3. Biomecánica: Trabajo y Energía.

Las fuerzas en la naturaleza son muy variables. No siempre son constantes y pueden dependerdel tiempo o de la posición de las partículas sobre las que actúan respecto un SR⇒ No podemos

aplicar la segunda ley de Newton.

Cuando las fuerzas dependen del tiempo es útil usar el impulso para obtener información delmovimiento. Así conocemos la ~v de una partícula en el tiempo conociendo el impulso, la masa

y la ~v0. Cuando ~F = ~F (~r) respecto de un sistema de referencia es muy difícil calcular el estadodinámico de una partícula por medio de las leyes de newton.

Se introduce el concepto de trabajo, muy ligado al concepto de energía cinética ⇒ permite verel movimiento de partículas y sistemas de partículas sometidos a fuerzas que son función de la

posición respecto de un sistema de referencia.

Trabajo y energía: La importancia de la idea de energía surge del principio de conservación

de la energía: la energía es una magnitud que puede convertirse de una forma a otra peroque ni se crea ni se destruye. La energía total se conserva.

• brasero eléctrico donde energía eléctrica → energía calórica

• motor de un coche: energía interna de la gasolina → energía calórica → energía cinética.

• Seres vivos (procesos mecánicos y bioquímicos) transforma un tipo de energía en otro: ener-

gía del sol se transforma en compuestos orgánicos (fotosíntesis) ⇒ animales (herbívoros)transforma éstos en energía para contraer y extirar los músculos y caminar.

1

Nos centramos en la energía involucrada en el movimiento producido por la acción de fuerzasy en particular en la energía cinética y como ésta se relaciona con el concepto de trabajo.

Concepto de potencia: trabajo realizado en la unidad de tiempo.

Muchas fuerzas que no son de contacto (fuerzas a distancia) ⇒ interacciones a distancia descritapor el concepto de campo ⇒ concepto de energia potencial.

Concepto de trabajo, trabajo realizado por una fuerza

Trabajo de una fuerza contante a lo largo de una trayectoria rectilínea

r

r + r∆ r∆

F

O

ϕ

Partícula que se mueve en línea recta (en sist. ref. inercial) sometida a varias fuerzas constantes⇒ ~F =

∑

i~Fi ⇒ trabajo realizado por esta fuerza desde ~r a ~r +∆~r como la magnitud W

W = ~F ·∆~r = |~F ||∆~r|cosϕ = |~F ||∆s|cosϕ

Si 0 < ϕ < 90 entonces W > 0. Si ϕ = 90 ⇒ W = 0. Si ϕ > 90 ⇒ W < 0.

2

Notad que el trabajo es una magnitud escalar. La ecuación de dimensiones para el trabajo es:

[W ] = [F ][∆r] = ML2T−2

Unidad en el S.I Wu = 1N × 1m = 1J (Julio): trabajo que realiza una fuerza de 1N aldesplazar su punto de aplicación 1m a lo largo de su línea de acción. En el sistema técnicoWu = 1Kp×1m = 1kgrm (kilogrómetro). En el sistema c.g.s Wu = 1 dina×1cm = 1 ergio.

Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una trayectoria rectilínea

Supongamos un muelle. Para comprimirlo más y más ⇒ ir aumentando la fuerza, debido a unamayor reacción del muelle ⇒ trabajo realizado por una fuerza variable y trayectoria recta.

asumimos trayectoria en el eje X entre dos puntos x0 y xf , y asumimos la trayectoria totalcomo ∆s = xf − x0 = dx1 + dx2 + ... + dxn, es decir suma de n intervalos infinitesimales.Supongamos que en cada intervalo d~ri = dxi

~i la fuerza es prácticamente constante ⇒ también

lo son sus componentes Fx, Fy, Fz ⇒ en cada intervalo la fuerza realiza un trabajo infinitesimal

dWi = ~F · d~ri = |~F ||dxi~i|cosϕ = Fixdxi

⇒ trabajo a lo largo de la trayectoria (sumando todas las contribuciones infinitesimales)

W = F1xdx1 + F2xdx2 + ... =

∫ xf

x0

Fxdx (1)

3

La fuerza sobre un muelle para estirarlo una distancia x de su posición de equilibrio es1

F = kx

de donde

W =

∫ x2

x1

kxdx =1

2k(x2

2 − x21)

si x1 = 0 (posición de equilibrio del muelle) y x2 = X (lo que se estira) entonces

W =1

2kX2

Trabajo realizado por una fuerza variable en un trayectoria curva

Partícula sometida a una fuerza variable ~F a lo largo de una trayectoria curva desde el punto

P1 al punto P2. Dividimos la curva entre esos dos puntos en vectores d~l tangentes a la curva.Sea ϕ el ángulo entre ~F y el vector d~l ⇒ En el sector de infinitesimal de curva que define d~l la

trayectoria es casi rectilínea y la fuerza casi constante ⇒ (resultado anterior)

1Notad que la fuerza que el muelle ejerce es F = −kx por lo que el trabajo realizado por el muelle sería de signo contrario al que

realizamos sobre el muelle al estirarlo.

4

FP1

dl

P2

O

ϕ

dW = |~F ||d~l|cosϕ = ~F · d~l

⇒ el trabajo total entre P1 y P2 (sumando todas las contribuciones infinitesimales)

W =

∫ P2

P1

~F · d~l

⇒ Integral de línea o circulación de ~F a lo largo la curva C que une los dos puntos. Para calcularel trabajo necesitamos la ecuación paramétrica de la curva, y cómo varía ~F con la curva. Como

~F = FT~eT + FN~eN

entonces se tiene

W =

∫ P2

P1

~F · d~l =

∫ P2

P1

FT~eT · d~l +

∫ P2

P1

FN~eN · d~l =

∫ P2

P1

FT dl

5

⇒ El trabajo es el área (integral) que encierra la función FT ≡ |~F |cosϕ, esto es la componentetangente a la trayectoria de la fuerza, como función del desplazamiento l :

FT

2P1P dl

Si ~F perpendicular a desplazamiento ⇒ trabajo realizado es cero (W fuerza centrípeta es cero).

Tercera ley de Newton: una de las fuerzas está ejerciendo un trabajo positivo (la que apuntaen la dirección del desplazamiento) mientras que la otra (la reacción) está ejerciendo el mismotrabajo pero de sentido contrario y por lo tanto es negativo (el vector desplazamiento tiene

distinto sentido respecto a esta otra fuerza).

Si resultante de todas las fuerzas es cero ⇒ el trabajo también es cero.

3.2 Potencia.

Si dos fuerzas distintas realizan el mismo trabajo, será más eficaz aquella que realiza el trabajo

en el menor tiempo. Para medir la rapidez o eficacia con que una determinada fuerza realizaun trabajo se introduce la magnitud llamada potencia ⇒ Definimos potencia media

Pm =Wm

t

6

Es una magnitud escalar y tiene unidades de trabajo por unidad de tiempo. Más interesanteel conocer el trabajo realizado por una fuerza por unidad de tiempo en un instante t dado

t1

2t

3t

w∆1

2

P = lım∆t→0

∆W

∆t=

dW

dt

que define la potencia instantánea, . La ecuación de dimensiones es [P ] = [W ][t] = ML2T−2

T=

ML2T−3. Unidad en el S.I. 1Julio/seg = 1vatio = 1W.Algunas otras unidades son

1kW = 103W

1MW = 106W1CV (caballo de vapor) = 736W

1HP (horse power) = 746W

No confundir con 1kWh (kilovatiohora), que sería una unidad de trabajo y no de poten-

cia. Sería el trabajo realizado por una fuerza durante 1 hora y que tiene una potencia constantede 1kW (1kWh = 3,6× 106Julios). Por otra parte que

P =dW

dt=

FTdl

dt= FTv = ~F · ~v

7

Energía cinética: teorema de las fuerzas vivas.

Energía como la capacidad que tienen los cuerpos para producir trabajo. Un cuerpo puede realizartrabajo debido a:

estar en movimiento (energía cinética)

por su posición respecto a un campo gravitatorio, eléctrico (energía potencial)

constitución interna (energía interna)

movimiento de sus moléculas, p.e. agua hirviendo (energía térmica)

Energía cinética de una partícula

FF

r1

r2

r FT

FN

dl

t=0 v =01

v

O

W 21 =

∫ 2

1,C

~F · d~l =

∫ 2

1

FTdl =

∫ 2

1

maTdl = m

∫ 2

1

dv

dtdl

8

m

∫ v

0

vdv = m

[

v2

2

]v

0

=1

2mv2(Energía cinética)

La energía cinética es el trabajo total necesario para para acelerar un cuerpo desde el reposo aun estado de movimiento con velocidad ~v : trabajo que el cuerpo tiene que realizar para pasarde un estado de movimiento con velocidad ~v a un estado de reposo.

Teorema de las fuerzas vivas

Si tenemos una partícula sometida a una fuerza ~F moviéndose a velocidad ~v1 6= 0 =⇒ W 21 =

∫ v2v1

mvdv = m[

v2

2

]v2

v1= 1

2mv22 −12mv21 = Ec(2)− Ec(1).

“El trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula en movimiento se invierte en modificar

la energía cinética de dicha partícula”

W 21 = ∆Ec

Consecuencias:

• W 21 = 0 ⇒ ∆Ec = 0 ⇒ Ec = cte. (Ej. movimiento circular, pues el valor numérico de la

velocidad es constante, aunque varíe la dirección)

• W 21 < 0 ⇒ ∆Ec < 0 ⇒ Ec(2) < Ec(1).

• W 21 > 0 ⇒ ∆Ec > 0 ⇒ Ec(2) > Ec(1).

9

Energía cinética de un sistema de partículas

Energía cinética de un sistema de partículas: la suma de las E. cinéticas de cada una de las partículas

Ec =∑

i

1

2miv

2i

Teorema de Köening

r’i

CMir

OR cdm

Ec = Ecdmc + E ′

c

La demostración es sencilla: Ya que ~vi = ~Vcdm + ~v′i ⇒ (teorema del coseno) tenemos

v2i = |~vi|2 = |~Vcdm|

2 + |~v′i|2 + 2~Vcdm · ~v′i

10

de dondeEc =

12

∑

imiv2i =

12V

2cdm

∑

imi +12

∑

imi(v′i)2 + ~Vcdm ·

∑

imi~v′i

Ec =12MV 2

cdm + E ′c +

~Vcdm · ~P ′cdm pero ~P ′

cdm = 0

⇒ Ec = ECMc + E ′

c

⇒ la energía cinética de un sist. de partículas es igual a la energía cinética del centro de masasmás la energía cinética del sistema respecto del centro de masas.

En mov. de rotación de un sólido rígido el centro de masas no se mueve ⇒ Ecdmc = 0

Ec = E ′c =

1

2

∑

i

mi(v′i)2 =

1

2

∑

i

miω2i (r

′i)2

donde al ser v′i y ~r′i las velocidades lineales y las posiciones de las partículas del sólido respectodel sist. de ref. c.d.m, y dado que el movimiento de las partículas es de rotación hemos usado

v′i = ωir′i. Pero al ser un sólido rígido se tiene ωi = ω ∀i ⇒

Ec =1

2ω2

∑

i

mi(r′i)2 ≡

1

2Iω2( energía cinética de rotación de un sólido rígido)

que me define el momento de inercia del sólido rígido como I =∑

imi(r′i)2.

• Mayor momento de inercia del sólido rígido ⇒ mayor es su energía cinética de rotación.

• Cuanto mayor I más trabajo (energía cinética) hay que hacer para que rote con velocidad

angular ω.

11

• I depende del eje sobre el que rote el cuerpo, pues depende de las posiciones de las partículasrespecto de ese eje ⇒ infinitos momentos de inercia (dependiendo del eje sobre el que gire)

Si hay mov de traslación y de rotación entonces

Ec = Ecdmc +

1

2Iω2 =

1

2MV 2

cdm +1

2Iω2

⇒ energía cinética de un sólido rígido en movimiento es igual a la suma de la Ec de traslación

del centro de masas más la Ec de rotación entorno a un eje que pasa por el centro de masas.

Teorema del eje paralelo: Si Icdm momento de inercia de un cuerpo que rota entorno a un eje

que pasa por el centro de masas ⇒ el momento de inercia del cuerpo cuando rota entorno aun eje P paralelo al anterior y que está a una distancia d del otro es:

I = Icdm +Md2

Demostración: Sólido rígido dividido en capas infinitesimales definidas en el plano (x,y) per-pendiculares al eje de giro (eje Z). En cada capa las partículas tienen vectores de posición~r′i = (x′

i, y′i, 0) y ~r”i = (x”i, y”i, 0) respecto del eje c.d.m y del eje P respectivamente ⇒

~r”i = ~r′ − ~d

12

x

y

xa

b d

zy

donde ~d = (a, b, 0) tal que d2 = a2 + b2. Entonces en cada capa α se tiene

Iα =∑

i∈αmi(r”i)2 =

∑

i∈αmi[(x′i − a)2 + (y′i − b)2] =

∑

i∈αmi[(x′i)2 + (y′i)

2] + (a2 + b2)Mα − 2a∑

i∈αmix′i − 2b

∑

i∈αmiy′i

donde Mα =∑

i∈αmi (masa de la capa α), pero los dos últimos términos son cero pues son

−2ax′cdm − 2by′cdm = 0 pues son proporcionales a las coordenas x e y del centro de masas

respecto de él mismo. Entonces tenemos para cada capa infinitesimal que

Iα = Iαcdm +Mαd2

Si ahora sumamos sobre todas las capas obtenemos el resultado buscado.

13

Campos conservativos: Energía potencial

Concepto de campo, campos de fuerza.

Interacciones en la naturaleza (gravitatoria, eléctrica) que actúan a distancia ⇒ las fuerzas que

las miden dependen de la posición y del tiempo → se introduce el concepto de campo.

Si en una región del espacio se manifiesta una magnitud física (escalar o vectorial) definida encada punto de la región, que es función de las coordenadas respecto de un sistema de referencia

dado y del tiempo, la asociación del valor de la magnitud con cada punto del espacio recibe elnombre de campo.

• Si la magnitud que define el campo es escalar, el campo se llama escalar

• Si la magnitud que define el campo es vectorial, el campo se llama vectorial

• Si la magnitud que define el campo es una fuerza, el campo se llama campo de fuerzas

• Si la magnitud que define el campo sólo depende de las coordenadas y no del tiempoF (x, y, z) ⇒ campo estacionario. Si depende del tiempo F (x, y, z, t) ⇒ no estacionario.

A cualquier interacción a distancia se le puede asociar un campo (lo contrario es incorrecto).Ej. un cuerpo en la Tierra, la interacción gravitatoria actúa instantáneamente. Se pensó quela interacción se transmitía instantáneamente en el tiempo. Einstein demostró que nada puede

moverse con velocidad mayor que la luz, y ésta es aunque muy alta, es finita. ⇒ habría untiempo en el que el cuerpo no sentiría la interacción (el tiempo que tardaría en llegar la

interacción hasta el cuerpo), cosa que no se ve experimentalmente.

14

Hoy en dia se explica el hecho de que los cuerpos sienten instantáneamente la interaccióngravitatoria, precisamente, en el marco de la llamada teoría general de la relatividad de Einstein,

según la cual cualquier cuerpo (por ejemplo la Tierra) por el hecho de tener masa modifica elespacio (lo curva) que es la responsable de la interacción gravitatoria. Se dice entonces que la

tierra crea en su entorno un campo de fuerzas.

Campo gravitatorio, los cuerpos sienten sus efectos si tienen las mismas propiedades que lo que

origina el campo, es decir masa (campo eléctrico y con el campo magnético).

La propiedad que siente los efectos del campo ⇔magnitud activa A. La fuerza que un campoejerce sobre los cuerpos es directamente proporcional a la magnitud activa A:

~F = A~E

donde ~Ees la intensidad del campo:

• Campo gravitatorio |~FG| ∝ m ⇒ ~FG = m~E → la fuerza gravitatoria entre dos masas M

y m separadas una distancia r es

urF

r

M m

G

~FG = −GMm

r2~ur

15

⇒ la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa M (notad que es la masa m laque siente la presencia de este campo) es

~E =~FG

m= −G

M

r2~ur (2)

Unidades en el S.I. de 1N/kg = 1m/s2 (aceleración). Cerca de la superficie de la Tierra~FG = ~w = m~g ⇒ ~E = ~g =

~FG

m(aceleración de la gravedad es la intensidad del campo

gravitatorio cerca de la superficie) ⇒ unidades de fuerza por unidad de magnitud activa,en este caso, masa. Más adelante derivaremos ~g de la expresión más general (2)

• En el campo eléctrico |~Fe| ∝ q ⇒ ~FE = q ~E. Por convenio ~E =~FE

qes fuerza por unidad de

carga positiva ⇒

~Fe = Kqq′

r2~ur

q′ carga que crea el campo y q la que siente el campo (podría interpretarse al revés),

~E = Kq′

r2~ur

• Para cualquier campo estacionario ~F = A~E ⇒ ~E =~FA. La intensidad de un campo de

fuerzas en un punto es la fuerza que el campo ejerce en ese punto sobre la unidad de

magnitud activa positiva A. En general la dirección de ~F es igual a la dirección ~E.

• Si tenemos varios agentes (ya sean masas o cargas) que crean el campo ⇒ se satisface elprincipio de superposición es decir el campo total en un punto es la suma de cada uno de

16

los campos individuales creados en ese punto es decir:

~E =∑

i

~Ei

Representanción gráfica de los campos escalares y vectoriales

Sea una región del espacio o del plano donde tenemos definida una magnitud física en cada punto,

que es función de las coordenadas ⇒ la asociación del valor de la magnitud con cada punto de laregión define un campo. Para visualizar cómo varía la magnitud que define el campo acudimos a su

representación gráfica:

Campos escalares: Se representan mediante las llamadas superficies y líneas equipotencialeso de nivel=lugar geométrico de todos lo puntos del campo en el que la magnitud que lo define

es constante. En el espacio los puntos definen superficies y si está definido en el plano, líneas.Las superficies de nivel se pueden proyectar en un plano obteniendo líneas de nivel:

17

La curvas de nivel suministran información rápidamente. En el caso de una montaña, las curvasdan información del contorno de la montaña a una determinada altura. La separación entre

líneas nos dice cómo es la pendiente de la montaña en cada punto por unidad de longitud y enuna determinada dirección.

Campos vectoriales: La magnitud que define el campo es un vector, ~F = ~f(x, y, z). Serepresentan por las llamadas líneas de campo (líneas de fuerza si el campo es un campo de

fuerzas). Las líneas de campo son curvas tangentes, en cada punto de la región en el que estádefinido el campo, al vector intensidad del campo ~E. Se les asigna un sentido que es el mismoque el del vector ~E que se elige pues no depende de la magnitud activa ⇒ el número de líneas

de campo o de fuerzas es infinito. Por convenio se dibujarn unas pocas tal que la densidad detales líneas en un punto sea directamente proporcional al valor numérico de | ~E| en ese punto.

E

E

E

E

E = g

Campos conservativos: Energía potencial

Una fuerza ~F es conservativa cuando el trabajo que realiza sobre una partícula no depende dela trayectoria seguida por esta durante la acción de la fuerza, sino de la posición inicial y final.

18

A

B

(I)

(II)

~F = ~f(x, y, z)

El trabajo es el mismo en las dos trayectorias si la fuerza es conservativa. Un campo de fuerzas

es conservativo cuando la fuerza que actúa sobre las partículas que están en su radio de acciónes conservativa. Los campos gravitatorio y eléctrico son conservativos.

~F (x, y, z) campo conservativo ⇒

∫ B

A,I

~F · d~l =

∫ B

A,II

~F · d~l ⇒

∫ B

A,I

~F · d~l = −

∫ A

B,II

~F · d~l

∫ B

A,I

~F · d~l +

∫ A

B,II

~F · d~l = 0 ⇒

∫ A

A,I+II

~F · d~l = 0 ⇒

∮

~F · d~l = 0

La expresión∮

~F · d~l = 0 dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado porella a lo largo de una curva cerrada es cero. Si el trabajo realizado por una fuerza conservativa

es únicamente función de las coordenadas inicial y final de la partícula y no de la trayectoria⇒ podremos encontrar una magnitud que sea únicamente función de las coordenadas tal quesu diferencia de valores entre los puntos inicial y final nos dé el trabajo,

∫ B

A

~F · d~l = F(xB, yB, zB)− F(xA, yA, zA) ≡ (−Ep(xB, yB, zb))− (−Ep(xA, yA, zA))

19

que define la energía potencial 2 en un punto del espacio Ep(x, y, z) ≡ −F(x, y, z)3 ⇒

WBA =

∫ B

A

~F · d~l = Ep(A)− Ep(B) = −∆Ep

⇒ el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre una partícula entre dos puntos de su

trayectoria es igual a menos la variación de su energía potencial entre esos dos puntos. De ladefinición de energía potencial no podemos calcular la energía potencial que tiene una partícula

en un determinado punto del espacio. Por convenio asignamos el valor cero de energía potenciala un determinado punto de referencia y se calcula diferencia de energía potencial entre ese puntode referencia y cualquier otro. Sea ~r0 un punto del espacio tal que Ep(~r0) = cte 6= 0 ⇒

∫ ~r

~r0

~F · d~l = Ep(~r0)− Ep(~r) ⇒ Ep(~r) = Ep(~r0)−

∫ ~r

~r0

~F · d~l

entonces por convenio elegimos Ep(~r0) = 0 de donde tenemos:

Ep(~r) = −

∫ ~r

~r0

~F · d~l =

∫ ~r0

~r

~F · d~l (3)

2Sería la energía que tiene una partícula por su posición en un determinado campo de fuerzas.3Matemáticamente esto se cumple si y sólo si ~F = −~∇Ep(~r) = (−

∂Ep

∂x,−

∂Ep

∂y,−

∂Ep

∂z) pues en este caso se tiene

∫ B

A

~F · d~l = −

∫ B

A

(

∂Ep

∂xdx+

∂Ep

∂ydy +

∂Ep

∂zdz

)

= −

∫ B

A

d(Ep) = Ep(A) − Ep(B),

es decir, se convierte en una diferencial exacta ⇒ la integral se puede calcular como la diferencia de dicha función entre los dos límites

de integración ⇒ Una definición alternativa de campo conservativo es que ~F = −~∇Ep.

20

La integral anterior es lo que llamamos energía potencial de la partícula en el punto ~r. Enrealidad es la diferencia de energía potencial de la partícula entre el punto ~r y el punto tomado

como referencia ~r0 ⇒ La identidad (3) dice que la energía potencial de una partícula

en un punto ~r de un campo conservativo es igual al trabajo que ha de realizar el

campo para llevarla desde la posición ~r al punto de referencia ~r0.

En el caso rectilíneo en un desplazamiento elemental considerando ~r = x~i y ~r0 = (x+ dx)~i

dW = F · d~l = Fxdx = − [Ep(x+ dx)− Ep(x)]dx

dx⇒ Fx = −

dEp

dx

Se puede extender a las tres dimensiones (si en cualquier d~r la variación de Ep en cada dimensión

espacial no depende de las componentes de la fuerza en las otras dimensiones ⇒

Fx = −dEp

dx

Fy = −dEp

dy

Fz = −dEp

dz

es decir~F = −~∇Ep(~r)

Energía potencial gravitatoria:

Sea ~F = −GMmr2

~ur la fuerza que ejerce un planeta de masa M como la tierra sobre una partícula

de masa m en una posición ~r respecto de un sistema de referencia en centro del planeta.

21

ru

F

dlT

dlr dl

0r

r

R

Ep(~r) = W ~r0~r =

∫ ~r0~r

~F · d~l = −∫ ~r

~r0~F · d~l =

∫ ~r

~r0

(

GMmr2

)

~ur · (d~lr + d~lT ) =∫ ~r

~r0

(

GMmr2

)

dr, donde

dr = |d~lr| y (ver dibujo) d~lr = dr ~ur. Tomando como referencia ~r0 = ∞ ⇒

Ep(~r) = −GMm

r

Si la distancia es pequeña, r = R+ h con h pequeño y R el radio del planeta ⇒ (serie Taylor)

Ep(R+ h) = −GMm

(R+ h)≈ −G

Mm

R(1−

h

R) ≡ −G

Mm

R+mgh = Ep(R) +mgh

donde g ≡ GMR2 ≃ 9,8m/s2 para el caso de la Tierra ⇒ tomando como referencia Ep(R) = 0

Ep(h) = mgh

Este resultado lo podíamos haber obtenido de la expresión general Ep(~r) = −∫ ~r

~r0~F · d~l sin

más que considerar ahora la fuerza es el peso ~F = −mg~k y d~l = dz~k ~r0 = 0~k (superficie de la

22

Tierra) y ~r = h~k entonces

Ep(h) =

∫ h

0

mgdz = mgz]h0 = mgh

energía potencial que tiene una partícula que está a una altura h respecto de la superficie dela Tierra. Para un cuerpo no puntual, hay un punto que es su centro de gravedad en el quepodemos considerar que está aplicado su peso ⇒ la expresión anterior es válida para cuerpos

considerándolos como partículas de la misma masa que el cuerpo situadas en su centro degravedad. Para demostrar esto consideremos un cuerpo rígido ⇒ ~g es la misma para todas las

partículas del cuerpo ⇒

Ep =∑

i

migzi = g∑

i

mizi ≡ gMzcdm

pues por definición la coordenada z del centro de masas del cuerpo es

zcdm =1

M

∑

i

mizi

entonces llamando h = zcdm se tieneEp = Mgh

Energía potencial eléctrica: Haciendo el mismo análisis que en el caso gravitatorio, parael campo eléctrico creado por una carga puntual q y que siente una carga puntual q′,

Ep(~r) = Kqq′

r

asumiendo de nuevo que Ep(∞) = 0.

23

Energía potencial elástica: Es la energía potencial que tiene una partícula sometida a unafuerza elástica que es aquella que la produce un cuerpo que sea elástico. Estas fuerzas son

conservativas y de tipo central al igual que las fuerzas gravitatorias y eléctricas.

F

F

x

x

x

y

~F = −kx~i ⇒ Fx = −kx Ley de Hooke Vamos a ver cuánto vale la energía potencial elástica.

De la expresión general tenemos usando que d~l = dx~i

W 21 =

∫ 2

1~F · d~l = Ep(1)− Ep(2)

W 21 =

∫ x2

x1

−kxdx = −12kx

22 +

12kx

21 = Ep(1)− Ep(2) ⇒

W 0x = Ep(x)− Ep(0) =

12kx

2

Por convenio Ep(0) = 0 ⇒

Ep(x) =12kx

2

24

Fuerzas no conservativas: El trabajo realizado por dichas fuerzas depende del camino. Lasmás importantes son las llamadas fuerzas resistivas o disipativas como la fuerza de rozamiento,

o también la fuerza magnética como veremos más adelante.

Potencial, concepto de gradiente

Hemos visto antes que en un campo de fuerzas ~F = A~E donde la magnitud activa A = m, q′, .... Siconocemos ~E en todo punto ⇒ este campo esta completamente descrito. Además

Ep(~r) = −

∫ ~r

~r0

F · d~l = −A

∫ ~r

~r0

~E · d~l

es decir Ep(~r) ∝ A, es decir es directamente proporcional a la magnitud activa.Definimos la magnitud escalar potencial en un punto de un campo conservativo y lo denotamos

por V (~r) como la energía potencial que posee en ese punto la unidad de magnitud activa.

V (~r) =Ep(~r)

A(4)

⇒ V (~r) no depende de la magnitud activa. Sólo depende del agente que crea el campo y de lascoordenadas. Por ejemplo:

Campo Gravitatorio:

V (~r) = −GM

r

Campo eléctrico:

V (~r) = Kq

r

25

Se cumple el principio de superposición ⇒ si hay varias masas o cargas que crean el campo⇒

V (~r) =∑

i V (~ri)

V (~r) = −G∑

iMi

ri

V (~r) = K∑ qi

ri

donde ~ri es el vector que une cada una de las masas (Mi) o cargas (qi) que crean el campo conla magnitud activa (m, q′). Como los cuerpos esféricos y homogéneos (formados por muchas

partículas) se comportan como masas puntuales localizadas en su centro geométrico (o centrode masas) las expresiones generales para una masa puntual son válidas para estos cuerpos enpuntos exteriores a los mismos. En estos casos ~r es la distancia entre el centro geométrico del

cuerpo y el punto considerado. Esto mismo ocurre en el caso de un cuerpo cargado donde lacarga se distribuye homogéneamente por todo el cuerpo, y éste se comporta como una sóla

partícula de carga igual a la carga total situada en su centro geométrico o centro de masas.

Por otra parte de la relación anterior (4) se tiene:

Ep(~r) = AV (~r).

Teniendo en cuenta el significado de la energía potencial, el potencial en cada punto de un campoconservativo evalúa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar a la unidad de magnitud

activa desde ese punto al punto de referencia:

W 21 = Ep(~r1)− Ep(~r2) = A[V (~r1)− V (~r2)]

V (~r1)− V (~r2) =W 2

1

A

La diferencia de potencial entre dos puntos ~r1 y ~r2 del campo expresa el trabajo que tiene que

hacer el campo para llevar a la unidad de magnitud activa desde el punto ~r1 al ~r2. Sólo depende

26

del agente que crea el campo y de las coordenadas (posición), es decir, V (~r). Como V (~r) dependede las coordenadas, la asociación de cada punto del campo con el valor que toma el potencial en

ese punto define un campo escalar , que podemos representar por las llamadas líneas equipotenciales(que son el lugar geométrico del espacio que tiene el mismo valor del potencial V (~r))

Para que un campo conservativo pueda ser descrito por V (~r) es necesario que a partir del valor del

potencial en cada punto podamos deducir el valor de ~E en módulo, dirección y sentido y por tantoel valor de ~F ⇒ podremos además representar gráficamente el campo de fuerzas mediante las líneas

de fuerza y también por las superficies equipotenciales:

W 21 =

∫ ~r2~r1

~F · d~l = A∫ ~r2~r1

~E · d~l = Ep(~r1)− Ep(~r2) = A[V (~r1)− V (~r2)]∫ ~r2~r1

~E · d~l = V (~r1)− V (~r2) ≡ −∫ ~r2~r1

dV ⇒

dV = − ~E · d~l = dWA

⇒ el trabajo elemental realizado por el campo sobre la unidad de A para moverla entre dos puntosmuy próximos es igual a menos la variación elemental del potencial entre los mismos. Ejemplos:

El campo mueve la partícula tangencialmente a las líneas equipontenciales ⇒

27

E

E

E

dl

V=cte

dV = 0 ⇒ ~E · d~l = | ~E| × |d~l| × cosθ = 0 ⇒ θ = 90o

Es decir,el vector ~E es en todo punto perpendicular a las superficies equipotenciales. Su sentido es

el de los potenciales decrecientes

Supongamos dos superficies equipotenciales muy próximas:

gradV

E

BVAV

B AVV <

dl

θ

dV = − ~E · d~l = | ~E||d~l|cosθ

28

si llamamos ds = |d~l| se tiene trivialmente −dVds

= | ~E|cosθ que se le conoce como derivada

direccional e indica la deriva de la función potencial en la dirección que marca d~l. Si ponemos

el producto escalar en función de sus coordenadas y usando que

d~l = dx~i+ dy~j + dz~k~E = Ex

~i+ Ey~j + Ez

~k ⇒dV = − (Exdx+ Eydy + Ezdz)

Por definición de diferencial de una función V (~r) = V (x, y, z) se tiene que

dV =∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

de donde igualando se tieneEx = −∂V

∂x

Ey = −∂V∂y

Ez = −∂V∂z

Introduciendo el vector gradiente

−−→grad = ~∇ ≡

∂

∂x~i+

∂

∂y~j +

∂

∂z~k

⇒ un campo conservativo ~F = A~E puede definirse mediante el potencial V (~r) en la forma

~E = −−−→gradV (~r) = −~∇V (~r)

El vector intensidad del campo ~E en un punto de una campo conservativo es igual a −−−→grad

del potencial V en ese punto ⇒ Podemos obtener ~E a partir de V (~r), y podemos describir el

campo de fuerzas mediante el potencial y representarlo mediante superficies equipotenciales.

29

Notad que el−−→gradV (~r) es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido de

los potenciales crecientes. La dirección de los vectores ~E y−−→gradV (~r) es aquella en la cual el

potencial varía más rápidamente por unidad de longitud. No hay que confundir líneas de fuerzay superficies equipotenciales:

E

E = g

E

E

E

Además notad que como ~E =~FA

y −∆V = W 21 /A = −∆Ep/A ⇒ ~F/A = −

−−→gradV (~r) =

− 1A

−−→gradEp(~r) por lo que

~F = −−−→gradEp(~r) = −~∇Ep(~r)

Resultado que ya habiamos encontrado antes. Por lo tanto si el sistema está aislado F = 0

Principio de conservación de la energía

Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una partícula que se mueve de A a B

WBA = Ec(B)− Ec(A)

WBA = Ep(A)− Ep(B)

}

⇒ Ec(B)−Ec(A) = Ep(A)−Ep(B) ⇒ Ec(B)+Ep(B) = Ec(A)+Ep(A)

30

Introduciendo la energía mecánica de la partícula Em ≡ Ec + Ep ⇒ Em(B) = Em(A) ⇒

Em = cte ⇒ ∆Em = 0 principio de conservación de la E. mecánica de una partícula

“La energía mecánica de una partícula que se mueve sometida a fuerzas conservativas se mantiene

constante durante el movimiento”

Nota: El término de Ep incluye aquí todas las energías potenciales de la partícula (gravitatoria,

eléctrica, elástica, ...)

Supongamos la partícula sometida a fuerzas conservativas y a fuerzas no conservativas

WBA = WB

A (C) +WBA (NC) = Ec(B)− Ec(A)

WBA (C) = Ep(A)− Ep(B)

}

⇒ WBA (NC) = [Ec(B) + Ep(B)]− [Ec(A) + Ec(A)]

WBA (NC) = ∆Em

Cuando sobre una partícula actúan fuerzas conservativas y no conservativas, la variación de la

energía mecánica de la partícula entre los puntos final e inicial es igual al trabajo realizado por lasfuerzas no conservativas. Por ejemplo, supongamos que la fuerza no conservativa es el rozamiento

A → B ⇒ WBA (R) = ∆Em = Em(B)− Em(A) < 0

En este caso se dice que la partícula está realizando trabajo a costa de perder energía mecánica

WBA (R) ≡ −Q ⇒ ∆Em +Q = 0

El resultado anterior no es más que un caso particular de otro más general:“La energía no se crea ni se destruye, únicamente se transforma”, afirmación que se conoce como

principio de conservación de la energía.

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Sistemas de partículas

Sea un sist. partículas sometido a fuerza exteriores e interiores ⇒ Teorema de las fuerzas vivas

WBA,ext +WB

A,int = Ec(B)− Ec(A)

El trabajo realizado por las fuerzas exteriores e interiores sobre un sistema de partículas en movi-

miento es igual a la variación de la energía cinética del sistema.

Sist. de partículas moviéndose con distancias relativas fijas (sólido rígido) WBA,int = 0 ⇒

WBA,ext = Ec(B)− Ec(A)

• Si sólo hay movimiento de traslación

WBA,ext =

1

2MV 2

B −1

2MV 2

A

• Si hay movimiento de traslación y rotación (en el plano)

WBA,ext =

1

2MV 2

B +1

2Iω2

B −

(

1

2MV 2

A +1

2Iω2

A

)

Principio de conservación en el caso de que las ~Fext y las ~Fint sean conservativas

WBA,ext +WB

A,int = Ec(B)− Ec(A)

WBA,ext +WB

A,int = Ep(A)− Ep(B)

donde Ep =∑

iEip,ext +

∑

iEip,int

Entonces

Ep + Ec = cte ⇒ Em = cte ⇒ ∆Em = 0

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• Si son conservativas y no conservativas:

∆Em +Q = 0

Sistema aislado (~Fext = 0) con ~Fint conservativas

WBA,int = Ec(B)− Ec(A)

WBA,int = Ep(A)− Ep(B)

donde ahora Ep =∑

iEip,int

Entonces otra vezEp + Ec = cte ⇒ Em = cte ⇒ ∆Em = 0

Sistema aislado con ~Fint conservativas y no conservativas

WB,conA,int +WB,ncon

A,int = Ec(B)− Ec(A)

WB,conA,int = Ep(A)− Ep(B)

donde ahora Ep =∑

iEip,int

Entonces despejando ahora tenemos

WB,nconA,int = ∆Em

Si tenemos que ~F nconint = ~Froz entonces WB,ncon

A,int = −Q < 0 ⇒ ∆Em +Q = 0

Sistema no aislado con ~Fint = 0 y ~Fext conservativas y no conservativas, tendríamos (Ejercicio)

WB,nconA,ext = ∆Em

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y en el caso de que tengamos la fuerza externa sea la de rozamiento

WB,nconA,ext = −Q < 0 ⇒ ∆Em +Q = 0

Colisiones

Si las fuerzas que actúan entre dos partículas que chocan son mucho más grandes que las fuerzas

externas (gravedad o fuerza eléctrica) podemos despreciar las fuerzas externas (únicas fuerzas im-portantes van a ser las fuerzas internas, que aparecen cuando las partículas chocan) y considerar el

sistema constituido por las dos partículas que chocan como un sistema aislado. El momento totaldel sistema por tanto se conserva (como ya hemos visto)⇒ tiene el mismo valor antes y después dela colisión y la energía potencial debido a las fuerzas externas siempre es la misma.

~P antes = ~P despues

mA~vA +mB~vB = mA~v′A +mB~v

′B

Eantesp = Edespues

p

Sean dos partículas que chocan. Si las fuerzas entre los cuerpos que chocan son conservativas

⇒ no hay variación de la energía mecánica del sistema en el choque ⇒ colisión se dice que es

elástica (choques de bolas de billar, casi elástica). Como el sistema está aislado, en una colisiónelástica la energía cinética total de sistema antes y después del choque es la misma. Antes del

choque el sistema tiene una determinada energía cinética que durante el choque disminuye yse invierte en aumentar la energía potencial “elástica” de repulsión entre las dos partículas que

de nuevo se invierte en aumentar la velocidad de las mismas y por lo tanto en aumentar suenergía cinética total hasta el valor original (ver dibujo).

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AB

vB v A

v A

B

vB

A

vB

v v A

vB v A

v AB

B A

AB

B

A

Eantesc = Edespues

c12mAv

2A + 1

2mBv

2B = 1

2mAv

′2A + 1

2mBv

′2B

Una colisión en la que la energía mecánica (o la energía cinética total) después de la colisión es

menor que antes de la colisión se denomina colisión inelástica (disparo a un tronco de madera, oun choque entre dos coches). Una colisión inelástica se llama completamente inelástica cuandolos cuerpos que colisionan se mantienen unidos después del choque. El grado de inelasticidad

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se mide con el llamado coeficiente de restitución que se define

e = −v′B − v′AvB − vA

que puede tomar valores entre cero y uno. Para un choque elástico e = 1 y para uno totalmenteinelástico (las masas quedan unidas después del choque) e = 0.

Un colisión es frontal cuando la dirección en que se mueven los cuerpos que chocan es la mismaantes y después del choque. Es lateral cuando las direcciones antes y después no son las mismas

En muchas situaciones se puede despreciar el término de energía potencial debido a que el

choque transcurre a la misma altura sobre la superficie terrestre.

En resumen, en cualquier colisión en que las fuerzas externas son despreciables el momento

se conserva y el momento total antes y después de la colisión es el mismo, y sólo en las

colisiones elásticas la energía cinética total antes y después de la colisión son las mismas.

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