3. condiciones
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Radiacion ITRANSCRIPT
Problemas con valores en la frontera
en Magnetostática
EE-521 Propagación y Radiación
Electromagnética I
Miguel Delgado León
MSc. Ing. Miguel Delgado León
Ecuación de Laplace
Miguel Delgado León
H J
En regiones donde J = 0
(fuera de a fuente)
0H
El rotacional de un gradiente
siempre es cero
Entonces H es un gradiente
mH V
El material puede caracterizarse
por su magnetización M o su
permeabilidad . Es decir:
0 0B H M B H
Para el primer caso, la divergencia de
B siempre es cero
0 0. 0B H M
Si M es uniforme, entonces 0M
0 0mH V
2 0mV
Para el segundo caso, considerando
la permeabilidad constante, tenemos:
0B H
0mV
2 0mV Ecuación de
Laplace
Como ya sabemos
o
queda
Ecuación
de Laplace
Distribución del campo magnético en la superficie de
materiales ferromagnéticos ideales y conductores
perfectos
Miguel Delgado León
Las líneas de campo magnético
son normales a la superficie de un
material ferromagnético ideal
r
Dentro de un material ferromagnético
el campo B es diferente de cero y el
campo H tiende a cero. Así:
0 0B H
Dentro de un conductor perfecto el
campo B es cero y el campo H
también es cero. Así:
0 0B H
Las líneas de campo magnético son
tangenciales a la superficie de un
material conductor perfecto.
g
Solución de la Ecuación de Laplace en
Esféricas y Cilíndricas
Miguel Delgado León
La ecuación diferencial de Laplace
es: 2 0mV
Para la solución en esféricas,
cuando depende solamente
de la variable r. La solución es:
m
CV D
r
Donde C y D son constantes a
determinar.
Existen muchos problemas en los
cuales depende de las
variables r y . La solución general
es:
mV
mV
11
( , ) (cos )n nm n nn
n
DV r C r P
r
An y Cn son constantes a determinar y
Pn son los polinomios de Legendre.
Para la gran mayoría de problemas,
basta con un término para n=1. Así, la
solución queda:
2( , ) cosm
DV r C r
r
Para la solución en cilíndricas, cuando
depende solamente de la variable . La
solución es:
Vm
lnmV C D
Cuando depende de y de . La
solución simplificada es:
mV
cos( , )m
DV C
sen
Problemas
Miguel Delgado León
1) Una corriente eléctrica se enrolla
en un material magnético esférico de
radio a, de permeabilidad constante
desconocida. La corriente que se
puede aproximar a una densidad de
corriente superficial dada por :
magnetiza al material a un valor:
Determine la permeabilidad del
material.
0ˆK K sen
0ˆM z M
2) En un campo intensidad magnético
inicialmente uniforme de módulo H0 se
coloca un material magnético esférico
de radio a. Determine la nueva
distribución de los campos H y B
cuando:
a)El material tiene una permeabilidad
relativa r constante.
b) El material es ferro magnético ideal r
>>1
c)El material es conductor perfecto
Solución de la Ecuación de Laplace en
rectangulares
Miguel Delgado León
La ecuación diferencial de Laplace
es: 2 0mV
Para la solución en rectangulares,
cuando depende (linealmente)
solamente de una variable, por
ejemplo x es:
mV
mV C x D
Donde C y D son constantes a
determinar.
Cuando depende de dos o más
variables, una solución común es:
2 2 2
1 2 1 2 1 2
0
x x y y z z
mV a e a e b e b e c e c e
Ejemplo
En todo el plano YZ circula una corriente
eléctrica con densidad de corriente
superficial dada por:
0ˆcosK K y z
a
Donde es una constante. En el semi
espacio se tiene un material
magnético con . En el semi
espacio está el espacio libre.
Determine el campo H y B en todo el
espacio.
0K0x
04 0x
Ecuación de Laplace y Poisson con Métodos
Numéricos
Miguel Delgado León
Nuevamente:
H J
Si el material está caracterizado
por su permeabilidad, tenemos:
BB H H
Reemplazando en la primera
ecuación considerando la
permeabilidad constante, tenemos:
BJ B J
Sabemos que , entonces B A
A J
Aplicando la identidad vectorial
conocida, la expresión se transforma:
2A A J
2 A J
Es la ecuación diferencial para el
campo A. Mediante está E.D. se ha
resuelto muchos problemas de
Ingeniería eléctrica, el autor ha
desarrollado una aplicación en
transformadores de potencia. Para
poder resolver la E.D. es necesario
saber el Método Numérico de los
Elementos Finitos. A continuación se
ilustra el trabajo.
La divergencia de A es cero,
entonces:Ecuación de Laplace
o Poisson
Campo magnético de dispersión en
transformadores de potencia
Miguel Delgado León
RESUMEN
Se presenta un procedimiento
simple mediante el Método de
Elementos Finitos para determinar
el campo magnético de dispersión
en los transformadores de
potencia. La determinación de este
campo se utiliza para calcular la
reactancia de cortocircuito, la
fuerza magnética y las pérdidas
por corrientes parasitas en los
bobinados, parámetros
importantes para el diseño. El
procedimiento es muy eficiente y
para su validación, los resultados
de la simulación son comparados
con los resultados obtenidos
mediante pruebas.
La región de
interés se divide
en elementos
triangulares
(Método de
Elementos
Finitos)
Grafica del
campo
magnético de
dispersión
en un
transformado
r de potencia
Método de Imágenes en magnetostática
Miguel Delgado León
Situación1: Tenemos una corriente
real que produce los campos
magnéticos en un medio donde la
permeabilidad es constante o la
magnetización es uniforme.
Sabemos que en el medio se
cumple la ecuación de Laplace:2
1 0mV
Situación 2: Agregamos una corriente
imaginaria (ficticia, irreal, etc.). Ahora,
el potencial escalar magnético es otro
y es debido a la corriente real y a la
imaginaria. Sea el nuevo
potencial escalar magnético.2mV
2
2 0mV
Sabemos que en el medio se cumple
la ecuación de Laplace:
podría ser la única solución a un
problema. Nos amparamos en el
teorema de la Unicidad que dice:
“Cualquier función que cumple con la
ecuación de Laplace y con las
condiciones de frontera es la única
solución a un problema.”
2mV
Problemas
Miguel Delgado León
1) Una corriente recta indeterminada I
es paralela a la frontera plana de un
material magnético (ver figura).
Determine el campo H y B en todo el
espacio cuando:
a) El material tiene una permeabilidad
constante r
b) El material es ferro magnético ideal
r >>1
c) El material es conductor ideal
2) Una corriente recta indeterminada I
es paralela a un material cilíndrico
indeterminado de radio a (ver figura).
Determine el campo H y B en todo el
espacio cuando:
a)El material es ferro magnético ideal
r >>1
b)El material es conductor ideal
Aplicación en Alta Tensión
Miguel Delgado León
La siguiente figura muestra
la distribución del campo
magnético en la superficie
del terreno debido a una
línea de transmisión de alta
tensión. Los cálculos han
sido desarrollados por el
autor con Matlab