2.5. funciones ortogonales. conjunto...

2.5 Funciones ortogonales. Conjunto ortonormal

2.5. Funciones ortogonales. Conjunto ortonormal

Algunas de las propiedades de las Series de Fourier depende de resultados como:

Z

0

sin

sin

= 0 ( 6= ) (2.39)Z

0

cos

cos

= 0 ( 6= )

Análogo a las propiedades de los vectores, se puede extender el concepto de vectores ortogonales

(perpendiculares) a las funciones. El producto vectorial u · v = = 0 o 11+22+33 = 0

cuando los vectores u y v son ortogonales entre sí. Esta definición puede extenderse a vectores

con más de tres dimensiones, aunque no se tenga un sentido geométrico o físico. Considerando una

función f(x) como un vector de componentes infinitos, el valor de cada componente se especifica

al sustituir un valor particular de que pertenece a un intevarlo ( ). Así, se puede definir que

dos funciones () y () son ortogonales en ( ) si

h() ()i =Z

()() = 0 (2.40)

La ec. (2.40) se llama producto escalar de () y ().

El vector u se denomina vector unitario o vector normalizado si su magnitud es unitaria, si

u · u = u2=1. Extendiendo este concepto la función () es normal o normalizada en ( ) si

h() ()i =Z

()2 = 1 (2.41)

Se puede considerar que un conjunto de funciones {() = 1 2 3 } tiene las siguientespropiedades

() ()

®=

Z

()() = 0 6= (2.42)

h() ()i =

Z

()2 = 1 = 1 2 3 (2.43)

Las ecs. (2.42) y (2.43) pueden resumirse como

() ()

®=

Z

()() = (2.44)

donde se denomina delta de Kronecker, la cual se define como

=

(0 6=

1 = (2.45)

c°Gelacio Juárez, UAM 92


Ejemplo

El conjunto de funciones

() =

r2

sin = 1 2 3 (2.46)

es un conjunto ortonormal en el intervalo 0 ≤ ≤ .

h1() 2()i =

Z

0

(

r2

sin 1)(

r2

sin 2) =

4

3sin3

¯̄̄̄0

= 0

h1() 3()i =

Z

0

(

r2

sin 1)(

r2

sin 3) =

2

µsin 2

4− sin 4

8

¶¯̄̄̄0

= 0

y normalizada

h1() 1()i =

Z

0

(

r2

sin 1)2 =

2

µ

2− sin 2

4

¶¯̄̄̄0

= 1

h2() 2()i =

Z

0

(

r2

sin 2)2 =

2

µ

2− sin 4

8

¶¯̄̄̄0

= 1

La figura 2.18 muestra las funciones 1(), 2() y 3(); la figura 2.19 los productos 1()2()

y 1()3(); y a figura 2.20 los productos 1()2 y 2()

2

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

0

1

x

phi(x)

Figura 2.18: Funciones () para = 1 2 3.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

0

1

x

phi(x)

Figura 2.19: Producto de funciones 1 ()2 () y 1 ()3 ().



0 1 2 30.0

0.5

1.0

x

phi^2(x)

Figura 2.20: Funciones 2 () para = 1 2.

Ejemplo

Sean el conjunto de funciones

1() =

2() = 2

3() = sin

4() = cos

en el intervalo − ≤ ≤ .

Determine el producto escalar de las funciones a) impares h1() 3()i, b)par y par h2() 3()ic) impar y par h1() 4()i y d) par e impar h2() 3()i. Grafique estos productos.

h1() 3()i =

Z

− sin = sin− cos|− = 2

h2() 4()i =

Z

−2 cos = 2 sin− 2 sin+ 2 cos

¯̄= −4

h1() 4()i =

Z

− cos = cos+ sin| = 0

h2() 3()i =

Z

−2 sin = 2cos− 2 cos+ 2 sin

¯̄= 0

La figura 2.21 muestra las funciones 1()y 2(); la figura 2.22 las funciones 3()y 4(); la

figura 2.23 los productos 1()3() y 2()4(); y a figura 2.19 los productos 1()4() y

2()3().



-3 -2 -1 1 2 3

-10

10

x

phi(x)

Figura 2.21: Funciones 1 () y 2 ().

Tarea

Sean el conjunto de funciones

1() = 3

2() = 4

3() = sin 2

4() = cos 2

en el intervalo − ≤ ≤ .

Determine el producto escalar de las funciones a) impares h1() 3()i, b)par y par h2() 3()ic) impar y par h1() 4()i y d) par e impar h2() 3()i. Grafique estos productos.



-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

x

phi(x)

Figura 2.22: Funciones 3 () y 4 ().

-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

x

phi(x)

Figura 2.23: Producto de funciones 1 () 3 () y 2 () 4 () .

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

x

phi(x)

Figura 2.24: Producto de funciones 1 () 4 () y 2 () 3 () .


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