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Comunicacin XIV CIAEM-IACME, Chiapas, Mxico, 2015.

Diseo de categoras de aprendizaje en matemticas

Patricia CamarenaGallardoEscuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica, Instituto Politcnico [email protected]

Irma Patricia Flores AllierEscuela Superior de Ingeniera Qumica e Industrias Extractivas, Instituto Politcnico [email protected]

Resumen

El problema de investigacin que se identifica es la falta de claridad de los conceptossemilla en el currculo de matemticas en estudios de ingeniera, donde stos no seexplicitan, sin embargo, son la base para constituir a los conceptos cientficosincluidos en las profesiones; se aborda especficamente el concepto semilla de la

variacin. El objetivo de investigacin es construir de forma metodolgica lascategoras para el aprendizaje del concepto semilla de la variacin. El proyecto seubica en la lnea de investigacin de la Matemtica Social y se fundamenta en lateora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias. Los resultados llevan aconstruir cuatro categoras de la variacin, tomando como eje rector a la modelacinmatemtica: concepto de variable, concepto de funcin como modelo matemtico, laprediccin y el lenguaje variacional. De hecho, la variacin aislada de unamatemtica contextualizada no tiene sentido.

Palabras clave: categoras, concepto semilla, matemtica social, matemtica en elcontexto de las ciencias, modelacin matemtica, variacin, matemticas encontexto.

Introduccin

En la formacin de docentes de matemticas se ha identificado la necesidad de queconozcan las investigaciones que se realizan en educacin matemtica y que tendrn una mejorformacin si los profesores tambin realizan investigacin educativa en matemticas (Camarena,

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2006). De esta forma, el presente reporte ofrece una metodologa de investigacin para el diseo

de categoras de aprendizaje de conceptos matemticos.

Para ello, se parte de la problemtica detectada sobre el hecho de que los docentes de

matemticas en el nivel universitario, cuando imparten un curso por primera vez, enfrentanconflictos con el currculo de la profesin donde laboran, ya que los programas de estudio son

una lista temtica que cada quien interpreta segn su personal punto de vista (Camarena, 2002).En particular, en matemticas existen conceptos que subyacen implcitos en las temticas

curriculares y el docente requiere de experiencia en la disciplina y en la docencia paraidentificarlos. Uno de stos son los llamados conceptos semilla, los cuales son la base para

constituir a los conceptos cientficos incluidos en las profesiones, es decir, los conceptos semilla

son aquellos sobre los que giran los conceptos cientficos y en muchas ocasiones subyacen demanera implcita (Camarena, 2010). Por ejemplo, un concepto semilla es la variacin, la cual

est inmersa en todas las asignaturas de la llamada matemtica superior; si el estudiante no ha

construido este concepto semilla, difcilmente podr construir el conocimiento de los conceptos

matemticos que lo requieren.

As, por la importancia de los conceptos semilla, que son conceptos que se localizan en el

currculo oculto ya que en ningn programa de estudios estn incorporados de forma explcita y

se espera que el estudiante los domine, se hace necesario desarrollar trabajo de investigacin

encaminado a la construccin y evaluacin de este tipo de conceptos. Por la extensin deltrabajo, en este documento solamente se presenta la primera parte de una investigacin en la

lnea de la Matemtica Social, la cual corresponde a la metodologa de construccin de

categoras de aprendizaje para el concepto semilla de la variacin; el resto de la investigacin seaboca a la construccin de los identificadores e indicadores del concepto matemtico y al diseo

y evaluacin de actividades de aprendizaje para el concepto semilla de variacin, incluyendo los

eventos contextualizados de la Matemtica en Contexto.

Objetivo. El objetivo de la investigacin, correspondiente a este reporte, es construir de

forma metodolgica las categoras para el aprendizaje del concepto semilla de la variacin.La lnea de investigacin de la Matemtica Social, incluye una teora educativa

denominada Matemtica en el Contexto de las Ciencias, sobre la cual se fundamenta la presente

investigacin.

Marco Terico

La teora educativa de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias nace en 1982 en elInstituto Politcnico Nacional (IPN) de Mxico, sta se enfoca a carreras universitarias en donde

la matemtica no es una meta por s misma, es decir, donde no se van a formar matemticos

(Camarena, 1984; 1999; 2008; De Pavia, 2006; Garca, 2000; Muro, 2004; Muro et al, 2002;Olazbal, 2003; Trejo, 2005).La Matemtica en el Contexto de las Ciencias reflexiona acerca de

la vinculacin de la matemtica con otras ciencias, con situaciones profesionales y laborales, ascomo con actividades de la vida cotidiana. Se quiere construir en el estudiante una matemtica

para la vida, es decir, una matemtica que lleve al individuo a actuar de forma razonada, lgica,analtica, tomando en cuenta todas las variables que afectan los problemas y situaciones que se le

presentan en su actividad laboral y profesional, as como en su vida diaria (Camarena, 1984).

La teora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias concibe al ambiente de

aprendizaje como un sistema en donde hacen presencia las cinco fases de la teora: fase

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cognitiva, desarrollada desde 1992, la fase didctica que se establece desde 1987, la fasecurricular, cuyo origen es de 1982, la fase epistemolgica que se aborda desde 1988 y la fasedocente definida desde 1990, ver la figura 1. Adems, toma en cuenta que las cinco fases seencuentran inmersas en un sistema complejo donde interactan entre s cada una de ellas, ademsde no estar aisladas las unas de las otras. El supuesto filosfico educativo de la teora es que el

estudiante est capacitado para hacer la transferencia del conocimiento de la matemtica a lasreas que la requieren y con ello las competencias profesionales y laborales se vean favorecidas,porque se pretende contribuir a la formacin integral del estudiante (Camarena, 1987, 1990).

Figura 1. Fases de la teora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias.

Como teora, en cada una de sus fases se incluye una metodologa con fundamento terico,acorde a los paradigmas en los que se sustenta, donde se guan los pasos para el diseocurricular, se explica el funcionamiento cognitivo de los alumnos cuando trabajan una

matemtica contextualizada y se proporcionan elementos epistemolgicos acerca de los saberesmatemticos vinculados a las actividades de los profesionistas, se describe la didctica a seguir lacual emplea eventos contextualizados, entre otros (Camarena, 1984, 1987, 1990, 1999). Lapresente investigacin incide en la fase epistemolgica de la teora de la Matemtica en elContexto de las Ciencias, la cual se describe brevemente a continuacin.

Fase Epistemolgica

Entre muchas otras investigaciones, en la fase epistemolgica se muestra que as como loscontextos de otras ciencias le dan sentido y significado a la matemtica, sta, le da sentido ysignificado a los temas y conceptos de las ciencias del contexto, reconceptualizndolos (Muro,2002; Camarena, 1987).

En la fase epistemolgica se han llevado a cabo investigaciones que han verificado cmogran parte de la matemtica que se incluye en los cursos de reas de ingeniera nace en elcontexto de problemas especficos de otras reas del conocimiento y a travs del tiempo pierdensu contexto para ofrecer una matemtica "pura" que es llevada a las aulas de clases sin que tengasentido para los estudiantes que no van a ser matemticos (Camarena, 2008).

Por otro lado, hay situaciones donde el ingeniero emplea procesos o mtodos sin conocersu origen, la fase epistemolgica de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias pone a la luz

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estas gnesis (Camarena, 1987), como el caso de las impedancias complejas en circuitoselctricos.

En esta fase, tambin se ha determinado un constructo terico denominado transposicincontextualizada; en donde la matemtica que han aprendido los estudiantes en la escuela sufretransformaciones para adaptarse a la forma de trabajar de otras ciencias (Camarena, 2001), como

el caso de la delta de Dirac para modelar una seal elctrica impulsiva. Es ms, as como existela transposicin didctica (cuya intencin es la enseanza), la cual modifica el saber cientfico alsaber a ensear (Chevallard, 1991), tambin existe la transposicin contextualizada (cuyaintencin es la modelacin matemtica), la cual es un constructo terico que modifica este sabera ensear a un saber de aplicacin (Camarena, 2001), como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Transposiciones.Como parte de esta etapa se cuenta con una serie de situaciones de matemtica

contextualizada para ser usadas en clase, como el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinariasen el contexto de los Circuitos Elctricos (Camarena, 1987), Clculo Vectorial en el contexto dela Teora Electromagntica (Ongay, 1994), Anlisis de Fourier en el contexto del Anlisis deSeales Electromagnticas (Camarena, 1993), Ecuaciones Diferenciales Parciales en el contextode la cuerda vibrante (Camarena, 2004), Transformada de Laplace en el contexto de los CircuitosElctricos (Surez, 2000), Serie de Fourier en el contexto de la transferencia de masa (Muro,2002), etc.

Los obstculos epistemolgicos, como han sido definidos por Brousseau (1983), se

identifican en esta fase para ser usados en la planeacin didctica de los cursos, a travs deldiseo de actividades de aprendizaje que ayuden a enfrentar estos obstculos.

Otra vertiente de la fase epistemolgica de la teora de la Matemtica en el Contexto de lasCiencias es el anlisis de los conceptos cientficos desde diversas perspectivas, como el caso queocupa esta presentacin, donde se describen las categoras, identificadores e indicadores de unconcepto para el aprendizaje y la posterior evaluacin de ste.

Metodologa

La metodologa de investigacin es de tipo documental donde la muestra de estudio soninvestigaciones en el rea de educacin matemtica que inciden en el concepto de variacin.

El mtodo de trabajoes uno de los proporcionados en la fase epistemolgica de la teora de

la Matemtica en el contexto de las Ciencias, donde depende de qu se busca para saber con quojos mirar los documentos, en este caso se trata de ir agrupando los elementos que se hanidentificado en investigaciones, como son los que ayudan a la construccin del concepto,considerando semejanzas y diferencias para formar agrupaciones y luego con stas, formarcategoras.

Una categora se forma con palabras tipo y smbolos que describen propiedades delconcepto, donde estas palabras o smbolos son los representantes de la categora. Luego se

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emplea el mtodo de reducciones comparativas, comparar las categoras formadas y reagrupar

algunas de stas y as sucesivamente. A medida que el proceso contina, las categoras se hacen

ms explcitas, produciendo reducciones en el nmero de categoras. El proceso de agrupacinde datos termina cuando todas las categoras representan diferentes propiedades del concepto,

entonces se dice que se llega a una fase de saturacin, sta se alcanza cuando los datos no

sugieren nuevas categoras y entonces se considera que la investigacin es tericamente estable(Glaser y Strauss, 2006).

La muestra est formada por investigaciones que son reportadas en revistas, tesis y

reportes institucionales de investigacin.

De las revistas se tom la ms antigua dedicada a publicar artculos de investigacin

en educacin matemtica, del nivel superior: "Educacin Matemtica" de la Editorial Santillana.

Las tesis se buscaron en las dos instituciones que se dedican a posgrados de maestra ydoctorado en educacin matemtica, del nivel superior: el Cinvestav y el Cicata, ambos del

Instituto Politcnico Nacional de Mxico.

De los reportes de investigaciones se tomaron tres referencias, una nacional y dos

internacionales: Los estados del conocimiento en educacin matemtica de la ltima dcada delConsejo Mexicano de Investigacin Educativa COMIE (2013), los reportes del InternationalGroup for the Psychology of Mathematics Education y los trabajos de la Red Internacional de

Investigacin en Matemtica en el Contexto de las Ciencias (MaCoCiencias).

En las tres fuentes citadas se identificaron aquellos documentos que abordan el aprendizaje

del concepto de variacin ya sea de forma explcita o implcita, este ltimo caso se identificacuando el autor aborda los conceptos que estn ntimamente relacionados con este concepto

semilla, como son las funciones, tanto de una como de varias variables y toda operacin

matemtica que se realiza con stas.

Resultados

Se inicia con la bsqueda de elementos que ayudan a la construccin del concepto de lavariacin, en los documentos citados en la muestra. A continuacin se presentan algunos

ejemplos de los resultados.

- La nocin de variable se construye en forma relacional, es decir, se requiere

de establecer relaciones primarias entre objetos o procesos cambiantes. La idea devariable deriva de acciones y experiencias en donde hay que establecer relaciones y

comparaciones, en donde el tiempo juega un papel importante (Gmez, 2007).

- Usos de la variable en el contexto escolar: como incgnita, como nmero

generalizado y como relacin funcional (Ursini, 1994).

- La necesidad de utilizar smbolos, por parte de los estudiantes, parageneralizar una relacin entre cantidades y expresar esa generalizacin en lenguaje

formal, favorece el trnsito de la aritmtica al lgebra de manera menos difcil,

adems de contribuir de esta manera a desarrollar la comprensin de la nocin de

variable (Kieran et al, 1990).

- Introduccin de la nocin de variable a travs de patrones de exploracin. La

idea es, dado un modelo (grfico, tabla de datos, etc.), los alumnos mediante la

exploracin, pueden determinar la regularidad que presenta el modelo haciendo una

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descripcin verbal de su comportamiento construyen su generalizacin empleandosmbolos algebraicos (English et al, 1998).

Figura 3. Categoras incipientes de elementos asociados a la variacin.A partir de los resultados se obtienen elementos relacionados con el concepto de variacin:

Variable, Proporcionalidad entre variables, Variables y constantes implcitas y explcitas, Variarparmetros, Identificar patrones en datos, Identificar la variable dependiente e independiente,Decir cmo varan las variables, Dar sentido a las variables en el evento, Transitar entreregistros, Prediccin, Dado un modelo matemtico identificar el tipo de fenmeno, Identificar yanalizar el comportamiento de manera local y global de funciones para estudiar fenmenos queinvolucran cambio, Comparar estados (seguidos e inicial y final), Lenguaje del cambio (cambiopoco, cambio mucho), Tendencias en el comportamiento, ver primera columna de la figura 3.

Como se puede observar, de los resultados se identifica que dichos elementos son de

diferente naturaleza, por lo tanto se procede a describir categoras incipientes, quedando lassiguientes: Variable, Contexto, Registros de representacin, Funcin, Contextos y actividades,Lenguaje, ver segunda columna de la figura 3.

Figura 4. Identificadores de la variacin en la modelacin matemtica.

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La literatura revisada proporciona elementos especficos del concepto de variacin, puescada una de las investigaciones incide en un aspecto de ste, a excepcin del trabajo"Epistemologa de lo variacional" (Camarena et al, 2012) de la Red MaCoCiencias, dondetrabajan la matemtica en contexto, el cual posee un enfoque hacia la modelacin matemtica,razn por la cual se decidi analizarlo por separado. Los autores de "Epistemologa de lo

variacional" mencionan que para conocer la naturaleza de la variacin en la modelacinmatemtica de procesos dinmicos, es necesario tomar en cuenta desde las nocionesembrionarias del concepto de variacin con un enfoque matemtico, que permita laidentificacin de los elementos que hacen presencia en procesos variantes inmersos en eventoscontextualizados, con ello definen identificadores de la variacin en la modelacin matemtica,como se muestran en la figura 4.

Luego, se procede a efectuar un contraste entre las categoras incipientes y el estudio sobre"Epistemologa de lo variacional". Este anlisis comparativo, consisti en identificar diferenciasy similitudes (intersecciones) entre los resultados encontrados en ambos casos. Lo anterior con elpropsito de identificar y unificar categoras. Para presentar la idea general del anlisiscomparativo, y hacer ms explcito y detallado este anlisis, ver figura 5, se describe brevemente

los pasos de la secuencia realizada, ya que los posteriores son anlogos.

Figura 5.Tabla comparativa.

Respecto a la figura 5, en el primer rengln, se observan los nmeros 1 y 3, los cualescorresponden al concepto de variable, de acuerdo a la numeracin que aparece en las figuras 3 y4, respectivamente. stos conforman la primera categora asociada a la variacin, identificadacomo "concepto de variable".

En el tercer rengln se aprecian los nmeros 7 y 1, los cuales corresponden a cmo varanlas variables y a la identificacin de lo que vara, de acuerdo a la numeracin que aparece en las

figuras 3 y 4, respectivamente. stos constituyen la segunda categora asociada a la variacin,sealada como "identificacin de lo que vara". Como se mencion anteriormente, los demsrenglones son analizados e interpretados de manera anloga.

A partir del contraste de resultados realizado anteriormente, se lograron identificar ochocategoras asociadas a la variacin, ver figura 6.

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Figura 6. Primeras categoras de variacin.Una vez ya sealadas las categoras asociadas a la variacin, se procedi a establecer una

caracterizacin de identificadores e indicadores del concepto variacin. Durante la realizacin deeste proceso, se empezaron a tener diversos problemas, pues la informacin que se ibaobteniendo, de acuerdo a cada categora, result ser bastante amplia y en varias ocasionesrepetitiva, es decir, se apreciaba que en ms de una categora aparecan repetidos (implcitamentey explcitamente) identificadores e indicadores. Adems, stos se perciban de manera integrada,pues era prcticamente imposible enfocarse exclusivamente a un indicador sin incidir en otrosindicadores.

Estas condiciones dan cuenta de que es necesario reconocer que la informacin con la quese est trabajando es bastante delicada, en el sentido de que las categoras establecidas resultaron,de una u otra manera, estar ntimamente relacionadas una con otras y que difcilmente se podranestudiar por separado. Precisamente, a partir de este momento, todo el estudio realizadoanteriormente, empez a evidenciar las deficiencias que tena la primera identificacin decategoras. Situacin por la cual se analiz de manera puntual dicha identificacin yposteriormente se volvi a estructurar. A continuacin se presentan las acciones realizadas y losresultados obtenidos.

Con base en los resultados del anlisis de la identificacin de las categoras, de maneraespecfica a las intersecciones que se observaron entre las categoras al querer establecer losidentificadores, se procedi a articular aquellas que ms se relacionaban entre s, obteniendocomo resultado una primera reduccin de categoras, ver figura 7, que consta de 5 categorasasociadas a la variacin.

Figura 7. Primera reduccin de categoras.

De acuerdo a la reduccin se establecieron de nuevo identificadores e indicadores

asociados a la variacin en cada una de las categoras. Sin embargo, en esta ocasin, se percibique los identificadores de las categoras: concepto de variable, manejo conceptual de funcin yprediccin, estn muy relacionados (intersecciones) entre s. Lo anterior, en el sentido de que alestudiar por separado cada una de las categoras y mantener constantes las dems, la estudiada seve tambin influenciada y afectada por ellas, motivo por el cual al querer estudiarlas como ajenasentre s se presentan problemas de incongruencia.

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Figura 8. Categoras de mayor influencia en los identificadores de modelacin matemtica.

Adems, los identificadores de las categoras: concepto de variable, manejo conceptual defuncin y prediccin, estn fuertemente asociados a los indicadores de la categora modelacinmatemtica. Esto ltimo se menciona, ya que al realizar un anlisis, de tipo comparativo entrelos identificadores de la modelacin matemtica y las categoras anteriores, se observaron ciertasconexiones. Es decir, que dichos identificadores estn fuertemente influenciados por el concepto

de variable, el manejo conceptual de funcin y la prediccin, tal y como se indica en la figura 8.Es importante mencionar que en el anlisis realizado se observa que las dems categoras

tambin ejercen influencia en los identificadores, aunque en menor grado. Por ejemplo, en elprimer identificador de la modelacin matemtica, de manera implcita, la nocin de prediccinentra en juego al momento de discriminar entre lo que vara y lo que permanece constante, yaque permite reconocer que de la gran cantidad de variables vinculadas con el fenmeno, slo unsubconjunto de ellas sern consideradas variables y al resto, se les asumir constantes, pues laausencia de su variacin no se considera que contribuya significativamente en la prediccinbuscada.

Por otra parte, con respecto al segundo identificador, el anlisis permite vislumbrar, que

para los fines perseguidos por el presente estudio, no interesa considerar todo el contenidoasociado al concepto funcin, ya que por ejemplo, abordar aspectos referentes a su definicinconjuntista, carecera de poco inters y significado en el desarrollo del concepto y lenguajevariacional. Esta idea, es fuertemente apoyada por Posada et al(2006), quienes sealan quecomo la definicin conjuntista de funcin no depende de los elementos pertenecientes a losconjuntos que la determinan, siempre y cuando la regla de correspondencia cumpla la condicindada, desaparece la importante idea de ver en este concepto un objeto matemtico que atrapa lavariacin y el cambio, es decir, como un modelo matemtico.

En este mismo sentido, lo relacionado al estudio del concepto de funcin se desarrollarapelando a la nocin de variacin y en consecuencia a mirarlo como un modelo matemtico consentido dinmico, que permita su uso para matematizar el evento que invariablemente posee

variacin. De esta manera, la categora, manejo conceptual de funcin, adopta un nuevo enfoquey es vista desde una perspectiva variacional, entendindola en un primer momento como unmodelo matemtico (sentido dinmico), y desde all construir puentes que permitan entenderlacomo un objeto matemtico analtico (sentido esttico).

As, eliminando aspectos que no interesaban del concepto funcin y entendiendo dichoconcepto desde una perspectiva variacional, la segunda categora es examinada y reformulada,

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quedando finalmente como: "El concepto de funcin como modelo matemtico desde unaperspectiva variacional".

Con base en los resultados del anlisis realizado, de manera especfica tomando en cuentalas conexiones y relaciones presentes entre los identificadores de la modelacin matemtica y lascategoras: concepto de variable, el concepto de funcin como modelo matemtico desde una

perspectiva variacional y la prediccin, se tom la decisin de ya no considerar a la modelacinmatemtica como una categora, sino como el eje central de estudio, ms an es consideradocomo aquella prctica (actividad) que norma las acciones (actividades) asociadas al desarrollodel concepto y lenguaje variacional.

Adems, el proceso de modelacin matemtica consta de tres momentos (Camarena,2009), conformados por sus respectivos identificadores, los cules son puestos en sintona conlas categoras: concepto de variable, el concepto de funcin como modelo matemtico desde unaperspectiva variacional y la prediccin. Tambin se identifica que el lenguaje variacional estpresente y vinculado en cada uno de los momentos de dicho proceso.

En funcin de la modelacin matemtica de la figura 4, se procedi a identificar y reducir

categoras, obteniendo los conceptos, procesos variantes o nociones embrionarias asociadas alconcepto de variacin, tomando como eje rector a la modelacin matemtica. En la siguientefigura 9, se puede apreciar la reduccin final de las categoras establecidas.

Figura 9. Categoras de variacin, con eje rector la modelacin matemtica1.

Conclusiones

A travs del desarrollo de la investigacin se puede ver que la variacin est totalmenterelacionada con la modelacin matemtica de eventos contextualizados, su estudio aislado deuna matemtica contextualizada no tiene sentido.

Finalmente, este reporte da a conocer el proceso metodolgico seguido para establecer lascategoras de un concepto semilla con la lnea de pensamiento de la teora de la Matemtica en elContexto de las Cienciasdentro de la Matemtica Social, una matemtica con sentido y utilidadpara la sociedad.

Es ms, el desarrollo de habilidades para la matematizacin de lo variacional secorrelaciona con las habilidades para la modelacin matemtica de eventos contextualizados yviceversa. Con lo cual se implica que el desarrollo de las habilidades de modelacin matemtica

de eventos contextualizados permite la construccin del concepto semilla de la variacin.Concluyendo con la descripcin del proceso metodolgico, se puede decir que para el

diseo de categoras de aprendizaje, se requieren tomar en cuenta las investigaciones eneducacin matemtica que se han realizado en torno al concepto a trabajar, y para dejar bienestablecidas las categoras (o reducciones de categoras) de aprendizaje de conceptos

1Se agradece la participacin activa del estudiante Edwin Ros Briceo de la Universidad Autnoma de Yucatn,quien realiz una estancia de investigacin en el Verano de la Investigacin de la Academia Mexicana de Ciencias.

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matemticos, es necesario, tomar en cuenta tanto los identificadores como indicadores del

aprendizaje del concepto.

Referencias y bibliografa

Brousseau G. (1983). Obstacles pistmologiques de la didactique des mathmatiques,

Recherches en didactique des mathmatiques, 7(2).

Camarena Gallardo, P. (1984). El currculo de las matemticas en ingeniera. Memorias de las

Mesas redondas sobre definicin de lneas de investigacin en el IPN, Mxico.

Camarena Gallardo, P. (1987).Diseo de un curso de ecuaciones diferenciales en el contexto de

los circuitos elctricos. Mxico: Editorial ESIME-IPN.

Camarena Gallardo, P. (1990). Especialidad en docencia de la ingeniera matemtica en

electrnica. Mxico:Editorial ESIME-IPN.

Camarena Gallardo, P. (1993). Curso de anlisis de Fourier en el contexto del anlisis de seales

elctricas. Mxico: Editorial ESIME-IPN.

Camarena Gallardo, P. (1999). Reporte de proyecto de investigacin titulado: Etapas de lamatemtica en el contexto de la ingeniera.Registro: CGPI-IPN 990413. Mxico:Editorial

ESIME-IPN.

Camarena Gallardo, P. (2001).Las Funciones Generalizadas en Ingeniera, construccin de una

alternativa didctica.Coleccin Biblioteca de la Educacin Superior, Series Investigacin,

Editorial ANUIES, Mxico.

Camarena Gallardo, P. (2002). Metodologa curricular para las ciencias bsicas en ingeniera.Revista Innovacin Educativa, 2(10), 22-28,primera parte y 2(11), 4-12 segunda parte.

Camarena Gallardo, P. (2004). Reporte de proyecto de investigacin titulado: La matemtica en

el contexto de las ciencias: las competencias profesionales, Registro: CGPI-IPN

20040434. Mxico: Editorial ESIME-IPN.

Camarena Gallardo, P. (2006). La Matemtica en el Contexto de las Ciencias en los retos

educativos del Siglo XXI. Revista Cientfica: The Mexican Journal of Electromechanical

Engineer, 10(4), 167-173.

Camarena Gallardo, P. (2008).Teora de la Matemtica en el Contexto de las Ciencias.Actas delIII Coloquio Internacional sobre Enseanza de las Matemticas (pp. 83-107). Conferencia

Magistral, Per.

Camarena Gallardo, P. (2010). Reporte tcnico de investigacin titulado:Procesos metodolgicos

que identifican competencias matemticas.Registro: SIP-IPN 20090244. Mxico: Editorial

ESIME-IPN.

Camarena Gallardo, P. y Flores Allier, I. (2012). Epistemologa de lo variacional. Memorias

delXIII Simposium Internacional:Aportaciones de las Universidades a la Docencia, la

Investigacin, la Tecnologa y el Desarrollo. Mxico.

Chevallard, Y. (1991).La transposicin didctica. El saber sabio al saber enseado.Aique Grupo

Editor S. A.

COMIE (2013). Una dcada de investigacin educativa en conocimientos disciplinares en

Mxico. Coordinadores: Carrasco A, Gmez A, Guerra T, Lpez G, Ramrez J. COMIE-

7/24/2019 237-3252-1-PB

12/12



12

ANUIES

De Pavia I. P. (2006). Desarrollo de habilidades del pensamiento para la matemtica en elcontexto de las ciencias (Tesis de Maestra en Ciencias en Matemtica Educativa). Centro deInvestigacin en Ciencia Aplicada y Tecnologa Avanzada del Instituto Politcnico Nacional,Mxico.

English, L., & Warren, E. (1998). Introducing the variable through pattern exploration. Themathematics teacher, 1(2), 166-170.

Garca G. L. (2000).Nociones contextualizadas de las series en ingeniera(Tesis de Maestra enCiencias con Orientacin en Enseanza de la Matemtica). Coordinacin deInvestigacin y Postgrado de la Universidad Autnoma del Estado de Hidalgo, Mxico.

Glaser B., & Strauss A. (2006). The Discovery of rounded Theory:strategies for qualitativeresearch.New York, USA: Aldine de Gruyter.

Gmez J. (2007). La construccin de la nocin de variable (Tesis de doctorado no publicada).

Cinvestav-IPN, Mxico.

Kieran, C., Booker, G., Filloy, E., Vergnaud, G., & Wheeler, D. (1990). Cognitive processesinvolved in learning school algebra. En P. Nesher & J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics andCognition(pp. 96-112). Cambridge, USA.: International Group for the Psychology of MathematicsEducation.

Muro Urista. C. (2004). Anlisis del conocimiento del estudiante relativo al campo conceptual dela serie de Fourier en el contexto de un fenmeno de transferencia de masa (Tesis deDoctorado en Ciencias en Matemtica Educativa). Instituto Politcnico Nacional, Mxico.

Muro Urista, C., & Camarena Gallardo, P. (2002). La serie de Fourier en el contexto del proceso detransferencia de masa. Revista "Cientfica" The Mexican Journal of ElectromechanicalEngineering,6(4), 159-163.

Olazbal, A. M., & Camarena Gallardo, P. (2003). Categoras en la traduccin del lenguajenatural al lenguaje algebraico de la matemtica en contexto. Memorias del CongresoNacional de Profesores de Matemticas, Mxico.

Ongay, F. (1994). Apuntes de un curso de Clculo Vectorial en el contexto de la TeoraElectromagntica. Inditos.

Posada F., & Villa, J. (2006). El razonamiento algebraico y la modelacin matemtica.Recuperado el 24 de julio de 2012

http://funes.uniandes.edu.co/1770/1/capitulo_proyantioqu.pdf

Surez Bueno, V., & Camarena Gallardo, P. (2000). La transformada de Laplace en el contexto de

la ingeniera. Acta Latinoamericana de Matemtica Educativa,13

, 124-130. RepblicaDominicana.

Trejo, E. (2005). La Ecuacin Diferencial en el Contexto de las Reacciones Qumicas deprimer Orden (Tesis en Maestra en Orientacin Educativa). Universidad Autnoma del Estadode Hidalgo, Mxico.

Ursini, S. (1994). Los nios y las variables. RevistaEducacin Matemtica, 6(3), 90-108.

237-3252-1-pb

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