28 selectividad 2021 comunidad autónoma de aragÓn

28

www.apuntesmareaverde.org.es

Autora: Milagros Latasa Asso

MATEMÁTICAS II Selectividad 2021

Comunidad autónoma de

ARAGÓN

Matemáticas II. Curso 2020 – 2021. Autora: Milagros Latasa Asso

Comunidad Autónoma de ARAGÓN www.apuntesmareaverde.org.es

EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD (EBAU)29

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EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD (EBAU) FASE GENERAL

CURSO: 2020–2021 MATERIA: MATEMÁTICAS II

CONVOCATORIA: ORDINARIA DE

JUNIO

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓNEn total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar).

Problema 1:

Dada la función 𝑓 𝑥𝑥 𝑏𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 0

𝑠𝑖 𝑥 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅; 𝑎, 𝑏 0.

𝑎 Determine los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓 𝑥 sea continua en R.

𝑏 Calcule aquellos valores que además hacen que la función 𝑓 𝑥 tenga un extremo relativo en el punto 𝑥 1, y determine el tipo de extremo que es.

Problema 2:

Calcule el valor de 𝑎 ∈ 𝑅 𝑎 0 para que se verifique lim→

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2.

Problema 1:

Calcule: 𝐼 𝑑𝑥.

Problema 4:

Para la función 𝑓 𝑥 :

𝑎 Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir.

𝑏 Calcule la recta tangente a la curva en el punto 𝑥 1.

Problema 5:

Dada la matriz 𝐴0 0 21 2 11 0 3

:

𝑎 Estudie el rango de la matriz 𝐴 𝑘𝐼 según los valores de 𝑘 ∈ 𝑅, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3.

𝑏 Calcule la inversa de 𝐴 𝑘𝐼 para 𝑘 0.




Problema 6:

𝑎 Sabiendo que 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

5, calcule justificadamente 2𝑑 2𝑒 2𝑓 2𝑓

𝑔 ℎ 𝑖 𝑖𝑎 𝑏 𝑐 𝑐

.

𝑏 Dada la matriz 𝐴2 0 02 2 22 0 0

, resuelva el sistema 𝐴 𝐴 𝑋095

, donde 𝐴 es la matriz

traspuesta de A.

Problema 7:

𝑎 Resuelva el sistema matricial: 2𝑋 3𝑌 1 2

3 7

3𝑋 2𝑌 5 32 4

.

𝑏 Calcule 2 01 1

, 𝑛 ∈ 𝑁.

Problema 8:

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto 𝐴 0, 1, 1 y es paralela a los planos 𝜋 que contiene a los siguientes puntos: 𝐵 1, 0, 2 , 𝐵 1, 3, 1 𝑦 𝐵 2, 1, 0 , y 𝜋 ≡ 𝑥 2𝑧 1.

Problema 9:

Sean los siguientes vectores:

𝑢⃗ 1, 1, 1 , 𝑢⃗ 0, 3, 1 , 𝑢⃗ 1, 2, 0 𝑦 𝑢⃗ 2, 0, 1 .

𝑎 Compruebe si los vectores 𝑣⃗, 𝑣⃗, 𝑣⃗ son linealmente dependientes o independientes, siendo: 𝑣⃗ 2𝑢⃗ 𝑢⃗, 𝑣⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗, 𝑣⃗ 𝑢⃗.

𝑏 Calcule las siguientes expresiones:

2𝑢⃗ 𝑢⃗ 2𝑢⃗ 𝑢⃗ , 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ , siendo 𝑦 los productos escalar y vectorial de los vectores, respectivamente.

Problema 10:

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 𝜇𝑔/𝑑ℓ y desviación típica 30 𝜇𝑔/𝑑ℓ. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 𝜇𝑔/𝑑ℓ.

𝑎 ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro?

𝑏 El 45 % de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a 𝑘. Averigüe el valor de 𝑘.




RESPUESTAS

Problema 1:

Dada la función 𝑓 𝑥𝑥 𝑏𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 0

𝑠𝑖 𝑥 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅; 𝑎, 𝑏 0.

𝑎 Determine los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓 𝑥 sea continua en R.

𝑏 Calcule aquellos valores que además hacen que la función 𝑓 𝑥 tenga un extremo relativo en el punto 𝑥 1, y determine el tipo de extremo que es.

Solución:

La función 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 2 es continua y derivable en ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ⇒

⇒ 𝒇es continua y derivable en ∞, 𝟎

La función 𝑦 𝐿 𝑥 1 es continua y derivable en 𝑥 ∈ ℝ 𝑥⁄ 1 0 1, ∞ ⇒

𝑦 es continua y derivable en 1,0 ∪ 0, ∞ ∀𝑎 0

⇒ 𝒇es continua y derivable en 𝟎, ∞ ∀𝒂 𝟎

a) Por lo razonado anteriormente 𝑓es continua ℝ 0 ∀𝑎 0

Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 0, debe cumplirse: lim→

𝑓 𝑥 lim→

𝑓 𝑥 𝑓 0 :

⎩⎨

⎧𝑓 0 lim

→𝑓 𝑥 lim

→𝑥 𝑏𝑥 2 2

lim→

𝑓 𝑥 lim→

𝐿 𝑥 1𝑎𝑥

00

⏟ ´ ô

lim→

1𝑥 1𝑎

1𝑎⎭

⎬

⎫⟹

⟹

21𝑎

⟹ 𝑎12

Para que 𝑓 sea continua en ℝ , 𝑏 puede tomar cualquier valor real y 𝑎

b) Como hemos explicado al principio la función 𝑓 es derivable en ℝ 0 si 𝑎 0

En particular, si 𝑥 ∈ ∞, 0 : 𝑓´ 𝑥 3𝑥 𝑏

Si 𝑓 tiene un extremo relativo en 𝑥 1, debe cumplirse 𝑓´ 1 0 ⟹ 3 𝑏 0 ⟹ 𝑏3

Existe también la derivada segunda de la función en este intervalo 𝑓´´ 𝑥 6𝑥

𝑓´´ 1 6 ⟹ En 𝑥 1 hay un máximo relativo

Para que la función 𝑓 𝑥 sea continua en ℝ y tenga un extremo relativo en 𝑥 1

𝒂𝟏

𝟐 y 𝒃 𝟑

El punto 𝟏, 𝟒 es un mínimo relativo




Problema 2:

Calcule el valor de 𝑎 ∈ 𝑅 𝑎 0 para que se verifique lim→

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2.

Solución:

lim→

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 lim→

𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 𝑒 → 𝑒

𝐿 lim→

𝐿𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =lim→

⏟ ´ ô

lim→

lim→

𝐿 ⏟ ´ ô

lim→

𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑎1

𝑎

Entonces: lim→

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 2 ⟹ 2 ⟹ 𝑒 ⟹ 𝑎 𝐿𝑛 𝐿𝑛2

El valor de 𝑎 ∈ 𝑅 𝑎 0 / lim→

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 es 𝒂 𝑳𝒏𝟐




Problema 3:

Calcule: 𝐼 𝑑𝑥.

Solución:

𝑢 𝑥 3𝑥 2 ⟹ 𝑑𝑢 3𝑥 3𝑥 𝑑𝑥 3 𝑥 𝑥 𝑑𝑥

𝐼𝑥 1

𝑥 3𝑥 2𝑑𝑥

13

3 𝑥 1𝑥 3𝑥 2

𝑑𝑥13

𝑢´𝑢

𝑑𝑥13

𝐿𝑛 |𝑢| 𝐶

13

𝐿𝑛 |𝑥 3𝑥 2| 𝐶

𝐼𝑥 1

𝑥 3𝑥 2𝑑𝑥

𝟏𝟑

𝑳𝒏 𝒙𝟑 𝟑𝒙 𝟐 𝑪




Problema 4:


𝑎 Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir.


Solución:

a) 𝑥 𝑥 2 0 ⟹ 𝑥 √ 21

𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 1,2

𝑥 1 es una posible asíntota vertical:

lim→

𝑓 𝑥 lim→

= ∞ lim→

𝑓 𝑥 lim→

= ∞

𝑥 1 es asíntota vertical


lim→

𝑓 𝑥 lim→

= ∞ lim→

𝑓 𝑥 lim→

= ∞


lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞ lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞

No existen asíntotas horizontales

Veamos por último si existen asíntotas oblicuas:

𝑚 lim→

𝑓 𝑥𝑥

lim→

2𝑥 𝑥𝑥 𝑥 2

: 𝑥 lim→

2𝑥 𝑥𝑥 𝑥 2𝑥

2 lim→

𝑓 𝑥𝑥

𝑛 lim→

𝑓 𝑥 𝑚𝑥 lim→

2𝑥 𝑥𝑥 𝑥 2

2𝑥

lim→

= lim→

1

Análogamente 𝑛 lim→

𝑓 𝑥 𝑚𝑥 1

La recta 𝒚 𝟐𝒙 𝟏 es una asíntota oblicua de 𝑓 en ∞ y en ∞

b) La ecuación de la recta tangente es 𝑦 𝑦 𝑚 𝑥 𝑥 siendo 𝑥 , 𝑦 un punto de la recta, por ejemplo, el punto de tangencia, y 𝑚 𝑓´ 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓´ 𝑥

𝑥 1 𝑦2. 1 11 1 2

12

𝑓´ 𝑥6𝑥 2𝑥 𝑥 𝑥 2 2𝑥 𝑥 2𝑥 1

𝑥 𝑥 22𝑥 4𝑥 11𝑥 4𝑥

𝑥 𝑥 2⟹

⟹ 𝑚 𝑓´ 12. 1 4. 1 11. 1 4.1

1 1 294




La ecuación de la recta tangente en 𝑥 1 es entonces:

𝑦 𝑥 1 ⟹ 𝑦 𝑥 ‐ ⟹ 𝑦 𝑥

La solución es: y x




Problema 5:

Dada la matriz 𝐴0 0 21 2 11 0 3

:

𝑎 Estudie el rango de la matriz 𝐴 𝑘𝐼 según los valores de 𝑘 ∈ 𝑅, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3.

𝑏 Calcule la inversa de 𝐴 𝑘𝐼 para 𝑘 0.

Solución:

𝑎 𝐴 𝑘𝐼 0 0 21 2 11 0 3

𝑘 0 00 𝑘 00 0 𝑘

𝑘 0 21 2 𝑘 11 0 3 𝑘

El rango máximo posible es 3 y 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝑘𝐼 3 ⟺ 𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝑘𝐼 0

𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝑘𝐼𝑘 0 2

1 2 𝑘 11 0 3 𝑘

2 𝑘 𝑘 2 1 3 𝑘

2 𝑘 𝑘 3𝑘 2

𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝑘𝐼 2 𝑘 𝑘 3𝑘 2 0 ⟹ 2 𝑘 0 o bien 𝑘 3𝑘 2 0 ⟹

⟹ 𝑘 2 o bien 𝑘 √ 21

⟹ 𝑘 1 o bien 𝑘 2

Si 𝑘 1, 2, 𝐷𝑒𝑡 𝐴 𝑘𝐼 0 .Existe un menor de orden 3 distinto de 0, luego

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝑘𝐼 3

Si 𝑘 1 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝑘𝐼 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝐼 3

El menor de orden 2 1 0

1 11 de la matriz 𝐴 𝐼

1 0 21 1 11 0 2

es distinto de 0 lo

que justifica que en este caso: 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝐼 2

Si 𝑘 2 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝑘𝐼 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 2𝐼 3

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 2𝐼 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜2 0 2

1 0 11 0 1

⏟´´

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜0 0 01 0 10 0 0

= 1 ya que esta ma‐

triz solo tiene un vector fila linealmente independiente 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 2𝐼 1

Si 𝑘 1, 2: 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝑘𝐼 3 , 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝐼 2 , 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 2𝐼 1

b) Para 𝑘 0 𝐴 𝑘𝐼 𝐴 y 𝐷𝑒𝑡 𝐴 2 0 0 3.0 2 4 ⟹ ∃𝐴

𝐴𝑑𝑗 𝐴




𝐴𝑑𝑗 𝐴

⎝

⎜⎜⎛

2 10 3

1 11 3

1 21 0

0 2 0 3

0 21 3

0 01 0

0 22 1

0 21 1

0 01 2 ⎠

⎟⎟⎞ =

6 2 20 2 04 2 0

𝐴 1

𝐷𝑒𝑡 𝐴𝐴𝑑𝑗 𝐴

14

6 0 42 2 22 0 0

⎝

⎜⎜⎛

32

0 1

1 2

12

1 2

1 2

0 0 ⎠

⎟⎟⎞




Problema 6:

𝑎 Sabiendo que 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

5, calcule justificadamente 2𝑑 2𝑒 2𝑓 2𝑓


.

𝑏 Dada la matriz 𝐴2 0 02 2 22 0 0

, resuelva el sistema 𝐴 𝐴 𝑋095

, donde 𝐴 es la matriz

traspuesta de A.

Solución:

a) 2𝑑 2𝑒 2𝑓 2𝑓


⏟

2𝑑 2𝑒 2𝑓𝑔 ℎ 𝑖

𝑎 𝑏 𝑐

2𝑑 2𝑓 2𝑓𝑔 𝑖 𝑖

𝑎 𝑐 𝑐

=

⏟

2𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

𝑎 𝑏 𝑐⏟

2𝑑 𝑒 𝑓𝑎 𝑏 𝑐𝑔 ℎ 𝑖

=

⏟

2𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

⏟

2 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

2.5 10

2𝑑 2𝑒 2𝑓 2𝑓𝑔 ℎ 𝑖 𝑖

𝑎 𝑏 𝑐 𝑐10

b) 𝐴 𝐴2 0 02 2 22 0 0

1 1 10 1 00 1 0

1 1 12 1 22 1 0

El sistema 𝐴 𝐴 𝑋095

es 1 1 12 1 22 1 0

𝑋095

El determinante de la matriz de coeficientes

1 1 12 1 22 1 0

2 0 ⟹el sistema es de Cramer y la solución viene dada por:

𝑥

2 𝑦

1 𝑧

3

El sistema es compatible determinado y la solución única es:

𝒙 𝟐 𝒚 𝟏 𝒛 𝟑




Problema 7:

𝑎 Resuelva el sistema matricial: 2𝑋 3𝑌 1 2

3 7

3𝑋 2𝑌 5 32 4

.

𝑏 Calcule 2 01 1

, 𝑛 ∈ 𝑁.

Solución:

a) : 2𝑋 3𝑌 1 2

3 7

3𝑋 2𝑌 5 32 4

~⏟´´

4𝑋 6𝑌 2 4

6 14

9𝑋 6𝑌 15 96 12

~⏟´´

´´ ´ ´

2𝑋 3𝑌 1 2

3 7

13𝑋 13 130 26

13𝑋 13 130 26

⟹ 𝑋 1 10 2

2𝑋 3𝑌 1 23 7

⟹ 3𝑌 1 23 7

2 1 10 2

3 0 3 3

⟹ 𝑌 1 0 1 1

La solución del sistema es :

𝑋 1 10 2

𝑌 1 0 1 1

b) Razonamos por inducción:

2 01 1

2 01 1

. 2 01 1

4 03 1

2 01 1

2 01 1

. 2 01 1

4 03 1

. 2 01 1

8 07 1

2 01 1

2 01 1

. 2 01 1

8 07 1

. 2 01 1

16 015 1

Supongamos que para 𝑘 ∈ ℕ se cumple 2 01 1

2 02 1 1

2 02 1 1

Se conserva también para 𝑘 1

2 01 1

2 01 1

. 2 01 1

2 02 1 1

. 2 01 1

2 . 2 02. 2 1 1 1

= 2 02 2 1 1

= 2 02 1 1

Tal como hemos supuesto. Por tanto:

2 01 1

𝟐𝒏 𝟎𝟐𝒏 𝟏 𝟏

∀𝑛 ∈ 𝑁




Problema 8:

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto 𝐴 0, 1, 1 y es paralela a los planos 𝜋 que contiene a los siguientes puntos: 𝐵 1, 0, 2 , 𝐵 1, 3, 1 𝑦 𝐵 2, 1, 0 , y 𝜋 ≡ 𝑥 2𝑧 1.

Solución:

La dirección de la recta buscada puede obtenerse como producto vectorial de los dos vectores asociados a 𝜋 y 𝜋

𝑛⃗ paralelo a 𝐵 𝐵⃗ 𝐵 𝐵⃗𝑖 𝑗 𝑘2 3 13 1 2

7,1, 11

𝑛⃗ 1, 0, 2 . El vector �⃗� paralelo a la recta es también

paralelo a �⃗� 𝑛⃗ 𝑛⃗𝑖 𝑗 𝑘7 1 11

1 0 22, 3, 1

La ecuación continua de la recta buscada es entonces 𝑟 ≡ 𝑥2

𝑦 13

𝑧 11

Pasamos a implícitas, igualando primer y segundo términos y primero y tercero:

𝑟 ≡ 3𝑥 2𝑦 2𝑥 2𝑧 2

⟹ 𝑟 ≡ 3𝑥 2𝑦 2 0𝑥 2𝑧 2 0

Una posible solución es 𝑟 ≡ 3𝑥 2𝑦 2 0𝑥 2𝑧 2 0

Es válida la compuesta por cualquier pareja de planos que contengan al punto 𝐴 0, 1, 1 y la dirección �⃗� 2, 3, 1




Problema 9:

Sean los siguientes vectores:

𝑢⃗ 1, 1, 1 , 𝑢⃗ 0, 3, 1 , 𝑢⃗ 1, 2, 0 𝑦 𝑢⃗ 2, 0, 1 .

𝑎 Compruebe si los vectores 𝑣⃗, 𝑣⃗, 𝑣⃗ son linealmente dependientes o independientes, siendo: 𝑣⃗ 2𝑢⃗ 𝑢⃗, 𝑣⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗, 𝑣⃗ 𝑢⃗.

𝑏 Calcule las siguientes expresiones:

2𝑢⃗ 𝑢⃗ 2𝑢⃗ 𝑢⃗ , 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ , siendo 𝑦 los productos escalar y vectorial de los vectores, respectivamente.

Solución:

a) 𝑣⃗ 2𝑢⃗ 𝑢⃗ 2 1, 1, 1 0, 3, 1 2, 1,1

𝑣⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗= 1, 1, 1 1, 2, 0 0, 1, 1

𝑣⃗ 𝑢⃗ 2, 0, 1

𝑣⃗, 𝑣⃗, 𝑣⃗ son linealmente independientes ⟺ el producto mixto 𝑣⃗, 𝑣⃗, 𝑣⃗ 0

𝑣⃗, 𝑣⃗, 𝑣⃗2 1 1

0 1 12 0 1

2 0 ⟹

𝑣⃗, 𝑣⃗, 𝑣⃗ son linealmente independientes

b) 2𝑢⃗ 𝑢⃗ 2𝑢⃗ 𝑢⃗ 2 1, 1, 1 0, 3, 1 . 2 1, 1, 1 0, 3, 1 =

= 2, 1, 1 . 2, 1, 1 | 2, 1, 1 | 2 1 1 4 1 1 6

𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 2, 0, 1 1, 1, 1 2, 0, 1 1, 1, 1

= 1, 1, 0 1, 1, 0 0⃗𝑖 𝑗 𝑘1 1 01 1 0

0, 0, 0

2𝑢⃗ 𝑢⃗ 2𝑢⃗ 𝑢⃗ 6 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 𝑢⃗ 0⃗




Problema 10:

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 𝜇𝑔/𝑑ℓ y desviación típica 30 𝜇𝑔/𝑑ℓ. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 𝜇𝑔/𝑑ℓ.

𝑎 ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro?

𝑏 El 45 % de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a 𝑘. Averigüe el valor de 𝑘.

Solución:

Sea 𝑋 la variable que mide la cantidad de hierro en suero de una mujer adulta 𝑋 𝑁 120,30

𝑎 𝑃 “𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑎𝑛𝑒𝑚𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑒𝑟𝑟𝑜” = 𝑃 𝑋 75

𝑃𝑋 120

3075 120

30𝑃 𝑍 1.5 𝑃 𝑍 1.5

1 𝑃 𝑍 1.5 1 0.9332 0.0668

La probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro es 0.0668

𝑏 El 45 % de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a 𝑘 ⟹

⟹ 𝑃 𝑋 𝑘 1 𝑃 𝑋 𝑘 0.45 ⟹ 𝑃 𝑋 𝑘 0.55

𝑃 𝑋 𝑘 𝑃𝑋 120

30𝑘 120

30𝑃 𝑍

𝑘 12030

0.55

Los valores en la tabla de 𝑍 𝑁 0,1 más próximos a 0.55 son 0.5478 y 0.5517, correspondientes a los valores 0.12 y 0.13. La media de ambos 0.125 sería 0.54975 que es

prácticamente 0.55. Nos quedamos entonces con este valor para

𝑘 12030

0.125 ⟹ 𝑘 120 30 . 0.125 123.75

𝑘 𝟏𝟐𝟑. 𝟕𝟓




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EVALUACIÓN DE BACHILLERATO PARA EL ACCESO A LA UNIVERSIDAD (EBAU) FASE GENERAL

CURSO: 2020–2021 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

CONVOCATORIA: EXTRAORDINARIA

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓNEn total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar).

Problema 1:

Dada la función 𝑓 𝑥5 𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 1

𝑠𝑖 𝑥 1 , 𝑎 ∈ 𝑅; 𝑎 0.

𝑎 Calcule los valores de 𝑎 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓 𝑥 sea continua.

𝑏 Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función 𝑓 𝑥 , el eje OX y la rectas 𝑥 0 𝑦 𝑥 𝑒 sea 6𝑢 .

Problema 2:

Calcule el siguiente límite: lim→

𝑠𝑒𝑛 .

Problema 3:

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de 64 m3. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 euros por m2, mientras que el de la base, más resistente, es de 140 euros por m2. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.

Problema 4:


𝑎 Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.


Problema 5:

Dada la matriz 𝑃0 1 11 𝑘 2𝑘1 𝑘 0

:

𝑎 Estudie el rango de la matriz 𝐴 𝐼 𝑃, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3, según los valores de 𝑘 ∈ 𝑅.

𝑏 Para 𝑘 1, calcule la inversa de la matriz A del apartado anterior.




Problema 6:

Dadas las matrices 𝐵3 1 11 1 11 1 1

, 𝐶1 13 11 0

𝑦 𝐶 1 2 03 2 1

:

𝑎 Compruebe que la matriz B tiene inversa y calcúlela.

𝑏 Calcule la matriz 𝑋 que verifica la ecuación matricial 𝐼 𝐵 𝑋 𝐶 𝐶 , donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3.

Problema 7:

Dado el sistema

3𝑥 𝑦 2𝑧 1 𝑥 4𝑦 𝑧 3 2𝑥 5𝑦 𝑎𝑧 2

:

𝑎 Discuta según los valores de 𝑎 ∈ 𝑅 qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones.

𝑏 Resuelva el sistema para 𝑎 0.

Problema 8:

Calcule la ecuación de la recta 𝑟 que pase por el punto 𝐴 1, 2, 0 y es perpendicular al plano determinado por los puntos 𝐵 1, 0, 1 , 𝐶 3, 1, 0 𝑦 𝐷 2, 1, 1 . Exprésela como intersección de dos planos.

Problema 9:

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 corresponden a coches eléctricos.

𝑎 Calcule la probabilidad de que un choche revisado seleccionado al azar, sea híbrido y presente el software de su motor correcto.

𝑏 Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor.

Problema 10:

Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva, será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.

𝑎 ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas?

𝑏 ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas?




RESPUESTAS

Problema 1:

Dada la función 𝑓 𝑥5 𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 1

𝑠𝑖 𝑥 1 , 𝑎 ∈ 𝑅; 𝑎 0.

𝑎 Calcule los valores de 𝑎 ∈ 𝑅 para que la función 𝑓 𝑥 sea continua.

𝑏 Determine justificadamente para qué valor de los anteriores se verifica que el área encerrada por la función 𝑓 𝑥 , el eje OX y la rectas 𝑥 0 𝑦 𝑥 𝑒 sea 6𝑢 .

Solución:

a) La función 𝑦 5 𝑎𝑥 es continua y derivable en ℝ ∀𝑎 ∈ ℝ ⇒

⇒ 𝑓es continua y derivable en ∞, 1

La función 𝑦 es continua y derivable en ℝ 0 ∀𝑎 0 ⇒

𝑓 es continua y derivable en 1, ∞ ∀𝑎 0

Para que 𝑓 sea continua en 𝑥 1, debe cumplirse: lim→

𝑓 𝑥 lim→

𝑓 𝑥 𝑓 1 :

𝑓 1 lim→

𝑓 𝑥 lim→

5 𝑎𝑥 5 𝑎

lim→

𝑓 𝑥 lim→

6𝑎𝑥

6𝑎

⟹

5 𝑎6𝑎

⟹ 5𝑎 𝑎 6 ⟹

⟹ 𝑎 5𝑎 6 0 ⟹ 𝑎5 √25 24

232

𝑓 es continua en ℝ si 𝑎 2 o bien 𝑎 3

b) 𝑓 𝑥 0 ⟹ 5 𝑎𝑥 0 ⟹ 𝑥

No hay valores positivos menores que 1 que anulen 𝑓 ya que 1

Sea 𝐴 el área encerrada por la función 𝑓 𝑥 , el eje OX y la recta 𝑥 0 𝑦 𝑥 𝑒

𝐴 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 5 𝑎𝑥 𝑑𝑥6

𝑎𝑥𝑑𝑥

= 5𝑥 𝐿𝑛 𝑥 5 𝐿𝑛 𝑒 𝐿𝑛 1 5

Si 𝑎 2 𝐴 5 2 𝑢

Si 𝑎 3 𝐴 5 5 1 5 6𝑢

El área encerrada por la función 𝑓 𝑥 , el eje OX y la recta 𝑥 0 𝑦 𝑥 𝑒 es 6𝑢 si 𝒂 𝟑




Problema 2:

Calcule el siguiente límite: lim→

𝑠𝑒𝑛 .

Solución:

lim→

𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥2

1 𝑒 →

𝑒

𝐿 lim→

11 𝑥

𝐿𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥2

lim→

𝐿𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥2

1 𝑥

00

⏟ ´ ô

lim→

𝜋2 .

𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑥2


2 1 𝑥

= lim→

.

. lim

→

⏟

´ ô

. lim→

𝜋4

.

𝜋2 𝑠𝑒𝑛 𝜋

2𝑠𝑒𝑛 𝜋

2 1 1 𝜋2 𝑐𝑜𝑠 𝜋

2

𝜋4

.

𝜋2 .1

1 0. 𝜋2 . 0

𝜋4

.𝜋2

𝜋8

Luego:

lim→


𝑒




Problema 3:

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de 64 m3. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 euros por m2, mientras que el de la base, más resistente, es de 140 euros por m2. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible.

Solución:

Sean 𝑥 , 𝑦 respectivamente, la longitud del lado de la base y la altura del depósito

Debe cumplirse 𝑉 64 𝑚 ⟹ 𝑥 𝑦 64 ⟹ 𝑦

Si pretendemos que el coste sea lo menor posible, la función coste 𝐶 debe ser mínima:

𝐶 𝑥 140 . 𝑥 280 . 𝑥𝑦 140 𝑥 280 𝑥

𝐶 es una función derivable en 0, ∞ , luego, podemos estudiar su monotonía y extremos a partir del signo de su derivada:

𝐶´ 𝑥 420𝑥 . 𝑥 140𝑥 17920

𝑥280𝑥 17920

𝑥

𝐶´ 𝑥 0 ⟹ 280𝑥 17920 0 ⟹ 𝑥 64 ⟹ 𝑥 √64 =4

0,4 4 4, ∞

Signo de 𝐶´ Negativa 0 Positiva

Monotonía de 𝐶 Decreciente Mínimo relativo Creciente

Luego el mínimo coste se alcanza si 𝑥 4 𝑚. Para este valor 𝑦 4𝑚

El depósito debe tener forma cúbica con 4 𝑚 de arista




Problema 4:


𝑎 Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan.


Solución:

a) 𝑥 𝑥 0 ⟹ 𝑥 𝑥 1 0 ⟹ 𝑥 0 , 𝑥 1 o bien 𝑥 1

𝐷𝑜𝑚 𝑓 ℝ 1, 0, 1


lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞ lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞



lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞ lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞



lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞ lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞


lim→

𝑓 𝑥 lim→

0 ⟹ 𝑦 0 es asíntota horizontal en ∞

lim→

𝑓 𝑥 lim→

∞ ya que 𝑒 es un infinito de orden superior al del

denominador

𝑦 0 es asíntota horizontal en ‐∞

Veamos por último si existen asíntotas oblicuas. Caso de existir, sería en +∞ ya que en ∞ hay asíntota horizontal

𝑚 lim→

lim→

: 𝑥 lim→

∞ ya que 𝑒 es un

infinito de orden superior al del denominador

No existen asíntotas oblicuas




b) La ecuación de la recta tangente es 𝑦 𝑦 𝑚 𝑥 𝑥 siendo 𝑥 , 𝑦 un punto de la recta, por ejemplo el punto de tangencia, y 𝑚 𝑓´ 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓´ 𝑥

𝑥 2 𝑦𝑒

2 2𝑒6

𝑓´ 𝑥𝑒 𝑥 𝑥 𝑒 3𝑥 1

𝑥 𝑥𝑒 𝑥 3𝑥 𝑥 1

𝑥 𝑥⟹

⟹ 𝑚 𝑓´ 2𝑒 2 3. 2 2 1

2 25𝑒36

La ecuación de la recta tangente en 𝑥 2 es entonces:

𝑦𝑒6

5𝑒36

𝑥 2

La recta tangente en 𝑥 2 tiene por ecuación: 𝑦 𝑥




Problema 5:

Dada la matriz 𝑃0 1 11 𝑘 2𝑘1 𝑘 0

:

𝑎 Estudie el rango de la matriz 𝐴 𝐼 𝑃, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3, según los valores de 𝑘 ∈ 𝑅.

𝑏 Para 𝑘 1, calcule la inversa de la matriz A del apartado anterior.

Solución:

a) 𝐴 𝐼 𝑃1 0 00 1 00 0 1

0 1 11 𝑘 2𝑘1 𝑘 0

1 1 11 1 𝑘 2𝑘1 𝑘 1

El rango máximo posible es 3 y 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴 3 ⟺ 𝐷𝑒𝑡 𝐴 0

𝐷𝑒𝑡 𝐴1 1 11 1 𝑘 2𝑘1 𝑘 1

1 𝑘 2𝑘 𝑘 1 𝑘 1 2𝑘 2𝑘 3𝑘 1

𝐷𝑒𝑡 𝐴 0 ⟹ 2𝑘 3𝑘 1 0 ⟹ 𝑘3 √9 8

41

1/2

Si 𝑘 1, 𝑘 1/2, 𝐷𝑒𝑡 𝐴 0 .Existe un menor de orden 3 distinto de 0, luego 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴 3

Si 𝑘 1

En este caso: 𝐴1 1 11 2 41 1 1

y 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 3 dado que 𝐷𝑒𝑡 𝐴 0


1 21 de la matriz 𝐴 es distinto de 0 lo que justifica que:

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴 2

Si 𝑘 1/2

En este caso: 𝐴1 1 11 1/2 11 1/2 1

y 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 3 dado que 𝐷𝑒𝑡 𝐴 0


1 12 de la matriz 𝐴 es distinto de 0 lo que justifica que:

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴 2

Si 𝑘 1 y 𝑘 : 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴 3 .

𝑆𝑖 𝑘 1 𝑦 𝑘12

: 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 A 2




b) Si 𝑘 1 ⟹ 𝐷𝑒𝑡 𝐴 2. 1 3.1 1 6 0 ⟹ ∃𝐴

𝐴𝑑𝑗 𝐴

𝐴1 1 11 0 21 1 1

𝐴𝑑𝑗 𝐴

⎝

⎜⎜⎛

0 21 1

1 21 1

1 01 1

1 1 1 1

1 11 1

1 11 1

1 10 2

1 11 2

1 11 0 ⎠

⎟⎟⎞

𝐴𝑑𝑗 𝐴2 3 12 0 22 3 1

𝐴 =

𝐴𝑑𝑗 𝐴2 2 23 0 31 2 1

⎝

⎜⎛

0

⎠

⎟⎞




Problema 6:

Dadas las matrices 𝐵3 1 11 1 11 1 1

, 𝐶1 13 11 0

𝑦 𝐶 1 2 03 2 1

:

𝑎 Compruebe que la matriz B tiene inversa y calcúlela.

𝑏 Calcule la matriz 𝑋 que verifica la ecuación matricial 𝐼 𝐵 𝑋 𝐶 𝐶 , donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 3.

Solución:

a) 𝐷𝑒𝑡 𝐵3 1 11 1 11 1 1

3 1 1 1 3 1 4 0 ⟹ ∃𝐵

Utilizamos el método de Gauss para obtener 𝐵

3 1 11 1 11 1 1

1 0 00 1 00 0 1

→⏟´´

1 1 13 1 11 1 1

0 1 01 0 00 0 1

→⏟´´ ´ ´

´ ´

→⏟´´ ´ ´

´ ´

1 1 10 4 20 2 0

0 1 01 3 00 1 1

→⏟´´´ ´

1 1 10 2 00 4 2

0 1 00 1 11 3 0

→⏟´´ ´ ´´´

→⏟´´ ´ ´´´

1 1 10 2 00 0 2

0 1 00 1 11 1 2

→⏟´´´´ / ´´´

´´´ ´´

1 1 10 1 00 0 1

0 1 00 1/2 1/21/2 1/2 1

→

→⏟´´´ ´´ ´´´´ ´´´

1 0 00 1 00 0 1

1/2 0 1/2

0 1/2 1/21/2 1/2 1

𝐵1/2 0 1/2

0 1/2 1/21/2 1/2 1

b) 𝐼 𝐵 𝑋 𝐶 𝐶 ⟹ 𝐵 𝑋 𝐶 𝐶 𝐼 ⟹ 𝐵 𝐵𝑋 𝐵 𝐶 𝐶 𝐼 ⟹

⟹ 𝐼𝑋 𝐵 𝐶 𝐶 𝐼 ⟹ 𝑋 𝐵 𝐶 𝐶 𝐼

𝐶 𝐶1 13 11 0

1 2 03 2 1

=2 4 16 4 11 2 0

𝐶 𝐶 𝐼1 4 16 3 11 2 1

𝑋 𝐵 𝐶 𝐶 𝐼1/2 0 1/2

0 1/2 1/21/2 1/2 1

. 1 4 16 3 11 2 1

0 3 07/2 5/2 15/2 5/2 0

𝑋0 3 07/2 5/2 15/2 5/2 0




Problema 7:

Dado el sistema

3𝑥 𝑦 2𝑧 1 𝑥 4𝑦 𝑧 3 2𝑥 5𝑦 𝑎𝑧 2

:

𝑎 Discuta según los valores de 𝑎 ∈ 𝑅 qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones.

𝑏 Resuelva el sistema para 𝑎 0.

Solución:

La matriz de coeficientes del sistema es 𝐴3 1 21 4 12 5 𝑎

y la matriz ampliada �̅�3 1 21 4 12 5 𝑎

132

𝐷𝑒𝑡 𝐴3 1 21 4 12 5 𝑎

12𝑎 2 10 16 15 𝑎 13𝑎 13 0 ⟺ 𝑎 1

a) Utilizamos el teorema de Rouché ‐Fröbenius para discutir el sistema

Si 𝑎 1 ⟹ 𝐷𝑒𝑡 𝐴 es un menor de orden 3 distinto de 0, tanto de la matriz A como de la matriz �̅� ⟹ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 �̅� 3 nº de incógnitas⟹ El sistema es compatible determinado.

Si 𝑎 1 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐴 3

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜3 1 21 4 12 5 1

132

~⏟

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜1 4 13 1 22 5 1

312

~

~⏟´´

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜1 4 10 13 10 13 1

388

~⏟´´ ´ ´

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜1 4 10 13 10 0 0

38

0

Existen dos vectores fila linealmente independiente tanto e la matriz A como de �̅� ⟹𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝐴 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 �̅� 2 𝑛º 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 2 ⟹El sistema es compatible indeterminado

Si 𝑎 1, el sistema es compatible determinado. Si 𝑎 1 compatible indeterminado

b) Para 𝑎 0, 𝐷𝑒𝑡 𝐴 13 ⟹ El sistema es compatible determinado. Podemos utilizar la regla de Cramer para obtener la solución

𝐴3 1 21 4 12 5 0

�̅�3 1 21 4 12 5 0

132

𝑥

1 1 23 4 12 5 0

3 1 2 1 4 12 5 0

0 2 30 16 5 013

713




𝑦

3 1 2 1 3 12 2 03 1 2 1 4 12 5 0

0 2 4 12 6 013

813

𝑧

3 1 1 1 4 32 5 23 1 2 1 4 12 5 0

24 6 5 8 45 213

013

0

La solución del sistema si 𝑎 0.es: 𝑥 𝑦 𝑧 0




Problema 8:

Calcule la ecuación de la recta 𝑟 que pase por el punto 𝐴 1, 2, 0 y es perpendicular al plano determinado por los puntos 𝐵 1, 0, 1 , 𝐶 3, 1, 0 𝑦 𝐷 2, 1, 1 . Exprésela como intersección de dos planos.

Solución:

El vector asociado al plano que pasa por B, C y D es el vector director de la recta.

𝐵𝐶 2,1, 1 𝐵�⃗� 1, 1,0

�⃗� paralelo a 𝑛 paralelo a

𝐵𝐶 𝐵𝐷𝑖 𝑗 𝑘2 1 11 1 0

1, 1, 3

La recta buscada tiene por ecuación continua:

𝑟 ≡𝑥 1

1𝑦 2

1𝑧3

Igualando por una parte primera y tercera igualdades (𝜋 y por otra segunda y tercera (𝜋 , obtenemos las ecuaciones generales de dos planos del haz que define 𝑟

𝜋 ≡ 3𝑥 𝑧 3 0 𝜋 ≡ 3𝑦 𝑧 6 0 𝑟 𝜋 ∩ 𝜋

Una posible solución es:

𝑟 ≡3𝑥 𝑧 3 03𝑦 𝑧 6 0




Problema 9:

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 corresponden a coches eléctricos.

𝑎 Calcule la probabilidad de que un coche revisado seleccionado al azar, sea híbrido y presente el software de su motor correcto.

𝑏 Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor.

Solución:

Resolvemos mediante una tabla de contingencia. En verde están los datos del enunciado. Los otros, se rellenan:

Con errores Sin errores Total

Eléctricos 12 73 85

Híbridos 31 114 145

Total 43 187 230

Utilizamos la regla de Laplace:

𝑎 𝑃 𝟎. 𝟒𝟗𝟓𝟕.

𝑏 𝑃 𝟎. 𝟐𝟏𝟑𝟖.




Problema 10:

Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva, será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.

𝑎 ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas?

𝑏 ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas?

Solución:

Como un deportista puede ser elegido, o no, se trata de una distribución binomial donde:

𝑛 9; 𝑝 ; 𝑞 1 .

𝑃 𝑟𝑛𝑟 𝑝 𝑞 .

𝑎 𝑃 2 92

!

! !0.0204 0.3399 !

!0.0069 36 0.0069 0.2497.

𝑃 2 𝟎. 𝟐𝟒𝟗𝟕

𝑏 La probabilidad pedida es el suceso contrario de que no sea elegido ninguno.

1 𝑃 0 1 90

1 1 1 0.2497 0.7503.

La probabilidad de que alguno de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas es de 𝟎. 𝟕𝟓𝟎𝟑

28 selectividad 2021 comunidad autónoma de aragÓn

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