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no

ca cu o

neol de estructuras reticulodas y laminares

JESS ORTIZ HERRERA, Dr. Ingeniero de Caminos

Je fe de l Depar tamento de Programac in y C lcu lo e lec t rn i co

de MART-2 Gabinete tcnico, S. A.

445-13

s ops s

Con la ayuda del clculo electrnico, el anl isis no l ineal de estructuras de barras es

abordable con ef iciencia y sin caer en las l imi taciones del clculo plst ico t radicional .

Con objeto de probar esta af i rmacin, se presentan determinados anl isis estructurales

real izados mediante tcnicas y programas de clculo propios. Se presenta asimismo el

anl isis no l ineal de lminas de revolucin, a las cuales son apl icables algori tmos de gran

simi l i tud formal con los del caso de estructuras de barras. Tanto para estas l t imas como

para las estructuras laminares, los programas desarrol lados por el autor permiten efectuar

gran variedad de anl isis anelst icos (y elst icos como caso part icular).

INTRODUCCIN

El objeto de la presente exposicin es el de

mostrar aquellos temas del clculo no l ineal

de estructuras susceptibles de ser incorpo

rados ya, de una forma eficiente y prctica, al

anlisis de estructuras cuya complejidad o

importancia sugiera su estudio mediante m

todos ms perfeccionados y adecuados a la

realidad que los del clculo elstico y clculo

plstico tradicionales. AI igual que estos l

timos (con mayor motivo, dado su mayor

grado de sofistica cin) su puesta en prctica

obliga de hecho a la uti l izacin del clculo

electrnico. Pero, contando con dicho medio

de clculo, el anlisis no l ineal de estructu

ras es ya un instrumento prctico, cuya ut i

l izacin requiere nicamente (respecto del

clculo elstico) algunos datos ms que fi jen

el comportamiento anelstico de las piezas;

y un cierto incremento de los tiempos de uso

del ordenador. El mostrar esto es precisamen

te la dea del presente trabajo, que incluye

una seleccin de las numerosas pruebas efec

tuadas por el autor, mediante tcnicas de

clculo propias.

La uti l izacin del clculo no l ineal de estruc

turas no debe interpretarse simplemente como

una mejora de los mtodos de clculo per

mitiendo una mayor adecuacin al comporta

miento real de las estructuras; es adems

una herramienta susceptible de ampliar el

campo de accin del proyectista en su bs

queda de formas estructurales ms construc

tivas y econmicas, puesto que en muchos

casos es posible obtener el grado necesario

de seguridad frente al agotamiento de la es

tructura (sin situarse, dentro de ciertos mr

genes, en malas condiciones respecto a los

restantes estados l mites), sin tener que ajus-

tar el dimensionamiento de las piezas a dis

tribuciones de esfuerzos de carcter els

t ico.

El clculo no l ineal permite efectuar un

anlisis riguroso de las diferentes fases de

comportamiento anelstico de las estructuras,

sin caer en las l imitaciones del clculo pls

t ico tradicional.

La presente exposicin no se l imita al caso

de estructuras compuestas de barras, ya que

el clculo no l ineal es uti l izado tambin para

el anlisis de estructuras superficiales, tal

como veremos a continuacin para el caso de

las lminas de revolucin de hormign arma

do. Se entra as en un dominio reservado ac

tualmente a los ensayos en modelo reducido,

con ventaja respecto a stos en costes y

tiempos de ejecucin; e incluso con ventaja

tambin en lo relativo a la bondad de los re

sultados si la estructura real pone en juego

su comportamiento anelstico, ya que la re

produccin de ste por el modelo es de

indu

dable dificultad y rara vez l levada a la prctica.

Por razones de claridad y extensin no se

insiste en el aspecto matemtico de las tc

nicas de clculo, tema objeto de trabajos pos

ter iores.

83

Consejo Superior de Investigaciones Cientficas

Licencia Creative Commons 3.0 Espaa (by-nc)

http://informesdelaconstruccion.revistas.csic.es

Informes de la Construccin Vol. 28, n 277

Enero-Febrero de 1976

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LIMITACIONES DEL CALCULO PLSTICO

TRADICIONAL

El procedimiento actualmente aceptado de

dimensionar secciones y piezas en base a

criterios de rotura, pero partiendo de esfuer

zos determinados elsticamente (o, a lo sumo,

con redistribuciones incorporadas de forma

apriorstica) viene impuesto por el estado

actual de las tcnicas de clculo, pero es

claro que presenta una grave contradiccin

interna en sus principios si la estructura no

es isosttica. De esa forma, el anlisis en

agotamiento puede presentar deficiencias; y

cuando menos, se l imita el campo de accin

en el diseo de la estructura.

Los mtodos tradicionales de clculo en

agotamiento los proporciona la Teora de la

Plastic idad,

pero son bien conocidas sus

l imi

taciones en cuanto la deformabil idad plstica

del material no es muy acusada o las accio

nes son total o parcialmente fluctuantes. En

ambos casos es preciso l imitar de alguna

forma las redistribuciones de esfuerzos res

pecto de las leyes elsticas, bien para no

agotar la deformabil idad mxima real de las

zonas plastificadas, o bien para evitar que,

por efecto de las repeticiones de las cargas,

las deformaciones plsticas residuales se

acumulen de forma creciente (sin l mite, y

para repeticiones de carga en nmero relati

vamente reducido) (1). Otros efectos no te

nidos en cuenta por la Teora clsica de la

plasticidad son:

El carcter no localizado de las rtulas

plsticas y la influencia de las deforma

ciones elsticas de las zonas no plastifi

cadas. Incluso en estructuras con impor

tante deformabi l idad plstica, como son

por ejemplo las constituidas por elemen

tos mixtos (hormign-acero estructural)

normalmente proporcionados, si la longi

tud de las piezas es media o elevada, la

deformabil idad elstica de las zonas com

prendidas entre una rtula plstica terica

(1) Un estudio sobre este fenmen o (inestabi l idad

de la deformacin plst ica) puede verse en las

referencias 3 (IVIassonnet-Save) y 4 (Freuden-

thal-Geiringer). Como regla prct ica para evi

tarlo, puede darse la de que no se produzcan

plast i f icaciones bajo la actuacin de las acciones

caracterst icas, cuando esfuerzos y secciones se

calculen elastoplst icamente (bajo las cargas

mayoradas). Si el clculo de esfuerzos es elst i

co , puede omi t i rse d icha comprobacin; y tam

b in , normalmente, en el caso de estructuras

poco importantes y con valores moderados de la

re lac in sobrecarga/carga permanente.

y otras dos adyacentes de signo contrario

puede agotar la deformabil idad de estas

ltimas, sin que en la primera se haya

provocado la rotacin necesaria para que

se desarrolle el momento de agotamiento

de la misma; esto reduce obviamente el

nivel de carga admitido por la estructura.

En estructuras de hormign este efecto

es, por supuesto, ms acusado.

Salvo en vigas continuas y en prticos con

flexin predominante, la interaccin entre

axil y flector puede afectar de forma con

siderable a los valores ltimos de los es

fuerzos y de las deformaciones. Normal

mente , en el clculo plstico de estructu

ras lo que se hace es reducir el valor del

momento plstico en funcin del ax i l ; pero

los lmites de las rotaciones plsticas

pueden asimismo reducirse, lo que afecta

al completo desarrollo del mecanismo de

colapso.

En rigor deberan considerarse plastifica

ciones simultneas por axil y flector, y

operar con los valores reales de las de

formaciones plsticas, tanto giros como

elongaciones. El esfuerzo cortante es tam

bin susceptible de interactuar con los

valores ltimos de los esfuerzos normales

e, incluso, de producir deformaciones ane-

lsticas de consideracin (2).

La influencia de posibles predeformacio-

nes de una parte de los elementos, sobre

los lmites de los giros plsticos de las

rtulas tericas.

La influencia de los fenmenos de segundo

orden en deformaciones. En las piezas de

poca importancia es aceptable el estudio

separado del estado lmite de inestabil i

dad (de acuerdo con las teoras del pandeo

anelstico, si ello es necesario) y del es

tado lmite de rotura. Pero, en rigor, la

estructura debe analizarse con la conside

racin simultnea e interactiva de las de

formaciones anelsticas bajo los esfuer

zos que solicitan a sus secciones, y de los

fenmenos de segundo orden, ya que estos

ltimos pueden modificar aquellos esfuer

zos y, asimismo, el incremento anelstico

de los movimientos agudiza lgicamente

los fenmenos de segundo orden. Enton

ces el pandeo aparece como un caso par

ticular en el que esfuerzos y movimientos

no se estabilizan para un valor dado de

las cargas; pero en otros casos la situa

cin de agotamiento se alcanza sin pan-

(2) V. ref . 8 (J. Mart nez C alzn),




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deo,

aunque para cargas diferentes que las

previstas dentro del clculo de primer

orden en deformaciones.

Si a estos defectos tericos aadimos que el

clculo plstico de estructuras complejas es

de un nivel de laboriosidad similar al propio

clculo elstico (1), se comprende que el in

ters prctico de dicho tipo de clculo se

restringe a un grupo l imitado de estructu

ras (2), dada la actual tendencia a la combi

nacin proli ja de materiales y de formas.

ANLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS

DE BARRAS

En contraposicin al clculo elstico y al pls

t i co ,

se denomina genricamente clculo no

lineal de estructuras al que tiene en cuenta

los diferentes efectos citados en el apartado

anterior, resumibles en: la influencia del com

portamiento anelstico real de los materiales

(di ferente del comportamiento elstico y del

ideal rgido-plstico) y la influencia de los

cambios de geometra de la estructura (debi

dos a la deformacin) en las condiciones de

equi l ibr io y de compatibi l idad de deformacio

nes.

Normalmente se mantiene el carcter

determinstico del clculo; pero esto no es

inconveniente alguno si la seguridad de la es

tructura se estudia con criterios semi-proba-

bilsticos (que slo afectan a los datos a

Introducir en un algori tmo determinstico); no

obstante, en casos especiales puede ser ne

cesario acudir a tcnicas de simulacin, a fin

de efectuar un anlisis probabilstico riguroso

de la seguridad de la estructura.

Los mtodos ms extendidos actualmente

para el clculo no l ineal de estructuras de

(1) Los mtodos generales de clculo plst ico de

estructuras de barras se basan en los algori tmos

de la programacin l ineal [v. refs. 1 (Livesley)

y 10 (Simonnard] ; y no suponen una ventaja

sustancial respecto a los mtodos elst icos

(siempre que se ut i l ice el mtodo de la matriz

f lexibi l idad si la estructura es de un grado de

hiperestat i c idad pequeo).

(2) Estructuras de acero estructura l con ampl io es

caln de f luencia (y cierto t ipo de estructuras

mixtas), con cargas no dinmicas y relaciones

sobrecarga/carga permanente moderadas, con es

fuerzos predominantemente de f lexin (reducien

do adecuadamente los momentos plst icos en

funcin de axi les y cortantes) y respetando con

diciones exigentes f rente a la posible aparicin

de fenmenos de segundo orden. Y con grado de

hiperestat icidad pequeo, salvo ut i l izacin de or

denadores.

barras pueden calificarse de artificiosos y de

poco versti les, tanto desde el punto de vista

del comportamiento de los materiales como

de las tipologas y geometras de las estruc

turas consideradas. El autor del presente

tra

bajo ha investigado en la lnea de la genera

l izacin de los algoritmos matriciales del

clculo elstico (3), obteniendo un mtodo al

tamente eficiente y general para la evaluacin

de la respuesta no lineal de cada barra

prismtica recta componente de la estructu

ra ;

las ecuaciones generales de esta ltima

se forman (a partir de las ecuaciones que

fi jan aquella respuesta particular de cada ba

rra) mediante tcnicas similares a las

habi

tuales en el clculo matricial elstico (con

ciertas modificaciones); con lo cual el algo

ritmo resultante es de alta rentabil idad con

ceptual y prctica, por su gran generalidad y

relativamente senci l la programacin.

Adems de la definicin geomtrica y topol-

gica de la estructura y de la de sus condi

ciones de sustentacin, comunes ambas con

el anlisis elstico, el clculo no l ineal requie

re como datos las leyes de deformacin de

las piezas en sus diferentes estados, l ineales

y anelsticos. Manteniendo la hiptesis de

deformacin plana, dichas leyes (leyes cons

t i tut ivas) pueden establecer directamente

entre deformaciones globales de las seccio

nes (elongacin unita ria, e, y cu rvatura , %, de

la directriz) y esfuerzos (axi l , N, y f lector, M).

Si las deformaciones por cortante son de

con

s iderac in, su efecto puede tenerse hasta cier

to punto en cuenta sin ms que efectuar una

correccin adecuada de las leyes constituti

vas que se deducen de la hiptesis de defor

macin plana (4); pero cuando las dimensio

nes transversales de las piezas dejan de ser

pequeas en relacin a las longitudinales, ya

no es posible seguir manteniendo leyes es

fuerzos-deformaciones globales, y el anlisis

debe efectuarse con criterios localizados: es

decir, hay que abandonar la teora de las es

tructuras de barras prismticas y acudir a la

Mecnica de los medios continuos.

La estimacin de las leyes esfuerzos-deforma

ciones es sencilla y rpida con la ayuda del

clculo electrnico; existen gran cantidad de

trabajos sobre dicho tema, especialmente

(3) V. re fs. 1 y 2.

(4) Pero dicha hiptesis dejan de tener val idez: las

secciones ya no se conservan normales a la di

rectr iz (aparte de otros efectos locales).




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para e l caso de f lex in pura , es dec i r , para

la re la c i n en tre M y ;(; con N = O ( le ye s

momen tos - c u r v a tu r a ) . N o s e ex pone aqu ,

p u e s ,

c mo es t ima r d i c has l ey es , i n te r es n

donos por e l con t ra r io en cmo pueden in te

grarse las mismas en e l an l is is de l con jun to

de l a es t r uc tu r a .

A f i n de t r a ta r c on l ey es es fue r z os - de fo r ma

c iones de l a may o r gene r a l i dad , c ompa t i b l e

c on una r az onab le fac i l i dad de p r oc es amien to ,

se suponen d ichas leyes idea l izadas en fo rma

de l ey es mu i t i l i nea les ( b i - l i nea les ,

t r i - l i -

n e a l e s , e tc . ) , t a l c omo s e i nd i c a es quem t i

camente en la f igura 1.1.1. Es ta idea l izac in

es no r ma lmen te pos ib le c on poc os i n te r v a los

r ec t i l neos , y a que l as s ec c iones hab i tua les

s ue len p r es en ta r fas es de c ompo r tam ien to

b ien de f i n i das ( es tados e ls t i c o , f i s u r ado

y p ls t i c o ) , c on t r ans i c i ones r e la t i v amen te

b r us c as .

D es taqu emo s l as p r i nc ipa les c a r ac te r s t i c as

de las leyes esquemat izadas en la f igura

1.1.1.

a) Se re lac iona n por un lado e l mom ent o

f l ec to r , M , y l a c u r v a tu r a ,

\

y por o t r o ,

e l es fue r z o

a x i l ,

N , y la e longac in un i ta

r i a ,

( las dos de f orm ac io nes , y %, se

re f ie ren a la d i rec t r iz de las p iezas ; pero ,

en l a h ip tes i s de de fo r mac in p lana , am

bos pa r me t r os s on s u f i c i en tes pa r a c a

rac te r izar la de formac in g loba l de las

s e c c i o n e s ) .

p ) Ad em s , l os d iag r amas momen tos - c u r v a

tu r a s e s uponen depend ien tes pa r am t r i -

cam ent e de l va lo r de N. Y los d iagra ma s

ax i l - e l ongac in , de l v a lo r de M. N a tu r a l

m e n t e ,

e l caso de curvas un vocas se ob

t i ene c om o un c as o pa r t i c u la r ( 1 ) .

c ) A cada pare ja de de form ac io ne s e y

se

as igna una pare ja b ien de terminada de

va lo res de los es fuerzos N y M. No se

cons idera , por lo tan to , la in f luenc ia de

las de fo r mac iones d i fe r i das de l os ma te

r i a l e s , aunque l as m is m as ( no r m a lm en te ,

tan s lo la f luenc ia de l hor mig n) pue

den tene r s e ap r ox imad ame n te en c uen ta

(en su caso) ampl iando la esca la de abs

c isas en la ley O -Ede l ho r m ig n u t i l i z ada

como base para e l an l is is p rev io de la

s e c c i n .

d) Por la mis ma razn espe c i f i cad a en e l

p r r a fo an te r i o r , l o s d iag r amas p r opues

tos no son ap tos para la cons iderac in

de fases de carga y descarga , s ino s lo

para la ac tuac in de cargas es t t icas c re

c ien tes has ta e l ago tamiento de la es t ruc

t u r a .

No obs tan te , s i r ven de base para e l

an l is is de s ta en todas sus fases de

c om por ta m ie n to ( no s lo par a e l an l i s i s

l m i t e ) .

e) Las leye s M- ; y N- se sup on en e str ic t a

men te c r ec ien tes , de fo r ma que l as

r i g i

dec es tangen tes , z IM /z l ^ , z N /z le , s ean

no nu las y no negat ivas . S in embargo:

(1) Aun que las leyes M- ^ dependan e fect ivam en te

de N, es claro que para piezas con axil nulo o

pequeo basta dar una curva iVI-;;; nica. En ge

neral,

no hay necesidad de especi f icar el com

portamiento de la seccin ms que para el rango

de esfuerzos previsto para la estructura y accio

nes en cuest in: as , en zonas con f lexiones ne

gat ivas exclusivamente, es posible ahorrarse el

clculo de la rama de la curva

\-

para iVl > O

(y viceversa); o, si ios axi les permanecen els

t i cos,

no hay necesidad de definir las ramas pls

t icas de las curvas N-e, etc.

M>o

CX/mjif

X>o o

>

( i j ,N i j )

(2i ,N2

(ley N-e pora

M = Mj

=constan1e)

l < j < n ' )

N

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5/13

e l v a lo r de d i c has r i g i dec es puede te

r i c amen te hac e r s e tan pequeo c omo

se desee (en la p rc t ica es to t iene un

l m i t e ,

por ex igenc ia de buen cond i

c i onamien to de l os s i s temas de ec ua

c ione s a r es o l v e r ) ( 1 ) ;

d i c has r i g i dec es pueden , s i n emba r g o ,

v a r i a r de c ua lqu ie r fo r ma , no t i enen

nec es a r i amen te po r qu dec r ec e r a

med ida que aumen tan l os es fue r z os .

f) No se ex ige que los d ia gra m as N- y M-x

pasen por e l o r igen. Es pos ib le as

tene r adec uadamen te en c uen ta e l e fec to

de p r ede fo r mac iones impues tas a pa r te

de l os ma te r i a l es , es tando y a es tab lec ida

la c on t i nu idad de l a es t r uc tu r a ( p r e ten -

s ado ,

g r ad ien tes t r m ic o s , e tc . ) ( 2 ) . Y

t a m b i n r e p r e s e n t a r a d e c u a d a m e n t e s i

tuac iones en l as que , po r e jemp lo , s e con

s id ere n var ias cu rvas M-% para va lo res

d i fe ren tes de N, a lgunos de ios cua les

produ zcan por s so lo s (para M = 0) f i su -

r ac iones o p las t i f i c a c ione s : en ton c es ,

man ten iendo c ons tan te l a d i r ec t r i z de l a

p ieza , no es pos ib le en gene ra l ( sa lvo

pa r a s ec c ion es s im t r i c a s ) c ons eg u i r

que todas las curvas M-x pasen por e l

o r igen (es dec i r , par te de e l las p resen

tar n un val or M ^^ O para ^ = 0 ) .

g) Pu esto qu e las leyes M-; y N- se su po

nen deduc idas de acuerdo con la h ip te

s i s de de fo r mac in p lana , no s e i n t r odu

c en en p r i nc ip io de fo r mac iones deb idas

a l es fuerzo cor tan te . La in f luenc ia de s te

en los va lo re s l t im os de N y M, pued e

in t r oduc i r s e l im i tando s tos po r deba jo

de l os v a lo r es c a l c u lados c on c o r tan te

nu lo ( u t i l i z ando , po r e jemp lo , d i ag r amas

d e i n t e r a c c i n d e d u c i d o s p l s t i c a m e n t e ) ,

s i empr e que s e p r ev ea una i n f l uenc ia

des fav o r ab le de d i c ho es fue r z o .

S i l a s de fo r mac iones po r c o r tan te s on de con

s i d e r a c i n , puede i nc o r po r a r s e en e l c l c u lo

e l c o r r es pond ien te i nc r emen to de l a f l e x ib i l i

dad de la p ieza , y en su caso, las cor respon

d ien te s de fo r mac iones de t i po p l s t i c o .

La tc n i c a de c l c u lo es es e nc ia lm en te i t e r a

t i v a :

par t iendo de los es fuerzos de la i te ra

c in p r ec eden te ( i n i c i a lmen te , de l os es fue r

z os e ls t i c os ) , s e es tab lec e una pa r t i c i n

de cada barra en zonas en las que el estado

de l as s ec c iones pueda c ons ide r a r s e c ons tan

te (ap l icac in de una rama n ica de las leyes

e s f u e r z o s - d e f o r m a c i o n e s ) ; a n a l i z a d o s p o r s e

parado cada uno de es tos e lementos de bar ra ,

s us r es pues tas i nd i v i dua les s e c omb inan

segn una tcn ica an loga a la de las matr ices

t r a n s f e r e n c i a ( 3 ) . A p l i c a n d o u n a s t ra n s f o r m a

c iones s enc i l l a s a l as ec uac iones r es u l ta n tes ,

l as m is mas s e ex p r es an en l a fo r ma :

Pi = K n d , + K,2 da + q i

Pa = K21 d i + K22 d2 + qa

s ien do Pi y P2 los vec to res - es fu erzo s de ex

t re m o de bar ra (v . re f . nm . 1 ) , y d i , da , los

v e c t o r e s - m o v i m i e n t o s d e e x t r e m o . D i c h a s

ecuac iones son an logas a las de l c lcu lo

ma t r i c i a l e l s t i c o , pe r o :

las m atr ic es r ig idez de bar ra (Kn , K,2 ,

K21 , K22) se c alc ula n e n fu nc i n de los es

fue r z os en l a i t e r ac in p r ec eden te , y s on

por lo tan to var iab les de una i te rac in a

o t ra .

apare cen los t r m ino s q i , qa (v ec t o r ia les )

s i l a ba r r a p r es en ta de fo r mac iones de t i po

p ls t i c o .

Bas ndos e en l as an te r i o r es ec uac iones de

r es pues ta de c ada ba r r a , es s enc i l l o mod i f i c a r

los a lgor i tmos de l mtodo de la r ig idez en lo

re la t ivo a las ecuac iones genera les de la es

t r uc tu r a , den t r o de l a Teo r a de p r ime r o r den .

La c ons ide r ac in de l os fenmenos de s egun

do o r den ex ige ms mod i f i c ac iones , pe r o t a m

b in es fac t i b l e l a adap tac in c o r r es pond ien te

de l a l go r i tmo l i nea l .

(1) Sin emba rgo, pueden resolvers e perfec tame nte

casos en ios que dichas rigideces varen como

de 1 a 10^ o incluso ms, sin ello exigir niveles

especiales de precisin en las variables num

ricas ut i l izadas por el ordenador.

(2) Tambin es perfectamente posible considerar

ot ros t ipos de predeformaciones o preso l i c i tac io-

nes (por ejemplo, el hormigonado de una pieza

mixta sin apeos del acero estructural ) que al te

ran los diagramas esfuerzos-deformaciones, pero

no su paso por el origen.

EJ EMPLOS D E C ALC U LO

En pr imer lugar se ana l iza e l pr t ico ind icado

en la f igura 1.2.1, dent ro de la Teor a de

pr i

mer orden y con de f in ic in senc i l la de las

l e y e s m o m e n t o s - c u r v a t u r a : d i a g r a m a s b i l i n e a -

l es un v oc os ( s i n dependenc ia de N ) , s a l v o

(3) V. ref. 1.

87




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6/13

Fig. 1.2.1

para las barras 2-3 y 5-6, para las cuales los

valores ltimos del momento y de la curva

tura se ajustan segn el

axi l ,

dentro de un

intervalo de valores estimado para cubrir los

axiles resultantes con los valores supuestos

de la carga P. Los clculos se han efectuado

con las leyes momentos-curvatura definidas

por la tabla siguiente:

M ,

225

425

275

270

265

M j

195

370

235

230

225

m Mp

M3

0

0

0

0

0

M ,

195

725

235

230

225

M ,

225

800

275

270

265

Z i

0,02

0,016

0,01

0,011

0,012

7 2

0,00005

0,00005

0,000025

0,000026

0,000027

m - i

Z3

0

0

0

0

0

1A

0,000025

0,000055

0,000025

0,000026

0,000027

ts

0,01

0,008

0,01

0,011

0,012

Para

un axil N

Mp)

75

50

25

Barras

1-2 y 5-7

2-4 y 4-5

2-3 y 5-6

En esta ta bla, los va lores (p j , Mj) son los

correspondientes a los vrtices del diagra

ma momentos-curvatura.

Los axiles se suponen en rgimen elstico,

si bien con valores diferentes de la rigidez

EA ( = N/e) segn el signo del esfuer

zo (1):

(1) En realidad en este caso es fc il prever el signo

del axil en todas las barras, con lo cual esa dife

renciacin es innecesaria.

Las caractersticas indicadas de las seccio

nes no corresponden a ningn caso real, pero

han sido elegidas dentro de mrgenes poten-

cialmente reales; con lo

cual,

el ejemplo pre-

EA

(M p)

Compresin Traccin

Barras

4.666.666

7.000.000

7.000.000

950.000

950.000

937.500

1-2 y 5-7

2-4 y 4-5

2-3 y 5-6




7/25/2019 2790-3540-3-PB

7/13

Fig.

1.2.2

l e y es s im t r i c as ( 1 ) ( es dec i r , s upon iendo

s im t r i c a l a s ec c in ) y b i l i nea les . D e es ta

f o r m a ,

para de f in i r d ichas leyes bas ta con dar

e l vr t ice y e l ex t remo de las mismas :

LEY MOMENTOS-CURVATURA

(m Mp, m~)

LEY AXIL-ELONGACION (Mp, )

Vrtice

^

U

Valores

ltimos

|MJ

1

y

^ U

Valor

del axil

M p

1225

1137

1028

919

612

394

153

43

0,00174

0,00162

0,00146

0,00131

0,000869

0,000559

0,000217

0,000061

1400

1300

1175

1050

700

450

175

50

0,02

0,02

0,01538

0,01356

0,01149

0,01023

0,01

0,01

0

500

750

1000

1250

1500

1750

1900

(1) Es decir, con M def inido como funcin impar

de X (a N cte.); y N, como funcin par de x

(a M c te . ) .

Vrtice

Valores ltimos

Valor

del flector

m Mp

1950 0,0017 19 75 0 ,02

1360

835

485

215

0,00119

0,000729

0,000424

0,00019

1445

930

555

285

0,0095

0,0063

0,0026

0,001

500

1000

1250

1350

En la misma f igura se representan gr f ica

men te a lgunos r es u l tados s e lec c ionados , que

s on ex p r es i v os po r s m is mos . Se obs e r v a r

que , jun to a las leyes de es fuerzos , se dan en

c ada pun to de l a r c o e l momen to l t imo Mu^

(que depende de l ax i l ac tuante en la secc in

c o r r es pond ien te y es po r l o tan to v a r i ab le a

lo la rgo de la d i rec t r iz ) y de l ax i l l t imo Nu~

( depend ien te de M y po r l o tan to tamb in

v a r i ab le ) . La p r ox im idad de l a c u r v a Mu^ y

90




7/25/2019 2790-3540-3-PB

8/13

s en tado t i ene i n te r s no s o lamen te c omo

p r ueba de l a l go r i tmo de c l c u lo , s i no tamb in

c omo mues t r a de l a adap tac in ane ls t i c a de

las es t r uc tu r as r ea les de g r andes d imens io

nes. En la propia f igura 1.2.1 se representan

g r f i c amen te l as l ey es de f l ec to r es ob ten idas

pa r a t r es n i v e les de c a r ga ; numr i c amen te ,

d i c hos r es u l tados s on :

m Mp

M ,

M '

M .

P = 75 M p P = 85 M p

310

77,6

206,6

602,9

P = 95 Mp

(Valores elst icos)

P = 75 M p P = 85 Mp

420,3 426,5 356,6

164,6 169,5

255,8 257

599,6

713,5

144,3

183,3

557,9

404,1

163,5

207,7

632,3

P = 95 Mp

451,7

M ' A

M A

M B

70,2

239,8

284,2

177,7

242,6

420,4

182,6

243,9

426,5

132,3

224,3

327,6

150

254,1

371,2

167,6

284,1

414,9

182,7

232,2

706,7

M, 24,7

13,9 12,9

107,8 122,2

136,6

Los va lo res e ls t icos ind icados en la tab la

an te r i o r s on l os que s e ob t i enen ope r ando

c on l as s i gu ien tes r i g i dec es de l as s ec c io

nes :

a f lex in, la r ig idez de la rama M-% para

f l ec to r es p os i t i v os en fas e e ls t i c a ( pa

ra N = O, o para e l va lor de N m s p rx i

mo a c e r o , en c as o de d iag r amas v a r i ab les

c on e l ax i l ) ;

f r en te a de fo r m ac ion es a x i l es , l a r ig i dez

de la rama N-e para compres iones en fase

e ls t i c a .

Obs e r v ando l os r es u l tados an te r i o r es s e de

duc e que , pa r a l a es t r uc tu r a en c ues t i n , l a s

s uc es i v as r ed i s t r i buc iones de es fue r z os s e

p r oduc en deb ido a :

la reducc in de r ig idez por f lex in nega

tiva en las barras 1-2, 5-7, 2-3, 5-6 (y, par

c ia lmente , las 2 -4 y 4 -5) ;

la en t rad a en fase p ls t ic a de l ex t rem o 2

de la barra 2-3;

dem de l ex t remo 2 de la bar ra 2 -4 , de l

5 de la 4-5 y del extremo 5 de la 5-6.

En cambio , no l lega a fo rmarse la r tu la p ls

t ica pos i t i va en e l nudo 4. En e fec to ,

cuand o Me va le un 89 ,2 % de su va lo r de

ro tu ra , M A y M B han a lcanzado ya e l 100 %

de s u v a lo r l t imo . D e es ta fo r ma , e l v a lo r

de ago tam ien to de l a c a r ga P es ap r ox imada

me nte de 95 M p, es dec i r , un 93 % de la

carga prev is ta por la Teor a de la P las t ic idad

(P = 102,1 Mp) y un 106,4 % de la calculable

con los e s fue rzos e l s t ico s (P = 89 ,3 M p,

que da un M 'A e l s t ico igua l a 425 m Mp ) .

Los mov im ien tos c a l c u lados s e i nc r emen tan

no tab leme n te r es p ec to a l os e ls t i c os ( po r

e jemplo , 3 ,16 veces para e l descenso de l

nudo 4 ) .

En cuanto a la convergenc ia de l p roceso de

c l c u lo , c on tan s lo c ua t r o i t e r ac iones s e

obt ienen er ro res de l o rden de l 0 ,1 % para los

es fue r z os y mov im ien tos mx imos en v a lo r

abs o lu to ( y l i ge r amen te s upe r i o r es pa r a l os

d e m e n o r i m p o r t a n c i a ) .

C omo s egundo e jemp lo de c l c u lo s e p r es en

ta e l caso de l a rco ar t icu lado-empotrado de

d i r ec t r i z pa r ab l i c a i nd i c ado en la f i gu r a

1.2.2,

con las cargas espec i f i cadas en es ta misma

f igura . Se ha cons iderado a l e fec to una n ica

s ec c in t i po , c on una fam i l i a c omp le ta de

d iag r amas momen tos - c u r v a tu r a pa r a ax i l de

c ompr es in , y de d iag r amas ax i l - e l ongac in

para todo e l rango de f lec to res ; y adoptando

89




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9/13

de la Nu~ a las leyes de flectores y axiles co

rresponde a las secciones ms cercanas al

agotamiento.

ANLISIS NO LINEAL DE LAMINAS

DE REVOLUCIN DE HORMIGN ARMADO

De los diferentes mtodos estudiados en la

referencia 13 para el anlisis no lineal de las

lminas de revolucin de hormign armado,

el ms interesante (a pesar de requerir me

dios potentes de clculo automtico] es un

mtodo matr icial de gran simi l i tud formal

con el algoritmo antes comentado para el

anlisis no l ineal de estructuras de barras.

Sus ventajas radican en su exactitud y ver

sati l idad en lo referente a geometras

posi

b les ,

variedad de condiciones de sustentacin

y representacin precisa de los diferentes

estados anelsticos posibles en el interior

de la lmina; adems, su planteamiento no

exige un aparato conceptual sustancialmente

distinto al que es habitual en el clculo de

estructuras de barras.

En la figura 11.1.1 pueden verse los esfuerzos

actuantes sobre un elemento de lmina com

prendido entre dos meridianos y dos parale

los a distancia inf in i tesimal (1) , esfuerzos

que son en esencia los mismos que habitual-

mente se consideran sobre una pieza de una

estructura de barras (sin ms que medirlos

por unidad de longitud del paralelo respec

t i v o ) , ms unos axiles (Ne) y flectores [Me)

actuantes en la direccin ortogonal y medidos

por unidad de longitud de meridiano. El resto

de los posibles esfuerzos actuantes sobre

dicho elemento de lmina son nulos, en vir

tud de la simetra del problema (las acciones

y sustentacin se supone que respetan dicha

simetr a) .

Las hiptesis bsicas del mtodo son las si

guientes:

Se supone que el meridiano tiene forma

poligonal, siendo recta la directriz de cada

elemento de lmina (fig. 11.1.1). Esta hip

tesis no es restrictiva en la prctica, siem

pre que se cuente con ordenadores lo su

f ic ientemente potentes como para permi

tir una discretizacin del meridiano de la

lmina tan fina como sea preciso (2) .

Se supone asimismo que la longitud de

cada elemento de meridiano es lo bastante

pequea como para que puedan aceptarse

variaciones l ineales de los esfuerzos en

tre los dos paralelos extremos de cada

elemento (2).

Cargas actuantes exclusivamente en los

paralelos de separacin entre elementos.

En caso de cargas repartidas, su discreti

zacin no afecta prcticamente a los re

sultados, siempre que dichos paralelos

estn suficientemente prximos (2).

R elaciones esfuerzos - deform aciones de

tipo tr i l ineal , con parmetros dependien

tes del esfuerzo

axi l .

Nulidad del efecto

Poisson.

La simplificacin de prescindir del efecto

Poisson apenas afecta al anlisis de una l

mina de revolucin, al menos en caso de que

el material de la misma sea el hormign ar

mado; el valor real del coeficiente de Poisson

puede, no obstante, tenerse en cuenta para

(1) Para el ax i l , cortante y f lector segn los meri

dianos (N ^ , Qjp , M^) se obs erva r que se ad op

ta un cri terio de signos dist into en los dos ex

t remos del elemento, convenio que es habi tual

en el clculo matricial de estructuras.

(2) En las pruebas de clculo efectuad as, con longi

tudes del elemento de meridiano [As] del orden

de dos a t res veces el canto de la lmina, los

errores observados han sido insigni f icantes.

superficie media

de la lmina

= Px 1-01 A e

@ = P,y rol Ae

@ = Piz fo, AG

= Pex foz A e

= Pzy ro2 AG

= Pzz ^02 AG

0 =

NQ A S

= M As

Fig.11.1.1




7/25/2019 2790-3540-3-PB

10/13

la evaluacin a posteriori de algn esfuerzo

secundario (Me).

La disposicin de armaduras junto a ambos

paramentos de la lmina se supone simtrica

respecto a la superficie media de sta; y la

orientacin de las armaduras, coincidente con

la de meridianos y paralelos.

La forma, esquemtica, de las leyes tri l inea-

les propuestas (ajustables de forma continua

en funcin del esfuerzo axil), puede verse en

la figura 11.1.2.

El estudio de la respuesta anelstica de

cada elemento de lmina es ms complejo

que el de una barra prismtica; pero las ecua

ciones resultantes son tambin de la forma

Pi = Kii di + Ki2 da + qi ,

Ps = K21 d i + K22 d2 + q2 ,

a partir de las cuales las ecuaciones genera

les de la lmina se forman mediante una tc

nica similar a la del mtodo de la rigidez de

las estructuras de barras; tambin es adap

table el mtodo de las matrices transferen

cia.

El clculo se efecta de forma iterativa, ya

que la respuesta de cada elemento de l

mina se establece en funcin de los esfuer

zos calculados en la iteracin precedente (ini-

cialmente, a partir de los esfuerzos elsti

cos) .

EJEMPLO DE CALCULO

En la figura 11.2.2 se indican las leyes de es

fuerzos obtenidos para la lmina en casquete

esfrico cuya seccin meridiana se represen

ta en la figura 11.2.1. Las coacciones en los

bordes se han elegido del tipo de empotra

mientos deslizantes (en un plano horizontal

el exterior; y en un plano vertical el inte

rior) a fin de produ cir un impo rtante efecto

de borde y poner as claramente de manifies

to los fenmenos anelsticos. El anlisis se

ha efectuado segn la Teora de primer orden.

El canto es constante e igual a 10 cm. El hor

mign se ha supuesto con una resistencia en

compresin de 240 kp/cm^ y un mdulo de

elasticidad (fase ) de 3 X 10^ k p / c m l

Las armaduras, con un lmite elstico de

4.400 kp/cm^ y un mdulo de elasticidad de

2,1 X 10^ kp/cm^; la distribucin de las mis

mas se supone simtrica respecto a la super

ficie media, con una cuanta de A^ cmVm.l.

junto a cada paramento, y una distancia de

o




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11/13

h^ cm entre los c.d.g. de los dos niveles de

armaduras:

Segn los meridianos, para

O < X < 5,25 m; A^ = 5,96 cm V m ,

h^ = 7 cm (1 ).

Segn los meridianos, para

5,25 < X < 9 m; A^ = 3,27 cmVm,

h^ =: 7 cm.

Segn los paralelos, en toda la lmina:

A^ = 3,27 cmVm, h^ = 5 cm.

Es fcil comprobar que esta distr ibucin de

armaduras no est proporcionada segn un

dimensionamiento en base a leyes elst icas

de esfuerzos (lo cual se ha dispuesto inten

cionadamente para acentuar an ms los efec

tos anelst icos).

Las leyes de esfuerzos indicados correspon

den a q = 0,25 Mp/m^

Las leyes elsticas son las obtenidas con

el mismo algor itmo matr ic ial, pero supo

niendo un comportamiento lineal de las sec

ciones, con r igideces correspondientes al es

tado l~ del material (sin fisuracin). Por ser

sencilla la geometra de la lmina, existen

soluciones analt icas aproximadas del proble

ma elst ico (Geckeler) (2), que concuerdan

con las leyes elsticas aqu indicadas (es

tas leyes constituyen precisamente la pr ime

ra iteracin del clculo no lineal de la l

mina) .

Las causas de las redistribuciones de los es

fuerzos observables en la figura 11.2.2 son la

existe ncia de una am plia zona con Ne >O

(fisuracin) y la entrada en fase II de los

flectores M^. La ley de axiles Ne presenta

una zona de tracciones notablemente superior

a la de las leyes elsticas, y una importante

reduccin de Neen el borde ex ter ior; a part ir

del punto en que dicho esfuerzo entra en com

presin,

la curva correpondiente experimenta

un quiebro con incremento de la pendiente y

reduccin de la longitud de onda (es decir,

sufre una autntica refraccin); la var iabi

lidad de los restantes esfuerzos en la misma

zona se ve tambin afectada, aunque en me

nor grado. La forma de las leyes de axiles N^

y de cortantes es similar a la de las leyes

Fig.

11.2.1

(1) X = distanc ia (en planta] al borde exte rior (ver

figura 11.2.1).

(2) Ver ref. nm . 7.

elsticas, si bien con mayor longitud de

onda;

los valores en los bordes coinciden

con los elsticos, debido a la particular sus

tentacin de la lmina analizada. La forma de

la ley de flecto res M

7/25/2019 2790-3540-3-PB

12/13

F i g . 11.2.2

3. Clculo plst ico de las cons truccion es. Ch. Mas-

sonnet , M. Save (Montaner y Simn, 1966).

4. Elast ici ty and Plast ici ty. Nais mith, Stanley, Freu-

denthal , Geir inger, Reiner. Encyclopedia of Phy-

sics, vol . Vi (Springer Verlag, 1958).

5. Theoret ical Elast ici ty. A. E. Creen, W. Zerna

(Oxford, 1968).

6. Ma thema t ical Theory of E last ici ty. I. S. Sokol-

n ikof f (McCraw Hi l l , 1956).

7. Teora de placas y lminas. S. Timoshenko,

S. Wo inowsk y-Kriege r (Urm o, 1970).

8. Com portam iento y clculo anelst ico de las es

t ructuras hiperestt icas de hormign armado y

pretensado. J. IVIart nez Calzn (Monograf as del

I.E.T.c.c,

nm. 302, 1972).

9. Manue l de Calcul Fiss ura t ion . C.E.B. Boletn

de Informacin nm. 89, 1973.

10. Programacin l ineal. M. Simonna rd (Paraninfo,

1972).

11. Elements of Num erical Ana lysis. J. Singer (Aca-

demic Press, 1968).

12. Elementary Numerical Analysis. S. D. Cont,

C. de Boor (McGraw Hil l K., 1972).

13. Estudio del efecto de la no lineal idad esfuerzo s-

deformaciones en la dist r ibucin de sol ici taciones

y movimientos en estructuras laminares de hor

mign armado con simetra de revolucin de for

ma, caracterst icas, sustentacin y acciones.

J. Ortiz H. (Tesis doctoral en la E.T.S. de I.C.C.P.

de Madrid).




7/25/2019 2790-3540-3-PB

13/13

r e s u m e

Calcu l

non

l inaire

des

s t ructures

rt i cu la i res

et

des voi les minees

Jess Or t i z Her re ra , Dr.ngnieur des Ponts

et Chausses

A l aide du ca l cu l lec t ro n ique , l ' ana l yse

non l i na i re des s t ruc tu res de bar res est

abordab le avec e f f i c i ence et sans to mber

dans les l i m i t a t i o n s duca l cu l p las t i quetra-

d i t i o n n e l . A f n

de

p rouver ce t te a f f i rma t ion ,

on p rsen te ce r ta ines ana lyses s t ruc tu ra les

e f fec tues su i van t

des

techn iques

et des

p r o g r a m m e s de ca l cu l p ropres . Onp rsen te

ga lement l ' ana l yse nonl i na i re des vo i l es

rvo lu t i on , auxque ls son t app l i cab les des

a l g o r i t h m e s de g rande s im i l i t u de fo rme i l e

avec ceux du ca s dess t ruc tu res de bar res .

Tant pour

ees

dern i res s t ruc tu res

que

pour

les vo i l es m inees ,

les

p rogrammes dve lop-

p s par i ' au teur permet ten t d ' e f fec tuer une

grande d i ve rs i t d ' ana l yses an las t i ques (et

las t ques comme oas p a r t i c u l i e r ) .

s u m m a r y

Non l inear calculus

of

f ramed

and

l aminated s t ructures

Jess Or t i z Her re ra , Dr. Civ. Eng.

By menas of e lec t ron i c ca l cu lus i t is pos-

s i b l e to approach the nonl i near ana lys i sof

bar cons t ruc t i ons e f f i c i en t l y and w i thou tthe

l i m i t a t i o n s of the t rad i t i ona l p ls t i c Ca lcu lus .

In o rder

to

p rove th i s s ta tement ,

the

author

p resen ts ce r ta ins s t ruc tu ra l ana l ys i s tha t

have been car r i ed

out by

means

of

t ech

n iques and ca l cu la t i on p rograms of his o w n .

Fur ther , thenon l i near an a lys i s of revo l v ing

shee ts is p resen ted to w h i c h a l g o r i t h m s of

g r e a t f o r m a l s i m i l a r i t y to those in thecase

of bar c o n s t r u c t io n s are app l i cab le . Bo th

fo r these l a t te r ones

as

w e i l

as for

l amina ted

s t r u c t u r e s

the

p rograms e labora ted

by the

author a l l ow a g rea t va r i e ty of ane las t i c

ana lyses (and as a spec la l ca se , of e las t i c

a n a l y s i s ) .

z u s a m m e n f a s s u n g

Nicht l ineare Berechnung von Stock-

werkrahmen und F lachent ragwerken

Jess Or t i z Her re ra , Dr.Hoch T ie fb .Ing.

Mi t te i s t e lek t ron i scher - Berechnung ist es

m o g l i c h ,

die n i ch t l i neare A na lyse von Stab-

k o n s t r u k t i o n e n e r f o l g r e i c h ,

und

ohne

die

Begrenzungen der t rad i t i one l l en p las t i schen

Berechnungen, zuv e r w e n d e n . Umdiese Be-

g e w i s s e S t r u k t u r a n a l y s e n , die er m i t t e i s t

aup tung zu p r fen , p rasen t i e r t der Au to r

e igener techn ischen Methoden

und

Berech-

nungsprogramme ausge fhr t hat. Ebenfal ls

w i r d die n i ch t l i neare A na lyse von D reh-

f o l i e n p r a s e n t i e r t ,

auf

w e l c h e A l g o r i t h m e n

von g rosser fo rme l l e r Ahn l i chke i t

mit

denen

des Stabkons t ruk t i on fa l l es anwendbar

s i nd .

Fr d iese l e tz te ren , wie fr die Flachen-

t r a k w e r k e von dem Autor e ra rbe i te tenPro-

g r a m m e , g i b t es e ine g rosse Var ia t i onvon

ane las t i sc i en Ana lysen (und e las t i schen , ai s

Sonder fa l l ) .

pu lic cin del I. e. t, c e.

L M I N S D E H O R M I G N

A .

M.

H a a s

Dr . I ngen i e ro

T r a d u c c i n

de

J o s

M.^

U r c e l a y

D r . I n g e n i e r o d e C a m i n o s , C a n a l e s y P u e r t o s

El profesor A. M. Haas es personalidad muy conocida

en

todo

el

mundo dentro

del

campo

de

las estructuras laminares.

El l ibro, que ha sido traducido

a

varios idiomas,

es

de exposicin clara

e

in tu i t iva ,

y

destaca

los

conceptos fundamentales sobre losdesarrol los matem ticos.

En supr imera parte,el l ibro trata de la teora demembrana enlminas derevolucin.A con

t inuacin

se

aplica esta t eora , para

el

caso

en

que

las

cargas sean tam bin

de

revolucin,

a

las lminas derevolucin ms usu ales: cpulas esfricay el ptica, lminas cnicas, depsitos.

Se estudian seguidamente laslminas de revolucin sometidas a cargas que no sean de revo

luc in, as como las tensione s secund arias debidas a flexiones en lminas de revolucin .

Se termina

la

prime ra p arte con

un

captulo dedicado

a la

construccin de lminas.

En la segunda parte ceestudia la teora demembrana para lminas rebajadas, dedicando sen

dos captulos a laslminas enparaboloide hiperb lico, enparaboloide elptic o y enconoide.

A continuacin sededica unextenso captulo a la f lexin.

Seguidamente se estudia

el

caso de pequeas cargas que originan fuert es te nsione s por flexin .

Finalmente, el l ibro dedica un captulo al pandeo.

Un volumen encuadernado en tela, brillantemente presentado,de17x 24,5 cm, compuestode

420 pginas, numerosas figuras, tablas

y

abacos. Precios: Espaa, 1.250 ptas.; extranjero,

25.

95

2790-3540-3-pb

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