29matricna analiza

8/6/2019 29matricna analiza

http://slidepdf.com/reader/full/29matricna-analiza 1/14

OSNOVE MATRIČNE ANALIZE

KONSTRUKCIJA

dr Mira Petronijević



Matrič na analiza konstrukcija 1

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA

1. Uvod

Pojavom računara metoda deformacije je doživela potpunu afirmaciju. Osnovna ideja postupka je da se konstrukcija može modelirati određenim brojem elemenata (štapova),međusobno vezanih u č vorovima. U svakom elementu sile i pomernja unitar elementa semogu iskazati u funkciji od pomeranja krajnjih tačaka elementa (6 osnovnih deformacijskinepoznatih veličina štapa). Nepoznate komponente pomeranja čvorova nosača određuju se izuslova ravnoteže čvorova sistema. Ceo postupak je progodan za programiranje i danas jeuobičajen u proračunu konstrukcija.

Na slikama 1 i 2 su prikazani modeli punog i rešetkastog nosača u ravni. Brojevima suošnačeni čvorovi nosača, dok su brojevima u kružiću označeni elementi nosača, tj. štapovi.

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

Slika 1. Pun nosač broj elemenata 9, broj č vorova: 10

i m j

Slika 2. Rešetkast nosač

1 2 3 4 5 6 7

8 9

č vorovi

štapovi




2. Rešetka u ravni

Osnovni element rešetkastog nosača je prost štap m, koji je u č vorovima i i j zglavkasto vezansa ostalim delovima nosača (sl.2). Štap je izložen aksijalnom naprezanju.

Na krajevima štapa javljaju samo aksijalne sile F 1, F 2 i odgovarajuća pomeranja q1, q2 u pravcu ose štapa (slika 3). Dakle štap ima dva stepena slobode pomeranja.

2.1 Element rešetke. Matrica krutosti štapa

Neka je F vektor sila na krajevima štapa, a q vektor pomeranja krajeva štapa:

1

2

F

F

=

F 2 1

2 2

q u

q u

= =

q (1)

1 2

F 1 , q1 F 2 , q2 l

Slika 3. Aksijalno napregnut štap

Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lako izvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapa. Promena dužine tetive štapa ∆l je jednaka razlici komponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa:

12 qql −=∆ (2)

Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinici dužine, tj.

l

l ∆=ε (3)

Napon, tj. normalna sila se određuje direktno iz dilatacije:

)( 12 qql

EF EF F N −=== ε σ (4)

N N

F 1 F 2

Slika 4.

Iz jednačine (4) se dobijaju sile na krajevima štapa F 1 i F 2 (Slika 4):

)( 211 qql

EF N F −=−= )( 212 qq

l

EF N F +−== (5)

Ako jednačine (5) napišemo u matričnom obliku, dobija se:




1 1

2 2

1 1

1 1

F q EF

F ql

− = −

(6)

tj.=F Kq (7)

gde su F i q vektor sila i vektor pomeranja krajeva štapa, dok je K matrica krutosti štapakonstantnog poprečnog preseka

11 12

21 22

1 1

1 1

k k EF

k k l

− = = −

K (8)

Elementi matrice krutosti k ij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (8). Element k ij predstavlja silu F i usled jediničnog pomeranja q j. Tako, svaka j-tavrsta matrice krutosti predstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja q j=1 (slika 5).

Slika 5.

Ako je štap izložen uticaju temperaturne promene u osi t on trpi dodatnu dilataciju:

ε t =α t t (9)

gde je α t koeficijent termičke dilatacije materijala. Ukupna normalna sila će biti:

t EF qql

EF EF N t t α ε ε +−=+= )()( 12 (10)

Uvodeći matričnu notaciju, iz jednačine (10) se dobija vektor sila u obliku:

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1t

F q EF EF t

F ql α

− − = − − (11)

Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog opterećenja (Sl.6):

1

1t t EF t α −

=

Q (12)

Sa uvedenim obeležavanjem dobija se jednač ina elementa u matričnom obliku:

= − tF Kq Q (13)

Slika 6. Vektor ekvivalentnog opterećenja

q1=1

k 11 k 21

q2=1

k 12 k 22

t Q1=EF α t t Q2=EF α t t

Qt




2.2 Lokalni i globalni koordinatni sistem. Transformacija koordinata

Jednačina elementa (13) je formulisana u lokalnom koordinatnom sistemu xOy, gde se x-osa podudara sa osom štapa, dok je y-osa normalna na x i orjentisana tako da zajedno sa z -osomčini Dekartov koordinatni sistem desne orjentacije (slika 7).

Slika 7.Da bi mogli da formulišemo jednačine sistema potrebno da sva pomeranja i sile na krajevimaštapova budu izraženi u istom koordinatnom sistemu. To znači da se mora definisati

jedinstven globalni koordinatni sistem XOY, za sve štapove, koji će takođe biti desneorjentacije (slika 7). Njegov položaj u ravni može biti proizvoljan. Najbolje je, globalni sistem

postaviti tako, da je lako odrediti kooordinate svih tačaka sistema.

Vektor sila F tj. vektor pomeranja q krajeva štapa u lokalnom sistemu ima 2 komponente (po jednu na svakom kraju u pravcu ose štapa), dok u globalnom koordinatnom sistemu vektor sila F* tj. vektor pomeranja q* ima četiri komponente (po 2 na svakom kraju, u pravcu osa Xi Y globalnog koordinatnog sistema), slika 7..

1

2

q

q

=

q 1

2

F

F

=

F

*1

** 2

*3*4

q

q

q

q

=

q

*1

** 2

*3*

4

F

F

F

F

=

F (14)

Pošto su vektor sila, vektor pomeranja krajeva štapa i matrica krutosti štapa dati u lokalnomkoordinatnom sistemu neophodno je izvršiti transformaciju koordinata i prevesti ih u globalnikoordinatni sistem. Kako su lokalni i globalni sistem ortogonalni, transformacija koordinata jerelativno jednostavna. Transformacija pomeranja tj. sile iz jenog sistema u drugi, se dobijadirektno projektovanjem komponenata pomeranja/sile u globalnom sistemu na pravac

pomeranja/sile u lokalnom sistemu (sl.8).

* *1 1 2cos sinq q qα α = + (15)

α je ugao koji osa štapa zaklapa sa X-osom.

Y

X F*1, q*1

F*2, q*2 F*3, q*3

F*4, q*4

x y

F 1, q1

F 2, q2

α

O

Slika 8. Transformacija vektora izglobalnog u lokalni koordinatnisistem

q1

q1*

q2

*

α

lokalni

koordinatni sistem globalnikoordinatni sistem




Ako jednačinu transformacije napišemu u matričnom obliku, za oba kraja štapa, dobija seveza između vektora pomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu:

*1*

1 2

*2 3*4

cos sin 0 0

0 0 cos sin

q

q q

q q

q

α α

α α

=

⇒ q = T q* (16)

gde je T matrica transformacije

cos sin 0 0

0 0 cos sin

α α

α α

=

T (17)

Matrica transformacije je ortogonalna:

Tt = T-1 (18)

Pa se iz jednačine (16) dobija da je:

q* = Tt q (19)

Iz jednačina (13) i (16) se dobija da je:

* *ˆ== =F K q K T q K q (20)

gde matrca K̂ daje vezu između sila u lokalnom sistemu i pomeranja u globalnom sistemu:

cos sin cos sinˆcos sin cos sin

EF

l

α α α α

α α α α

− − = − −

K (21)

Na osnovu činjenice da je F*=TtF iz jednačine (20) dobija se veza između vektora sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu u obliku:

* t * * *ˆ = =F T K q K q (22)

gde je K * matrica krutosti u globalnom koordinatnom sistemu

* t tˆ = =K T K T K T (23)

Množenjem matrica

*

cos 0

sin 0 cos sin cos sin

0 cos cos sin cos sin

0 sin

EF

l

α

α α α α α

α α α α α

α

− − = − −

K

dobija se da je:

* K -K

-K K e e

e e

EF

l

=

K (24)

gde je K e submatrica oblika:




2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

α α α

α α α

=

(25)

Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Qt takođe treba transformisati iz lokalnog uglobalni koordinatni sistem. Primenom gore objašnjene transformacije, dobija se da je vektor

ekvivalentnog čvornog opterećenja u globalnom sistemu Qt* jednak:Q*

t = Tt Qt

Nakon matričnog množenja, dobija se:

*

cos 0 cos

sin 0 1 sin

0 cos 1 cos

0 sin sin

t t t EF t EF t

α α

α α α α

α α

α α

− − − = =

Q (26)

3. Puni nosači

Osnovni element punih nosača u ravni je greda, kruto vezana na oba kraja sa ostalimdelovima nosača. U metodi deformacije taj element nazivamo štap tipa k . On je izloženaksijalnom naprezanju i savijanju.

3.1 Gredni element. Matrica krutosti štapa tipa k

Štap tipa k ima 6 stepeni slobode pomeranja, po tri u svakom čvoru: dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose.

ϕ i , M i vi , T i ϕ k , M k vk , T k

Slika 9. Gredni element

ui , N i uk , N k

l

Vektor sila F i vektor pomeranja q krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu su:

=

=

k

k

k

i

i

i

v

u

v

u

q

q

qq

q

q

ϕ

ϕ

6

5

4

3

2

1

q

=

=

k

k

k

i

i

i

M

T

N M

T

N

F

F

F F

F

F

6

5

4

3

2

1

F (27)

Da bi izveli matricu krutosti grednog elementa razmatraćemo aksijalno naprezanje i savijanjenezavisno jedno od drugog (slika 10).

i k




Q3 , F 3 q2 , F 2 q6 , F 64 q5 , F 5

savijanje

+ q1 ,F 1 q2 , F 2 aksialno naprezanje

i k Slika 10.

Matrica krutosti za aksijalno napregnut element je predhodno izvedena (8).

Matrica krutosti štapa izloženog savijanju

Matrica krutosti za sluč aj savijanja K s se može izvesti polazeći od značenja koeficijenatamatrice: K ij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j.

q1=1

Slika 11.

Na slici 11 su prikazani elementi matrice krutosti K ij, i=1,4, prizmatičnog štapa dobijeni usled pomeranja q j=1 , j=1,4. Vrednosti elemenata matrice krutosti K ij su određene primenommetode sila. Oni predstavljaju reakcije dva puta statički neodređenog nosača (sl.11) usledzadatog pomeranja oslonca. Matrica krutosti štapa se može napisati u obliku:

−

−−−−

−

=

22

22

4626

6126122646

612612

l l l l

l l l l l l

l l

l EI

3

sK (28)

Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Qs u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4

komponente:

i k

K 11=12EI/l 3

K 31=-12EI/l 3

K 21=6EI/l 2 K 41=6EI/l 2

K 12=6EI/l 2

q2=1

K 22=4EI/l

K 42=2EI/l

K 32=6EI/l 2

K 33=12EI/l 3

K 23=-6EI/l 2 K 43=-6EI/l 2

K 13=-12EI/l 3

q3=1

q4=1

K 14=6EI/l 2

K 34=6EI/l 2

K 24=2EI/l

K 24=4EI/l




=

4

3

2

1

Q

Q

Q

Q

sQ (29)

One su jednake negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostrano uklještene grede (štapatipa k) usled zadatog opterećenja (sl.12):

jednakopodeljeno opterećenje

−

=

12

2

12

2

2

2

pl

pl

pl

pl

Q s

temperaturna razlika

t o

t u

Slika 12.

Matrica krutosti štapa tipa k

Matrica krutosti elementa se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i grede opterećene nasavijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica K s i K a na odgovarajuća mesta u matricikrutosti grede K :

x

ekvivalentnoč vorno opterećenje

Q2

Q1

Q4

Q3

reakcije

l

p y(x)=p y

∆t = t u- t

o> 0

ekvivalentnoč vorno opterećenje

Q2 Q4

reakcije

xl

h

−∆=

1

0

1

0

h

t EI t α Q




−

−−−

−

−

−

−

=

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI l

EI

l

EI

l

EI

l

EI l

EF

l

EF l

EI

l

EI

l

EI

l

EI l

EI

l

EI

l

EI

l

EI l

EF

l

EF

460

260

6120

6120

0000

26

0

46

0

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

K (30)

Uslov ravnoteže grednog elementa opterećenog proizvoljnim opterećenjem se može napisati umatričnom obliku:

F = K q – Q (31)

Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na odgovarajuća mesta predhodna 2 vektora:

=

6

5

4

3

2

1

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q (32)

3.2 Matrica transformacije

Y

Slika 13.

X F*1, q*1

F*3, q*3 F*4, q*4

F*5, q*5

x y

α

O

F 1, q1

F 5, q5

F 2, q2

F 4, q4

F 3, q3

F 6, q6 F*6, q*6

F*2,

q*2

aksijalno n.

savijanje

aksijalno n.

savijanje




Matrica transformacije se dobija projektovanjem komponenata vektora pomeranja/sila uglobalnom koordinatnom sistemu na pravac komponenata lokanog koordinatnog sistema:

α α sinqcosqq *2*11 += α α cos*

2*12 q sinqq +−= (33)

M*, ϕ * ϕ = ϕ*

M, ϕ

Slika 14. Vektorska transformacija

Kada se napiše u matričnom obliku, za oba kraja štapa, veza između pomeranja u lokalnom iglobalnom koordinatnom sistemu glasi:

q = T q* (33)

gde je T matrica transformacije:

−

−

=

1

cossin

sincos

1

cossin

sincos

α α

α α

α α

α α

T (34)

Matrica transformacije je ortogonalna:

Tt = T-1

pa je:

q*

= Tt q F

*= T

t F Q*

= Tt Q

Odakle sledi da je:* *ˆ== =F K q K T q K q

Matrica K̂ =KT daje vezu uzmeđu sila u lokalnom koordinatnom sistemu i pomeranja uglobalnom koordinatnomsistemu. Na osnovu toga da je F*=T

tF dobija se veza između sila i

pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:* t * * *ˆ = =F T K q K q (35)

gde je K * matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu:

K* = TtK T (36)

X

x

Y

F , q

q1 , F 1

q2 , F 2

q*1 , F*1

q*2 ,F*2

α




4. Globalna analiza sistema

Slika 15. Vektor pomeranja nepovezanog i povezanog sistema štapova

Matrice krutosti *eK nepovezanih elemenata 1 i 2 su:

*1 *1 *1 *111 12 13 14*1 *1 *1 *1

1 21 22 23 24*1 *1 *1 *131 32 33 34*1 *1 *1 *141 42 43 44

*

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

=

K

*2 *2 *2 *211 12 13 14*2 *2 *2 *2

2 21 22 23 24*2 *2 *2 *231 32 33 34*2 *2 *2 *241 42 43 44

*

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

=

K (37)

Sve vrste i kolone se numerišu (kodraju) odgovarajućim kodnim brojevima, prema tome kakosu predhodno označene komponente sila, tj. pomeranja čvorova u globalnom koordinatnomsistemu, polazeći od čvora koji je definisan kao "prvi čvor elementa".

Matrica sistema povezanih štapova na slici 15. ima 6 elemenata (= 3čvora x 2pomeranja). Onadaje vezu između 6 komponenata pomeranja q1

*, q2*,…., q6* i 6 komponenata sila učvorovima F 1

*, F 2*,…., F 6

* u globalnim koordinatama.

1 1 1 111 12 13 141 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

* 31 32 33 33 34 34 31 321 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 142 2 2 221 22 23 24

k k k k

k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k

k k k k

+ +

= + +

K

*1*

2*

3*

4*

5*

6

F

F

F

F

F

F

(38)

Dobija se formiranjem nulte matrice reda 6. Prvo se kodiraju sve vrste i kolone te matrice.Zatim se članovi matrica krutosti pojedinih elemenata *eK stavljaju na odgovarajuće mesto umatrici krutosti K *, prema kodnom broju. Članovi koji imaju isti kodni broj se sabiraju.

Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Qt * se takođe dobija jednostavnim sumiranjem

komponenata vektora opterećenja svakog elementa sa istim kodnim brojem:

1

*1

1q

*21q

*1

3q

*41q

1

2

2

*21q

*22q

*23q

*24q

3

2

*1q

*2q

*3q

*4q

*5q

*6q

1

2

3

1

3

2

2

1

Sistem štapova

nepovezan

sistem štapova

Povezan

sistem

štapova

q1* q2

* q3* q4

* q5* q6

*

1 2 3 4

1

2

3

4

5 6 3 4

5

6

3

4

kodni brojevi




* *11, 1,* *12, 2,* *1 *23, 3, 3,* *1 *24, 4, 4,* *25, 1,* *26, 2,

t t

t t

t t t

t t t

t t

t t

Q Q

Q Q

Q Q Q

Q Q Q

Q Q

Q Q

+

= +

(39)

Slika 16. Vektor ekvivalentnih sila nepovezanog i povezanog sistema štapova

Lako se može pokazati da matrična jednačina (40) predstavlja uslove ravnoteže sila u svimčvorovima:

* * * * t = +K q P Q (40)

gde je P* vektor spoljašnjeg opterećenja u čvorovima. Ako uvedemo obeležavanje:* * *

t = +S P Q (41)

dobija se da je:* * *=K q S (42)

Jednačina (42) predstavlja sistem od N linearnih algebarskih jednačina, gde je N broj stepenislobode sistema. Matrica K * je matrica krutosti sistema. Ona je singlarna matrica, postosistem jednačina (42) sadrži u sebi i veze sila i pomeranja sistema kao krutog tela (linearnozavisne jednačine).

Jednačina (42) se može rešiti tek pošto se sistemu zadaju granični uslovi (uslovi oslanjanja).Ako sa *

nq obeležimo vektor pomeranja slobodnih čvorova (nepoznata pomeranja), a sa * sq

vektor poznatih pomeranja (pomeranja oslonaca), tada jednačinu (42) možemo napisati uobliku:

* * *

* * *

*nn ns n n

*

sn ss s s

=

K K q S

K K q S(43)

gde su *ijK , i *

iS , submatrice i subvektori, koje odgovaraju pomeranjima *iq , i,j=n,s.

U praksi mogu nastupiti 2 slučaja:

2

2

*21,t Q

*22,t Q

*23,t Q

*24,t Q

3

1

2

*11,t Q

*12,t Q

*13,t Q

*14,t Q

1

*1,t Q

*2,t Q

*3,t Q

*4,t Q

*5,t Q

*6,t Q

1

2

3

t

t

1

3

2

29matricna analiza

Documents