendicular a la recta que une el punto medio
AC con el punto medio de DB .
1) ABC equilátero Por hipótesis.
2) BC Arco menor Por hipótesis.
3) A Centro Por hipótesis.
4) AB AC BC R Por 1 y 3.
5) , , ,M R N Q Puntos medios de , , ,AB AC CD BD Por hipótesis.
6) 2 2
BC RMR BC MR Medida ABC Por 5
7) .. ..2 2
BC RQN BC QN medida BCD Por 5.
8) MR QN MR QN Por 6 y 7.
9) AD R Por 2 y 3.
10) .. ..2 2
AD RRN AD RN medida ADC Por 5.
11) .. ..2 2
AD RMQ AD MQ medida ABD Por 5.
98
12) RN MQ RN MQ Transitividad 10 y 11.
13) 2
RMR QN RN MQ Por 6, 7,10 y 11.
14) ....MRNQ rombo Por 13.
15) MN RQ Diagonales en 14.
Polígono inscrito:
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices son puntos
de ella.
Cuadrilátero inscrito:
Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en la C O,r , tenemos que:
2 + 2 + 2B + 2 = 360° , + + B + = 180° , DCB 2 + 2
DAB = = = + 2 2
y
DAB 2 + 2BBCD = = = + B
2 2
; Luego: DAB + BCD = 180° A y C son
suplementarios y por ende B y D son suplementarios ¿piensen?.
Teorema: si dos tangentes a una circunferencia son secantes entre si,
entonces se determina que:
1. los segmentos que en ellas se determinan son es .
2. La recta que pasa por el centro y el punto de corte de ellas es bisectriz.
3. Lo debe realizar como tarea.
99
En la C O,r las tangentes en A y en B se intersectan en P . Tracemos AB , OP
y los radios a los puntos de tangencia, luego ellos son res a su respectiva
tangente, sea AOB = 2 AB = 2 .
Entonces
ABPAB = PBA = =
2 . Así: PABes Iso. Entonces AP = PB , luego P
pertenece a la mediatriz del AB y como OA = OB = r , entonces O pertenece a
la mediatriz de AB ; entonces OP es mediatriz de AB OP AB y por ser
diametral y ar a la cuerda
ABes bisectriz del AOB =es y biseca al arco AB , además C es punto
medio de AB AC = CB y por ser altura en el PABes bisectriz del
APB =es .
Polígono circunscrito: es aquel cuyos Lados. son tangentes a la circunferencia.
Tarea: realicemos los siguientes ejercicios.
1. Demostrar que en un cuadrilátero circunscrito, la suma dos Ls.ops.
es igual a la suma de los otros dos Ls.ops.
2. En la C O,r , AB es un diámetro, se traza la cuerda BC , luego se traza
la bisectriz del ABC que corta a AC en E , a la circunferencia en H y a
la tangente que pasa por A en F . demostrar que: AH BF .
3. En la C O,r , ABes un diámetro; se traza la cuerda BF cuya
prolongación corta en C a la tangente trazada por A . Luego se traza
por F una tangente que corta a AC en E .
Demostrar que: AE = FE = CE .
100
CLASE 7- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
Razón
Es una comparación de una cantidad respecto a otra cantidad semejante, el
resultado es un número abstracto, es decir no tiene unidades.
Razón: cociente de dos cantidades.
a) Numero: a:b, a/b, a
b
b) Segmento:
AM
MN
Términos de una razón:
a: antecedente.
b: consecuente.
Una razón es una fracción, por lo tanto, todas las propiedades que tiene una
fracción se aplica a las razones.
Proporción: Es la comparación entre dos razones o la igualdad de dos razones.
Representación
Si las razones a c
yb d
son iguales, la proporción puede representarse como:
a c
b d
Denominación
Se lee ―a es a b como c es a d‖ o también ―a y c son proporcionales a b y d.
Términos De Una Proporción
Son elementos que forman la proporción: Si a c
b d
Extremos: a y d
Medios: b y c
Antecedentes: a y c
Consecuentes: b y d
101
Definición: Para que a c
yb d
sean una proporción ―el producto de extremos
debe ser igual al producto de medios ―es decir, . .a c
a d bcb d
Ejemplo: 2 6
2.9 3.6 18 183 9
si
2 42.5 3.4 10 12
3 5no
Cuarta proporcional: es cualquiera de los cuatro términos de una proporción.
1. .b c
d
x cx
b d
2. .a d
c
a cx
x d
3. .a d
b
a xx
b d
4. .b c
a
a cx
b x
Ejercicios
1. Encuentra por lo menos dos números diferentes que sean cuarta
proporcional de los tres números dados y escribe las proporciones:
a) 2, 15, 6;
b) 5, 7, 25;
c) 3, 1,2
2. Completa las siguientes proporciones:
a)
5 10
8 d
b) 7
3 18
c
c) 9
25 5
a
3. Entre los siguientes números escoge cuatro con los que puedas formar una
proporción, escríbela y compruébala: 1, 4, 6, 7, 8, 12, 14
102
Los siguientes problemas se resuelven con una proporción. Lee, piensa, escribe la proporción y encuentra el número que falta. Comprueba.
4. Un señor vendió 348 metros de tela por $7.500. Por cuánto venderá 87
metros de la misma tela para que resulte en proporción con la primera
venta.
5. Una puerta tiene 1 metro de ancho y 2 metros de altura. Tú la quieres
pintar y trazas el ancho de 3 centímetros, de cuánto tienes que pintar la
altura para que quede en proporción?
Media proporcional: Es una proporción se desconocen los términos medios de
la proporción.
2 .a x
x a dx d
Ejercicio: 2 12
183
xx
2436
9
xx
x
Propiedades.
1. Cambio de medios:
tesishipotesis
a c a b
b d c d
Demostración:
1) a c
b d Por hipótesis.
2) . .a d bc Definición.
3) a c
b d Despejo en 2
Ejemplo: 2 6 2 33 9 6 9
tesishipotesis
103
2. Cambio de extremos:
a c d b
b d c a
Ejemplo: 2 6 9 63 9 3 2
3. Composición con el consecuente: (+)
a b c d
b d
a c
b d
Demostración:
1) a c
b d Por hipótesis
2) 1 1
1 1
a c
b d Propiedad uniforme.
3) a b c d
b d
suma de fracciones en 2.
Ejemplo: 2 6 5 153 9 3 9
4. Descomposición con el consecuente: (-)
a b c d
b d
a cb d
*Su demostración se deja como ejercicio al lector
Ejemplo: 2 6 1 3
3 9 3 9
5. Conmutativa:
a c c a
b d d b
Demostración:
104
1) a c
b d Por hipótesis
2) . .a d bc Por definición
3) . .bc a d Por propiedad simétrica
4) bc ad
bd bd Por propiedad uniforme.
5) c a
d b Por propiedad uniforme.
6. Razones Inversas:
a c b d
b d a c
*Su demostración se deja como ejercicio para el lector
2 6 3 9
3 9 2 6
7. Composición con el antecedente:
a c a b c d
b d a c
Demostración:
1) a c
b d Por hipótesis
2) b d
a c Propiedad invertiva.
3) 1 1b d
a c
Propiedad uniforme.
4) a b c d
a c
Suma de fracciones en 3.
Ejemplo: 5 8 15 24
10 16 5 8
8. Descomposición con el antecedente: a c a b c d
b d a c
Ejemplo:
1 15 8
10 16 …….. 1 1
5 10 8 16 5 8
5 16 5 8
105
9. Composición de antecedentes y consecuentes:
........a c a a b c a c
b d b c d d b d
Demostración:
1) a c
b d Por hipótesis.
2) a b
c d Cambio de medios.
3) a c b d
c d
Composición del consecuente.
4) c a c
d b d
Propiedad conmutativa en 4.
Ejemplo: 2 6 6 8
5 15 15 20
10. Composición y descomposición del consecuente:
a c a b c d
b d a b c d
TEOREMA DE THALES.
Si tres o más paralelas son cortadas por dos secantes, entonces los segmentos
respectivos son proporcionales.
BD AC
DF CE
BF AE
DF CE
Ejercicio:
Si AB CD EF y BF y AE son secantes, sabiendo que 8AC , 32BF ,
4DF hallar CE .
Solución:
BD AC
DF CE
28 8 28 7
4 32 8X
x
106
TEOREMA DE LA BISECTRIZ.
Si en un triángulo se traza la bisectriz de un ángulo, esta divide al lado opuesto
en segmentos proporcionales a los lados desde los cuales sale la bisectriz.
Ejercicio:
Sea el triángulo ABC, se traza la bisectriz AD . Demostrar que .a c
BDb c
.
Demostración:
1) ABC Por hipótesis.
2) AD bisectriz Por hipótesis.
3) BD AB
DC AC Teorema de la bisectriz.
4) BD DC AB AC
BD AB
Composición antecedente.
5) a c b
cBD
Suma de segmentos de 1.
6) .a c
BDb c
Cuarta proporcional de 5.
SEMEJANZA
La semejanza es una relación en la cual se conserva la forma pero no el tamaño.
ABC DEF
107
Si ABC DEF se cumple que:
1.
2.
A D
B E
C F
BC AC ABk
EF DF DE
Según lo anterior, los ángulos son congruentes respectivamente y los lados son
proporcionales. El numero K indica que un lado es K veces el otro lado, lo cual
asegura la forma de la figura.
Teorema: la relación de semejanza es una relación de equivalencia que cumple:
a. Reflexividad: ABC ABC .
b. Simetría: ABC DEF DEF ABC
c. Transitividad: ABC DEF DEF MNR ABC MNR
CRITERIOS DE SEMEJANZA:
1. L-A-L.
Este teorema indica que dos triángulos son semejantes si tienen
respectivamente dos lados proporcionales y el angulo entre ellos congruentes.
Hipótesis:
1) AC
DF lados
2) A D ángulos Tesis: ABC DEF
3) AB
DE
2. L-L-L.
Este teorema indica que dos triángulos son semejantes si tienen
respectivamente sus tres lados proporcionales.
Conclusiones:
1.
2.
3.
108
Hipótesis:
1) AC AB CB
EF DF DE
3. A-L-A.
Este teorema indica que dos triángulos son semejantes si tienen
respectivamente dos ángulos congruentes y el Angulo entre ellos proporcional.
Hipótesis:
1) B D
2) BC
DE
3) C E
4. A-A-A.
Este teorema indica que dos triángulos son semejantes si tienen
respectivamente sus tres ángulos congruentes.
Conclusiones:
1.
2.
3.
Conclusiones:
1.
2.
3.
109
Hipótesis:
1)
A E
B F
C D
Teorema:
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen cualquiera delas
siguientes propiedades:
1. Si tienen dos catetos proporcionales
2. Si tienen un ángulo agudo congruente
3. Si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto
THALES APLICADO A UN TRIÁNGULO.
Si en un triángulo se traza la paralela a uno de los lados, dicha recta
determina dos triángulos semejantes y segmentos proporcionales entre ellos.
Demostración
Sea el ABC , se traza la PQ BC , luego
P B y Q C por ser
s scorrespondientesentre , como A A por ser
ángulo común entonces ABC APQ por el
criterio (A-A-A).
De lo cual se deriva que p p p
g g g
AQ AP QP
AC AB CB
.
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Teorema:
En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa determina dos
triángulos semejantes entre si y semejantes al triangulo inicial.
ABC CHB (A-A-A)
CBH CHA
Conclusión:
1.
z m
H
A
b
c
110
Por transitividad
ABC CHA (A-A-A)
h
Teorema:
Los catetos son media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del
cateto sobre la hipotenusa.
Demostración
1) ABC CHB
2
c
g g
c
p p
R c aa nc
R a n
2) ABC CHA
2g g
p p
R c bb mc
R b m
Teorema de Pitágoras
El cuadrado formado en la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados
formados en los catetos
Demostración 2a nc Porque el cateto es media proporcional 2b mc Porque el cateto es media proporcional 2 2a b nc mc Suma de las ecuaciones 1 y 2 2 2 ( )a b c n m Factor común
2 2 .a b c c Sustitución de n+m = c , luego 2 2 2a b c Teorema de Pitágoras.
111
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
1. En un ΔABC cualquiera se trazan las alturas AJ y CH que se interceptan en I.
Demostrar que: IA.IJ = IC.IH
GRAFICA 83
( ) ( ) ( )( )
AFIRMACION RAZON
1 °
2
3
4
5
6 ( )( ) ( )( )
2. En una circunferencia C(O,R) se traza un diámetro AB, se toma un punto P tal que A-O-P-
B , se levanta PC perpendicular a AB que corta a C(O,R) en E (P-E-C) y se traza AC que
corta a C(O,R) en D (A-D-C). Demostrar que AB . AP = AD . AC
GRAFICA 84
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )( ) ( )( )
112
3. Demostrar que el segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores
y no congruentes es media proporcional entre los diámetros de las circunferencias.
GRAFICA 85
Determina los elementos de la hipótesis y la
tesis
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )
5
6 +
7 +
8 +
9 + ( ) ( )
10 +
11 +
12 ∝
13
14
15
16
17
+
18
( )
19
20 +
21
+
+ igualación ( ) ( )
113
22 +
+
23
4. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto cualquiera E
sobre el arco BC y D punto de intersección entre AE y BC, Demostrar que:
AC . DE = DC . BE
GRAFICA 86
( )
AFIRMACION RAZON
1 AxB
2
3
4
5 ( )( ) ( )( )
5. Una persona de 180 cm. de estatura camina hacia un tanque esférico que reposa sobre el piso.
Cuando está a una distancia de 500cm. Del punto de contacto del tanque con el piso, su cabeza chaca
con el tanque. ¿Cuánto mide el radio del tanque?
Podemos observar que AD=DC y representa
la altura de la persona, mientras que OC
equivale al radio, de donde aplicando el
Teorema de Pitágoras obtenemos:
2 2 + ( )2
2 + 2 +
114
GRAFICA 87
6. Se toma un triángulo ABC y se traza una recta que corta a los lados AC y AB del
triángulo en E y H respectivamente; se trazan AD, BK y CR perpendiculares a la recta y se
prolonga CB hasta cortarla en L. Demostrar que 1CL
BL
BH
AH
AE
CE
GRAFICA 88
1. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
2. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
3. Podemos determinar que los triángulos y son semejantes, de donde
4. Si tomamos las tres igualdades correspondientes y multiplicamos lado a lado
obtenemos
(
) (
) (
)
115
CLASE 8 - AREAS AXIOMA DE ÁREAS Sea P = {p/p es un polígono simple en el plano n}. Definimos la función área A, como la función Área tal que
P , p A p
Con las siguientes propiedades (o axiomas):
1. El área de un cuadrado de lado l es l2. 2. Si un polígono simple se puede descomponer en n polígonos simples p1,p2,... ,pn, tales que sus interiores no se intercepten, entonces
A(p) = A(pi) + A(p2) + • • • + A(pn) = 1
n
i
i
A p
a esta propiedad se le
llama axioma de aditividad de áreas.
3. Si dos polígonos son congruentes entonces sus áreas son iguales.
Definición: Área Unitaria El área correspondiente a un cuadrado cuyo lado tiene por medida uno, se le llama área unitario y por tanto su área mide uno. Definición Polígonos Equivalentes. Cuando dos polígonos tienen la misma área diremos que son equivalentes.
Teorema: Area del rectángulo
El área de un rectángulo, cuyos lados miden a y b es a b
Demostración. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = a y BC = b y sea PQRS un cuadrado de lado a + b. Este cuadrado se puede partir en cuatro rectángulos pi,p2,p3,p4 de lados a y b y un cuadrado p5 de lado b — a, de tal manera que sus interiores no se intersecten, como se muestra en la figura, aplicando el axioma de aditividad de áreas y el axioma del área del cuadrado, tenemos que A[PQRS] = (a + b)2 = A(p1) + A(p2 )+ A(p3 )+ A(p4 )+ A(p5 )= 4A(p1) + (b — a)2
116
Es decir: (a + b)2 =4A[p1) + (b - a)2
2 2 2 2
1
1
1
1
2 4 2
4 4
4
4
a b ab A p a b ab
ab A p
abA p
A p ab
Teorema: Área del paralelogramo. El área de un paralelogramo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por la distancia de este lado al lado opuesto.
Demostración. Sea ABCD un paralelogramo y sea AH DC, por B pasa BW DC. Como AD = BC y AH = BW entonces por el criterio R -H-C entonces
ADH BCH por lo tanto DH = CW y A (
ADH) = A ( BCH), luego H H = HC + C H = HC + DH = DC. Por lo tanto por los axiomas 2 y 3 de áreas y por el Teorema de área de un rectángulo:
A [ABCD] = A [ ADH ] +
A[ABCH] = A[
BCH'] + A[ABCH]
= A[ABHH] = HH' •
HA
= DC•HA = b h
Nota: según el enunciado del teorema anterior, el área de un paralelo-gramo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por la altura relativa a ese lado. Teorema: Área del triángulo. El área de un triángulo es igual al semi-producto de la medida de uno de los lados por la medida de la altura relativa a este lado.
117
Demostración
Se construye una paralela que pasa por A, así pasa l || BC y por C pasa m || AB.
Sea B l m y sea AH la altura relativa al lado BC. Por lo tanto ADCB es un
paralelogramo, por lo tanto, por el criterio L-L-L, pero como △ABC△ADC o
sea que A[△ABC] = A[△ADC]. Pero, por el Teorema de área del paralelogramo
A[ADCB] = 2 A[△ABC] = DC • AH, es decir que 2 2
BC AH b hA ABC
Triangulo:
Del teorema anterior se deriva que
.
2
b hÁrea del triángulo
AREAS CONOCIDAS
1. Triangulo rectángulo isósceles.
2.
2 2 2
b h a a aA
2 2 2
2 2 2
2 22
2
Calculemos el valor de la Hipotenusa
H c c
H a a
H a
H a
2. Triángulo de 30° y 60°
23 3
2 2 2
b h a a aA
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
(2 )
4
3
3
h c c
a a x
x a a
x a
x a
3. Triángulo equilátero:
118
2. 3. . 32 22 2
1 1
a aa
A A
2 3
4TE
aA
4. Cuadrado:
2 2 .A l a a a
5. Hexágono regular:
2. 3
4TE
aA
2
2. 3 36 6 3
4 2Total TE Hexagono
aA A a A
6. Circulo:
2.A R
7. Semicírculo:
2.
2
RA
119
8. Sector Circular:
2. .
360
n RA
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Ejemplo 1: Calcular el área sombreada en función del lado R
2
3
3 60. 3
4
As A sc
RAs
2
. .2
360
R
22
2 2
2 22
.. 3 4364
1
. 3 .3
4 24
. 3 . 3
4 8 4 8
RR
As
R RAs
R RAs R
Ejemplo 2: el área sombreada en función del lado a del cuadrado
90.
2
As A Asc
R RAs
2
2.2
360
R
2
2
2 2 2 2
. .2
442
1
2 . .
2 16 2 8
RR
As
R R R RAs
120
2 2
22
24 2
2
a aAr
aAr a
90
As Asc A
As
2. .
360
a
2
2 2
24
4 2
a
a aAs
Ejemplo 3: Corona circular:
2 2
2 2
g pAs A A
As R r
As R r
Ejemplo 4: Lúnula: Calcular el área sombreada en función de R
.
sec.
90
As Asem cir Az
Az A c A
Az
2. .
360
R
2
22
2
1.
4 2
R
RAz R
2
22
2
22
2
2 1.
2 4 2
. .214 .
2 4 2
1
2
R
RAs R
RR
As R
As
2.R
8
21.
4R
2
2
2
2
R
RAs
121
Ejemplo 5: Se tiene una circunferencia de radio R y se inscribe un Triángulo
equilátero. Calcular el área entre el círculo y el triángulo en función de R.
2
2
22
22
3 . 3.
4
.3. 3.
4
3 3.
4
As A A
RAs R
RAs R
RAs R
Ejemplo 6: Se tiene una circunferencia, se inscribe un cuadrado y se
circunscribe un cuadrado. ¿Cuál es la razón entre el área del cuadrado inscrito
y el cuadrado circunscrito?
2
2
2
2
2
p
g
RA RRazon
A R
. 2
4 2R
1
2
3
1
RRazon
r
Ejemplo 7: Teorema: Área del trapecio.
El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases por la altura, donde la altura es la distancia entre los lados paralelos.
Demostración. Sea H la proyección
de A sobre DC y H´ la proyección
de C sobre AB ; como AB || DC
entonces AH = CH’, por el axioma 2
de áreas A[ABCD] = A[
ACD] + A[ ABC] =
'
2 2 2
CD AB AHCD AH AB CH .
122
Ejemplo 8: Demostrar que la mediana divide al triangulo en dos triángulos de
igual área
Demostración
1. , ........
2. ............................2
3. ...........................2
4. ..................................................
5. .......2
Se traza AH BC B H M C
MB AHArea ABM
MC AHArea AMC
MB MC
MB AHArea AMC
....................
6. .....................Area AMC Area ABM
Justificar cada paso anterior