3-3 gramaticas propias

IntroduccinGramticas libres

Gramticas sin Producciones Simples

Hacia las Gramticas PropiasGramticas sin Ciclos

Universidad de Cantabria

Gramticas Propias



Esquema

1 Introduccin

2 Gramticas libres

3 Gramticas sin Producciones Simples

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Introduccin

Las gramticas libres de contexto pueden presentar diferentesproblemas. Ya hemos visto como eliminar los smbolos intilesque tiene una gramtica.Veamos como transformar una gramtica para que no tengaciclos.

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Cosas que Evitar

Las gramticas presentan ciclos porque:Hay producciones de la forma A 7 B.Hay producciones de la forma A 7 .

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Cosas que Evitar

Claramente, no siempre es posible quitar todas lasproducciones del tipo A 7 , ya que siempre deber haber almenos una si el lenguaje contiene a la palabra vaca.

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Eliminacin de producciones

DefinicinSea G = (V ,,Q0,P) una gramtica libre de contexto.

1 Llamaremos producciones en G a todas lasproducciones de la forma X 7 , donde X V es unsmbolo no terminal.

2 Diremos que la gramtica G es libre si verifica una delas dos propiedades siguientes:

O bien no posee producciones,o bien la nica produccin es de la forma Q0 7 y Q0no aparece en el lado derecho de ninguna otra produccinde P (es decir, no existe ninguna produccin de la formaX 7 Q0, con , (V )).

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Ejemplo de Gramtica

EjemploConsideremos la gramtica cuyas producciones son:

Q0 7 aQ0bQ0 | bQ0aQ0 | .

No es una gramtica libre.

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Pregunta sobre las Gramticas

A la vista de este ejemplo y la definicin, se puede resolvercon un autmata cuando una gramtica es libre?

Las variables pueden definirse como qN , por lo tanto sepueden representar como expresiones regulares.Los elementos del alfabeto son representables porexpresiones regulares.Incluiremos 7 como un smbolo.

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Resultado

Teorema (Transformacin a Gramtica libre)Toda gramtica libre de contexto es equivalente a unagramtica libre. Adems, dicha equivalencia es calculablealgortmicamente.

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El Grafo de las -producciones

Utilizaremos la idea que se utiliz para la eliminacin desmbolos intiles. Primero guardamos en un conjuntoV := {A V : A `G }.

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Algoritmo

Calculamos ahora un nuevo sistema de producciones P pormedio de una serie de transformaciones, que se basansolamente en sustituciones. Al principio, consideramos que Pes el conjunto vacio.

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Algoritmo

Consideremos todas las producciones de la forma siguiente:

A 7 0B11 Bkk ,

donde i ((V\V) ), Bi V y no todos los i soniguales a .Definamos

P := P {A 7 0X11 Xkk : Xi {Bi , }}.

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Algoritmo

Consideremos todas las producciones de la forma siguiente:

A 7 B1 Bk ,

donde Bi V.Definamos:

P := P ({A 7 X1 Xk : Xi {Bi , }} \ {A 7 }) .

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Algoritmo

Aadimos todas las producciones que no sean del tipo de lasdos mencionadas anteriormente. Esto es, aquellas en las queen la parte derecha no aparezca ninguna variable de V y nosean producciones.

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Algoritmo

Notar que no hemos introducido ninguna produccin a P.Finalmente, si Q0 V sea V := V {Q0}, con Q0 6 V . Yaadamos

P = P {Q0 7 Q0 | }.En otro caso, V = V .

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ltimas Observaciones

Varios puntos para reflexionar:Tiene la nueva gramtica smbolos intiles?Siempre crece de tamao? puede ser ms pequeaque la inicial?Como cambian los rboles de derivacin de una palabra?

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Producciones Simples

Definicin (Producciones Simples o Unarias)Se llaman producciones simples (unarias) a las produccionesde una gramtica libre de contexto de la forma A 7 B, donde Ay B son smbolos no terminales.

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Resultado

Teorema (Eliminacin de Producciones Simples)Toda gramtica libre es equivalente a una gramtica sinproducciones simples. Esta equivalencia es calculablealgortmicamente.

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Algoritmo

El algoritmo tiene dos partes. La primera parte sigue el mismoesquema algortmico usado en resultados anteriores. Lasegunda parte se dedica a eliminar todas las produccionessimples.

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Clausura Transitiva

Clausura Transitiva de smbolos no terminales. Se trata decalcular, para cada A V , el conjunto siguiente:

VA := {B V : A `G B} {A}.

A partir de aqu, el algoritmo seguir derroteros muy similares.

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Algoritmo

Entrada: Una gramtica libre de contexto G := (V ,,Q0,P)Para cada A V calcularMA := NA := {A}

mientras NA 6= M hacerM := NANA := {C V : B 7 C est en P, y B NA} NA

fin hacerSalida: Para cada A V , NA.

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Algoritmo

Eliminar las producciones simples. Para cada variable B tal queexiste una produccin simple A 7 B en P, procederemos somosigue:

Hallar todos los X s tales que B VX .Para cada produccin B 7 que no sea produccinsimple, aadir a P la produccin X 7 .Eliminar toda produccin del tipo X 7 B.

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ltimas Observaciones

Varios puntos para reflexionar:Tiene la nueva gramtica smbolos intiles?Es necesario que la gramtica sea libre para que elalgoritmo funcione?Despus de aplicar el algoritmo sigue siendo lagramtica libre?Como cambian los rboles de derivacin de una palabra?

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