EXAMEN PARCIAL DE FÍSICA - Departamento de Física Aplicada

17 de Abril de 2004

CUESTIONES DE TEORIA (1,25 ptos cada una)

1. (Elegir una opción) a) Demostración de la ecuación de continuidad en un fluido (0.75) y explicar su sentido físico

(0.5). b) Origen (1) y definición de la Presión en un fluido (0.25)

2. ¿Qué es la velocidad de escape? (0.5) Determinar su valor para un proyectil lanzado desde la superficie terrestre (0.75).

3. ¿Que se entiende por un péndulo simple? (0.25) Obtener la ecuación de la dinámica de rotación para el péndulo simple y, para el caso de pequeñas oscilaciones, determinar su solución θ= θ(t) (0.75). Si el péndulo del Museo de Ciencias de Valencia tiene un periodo de 11 segundos, ¿cual es su longitud? (0.25)

4. ¿Qué se propaga en una onda mecánica? (0.5) Justificarlo con un ejemplo (0.75)

PROBLEMAS (2,5 ptos cada uno)

1.- Suponga que la sustancia de trabajo de una máquina térmica es un gas ideal monoatómico, que sigue el ciclo termodinámico de tres etapas mostrado en la figura adjunta. La etapa 1→2 consiste en un proceso adiabático, que comienza a unas condiciones iniciales de presión P1 y temperatura T1 y culmina a P2 = P1/3 y volumen V2. La etapa 2→3 es un proceso isobárico en el que el volumen y la temperatura del gas cambian hasta alcanzar valores V3 y T3. Finalmente el proceso 3→1, isotérmico a temperatura T = T1, nos devuelve al estado inicial. Calcule: P

V

1

23

V V V1 2 3

p1

p2

a) Los valores de V1, V2, V3 y T3 en función de P1 y T1. b) La variación de energía interna, el trabajo realizado por el gas y el

calor intercambiado durante cada uno de los procesos y para el ciclo completo.

c) La variación de entropía del gas en cada etapa y para el ciclo completo, así como la de dos supuestos focos térmicos frío y caliente a Tcaliente = T1 y Tfrio = T2 respectivamente.

d) El rendimiento de esta máquina térmica, y el de una hipotética máquina de Carnot que trabajase entre dos focos térmicos a temperaturas Tc y Tf.

RESOLUCIÓN a) Para conocer los valores de las variables de estado en 1, basta con aplicar la función de estado de los gases ideales. Según el enunciado, se conocen P1 y T1, luego V1=nRT1/P1.

Para el estado 2, necesitamos conectar el estado 1 con 2 mediante el proceso seguido por el

gas ideal desde 1 a 2: expansión adiabática, PVγ=cte. En el caso de un gas ideal monoatómico, γ=5/3. Esta relación indica que P1V1

γ= P2V2γ y dado que P2=P1/3 (enunciado), llegamos al

resultado de que V2=33/5V1. La temperatura T2 se puede calcular fácilmente por medio de la función de estado de los gases ideales, T2=P2V2/nR=(P1/3)(33/5V1)(1/nR)=3-2/5P1V1/nR=3-2/5T1.

Para el estado 3 y tal y como se indica en el dibujo, los puntos 2 y 3 se deben conectar por

medio de un proceso de expansión isóbara, V/T=cte, o bien V2/T2=V3/T3. Despejando V3 llegamos a V3= T3V2/T2. Como el punto 3 también pertenece al proceso isotermo que une 3 y 1, T3=T1. Finalmente, V3=T1(33/5V1)/3-2/5T1=3V1. A este resultado también se podía llegar de un modo mucho más simple: V3=nRT3/P3= nRT1/P2= nRT1/(P1/3)=3nRT1/P1=3V1. (0.5 puntos)

b) Dado que el proceso 12 es adiabático, ΔQ12=0 y ΔU12=-ΔW12=(3nR/2)(T2-T1). El proceso 23 es isóbaro y, por tanto, ΔW23=P2(V3-V2), ΔU23=(3nR/2)(T3-T2) y

ΔQ23=(3nR/2)(T3-T2)+P2(V3-V2)= (3nR/2)(T3-T2)+nR(T3-T2)= (5nR/2)(T3-T2). El proceso 31 es isotermo y, por tanto, ΔU31=0, ΔW31=nRT3ln(V1/V3)=ΔQ31. Para el ciclo completo es evidente que ΔU=0 por ser un ciclo (U es una función de estado) mientras que ΔW=ΔQ= ΔQ12+ΔQ23+ΔQ31. (1 punto)

c) Dado que el proceso 12 es adiabático, ΔQ12=0 y ΔS12=0 El proceso 23 es isóbaro y, por tanto, ΔS23=Cpln(T3/T2)=(5nR/2)ln(T3/T2) El proceso 31 es isotermo y, por tanto, ΔS31=nRln(V1/V3) (0.75 puntos) Para cada foco, ΔSFoco=ΔQ/TFoco donde ΔQ es el calor absorbido o cedido por cada foco. d) Para una máquina térmica arbitraria, el rendimiento es η= ΔW/ ΔQabsorbido. Para una máquina

térmica de Carnot, además, η=1-(T2/T1). (0.25 puntos) 2. Dos cargas puntuales positivas q1 y q0 se encuentran en reposo y rodeadas por una esfera imaginaria de radio R0, tal y como indica la figura A. Manteniendo siempre fija la posición de q1, se deja mover libremente a la carga q0. Responder a los siguientes apartados:

a) Calcular el flujo del campo eléctrico de ambas cargas a través de la superficie esférica imaginaria durante el movimiento de q0 desde r =R0/2 hasta r =2R0, así como el campo sufrido por q0.

b) Calcular la velocidad de la carga q0 justo en el momento de su salida por el pequeño orificio de la esfera (r =R0) y también a una distancia 2R0 de q1.

c) Repetir los apartados anteriores pero substituyendo la superficie esférica imaginaria por un caparazón esférico real con una carga total +Q fija y distribuida homogéneamente por todo él (véase figura B).

RESOLUCIÓN a) y b) El flujo del campo eléctrico a través de la superficie imaginaria de radio R0 es, según el teorema de Gauss, Φ=4πkq, donde q es toda la carga encerrada por la superficie imaginaria. En este caso, Φ=4πk(q1+q0) cuando q0 está dentro de la esfera y Φ=4πkq1 cuando q0 está fuera de la esfera (debido a la repulsión eléctrica con q1) (0.5 puntos) Dado que en todo momento y lugar, sólo existe la interacción eléctrica entre dos cargas puntuales q0 y q1, el campo eléctrico sufrido por q0 será, obviamente el generado por q1, cuyo módulo es E=kq1/r2. La dirección es la recta que una a ambas cargas y el sentido el de repulsión. En particular, E(R0/2)=4kq1/(R0)2 y E(2R0)=kq1/(2R0)2 (0.25 puntos) Para el cálculo de la velocidad de q0, emplearemos el teorema de conservación de la energía total, dado el carácter conservativo de la interacción eléctrica: E=mv2/2+Ep,eléctrica=constante. De este modo:

21 0 1 0 1 0

0 0

2/ 2 2 s

q q q q q qmvk k v0

kR R m

= + =R

Donde vs es la velocidad de la carga q0 al salir por el orificio de la esfera imaginaria (tal y como dice el enunciado, inicialmente la carga está en reposo). Para calcular la velocidad de q0 en r=2R0, procedemos de igual modo:

0

21 0 1 0 1 0

20 0

3/ 2 2 2 R

q q q q q qmvk k v0

kR R m

= + =R

(0.5 puntos)

c) A continuación se sitúan cargas eléctricas en un caparazón esférico de radio R0 que coincide con la esfera sobre la que estamos calculando el flujo eléctrico. El flujo eléctrico no cambia en nada en relación con la situación anterior: el teorema de Gauss tiene en cuenta únicamente las cargas que están encerradas no las que están fuera o sobre la superficie imaginaria. (0.5 puntos) Sin embargo, el campo eléctrico sufrido por la carga q0 depende de la acción de las cargas de sus alrededores y esta situación sí ha cambiado. Para el cálculo del campo eléctrico, utilizamos el teorema de Gauss (no imprescindible) en las siguientes regiones: (a) r<R0 y (b) r>R0. Dentro del caparazón, una esfera imaginaria S’ concéntrica a q1 encerraría sólo a q1 y las cargas del caparazón estarían fuera de S’. En este caso, E(r<R0)=kq1/r2, resultado idéntico al caso anterior. Sin embargo, fuera del caparazón, la esfera imaginaria S’ encerraría a todas las cargas +Q y, por supuesto, a q1 (véase el dibujo inferior). De este modo: E(r>R0)=k(q1+Q)/r2. (0.25 puntos) El cálculo de la velocidad de q0 es similar al realizado anteriormente:

21 0 1 0 1 0

0 0

2/ 2 2

ss

q q mv q q q qk k v0

kR R m

= + =R

Sin diferencia alguna con el caso previo (las cargas del caparazón no influyen en su interior).

0

0

221 0 1 0 0

20 0 0

( ) (3 )/ 2 2 2

RR

mvq q q Q q qk k v kR R mR

+= + = −1q Q (0.5 puntos)

Resultado en el que sí se observa la influencia de +Q (cargas del caparazón)