3º de educación secundaria obligatoria · pdf filesistema educativo sek –...

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 7

1

3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA

MATEMÁTICAS UNIDAD 7

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. SEMEJANZAS

a) Presentación b) Evaluación Inicial c) Conceptos d) Actividades e) Autoevaluación f) Otros recursos: bibliografía y recursos en red g) Refuerzos Educativos h) Ampliaciones / Propuesta de investigación


2

A/ PRESENTACIÓN “Los sentidos se deleitan con las cosas bien hechas” (Sto. Tomás de Aquino) Cuando una figura se mueve en un plano, hay propiedades suyas que cambian y otras que permanecen. Fíjate en estos sencillos ejemplos: Se crea una simetría cuando se mancha un folio con tinta, se le dobla por una recta y se presiona para que se reproduzca la mancha. Se produce un giro cuando en una hoja se mantiene fijo un vértice y se mueve cualquier otro. Se realiza una traslación cuando se mueve una escuadra sobre una regla. En los tres ejemplos hay una posición original del objeto y otra final. El “objeto” y su “huella” son congruentes o superponibles. Mediante el uso de las transformaciones geométricas se hacen más fáciles algunas tareas. Dibujos difíciles de elaborar se reducen a trasladar adecuadamente pequeñas zonas de dibujo. Existen actualmente programas de diseño asistido por ordenador que contienen entre sus herramientas más elementales las simetrías, giros y traslaciones.

En este mosaico se pueden apreciar motivos geométricos que se repiten. Se puede pasar de uno a otro, a veces por desplazamientos (traslaciones), mediante giros y en otras por simetrías respecto a una recta.


3

No todas las transformaciones dan imágenes que sean congruentes (que se pueden superponer) con el original: la imagen de una película de cine que se proyecta en la pantalla mantiene la forma pero no el tamaño. Si contemplamos la maqueta de un coche, el plano de una ciudad, un mapa o el esquema de un circuito integrado, estamos ante representaciones proporcionalmente mayores o menores que las reales.

De todas formas la representación y el original guardan una relación de proporcionalidad rigurosa que viene dada en forma de escala numérica o gráfica. Ha habido un personaje, al que muchos consideran uno de los siete grandes sabios de la antigüedad, Tales de Mileto (siglo VI a.C.), filósofo, matemático, físico y astrónomo, que introdujo en Grecia los fundamentos de la verdadera geometría procedentes de Egipto. Estando en Egipto le preguntaron cómo se podría medir la altura de la Pirámide de Keops. Él clavó verticalmente un palo en el suelo y esperó hasta que dicho palo y la sombra que proyectaba tuvieran la misma longitud. Entonces dijo a los escribas egipcios que le acompañaban:

“Corred y medid la sombra de la pirámide, dadme ese dato y os diré cuál es su altura”. ¿Se podría haber calculado la altura de la Gran Pirámide en el momento en que la longitud de la sombra proyectada por el palo vertical fuese la mitad de su altura?.

Problemas como éste los podrás resolver en esta unidad al estudiar a fondo la semejanza. Se pretende que sepas pasar de las distintas representaciones de la realidad a la misma realidad.


4

B/ EVALUACIÓN INICIAL

1. En el plano adjunto, observa que el ayuntamiento está en el punto (1,5). Halla las

coordenadas del resto de los edificios importantes de la ciudad.

2. Sobre unos ejes de coordenadas sitúa los siguientes puntos: A(3,2), B(-4,1), C(2,-3), D(-1,-2) 3. Traslada todos los puntos del ejercicio anterior 2 unidades a la derecha y 1 unidad

hacia arriba. 4. Un punto del plano viaja desde el (1,0) hasta el punto (0,1). ¿Cuánto se ha

trasladado en la horizontal?, ¿Cuál es el ángulo que ha girado? 5. En el siguiente par de triángulos semejantes puedes observar los ángulos

homólogos marcados con un arco o con dos. Calcula:


5

a) Los lados desconocidos. b) La razón de semejanza. c) El perímetro de cada triángulo. d) La razón de los perímetros.

e) La razón de las áreas.

6. a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior de una escuadra de dibujo? b) En el marco de un cuadro puedes observar dos rectángulos. ¿Son semejantes

el rectángulo interior y el exterior del marco?


6

C/ CONCEPTOS

1.- Transformaciones geométricas. 2.- Vectores. Componentes de un vector. 3.- Movimientos en el plano. 3.1. Traslaciones. 3.2. Giros y simetría central. 3.3. Simetría axial.


7

D/ ACTIVIDADES

Sistema de trabajo: individual. Recursos: libro de texto y consultores de aula.

1. Transformaciones geométricas.

1. Lee atentamente la página 212 de tu libro. Y contesta a las preguntas observando la figura:

A=(0,0), B=(5,7), C=(8,4)

a) ¿ Cómo se le llama a la figura A’B’C’? b) ¿Hay algún elemento invariante en esta transformación? c) ¿Se trata de una isometría? d) ¿Es un movimiento directo?

2. Realiza los ejercicios 1 y 2 de la página 213 de tu libro. Observa previamente el esquema del punto 1.3 y los 4 ejemplos de ésa página.

2. Vectores. Componentes de un vector. No hace mucho salía en TV un anuncio en el cual a un conductor se le estropeaba su coche en carretera. Llamaba por el móvil a la grúa indicando que se encontraba a 50 km. de una determinada ciudad. ¿Le encontrará la grúa? ¿Qué otros datos le debería haber dado?

3. Lee la pág. 214 del libro y fijándote en el ejemplo resuelto define:

a) Vector. b) Elementos de un vector. c) Componentes de un vector. ¿Cómo se obtienen? d) Módulo de un vector. ¿Cómo se obtiene?

El vector que tiene por origen el origen de coordenadas y por extremo un punto A, se


8

llama vector de posición del punto A. Las coordenadas de un punto coinciden con las componentes de su vector de posición. El vector de posición del punto A (2,3)

es el vector OA

= (2,3). El vector de posición del punto B(6,5) es el vector

OB

=(6,5)

4. Realiza la suma analítica de los vectores 4,-3=vy 3,2u

5. ¿Cuáles de los siguientes vectores son iguales?

6. Dados los puntos del plano A(2,3), B(-1,4), C(0,6), D(-3,7)

a) Representa esos puntos en unos ejes de coordenadas.

b) Dibuja los vectores: AB y CD .

c) Halla las componentes de estos dos vectores. d) Calcula el módulo de cada uno. e) Halla las componentes del vector suma de ambos.

7. Realiza los ejercicios 3 y 4 de la pág. 215. 3. Movimientos en el plano. Son transformaciones que nos permiten obtener un punto P’ a partir de otro P por medio de una regla precisa. 3.1. Traslaciones.

8. Lee la página 215 de tu libro y contesta a las preguntas. a) ¿Una traslación es una isometría? b) ¿Es un movimiento directo? c) Realiza el ejercicio 5 de la página 215. Puedes ayudarte de otros

libros de la biblioteca de aula.


9

RECUERDA: Para trasladar figuras formadas por segmentos basta trasladar los puntos que las determinan. Las coordenadas del punto P (x’, y’) trasladado del punto P(x, y), se obtienen

sumando a las coordenadas de P las coordenadas del vector guía v v v1 2, :

x x v

y y v

'

'

1

2

9. Haz los ejercicios 6 y 7 de la página 215.

10. Un cuadrado tiene como vértices los puntos A = (-1,1), B = (1,1), C = (1,-1) y D = (-1,-1). Halla su trasladado por el vector v = (4,-2), sin dibujar el cuadrado.

11. Realiza el ejercicio 8 de la página 215 y el 29 de la 220. 3.2. Giros y simetría central.

12. Lee la página 216 de tu libro y realiza los ejercicios 9 y 10 de la página 217.

¿SABÍAS QUE: Los giros más sencillos son: - Giro de centro (0,0) y ángulo 90º. Transforma (x,y) en (-y,x) - Giro de centro (0,0) y ángulo 180º. Transforma (x,y) en (-x,-y). Simetría central

- Giro de centro (0,0) y ángulo 270º. Transforma (x,y) en (y,-x)

13. Realiza los tres giros anteriores para un triángulo de vértices A=(2,1); B=(-1,4) y C=(3,5).

14. Lee la página 217 de tu libro y realiza los ejercicios del 11 al 15. 2.3. Simetría axial.

15. Lee la página 218 de tu libro y realiza los ejercicios del 16 al 19 de la página 219

16. Realiza la simetría axial con eje el eje de abcisas y con eje el eje de ordenadas para el triángulo de vértices A=(2,-1); B=(4,5) y C=(-3,6).


10

¿Cuánto vale la distancia entre un punto y su transformado en ambos casos?

17. Construye la figura simétrica de cada una de las siguientes, las primeras respecto del punto O y las segundas respecto del eje e:

18. Completa las siguientes gráficas para que sean:

19. Realiza el ejercicio 42 de la página 221.


11

E/ AUTOEVALUACIÓN

Alumno/a..............................................................................................Grupo.....

1. Dado un vector AB

, a la longitud del segmento AB se le llama: a) Módulo b) Dirección c) Sentido d) Vectorial

2. Calcula las componentes y el módulo del vector AB

que tiene por extremos A(2,5) y B(-3,4). 3. Dado el punto P(5, -6), calcula:

a) Su punto trasladado si el vector guía es v (-1,6)

b) Su punto trasladado por el giro de centro el origen y ángulo 90º: G(0,90º) c) Su punto transformado por la simetría central de centro el punto O(2,2)

4. ¿Cuál es el vector guía que lleva la figura F a la figura F’:

5. ¿Cuál es el ángulo del giro G(O, ) que transforma F en F’:


12

6. ¿Cuál es el centro de la simetría que transforma la figura F en F’

PARA AMPLIAR: Realiza los ejercicios del 43 al 51 de las páginas 221 y 7. 222.


13

F/ BIBLIOGRAFÍA

- Consultores de aula. - Programas que trabajan la geometría:

Cabriweb (Fase beta): www.cabri.net/cabrijava/index-f.html Geogebra. Lo puedes instalar con el CDROM que viene en tu

libro de texto. - Recursos en la red:

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Geometria/Movimientos_plano_puntos_segmento/Movimientos_puntos.htm

http://roble.pntic.mec.es/~rsoto1/descartes/vectores.htm

http://www.cabri.net/cabrijava/index-f.html

http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Geometria/Movimientos_plano_puntos_segmento/Movimientos_puntos.htm

http://roble.pntic.mec.es/~rsoto1/descartes/vectores.htm


14

G/ REFUERZOS EDUCATIVOS

Alumno/a...........................................................................................Grupo..... Sistema de trabajo: individual, monitorías de carácter individual o grupal. Recursos: todos los utilizados en la unidad.

1. Basándote en los contenidos propuestos al principio de la unidad y en lo estudiado antes, elabora un mapa conceptual (puedes ayudarte también con los que trae el libro)

2. Calcula las coordenadas de los vectores AB

y su módulo sabiendo que tienen por origen y extremo los siguientes puntos. a) A(2,3), B(3, -1) b) A(-3,2), B(3, -1) c) A(-2, -2), B(2,3)

3. Calcula las coordenadas del extremo del vector AB

en los siguientes casos:

a) A(2,3) y AB

=(2,6)

b) A(-5,1) y AB

=(-2,3)

c) A(0, -2) y AB

=(2,0)

4. Aplica al triángulo de vértices A(-6,2), B(-4,5) y C(-3,1) una traslación del vector (6,2) para obtener A’B’C’. a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A’, B’ y C’? b) Al triángulo A’B’C’ aplícale una traslación de vector (5, -3) para

obtener A’’B’’C’’. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A’’, B’’ y C’’?

c) ¿Cuál es el vector de la traslación que permite pasar de ABC a A’’B’’C’’?

5. Obtén la figura transformada de F por la traslación de vector v y

llámale F’. Después obtén F’’ girando F 180º con centro O. Por último, obtén F’’’, trazando la figura simétrica de F’’ respecto al eje e.


15

6. Obtén la figura semejante a la dada con razón de semejanza respecto a ella 3/2 y centro el punto O.


16

H/ AMPLIACIONES

Alumno/a...........................................................................................Grupo.....

Sistema de trabajo: individual. Recursos: Todos los utilizados en la unidad

1. Calcula el vector guía de una traslación para que aplicada cinco veces sucesivamente transforme el punto P(12, -1) en el P’(2,14)

2. Traza las figuras obtenidas al girar la siguiente figura cuatro veces sucesivamente con un ángulo de 90º y centro el punto O:

3. Lee las páginas 226 y 227 de tu libro y utiliza el programa geogebra para realizar los ejercicios.

3º de educación secundaria obligatoria · pdf filesistema educativo sek –...

Documents