ÍNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………………….….22. VIBRACIONES LIBRES DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD.…32.1. RELACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELMENTO RESORTE, INERCIA AMORTIGUADOR………………………………………………………………….…32.2 MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE SISTEMAS…….....4

2.3 MÉTODO DE LA ENERGÍA SIN AMORTIGUAMIENTO………………….…5

2.4 MASA EFECTIVA……………………………………………………………..….9

3.5 AMORTIGUAMIENTO VISCOSO…………………………………….…11

CONCLUSIÓN…………………………………………………………………….….13BIBLIOFRAFÍA……………………………………………………………………….14

INTRODUCCIÓNEl estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales, rige el principio de la superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas. Por el contrario, las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son menos conocidas y difíciles de aplicar.Hay dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas; en este trabajo nos enfocaremos solo al estudio de las vibraciones libres que son aquellas que ocurren cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al sistema mismo y, cuando las fuerzas externamente aplicadas son inexistentes. El sistema bajo vibración libre vibrara a una o más de sus frecuencias naturales que son propiedadesdel sistema dinámico que depende de su distribución de masa y de su rigidez. 

2. VIBRACIONES LIBRES DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD.2.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELMENTO RESORTE.2.1.1. DEFINICIÓN DE RESORTE.Un resorte es un enlace flexible mecánica entre dos partículas en un sistema mecánico. En realidad un resorte en sí es un sistema continuo. Sin embargo, la inercia del resorte es generalmente pequeña en comparación con los otros elementos del sistema mecánico y es despreciada. Bajo este supuesto la fuerza aplicada a cada extremo del resorte es la misma.La longitud de un resorte cuando no está sujeto a fuerzas externas que le llama  longitud sin estirar. Puesto que el resorte está hecho de un material flexible, la fuerza F que se debe de aplicar al resorte para cambiar su longitud en x es una función continua de x,

2.1.2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELEMENTO RESORTE.Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. En este curso se adopta como ecuaciones constitutivas las más simples en las que la fuerzas actuantes (normal, flexión, corte, torsión) varían proporcionalmente con la deformación correspondiente. Los coeficientes de proporcionalidad son los módulos de elasticidad longitudinal E (módulo de Young) para las tensiones axiales asociadas al esfuerzo normal y la flexión y el módulo de elasticidad transversal G para las tensiones de corte asociadas al esfuerzo de corte y la torsión, juntamente con coeficientes que caracterizan geométricamente a lasección. Las expresiones que resultan son las siguientes:

Las ecuaciones en la última columna de la Tabla 1.1 son lineales. Ejemplos de ecuaciones constitutivas no lineales son las correspondientes al endurecimiento (el módulo E aumenta con la deformación), ablandamiento (el módulo E disminuye con la deformación) o comportamiento plástico.Amortiguador de inercia: Masa pesada que se ha acoplado a la parte superior de un cuerpo por ejemplo un edificio mediante un dispositivo de muelles que le permite permanecer en reposo por inercia y eliminar cualquier movimiento. También llamado amortiguador de masa.

Amortiguador de masa: Masa pesada que se ha acoplado a la parte superior de un cuerpo por ejemplo un edificio mediante un dispositivo de muelles que le permite permanecer en reposo por inercia y eliminar cualquier movimiento.Los amortiguadores de inercia, también conocido como compensador inercial son dispositivos usados en las naves espaciales para contrarrestar los efectos de los movimientos bruscos en las naves (incluyendo la aceleración, desaceleración, giros repentinos, etc.) y disminuir la cantidad de estremecimiento de tomar muestras de armas. Al crear una gravedad artificial, campo en el interior de la nave espacial, una gran cantidad de la inercia de lo contrario que ocurre es quitado. Los amortiguadores siempre debe estar activado antes de tomar vuelo, ni de la tripulación en el interior se enfrentaría a fuerzas G letal y morir. Amortiguadores inerciales están equipadas de Naves Espaciales de diversasrazas.

2.2 MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE SISTEMASEcuación de movimiento basada en la segunda ley de Newton Utilizando la segunda ley del movimiento de Newton, consideraremos la derivación de la ecuación de movimiento. El procedimiento se resume como sigue:

1) Seleccione una coordenada adecuada para describir la posición de la masa o el cuerpo rígido en el sistema.

2) Determine la configuración de equilibrio estático del sistema y mida el desplazamiento de la masa o el cuerpo rígido con respecto a su posición de equilibrio estático.

3) Trace el diagrama de cuerpo libre de la masa o el cuerpo rígido cuando se le imparten un desplazamiento y velocidad positivos. Indique todas las fuerzas activas y reactivas que actúan sobre la masa o cuerpo rígido.

4) Aplique la segunda ley del movimiento de Newton a la masa o cuerpo rígido que presenta el diagrama de cuerpo libre:

(2.1)Para un cuerpo rígido sometido a movimiento de rotación, la ley de Newton da

(2.2)Donde es el momento resultante que actúa en el cuerpo y son el desplazamiento angular resultante y la aceleración angular resultantes, respectivamente. La ecuación (2.1) o la (2.2) representan la ecuación del movimiento del sistema vibratorio.Aplicando este procedimiento a un sistema de un solo grado de libertad no amortiguado, cuando la masa se desplaza una distancia a partir de su posición de equilibrio, la fuerza en el resorte es kx. La aplicación de la ec. (2.1) a la masa (m) da la ecuación de movimiento:

0(2.3)2.3 MÉTODO DE LA ENERGÍA SIN AMORTIGUAMIENTO.Este modelo lo llamaremos el modelo típico, y la ecuación diferencial que determina su 

comportamiento lo llamaremos la forma canoníca de un sistema libre no amortiguado.La fig. 2.3.1 Muestra este modelo un sistema de masa ‘m’ y una constante elástica ‘k’ vamos a realizar un estudio estático y cinético con el fin de determinar la ecuación diferencial que determinara el movimiento posteriormente veremos la solución de la ecuación diferencial para ver la respuesta en el tiempo del sistema así como la fórmula que determina el cálculo de la frecuencia natural.

Fig. 2.3.1 modelo típico de un sistema libre no amortiguado.Supongamos tres casos como se muestra en la figura 2.3.2

En la figura 2.3.2 (a) se tiene el resorte sin deformar, posteriormente se coloca una masa ‘m’ y el resorte sufre una deformación Xs que llamaremos deformación estática; de aquíFk = KXs

Fig. 2.3.3 diagrama de cuerpo libre, análisis estático.El diagrama de cuerpo libre estático nos revela queS Fy = 0mg – KXs = 0mg = Kxs Ec.3.3Ahora imaginemos que estiramos la masa una distancia X y luego lo soltamos y aquí comenzamos hacer el análisis.

 La figura 2.3.4 nos muestra el diagrama de cuerpo libre como consideramos X + 1 por lo tanto x y x serán positivos hacia abajo.Utilizando la 2da ley de Newton+ S fy = S fy efect = mxmg – KXt = mx Ec. 3.4Como KT = Xs + x la ecuación 3.4 se convierte en:Mg – KXs – Kx = mx Ec 3.5Utilizando la ecuación 3.3 como en la ecuación 3.5 aparecen comoconstantes se pueden eliminar, por lo tanto:Mx + kx = 0 Ec. 3.6A la ecuación 3.6 se le conoce como la ecuación diferencial del movimiento de un sistema libre no amortiguado. Si existe deformación estática el efecto que produce la masa se coloca con un resorte cuando se deforma estáticamente por lo tanto vamos a buscar la solución utilizando la transformada de aplace.Si analizamos el término angular (√K (t)) cuya unidad deberá ser los radiantes, por lo tanto:√m√K T = seg√mDe aquí que el término √K es la frecuencia natural en otras unidades√mPor lo tanto la ec 3.7 que denota la respuesta en el tiempo del sistema queda:Determinado su movimiento por la ecuación diferencial:mx + kx = 0Cuya solución, queda determinada la respuesta en el tiempo:x (t) = x(0) cos wnt + x(0) sen wt

wnDónde: x(0) = deformación inicialx(0) = velocidad inicialwn frecuencia natural (rad/seg)La frecuencia natural queda definida como:Wn = √K√mAnalizando la ec. 3.11 vamos a analizar su grafica respuesta en el tiempo.Caso 1 si el sistema parte con velocidad 0; es decir x(0)

MÉTODO PARA EL CÁLCULO DE ENERGÍAS SIN AMORTIGUAMIENTO.Algunos sistemas vibratorios pueden ser expresados a la forma canoníca (de f 3.2.B) y posteriormente calcular su frecuencia natural y/o respuesta en el tiempo.Existen tres métodos básicos para el cálculo de ecuaciones diferenciales de sistemas vibratorios libres no amortiguados, cada uno de ellos presenta ventajas dependiendo del movimiento.Movimiento rectilíneo 1° método de Newton F = maMovimiento angelaré 2° método de Newton (momentos)Movimiento recto y/o angular è método de energía.Por lo tanto el primer tip es identificar el tipo de movimiento para ver el método apropiado para calcular la ecuación diferencial.Si el sistema posee movimiento rectilíneo utilizar el análisis cinético S fy = S fy efecto = mx es apropiado solo hay que llegar a la ecuación diferencial del movimiento.EjemploUn resorte de constante elástica ‘K’ es empotrado de un extremo mientras que el otro extremo se coloca una masa de 4.53 kg logrando tener un periodo natural de 0.45 seg. Posteriormente el resorte se parte justo a la mitad empotrándose de los extremos y colocando la masa en el punto medio. Calcule el periodo natural nuevo.

 Solución:Aquí no es necesario hacer un análisis Cinético ya que la ecuación Diferencial es directa.0.453 x + kxVamos a analizar los sistemas por separado analizando el sistema (a)Wn = √K = √K è K=Wn12 m = (13.95)2 (4.53)√m 0.453 k=887.54 Nw/m Analizando el sistema (b)Para ver cómo afecta la constante al dividirse a la mitad partimos de la fórmula para calcular la constante en función de sus características.K= Gd4 n = # vueltas k’ = Gd4 = 2K K’= 2K64R3n 64R3(n/2)Como están en paraleloKeq= K’ + K’ = 2K +2K = 4K Keq = 4 ( 882.25) = 3526 Nw/mtWn = √Keq = √3526 = 88.22 rad/seg√m √0.453Un elemento elástico de constante desconocida sufre una deformación estática ‘Xs’ al colocarle una masa ‘m’.Calcule la frecuencia natural. Solución:

La constante elástica k se puede calcular a partirde la ley de Hooke mg= KXs k=mg/xs sustituyéndolo en la fórmula de la frecuencia natural.Wn = √K = √mg = √g Wn = √g√m √mxs √xs √xs

2.4 MASA EFECTIVA En la física del estado sólido, la masa efectiva de una partícula es la masa que parece tener en un cristal según el modelo semiclásico de transporte. Parece ser que, bajo ciertas condiciones, los electrones y los huecos de un cristal se comportan a campos magnéticos y eléctricos como si estuvieran libres en el vacío pero con una masa diferente. Generalmente no es igual que la masa del electrón libre. Esta masa se suele expresar como una constante por la masa del electrónLa masa efectiva, m*, se determina por la estructura de bandas y varía según el tipo de material. Depende de la curvatura de la superficie E-k.En los dispositivos electrónicos la masa efectiva es una masa virtual que se calcula como una fracción de la masa del electrón en el vacío y depende del tipo de materia a considerar Carbono, Silicio, Germanio, etc. La masa efectiva permite considerar electrones y lagunas del modelo como si fueran partículas de la físicaclásicamoviéndose en el vacío cuando en realidad se derivan de partículascuánticas (electrones reales) que se mueven en el cristal o solidos cristalinos puros, perfectos y a 0°K.Masa efectiva (sistema masa-muelle).En un sistema masa-muelle no sólo la masa suspendida del extremo libre del resorte influye en el movimiento, sino que también lo hace la masa del muelle. No obstante, como no todos los puntos del muelle se mueven a la misma velocidadque la masa suspendida, es incorrecto sumar la masa del muelle a la masa suspendida. La masa efectiva del muelle es aquella masa que al ser sumada a la masa suspendida permite predecir correctamente el comportamiento del sistema.La masa efectiva del muelle en un sistema masa-muelle ideal es independiente de si la dirección del sistema es horizontal, vertical u oblicua, permaneciendo siempre como  de la masa del muelle. Esto puede ser demostrado del siguiente modo:Llamemos  a la masa del muelle y  a la masa suspensa del muelle.Tomemos un segmento infinitesimalmente delgado del muelle que se encuentre a una distancia  del extremo fijo del muelle.Su longitud será; su masa; ; y su velocidad, ., donde  es la longitud del muelle.Ahora consideremos la energía cinética total del muelle:

Pero la velocidad de cada posición del muelle es directamente proporcional a su longitud

Luego 

Si comparamos con la fórmula original de la energía cinética () podemos concluir que, efectivamente, la masa efectiva del muelle en este caso es: .

2.5 AMORTIGUAMIENTO VISCOSO.El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las Vibraciones, fundamental en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y análisis de sistemas vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores, maquinaria rotativa, turbinas, automóviles, etc. Esto va encaminado a la teoría de que todo sistema vibratorio (regularmente sistemas mecánicos) tiene la capacidad de disipar energía. Para el Control de Vibraciones eImpactos en maquinaria, se utiliza el concepto de amortiguamiento como una técnica para disipar energía del sistema, manipulando así la amplitud de vibración en el sistema y otros parámetros de estudio.El análisis de sistemas con amortiguamientos resulta muy complicado; sin embargo, existen modelos de amortiguamiento ideal que se adaptan bien a ciertos casos particulares. Uno de ellos es el que permite el tratamiento matemático más simple y se basa en la hipótesis de quela fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad. Se suele llamar amortiguamiento viscoso. El sistema mecánico se muestra en la figura: 

CONCLUSIÓNTodos los sistemas vibratorios están sometidos a cierto grado de amortiguamiento puesto que la energía se disipa por fricción y otras resistencias. Si el amortiguamiento es pequeño, tiene escasa influencia sobre las frecuencias naturales del sistema y por consiguiente los cálculos de las frecuencias naturales se hacen generalmente ignorando el amortiguamiento. Por otra parte, el amortiguamiento es de gran importancia como limitador de la amplitud de oscilación de resonancia. Así también el número de coordenadas independientes que se requieren para describir el movimiento de un sistema, es el grado de la libertad del sistema.

BIBLIOFRAFÍAThomson William T. Teoría de vibraciones (aplicaciones) edit. Prentice Hall Hill. 2ª. Edición. 1982. Nieto, Justo. Síntesis de mecanismos. Editorial AC. Mabie H. H. Y Acvirk F. W. Mecanismos y Dinámica de maquinaria, Ed.