2_modelado14 (1)

1Modelado de procesos

Dra. Marta Basualdo

2

Modelos

Representacin aproximada de la realidad Abstraccin: Incluimos solo aquellos aspectos

y relaciones que son de inters. Modelos fsicos, cualitativos, cuantitativos, Usos de los modelos: diseo, entrenamiento,

qu pasa si., decisiones,... Como generarlos, resolverlos, utilizarlos,

validarlos?

3Qu es un modelo matemtico?

Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de inters del proceso y representan adecuadamente su comportamiento

Siempre son aproximaciones de la realidad Distintos modelos para distintos objetivos y

tipos de procesos Compromiso entre facilidad de uso y

exactitud

4

Modelos en control

El diseo de un sistema de control tpicamente requiere un delicado balance entre limitaciones fundamentales y soluciones de compromiso.

Para poder lograr este balance, es necesario tener una comprensin cabal del proceso en cuestin.

Esta comprensin usualmente se captura en un modelo matemtico.Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintos diseos

posibles sin comprometer al sistema real.

En esta seccin vamos a discutir brevemente cmo

elegir el nivel adecuado de complejidad de un modelo; linealizar modelos no lineales; obtener experimentalmente modelos elementales.

5Los modelos matemticos nos brindan los medios de capturar

el comportamiento de un sistema sujeto a condiciones iniciales,

entradas de control y perturbaciones mediante un conjuntode ecuaciones matemticas.

6

Complejidad de modelos

Al construir un modelo es importante tener en cuenta que todo proceso real es complejo, por lo que cualquier intento de construir una descripcin exacta de la planta es usualmente una meta imposible de alcanzar.

Afortunadamente, la realimentacin usualmente nos permite tener xito an con modelos muy simples, siempre y cuando stos capturen las caractersticas esenciales del problema.

Es importante destacar que los modelos empleados para control usualmente difieren de los utilizados, por ejemplo, para diseo del proceso.

7Construccin de modelosDos enfoques diferenciados para la construccin de modelos:Experimental. Se basa en pensar al sistema como una caja negra.

En este enfoque se postula una determinada estructura de modelo, a la que que se varan los parmetros, bien va prueba y error, o bien va algn algoritmo, hasta que la el comportamiento dinmico del modelo se ajusta al observado en la planta mediante ensayos.

Analtico. Se basa en el uso de leyes fsicas (conservacin de masa, energa y momento). El modelo se obtiene a partir de las leyes fenomenolgicas bsicas que determinan las relaciones entre todas las seales del sistema.

En la prctica es comn combinar ambos enfoques.

8

IdentificacinTcnica que permite obtener el modelo a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

tt

YUU

Y

Proceso

Modelo

9Obtencin del Modelo

SISTEMA

MV1

MV2

VARIABLESMANIPULADAS

DV1VARIABLES DE PERTURBACIN

CV1

CV2

CV3

VARIABLES (MEDIBLES?)

CONTROLADAS

VARIA

BLES

DE EN

TRAD

A

(INDE

PENDIE

NTES)

VARIVABLES DEPENDIENTESVARIABLES DE SALIDA

(DEPENDIENTES)

10

ValidaciValidacin del modelon del modelo

Proceso

u

tiempo

y

tiempo

Modelo

ym

tiempo

11

Procesos continuos y de eventos discretos

q

h

Procesos continuos:Las variables evolucionancontinuamente en el tiempoy pueden tomar cualquier valor en un rango dado

Procesos de eventos:Las variables solo cambianen instantes discretosy pueden tomar solo un nmero finito de valores

12

Procesos Continuos / Eventos Procesos Continuos

Descritos principalmente por DAEs o PDE. Inters fundamental: la trayectoria de algunas

variables Procesos de eventos discretos

Descritos principalmente por secuencias de actividades.

Inters fundamental: el comportamiento estadstico de algunas variables.

13

Modelos estticos y dinmicos

q

h

A d hd t

q k h =

q k h=

Modelo esttico: Relaciona las variables en unestado de equilibrio

Modelo dinmico:Relaciona las variables alo largo del tiempo

14

Respuesta dinRespuesta dinmicamica

tiempo

q

h

15

Modelos estticos y dinmicos Modelos estticos

Representan situaciones de equilibrio Descritos mediante ecuaciones algebraicas Orientados a diseo

Modelos dinmicos en tiempo continuo Representan la evolucin temporal Descritos mediante DAE y PDE Uso mas general: control, entrenamiento,...

16

Modelos para control por computadora (digital)

ProcesoComputadora D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

O modelos en tiempo discretoO deben relacionar las variables de entrada y salida

en los instantes de muestreo kT Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT))

y(t)

17

Como obtener modelos?

Mediante razonamientos,usando leyes fsicas,qumicas, etc

Mediante experimentaciny anlisis de datos

18

En particular, revisaremos algunas propiedades bsicas de las representaciones externas (funciones transferencias), representaciones internas (ecuaciones de estado) y los diagramas de bloques, modelos matemticos muy comnmente usados en ingeniera de control.

Presentaremos algunas premisas de cmo obtener modelos matemticos en forma analtica. La derivacin de modelos matemticos de procesos teniendo en cuenta que es una disciplina compleja en s misma.

Modelos y representaciones tpicas en control

19

Modelos de conocimiento

Se obtienen mediante razonamientos y la aplicacin de principios de conservacin de masa, energa, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicacin

Tienen validez general Requieren conocimiento profundo del

proceso y de las leyes fisico-qumicas

20

Modelos de conocimientoMetodologa de modelado:

Establecer los lmites y objetivos del modeloEstablecer las hiptesis bsicasEscribir las ecuaciones usando leyes de conservacin y del dominio de aplicacinEstimar el valor de los parmetrosValidar el modelo

21

MODELOS DE CONOCIMIENTO (ANALTICOS)

22

Tipos de modelos

Parmetros concentrados Parmetros distribuidos No-lineales Lineales Tiempo Frecuencia .

23

Ejemplo: nivel en un tanqueConservacin de masa

Acumulacin=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depsitoA seccin del depsito densidad, k constante

q

h

F

hkqtdhdA

hkF ghpp

ppSkSvF hAm

Fqtdmd

01

011

==+=

====

p0

p1

24

Ejemplo: nivel en un tanqueConservacin de masa

Acumulacin=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depsitoA seccin del depsito densidad, k constante u posicin de la vlvula

q

h

F

Ecuacin diferencial no-lineal

AhV hukqtdhdA

hukF hAm

Fqtdmd

====

=

Ecuacin algebraica

u

25

Modelos en variables de estado

)t),t(p),t(u,x(g)t(y

)t),t(p),t(u),t(x(fdt

)t(xd

==

Variables manipuladas

Respuestas observables

u yx

x Estados

perturbacionesp

26

SimulacinIntegrando numricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de lquido en funcin de los valores de q

q

h

F AhV hAukq

A1

tdhd ==

Integracin numrica mediante el mtodo de Euler

t)t(hA

k)t(u)t(qA1)t(h)tt(h

+=+

27

Causalidad

q

h

FCausalidad fsica: causas y efectos

q h F

hkF

FqtdhdA

== Causalidad computacional:

orden de clculo de las variables

q h F

El uso del modelo (Qupasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional.

28

Hiptesis

q

h

F

q

h

F

ci

c

Fcqctd

Vcdi =

Mezcla perfecta Flujo pistn

)FVt(c)

AvAht(c)

vht(c)t(c iii ===

29

Formulacin

q

h

F

ci

c

)cc(qtdcdV

Fcqc)Fq(ctdcdV

FcqctdVdc

tdcdV

VVcc

FqtdVd

Fcqctd

)Vc(d

i

i

i

i

=

=+

=+

=

=

=

Mezcla perfecta

constante

Volumen V

Concentracin ci

30

Computabilidadq1

h1

F1

h2

F2

0q hh0 hh)hhsgn(kF

hkF ?hh hhkF

FFqdt

dhA Fqdt

dhA

imaxi212111

222212111

2122

2111

1

==

31

Reactor Qumico Isotrmico

Reactor

FT

AT

Productos

Materia prima

Reaccin:

A

A, B

A B

32

Modelo Matemtico

A B

F

CA CB T

CAi , TiProducto A

Balance msico del producto ABalance msico del producto B

Hiptesis:

Mezcla perfecta en el reactor

Temperatura T constante

Volumen constante V

Vd cd t

Fc Fc Vke cA Ai AE

RTA=

Vd cd t

Fc Vke cB BE

RTA= +

33

Conservacin de energa

T temperatura, V voltajem masa en el depsitoH entalpia, ce calor especficoA seccin del depsito densidad, R resistencia

q

Ecuacin diferencial no-lineal

RcV)TT(q

tdTdAh

Ahm TcH si

RVHqHq

td)mH(d

e

2

i

e

2

i

+===

+=

V R T

Hiptesis:

T uniforme en el depsito Aislamiento perfecto densidad constante

Ti

34

Procesos de parmetros distribuidos

xTi F

35

Proceso de parmetros distribuidos

xTi Ti+1Ti-1

Ts

F

T depende de la posicin y del tiempo

Se divide el proceso en celdas de ancho x en las que T pueda considerarse uniforme

Balance de energa en un elemento

Limite cuando x 0

T(x,t)

x

36

Proceso de parmetros distribuidos

xTi Ti+1Ti-1

Ts

FT(x,t)

e

s2

e

is

0x

i1i

0x2i

0x

e

isi1i2

i

isie1ieie

2

cr))t,x(TT(U2

x)t,x(T

rF

t)t,x(T

cr)TT(U2

limx

)TT(limrF

tdTdlim

cr)TT(U2

x)TT(

rF

tdTd

)TT(xUr2TcFTcFtd

Tcxrd

+

=

+

=

+

=

+=

r

Balance energtico

Ecuaciones en derivadas parciales

37

Modelos de conocimiento

Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales

tiles para evaluaciones ms realistas de diseos, estructuras de control, etc.

Requieren ciertos conocimientos Difciles de manipular matemticamente Se resuelven mediante simulacin

38

Modelos linealizados Aproximaciones lineales de las ecuaciones

no-lineales Mas fciles de manipular matemticamente

pero su rango de validez es limitado

hkqtdhdA = hq

tdhdA =

39

Linealizacin

Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operacin u0, y0, z0, .

...)zz(zf)yy(

yf)uu(

uf)z,y,u(f)z,y,u(f

0)z,y,u(f 0)z,y,u(f

00

00

00

000

000

++

++=

==

zzz yyy uuu 0zzfy

yfu

uf

000000

====+

+

Ecuacin lineal en las nuevas variables u, y, z

40

Modelo Linealizado del Tanque

q

h

F

Ecuacin diferencial lineal

0qhh2

kdt

hdA

1qf

h2k

hf A

hf

0)qq(qf)hh(

hf)hh(

hf

q,h,h 0)q,h,h(f

0hkqtdhdA

0

0000

00

00

00

000

=+=

==

=

++

=

=+

&

&&&

&&

Variables desviacin

h = h - h0q = q - q0

41

Simulacin

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

0 10 20 30 40TIME

hh_l

5.0

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

0 10 20 30 40TIME

q

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40TIME

hh_l

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

0 10 20 30 40TIME

q

Respuestas del modelo no lineal y linealizado para 2 saltos en q

42

Modelo Linealizado del Tanque

q

h

F

El valor de los coeficientes depende del punto de linealizacin

kh2

K k

h2A

qKhdt

hd

qkh2

hdt

hdk

h2A

0qhh2

kdt

hdA

00

00

0

==

=+

=+=+

Variables desviacin

h = h - h0q = q - q0

43

Modelos linealizados

tt

YUU0U

Y0Y

las variables u e y soncambios sobre un punto de operacin U0 , Y0

El rango de validez est limitado a un entorno del punto de operacin

Proceso

)t(Y)t(Y)t(y)t(U)t(U)t(u

0

0

==

44


h.1h

qhdt

hd

qA1h

hA2k

dthd

0

=+=

+=q

h

Cxy

BuAxtdxd

=+=

45


DuCxy

BuAxtdxd

+=+=

x variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempo

+= tt

tAttA dBuetxetx0

0 )()()( )(0)(Solucin

analtica:

46

Equivalencia

Cxy

BuAxtdxd

=+= u y

zPCy

PBuz)P(PAtdzd

zP xPxz

1-

1-

1-

=+=

== [ ] [ ][ ] zCPy

uPB zPAPtdzd

1-

1-

=+=

Existen muchas representaciones equivalentes entrada-salida

47

Autovalores

Cxy

BuAxtdxd

=+= [ ] [ ]

[ ] zCPyuPB zPAP

tdzd

1-

1-

=+=

0IA =

0IA

0PIAP

0P)IA(P

0PPPAP

0IPAP

1

1

11

1

====

=

Los autovalores son invariantes en representaciones equivalentes

48

PROBLEMA INICIAL

(DOMINO TEMPORAL)

PROBLEMA TRANSFORMADO (DOMINO COMPLEJO)

SOLUCIN (EN TRMINOS DE LA

VARIABLE S)

SOLUCIN (EN TRMINOS DE LA

VARIABLE REAL t)

Trasnformada de Laplace

Anti - trasnformada de Laplace

Mnipulacin en el domino complejo

(ms fcil que en el dominio temporal)

Transformada de Laplace

49


[ ]Laplace de compleja le variabjs

dte)t(f)s(F)t(f0

st

+=== L

f(t) funcin temporal

f(t) = 0 para t < 0t

f(t)

[ ] [ ])s(G)s(F

)t(g)t(f)t(gf(t) si

===LL Cambio de

variable t s

50


[ ] [ ])s(G)s(F

)t(g)t(f)t(gf(t) si

===LL

Cambio de variable t s

Resolucin del problema en el dominio s X(s)

Interpretacin y expresin de la solucin en el dominio t

Cambio de variable s t[ ]

==j

j

st1 dse)s(X)s(X)t(x L

51

Ejemplo

[ ]sk

sekdtkedte)t(f)s(F)t(f

0

st

0

st

0

st =====

L

f(t) funcin salto

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = k para t >= 0t

f(t)=k

Tablas de transformadas de las funciones mas comunes

52

Tabla de Transformadas

53

Tabla de transformadas

54

Propiedades de la T. Laplace[ ][ ]

[ ]

)s(G)s(Fd)t(g)(f

)s(sFlim)t(flim)s(Fe)dt(f

)0(fdt

)0(dfs)s(Fsdt

)t(fd)0(f)s(sFdt

)t(df

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

dte)t(f)s(F)t(f

0

0st

sd

22

2

0

st

=

==

=

=

+=+

==

L

L

LL

L

L

[ ]

==j

j

st1 dse)s(F)s(F)t(f L

Transformada inversa

55

Otra consideracin de relevancia prctica es la inclusin del actuador en el proceso de modelado. Los actuadores son, en general, bastante alineales, y usualmente tienen su propia dinmica que, a veces, puede hasta dominar otras caractersticas del proceso (como suele pasar con vlvulas, actuadoreshidrulicos, rectificadores controlados)

Asi, de aqu en ms, cuando nos refiramos al modelo de la planta, entenderemos que este modelo tambin incluye los actuadores, cuando sea necesario.

56

Tiene sentido hablar de linealizacin de sistemas reales?

Aunque casi todo sistema real tiene caractersticas no lineales,muchos sistemas pueden describirse razonablemente pormodelos lineales al menos dentro de ciertos rangos de operacin.

Como normalmente un sistema de control opera en las cercanas de un equilibrio, se hace una linealizacin alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho mssimple, pero adecuado para el diseo de control.

Para un mismo sistema no lineal, la linealizacin alrededor dedistintos puntos de equilibrio dar, en general, distintos modeloslinealizados.

57

Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo

Los sistemas que vamos a considerar estn descriptospor modelos lineales, estacionarios, en tiempo continuo. stos pueden siempre representarse por una ecuacin diferencial ordinaria de la forma

58


59

Funciones transferencia

60

Transformando de ecuaciones de estado a funcin de transferencia

Cxy

BuAxtdxd

=+= Tomando transformadas de

Laplace, con condiciones iniciales nulas:

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ])t(gBAsICG(s) )s(U)s(G)s(Y)s(BUAsIC(s) Y)s(BUAsI)s(X

)s(CX)s(Y)s(BU)s(XAsI )s(BU)s(AX)s(sX

1

11

L=====

==+=

61

Funcin de Transferencia

G(s) es una funcin racional en la variable s

[ ] BAsICG(s) 1=

[ ]01

1n1n

nn

011m

1mm

m1

asa...sasabsb...sbsbBAsICG(s) ++++

++++==

Solo contiene operaciones racionales +-*/

)s(D)s(N

asa...sasabsb...sbsbG(s)01

1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++=

62

Representaciones matemticas de modelos linealizados

)s(D)s(N


1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++=

Cxy

BuAxtdxd

=+=

= t0

d)t(u)(g)t(yVariables de estado

Respuestaimpulsional

Funcin de transferencia

63

Algunas definiciones pertinentes a funciones transferencia:

64

Polos y ceros

)s(D)s(N


1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++=

Ceros de G(s) = races de N(s) = 0

Polos de G(s) = races de D(s) = 0

0.382- ,618.2sen polos 01s3s3sen cero 03-s

)382.0s)(618.2s(3s

1s3s3sG(s)

2

2

==++==

++=++

=

65

Por qu son importantes los polos(y los ceros)?

Como se ver mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinadaentrada depende de las posiciones de lospolos (y ceros) del sistema.

Igualmente la estabilidad est ligada a lasposiciones de los polos

66

Polos y Autovalores

[ ])s(D)s(NBAsICG(s) 1 ==

[ ] [ ][ ]BAsIdetAsIadjCBAsICG(s) 1

==

[ ] 0AsIdet =Autovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero)

Polos: raices de D(s) = 0

Autovalores: raices de

67

Realizabilidad Fsica

q

h

1sK)s(G +=

Sistema fsico continuo

Existe

Dada una funcin de transferencia G(s)

Puede existir un sistema fsico cuya funcin de transferencia sea G(s)?

68

Realizabilidad

Para que G(s) sea fisicamente realizable: m n)s(D)s(N


1n1n

nn

011m

1mm

m =++++++++=

En caso contrario:

++=

++=+

++=

)s(U2s

1dt

)t(du)t(y

)s(U2s

1s)s(U2s

1s2s)s(Y2

1-L

Para una entrada en salto en u(t) tendra que dar una y(t) infinita

69

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA (SISO y MISO)

70

Modelo en FT de Primer Orden del Tanque.

q

h

Fkh2

K k

h2A

qKhdt

hd

00 ==

=+

Tomando Transformadas de Laplace:

[ ]( )

1sKG(s) G(s)Q(s)H(s) )s(Q

1sK)s(H

)s(KQ1s)s(H )s(KQ)s(H)s(sH

qKhdt

hd

+==+==+=+

=

+ LL 1sK+

Q(s) H(s)

71

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA (MIMO)

72

Matriz de Transferencia

En un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferencia

[ ] BAsICG(s) 1=

=

)s(U)s(U

)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(Y)s(Y)s(Y

2

1

3231

2221

1211

3

2

1

u1u2

y1y2y3

73

Ejemplo de resolucin mediante la transformada de Laplace

( ) ( )

[ ]tiomindosiomindotiomindo

......2s

11s2s

5.0sL)s(YL)t(y

2s1

1s2s5.0s)s(Y

2s1)s(U)s(U

1s2s5.0s)s(Y

)s(U5.0s1s2s)s(Y)s(U5.0)s(sU)s(Y)s(sY2)s(Ys

u5.0tdudLy

tdyd2

tdydL

0 tpara e)t(u;0td

)0(yd;0)0(yu5.0tdudy

tdyd2

tdyd

211

22

22

2

2

t22

2

=

+++==

+++=+=++

==++=++

=

++

====++

74

Descomposicin en fracciones simples

[ ] ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ttt221

222

2

2

22

21

211

te5.1e5.2e5.21s5.1

1s5.2

2s5.2L)t(y

5.2bb25.5c2b2a5.00sa5.22sc5.11s

)2s(1s)2s(c

)2s()1s()2s)(1s(b

)2s(1s1sa

2s1

1s5.0s

1sc

1sb

2sa

2s1

1s5.0s

2s1

1s5.0sL

2s1

1s2s5.0sL)s(YL)t(y

+=

+++++

==+=++==

====

++++++

++++++=++

+++++=++

++

=

+++

==

78

Estabilidad de funciones transferencia

Estabilidad entrada-salida. 2 Decimos que un sistema es estable entrada-salida, o BIBO estable, si toda entrada acotadaproduce una salida acotada.

Teorema. [Estabilidad entrada-salida] Un sistema lineal,estacionario y de tiempo continuo es estable entrada-salidasi todos los polos de su funcin transferencia tienen parte real negativa.

79

Entradas Normalizadas

u y

t

u

tu t

u

t

u

impulso

salto

rampat=0

t=0

t=0

t=0

seno

80

Sistemas de primer orden

81

Ganancia

t

u

y

u

y

)0(G)s(sU)s(sYlimK

uyK

0s==

=

equilibrio en

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(K)s(G

n21

m1

+++++=

tiempode constante K. gananciay 1- ceros , 1- polos formato

82

Sistemas capacitivos puros

83

Sistemas de segundo orden

84

Funcin de transferencia de sistemas conretardo

En general, vamos a considerar funciones transferencia racionales y propias, que corresponden a sistemas lineales, estacionarios y de dimensin finita (orden finito).

Una excepcin de gran importancia en la prctica es el casode sistemas con retardo entre entrada y salida. Estrictamente, estos sistemas tienen dimensin infinita. Sin embargo, su representacin mediante funcin transferencia es an tratable, aunque deja de ser racional.

La funcin transferencia de un retardo de T segundos es dela forma

85

Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplosimple de un sistema con retardo es el intercambiador de calor

de la figura.

Notar que K;T y t dependen de la velocidad del ventilador, que puede ser variable. Aunque muy simple, este tipo de modelo es muy comn en aplicaciones de control de procesos.

86

Aproximacin de Pade

( )( )12dss

2d1

12ds

2ds1

e 2

2

ds

++

+=

G(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansin en serie:

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke)s(G

n21

m1ds

+++++=

s2d1

s2d1

e ds

+

Aproximacin de Pade de primer orden

Aprox. de 2 orden:

resppade

87

SISTEMAS CON RESPUESTA INVERSA (NO MNIMA FASE)

88

Bloques en serie

G1(s) G2(s)U(s) Y(s)X(s)

Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)

G (s) Y(s)U(s)

G(s) = G2(s)G1(s)

89

Diagramas de bloques Capturan la esencia del sistema en un formalismo

grfico abstracto de simple manipulacin. Representan el flujo y procesamiento de las seales dentro del sistema.

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lgebra de bloques

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lgebra de bloques

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lgebra de bloques

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Representacin en diagrama de bloquesde las Ecuaciones de Estado

Ejemplo de Modelo Matricial Industrial

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Respuesta en frecuencia

Respuesta en frecuencia Diagramas de Bode Diagramas de Nyquist

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Respuesta en rgimen permanenteLa respuesta en rgimen permanente de un sistema

es la seal yrp(t) a la que tiende la respuesta y(t) del sistema una vez extinguidos los transitorios es decir, para valores suficientemente grandes de t,

El concepto de respuesta en rgimen permanente slo tiene sentido si el sistema es estable (BIBO).

Tpicamente, la respuesta en rgimen permanente se estudia para entradas de tipo escaln o sinusoidal.

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Respuesta en frecuencia

La respuesta en rgimen permanente de un sistema a sealessinusoidales en un rango de frecuencias es lo que se conoce como la respuesta en frecuencia del sistema.

El inters de tratar entradas sinusoidales est en que la respuesta del sistema a estas seales contiene informacin sobre la respuesta a seales ms generales.

De hecho, toda seal peridica puede descomponerse en unaserie de senos y cosenos, por el Teorema de Fourier. Conociendo la respuesta del sistema a las componentes sinusoidales de la seal de entrada, puede reconstruirse por Fourier la seal de salida.

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Teorema. (Respuesta en RP a entradas sinusoidales)Consideremos una funcin transferencia estable G(s) de orden n (o sea, con n polos, todos ellos con parte real negativa).Entonces, la respuesta en rgimen permanente a una entrada

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Diagramas de Bode

El eje de abscisas es logartmico en w, es decir, lineal en log(w), donde el logaritmo es de base 10. As se consigue una representacin compacta sobre un rango amplio de frecuencias. La unidad del eje es la dcada, es decir, la distancia entre w y 10w para cualquier valor de w.

La magnitud de la respuesta en frecuencia se mide en decibeles[dB], es decir, unidades de 20log /G( jw)/.

La fase se mide en escala lineal en radianes o grados.

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Grfico aproximado de los diagramas de Bode

Los programas como MATLAB poseen comandos especiales para calcular y graficar diagramas de Bode. Sin embargo, existen reglas muy simples que permiten esbozar estos diagramas prcticamente sin hacer clculos.

Reemplazando s= jw

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Una ganancia simple K tiene magnitud y fase constantes. El diagrama de magnitud es una lnea horizontal en 20log /K/ dB y la fase es una lnea horizontal en 0 rad (si K > 0).

El factor sk tiene un diagrama de magnitud que es una lnea recta con pendiente igual a 20kdB/dcada, y fase constante igual a k/2.

As vemos de (4) y (5) que el diagrama de Bode de cualquierfuncin transferencia puede obtenerse sumando y restandomagnitudes (en dB) y fases de factores simples.

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Diagrama de Bode exacto (lnea gruesa) y aproximado (lneafina).

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Diagrama de Nyquist Una herramienta clsica y durable para determinar la

estabilidad de un lazo de realimentacin es el criterio de estabilidad de Nyquist. En el criterio de Nyquist, la estabilidad del sistema a lazo cerrado se determina a partir de la respuesta en frecuencia del sistema a lazo abierto, G0(s)K(s), que se grafica en un diagrama polar y da informacin del lazo cerrado

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Tipos de modelos

2_modelado14 (1)

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