2015 inv o chapter 3
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Investigación de Operaciones UNITRANSCRIPT
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Generalidades
Programación Lineal
La programación lineal, es un modelo matemático deoptimización; por lo cual, puede optimizar cada una delas operaciones mineras unitarias que conforman elciclo total de minado en subterránea y/o superficial,tales como:
• Perforación• Voladura• Carguío• Acarreo• Chancado primario, etc.
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Underground mining.
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Por otro lado, se sabe que lograr las metas con éxito,se tiene las siguientes claves.
1. Piense en ganar: Se debe luchar por lo que unapersona quiere, analizar la situación y no detenerse.
Atrévase a llegar mas lejos delo que usted cree que puedellegar, diviértase en lo querealice y tenga coraje paraderrotar el miedo, porque solousted podrá cambiar suhistoria, afrontando los retoscon una actitud ganadora.
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2. Desarrolle un plan: Una vez que defina y prioricesus metas, canalice toda su energía en ese objetivo.Asimismo, recuerde que si algo sale mal, no significaque esta derrotado, vuelva a intentarlo, analice unavez mas la situación y cambie la estrategia las vecesque sea necesario. Anímese a dejar de ser un simpleespectador y conviértase en el protagonista de supropia vida, obteniendo como promedio la metaanhelada.
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3. Aproveche las oportunidades: Existenoportunidades que se presentan solo una vez en lavida. Por ello, enfrente los retos y obtengaresultados con un valor diferencial. Recuerde,todos somos capaces de lograr hechos importantesen nuestra vida, aunque le parezca difícil inténtelolas veces que sea necesario, pues si no searriesga no pierde pero tampoco gana. Así quefortalezca su disciplina, cree hábitos potenciadoresque lo lleven a crecer día a día, y en un año habrácrecido 365%.
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J.J. Ore
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4. Rodéese de personas positivas: Los estudiosrevelan que las 5 personas con las que mas tiempocomparte, son las que mas influencian tienen ennuestras vidas, por ello aléjese de las amistadescon pensamientos limitados y negativos, e intentecompartir mayores oportunidades con personasque compartan su misma visión, de esta maneraaprenderá y fortalecerá su crecimiento
Fuente: Comercio
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Como se sabe, para llevar a cabo la optimización decualquier proceso minero o de cualquier otro proceso, esnecesario tener un líder. Por tanto, la sucesión del poderconsiste en trasmitir la responsabilidad, el patrimonio y elcapital humano al descendiente que se va a ocupar de laempresa y/o negocio.
Cuanto no se encuentra al sucesor dentro de la familia, sepuede buscar un candidato externo o pensar en laposibilidad de vender la empresa.
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El perfil del líder sucesor, debe tener capacidadesdesarrolladas para:
Ser un integrador y motivador Dar el ejemplo Proponer metas posibles y atractivas Procurar los medios para conseguirlas Saber motivar Alcanzar un compromiso personal con toda la
organización; a esto se le denomina el contratopsicológico: aceptar y ser aceptado, noimpuesto
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Pasos a seguir para seleccionar al líder sucesor, son lossiguiente:1. Identificar retos: Conocer e identificar los retos
internos que tiene la empresa y definir el panoramaestratégico: ¿Cual es la visión de la empresa?
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2. Diseñar el perfil de liderazgo: ¿Cuál deberá ser elperfil del próximo líder de la empresa?; si es unaempresa familiar, esto primero se define en elconcejo de familia y luego en los lideres deldirectorio, etc.
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3. Recopilar información del futuro líder sucesor
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4. Evaluar a los futuros lideres que estarán al frentede la empresa: Conocer las posibilidades yhabilidades de cada uno de los candidatos.
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5. Existen buenos candidatos dentro de la familia?:De no existir un candidato interno que reúne lascondiciones y expectativas, se debe buscarcandidatos externos.
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6. Escoger el mas idóneo.
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7. Anunciar la decisión
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Programación Lineal
Introducción:
Entre los avances científicos más importantes de lamitad del siglo XX es la Programación Lineal, por suimpacto desde 1950 ha sido extraordinario por susaplicaciones.
Especialmente en elcalculo científico quese lleva a cabo pormedio de lascomputadoras.
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Un modelo de P. L. proporciona un método eficientepara determinar una decisión óptima, (o una estrategiaóptima o un plan óptimo) escogida de un gran númerode decisiones posibles y/o alternativas.
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Programación Lineal
Origen
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos comoNewton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange,que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculoinfinitesimal, se ocuparon de obtener máximos ymínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente el matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir,aunque de forma imprecisa, los métodos de lo queactualmente llamamos programación lineal y lapotencialidad que de ellos se deriva.
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Si no se le toma en cuenta al matemático GasparMonge (1746-1818), quien en 1776 se interesó porproblemas de este género, se debe enfatizar que en elaño 1939 para encontrar nuevos estudios relacionadoscon los métodos de la actual programación lineal.
En este año, el matemático ruso Leonodas VitalyevichKantarovitch publica una extensa monografía tituladaMétodos matemáticos de organización y planificaciónde la producción en la que por primera vez se hacecorresponder a una extensa gama de problemas unateoría matemática precisa y bien definida llamadaactualmente programación lineal .
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En 1941-1942 se formula por primera vez el problemade transporte, estudiado independientemente porKoopmans y Kantarovitch, razón por la cual se sueleconocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantarovitch.Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problemaparticular conocido con el nombre de régimenalimenticio optimal.En estos años posteriores a la Segunda GuerraMundial, en Estados Unidos se asumió que la eficazcoordinación de todas las energías y recursos de lanación era un problema de tal complejidad, que suresolución y simplificación pasaba necesariamente porlos modelos de optimización que resuelve laprogramación lineal.
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Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan losmodelos de computación y los ordenadores,instrumentos que harían posible la resolución ysimplificación de los problemas que se estabanoriginando.
En 1947, G.B. Dantzig formula, entérminos matemáticos muy precisos,el enunciado estándar al que cabereducir todo problema deprogramación lineal. Dantzig, juntocon una serie de investigadores delUnited States Departament of AirForce, formarían el grupodenominado SCOOP (ScientificComputation of Optimum Programs).
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Una de las primeras aplicaciones de los estudios delgrupo SCOOP fue el puente aéreo de Berlin. Luego secontinuó con una serie de aplicaciones de tipopreferentemente militar.Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente enEstados Unidos, distintos grupos de estudio para irdesarrollando las diferentes ramificaciones de laprogramación lineal. Cabe citar, entre otros, RandCorporation, con Dantzig, Orchard-Hays, Ford,Fulkerson y Gale, el departamento de Matemáticas dela Universidad de Princenton, con Tucker y Kuhn, asícomo la Escuela Graduada de AdministraciónIndustrial, dependiente del Carnegie Institute ofTechnology , con Charnes y Cooper.
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Respecto al método del algoritmo simplex, que seestudiara mas adelante, se puede enfatizar que suestudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado porDantzig en el United States Bureau of Standards SEACCOMPUTER, ayudándose de varios modelos deordenador de la firma IBM.Los fundamentos matemáticos de la programación linealse deben al matemático norteamericano de origenhúngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en1928 publicó: “La Teoría de Juegos”. En 1947 conjeturala equivalencia de los problemas de programación linealy la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. Lainfluencia de este respetado matemático, discípulo deDavid Hilbert en Gotinga y, desde 1930, catedrático de laUniversidad de Princenton de Estados Unidos, hace queotros investigadores se interesaran en el desarrollo deesta disciplina.
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En 1858 se aplicaron los métodos de la programaciónlineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimode transporte de arena de construcción a las obras deedificación de la ciudad de Moscú. En este problemahabía 10 puntos de partida y 230 de llegada. El planóptimo de transporte, calculado con el ordenador Strenaen 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastosrespecto a los costos previstos.
Se ha estimado, de una manera general, que si un paíssubdesarrollado utilizase el modelo de la programaciónlineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entreun 10 y un 15% en tan sólo un año.
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Programación Lineal
La programación lineal es uno de los primerosmodelos matemáticos de la investigación deoperaciones el cual es usado para encontrar unvalor extremo de una función lineal dada ycompuesta de varias variables; cuando estasdeben ser no negativas y ellas deben satisfacerciertas restricciones las cuales se presentan en laforma de ecuaciones o inecuaciones lineales.
El problema mas simple de programación linealgeneralmente contiene un total de 2 a 3 variables.
Definición:
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Consecuentementemaximiza larentabilidad de lasempresas decualquier actividadeconómica
Investigación De Operaciones
Máxima produccióny productividad
Minimiza costosoperaciones
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Objetivo:
Es optimizar la utilización de los recursosdisponibles.
Construir modelos de programación lineal paraproblemas propios de la industria, en este casominero-metalúrgica.
Discutir las propiedades de las solucionesoptimas en modelos de programación lineal,etc.
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¿Qué es Programación?
Programación es el planeamiento generalmente deactividades económicas con propósitos de optimización.
Por ejemplo:
Maximizarganancias
Minimizarcostos
o+
-
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Modelo y uso de interpretacióngeométrica.
El método simplex.
Modelo dual y precio optimo.
Análisis de pos-optimalidad y P. L. bajoincertidumbre.Pr
ogra
mac
ión
Line
al
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Características de la programación lineal.
Las características principales de la programaciónlineal entre otras son las siguientes:
Es un modelo de la investigación de operacionesusada para maximizar y/o minimizar una funciónobjetivo cualquiera, sujeta a ciertas restricciones.
Las variables que intervienen tanto en la funciónobjetivo como en las restricciones son lineales o deprimer grado; además dichas variables deben sercontinuas.
La programación lineal generalmente es usada paraoptimizar la distribución de recursos disponibles.
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El valor optimo obtenido usando la programaciónlineal es único, no siendo necesario utilizar lascondiciones de segundo grado que complican loscálculos.
Para solucionar los problemas aplicando laprogramación lineal existen algoritmos genéricosque simplifican dicha solución.
En la actualidad, existen varios softwares parasolucionar problemas de cualquier tipo aplicandoprogramación lineal; los cuales representan unagran ayuda técnico-económica, etc., etc.
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Otras características de los problemas de P. L.son:
Proporcionalidad: En un modelo de P. L lafunción objetivo y cada restricción de lasvariables de decisión tienen que ser lineales. Esdecir el indicador de eficiencia (utilidad o costo)en la función objetivo y la cantidad de cadarecurso usado tienen que ser proporcionales, alvalor de cada variable de decisión consideradaindividualmente.
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Aditividad: En un modelo de P. L, es necesarioque cada variable sea “aditiva” respecto a lautilidad (o costo) y a la cantidad de recursosusados.
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Divisibilidad: Para muchos de los problemaspropios de los negocios es muy frecuente el casode que las variables de decisión puedan tenersignificado físico, solamente si tienen valoresenteros. Por lo tanto, otra limitación de la P. L esque para obtener una solución optima los nivelesfraccionarios de las variables de decisión, tienenque ser descontados.
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Optimalidad: Es un problema de P. L unasolución de máxima utilidad o mínimo costosiempre ocurre en uno de los vértices delconjunto de soluciones factibles.
MinMax
n
jxjcjZ
1)(
0,
......,2,1
.....,2,11
xjy
njmi
am
i xjij Car
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Planteamiento general del problema de programaciónlineal
El problema general de programación lineal puede serplanteado, como sigue:
Sujeto a:
= bi≤≥
Donde:
aij, cj y bj son constantes.
xj, son variables continuas
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n
jxjcjZOF
1).(,
njmi
am
j xjij
......,2,1
.....,2,11
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En otras palabras, se tiene:
Función objetivo.
(Maximización o minimización).
Restricciones funcionales
= bi≤
≥
nnXCXCXCZMax .......2211
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Condiciones de no negatividad.
Se debe mencionar que para algunas situacionesespeciales se elimina las condiciones de no negatividadpara algunas variables de decisión.
En otras palabras, se cumple que:
xj = irrestricta en signo para algunos valores de j
Si se considera el problema con tres variables y tresrestricciones; la maximización de Z se puede expresarmatemáticamente mediante la siguiente expresión:
xj ≥ 0 j = 1, 2, …., n
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Sujeto a:
A1 1 x1 + a1 2 x2 + ………+ a1 n ≤ b1
A2 1 x1 + a2 2 x2 + ………+ a2 n ≤ b2
A3 1 x1 + a3 2 x2 + ………+ a3 n ≤ b3
.
.
.
Am 1 x1 + am 2 x 2 + ………+ am n ≤ bm
xcccccZMax n ,.......,,,)( 321
nx
xxx
.
.3
2
1
mxnmatrizA
columnavectorx
filavectorc
columnavectorbi
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La condición de no negatividad, será:
x1 ≥ 0; x2 ≥0, …….., xn ≥0
El problema de maximización también puede ser expresadode la siguiente manera:
Donde:
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amnamam
naaa
naaa
......
.
.
......
......
21
22212
12111
mx
xx
.
.2
1
mb
bb
.
.2
1
bxA
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Las restricciones pueden expresarse matricialmente dela siguiente manera:
≤
≥≥
≤=
0
00.00
.
.2
1
x
x
xx
m
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La condición de no negatividad puede tambiénexpresarse matricialmente de la siguiente manera:
Por otro lado, el problema de programación lineal puedetambién plantearse de la siguiente manera:
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Actividad
Recurso
Uso del recurso/unidad Cantidaddel recursodisponible1 2 3 ……….n
123....m
a11 a12 a13 …….. a1 na21 a22 a23 …….. a2 na31 a32 a33 …….. a3n
am1 am2 am3 …….. amn
b1
b2
b3
.
.
.
.Bm
∆z/unidadnivel
c1 c2 c3 ……... cn
X1 x2 x3 …….. xn
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Donde:xj = Nivel de la variable j (variable de decisión)(j = 1, 2, …., n)cj = incremento en Z que resultaría debido a cada unidad deincremento en xj.(j = 1, 2, …., n) coeficiente de beneficio de la j-enesimavariablez = medida global de la efectividad. Función objetivo, funcionalo función preferencial (maximizar o minimizar ganancias ocostos)bi = Cantidad de recursos disponibles en la i-esima restricciónunidad de recurso, i = 1, 2 …., maij = cantidad de recurso i consumida por cada unidad de laactividad j.Coeficiente de la j-esima variable de decisión en i-esimarestricción
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Resumiendo se tiene que en forma vectorial elplanteamiento de un problema de programación linealseria como sigue:
Zopt = C x } función objetivoSujeto a:
A x B } Restricción
X ≥o } Condiciòn de no negatividad
≤≥
=
Donde:
X = (x1, x2, …., xn)T = Vector columna con n componentes.
Se le denomina vector de actividad; y suscomponentes son variables de decisión.
mnmm aaa
naaanaaa
A
......
........
21
22221
11211
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C = (c1, c2, …., cn) = vector fila con n componentes.
Se le denomina vector de precios o costosunitarios (coeficiente beneficio)
B = (b1, b2, …., bm) T = Vector columna con m componentes.
Se le denomina vector de disponibilidad derecursos.
0 = (0, 0, …., 0) T = vector columna de n ceros.
Matriz de m filas y ncolumnas. Se le denominamatriz de coeficientes.
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x x
x x
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aij = Representa la cantidad de recursos j que se necesitapor unidad de la actividad i.
i = 1 …. mj = 1 …. n
En forma esquemática la programación lineal puede serrepresentada como se muestra en el siguiente diagrama:
Programaciónlineal Modelo
Variablexj
Sistemareal
Representaciónmatemática f(x)
funcioneslineales
Sistema real“supuesto” o“simulado”
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Métodos de solución de los problemas deprogramación lineal.
La aplicación del modelo de P. L para resolver cualquierproblema, se puede efectuar usando los siguientesmétodos:
•Grafico•Algebraico•Del algoritmo simplex•Del algoritmo del tablero simplex.
Cada uno de estos métodos tienen sus ventajas, desventajasy/o limitaciones, por lo tanto, cada uno de ellos seránanalizados, evaluados y discutidos a través de varios ejemplosprácticos aplicables a cualquier actividad económica engeneral.
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El método grafico de solución de los problemas deprogramación lineal esta restringido solamente a 2 ó 3variables y por lo tanto, sus limitaciones son obvias.
El método de solución será mostrado a través de unproblema sencillo que se presenta con frecuencia enla industria minera, cuyo enunciado es el siguiente:
Método Grafico
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Para solucionar los problemas usando el modelomatemático de programación lineal en la técnica detransporte, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Addition of extra shifts
2. Overtime in one center versus straight time inanother
3. Addition of more machines (additional availabletime in the machine center)
4. Addition of new machines, special tools orimprovements (reduction in unit production rates)
Summary
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5. Changes in prices to meet a competitive market
6. Cost (reduction in profits) of good-will items
7. Direction of sales effort
8. Optimum product mix
Laboresmineras
Zn(%)
Pb(%)
Producciónplanificada (Tm/día)
Costo ($)(Hr/hombre/Tm)
Tajeo 1Tajeo 2
48
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4060
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Problema de aplicación Nº 1.
En una operación minera subterránea que explota losminerales de plomo (Pb) y Zinc (Zn), las estadísticas deproducción son las siguientes:
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Se pide:
i. Usando el método grafico, calcular la producción quedebe extraerse de cada uno de los tajeos, de talmanera de cumplir con los requerimientos de esta, aun costo mínimo por hora/hombre.
ii. Discutir los resultados
Los requerimientos de producción son los siguientes:
i) 80 Tm de mineral por día
ii) El contenido de mineral en promedio debe ser: Nomenor de 6.5% de Zn, y no menor de 4.5% de Pb.
21hom/6hom/4)( xTm
breHrsxTm
breHrsZMin
Car
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Solución.Sea x1 el tonelaje explotado por día del tajeo 1.
Sea x2 el tonelaje explotado por día del tajeo 2.
En este caso la función objetivo será planteada de lasiguiente manera:
Sujeto a las siguientes restricciones:
i) La capacidad de producción del:
Tajeo 1 …….. x1 ≤ 40 Tm/dia
ii) La capacidad de producción del:
Tajeo 2 …….. X2 ≤ 60 Tm/dia
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21 64 xxZMin
Car
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iii. La producción requerida es: x1 + x2 = 80 Tm/día.iv. Contenido mínimo de Zn: 0.04x1 + 0.08x2 ≥0.065
(x1+x2)v. Contenido mínimo de Pb: 0.06x1 + 0.04x2 ≥0.045
(x1+x2)
Luego el planeamiento matemático para resolver esteproblema de programación lineal mediante el métodografico será el siguiente:
Sujeto a:
Car
los
Agre
da, P
h. D
60
x1 ≤ 40 ….. (1)
x2 ≤ 60 ….. (2)
x1 + x2 ≤ 80 ….. (3)
-2.5x1 + 1.5x2 ≥ 000 ….. (4)
1.5x1 - 0.5x2 ≥ 000 ….. (5)
y
obviamente: x1, x2 ≥ 0 ….. (6)
Por lo tanto, la solución grafica estará contenida en elprimer cuadrante (esta prácticamente es una condicióngeneral para este tipo de problemas, desde que ellostratan acerca de tonelajes, dólares, recursos, etc., etc. enlos cuales valores negativos no son aceptables.
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Car
los
Agre
da, P
h. D
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La solución grafica para este problema semuestra en el diagrama conceptual siguiente:
Car
los
Agre
da, P
h. D
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Car
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Agre
da, P
h. D
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En el cual se puede observar lo siguiente:
Las coordenadas (x1, x2) de un punto satisfaceríantodas las restricciones si y solamente si; este punto estacontenido en el área ABC; esto hablando en términosdel álgebra de espacios vectoriales.
El área ABC incluye todos los puntos interiores o alcostado del triangulo ABC. Se debe notar que el área esconvexa y que la solución optima es un punto extremode esta área convexa.
Car
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Agre
da, P
h. D
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Se puede observar también que, para:
x1 = 0, x2 = 0 z = 0
x1 = 30, x2 = 50 z = 420
x1 = 20, x2 = 60 z = 440
La solución optima se puede apreciar que es:
x1 = 30
x2 = 50
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Car
los
Agre
da, P
h. D
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Se debe mencionar también que la mayoría de losproblemas que son necesarios resolver en lasdiversas organizaciones industriales constan de 2 ò3 variables por lo tanto, se debe trabajar conpoliedros convexos en lugar de polígonos convexos;y en estos casos ya el método grafico no esaplicable; entonces, es necesario buscar otrosmétodos de solución para este tipo de problemas.
Car
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Terminología usada en la solución de problemas deprogramación lineal.
Solución factible: Es una solución que satisface todas lasrestricciones aplicables al sistema en estudio.
Solución básica factible: Es una solución factible detantas soluciones variables como ecuaciones tiene elsistema en estudio.
Solución Optima: Es una solución básica factible quetiene el valor mas favorable de la función objetivo. (Elmayor o el menor, dependiendo si se trata demaximización o de minimización)
El objetivo de la P. L es encontrar la solución factible quesea la optima.
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Car
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h. D
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Generalmente, un problema de P.L. tendrá una soluciónoptima. Sin embargo, también es posible tenersoluciones optimas múltiples (Rectas que representana las restricciones paralelas al funcional).
La posibilidad de que un problema no tenga solucionesoptimas ocurre cuando:
a) Si no tiene soluciones factiblesb) Si las restricciones no evitan el crecimiento de la F. O.,
indefinidamente en la dirección favorable z.
Car
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Problema de aplicación Nº 2.
Se tiene el siguiente problema de programación lineal.
Max Z = 3x1 + 2x2
Subject to: X1 + x2 ≤ 20 → (1)
X1 = 15 → (2)
X1 + 3x2 ≤ 45 → (3)
-3X1 + 5x2 ≤ 60 → (4)
Se pide:
• Solucionar el problema de P. L, usando el métodografico.
• Discutir los resultados
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Mining stopes Tipos de concentrados Disponibilidad(Tm/month)I (TM) II (TM)
ABCD
1221
3121
15,00010,00012,00010,000
Utility (US$/Tm) 4 3
Car
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una compañía minera subterránea, ubicada a 4500 MOSLproduce dos tipos de concentrados.
La mezcla proviene del mineral que se explota de 4labores subterráneas (tajeos).
La disponibilidad del tonelaje de mineral proviene de cadalabor minera y el beneficio económico $/Tm. Semuestra en la tabla I
Problema de aplicación Nº 3.
Tabla I
Car
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Se pide:
i. Calcular el tonelaje de concentrado de cada tipos demineral que debe producirse, para maximizar larentabilidad de dicha empresa minera
ii. Discutir los resultados
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21 34 xxZMax
Car
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El presente método de solución será mostrado a travésdel siguiente ejemplo:
1x1 + 3x2 ≤ 15000 ….. (A)
2x1 + 1X2 ≤ 10000 ….. (B)
2x1 + 2X2 ≤ 12000 ….. (C)
1x1 + 1X2 ≤ 10000 ….. (D)
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Sujeto a:
Método Algebraico
Car
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Agre
da, P
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En primer lugar se agregan las variables de holgura paratransformar las inecuaciones en ecuaciones y se tiene losiguiente:
1x1 + 3x2 + x3 =15000 (A)
2x1 + 1x2 + x4 = 10000 (B)
2x1 + 2x2 + x5 = 12000 (C)
1x1 + 1x2 + x6 = 10000 (D)
Max. Z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6
37
Car
los
Agre
da, P
h. D
73
Como hay cuatro ecuaciones (m) y seis incógnitas (n) →se debe suponer que el problema tendrá n – m = 2variables iguales a cero. En este caso se tiene:
Es decir, hay que resolver 15 veces el sistema deecuaciones asignando el valor cero a un par de variablesen cada solución o iteración respectiva.
n 6
m 2= = 15 combinaciones posibles.
Car
los
Agre
da, P
h. D
74
Solución básica factible: Se elige x1 = 0 x2 = 0 y seobtiene la 1era. Solución básica factible.
x1 = 0
x2 = 0 Z = 0
x3 = 15000
x4 = 10000
x5 = 12000
x6 = 10000
Es decir esta solución es no producir naday las variables de holgura x3, x4, x5, x6; soloreportan disponibilidad.
38
Car
los
Agre
da, P
h. D
75
Como se esta maximizando, se debe introducir en lasolución, aquella variable que reporte mayor beneficio, cjes mayor.En este caso el cj de la función objetivo de mayor beneficioes c1 = 4 que corresponde a x1.
¿Qué variable saldría de la solución básica factible?¿Cuál de las variables no nulas se convertirían o se ledeben asignar el valor cero para obtener la siguientesolución?
Para ello se expresa el conjunto de variables no nulas delsistema de ecuaciones (1) en función de x1 (la variable queingresa).
Car
los
Agre
da, P
h. D
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x2 = 0
x1 + x3 = 15000 --- x3 = 15,000 – x1 → x1 = 15000
2x1 + x4 = 10000 (2) --- x4 = 10,000 – 2x1 →
2x1 + x5 = 12000 --- x5 = 12,000 – 2x1 → x1 = 6000
x1 + x6 = 10000 --- x6 = 12,000 – x1 → x1 = 10000
x1 = 5000
Al igualar x3, x4, x5, x6 = 0 se obtendrá varios valores dex1 y se elige el menor porque si se toma alguno de losotros, cualquiera de las ecuaciones del sistema (2)tomaría un valor negativo, contradiciendo lascondiciones de no negatividad.
39
alesxx
Re05000
2
1
Car
los
Agre
da, P
h. D
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Se elige → x1 = 5000 y el sistema será:
x3 = 15000 - 5000 = 10000
x4 = 10000 - 2 x 5000 = 0 z = 20000
x5 = 12000 – 2 x 5000 = 2000
x6 = 10000 – 5000 = 5000
Car
los
Agre
da, P
h. D
78
Búsqueda de la mejor solución.
Como x2 = 0 y x4 = 0 se debe introducir una nuevavariable a la solución, Entre x2 y x4.
De la ecuación (1) se busca aquellas que contengan a x2y x4; es decir (B):
2x1 + 1x2 + x4 = 10000
→ x1 = 5000 - ½x2 - ½x4
40
Car
los
Agre
da, P
h. D
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Reemplazando este valor de x1 en el funcional Z seobtiene:
Zmax = 4x1 + 3x2
Zmax = 20000 + x2 – 2x4
Se introduce x2
Como se maximiza,se ve que laincorporación de x2lo beneficia, mientrasque x4 lo perjudica.
Car
los
Agre
da, P
h. D
80
Obtención de la tercera solución.
Como x2 ingresa al conjunto solución, el sistema (1).
Se despejan las variables para ponerlas en función de:
x2 (x4 = 0 ….)
De A) x1 + 3x2 + x3 = 15000 x3 = 15000 – x1 – 3x2
x3 = 15000 – (5000 – ½x2) -3x2
x3 = 10000 – 5/2x2 → ()
41
Car
los
Agre
da, P
h. D
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De B) 2x1 + x2 + x4 = 10000
x1 = 5000 – ½x2 → ()
De C) 2x1 + 2x2 + x3 = 12000x5 = 12000 – 2 (5000- ½x2) – 2x2x5 = 2000 – x2 → ()
De D) x1 + x2 + x6 = 10000x6 = 10000 – (5000- ½x2) – x2x6= 5000 – ½x2 → (w)
Car
los
Agre
da, P
h. D
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De: () x3 = 0 cuando x2 = 4000
() x1 = 0 cuando x2 = 10000
() x5 = 0 cuando x2 = 2000
(w) x6 = 0 cuando x2 = 10000
(se elige el valor menor paraevitar valores negativos)
La tercera solución quedaría:x1 = 4000
x2 = 2000
x3 = 5000
x4 = 0
x5 = 0
x6 = 4000
(4) Z = 22,000
Se ha mejorado la solución
¿será la optima?
42
Car
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Agre
da, P
h. D
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Veamos si se puede introducir x4 ò x5 que valen cero:
En el sistema (1) se buscan aquellas soluciones quecontengan x4 y x5 ò x4 y x5 en forma independiente.
(B) 2x1 + x2 x4 = 10000
(C) 2x1 + 2x2 + x5 = 12000
x1 = 5000 – ½x2 – ½x4
x1 = 6000 – x2 – ½x5
Igualando a ambas:
5000 – ½x2 – ½x4 = 6000 – x2 – ½x5
x2 = 2000 + x4 – x5
Car
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Agre
da, P
h. D
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Reemplazando x2, se tiene lo siguiente:
Z = 20000 + (2000 + x4 – x5) 2x4
Z = 22000 – x4 – x5
La introducción de x4 ò x5 no mejora al funcional, lasolución obtenida en ) es la optima.
Como se puede apreciar este método algebraico es tediosoy consume mucho tiempo para solucionar problemas de P.L que se presentan en todas y cada de las organizacionesindustriales; por lo que los diferentes investigadorespropusieron métodos matemáticos mas directos para darsolución a este tipo de problemas y se planteo el método yel algoritmo simplex.
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Car
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Conceptos fundamentales del algoritmosimplex.
Se expondrán los conceptos básicos y las definiciones delálgebra lineal del espacio n-dimensional que sonnecesarias para la solución de problemas de P. L usandoel algoritmo simplex.
Básicamente el método simplex traslada la definicióngeométrica del punto extremo a una definición algebraica.Fundamentalmente, la transición del procedimientografico al algebraico se basa en la validez de la siguienterelación:
Car
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Creación del método simplex
Se inicia con la elaboración de la forma estándarnecesaria para representar el espacio de soluciones de laprogramación lineal, por medio de un sistema deecuaciones simultaneas.
Para ello se debe tener en cuenta lo siguiente:• Los algoritmos del método simplex primal y,• Los simplex dual.
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Adicione las variables de holgura atodas las desigualdades.
Encontrar una solución básicafactible
¿puede encontrar una soluciónbásica factible “mejor” (una que
aporte una utilidad mas alta)
Resuelva para la“mejor” solución
básica factible
La solución básicafactible es la
optima
Stop.
Si No
Paso 1
Paso 4Paso 3
Paso 2
Paso 0
Car
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1.El método simplex encuentra una soluciónoptima (o una solución básica optima factible).
2.El método simplex es un método de cambiode bases. Una variable entra a la base, lavariable básica entrante, y una variable salede la base, la variable básica saliente.
3.El método de cambio de base implica elreemplazo de un sistema de restricciones-ecuaciones por un sistema equivalente derestricciones-ecuaciones.
Aspectos generales sobre el método simplex.
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4. En un sistema de restricciones-ecuaciones, unaecuación puede ser reemplazada por unaecuación equivalente aplicando las operacionessiguientes:
O1: Reemplazar una ecuación por si misma, tantasveces una constante diferente de cero.
O2: Reemplazar una ecuación por si misma, sumadaa tantas veces una constante diferente de cerootra ecuación restricción.
5. El método simplex requiere que la función objetivosea expresada de tal forma que cada variablebásica, tenga como coeficiente 0.
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6. El método simplex requiere que cada variablebásica aparezca en una y solamente unaecuación-restricción.
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Lo mas importante de un ser humano es reclamar supropia y vital vocación. “La vocación actúa como una leydivina de la que no hay escapatoria”, pero muy pocos se
atreven a luchar por su sueño, además de que en nuestrosistema educativo, se nos enseña a ser conformistas y dargusto a los demás, aun cuando tengamos que renunciar a
nuestro propio llamado.
Carlos Agreda, Ph. D
Profesor