UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

FÍSICA I

INFORMES DE LABORATORIO:

1. DINÁMICA DE ROTACIÓN

2. PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

DOCENTE:

Darío Vásquez

ESTUDIANTES:

Mateo Espíritu, Gilmer………………………………………………………….

Cirineo Ulloa, Omar……………………………………………………………..

Huaynate Almonacid, Luis………………………………………………..........

Chapoñan Prada, Erick………………………………………………………..

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Junio del 2015.

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ÍNDICE

I. OBJETIVOS pág. 3 II. MATERIALES Y EQUIPO pág. 3 III. FUNDAMENTO TEÓRICO pág. 4 IV. PROCEDIMIENTO pág. 6 V. TABLAS, DATOS EXPERIMENTALES

Y GRÁFICOS pág. 7VI. CÁLCULOS Y RESULTADOS pág. 8VII. CONCLUSIONES pág. 17

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INFORME N° 04: DINÁMICA DE ROTACIÓN

I. OBJETIVOS:

I.I. OBJETIVO TEMÁTICOExisten en la naturaleza ciertas interacciones que conservan la energía total del sistema en el que ellas se manifiestan; son las llamadas interacciones elásticas o conservativas. En el siguiente proyecto se verifica esta ley de conservación.

I.II. OBJETIVO ESPECÍFICOMediante el siguiente proyecto calculamos, experimentalmente, el momento de inercia (con respecto al eje de simetría) de una rueda, haciendo uso de la conservación de la energía mecánica.

II. MATERIALES Y EQUIPO: Rieles paralelos (como plano inclinado) Rueda de Maxwell Cronómetro Pie de rey Regla milimetrada Balanza Nivel

III. FUNDAMENTO TEÓRICO Y ANÁLISIS

A) CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA La conservación de la energía mecánica se manifiesta de la siguiente forma:

EM INICIAL = EM FINAL

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B) DESCOMPOSICIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA EN ENERGÍA DE TRASLACIÓN Y ENERGÍA DE ROTACIÓN.

La energía cinética de traslación de las partículas y cuerpos rígidos viene dada por:

EK(T) = 12

m υG2

Por otra parte la energía cinética de rotación de los cuerpos rígidos se expresa como:

EK(R) = 12

IG ω2

La descomposición de la energía cinética se ve reflejada cuando la rueda pasa de la posición G0 a la posición G4, como se tiene en a continuación en la figura:

5

A0

A1

A2

A3

A4

Pues tenemos: EP(0) + EK(0) = EP(4) + EK(4) + WFRICCIÓN

Si en G0 la volante parte del reposo:

mgh0 = mgh4 + EK + Wf

Las pérdidas por fricción, Wf, se deben a la fricción por deslizamiento (calor perdido por rozamiento) y a la fricción por rodadura (calor producido por la deformación de las superficies en contacto). Las pérdidas por rodadura son despreciables en el caso de cuerpos rígidos. Si ahora evitamos el deslizamiento (patinaje) podemos suponer que las pérdidas por fricción son nulas (insignificantes). Además, la ausencia de deslizamiento significa que el punto de contacto A juega el papel de centro (instantáneo) de rotación, cumpliéndose entonces que vG = ωA r, donde vG es la velocidad de G, (que es tangencial porque a es el centro de rotación), ωA es la velocidad angular alrededor de A y r es la distancia de G a A (radio del eje de la rueda). El movimiento puede ser visualizado entonces como una serie de sucesivas rotaciones con velocidad angular ωA alrededor de un eje de giro móvil A. Otra manera de visualizarlo quizás más natural, es considerarlo como la composición de una traslación del centro de masa G, más una rotación simultánea, con velocidad angular ωG alrededor de G. Se puede demostrar que ωA = ωG.

Tomando el segundo punto de vista, la energía cinética consta de dos partes:EK = EK(TRASLACIÓN) + EK(ROTACIÓN)

EK = 12

m vG2 +

12

IG ω2

donde vG es la velocidad de centro de masa, IG es el momento de inercia respecto al eje de rotación que pasa por G (que en este caso es el de simetría).Pero vG = vA = ωr, entonces:

mgh0 = mgh4 + 12

m vG2 +

12

IG vG2 / r2

De aquí podemos calcular IG si es que conocemos vG. Observando esta velocidad, notamos que parece ser la de un movimiento uniformemente acelerado. Suponiendo que así es, se tiene:

x = 12

at2 , v = at : es decir v = 2xt

IV. PROCEDIMIENTO

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1. Nivelar el plano de manera que sirva de base.2. Marcar en los rieles los puntos A0, A1, A2, A3, A4, separados 10 cm entre

sí.3. Medir con el pie de rey el diámetro del eje (de la rueda) que se apoya

sobre los rieles. Tener en cuenta que el eje sufrió desgaste desigual. 4. Fijar la inclinación de los rieles de manera que la rueda avance por

rodamiento puro (sin patinaje).5. Colocar la rueda en reposo en la posición A0, soltarla y simultáneamente

comenzar a medir el tiempo (es decir, t0 = 0); medir los intervalos de tiempo t1, t2, t3, t4 correspondientes a los tramos A0A1,A0A2, A0A3, A0A4, respectivamente.Tomar tres mediciones para t1, t2, t3 y diez mediciones para t4.

6. Medir la masa de la rueda y la diferencia de alturas entre las posiciones de G.

7. Modificar la inclinación de los rieles (tener cuidado de evitar el deslizamiento de la rueda) y medir tres veces t4 y la nueva diferencia de alturas entre G0 y G4.

V. TABLAS, DATOS EXPERIMENTALES Y GRÁFICOS

A. EN LA RUEDA DE MAXWELL

MASA DE LA RUEDA (kg) 0.5186 kg

DIÁMETROS DEL EJE

LADO A 6.5 mm 6.4 mm 6.3 mmLADO B 6.3 mm 6.4 mm 6.6 mm

DIÁMETRO PROMEDIO = 6.416 mm RADIO (r) = 3.208 mm

B. EN LA PRIMERA TRAYECTORIA

ALTURA (∆H)H0 = 2.9 cm ∆H = H4 - H0

∆H = 3.9 cmH4 = 6.8 cmTRAM

OTIEMPO (s)

∆t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tPROMEDIO

A0 A1 t108.5

108.8

108.6

308.65

7

A0 A2 t212.1

812.0

312.4

912.23

A0 A3 t314.9

215.1

416.0

215.36

A0 A4 t417.7

817.5

817.5

117.8

018.3

717.2

517.9

217.2

718.0

517.2

217.68

C. EN OTRA TRAYECTORIA

ALTURA (cm) TIEMPO (s)

H0 H4 ∆H t1 t2 t3 tPROMEDIO

7.90 3.10 4.80 15.32 15.83 15.81 15.653

VIII. CÁLCULOS Y RESULTADOS

1. Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4 grafique los puntos (0,G0) , (t1,G1), … (t4,G4). ¿Es el movimiento de traslación uniforme?

RESPUESTA:La gráfica de posición – tiempo nos brindará el tipo de movimiento que se realiza en el experimento, para esto utilizaremos el programa MS Excel, lo cual nos da la siguiente gráfica.

8 10 12 14 16 18 2005

1015202530354045

f(x) = 0.113433320743724 x² + 0.305401980266372 x − 1.03518194634012R² = 0.999346600832064

GRÁFICA 1

Tiempo (s)

Posic

ión

(cm

)

Como se observa en la gráfica, notamos que se produce un “Movimiento de Traslación Uniformemente Acelerado”, pues se forma una curva cuya ecuación es a su vez el desplazamiento por cada segundo, que también se podría expresar de la siguiente forma:

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X(t) = 0.1134x2 + 0.3054x – 1.0352

2. Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación estándar y propagación de errores, calcular:

A. LA ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA aG

CASO 1: Utilizando la ecuación conocida en cinemática para aceleración:

a(t) = δυδ t

= δ xδ t

podemos hallar la ecuación para la aceleración en el experimentoa(t) = 0.2269 cm/s2

CASO 2: Utilizando las fórmulas de MRUV

x = 12

at2, υ = at

hallaremos que la aceleración es igual a

a = υt = 0.2529 cm/s2

B. LA VELOCIDAD DE TRASLACIÓN, v4, DEL CENTRO DE MASA EN LA POSICIÓN G4

- CASO 1: Utilizando la fórmula de cinemática, encontramos que la velocidad es igual a:

υt) = δxδt

υ(t) = 0.2269x +0.3054υ(t) = 4.31699 cm/s

- CASO 2: Utilizando la fórmula de MRUV

x = 12

at2, υ = at ⇒ υ = 2xt

hallaremos que la velocidad es igual a:υ = 4.524 cm/s

C. LA VELOCIDAD ANGULAR DE LA RUEDA

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Utilizando la expresión: υ= ωr , encontraremos las velocidades angulares para ambos casos

- CASO 1: Como v = 4.31699 cm/s y r = 0.3208 cmω= 13.14523 rad/s

- CASO 2: Como v = 4.524 cm/s y r = 0.3208 cmω = 14.10224 rad/s

D. EL MOMENTO DE INERCIA DE LA VOLANTE- CASO 1: Mediante la expresión

mgh0 = mgh4 + 12

m vG2 +

12

IG vG2 / r2

y los siguientes datos:m = 0.5186 kg, g = 9.81 m/s2, obtendremos que el momento de inercia es igual a

I = 1.9732503 × 10-3 kg.m2

- CASO 2: Hallaremos el momento de inercia de la rueda como la sumatoria de los momentos de inercia de cada parte de la rueda,para esto necesitamos la masa de cada una de ellas y como no tenemos las medidas de éstas, hallaremos la densidad total de la rueda por medio de su volumen y al multiplicarla por el volumen de cada parte obtendremos la masa de cada una de ellas, como se muestra a continuación:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA RUEDA DE MAXWELL

NOTA: Utilizaremos las siguientes figuras y los datos que ellas contiene para hallar nuestros cálculos posteriores.

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VOLUMEN

V1 = (R22 – R1

2).h.πV1 = (6,72 – 4,932).10-4. 2,5.10-2 .πV1 = 161, 6749. 10-6 m3

V2 = R2.π.hV2 = (3,208. 10-3)2. π. 15,48 .10-2

V2 = 5,0048 .10-6 m3

V3 = (R22 – R1

2).h.πV3 = (13,052 – 3,2082).10-6.2,7 .10-7 .πV3 = 13,5726 .10-6 m3

V4 = a.b.hV4 = 3,625.10-2. 8,9.10-3. 7,4.10-3

V4 = 2,3874 .10-6 m3

5V4 = 11,9371 .10-6 m3

VT = V1 + V2 +V3 + 5V4

VT = 192,1894 .10-6 m3

Como, ρ = mV

y m = 0.5186 kg⇒ ρ = 2698,3798 kg.m-3

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Ahora como tenemos el valor de la densidad de la rueda, podremos hallar la masa de cada una de las cuatro partes ya que también poseemos sus volúmenes.

MASASM1 = 0,436260 kg M2 = 0,013504 kgM3 = 0,036624 kg M4 = 0,006442 kg

MOMENTOS DE INERCIAPodremos calcular el momento de inercia de cada una de las partes con la siguiente expresión:

I = ∫r2 dmDe ahí podremos calcular el I para cada parte de la rueda.

I1 = 12

M(R12 + R2

2)

I1 = 12

0,4326. (4,932 + 6,72).10-4

I1 = 1509,14 .10-6 kg.m2

I2 = 12

MR2

I2 = 12

0,013504. (3,208 .10-3)2

I2 = 0,069486 .10-6 kg.m2

I3 = 12

M(R12 + R2

2)

I3 = 12

0,036624. (13,052 + 3,2082).10-6

I3 = 3,307033 .10-6 kg.m2

I4 = 13

M(R12 +3R2

2)

I4 = 13

0,006442. (3,6252 + 3. 1,3052).10-4

I4 = 3,918818 .10-6 kg.m2

5I4 = 19,59409 .10-6 kg.m2

IT = I1 + I2 + I3 +5I4

IT = 1,5321106 .10-3 kg.m2

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OBSERVACIÓN: Como podemos observar los valores del momento de inercia, tanto en el caso 1 como en el caso 2, son muy similares lo cual abala que nuestros cálculos y resultados son correctos.

E. ¿CUÁLES SON LAS MEDICIONES QUE INTRODUCEN MAYOR INCERTIDUMBRE EN EL CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA? Las mediciones que producen mayor incertidumbre son, sin duda alguna, las que se hacen al medir la rueda de Maxwell pues presentan muchas variantes, ya que el material con el que está hecha ésta, no es uniforme en toda su superficie.Además una de las posibles fallas que pueden ocurrir es la falta de las medidas de las masas de cada una de las partes de la rueda ya que el material con el que está hecha no es el mismo que el del eje de la misma, cosa que se asume en el experimento para obtener los valores respectivos.Otras posibles causas de incertidumbre en el cálculo del momento de inercia son las mediciones de los tiempos y distancias en el recorrido.

F. ¿CÓMO INFLUYE LA LONGITUD DEL RECORRIDO SOBRE EL VALOR DE I?PARA RESPONDER ESTA PREGUNTA COMPARE EL VALOR OBTENIDO DE LAS MEDICIONES EN LOS PUNTOS G1, G2, G3 Y G4.

Calculemos el momento de inercia con la ecuación despejada de la conservación de la energía mecánica.

mgh0 = mgh4 + 12

m vG2 +

12

IG vG2 / r2

⇒ IG = ( mg(∆h)υ

– m) r2

Ahora podremos encontrar el I para cada tramo del recorrido.

TRAMO A0 – A1

- υ1 = 2xt

= 4O0,975

= 2,31213 cm/s

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- ∆h1 = 3,94

= 0,975cm

IA0-A1 = 1,90442929. 10-3 kg.m2

TRAMO A0 – A2

- υ1 = 2xt

= 6012,23

= 3,2706 cm/s

- ∆h1 = 3,92

= 1,95cm

IA0-A2 = 1,9035489. 10-3 kg.m2

TRAMO A0-A3

- υ1 = 2xt

= 6O15,25

= 3,93442 cm/s

- ∆h1 = 3. 3,94

= 2,925cm

IA0-A3 = 1,973293. 10-3 kg.m2

TRAMO A0-A4

Es el tramo para el cual realizamos los cálculos en el punto D.IA0-A4= 1,9732503. 10-3 kg.m2

OBSERVACIÓN: Podemos notar que los cuatro valores de I son muy parecidos, esto confirma que nuestros cálculos son correctos pues el momento de inercia no depende de las distancias que recorra un cuerpo, por el contrario depende de su forma y masa. Encontramos que los valores de I son casi iguales y que existe un error promedio de ± 0,000197325 kg.m2

G. ¿CÓMO INFLUYE LA INCLINACIÓN DE LOS RIELES SOBRE EL

VALOR DE I?Como notamos en el caso anterior, el momento de inercia depende muy poco del valor de las distancias recorridas y esta vez no será una excepción.

CÁLCULO 2Con la expresión despejada anteriormente y los siguientes datos, hallaremos el nuevo I.- ∆H2 = 4,8 cm

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- tPROMEDIO = 15,653 s- υ2 = 5, 1108413 cm/s

⇒ I2= 1,918892. 10-3 kg.m2

Como podemos observar los valores son casi iguales como en los casos anteriores lo que comprueba una vez más la validez de nuestros cálculos.

ERROR = 0,000543 kg.m2

VII. CONCLUSIONES1. Luego de realizar las cuatro últimas preguntas se llega a la conclusión

de que el valor del momento de inercia no depende de la variación de tramos que recorra o la diferencia de alturas que separen al punto inicial del final en el recorrido, sino que depende de la masa que el cuerpo (en este caso la rueda) posea y las longitudes que tengan cada una de sus componentes.Esto se ve reflejado con los resultados anteriormente hallados y que a continuación se muestran para la apreciación del poco porcentaje de error que existe entre estos.

ITEÓRICO = 1.9732503 × 10-3 kg.m2

ITOTAL = 1,5321106 .10-3 kg.m2

IA0-A1 = 1,90442929. 10-3 kg.m2

IA0-A2 = 1,9035489. 10-3 kg.m2

IA0-A3 = 1,973293. 10-3 kg.m2

IA0-A4= 1,9732503. 10-3 kg.m2

I2= 1,918892. 10-3 kg.m2

ERROR PROMEDIO = ± 0,0001058 kg.m2

2. El momento de inercia es una cantidad que permanece constante para un cuerpo aunque éste este en movimiento o cambie de posición, esto se comprueba con los valores muy similares hallados anteriormente.

3. Se producen errores en el cálculo del momento inercia ya que no se poseen datos exactos y precisos de las masas de cada parte de la rueda de Maxwell, lo que facilitaría el trabajo y nos permitiría comprobar con mayor eficacia que el momento de inercia es constante par un cuerpo.

4. Los valores como la separación de alturas entre los rieles o las distancias recorridas durante la trayectoria son poco influyentes en el

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cálculo del momento de inercia ya que terminan siendo proporcionales entre sí o con otros datos que se hayan usado con anterioridad.

5. Para una mayor facilidad de cálculo se toman valores insignificantes en algunos datos para que éstos no afecten en el desarrollo del proyecto, por ejemplo el trabajo de la fuerza de fricción se asume como cero ya que este valor es insignificante de tal forma que simplifica la expresión de la energía mecánica.

Wfricción ≈ 0 J

6. La Ley de la Conservación de la Energía es una de las leyes físicas con más aplicación en nuestra vida cotidiana y que a su vez facilita el cálculo de diversos valores que son muy importantes en la mayoría de los cuerpos

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